Przybliżone metody badania układów nieliniowych. Analiza układów nieliniowych. Metoda linearyzacji harmonicznej. Zastosowanie teorii procesów Markowa do analizy układów nieliniowych. Nieliniowość typu przekaźnika

System jest uważany za nieliniowy, jeśli jego rząd >2 (n>2).

Badanie układów liniowych wyższego rzędu wiąże się z przezwyciężeniem istotnych trudności matematycznych, ponieważ nie ma ogólnych metod rozwiązywania równań nieliniowych. Przy analizie ruchu układów nieliniowych wykorzystuje się metody całkowania numerycznego i graficznego, które pozwalają na uzyskanie tylko jednego konkretnego rozwiązania.

Metody badawcze dzielą się na dwie grupy. Pierwsza grupa to metody oparte na znajdowaniu dokładnych rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych. Druga grupa to metody przybliżone.

Opracowanie dokładnych metod jest ważne zarówno z punktu widzenia uzyskiwania bezpośrednich wyników, jak i badania różnych specjalnych reżimów i form dynamicznych procesów układów nieliniowych, które nie mogą być identyfikowane i analizowane metodami przybliżonymi. Dokładne metody to:

1. Metoda bezpośrednia Lapunowa

2. Metody płaszczyzny fazowej

3. Metoda dopasowania

4. Metoda przekształceń punktowych

5. Metoda przekrojów przestrzeni parametrów

6. Częstotliwościowa metoda określania stabilności bezwzględnej

Do rozwiązywania wielu problemów teoretycznych i praktycznych wykorzystywana jest technologia obliczeń dyskretnych i analogowych, co umożliwia zastosowanie metod modelowania matematycznego w połączeniu z modelowaniem półnaturalnym i pełnoskalowym. W tym przypadku technika komputerowa jest połączona z rzeczywistymi elementami układów sterowania, ze wszystkimi ich nieliniowymi nieliniowościami.

Metody przybliżone obejmują metody analityczne i grafowo-analityczne, które umożliwiają zastąpienie układu nieliniowego równoważnym modelem liniowym, a następnie wykorzystanie do jego badania metod liniowej teorii układów dynamicznych.

Istnieją dwie grupy metod przybliżonych.

Pierwsza grupa opiera się na założeniu, że badany układ nieliniowy jest podobny w swoich właściwościach do układu liniowego. Są to metody małego parametru, gdy ruch układu opisuje się szeregiem potęgowym względem jakiegoś małego parametru, który występuje w równaniach układu lub który jest do tych równań wprowadzony sztucznie.

Druga grupa metod ma na celu badanie naturalnych okresowych oscylacji układu. Opiera się na założeniu, że pożądane drgania układu są zbliżone do harmonicznych. Są to metody równoważenia harmonicznego lub linearyzacji harmonicznej. Gdy są używane, następuje warunkowe zastąpienie elementu nieliniowego, na który działa harmoniczny sygnał wejściowy, równoważnymi elementami liniowymi. Analityczne uzasadnienie linearyzacji harmonicznej opiera się na zasadzie równości zmiennych wyjściowych częstotliwości, amplitudy i fazy, równoważnego elementu liniowego i pierwszej harmonicznej zmiennej wyjściowej rzeczywistego elementu nieliniowego.

Największy efekt daje rozsądne połączenie metod przybliżonych i dokładnych.

„Teoria automatycznego sterowania”

„Metody badań układów nieliniowych”

1. Metoda równań różniczkowych

Równanie różniczkowe zamkniętego układu nieliniowego n-tego rzędu (rys. 1) można przekształcić na układ n-równań różniczkowych pierwszego rzędu w postaci:

gdzie: - zmienne charakteryzujące zachowanie systemu (jedną z nich może być wartość kontrolowana); są funkcjami nieliniowymi; jesteś siłą napędową.

Zwykle równania te są zapisane w skończonych różnicach:

gdzie są warunki początkowe.

Jeżeli odchylenia nie są duże, to układ ten można rozwiązać jako układ równań algebraicznych. Rozwiązanie można przedstawić graficznie.

2. Metoda przestrzeni fazowej

Rozważmy przypadek, w którym działanie zewnętrzne jest równe zeru (U = 0).

Ruch układu determinowany jest zmianą jego współrzędnych – w funkcji czasu. Wartości w dowolnym momencie charakteryzują stan (fazę) systemu i określają współrzędne systemu o n - osiach i mogą być reprezentowane jako współrzędne pewnego (reprezentującego) punktu M (ryc. 2).

Przestrzeń fazowa to przestrzeń współrzędnych układu.

Wraz ze zmianą czasu t punkt M porusza się po trajektorii zwanej trajektorią fazową. Jeśli zmienimy warunki początkowe, otrzymamy rodzinę trajektorii fazowych zwaną portretem fazowym. Portret fazowy określa naturę procesu przejściowego w układzie nieliniowym. Portret fazowy ma pojedyncze punkty, z których trajektorie fazowe systemu mają tendencję do lub odchodzenia (może być ich kilka).

Portret fazowy może zawierać trajektorie fazy zamkniętej, zwane cyklami granicznymi. Cykle graniczne charakteryzują samooscylacje w systemie. Trajektorie fazowe nie przecinają się nigdzie poza punktami osobliwymi charakteryzującymi stany równowagi układu. Cykle graniczne i stany równowagi mogą być stabilne lub nie.

Portret fazowy całkowicie charakteryzuje układ nieliniowy. Cechą charakterystyczną układów nieliniowych jest występowanie różnego rodzaju ruchów, kilku stanów równowagi oraz występowanie cykli granicznych.

Metoda przestrzeni fazowej jest podstawową metodą badania układów nieliniowych. O wiele łatwiej i wygodniej jest badać układy nieliniowe na płaszczyźnie fazowej niż wykreślać transjenty w dziedzinie czasu.

Konstrukcje geometryczne w przestrzeni są mniej przejrzyste niż konstrukcje na płaszczyźnie, gdy system ma drugi rząd i stosuje się metodę płaszczyzny fazowej.

Zastosowanie metody płaszczyzny fazowej w układach liniowych

Przeanalizujmy związek między naturą procesu przejściowego a krzywymi trajektorii fazowych. Trajektorie fazowe można uzyskać albo całkując równanie trajektorii fazowej, albo rozwiązując oryginalne równanie różniczkowe drugiego rzędu.

Niech system zostanie podany (rys. 3).

Rozważ swobodny ruch systemu. W tym przypadku: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Ogólnie równanie różniczkowe ma postać

gdzie (1)

Jest to jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu; jego charakterystyczne równanie to

. (2)

Pierwiastki równania charakterystycznego wyznacza się z zależności

(3)

Przedstawmy równanie różniczkowe drugiego rzędu jako układ

Równania pierwszego rzędu:

(4)

gdzie jest stopa zmian kontrolowanej zmiennej.

W rozważanym układzie liniowym zmienne x i y są współrzędnymi fazowymi. Portret fazowy budowany jest w przestrzeni o współrzędnych x i y, tj. na płaszczyźnie fazowej.

Jeśli wykluczymy czas z równania (1), to otrzymamy równanie krzywych całkowych lub trajektorii fazowych.

. (5)

To jest równanie dające się oddzielić

Rozważmy kilka przypadków

Pliki GB_prog.m i GB_mod.mdl oraz analiza składu spektralnego modu okresowego na wyjściu części liniowej - z wykorzystaniem plików GB_prog.m i R_Fourie.mdl. Zawartość pliku GB_prog.m: %Badanie układów nieliniowych metodą bilansu harmonicznego %Użyte pliki: GB_prog.m, GB_mod.mdl i R_Fourie.mdl. % Zastosowany zapis: NE - element nieliniowy, LP - część liniowa. %Wyczyść wszystko...

Bezwładność w dopuszczalnym (ograniczonym z góry) zakresie częstotliwości, poza którym przechodzi do kategorii bezwładności. W zależności od rodzaju charakterystyki rozróżnia się elementy nieliniowe o charakterystyce symetrycznej i asymetrycznej. Symetria to cecha niezależna od kierunku wielkości, które ją określają, tj. mający symetrię względem początku układu...

Wysyłanie dobrej pracy do bazy wiedzy jest proste. Skorzystaj z poniższego formularza

Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy korzystający z bazy wiedzy w swoich studiach i pracy będą Ci bardzo wdzięczni.

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Nowosybirski Państwowy Uniwersytet Techniczny

Katedra Napędu Elektrycznego i Automatyki Instalacji Przemysłowych

KURS PRACA

w dyscyplinie „Teoria automatyki”

Analiza nieliniowych układów automatyki

Uczeń: Tishinov Yu.S.

Grupa Ema-71

Opiekun zajęć

ZADANIE DO PRACY NA KURSIE:

1. Zbadaj ACS z zadanym schematem blokowym, rodzajem nieliniowości i parametrami numerycznymi metodą płaszczyzny fazowej.

1.1 Zweryfikuj wyniki obliczeń w paragrafie 1 za pomocą modelowania strukturalnego.

1.2 Zbadaj wpływ akcji wejściowej i parametrów nieliniowości na dynamikę systemu.

2. Zbadać ACS o zadanym schemacie blokowym, rodzaju nieliniowości i parametrach numerycznych metodą linearyzacji harmonicznej.

2.1 Zweryfikuj wyniki obliczeń w paragrafie 2 za pomocą modelowania strukturalnego.

2.2 Zbadaj wpływ działania wejściowego i parametrów nieliniowości na dynamikę systemu

1. Badamy ACS o zadanym schemacie blokowym, rodzaju nieliniowości i parametrach numerycznych metodą płaszczyzny fazowej.

Numer opcji 4-1-a

Wstępne dane.

1) Schemat strukturalny nieliniowego SKP:

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Hostowane na http://www.allbest.ru/

System, w którym prace i czynności kontrolne są wykonywane przez urządzenia techniczne, nazywa się automatyczny system sterowania (ACS).

Schemat strukturalny nazywana jest graficzną reprezentacją matematycznego opisu systemu.

Łącze na schemacie strukturalnym jest przedstawione jako prostokąt wskazujący wpływy zewnętrzne, a funkcja przenoszenia jest w nim zapisana.

Zestaw łączy wraz z liniami komunikacyjnymi charakteryzującymi ich interakcję tworzy schemat blokowy.

2) Parametry schematu blokowego:

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Metoda płaszczyzny fazowej

Zachowanie układu nieliniowego w dowolnym momencie jest określane przez kontrolowaną zmienną i jej (n? 1) pochodną, ​​jeśli te wielkości są wykreślane wzdłuż osi współrzędnych, to wynikowa przestrzeń n? wymiarowa będzie nazywana przestrzenią fazową. Stan układu w każdym momencie czasu będzie określany w przestrzeni fazowej przez punkt reprezentujący. Podczas procesu przejścia punkt reprezentatywny porusza się w przestrzeni fazowej. Trajektoria jego ruchu nazywana jest trajektorią fazową. W stanie ustalonym punkt reprezentatywny znajduje się w spoczynku i jest nazywany punktem osobliwym. Zbiór trajektorii fazowych dla różnych warunków początkowych wraz z punktami osobliwymi i trajektoriami nazywany jest portretem fazowym układu.

Podczas badania układu nieliniowego tą metodą konieczne jest przekształcenie schematu blokowego (ryc. 1.1) do postaci:

Znak minus oznacza, że ​​informacja zwrotna jest negatywna.

gdzie X 1 i X 2 - odpowiednio wartości wyjściowe i wejściowe liniowej części systemu.

Znajdźmy równanie różniczkowe układu:

Zróbmy więc wymianę

Równanie to rozwiązujemy względem największej pochodnej:

Załóżmy, że:

Dzielimy równanie (1.2) przez równanie (1.1) i otrzymujemy nieliniowe równanie różniczkowe dla trajektorii fazowej:

gdzie x 2 \u003d f (x 1).

Jeśli ten DE zostanie rozwiązany metodą izoklinową, to możliwe jest skonstruowanie portretu fazowego układu dla różnych warunków początkowych.

Izoklina to miejsce punktów na płaszczyźnie fazowej, w których trajektoria fazowa przecina się pod tym samym kątem.

W metodzie tej nieliniowa charakterystyka jest dzielona na odcinki liniowe i dla każdego z nich rejestrowany jest liniowy DE.

Aby uzyskać równanie izokliny, prawa strona równania (1.3) jest przyrównywana do stałej wartości N i rozwiązywana względnie.

Uwzględniając nieliniowość otrzymujemy:

Biorąc pod uwagę wartości N w zakresie od do, konstruowana jest rodzina izoklin. Na każdej izolinii narysowana jest pomocnicza linia prosta pod kątem do osi x

gdzie m X - współczynnik skali wzdłuż osi x;

m Y - współczynnik skali wzdłuż osi y.

Wybierz m X = 0,2 jednostek/cm, m Y = 40 jednostek/cm;

Ostateczny wzór na kąt:

Obliczamy rodzinę izoklin i kąt dla terenu, podsumowujemy obliczenia w tabeli 1:

Tabela 1

Obliczamy rodzinę izoklin i kąt dla terenu, podsumowujemy obliczenia w tabeli 2:

Tabela 2

Obliczamy rodzinę izoklin i kąt dla terenu, podsumowujemy obliczenia w tabeli 3:

Tabela 3

Skonstruujmy trajektorię fazową

Aby to zrobić, warunki początkowe są wybierane na jednej z izolinii (punkt A), dwie proste linie są rysowane od punktu A do przecięcia z następną izolinią pod kątami b 1, b 2, gdzie b 1, b 2? odpowiednio kąty pierwszej i drugiej izokliny. Odcięty tymi liniami odcinek dzieli się na pół. Z uzyskanego punktu, środka odcinka, ponownie rysuje się dwie linie pod kątami b 2, b 3 i ponownie odcinek dzieli się na pół itd. Powstałe punkty są połączone gładką krzywą.

Rodziny izolinii budowane są dla każdego odcinka liniowego charakterystyki nieliniowej i są oddzielone od siebie liniami przełączającymi.

Z trajektorii fazowej widać, że uzyskano punkt osobliwy typu stabilnego ogniskowania. Można stwierdzić, że w układzie nie występują samooscylacje, a proces przejściowy jest stabilny.

1.1 Sprawdź wyniki obliczeń z wykorzystaniem modelowania konstrukcyjnego w programie MathLab

Schemat strukturalny:

Portret fazowy:

Proces przejściowy przy akcji wejściowej równej 2:

Xout.max = 1,6

1.2 Badamy wpływ działania wejściowego i parametrów nieliniowości na dynamikę systemu

Zwiększmy sygnał wejściowy do 10:

Xout.max = 14,3

Treg = 0,055

X na zewnątrz. maks=103

Treg = 0,18

Zwiększmy strefę czułości do 15:

Xout.max = 0,81

Zmniejsz strefę czułości do 1:

Xout.max = 3,2

Wyniki symulacji potwierdziły wyniki obliczeń: Rysunek 1.7 pokazuje, że proces jest zbieżny, w układzie nie występują samooscylacje. Portret fazowy symulowanego systemu jest podobny do obliczonego.

Po zbadaniu wpływu działania wejściowego i parametrów nieliniowości na dynamikę układu możemy wyciągnąć następujące wnioski:

1) wraz ze wzrostem działania wejściowego wzrasta poziom stanu ustalonego, liczba drgań nie zmienia się, wzrasta czas sterowania.

2) wraz ze wzrostem martwej strefy wzrasta poziom stanu ustalonego, liczba oscylacji również pozostaje niezmieniona, wzrasta czas sterowania.

2. Badamy ACS o zadanym schemacie blokowym, rodzaju nieliniowości i parametrach numerycznych metodą linearyzacji harmonicznej.

Opcja nr 5-20-c

Wstępne dane.

1) Schemat blokowy:

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Hostowane na http://www.allbest.ru/

2) Wartości parametrów:

3) Rodzaj i parametry nieliniowości:

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Najszerzej stosowaną do badania nieliniowych układów automatycznego sterowania wyższego rzędu (n > 2) jest przybliżona metoda linearyzacji harmonicznej z wykorzystaniem reprezentacji częstotliwościowych opracowanych w teorii układów liniowych.

Główna idea metody jest następująca. Niech zamknięty autonomiczny (bez wpływów zewnętrznych) nieliniowy układ składa się z połączonego szeregowo nieliniowego bezinercyjnego NC i stabilnej lub neutralnej liniowej części LP (rysunek 2.3, a)

u=0 x z X=X m sinwt z y

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Hostowane na http://www.allbest.ru/

y \u003d Y m 1 grzech (wt +)

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Aby ocenić możliwość występowania oscylacji monoharmonicznych nietłumionych w tym układzie, zakłada się, że na wejściu łącza nieliniowego działa harmoniczny sygnał sinusoidalny x(t) = X m sinwt (rys. 2.3,b). W tym przypadku sygnał na wyjściu łącza nieliniowego z(t) = z zawiera widmo składowych harmonicznych o amplitudach Z m 1 , Z m 2 , Z m 3 , itd. i częstotliwości w, 2w, 3w itd. Zakłada się, że sygnał z(t), przechodzący przez część liniową W l(jw), jest przez nią filtrowany w takim stopniu, że w sygnale na wyjściu części liniowej y(t) wszystkie wyższe harmoniczne Y m 2 , Y m 3 itd. i załóżmy, że

y(t)Y m 1 sin(masa +)

To ostatnie założenie nazywa się hipotezą filtru, a spełnienie tej hipotezy jest warunkiem koniecznym linearyzacji harmonicznej.

Warunek równoważności dla obwodów pokazanych na ryc. 2.3, a i b, można sformułować jako równość

x(t) + y(t) = 0(1)

Gdy hipoteza filtra y(t) = Y m 1 sin(wt +) jest spełniona, równanie (1) dzieli się na dwie

Równania (2) i (3) nazywane są równaniami równowagi harmonicznej; pierwszy z nich wyraża równowagę amplitud, a drugi - równowagę faz oscylacji harmonicznych.

Tak więc, aby w rozważanym układzie istniały nietłumione oscylacje harmoniczne, warunki (2) i (3) muszą być spełnione, jeśli spełniony jest warunek filtra

Wykorzystajmy metodę Goldfarba do grafowo-analitycznego rozwiązania równania charakterystycznego postaci

W LCH (p) W NO (A) +1 = 0

W LCH (jw) W NO (A) = -1

W celu przybliżonego określenia samooscylacji konstruuje się AFC liniowej części układu oraz odwrotną ujemną charakterystykę elementu nieliniowego.

Aby zbudować AFC części liniowej, przekształcamy schemat blokowy do postaci z ryc. 2.4:

W wyniku przekształcenia otrzymujemy schemat z ryc. 2.5:

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Hostowane na http://www.allbest.ru/

Znajdź transmitancję liniowej części układu:

Pozbądźmy się irracjonalności w mianowniku mnożąc licznik i mianownik przez koniugat do mianownika, otrzymujemy:

Podzielmy to na części urojone i rzeczywiste:

Aby skonstruować odwrotną ujemną charakterystykę elementu nieliniowego, korzystamy ze wzoru:

Parametry nieliniowości:

A to amplituda, pod warunkiem, że.

AFC liniowej części układu oraz odwrotną ujemną charakterystykę elementu nieliniowego pokazano na rys.1. 2.6:

Do określenia stabilności samo-oscylacji posługujemy się następującym sformułowaniem: jeżeli punkt odpowiadający zwiększonej amplitudzie w stosunku do punktu przecięcia nie jest objęty odpowiedzią częstotliwościową liniowej części układu, to samo-oscylacje są stabilne . Jak widać na rysunku 2.6, rozwiązanie jest stabilne, dlatego w systemie powstają samooscylacje.

2.1 Sprawdźmy wyniki obliczeń za pomocą modelowania strukturalnego w programie MathLab.

Rysunek 2.7: Schemat strukturalny

Proces przejściowy z akcją wejściową równą 1 (rys. 2.8):

automatyczne sterowanie harmoniczne nieliniowe

Jak widać na wykresie, ustalone są samooscylacje. Sprawdźmy wpływ nieliniowości na stabilność układu.

2.2 Zbadajmy wpływ akcji wejściowej i parametrów nieliniowości na dynamikę systemu.

Zwiększmy sygnał wejściowy do 100:

Zwiększmy sygnał wejściowy do 270

Zmniejszmy sygnał wejściowy do 50:

Zwiększmy nasycenie do 200:

Zmniejsz nasycenie do 25:

Zmniejsz nasycenie do 10:

Wyniki symulacji nie potwierdziły jednoznacznie wyników obliczeń:

1) W układzie występują samooscylacje, a zmiana nasycenia wpływa na amplitudę oscylacji.

2) Wraz ze wzrostem działania wejściowego zmienia się wartość sygnału wyjściowego i system dąży do stanu stabilnego.

LISTA WYKORZYSTYWANYCH ŹRÓDEŁ:

1. Zbiór problemów z teorii automatycznej regulacji i sterowania. Wyd. V.A. Besekersky, wydanie piąte, poprawione. - M.: Nauka, 1978. - 512 s.

2. Teoria sterowania automatycznego. Część druga. Teoria nieliniowych i specjalnych układów automatyki. Wyd. AA Woronowa. Proc. dodatek dla uniwersytetów. - M.: Wyższe. szkoła, 1977. - 288 s.

3. Topcheev Yu.I. Atlas projektowania układów automatyki: podręcznik. dodatek. ? M.: Mashinostroenie, 1989. ? 752 pkt.

Hostowane na Allbest.ru

Podobne dokumenty

Układy nieliniowe opisane nieliniowymi równaniami różniczkowymi. Metody analizy układów nieliniowych: aproksymacja odcinkowo liniowa, linearyzacja harmoniczna, płaszczyzna fazy, linearyzacja statystyczna. Stosując kombinację metod.

streszczenie, dodane 21.01.2009


Analiza stabilności układu automatyki (ACS) według kryterium Nyquista. Badanie stabilności ACS przez charakterystykę amplitudowo-fazowo-częstotliwościową AFC oraz charakterystykę logarytmiczną. Przyrządy kontrolne systemu śledzenia instrumentów.

praca semestralna, dodana 11.11.2009


Analiza schematu blokowego danego układu automatyki. Podstawowe warunki stabilności kryterium Hurwitza i Nyquista. Synteza jako dobór struktury i parametrów systemu do zadanych wymagań. Pojęcie zrównoważonego rozwoju.

praca semestralna, dodana 01.10.2013


Badanie trybów automatycznego sterowania. Wyznaczanie transmitancji układu zamkniętego. Budowa logarytmicznych charakterystyk amplitudowych i częstotliwościowych faz. Synteza układu "obiekt-regulator", obliczanie optymalnych parametrów.

praca semestralna, dodana 17.06.2011


Zaprojektowanie zamkniętego, jednowymiarowego, stacjonarnego, serwoautomatycznego układu sterowania z określeniem parametrów urządzenia korekcyjnego, które zapewnia określone wymagania dotyczące jakości regulacji. Analiza systemu z uwzględnieniem nieliniowości PA.

praca semestralna, dodana 18.01.2011


Struktura zamkniętego liniowego, ciągłego automatycznego systemu sterowania. Analiza transmitancji układu ze sprzężeniem zwrotnym. Badanie liniowych układów automatyki impulsowej, liniowej ciągłej i nieliniowej ciągłej.

test, dodano 16.01.2011


Równania zależności schematu blokowego ACS. Analiza liniowego ciągłego układu automatycznego sterowania. Kryteria stabilności. Wskaźniki jakości procesów przejściowych w symulacji komputerowej. Synteza sekwencyjnego urządzenia korekcyjnego.

test, dodano 19.01.2016


Zaprojektowanie schematu blokowego elektromechanicznego serwonapędu przekaźnikowego. Kompilacja równań różniczkowych zamkniętego nieliniowego układu automatyki, budowa jego portretu fazowego. Linearyzacja harmoniczna nieliniowości.

praca semestralna, dodano 26.02.2014


Dyskretne układy automatyki jako układy zawierające elementy przetwarzające sygnał ciągły na dyskretny. Element impulsowy (IE), jego opis matematyczny. Cyfrowy układ automatyki, metody jego obliczania.

streszczenie, dodane 18.08.2009


Wykonywanie syntezy i analizy układu sterowania serwomechanizmu z wykorzystaniem LAFC i LPFC. Wyznaczanie rodzajów ogniw transmitancji układu i stabilności parametrów brzegowych. Obliczanie charakterystyk statystycznych i logarytmicznych systemu.

Obecność nieliniowości w układach sterowania prowadzi do opisu takiego układu nieliniowymi równaniami różniczkowymi, często wystarczająco wysokich rzędów. Jak wiadomo, większości grup równań nieliniowych nie da się rozwiązać w postaci ogólnej, a można mówić tylko o konkretnych przypadkach rozwiązania, dlatego w badaniu układów nieliniowych ważną rolę odgrywają różne metody przybliżone.

Za pomocą przybliżonych metod badania układów nieliniowych z reguły niemożliwe jest uzyskanie wystarczająco pełnego obrazu wszystkich właściwości dynamicznych układu. Można je jednak wykorzystać do udzielenia odpowiedzi na szereg oddzielnych podstawowych pytań, takich jak kwestia stabilności, obecności samo-oscylacji, charakteru poszczególnych reżimów itp.

Obecnie istnieje wiele różnych metod analitycznych i grafowo-analitycznych do badania układów nieliniowych, w tym metody płaszczyzny fazowej, dopasowania, przekształcenia punktowe, linearyzacja harmoniczna, metoda bezpośrednia Lapunowa, metody częstotliwościowe do badania stabilności absolutnej Popowa, metody do badania układów nieliniowych na modelach elektronicznych i komputerach.

Krótki opis niektórych z wymienionych metod.

Metoda płaszczyzny fazowej jest dokładna, ale ma ograniczone zastosowanie, ponieważ praktycznie nie ma zastosowania do układów sterowania, których opis nie może być sprowadzony do sterowania drugiego rzędu.

Metoda linearyzacji harmonicznej odnosi się do metod przybliżonych, nie ma ograniczeń co do kolejności równań różniczkowych. Stosując tę ​​metodę zakłada się, że na wyjściu układu występują oscylacje harmoniczne, a liniowa część układu sterowania jest filtrem górnoprzepustowym. W przypadku słabego filtrowania sygnałów przez liniową część układu, stosując metodę linearyzacji harmonicznej, należy uwzględnić wyższe harmoniczne. Komplikuje to analizę stabilności i jakości procesów sterowania układami nieliniowymi.

Druga metoda Lapunowa pozwala na uzyskanie tylko wystarczających warunków stabilności. A jeśli na jego podstawie zostanie określona niestabilność układu sterowania, to w niektórych przypadkach, aby zweryfikować poprawność otrzymanego wyniku, konieczne jest zastąpienie funkcji Lapunowa inną i ponowne wykonanie analizy stabilności. Ponadto nie ma ogólnych metod wyznaczania funkcji Lapunowa, co utrudnia zastosowanie tej metody w praktyce.

Kryterium stabilności bezwzględnej pozwala na analizę stabilności układów nieliniowych za pomocą charakterystyk częstotliwościowych, co jest wielką zaletą tej metody, gdyż łączy aparat matematyczny układów liniowych i nieliniowych w jedną całość. Do wad tej metody należy zaliczyć komplikację obliczeń w analizie stabilności układów z niestabilną częścią liniową. Dlatego, aby uzyskać poprawny wynik dotyczący stabilności układów nieliniowych, należy użyć różnych metod. I tylko zbieżność różnych wyników pozwoli uniknąć błędnych ocen dotyczących stabilności lub niestabilności zaprojektowanego układu automatyki.

Rozdział7

Analiza systemów nieliniowych

System sterowania składa się z pojedynczych elementów funkcjonalnych, do opisu matematycznego, których wykorzystuje się typowe ogniwa elementarne (patrz rozdział 1.4). Wśród typowych ogniw elementarnych jest jedno ogniwo bezinercyjne (wzmacniające). Charakterystyka statyczna takiego łącza, łącząca wejście x i dzień wolny tak wielkość, liniowa: tak=Kx. Rzeczywiste elementy funkcjonalne układu sterowania mają nieliniową charakterystykę statyczną tak=F(x). Rodzaj nieliniowej zależności F(∙) można zmieniać:

Funkcje o zmiennym nachyleniu (funkcje z efektem „nasycenia”, funkcje trygonometryczne itp.);

Odcinkowe funkcje liniowe;

funkcje przekaźników.

Najczęściej należy brać pod uwagę nieliniowość charakterystyki statycznej elementu czujnikowego układu sterowania, tj. nieliniowość cechy dyskryminacyjnej. Zwykle dążą do zapewnienia pracy układu regulacji w liniowym odcinku charakterystyki dyskryminacyjnej (o ile pozwala na to forma funkcji) F(∙)) i użyj modelu liniowego tak=Kx. Czasem nie można tego zapewnić ze względu na duże wartości składowych dynamicznych i fluktuacyjnych błędu CS lub z powodu tzw. znacznej nieliniowości funkcji F(∙) nieodłącznie związane na przykład z funkcjami przekaźników. Następnie należy przeprowadzić analizę układu sterowania z uwzględnieniem ogniw, które posiadają nieliniową charakterystykę statyczną, tj. do analizy systemu nieliniowego.

7.1. Cechy systemów nieliniowych

Procesy w układach nieliniowych są znacznie bardziej zróżnicowane niż procesy w układach liniowych. Zwróćmy uwagę na niektóre cechy systemów nieliniowych i procesów w nich zachodzących.

1. Zasada superpozycji nie jest spełniona: odpowiedź układu nieliniowego nie jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne wpływy. Na przykład niezależne obliczenie składowych dynamicznych i fluktuacji błędu śledzenia, wykonywane dla systemów liniowych (patrz rozdział 3), jest niemożliwe dla systemów nieliniowych.

2. Właściwość przemienności nie ma zastosowania do schematu blokowego układu nieliniowego (połączenia liniowe i nieliniowe nie mogą być zamieniane).

3. W układach nieliniowych warunki stabilności i sama koncepcja zmiany stabilności. Zachowanie się układów nieliniowych, z punktu widzenia ich stabilności, zależy od uderzenia i warunków początkowych. Ponadto w układzie nieliniowym możliwy jest nowy rodzaj procesu stacjonarnego - samooscylacje o stałej amplitudzie i częstotliwości. Takie samooscylacje, w zależności od ich amplitudy i częstotliwości, nie mogą zakłócać działania nieliniowego układu sterowania. Dlatego systemy nieliniowe nie są już podzielone na dwie klasy (stabilną i niestabilną), jak systemy liniowe, ale są podzielone na więcej klas.

W przypadku systemów nieliniowych rosyjski matematyk A.M. Lapunow w 1892 r. wprowadził pojęcia stabilności „w małym” i „w dużym”: układ jest stabilny „w małym”, jeśli przy jakimś (wystarczająco małym) odchyleniu od punktu równowagi trwałej pozostaje w określonym (ograniczony) obszar ε, a układ jest stabilny „duży”, jeśli pozostaje w obszarze ε dla jakiegokolwiek odchylenia od punktu stabilnej równowagi. Zauważ, że obszar ε można ustawić dowolnie mały w pobliżu punktu stabilnej równowagi, dlatego podano w rozdz. 2, definicja stabilności układów liniowych pozostaje aktualna i jest równoznaczna z definicją stabilności asymptotycznej w sensie Lapunowa. Jednocześnie kryteria stateczności dla układów liniowych rozważane wcześniej dla rzeczywistych układów nieliniowych należy traktować jako kryteria stateczności „w małym”.

4. Procesy przejściowe zmieniają się jakościowo w układach nieliniowych. Na przykład w przypadku funkcji F(∙) przy zmiennej stromości w układzie nieliniowym I rzędu proces przejściowy jest opisany wykładniczo ze zmiennym parametrem T.

5. Ograniczona apertura charakterystyki dyskryminacyjnej układu nieliniowego jest przyczyną zakłócenia śledzenia (układ jest stabilny „na malutkim”). W takim przypadku konieczne jest wyszukanie sygnału i wprowadzenie systemu w tryb śledzenia (koncepcja miernika wyszukiwania i śledzenia została podana w rozdziale 1.1). W układach synchronizacyjnych z okresową charakterystyką dyskryminacji możliwe są skoki wartości wyjściowej.

Obecność rozważanych cech systemów nieliniowych prowadzi do konieczności zastosowania specjalnych metod do analizy takich systemów. Uwzględniane są:

Metoda polegająca na rozwiązaniu nieliniowego równania różniczkowego i pozwalająca w szczególności na wyznaczenie błędu w stanie ustalonym oraz wychwycenie i utrzymanie pasm nieliniowego układu PLL;

Metody linearyzacji harmonicznej i statystycznej, wygodne w analizie układów z elementem zasadniczo nieliniowym;

Metody analizy i optymalizacji układów nieliniowych na podstawie wyników teorii procesów Markowa.

7.2. Analiza regularnych procesów w nieliniowym systemie PLL