Ile asymptot może mieć wykres funkcji? Znajdź asymptoty wykresu funkcji Asymptoty wykresu
- Pojęcie asymptot
Jednym z ważnych etapów konstruowania wykresów funkcji jest poszukiwanie asymptot. Z asymptotami spotykaliśmy się nie raz: podczas wykreślania funkcji , y=tgx, y=ctgx. Zdefiniowaliśmy je jako linie, do których wykres funkcji „dąży”, ale nigdy się nie przecina. Pora podać dokładną definicję asymptot.
Istnieją trzy rodzaje asymptot: pionowe, poziome i ukośne. Na rysunku asymptoty są zwykle oznaczane liniami przerywanymi.
Rozważmy następujący sztucznie wykreślony wykres funkcji (ryc. 16.1), na przykładzie którego wszystkie typy asymptot są wyraźnie widoczne:
Podajemy definicję każdego typu asymptoty:
1. Bezpośredni x=a zwany pionowa asymptota funkcje, jeśli .
2. Bezpośredni y=s zwany asymptota pozioma funkcje, jeśli .
3. Bezpośredni y=kx+b zwany asymptota ukośna funkcje, jeśli .
Geometrycznie definicja asymptoty ukośnej oznacza, że gdy →∞ wykres funkcji zbliża się do linii prostej dowolnie bliskiej y=kx+b, tj. są praktycznie takie same. Różnica prawie identycznych wyrażeń dąży do zera.
Zauważ, że asymptoty poziome i ukośne są brane pod uwagę tylko pod warunkiem →∞. Czasami dzieli się je na asymptoty poziome i ukośne jako →+∞ i →-∞.
- Algorytm wyszukiwania asymptotycznego
Aby znaleźć asymptoty, można użyć następującego algorytmu:
Może istnieć jedna asymptota pionowa, kilka lub wcale.
- Jeśli c jest liczbą, to y=s jest asymptotą poziomą;
- Jeśli c jest nieskończonością, to nie ma asymptot poziomych.
Jeśli funkcja jest stosunkiem dwóch wielomianów, to jeśli funkcja ma asymptoty poziome, nie będziemy szukać asymptot skośnych – one nie istnieją.
Rozważ przykłady znajdowania asymptot funkcji:
Przykład 16.1. Znajdź asymptoty krzywej.
Rozwiązanie X-1≠0; X≠1.
Sprawdźmy, czy linia jest x= 1 asymptota pionowa. Aby to zrobić, obliczamy granicę funkcji w punkcie x= 1: .
x= 1 - asymptota pionowa.
Z= .
Z= = . Ponieważ Z=2 (liczba), zatem y=2 jest asymptotą poziomą.
Ponieważ funkcja jest stosunkiem wielomianów, w obecności asymptot poziomych stwierdzamy, że nie ma asymptot skośnych.
x= 1 i asymptota pozioma y=2. Dla jasności wykres tej funkcji pokazano na ryc. 16.2.
Przykład 16.2. Znajdź asymptoty krzywej.
Rozwiązanie. 1. Znajdź dziedzinę funkcji: X-2≠0; X≠2.
Sprawdźmy, czy linia jest x= 2 asymptoty pionowe. Aby to zrobić, obliczamy granicę funkcji w punkcie x= 2: .
Mamy to więc x= 2 - asymptota pionowa.
2. Aby wyszukać asymptoty poziome, znajdujemy: Z= .
Ponieważ granica jest niepewna, stosujemy regułę L'Hospitala: Z= = . Ponieważ Z jest nieskończoność, to nie ma asymptot poziomych.
3. Aby wyszukać ukośne asymptoty, znajdujemy:
Otrzymaliśmy niepewność postaci , korzystamy z reguły L'Hospitala: = =1. B według wzoru: .
b= = =
Zrozumiałeś b= 2. Wtedy y=kx+b – asymptota ukośna. W naszym przypadku wygląda to tak: y=x+2.
|
Pytania kontrolne:
Wykład 17
W tym wykładzie podsumujemy cały wcześniej przestudiowany materiał. Ostatecznym celem naszej długiej podróży jest możliwość zbadania dowolnej analitycznie danej funkcji i zbudowania jej wykresu. Ważnymi częściami naszych badań będzie badanie ekstremów funkcji, wyznaczanie przedziałów monotoniczności, wypukłości i wklęsłości wykresu, poszukiwanie punktów przegięcia, asymptoty wykresu funkcji.
Biorąc pod uwagę wszystkie powyższe aspekty, przedstawiamy schemat do badania funkcji i kreślenia .
1. Znajdź dziedzinę funkcji.
2. Zbadaj funkcję parzysto-nieparzystą:
jeśli , to funkcja jest parzysta (wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi jednostka organizacyjna);
jeśli , to funkcja jest nieparzysta (wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku);
W przeciwnym razie funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
3. Zbadaj okresowość funkcji (spośród funkcji, które badamy, tylko funkcje trygonometryczne mogą być okresowe).
4. Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych:
· Oh: Na=0 (równanie rozwiązujemy tylko wtedy, gdy możemy użyć znanych nam metod);
· jednostka organizacyjna: X=0.
5. Znajdź pierwszą pochodną funkcji i punkty krytyczne pierwszego rodzaju.
6. Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.
7. Znajdź drugą pochodną funkcji i punkty krytyczne drugiego rodzaju.
8. Znajdź przedziały wypukłość-wklęsłość wykresu funkcji i punktów przegięcia.
9. Znajdź asymptoty wykresu funkcji.
10. Sporządź wykres funkcji. Budując, rozważ przypadki możliwego położenia grafu w pobliżu asymptot :
11. W razie potrzeby wybierz punkty kontrolne, aby uzyskać dokładniejszą konstrukcję.
Rozważ schemat badania funkcji i wykreślenia jej wykresu na konkretnych przykładach:
Przykład 17.1. Wykreśl funkcję .
Rozwiązanie. 1. Ta funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej z wyjątkiem X=3, ponieważ w tym momencie mianownik dąży do zera.
2. Aby określić parzystość i nieparzystość funkcji, znajdujemy:
Widzimy to i dlatego funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
3. Funkcja jest nieokresowa.
4. Znajdź punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Aby znaleźć punkt przecięcia z osią Oh zaakceptować Na=0. Otrzymujemy równanie: . Tak więc punkt (0; 0) jest punktem przecięcia z osiami współrzędnych.
5. Znajdź pochodną funkcji zgodnie z regułą różniczkowania ułamka: = = = = .
Aby znaleźć punkty krytyczne, znajdujemy punkty, w których pochodna funkcji jest równa 0 lub nie istnieje.
Jeśli =0, zatem . Produkt wynosi wtedy 0, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi 0: lub .
X-3) 2 jest równe 0, tj. nie istnieje o godz X=3.
Zatem funkcja ma trzy punkty krytyczne pierwszego rodzaju: ; ; .
6. Na osi rzeczywistej zaznaczamy punkty krytyczne pierwszego rodzaju i zaznaczamy punkt przebitą kropką, ponieważ nie definiuje funkcji.
Ułóż znaki pochodnej = na każdym przedziale:
|
|
W przedziałach gdzie , pierwotna funkcja rośnie (w (-∞;0] ), gdzie - maleje (w ).
Kropka X=0 jest maksymalnym punktem funkcji. Aby znaleźć maksimum funkcji, znajdźmy wartość funkcji w punkcie 0: .
Kropka X=6 jest punktem minimalnym funkcji. Aby znaleźć minimum funkcji, znajdźmy wartość funkcji w punkcie 6: .
Wyniki badań można wpisać do tabeli. Liczba wierszy w tabeli jest stała i wynosi cztery, a liczba kolumn zależy od badanej funkcji. W komórkach pierwszego rzędu wpisujemy kolejno przedziały, na jakie punkty krytyczne dzielą dziedzinę definicji funkcji, łącznie z samymi punktami krytycznymi. W celu uniknięcia błędów przy konstruowaniu punktów, które nie należą do obszaru definicji, istnieje możliwość ich nieuwzględniania w tabeli.
Drugi wiersz tabeli zawiera znaki pochodnej na każdym z rozpatrywanych przedziałów oraz wartość pochodnej w punktach krytycznych. Zgodnie ze znakami pochodnej funkcji w trzecim wierszu zaznaczono przedziały wzrostu, spadku i ekstrema funkcji.
Ostatni wiersz służy do oznaczenia maksimum i minimum funkcji.
| X | (-∞;0) | (0;3) | (3;6) | (6;+ ∞) | |||
| + | - | - | + | ||||
| f(x) | |||||||
| wnioski | maks | min |
7. Znajdź drugą pochodną funkcji jako pochodną pierwszej pochodnej: = =
Wyjmij w liczniku X-3 poza nawiasami i wykonaj redukcję:
Przedstawiamy w liczniku podobne wyrazy: .
Znajdźmy punkty krytyczne drugiego rodzaju: punkty, w których druga pochodna funkcji jest równa zeru lub nie istnieje.
0 jeśli = 0. Ułamek ten nie może być równy zeru, dlatego nie ma punktów, w których druga pochodna funkcji jest równa zeru.
Nie istnieje, jeśli mianownik ( X-3) 3 to 0, tj. nie istnieje o godz X=3. :Oh , jednostka organizacyjna, początek, jednostki miary dla każdej osi.
Przed wykreśleniem funkcji należy:
narysuj asymptoty liniami przerywanymi;
zaznaczyć punkty przecięcia z osiami współrzędnych;
|
· Korzystając z uzyskanych danych o przedziałach wzrostu, spadku, wypukłości i wklęsłości, skonstruuj wykres funkcji. Gałęzie grafu powinny „dążyć” do asymptot, ale ich nie przecinać.
Sprawdź, czy wykres funkcji odpowiada badaniu: jeśli funkcja jest parzysta czy nieparzysta, to czy jest zachowana symetria; czy teoretycznie znalezione przedziały wzrostu i spadku, wypukłość i wklęsłość, punkty przegięcia.
11. Aby uzyskać bardziej precyzyjną konstrukcję, możesz wybrać wiele punktów kontrolnych. Na przykład znajdźmy wartości funkcji w punktach -2 i 7:
Dopasowujemy wykres uwzględniając punkty kontrolne.
Pytania kontrolne:
- Jaki jest algorytm wykreślania wykresu funkcji?
- Czy funkcja może mieć ekstremum w punktach, które nie należą do dziedziny definicji?
ROZDZIAŁ 3. 3. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI
- (z greckiego część ujemna, a symptomy pokrywają się razem). Linia prosta stale zbliżająca się do krzywej i spotykająca ją dopiero w nieskończoności. Słownik słów obcych zawartych w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910. ASYMPTOE z ... ... Słownik obcych słów języka rosyjskiego
ASYMPTOTA- (z greckich asymptot nie pokrywa się), linia prosta, do której nieskończona gałąź krzywej zbliża się w nieskończoność, na przykład asymptota hiperboli ... Współczesna encyklopedia
ASYMPTOTA- (od greckich asymptot niedopasowanych) krzywa o nieskończonej gałęzi to linia prosta, do której ta gałąź zbliża się w nieskończoność, na przykład asymptota hiperboli ... Wielki słownik encyklopedyczny
asymptota- Linia prosta, do której stopniowo zbliża się krzywa. asymptota Linia prosta, do której zbliża się (nigdy jej nie osiąga) krzywa mająca nieskończoną gałąź jakiejś funkcji, gdy jej argument rośnie w nieskończoność lub... Podręcznik tłumacza technicznego
Asymptota- (z greckiego asymptotos niedopasowane), linia prosta, do której nieskończona gałąź krzywej zbliża się w nieskończoność, na przykład asymptota hiperboli. … Ilustrowany słownik encyklopedyczny
ASYMPTOTA- kobieta, geom. linia prosta, zawsze zbliżająca się do krzywej (hiperboli), ale nigdy z nią nie zbiegająca się. Przykład wyjaśniający to: jeśli jakakolwiek liczba zostanie podzielona na pół, to zmniejszy się do nieskończoności, ale nigdy nie osiągnie zera. ... ... Słownik wyjaśniający Dahla
asymptota- rzeczownik, liczba synonimów: 1 linia (182) Słownik synonimów ASIS. V.N. Triszin. 2013... Słownik synonimów
Asymptota- (od greckich słów: a, sun, piptw) niedopasowane. Przez asymptotę rozumie się taką linię, która ciągnąc się w nieskończoność zbliża się do danej linii krzywej lub jakiejś jej części, tak że odległość między liniami wspólnymi staje się mniejsza ... ...
Asymptota Powierzchnia to linia prosta, która przecina powierzchnię co najmniej w dwóch punktach w nieskończoności... Encyklopedia Brockhausa i Efrona
ASYMPTOTA- (asymptota) Wartość, do której dąży ta funkcja, gdy zmienia się argument (argument), ale nie osiąga go przy żadnej końcowej wartości argumentu. Na przykład, jeśli całkowity koszt produkcji x jest określony funkcją TC=a+bx, gdzie aib są stałymi... Słownik ekonomiczny
Asymptota- linia prosta, która dąży (nigdy jej nie osiągając), mająca nieskończoną gałąź krzywej jakiejś funkcji, gdy jej argument rośnie lub maleje w nieskończoność. Na przykład w funkcji: y = c + 1/x wartość y zbliża się do ... ... Słownik ekonomiczny i matematyczny
Ile asymptot może mieć wykres funkcji?
Żaden, jeden, dwa, trzy... lub nieskończona liczba. Nie posuniemy się daleko w przykładach, przypomnimy funkcje elementarne. Parabola, parabola sześcienna, sinusoida nie mają w ogóle asymptot. Wykres wykładniczej funkcji logarytmicznej ma jedną asymptotę. Arcus tangens, arcus cotangens ma ich dwa, a tangens, cotangens ma nieskończoną liczbę. Nierzadko zdarza się, że graf ma zarówno asymptoty poziome, jak i pionowe. Hiperbola, zawsze będzie cię kochać.
Co to znaczy znaleźć asymptoty wykresu funkcji?
Oznacza to znalezienie ich równań i narysowanie linii prostych, jeśli wymaga tego stan problemu. Proces polega na znalezieniu granic funkcji.
Asymptoty pionowe wykresu funkcji
Pionowa asymptota wykresu z reguły znajduje się w punkcie nieskończonej nieciągłości funkcji. To proste: jeśli w pewnym punkcie funkcja ulega nieskończonemu złamaniu, to prosta wyznaczona przez równanie jest pionową asymptotą wykresu.
Uwaga: Należy pamiętać, że notacja jest używana w odniesieniu do dwóch zupełnie różnych pojęć. Punkt jest implikowany lub równanie linii prostej - zależy od kontekstu.
Zatem, aby stwierdzić obecność asymptoty pionowej w punkcie, wystarczy pokazać, że co najmniej jedna z granic jednostronnych jest nieskończona. Najczęściej jest to punkt, w którym mianownik funkcji jest równy zeru. W rzeczywistości znaleźliśmy już pionowe asymptoty w ostatnich przykładach lekcji o ciągłości funkcji. Ale w wielu przypadkach istnieje tylko jedna jednostronna granica, a jeśli jest nieskończona, to znowu - kochaj i faworyzuj asymptotę pionową. Najprostsza ilustracja: i oś y.
Z powyższego wynika również oczywisty fakt: jeśli funkcja jest ciągła, to nie ma asymptot pionowych. Z jakiegoś powodu przyszła mi do głowy parabola. Rzeczywiście, gdzie można tu „przykleić” linię prostą? ... tak ... rozumiem ... wyznawcy wujka Freuda skulili się w histerii =)
Stwierdzenie odwrotne na ogół nie jest prawdziwe: na przykład funkcja nie jest zdefiniowana na całej linii rzeczywistej, ale jest całkowicie pozbawiona asymptot.
Ukośne asymptoty wykresu funkcji
Nachylone (w szczególnym przypadku - poziome) asymptoty można narysować, jeśli argument funkcji dąży do „plus nieskończoność” lub „minus nieskończoność”. Dlatego wykres funkcji nie może mieć więcej niż 2 asymptoty ukośne. Na przykład wykres funkcji wykładniczej ma jedną asymptotę poziomą w, a wykres arcus tangens w ma dwie takie asymptoty i różne.
Kiedy wykres tu i tam zbliża się do jedynej ukośnej asymptoty, wówczas zwyczajowo łączy się „nieskończoności” pod jednym wpisem. Na przykład ... dobrze zgadłeś: .
Asymptoty wykresu funkcji
Duch asymptoty błąkał się po serwisie przez długi czas, by w końcu zmaterializować się w jednym artykule i zachwycić zdziwionych czytelników pełne badanie funkcji. Znalezienie asymptot wykresu jest jedną z nielicznych części określonego zadania, która jest omawiana w kursie szkolnym tylko w porządku ogólnym, ponieważ wydarzenia obracają się wokół obliczeń granice funkcji, ale nadal należą do matematyki wyższej. Goście, którzy są słabo zorientowani w analizie matematycznej, myślę, że podpowiedź jest zrozumiała ;-) ... stop-stop, dokąd idziesz? granice- To jest łatwe!
Przykłady asymptot spotkały się natychmiast na pierwszej lekcji o wykresy funkcji elementarnych, a teraz temat jest szczegółowo analizowany.
Czym więc jest asymptota?
Wyobrażać sobie punkt zmienny, który „podróżuje” wzdłuż wykresu funkcji. Asymptota jest prosty, do czego nieograniczone zamknięcie wykres funkcji zbliża się, gdy jej punkt zmienny dąży do nieskończoności.
Notatka : definicja jest znacząca, jeśli potrzebujesz sformułowania w notacji analizy matematycznej, zapoznaj się z podręcznikiem.
Na płaszczyźnie asymptoty są klasyfikowane zgodnie z ich naturalnym rozmieszczeniem:
1) Asymptoty pionowe, które są dane równaniem postaci , gdzie „alfa” jest liczbą rzeczywistą. Popularny przedstawiciel definiuje samą oś y,
z atakiem łagodnych mdłości przypominamy sobie hiperbolę.
2) Asymptoty skośne pisany tradycyjnie równanie linii prostej ze współczynnikiem nachylenia. Czasami szczególny przypadek jest wyodrębniany jako oddzielna grupa - asymptoty poziome. Na przykład ta sama hiperbola z asymptotą .
Szybko do dzieła, przejdźmy do tematu krótką automatyczną serią:
Ile asymptot może mieć wykres funkcji?
Żaden, jeden, dwa, trzy... lub nieskończona liczba. Nie posuniemy się daleko po przykłady, będziemy pamiętać funkcje elementarne. Parabola, parabola sześcienna, sinusoida nie mają w ogóle asymptot. Wykres wykładniczej funkcji logarytmicznej ma jedną asymptotę. Arcus tangens, arcus cotangens ma ich dwa, a tangens, cotangens ma nieskończoną liczbę. Nierzadko zdarza się, że graf ma zarówno asymptoty poziome, jak i pionowe. Hiperbola, zawsze będzie cię kochać.
Co znaczy ?
Asymptoty pionowe wykresu funkcji
Pionowa asymptota wykresu jest zwykle w punkcie nieskończoności Funkcje. To proste: jeśli w pewnym punkcie funkcja ulega nieskończonemu złamaniu, to prosta wyznaczona przez równanie jest pionową asymptotą wykresu.
Notatka : zauważ, że notacja jest używana w odniesieniu do dwóch zupełnie różnych pojęć. Punkt jest implikowany lub równanie linii prostej - zależy od kontekstu.
Zatem, aby stwierdzić obecność asymptoty pionowej w punkcie, wystarczy to wykazać przynajmniej jeden z jednostronnych granic 
nieskończony. Najczęściej jest to punkt, w którym mianownik funkcji jest równy zeru. W rzeczywistości znaleźliśmy już pionowe asymptoty w ostatnich przykładach lekcji. na ciągłość funkcji. Ale w niektórych przypadkach jest tylko jedna jednostronna granica, a jeśli jest nieskończona, to znowu - kochaj i faworyzuj asymptotę pionową. Najprostsza ilustracja: a oś y (patrz. Wykresy i własności funkcji elementarnych).
Z powyższego wynika również oczywisty fakt: jeśli funkcja jest włączona w sposób ciągły, to nie ma asymptot pionowych. Z jakiegoś powodu przyszła mi do głowy parabola. Rzeczywiście, gdzie można tu „przykleić” linię prostą? ... tak ... rozumiem ... wyznawcy wujka Freuda skulili się w histerii =)
Stwierdzenie odwrotne na ogół nie jest prawdziwe: na przykład funkcja nie jest zdefiniowana na całej linii rzeczywistej, ale jest całkowicie pozbawiona asymptot.
Ukośne asymptoty wykresu funkcji
Asymptoty ukośne (w szczególnym przypadku - poziome) można narysować, jeśli argument funkcji dąży do „plus nieskończoność” lub „minus nieskończoność”. Dlatego wykres funkcji nie może mieć więcej niż dwie asymptoty ukośne. Na przykład wykres funkcji wykładniczej ma jedną asymptotę poziomą w punkcie , a wykres łuku stycznego w punkcie ma dwie takie asymptoty i różne.
Kiedy wykres tu i tam zbliża się do jedynej ukośnej asymptoty, wówczas zwyczajowo łączy się „nieskończoności” pod jednym wpisem. Na przykład ... dobrze zgadłeś: .
Ogólna zasada:
Jeśli są dwa finał limit 
, to linia prosta jest ukośną asymptotą wykresu funkcji w . Jeśli przynajmniej jeden z powyższych granic jest nieskończona, to nie ma asymptoty ukośnej.
Notatka : formuły zachowują ważność, jeśli „x” dąży tylko do „plus nieskończoności” lub tylko do „minus nieskończoności”.
Pokażmy, że parabola nie ma asymptot ukośnych: 
Granica jest nieskończona, więc nie ma asymptoty ukośnej. Zauważ, że przy znajdowaniu granicy 
nie są już potrzebne, ponieważ odpowiedź została już otrzymana.
Notatka
: jeśli masz (lub będziesz mieć) trudności ze zrozumieniem znaków plus-minus, minus-plus, skorzystaj z pomocy na początku lekcji
o funkcjach nieskończenie małych, gdzie powiedziałem, jak poprawnie interpretować te znaki.
Jest oczywiste, że każda funkcja kwadratowa, sześcienna, wielomian czwartego i wyższych stopni również nie ma asymptot ukośnych.
A teraz upewnijmy się, że na wykresie również nie ma asymptoty ukośnej. Aby odkryć niepewność, używamy reguła de l'Hospitala:
, co należało zweryfikować.
Kiedy jednak funkcja rośnie w nieskończoność, nie ma takiej prostej, do której zbliżałby się jej wykres nieskończenie blisko.
Przejdźmy do praktycznej części lekcji:
Jak znaleźć asymptoty wykresu funkcji?
W ten sposób formułowane jest typowe zadanie, które polega na znalezieniu WSZYSTKICH asymptot grafu (pionowej, ukośnej / poziomej). Chociaż, żeby być bardziej precyzyjnym w sformułowaniu pytania, mówimy o badaniu na obecność asymptot (w końcu może ich nie być wcale). Zacznijmy od czegoś prostego:
Przykład 1
Znajdź asymptoty wykresu funkcji
Rozwiązanie Wygodnie jest podzielić to na dwa punkty:
1) Najpierw sprawdzamy, czy istnieją asymptoty pionowe. Mianownik znika w , i od razu widać, że w tym momencie funkcja cierpi niekończąca się przepaść, a prosta dana równaniem jest pionową asymptotą wykresu funkcji . Ale przed wyciągnięciem takiego wniosku konieczne jest znalezienie jednostronnych granic: 
Przypominam o technice obliczeniowej, o której również mówiłem w artykule Ciągłość funkcji. punkty przerwania. W wyrażeniu pod znakiem limitu zamiast „x” podstawiamy . W liczniku nie ma nic ciekawego:
.
Ale w mianowniku okazuje się nieskończenie mała liczba ujemna:
, decyduje o losie granicy.
Granica po lewej stronie jest nieskończona iw zasadzie można już wydać werdykt o obecności asymptoty pionowej. Ale jednostronne granice są potrzebne nie tylko do tego - POMAGAJĄ ZROZUMIEĆ, JAK znajdź wykres funkcji i wykreśl go PRAWIDŁOWO. Dlatego musimy również obliczyć prawą granicę: 
Wniosek: granice jednostronne są nieskończone, co oznacza, że prosta jest pionową asymptotą wykresu funkcji w punkcie .
Pierwsza granica skończone, co oznacza, że należy „kontynuować rozmowę” i znaleźć drugą granicę:
Druga granica też skończone.
Zatem nasza asymptota to:
Wniosek: prosta dana przez równanie jest poziomą asymptotą wykresu funkcji w .
Znaleźć asymptotę poziomą
Możesz skorzystać z uproszczonej formuły:
Jeśli istnieje skończone limit , to linia jest poziomą asymptotą wykresu funkcji w .
Łatwo zauważyć, że licznik i mianownik funkcji jeden rząd wzrostu, co oznacza, że pożądana granica będzie skończona: 
Odpowiedź:
Zgodnie z warunkiem nie jest konieczne dokończenie rysunku, ale jeśli jest w pełnym rozkwicie badania funkcji, następnie na szkicu od razu wykonujemy szkic: 
Na podstawie znalezionych trzech granic spróbuj samodzielnie ustalić, w jaki sposób można zlokalizować wykres funkcji. Dość trudne? Znajdź 5-6-7-8 punktów i zaznacz je na rysunku. Jednak wykres tej funkcji jest konstruowany za pomocą przekształcenia wykresu funkcji elementarnej, a czytelnicy, którzy dokładnie przeanalizowali przykład 21 z tego artykułu, z łatwością odgadną, o jaki rodzaj krzywej chodzi.
Przykład 2
Znajdź asymptoty wykresu funkcji
To jest przykład zrób to sam. Przypominam, że proces jest wygodnie podzielony na dwa punkty - asymptoty pionowe i asymptoty ukośne. W przykładowym rozwiązaniu asymptota pozioma jest znajdowana za pomocą uproszczonego schematu.
W praktyce najczęściej spotykane są funkcje ułamkowo-wymierne, a po treningu na hiperbolach skomplikujemy zadanie:
Przykład 3
Znajdź asymptoty wykresu funkcji 
Rozwiązanie: Raz, dwa i gotowe:
1) Znaleziono asymptoty pionowe w punktach nieskończonej nieciągłości, więc musisz sprawdzić, czy mianownik dąży do zera. Zdecydujemy równanie kwadratowe:
Wyróżnik jest dodatni, więc równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, a praca jest znacznie dodana =) 
Aby dalej znaleźć granice jednostronne, wygodnie jest rozłożyć trójmian kwadratowy na czynniki:
(dla zapisu zwartego w pierwszym nawiasie wprowadzono „minus”). W przypadku siatki bezpieczeństwa wykonamy kontrolę, mentalnie lub na przeciągu, otwierając nawiasy.
Przepiszmy funkcję w formularzu 
Znajdź jednostronne granice w punkcie: 
A w punkcie: 
Zatem linie proste są pionowymi asymptotami wykresu rozważanej funkcji.
2) Jeśli spojrzysz na funkcję 
, to jest całkiem oczywiste, że granica będzie skończona i mamy asymptotę poziomą. Pokażmy to w skrócie: 
Zatem linia prosta (odcięta) jest poziomą asymptotą wykresu tej funkcji.
Odpowiedź:
Znalezione granice i asymptoty dają wiele informacji o wykresie funkcji. Spróbuj wyobrazić sobie w myślach rysunek, biorąc pod uwagę następujące fakty: 
Naszkicuj swoją wersję wykresu na szkicu.
Oczywiście znalezione limity nie określają jednoznacznie typu wykresu i można popełnić błąd, ale samo ćwiczenie będzie nieocenioną pomocą podczas pełne badanie funkcji. Właściwy obrazek znajduje się na końcu lekcji.
Przykład 4
Znajdź asymptoty wykresu funkcji
Przykład 5
Znajdź asymptoty wykresu funkcji 
Są to zadania do samodzielnej decyzji. Oba wykresy ponownie mają poziome asymptoty, które są natychmiast wykrywane przez następujące cechy: w przykładzie 4 kolejność wzrostu mianownik więcej niż kolejność wzrostu licznika, aw Przykładzie 5 licznika i mianownika jeden rząd wzrostu. W rozwiązaniu próbnym pierwsza funkcja jest badana pod kątem obecności asymptot skośnych w sposób pełny, a druga - przez granicę.
Asymptoty poziome, w moim subiektywnym odczuciu, są zauważalnie częstsze niż te, które są „prawdziwie pochylone”. Długo oczekiwany przypadek ogólny:
Przykład 6
Znajdź asymptoty wykresu funkcji 
Rozwiązanie:klasyka gatunku:
1) Ponieważ mianownik jest dodatni, funkcja ciągły na całej osi liczbowej i nie ma asymptot pionowych. …Czy to jest dobre? Niewłaściwe słowo - super! Pozycja nr 1 jest zamknięta.
2) Sprawdź obecność asymptot skośnych:
Pierwsza granica skończone, więc przejdźmy dalej. Podczas obliczania drugiego limitu do wyeliminowania niepewność „nieskończoność minus nieskończoność” sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika: 
Druga granica też skończone, zatem wykres rozważanej funkcji ma asymptotę ukośną:
Wniosek:
Zatem dla wykresu funkcji 
nieskończenie blisko zbliża się do linii prostej: 
Zauważ, że przecina ona swoją ukośną asymptotę w początku układu współrzędnych, a takie punkty przecięcia są całkiem do przyjęcia - ważne, że "wszystko jest normalne" w nieskończoności (właściwie mówimy o asymptotach dokładnie tam).
Przykład 7
Znajdź asymptoty wykresu funkcji
Rozwiązanie: nie ma co komentować, więc sporządzę przybliżoną próbkę ostatecznego rozwiązania:
1) Asymptoty pionowe. Zbadajmy punkt. 
Linia prosta jest pionową asymptotą dla wykresu w .
2) Asymptoty skośne: 
Linia prosta jest ukośną asymptotą dla wykresu w .
Odpowiedź: 
Znalezione granice jednostronne i asymptoty pozwalają z dużą pewnością założyć, jak wygląda wykres tej funkcji. Popraw rysunek na koniec lekcji.
Przykład 8
Znajdź asymptoty wykresu funkcji
To jest przykład niezależnego rozwiązania, dla wygody obliczania niektórych granic można podzielić licznik przez mianownik termin po terminie. I znowu, analizując wyniki, spróbuj narysować wykres tej funkcji.
Oczywiście właścicielami „rzeczywistych” asymptot ukośnych są wykresy tych funkcji ułamkowo-wymiernych, dla których najwyższy stopień licznika jeszcze jeden najwyższy stopień mianownika. Jeśli więcej, nie będzie asymptoty ukośnej (na przykład ).
Ale w życiu zdarzają się inne cuda:
Przykład 9
Przykład 11
Zbadaj wykres funkcji pod kątem asymptot
Rozwiązanie: to oczywiste 
, dlatego rozważamy tylko prawą półpłaszczyznę, na której znajduje się wykres funkcji.
Zatem linia prosta (oś y) jest pionową asymptotą wykresu funkcji w punkcie .
2) Badanie ukośnej asymptoty można przeprowadzić zgodnie z pełnym schematem, ale w artykule Regulamin L'Hospitala stwierdziliśmy, że funkcja liniowa o wyższym rzędzie wzrostu niż logarytmiczna, zatem: 
(patrz przykład 1 z tej samej lekcji).
Wniosek: oś odciętych jest poziomą asymptotą wykresu funkcji w punkcie .
Odpowiedź:
, Jeśli ;
, Jeśli .
Rysunek dla jasności: 
Co ciekawe, pozornie podobna funkcja nie ma w ogóle asymptot (chętni mogą to sprawdzić).
Dwa końcowe przykłady samodzielnej nauki:
Przykład 12
Zbadaj wykres funkcji pod kątem asymptot 
W ten sposób formułowane jest typowe zadanie, które polega na znalezieniu WSZYSTKICH asymptot grafu (pionowej, ukośnej / poziomej). Chociaż, żeby być bardziej precyzyjnym w sformułowaniu pytania, mówimy o badaniu na obecność asymptot (w końcu może ich nie być wcale).
Zacznijmy od czegoś prostego:
Przykład 1
Rozwiązanie Wygodnie jest podzielić to na dwa punkty:
1) Najpierw sprawdzamy, czy istnieją asymptoty pionowe. Mianownik znika w , i od razu widać, że w tym momencie funkcja cierpi niekończąca się przepaść, a prosta dana równaniem jest pionową asymptotą wykresu funkcji . Ale przed wyciągnięciem takiego wniosku konieczne jest znalezienie jednostronnych granic: 
Przypominam o technice obliczeniowej, o której również mówiłem w artykule ciągłość funkcji. punkty przerwania. W wyrażeniu pod znakiem limitu zamiast „x” podstawiamy . W liczniku nie ma nic ciekawego:
.
Ale w mianowniku okazuje się nieskończenie mała liczba ujemna:
, decyduje o losie granicy.
Granica po lewej stronie jest nieskończona iw zasadzie można już wydać werdykt o obecności asymptoty pionowej. Ale jednostronne ograniczenia są potrzebne nie tylko do tego - POMAGAJĄ ZROZUMIEĆ JAK znajdź wykres funkcji i wykreśl go PRAWIDŁOWO. Dlatego musimy również obliczyć prawą granicę: 
Wniosek: granice jednostronne są nieskończone, co oznacza, że prosta jest pionową asymptotą wykresu funkcji w punkcie .
Pierwsza granica skończone, co oznacza, że należy „kontynuować rozmowę” i znaleźć drugą granicę:
Druga granica też skończone.
Zatem nasza asymptota to:
Wniosek: prosta dana przez równanie jest poziomą asymptotą wykresu funkcji w .
Znaleźć asymptotę poziomą Możesz skorzystać z uproszczonej formuły:
Jeśli istnieje skończona granica, to prosta jest poziomą asymptotą wykresu funkcji w punkcie .
Łatwo zauważyć, że licznik i mianownik funkcji jeden rząd wzrostu, co oznacza, że pożądana granica będzie skończona: 
Odpowiedź:
Zgodnie z warunkiem nie jest konieczne dokończenie rysunku, ale jeśli jest w pełnym rozkwicie badania funkcji, następnie na szkicu od razu wykonujemy szkic: 
Na podstawie znalezionych trzech granic spróbuj samodzielnie ustalić, w jaki sposób można zlokalizować wykres funkcji. Dość trudne? Znajdź 5-6-7-8 punktów i zaznacz je na rysunku. Jednak wykres tej funkcji jest konstruowany za pomocą przekształcenia wykresu funkcji elementarnej, a czytelnicy, którzy dokładnie przeanalizowali przykład 21 z tego artykułu, z łatwością odgadną, o jaki rodzaj krzywej chodzi.
Przykład 2
Znajdź asymptoty wykresu funkcji
To jest przykład zrób to sam. Przypominam, że proces jest wygodnie podzielony na dwa punkty - asymptoty pionowe i asymptoty ukośne. W przykładowym rozwiązaniu asymptota pozioma jest znajdowana za pomocą uproszczonego schematu.
W praktyce najczęściej spotykane są funkcje ułamkowo-wymierne, a po treningu na hiperbolach skomplikujemy zadanie:
Przykład 3
Znajdź asymptoty wykresu funkcji 
Rozwiązanie: Raz, dwa i gotowe:
1) Znaleziono asymptoty pionowe w punktach nieskończonej nieciągłości, więc musisz sprawdzić, czy mianownik dąży do zera. Zdecydujemy równanie kwadratowe :
Wyróżnik jest dodatni, więc równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, a praca jest znacznie dodana =) 
Aby dalej znaleźć granice jednostronne, wygodnie jest rozłożyć trójmian kwadratowy na czynniki:
(dla zapisu zwartego w pierwszym nawiasie wprowadzono „minus”). W przypadku siatki bezpieczeństwa wykonamy kontrolę, mentalnie lub na przeciągu, otwierając nawiasy.
Przepiszmy funkcję w formularzu 
Znajdź jednostronne granice w punkcie: 
A w punkcie: 
Zatem linie proste są pionowymi asymptotami wykresu rozważanej funkcji.
2) Jeśli spojrzysz na funkcję 
, to jest całkiem oczywiste, że granica będzie skończona i mamy asymptotę poziomą. Pokażmy to w skrócie: 
Zatem linia prosta (odcięta) jest poziomą asymptotą wykresu tej funkcji.
Odpowiedź:
Znalezione granice i asymptoty dają wiele informacji o wykresie funkcji. Spróbuj wyobrazić sobie w myślach rysunek, biorąc pod uwagę następujące fakty: 
Naszkicuj swoją wersję wykresu na szkicu.
Oczywiście znalezione limity nie określają jednoznacznie typu wykresu i można popełnić błąd, ale samo ćwiczenie będzie nieocenioną pomocą podczas pełne badanie funkcji. Właściwy obrazek znajduje się na końcu lekcji.
Przykład 4
Znajdź asymptoty wykresu funkcji
Przykład 5
Znajdź asymptoty wykresu funkcji 
Są to zadania do samodzielnej decyzji. Oba wykresy ponownie mają poziome asymptoty, które są natychmiast wykrywane przez następujące cechy: w przykładzie 4 kolejność wzrostu mianownik jest większy niż rząd wzrostu licznika, aw Przykładzie 5 licznik i mianownik jeden rząd wzrostu. W rozwiązaniu próbnym pierwsza funkcja jest badana pod kątem obecności asymptot skośnych w sposób pełny, a druga - przez granicę.
Asymptoty poziome, w moim subiektywnym odczuciu, są zauważalnie częstsze niż te, które są „prawdziwie pochylone”. Długo oczekiwany przypadek ogólny:
Przykład 6
Znajdź asymptoty wykresu funkcji 
Rozwiązanie:klasyka gatunku:
1) Ponieważ mianownik jest dodatni, funkcja ciągły na całej osi liczbowej i nie ma asymptot pionowych. …Czy to jest dobre? Niewłaściwe słowo - doskonałe! Pozycja nr 1 jest zamknięta.
2) Sprawdź obecność asymptot skośnych:
Pierwsza granica skończone, więc przejdźmy dalej. Podczas obliczania drugiego limitu do wyeliminowania niepewność „nieskończoność minus nieskończoność” sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika: 
Druga granica też skończone, zatem wykres rozważanej funkcji ma asymptotę ukośną:
Wniosek:
Zatem dla wykresu funkcji nieskończenie blisko zbliża się do linii prostej: 
Zauważ, że przecina ona swoją ukośną asymptotę w początku układu współrzędnych, a takie punkty przecięcia są całkiem do przyjęcia - ważne, że "wszystko jest normalne" w nieskończoności (właściwie to tam pojawia się dyskusja o asymptotach).
Przykład 7
Znajdź asymptoty wykresu funkcji
Rozwiązanie: nie ma co komentować, więc sporządzę przybliżoną próbkę ostatecznego rozwiązania:
1) Asymptoty pionowe. Zbadajmy punkt. 
Linia prosta jest pionową asymptotą dla wykresu w .
2) Asymptoty skośne: 
Linia prosta jest ukośną asymptotą dla wykresu w .
Odpowiedź: 
Znalezione granice jednostronne i asymptoty pozwalają z dużą pewnością założyć, jak wygląda wykres tej funkcji. Popraw rysunek na koniec lekcji.
Przykład 8
Znajdź asymptoty wykresu funkcji
To jest przykład niezależnego rozwiązania, dla wygody obliczania niektórych granic można podzielić licznik przez mianownik termin po terminie. I znowu, analizując wyniki, spróbuj narysować wykres tej funkcji.
Oczywiście właścicielami „rzeczywistych” asymptot ukośnych są wykresy tych funkcji ułamkowo-wymiernych, dla których najwyższy stopień licznika jeszcze jeden najwyższy stopień mianownika. Jeśli więcej, nie będzie asymptoty ukośnej (na przykład ).
Ale w życiu zdarzają się inne cuda:
Przykład 9
Rozwiązanie: funkcja ciągły na całej osi liczbowej, co oznacza, że nie ma asymptot pionowych. Ale równie dobrze mogą być zbocza. Sprawdzamy:
Pamiętam, jak na uniwersytecie natrafiłem na podobną funkcję i po prostu nie mogłem uwierzyć, że ma ona asymptotę ukośną. Dopóki nie obliczyłem drugiego limitu:
Ściśle mówiąc, są tu dwie niepewności: i , ale tak czy inaczej, musisz użyć metody rozwiązania, która jest omówiona w przykładach 5-6 artykułu o granicach zwiększonej złożoności. Pomnóż i podziel przez sprzężone wyrażenie, aby użyć wzoru:
Odpowiedź:
Być może najpopularniejsza asymptota ukośna.
Do tej pory nieskończoność udawało się „wyciąć tym samym pędzlem”, ale zdarza się, że wykres funkcji dwa różne asymptoty skośne dla i dla :
Przykład 10
Zbadaj wykres funkcji pod kątem asymptot 
Rozwiązanie: wyrażenie pierwiastkowe jest dodatnie, co oznacza domena- dowolna liczba rzeczywista i nie może być pionowych drążków.
Sprawdźmy, czy istnieją asymptoty ukośne.
Jeśli „x” dąży do „minus nieskończoności”, to:
(wprowadzając „x” pod pierwiastek kwadratowy należy dodać znak „minus”, aby nie zgubić ujemnego mianownika)
Wygląda to nietypowo, ale tutaj niepewność wynosi „nieskończoność minus nieskończoność”. Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone:
Zatem linia prosta jest ukośną asymptotą wykresu w punkcie .
Z „plus nieskończoność” wszystko jest bardziej trywialne: 
A prosta - o godz.
Odpowiedź:
Jeśli ;
, Jeśli .
Nie mogę się oprzeć graficznemu obrazowi: 
To jeden z oddziałów hiperbola .
Nierzadko zdarza się, że potencjalna obecność asymptot jest początkowo ograniczona zakres funkcji:
Przykład 11
Zbadaj wykres funkcji pod kątem asymptot
Rozwiązanie: to oczywiste 
, dlatego rozważamy tylko prawą półpłaszczyznę, na której znajduje się wykres funkcji.
1) Funkcja ciągły na przedziale , co oznacza, że jeśli istnieje asymptota pionowa, to może to być tylko oś y. Badamy zachowanie funkcji w pobliżu punktu po prawej:
Notatka, nie ma tu ŻADNEJ dwuznaczności(na takich przypadkach zwrócono uwagę na początku artykułu metody rozwiązań granicznych).
Zatem linia prosta (oś y) jest pionową asymptotą wykresu funkcji w punkcie .
2) Badanie ukośnej asymptoty można przeprowadzić zgodnie z pełnym schematem, ale w artykule Zasady Lopitala stwierdziliśmy, że funkcja liniowa o wyższym rzędzie wzrostu niż logarytmiczna, zatem: 
(patrz przykład 1 z tej samej lekcji).
Wniosek: oś odciętych jest poziomą asymptotą wykresu funkcji w punkcie .
Odpowiedź:
Jeśli ;
, Jeśli .
Rysunek dla jasności: 
Co ciekawe, pozornie podobna funkcja nie ma w ogóle asymptot (chętni mogą to sprawdzić).
Dwa końcowe przykłady samodzielnej nauki:
Przykład 12
Zbadaj wykres funkcji pod kątem asymptot 
Aby przetestować asymptoty pionowe, musimy najpierw znaleźć zakres funkcji, a następnie obliczyć parę jednostronnych granic w „podejrzanych” punktach. Ukośne asymptoty również nie są wykluczone, ponieważ funkcja jest zdefiniowana jako „plus” i „minus” nieskończoność.
Przykład 13
Zbadaj wykres funkcji pod kątem asymptot
I tutaj mogą być tylko asymptoty ukośne, a kierunki , należy rozpatrywać osobno.
Mam nadzieję, że znalazłeś właściwą asymptotę =)
Życzę Ci sukcesu!
Rozwiązania i odpowiedzi:
Przykład 2:Rozwiązanie
:
. Znajdźmy granice jednostronne:
Prosty jest pionową asymptotą wykresu funkcji w .
2) Ukośne asymptoty.
Prosty .
Odpowiedź:
Rysunek
do przykładu 3:
Przykład 4:Rozwiązanie
:
1) Asymptoty pionowe. Funkcja ma nieskończoną przerwę w punkcie . Obliczmy granice jednostronne:
Notatka: nieskończenie mała liczba ujemna do potęgi parzystej jest równa nieskończenie małej liczbie dodatniej: .
Prosty jest pionową asymptotą wykresu funkcji.
2) Ukośne asymptoty.
Prosty (odcięta) jest poziomą asymptotą wykresu funkcji w .
Odpowiedź:
