Wyznaczanie pędu ciała i pędu siły. Pojęcie pędu ciała. Prawo zachowania pędu. Pęd ciała poruszającego się po okręgu

Iloczyn masy ciała i jego prędkości nazywany jest pędem lub miarą ruchu ciała. Odnosi się do wielkości wektorowych. Jego kierunek jest współkierowany z wektorem prędkości ciała.

Rozważ drugie prawo mechaniki:

W przypadku przyspieszenia prawidłowy jest następujący stosunek:

,
Gdzie v0 i v to prędkości ciała na początku i na końcu pewnego przedziału czasu Δt.
Przepiszmy drugie prawo w następujący sposób:

Sumy wektorowe impulsów obu ciał przed i po zderzeniu są sobie równe.
Przydatną analogią do zrozumienia prawa zachowania pędu jest transakcja pieniężna między dwojgiem ludzi. Załóżmy, że przed transakcją dwie osoby miały określoną kwotę. Iwan miał 1000 rubli, a Piotr również 1000 rubli. Łączna kwota w ich kieszeniach wynosi 2000 rubli. Podczas transakcji Iwan płaci Piotrowi 500 rubli, pieniądze są przelewane. Piotr ma teraz w kieszeni 1500 rubli, a Iwan 500. Ale łączna kwota w ich kieszeniach się nie zmieniła i również wynosi 2000 rubli.
Otrzymane wyrażenie jest ważne dla dowolnej liczby ciał należących do izolowanego układu i jest matematycznym sformułowaniem prawa zachowania pędu.
Całkowity pęd N-tej liczby ciał tworzących izolowany układ nie zmienia się w czasie.
Kiedy układ ciał jest wystawiony na działanie nieskompensowanych sił zewnętrznych (układ nie jest domknięty), to całkowity pęd ciał tego układu zmienia się w czasie. Ale prawo zachowania pozostaje ważne dla sumy rzutów pędów tych ciał na dowolny kierunek prostopadły do ​​kierunku wypadkowej siły zewnętrznej.

ruch rakietowy

Ruch, który występuje, gdy część określonej masy jest oddzielona od ciała z określoną prędkością, nazywa się ruchem reaktywnym.
Przykładem napędu odrzutowego jest ruch rakiety znajdującej się w znacznej odległości od Słońca i planet. W tym przypadku rakieta nie podlega oddziaływaniu grawitacyjnemu i można ją uznać za układ izolowany.
Rakieta składa się z łuski i paliwa. Są oddziałującymi na siebie ciałami izolowanego systemu. W początkowej chwili prędkość rakiety wynosi zero. W tym momencie pęd układu, powłoki i paliwa są równe zeru. Jeśli włączysz silnik, paliwo rakietowe wypala się i zamienia w gaz o wysokiej temperaturze, który opuszcza silnik pod wysokim ciśnieniem i przy dużej prędkości.
Oznaczmy masę powstałego gazu mg. Zakładamy, że wylatuje z dyszy rakiety natychmiast z prędkością vg. Masę i prędkość pocisku oznaczamy odpowiednio mob i vob.
Prawo zachowania pędu daje prawo do zapisania stosunku:

Znak minus wskazuje, że prędkość pocisku jest skierowana w kierunku przeciwnym do wyrzucanego gazu.
Prędkość powłoki jest proporcjonalna do prędkości wyrzucania gazu i masy gazu. I jest odwrotnie proporcjonalna do masy skorupy.
Zasada napędu odrzutowego umożliwia obliczanie ruchu rakiet, samolotów i innych ciał w warunkach, gdy działają na nie grawitacja zewnętrzna lub opór atmosferyczny. Oczywiście w tym przypadku równanie daje przeszacowaną wartość prędkości pocisku vrev. W rzeczywistych warunkach gaz nie wypływa z rakiety od razu, co wpływa na końcową wartość vob.
Wzory operacyjne opisujące ruch ciała z silnikiem odrzutowym uzyskali rosyjscy naukowcy I.V. Meshchersky i K.E. Ciołkowski.

Podstawowe wielkości dynamiczne: siła, masa, pęd ciała, moment siły, moment impulsu.

Siła jest wielkością wektorową, która jest miarą działania innych ciał lub pól na dane ciało.

Siła charakteryzuje się:

moduł

Kierunek

Punkt aplikacji

W układzie SI siła jest mierzona w niutonach.

Aby zrozumieć, czym jest siła jednego niutona, musimy pamiętać, że siła przyłożona do ciała zmienia jego prędkość. Ponadto przypomnijmy sobie bezwładność ciał, która, jak pamiętamy, związana jest z ich masą. Więc,

Jeden niuton to taka siła, która zmienia prędkość ciała o masie 1 kg o 1 m / s na sekundę.

Przykładami sił są:

· Powaga- siła działająca na ciało w wyniku oddziaływania grawitacyjnego.

· Siła sprężystości to siła, z jaką ciało stawia opór zewnętrznemu obciążeniu. Jego przyczyną jest oddziaływanie elektromagnetyczne cząsteczek ciała.

· Siła Archimedesa- siła związana z faktem, że ciało wypiera pewną objętość cieczy lub gazu.

· Wsparcie siły reakcji- siła, z jaką podpora działa na znajdujące się na niej ciało.

· Siła tarcia jest siłą oporu wobec względnego ruchu stykających się powierzchni ciał.

· Siła napięcia powierzchniowego to siła występująca na styku dwóch ośrodków.

· Masy ciała- siła, z jaką ciało działa na poziomą podporę lub pionowe zawieszenie.

I inne moce.

Siłę mierzy się za pomocą specjalnego urządzenia. To urządzenie nazywa się dynamometrem (ryc. 1). Hamownia składa się ze sprężyny 1, której rozciągnięcie pokazuje nam siłę, strzałki 2 przesuwającej się po podziałce 3, ogranicznika 4, który zapobiega nadmiernemu rozciągnięciu sprężyny oraz haka 5, do którego zawieszony.

Ryż. 1. Dynamometr (źródło)

Na ciało może działać wiele sił. Aby poprawnie opisać ruch ciała, wygodnie jest posłużyć się pojęciem sił wypadkowych.

Wypadkowa sił to siła, której działanie zastępuje działanie wszystkich sił przyłożonych do ciała (rys. 2).

Znając zasady pracy z wielkościami wektorowymi, łatwo się domyślić, że wypadkowa wszystkich sił działających na ciało jest sumą wektorową tych sił.

Ryż. 2. Wypadkowa dwóch sił działających na ciało

Ponadto, ponieważ rozważamy ruch ciała w jakimś układzie współrzędnych, zwykle korzystne jest dla nas rozważenie nie samej siły, ale jej rzutu na oś. Rzut siły na oś może być ujemny lub dodatni, ponieważ rzut jest wielkością skalarną. Tak więc rysunek 3 pokazuje rzuty sił, rzut siły jest ujemny, a rzut siły jest dodatni.

Ryż. 3. Rzuty sił na oś

Dzięki tej lekcji pogłębiliśmy nasze zrozumienie pojęcia siły. Zapamiętaliśmy jednostki miary siły i urządzenie, za pomocą którego mierzy się siłę. Ponadto rozważyliśmy, jakie siły istnieją w przyrodzie. W końcu nauczyliśmy się, jak postępować, gdy na ciało działa kilka sił.

Waga, wielkość fizyczna, jedna z głównych cech materii, która określa jej właściwości inercyjne i grawitacyjne. W związku z tym rozróżnia się masę inercyjną i masę grawitacyjną (ciężką, grawitacyjną).

Pojęcie masy wprowadził do mechaniki I. Newton. W klasycznej mechanice Newtona masa jest zawarta w definicji pędu (pędu) ciała: pęd R proporcjonalna do prędkości ciała w, p=mv(1). Współczynnik proporcjonalności jest wartością stałą dla danego ciała M- i jest masa ciała. Równoważną definicję masy uzyskuje się z równania ruchu mechaniki klasycznej f = ma(2). Tutaj masa jest współczynnikiem proporcjonalności między siłą działającą na ciało F i spowodowane przez to przyspieszenie ciała A. Zdefiniowana zależnościami (1) i (2) Masa nazywana jest masą bezwładnościową lub masą bezwładnościową; charakteryzuje właściwości dynamiczne ciała, jest miarą bezwładności ciała: przy stałej sile im większa masa ciała, tym mniejsze uzyskuje ono przyspieszenie, tj. wolniej zmienia się stan jego ruchu (tzw. większa jego bezwładność).

Działając na różne ciała z tą samą siłą i mierząc ich przyspieszenia, możemy wyznaczyć stosunki mas tych ciał: m 1: m 2: m 3 ... = za 1: za 2: za 3 ...; jeśli jedna z mas zostanie przyjęta jako jednostka miary, można znaleźć masę pozostałych ciał.

W teorii grawitacji Newtona Masa występuje w innej postaci – jako źródło pola grawitacyjnego. Każde ciało wytwarza pole grawitacyjne proporcjonalne do masy ciała (i oddziałuje na nie pole grawitacyjne tworzone przez inne ciała, którego siła jest również proporcjonalna do masy ciał). To pole powoduje przyciąganie dowolnego innego ciała do tego ciała z siłą określoną przez prawo grawitacji Newtona:

(3)

Gdzie R- odległość między ciałami, G- uniwersalna stała grawitacyjna, a m 1 I m2- Masy ciał przyciągających. Ze wzoru (3) łatwo otrzymać wzór na waga R ciała o masie M w polu grawitacyjnym Ziemi: P = mg (4).

Tutaj g \u003d g * M / r 2 to przyspieszenie swobodnego spadku w polu grawitacyjnym Ziemi, oraz R » R- promień ziemi. Masę wyznaczoną zależnościami (3) i (4) nazywamy masą grawitacyjną ciała.

W zasadzie nie wynika znikąd, że masa tworząca pole grawitacyjne określa bezwładność tego samego ciała. Jednak doświadczenie wykazało, że masa bezwładnościowa i masa grawitacyjna są do siebie proporcjonalne (i przy zwykłym doborze jednostek miary są liczbowo równe). To fundamentalne prawo natury nazywa się zasadą równoważności. Jego odkrycie wiąże się z nazwiskiem G. Galileo, który ustalił, że wszystkie ciała na Ziemi spadają z takim samym przyspieszeniem. A. Einstein umieścił tę zasadę (po raz pierwszy sformułowaną przez niego) w podstawie ogólnej teorii względności. Zasada równoważności została ustalona eksperymentalnie z bardzo dużą dokładnością. Po raz pierwszy (1890-1906) dokładnego sprawdzenia równości mas bezwładnościowych i grawitacyjnych dokonał L. Eötvös, który stwierdził, że masy pokrywają się z błędem ~ 10 -8 . W latach 1959-64 amerykańscy fizycy R.Dicke, R.Krotkov i P.Roll zmniejszyli błąd do 10-11, aw 1971 radzieccy fizycy V.Braginsky i V.I.Panov zmniejszyli błąd do 10-12.

Zasada równoważności pozwala w najbardziej naturalny sposób określić masę ciała poprzez ważenie.

Początkowo masa była uważana (na przykład przez Newtona) za miarę ilości materii. Taka definicja ma jednoznaczny sens tylko przy porównywaniu jednorodnych ciał zbudowanych z tego samego materiału. Podkreśla addytywność Mszy – Msza ciała jest równa sumie Mszy jego części. Masa jednorodnego ciała jest proporcjonalna do jego objętości, więc możemy wprowadzić pojęcie gęstości - Masa na jednostkę objętości ciała.

W fizyce klasycznej wierzono, że masa ciała nie zmienia się w żadnych procesach. Odpowiadało to prawu zachowania masy (substancji), odkrytemu przez M.V. Łomonosowa i A.L. Lavoisiera. W szczególności prawo to stanowiło, że w każdej reakcji chemicznej suma mas składników początkowych jest równa sumie mas składników końcowych.

Pojęcie masy nabrało głębszego znaczenia w mechanice szczególnej teorii względności A. Einsteina, która uwzględnia ruch ciał (lub cząstek) z bardzo dużymi prędkościami - porównywalnymi z prędkością światła ~ 3 10 10 cm/s. W nowej mechanice – zwanej mechaniką relatywistyczną – zależność między pędem a prędkością cząstki wyraża się wzorem:

(5)

Przy niskich prędkościach ( w << C) relacja ta staje się relacją newtonowską p = mv. Dlatego wartość m0 nazywamy masą spoczynkową, a masą poruszającej się cząstki M definiuje się jako zależny od prędkości współczynnik proporcjonalności pomiędzy P I w:

(6)

Pamiętając zwłaszcza o tym wzorze, mówią, że masa cząstki (ciała) wzrasta wraz ze wzrostem jej prędkości. Taki relatywistyczny wzrost masy cząstki wraz ze wzrostem jej prędkości musi być brany pod uwagę przy projektowaniu wysokoenergetycznych akceleratorów cząstek naładowanych. masa spoczynkowa m0(Masa w układzie odniesienia związanym z cząstką) jest najważniejszą wewnętrzną cechą cząstki. Wszystkie cząstki elementarne mają ściśle określone wartości m0 charakterystyczne dla tego rodzaju cząstek.

Należy zauważyć, że w mechanice relatywistycznej definicja masy z równania ruchu (2) nie jest równoznaczna z definicją masy jako współczynnika proporcjonalności między pędem a prędkością cząstki, gdyż przyspieszenie przestaje być równolegle do siły, która ją spowodowała, a okazuje się, że masa zależy od kierunku prędkości cząstki.

Zgodnie z teorią względności masa cząstki M związany z jej energią mi stosunek:

(7)

Masa spoczynkowa określa energię wewnętrzną cząstki - tzw. energię spoczynkową mi 0 \u003d m 0 s 2. Tak więc energia jest zawsze kojarzona z Mszą (i vice versa). Nie ma więc osobno (jak w fizyce klasycznej) prawa zachowania masy i prawa zachowania energii - są one scalone w jedno prawo zachowania całkowitej (czyli obejmującej energię spoczynkową cząstek) energii. Przybliżony podział na zasadę zachowania energii i zasadę zachowania masy jest możliwy tylko w fizyce klasycznej, gdy prędkości cząstek są małe ( w << C) i procesy transformacji cząstek nie zachodzą.

W mechanice relatywistycznej masa nie jest cechą addytywną ciała. Kiedy dwie cząstki łączą się, tworząc jeden złożony stan stabilny, uwalniany jest nadmiar energii (równy energii wiązania) D mi, co odpowiada masie D m = D E/c 2. Dlatego masa cząstki złożonej jest mniejsza od sumy mas jej cząstek składowych o wartość D E/c 2(tzw. defekt masy). Efekt ten jest szczególnie wyraźny w reakcjach jądrowych. Na przykład masa deuteronu ( D) jest mniejsza niż suma mas protonów ( P) i neutron ( N); Masa wady D M związane z energią Np kwant gamma ( G), która rodzi się podczas formowania deuteronu: p + n -> re + g, mi g = Dmc 2. Defekt masy, który pojawia się podczas formowania się cząstki złożonej, odzwierciedla organiczny związek między masą a energią.

Jednostką masy w systemie jednostek CGS jest gram, i w Międzynarodowy układ jednostek układ SI- kilogram. Masa atomów i cząsteczek jest zwykle mierzona w atomowych jednostkach masy. Masę cząstek elementarnych zwykle wyraża się albo w jednostkach masy elektronu Ja lub w jednostkach energii, wskazujących energię spoczynkową odpowiedniej cząstki. Zatem masa elektronu wynosi 0,511 MeV, masa protonu wynosi 1836,1 Ja lub 938,2 MeV itp.

Natura masy jest jednym z najważniejszych nierozwiązanych problemów współczesnej fizyki. Powszechnie przyjmuje się, że o masie cząstki elementarnej decydują związane z nią pola (elektromagnetyczne, jądrowe i inne). Jednak ilościowa teoria masy nie została jeszcze stworzona. Nie ma też teorii wyjaśniającej, dlaczego masy cząstek elementarnych tworzą dyskretne widmo wartości, a tym bardziej pozwalające na wyznaczenie tego widma.

W astrofizyce masa ciała wytwarzająca pole grawitacyjne określa tzw. promień grawitacyjny ciała R gr \u003d 2GM / s 2. Dzięki przyciąganiu grawitacyjnemu żadne promieniowanie, w tym światło, nie może wydostać się na zewnątrz, poza powierzchnię ciała o promieniu R=< R гр . Gwiazdy tej wielkości byłyby niewidoczne; stąd nazwano je „czarnymi dziurami”. Takie ciała niebieskie muszą odgrywać ważną rolę we wszechświecie.

Impuls siły. pęd ciała

Pojęcie pędu zostało wprowadzone w pierwszej połowie XVII wieku przez Rene Descartesa, a następnie udoskonalone przez Izaaka Newtona. Według Newtona, który pęd nazywał pędem, jest on miarą taką, proporcjonalną do prędkości ciała i jego masy. Nowoczesna definicja: pęd ciała jest wielkością fizyczną równą iloczynowi masy ciała i jego prędkości:

Przede wszystkim z powyższego wzoru widać, że pęd jest wielkością wektorową i jego kierunek pokrywa się z kierunkiem prędkości ciała, jednostką pędu jest:

= [kg m/s]

Rozważmy, jak ta wielkość fizyczna jest związana z prawami ruchu. Napiszmy drugie prawo Newtona, biorąc pod uwagę, że przyspieszenie to zmiana prędkości w czasie:

Istnieje związek między siłą działającą na ciało, a dokładniej siłą wypadkową, a zmianą jego pędu. Wielkość iloczynu siły w pewnym okresie czasu nazywana jest impulsem siły. Z powyższego wzoru widać, że zmiana pędu ciała jest równa pędowi siły.

Jakie efekty można opisać za pomocą tego równania (rys. 1)?

Ryż. 1. Związek impulsu siły z pędem ciała (Źródło)

Strzała wystrzelona z łuku. Im dłuższy kontakt cięciwy ze strzałą (∆t), tym większa zmiana pędu strzały (∆ ), a co za tym idzie, większa jej prędkość końcowa.

Dwie zderzające się kule. Kiedy kule się stykają, działają na siebie z równymi siłami, jak uczy nas trzecie prawo Newtona. Oznacza to, że zmiany ich pędów również muszą być równe w wartości bezwzględnej, nawet jeśli masy kulek nie są równe.

Po przeanalizowaniu wzorów można wyciągnąć dwa ważne wnioski:

1. Te same siły działające w tym samym czasie powodują takie same zmiany pędu różnych ciał, niezależnie od masy tych ostatnich.

2. Tę samą zmianę pędu ciała można osiągnąć albo działając małą siłą przez długi czas, albo działając przez krótki czas dużą siłą na to samo ciało.

Zgodnie z drugim prawem Newtona możemy napisać:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Stosunek zmiany pędu ciała do okresu czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, jest równy sumie sił działających na to ciało.

Po przeanalizowaniu tego równania widzimy, że drugie prawo Newtona pozwala rozszerzyć klasę problemów do rozwiązania o problemy, w których masa ciał zmienia się w czasie.

Jeśli spróbujemy rozwiązać problemy ze zmienną masą ciał, używając zwykłego sformułowania drugiego prawa Newtona:

wtedy próba takiego rozwiązania doprowadziłaby do błędu.

Przykładem tego jest wspomniany już samolot odrzutowy czy rakieta kosmiczna, które podczas ruchu spalają paliwo, a produkty tego spalonego materiału wyrzucane są w otaczającą przestrzeń. Naturalnie masa samolotu lub rakiety maleje wraz ze zużyciem paliwa.

MOMENT MOCY- wielkość charakteryzująca efekt obrotowy siły; ma wymiar iloczynu długości i siły. Wyróżnić chwila mocy względem środka (punktu) i względem osi.

SM. względem centrum O zwany wielkość wektorowa M 0 , równy iloczynowi wektora promienia-wektora R prowadzone od O do punktu przyłożenia siły F , na siłę M 0 = [RF ] lub w innym zapisie M 0 = R F (Ryż.). Numerycznie M. s. jest równy iloczynowi modułu siły i ramienia H, tj. długość opadającej prostopadłej O do linii działania siły lub dwukrotnie większy obszar

trójkąt zbudowany na środku O i siła:

Skierowany wektor M 0 prostopadle do przechodzącej płaszczyzny O I F . Strona, do której zmierzasz M 0 , jest wybierany warunkowo ( M 0 - wektor osiowy). Przy odpowiednim układzie współrzędnych wektor M 0 jest skierowany w kierunku, z którego widoczny jest obrót wykonany przez siłę przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

SM. o obrotach osi Z. skalarny Mz, równy rzutowi na oś z wektor M. s. o jakimkolwiek ośrodku O podjęte na tej osi; wartość Mz można również zdefiniować jako rzut na płaszczyznę hu, prostopadle do osi z, obszar trójkąta OAB lub jako moment projekcji Fxy wytrzymałość F do samolotu hu, wzięte względem punktu przecięcia osi z z tą płaszczyzną. Do.,

W dwóch ostatnich wypowiedziach M. s. jest uważany za dodatni, gdy rotacja siły Fxy widoczny z plusa koniec osi z przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (w prawym układzie współrzędnych). SM. względem osi współrzędnych oksyz można również obliczyć analitycznie. bujda:

Gdzie fa x , fa y , fa z- projekcje siły F na osiach współrzędnych x, y, z- współrzędne punktu A zastosowanie siły. Wielkie ilości M x , M y , M z są równe rzutom wektora M 0 na osiach współrzędnych.

W życiu codziennym, aby scharakteryzować osobę, która popełnia akty spontaniczne, czasami używa się epitetu „impulsywny”. Jednocześnie niektórzy ludzie nawet nie pamiętają, a znaczna część nawet nie wie, z jaką wielkością fizyczną kojarzy się to słowo. Co kryje się pod pojęciem „pędu ciała” i jakie ma właściwości? Odpowiedzi na te pytania szukali tacy wielcy naukowcy jak Rene Descartes i Isaac Newton.

Jak każda nauka, fizyka operuje jasno sformułowanymi pojęciami. Obecnie dla wielkości zwanej pędem ciała przyjęto następującą definicję: jest to wielkość wektorowa, będąca miarą (wielkością) ruchu mechanicznego ciała.

Załóżmy, że zagadnienie rozpatrywane jest w ramach mechaniki klasycznej, tj. uznaje się, że ciało porusza się z prędkością zwyczajną, a nie relatywistyczną, co oznacza, że ​​jest co najmniej o rząd wielkości mniejsze od prędkości światła w próżni. Następnie moduł pędu ciała oblicza się ze wzoru 1 (patrz zdjęcie poniżej).

Zatem z definicji wielkość ta jest równa iloczynowi masy ciała i jego prędkości, z którą współkierowany jest jego wektor.

Jednostką pędu w układzie SI (międzynarodowy układ jednostek) jest 1 kg/m/s.

Skąd się wzięło określenie „impuls”?

Na kilka wieków przed pojawieniem się w fizyce pojęcia wielkości mechanicznego ruchu ciała wierzono, że przyczyną każdego ruchu w przestrzeni jest siła szczególna – pęd.

W XIV wieku Jean Buridan wprowadził poprawki do tej koncepcji. Zasugerował, że lecący głaz ma impet wprost proporcjonalny do jego prędkości, która byłaby taka sama, gdyby nie było oporu powietrza. Jednocześnie, zdaniem tego filozofa, ciała o większej masie miały zdolność „pomieszczenia” większej ilości tej siły napędowej.

Koncepcję, nazwaną później impulsem, rozwinął dalej Rene Descartes, określając ją słowami „ilość ruchu”. Nie wziął jednak pod uwagę, że prędkość ma kierunek. Dlatego przedstawiona przez niego teoria w niektórych przypadkach przeczyła doświadczeniu i nie znalazła uznania.

Fakt, że wielkość ruchu musi mieć również kierunek, jako pierwszy odgadł angielski naukowiec John Vallis. Stało się to w 1668 r. Jednak sformułowanie dobrze znanego prawa zachowania pędu zajęło mu kolejne kilka lat. Teoretyczny dowód tego faktu, ustalony empirycznie, dał Izaak Newton, który wykorzystał odkryte przez niego trzecie i drugie prawo mechaniki klasycznej, nazwane jego imieniem.

Pęd układu punktów materialnych

Rozważmy najpierw przypadek, gdy mówimy o prędkościach znacznie mniejszych od prędkości światła. Wówczas, zgodnie z prawami mechaniki klasycznej, całkowity pęd układu punktów materialnych jest wielkością wektorową. Jest równa sumie iloczynów ich mas przy prędkości (patrz wzór 2 na powyższym obrazku).

W tym przypadku pęd jednego punktu materialnego przyjmuje się jako wielkość wektorową (wzór 3), która jest współkierowana z prędkością cząstki.

Jeśli mówimy o ciele o skończonych rozmiarach, najpierw jest ono mentalnie podzielone na małe części. W ten sposób ponownie rozważa się system punktów materialnych, jednak jego pęd oblicza się nie przez zwykłe sumowanie, ale przez integrację (patrz wzór 4).

Jak widać, nie ma zależności czasowej, więc pęd układu, na który nie mają wpływu siły zewnętrzne (lub ich wpływ jest wzajemnie kompensowany) pozostaje niezmienny w czasie.

Dowód prawa zachowania

Kontynuujmy rozważanie ciała o skończonych rozmiarach jako systemu punktów materialnych. Dla każdego z nich Drugie Prawo Newtona formułuje się według wzoru 5.

Pamiętaj, że system jest zamknięty. Następnie, sumując wszystkie punkty i stosując trzecie prawo Newtona, otrzymujemy wyrażenie 6.

Zatem pęd układu zamkniętego jest stały.

Prawo zachowania obowiązuje również w tych przypadkach, gdy suma sił działających na układ z zewnątrz jest równa zeru. Wynika z tego jedno ważne, szczególne stwierdzenie. Stwierdza, że ​​pęd ciała jest stały, jeśli nie ma wpływu zewnętrznego lub wpływ kilku sił jest kompensowany. Na przykład, przy braku tarcia po uderzeniu kijem, krążek musi utrzymać swój pęd. Taka sytuacja będzie obserwowana nawet pomimo tego, że na to ciało działa siła grawitacji i reakcje podłoża (lód), bo chociaż są one równe w wartości bezwzględnej, to jednak skierowane są w przeciwnych kierunkach, tj. kompensują się nawzajem.

Nieruchomości

Pęd ciała lub punktu materialnego jest wielkością addytywną. Co to znaczy? Wszystko jest proste: pęd mechanicznego układu punktów materialnych jest sumą impulsów wszystkich punktów materialnych wchodzących w skład układu.

Drugą właściwością tej wielkości jest to, że pozostaje ona niezmieniona podczas interakcji, które zmieniają tylko właściwości mechaniczne układu.

Ponadto pęd jest niezmienny w odniesieniu do dowolnego obrotu układu odniesienia.

Przypadek relatywistyczny

Załóżmy, że mówimy o nieoddziałujących punktach materialnych mających prędkości rzędu 10 do potęgi 8 lub nieco mniejsze w układzie SI. Trójwymiarowy pęd oblicza się ze wzoru 7, gdzie c jest rozumiane jako prędkość światła w próżni.

W przypadku, gdy jest domknięty, obowiązuje zasada zachowania pędu. Jednocześnie trójwymiarowy pęd nie jest wielkością relatywistycznie niezmienniczą, ponieważ istnieje jego zależność od układu odniesienia. Jest też wersja 4D. Dla jednego punktu materialnego określa go wzór 8.

Pęd i energia

Ilości te, podobnie jak masa, są ze sobą ściśle powiązane. W praktycznych problemach zwykle stosuje się zależności (9) i (10).

Definicja za pomocą fal de Broglie'a

W 1924 roku wysunięto hipotezę, że nie tylko fotony, ale także wszelkie inne cząstki (protony, elektrony, atomy) mają dualizm falowo-cząsteczkowy. Jego autorem był francuski naukowiec Louis de Broglie. Jeśli przełożymy tę hipotezę na język matematyki, to można argumentować, że każda cząstka posiadająca energię i pęd jest związana z falą o częstotliwości i długości wyrażonych odpowiednio wzorami 11 i 12 (h jest stałą Plancka).

Z ostatniej zależności wynika, że ​​moduł impulsu i długość fali, oznaczone literą „lambda”, są do siebie odwrotnie proporcjonalne (13).

Jeśli weźmiemy pod uwagę cząstkę o stosunkowo małej energii, która porusza się z prędkością niewspółmierną do prędkości światła, to moduł pędu oblicza się w taki sam sposób, jak w mechanice klasycznej (patrz wzór 1). W związku z tym długość fali oblicza się zgodnie z wyrażeniem 14. Innymi słowy, jest ona odwrotnie proporcjonalna do iloczynu masy i prędkości cząstki, tj. jej pędu.

Teraz wiesz, że pęd ciała jest miarą ruchu mechanicznego i zapoznałeś się z jego właściwościami. Wśród nich, z praktycznego punktu widzenia, szczególnie ważne jest Prawo Ochrony. Nawet ludzie dalecy od fizyki obserwują to w życiu codziennym. Na przykład wszyscy wiedzą, że broń palna i artyleria odbijają się po wystrzale. Prawo zachowania pędu jest również wyraźnie zademonstrowane podczas gry w bilard. Można go wykorzystać do przewidywania kierunku ekspansji kulek po zderzeniu.

Prawo znalazło zastosowanie w obliczeniach niezbędnych do zbadania skutków ewentualnych eksplozji, w dziedzinie tworzenia pojazdów odrzutowych, w projektowaniu broni palnej iw wielu innych dziedzinach życia.

Tematy kodyfikatora USE: pęd ciała, pęd układu ciał, prawo zachowania pędu.

Puls ciało jest wielkością wektorową równą iloczynowi masy ciała i jego prędkości:

Nie ma specjalnych jednostek do pomiaru pędu. Wymiar pędu jest po prostu iloczynem wymiaru masy i wymiaru prędkości:

Dlaczego koncepcja pędu jest interesująca? Okazuje się, że można go użyć do nadania drugiemu prawu Newtona nieco innej, również niezwykle użytecznej postaci.

Drugie prawo Newtona w formie impulsowej

Niech będzie wypadkową sił przyłożonych do ciała o masie . Zaczynamy od zwykłego zapisu drugiego prawa Newtona:

Biorąc pod uwagę, że przyspieszenie ciała jest równe pochodnej wektora prędkości, drugie prawo Newtona jest przepisywane w następujący sposób:

Wprowadzamy stałą pod znakiem pochodnej:

Jak widać, pochodną pędu otrzymujemy po lewej stronie:

. ( 1 )

Relacja ( 1 ) jest nową postacią drugiego prawa Newtona.

Drugie prawo Newtona w formie impulsowej. Pochodna pędu ciała jest wypadkową sił działających na to ciało.

Możemy też powiedzieć tak: wypadkowa siła działająca na ciało jest równa szybkości zmiany pędu ciała.

Pochodną we wzorze ( 1 ) można zastąpić stosunkiem przyrostów końcowych:

. ( 2 )

W tym przypadku na ciało działa średnia siła w przedziale czasu. Im mniejsza wartość , tym bliższy związek z pochodną , a średnia siła jest bliższa jej chwilowej wartości w danym czasie.

W zadaniach z reguły przedział czasu jest dość mały. Może to być np. czas uderzenia piłki w ścianę, a następnie - średnia siła działająca na piłkę od strony ściany podczas uderzenia.

Nazywa się wektor po lewej stronie relacji ( 2 ). zmiana pędu podczas . Zmiana pędu jest różnicą między końcowym i początkowym wektorem pędu. Mianowicie, jeśli pęd ciała w pewnej początkowej chwili jest pędem ciała po pewnym czasie , to zmiana pędu jest różnicą:

Jeszcze raz podkreślamy, że zmiana pędu jest różnicą wektorów (rys. 1):

Niech np. piłka leci prostopadle do ściany (pęd przed uderzeniem wynosi ) i odbija się bez utraty prędkości (pęd po uderzeniu wynosi ). Pomimo faktu, że pęd modulo nie zmienił się (), nastąpiła zmiana pędu:

Geometrycznie ta sytuacja jest pokazana na ryc. 2:

Moduł zmiany pędu, jak widzimy, jest równy dwukrotności modułu początkowego pędu piłki: .

Przepiszmy formułę ( 2 ) w następujący sposób:

, ( 3 )

lub zapisując zmianę pędu jak powyżej:

Wartość nazywa się impuls siły. Nie ma specjalnej jednostki miary dla impulsu siły; wymiar impulsu siły jest po prostu iloczynem wymiarów siły i czasu:

(Zauważ, że okazuje się to kolejną możliwą jednostką miary pędu ciała).

Werbalne sformułowanie równości ( 3 ) brzmi następująco: zmiana pędu ciała jest równa pędowi siły działającej na to ciało w danym okresie czasu. Jest to oczywiście ponownie drugie prawo Newtona w formie impulsywnej.

Przykład obliczenia siły

Jako przykład zastosowania drugiego prawa Newtona w formie impulsowej rozważmy następujący problem.

Zadanie. Piłka o masie r lecąca poziomo z prędkością m/s uderza w gładką pionową ścianę i odbija się od niej bez utraty prędkości. Kąt padania piłki (to znaczy kąt między kierunkiem piłki a prostopadłą do ściany) wynosi . Uderzenie trwa s. Znajdź średnią siłę
działające na piłkę podczas uderzenia.

Rozwiązanie. Przede wszystkim pokażemy, że kąt odbicia jest równy kątowi padania, czyli piłka odbije się od ściany pod tym samym kątem (ryc. 3).

Zgodnie z (3) mamy: . Wynika z tego, że wektor zmiany pędu współreżyserowany z wektorem , czyli skierowanym prostopadle do ściany w kierunku odbicia piłki (ryc. 5).

Ryż. 5. Do zadania

Wektory i
równy modulo
(ponieważ prędkość piłki się nie zmieniła). Zatem trójkąt złożony z wektorów , i , jest równoramienny. Oznacza to, że kąt między wektorami i jest równy , czyli kąt odbicia jest rzeczywiście równy kątowi padania.

Zauważmy teraz dodatkowo, że nasz trójkąt równoramienny ma kąt (jest to kąt padania); więc ten trójkąt jest równoboczny. Stąd:

A następnie żądana średnia siła działająca na piłkę:

Impuls układu ciała

Zacznijmy od prostej sytuacji układu dwóch ciał. Mianowicie niech będzie ciało 1 i ciało 2 z odpowiednio pędami i . Impuls systemu danych ciała jest sumą wektorów impulsów każdego ciała:

Okazuje się, że na pęd układu ciał istnieje wzór podobny do drugiego prawa Newtona w postaci ( 1 ). Wyprowadźmy tę formułę.

Wszystkie inne obiekty, z którymi wchodzą w interakcję rozważane ciała 1 i 2, będziemy nazywać ciała zewnętrzne. Nazywa się siły, z którymi ciała zewnętrzne działają na ciała 1 i 2 siły zewnętrzne. Niech - wypadkowa siła zewnętrzna działająca na ciało 1. Podobnie - wypadkowa siła zewnętrzna działająca na ciało 2 (rys. 6).

Ponadto ciała 1 i 2 mogą oddziaływać na siebie. Niech ciało 2 działa na ciało 1 z siłą . Następnie ciało 1 działa na ciało 2 z siłą . Zgodnie z trzecim prawem Newtona siły i mają równe wartości bezwzględne i przeciwne zwroty: . Siły i jest wewnętrzna siła, działające w systemie.

Napiszmy dla każdego ciała 1 i 2 drugie prawo Newtona w postaci ( 1 ):

, ( 4 )

. ( 5 )

Dodajmy równości ( 4 ) i ( 5 ):

Po lewej stronie wynikowej równości jest suma pochodnych, która jest równa pochodnej sumy wektorów i . Po prawej stronie mamy, na mocy trzeciego prawa Newtona:

Ale - to jest impuls układu ciał 1 i 2. Zaznaczamy również - jest to wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ. Otrzymujemy:

. ( 6 )

Zatem, szybkość zmiany pędu układu ciał jest wypadkową sił zewnętrznych przyłożonych do układu. Chcieliśmy uzyskać równość ( 6 ), która pełni rolę drugiego prawa Newtona dla układu ciał.

Wzór (6) wyprowadzono dla przypadku dwóch ciał. Uogólnijmy teraz nasze rozumowanie na przypadek dowolnej liczby ciał w układzie.

Impuls układu ciał ciał nazywamy sumą wektorową impulsów wszystkich ciał wchodzących w skład układu. Jeżeli układ składa się z ciał, to pęd tego układu jest równy:

Następnie wszystko odbywa się dokładnie tak samo jak powyżej (tylko technicznie wygląda to na nieco bardziej skomplikowane). Jeśli dla każdego ciała zapiszemy równości podobne do ( 4 ) i ( 5 ), a następnie dodamy wszystkie te równości, to po lewej stronie ponownie otrzymamy pochodną pędu układu, a po prawej tylko sumę pozostają siły zewnętrzne (siły wewnętrzne, sumując się parami, dadzą zero ze względu na trzecie prawo Newtona). Dlatego równość (6) pozostanie ważna w przypadku ogólnym.

Prawo zachowania pędu

Nazywa się system ciała Zamknięte jeśli działania ciał zewnętrznych na ciała danego układu są albo nieistotne, albo wzajemnie się kompensują. Tak więc w przypadku zamkniętego układu ciał istotne jest tylko oddziaływanie tych ciał między sobą, ale nie z innymi ciałami.

Wypadkowa sił zewnętrznych przyłożonych do układu zamkniętego jest równa zeru: . W tym przypadku z ( 6 ) otrzymujemy:

Ale jeśli pochodna wektora zniknie (szybkość zmian wektora wynosi zero), to sam wektor nie zmienia się w czasie:

Prawo zachowania pędu. Pęd zamkniętego układu ciał pozostaje stały w czasie dla wszelkich interakcji ciał w tym układzie.

Najprostsze problemy z prawa zachowania pędu rozwiązuje się zgodnie ze standardowym schematem, który teraz pokażemy.

Zadanie. Ciało o masie r porusza się z prędkością m/s po gładkiej poziomej powierzchni. Ciało o masie r porusza się w jego kierunku z prędkością m/s. Następuje zderzenie absolutnie niesprężyste (ciała sklejają się). Znajdź prędkość ciał po zderzeniu.

Rozwiązanie. Sytuacja jest pokazana na rys. 7. Skierujmy oś w kierunku ruchu pierwszego ciała.

Ryż. 7. Do zadania

Ponieważ powierzchnia jest gładka, nie ma tarcia. Ponieważ powierzchnia jest pozioma, a ruch odbywa się wzdłuż niej, siła grawitacji i reakcja podpory równoważą się:

Zatem suma wektorów sił przyłożonych do układu tych ciał jest równa zeru. Oznacza to, że układ ciał jest zamknięty. Dlatego spełnia prawo zachowania pędu:

. ( 7 )

Impuls układu przed uderzeniem jest sumą impulsów ciał:

Po zderzeniu niesprężystym otrzymano jedno ciało o masie, które porusza się z zadaną prędkością:

Z prawa zachowania pędu ( 7 ) mamy:

Stąd znajdujemy prędkość ciała utworzonego po zderzeniu:

Przejdźmy do rzutów na oś:

Warunkowo mamy: m/s, m/s, więc to

Znak minus wskazuje, że lepkie ciała poruszają się w kierunku przeciwnym do osi. Prędkość docelowa: m/s.

Prawo zachowania rzutu pędu

W zadaniach często występuje następująca sytuacja. Układ ciał nie jest domknięty (suma wektorów sił zewnętrznych działających na układ nie jest równa zeru), ale istnieje taka oś, suma rzutów sił zewnętrznych na oś wynosi zero w dowolnym momencie. Wtedy możemy powiedzieć, że wzdłuż tej osi nasz układ ciał zachowuje się jak układ zamknięty, a rzut pędu układu na oś jest zachowany.

Pokażmy to dokładniej. Rzut równości ( 6 ) na oś :

Jeśli rzut wypadkowych sił zewnętrznych zniknie, to

Dlatego projekcja jest stałą:

Prawo zachowania rzutu pędu. Jeżeli rzut na oś sumy sił zewnętrznych działających na układ jest równy zeru, to rzut pędu układu nie zmienia się w czasie.

Spójrzmy na przykład konkretnego problemu, jak działa prawo zachowania projekcji pędu.

Zadanie. Chłopiec jadący na łyżwach po gładkim lodzie rzuca z dużą prędkością kamień pod kątem do horyzontu. Znajdź prędkość, z jaką chłopiec cofa się po rzucie.

Rozwiązanie. Sytuacja jest schematycznie pokazana na rys. 8 . Chłopiec jest przedstawiony jako prostokąt.

Ryż. 8. Do zadania

Pęd układu „chłopiec + kamień” nie jest zachowany. Widać to choćby po fakcie, że po rzucie pojawia się pionowa składowa pędu układu (mianowicie pionowa składowa pędu kamienia), której nie było przed rzutem.

Dlatego system, który tworzą chłopiec i kamień, nie jest zamknięty. Dlaczego? Faktem jest, że suma wektorów sił zewnętrznych podczas rzutu nie jest równa zeru. Wartość jest większa niż suma iz powodu tego nadmiaru pojawia się właśnie składowa pionowa pędu układu.

Jednak siły zewnętrzne działają tylko pionowo (brak tarcia). Dlatego rzut pędu na oś poziomą jest zachowany. Przed rzutem rzut ten był równy zeru. Kierując oś w kierunku rzutu (tak, aby chłopiec poszedł w kierunku ujemnej półosi), otrzymujemy.

Puls (Ilość ruchu) jest wektorową wielkością fizyczną, która jest miarą mechanicznego ruchu ciała. W mechanice klasycznej pęd ciała jest równy iloczynowi masy M to ciało z szybkością w, kierunek pędu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości:

Pęd systemu cząstki to suma wektorów pędów poszczególnych cząstek: p=(sumy) Liczba Pi, Gdzie Liczba Pi jest pędem i-tej cząstki.

Twierdzenie o zmianie pędu układu: całkowity pęd układu może być zmieniony tylko przez działanie sił zewnętrznych: Fext=dp/dt(1), tj. pochodna pędu układu po czasie jest równa sumie wektorowej wszystkich sił zewnętrznych działających na cząstki układu. Podobnie jak w przypadku pojedynczej cząstki, z wyrażenia (1) wynika, że ​​przyrost pędu układu jest równy pędowi wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych w odpowiednim okresie czasu:

p2-p1= t & 0 F zewn dt.

W mechanice klasycznej kompletne pęd układ punktów materialnych nazywamy wielkością wektorową równą sumie iloczynów mas punktów materialnych przy ich prędkości:

w związku z tym wielkość nazywana jest pędem jednego punktu materialnego. Jest to wielkość wektorowa skierowana w tym samym kierunku co prędkość cząstki. Jednostką pędu w Międzynarodowym Układzie Jednostek (SI) jest kilogram metr na sekundę(kg·m/s).

Jeśli mamy do czynienia z ciałem o skończonej wielkości, które nie składa się z dyskretnych punktów materialnych, to do wyznaczenia jego pędu konieczne jest rozbicie ciała na małe części, które można uznać za punkty materialne i zsumowanie ich, jako wynik otrzymujemy:

Pęd układu, na który nie mają wpływu żadne siły zewnętrzne (lub są one kompensowane), zachowane w samą porę:

Zachowanie pędu w tym przypadku wynika z drugiego i trzeciego prawa Newtona: po napisaniu drugiego prawa Newtona dla każdego z materialnych punktów tworzących układ i zsumowaniu go po wszystkich materialnych punktach tworzących system, na mocy trzeciego prawa Newtona prawa uzyskujemy równość (*).

W mechanice relatywistycznej trójwymiarowy pęd układu nieoddziałujących punktów materialnych jest wielkością

Gdzie ja- waga I-ty punkt materialny.

Dla zamkniętego układu nieoddziałujących na siebie punktów materialnych wartość ta jest zachowana. Jednak trójwymiarowy pęd nie jest wielkością relatywistycznie niezmienną, ponieważ zależy od układu odniesienia. Bardziej znaczącą wartością będzie czterowymiarowy pęd, który dla jednego punktu materialnego definiuje się jako

W praktyce często stosuje się następujące zależności między masą, pędem i energią cząstki:

W zasadzie dla układu nieoddziałujących na siebie punktów materialnych ich 4-pędy są sumowane. Jednak w przypadku cząstek oddziałujących w mechanice relatywistycznej należy wziąć pod uwagę pędy nie tylko cząstek tworzących układ, ale także pęd pola oddziaływania między nimi. Dlatego znacznie bardziej znaczącą wielkością w mechanice relatywistycznej jest tensor energii i pędu, który w pełni spełnia prawa zachowania.

Właściwości impulsu

· Addytywność. Właściwość ta oznacza, że ​​impuls układu mechanicznego składającego się z punktów materialnych jest równy sumie impulsów wszystkich punktów materialnych wchodzących w skład układu.

· Niezmienność względem obrotu układu odniesienia.

· Ochrona. Pęd nie zmienia się podczas interakcji, które zmieniają jedynie właściwości mechaniczne układu. Własność ta jest niezmienna względem przekształceń Galileusza.Własności zachowania energii kinetycznej, zachowania pędu i drugiego prawa Newtona są wystarczające do wyprowadzenia wzoru matematycznego na pęd.

Prawo zachowania pędu (Prawo zachowania pędu)- suma wektorów impulsów wszystkich ciał układu jest wartością stałą, jeżeli suma wektorów sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru.

W mechanice klasycznej prawo zachowania pędu jest zwykle wyprowadzane z praw Newtona. Z praw Newtona można wykazać, że podczas poruszania się w pustej przestrzeni pęd jest zachowany w czasie, aw obecności interakcji szybkość jego zmiany jest określona przez sumę przyłożonych sił.

Jak każde z podstawowych praw zachowania, prawo zachowania pędu jest związane, zgodnie z twierdzeniem Noether, z jedną z podstawowych symetrii - jednorodnością przestrzeni

Zmiana pędu ciała jest równa pędowi wypadkowej wszystkich sił działających na to ciało. Jest to kolejne sformułowanie drugiego prawa Newtona.