Biorąc prawdopodobieństwo. Teoria prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia, zdarzenia losowe (teoria prawdopodobieństwa). Zdarzenia niezależne i niezgodne w teorii prawdopodobieństwa. Przykłady rozwiązań problemów dotyczących klasycznego prawdopodobieństwa

wtedy mówimy, że zmienna losowa ξ To ma gęstość rozkładu prawdopodobieństwa f(x).

Definicja. Wynajmować . Dla funkcji rozkładu ciągłego F teoretyczny α-kwantyl nazywa się rozwiązaniem równania.

To może nie być jedyne rozwiązanie.

Kwantyl poziomu ½ zwany teoretycznym mediana , kwantyle poziomu ¼ oraz ¾ -dolny i górny kwartyl odpowiednio.

W zastosowaniach aktuarialnych ważną rolę odgrywają: Nierówność Czebyszewa:

dla każdego

Symbol matematyczny oczekiwania.

Brzmi to tak: prawdopodobieństwo, że moduł jest większy niż mniejszy lub równy oczekiwanemu modułowi podzielonemu przez .

Żywotność jako zmienna losowa

Niepewność momentu śmierci jest głównym czynnikiem ryzyka w ubezpieczeniach na życie.

O momencie śmierci jednostki nie można powiedzieć nic konkretnego. Jeśli jednak mamy do czynienia z dużą jednorodną grupą ludzi i nie interesuje nas los poszczególnych osób z tej grupy, to znajdujemy się w ramach rachunku prawdopodobieństwa jako nauki o masowych zjawiskach losowych o własności stabilności częstotliwości.

Odpowiednio, możemy mówić o oczekiwanej długości życia jako zmiennej losowej T.

funkcja przetrwania

W teorii prawdopodobieństwa opisują stochastyczną naturę dowolnej zmiennej losowej T funkcja dystrybucyjna F(x), które definiuje się jako prawdopodobieństwo, że zmienna losowa T mniej niż liczba x:

.

W matematyce aktuarialnej przyjemnie jest pracować nie z dystrybuantą, ale z dodatkową dystrybuantą . Pod względem długowieczności jest to prawdopodobieństwo, że dana osoba dożyje odpowiedniego wieku x lat.

nazywa funkcja przetrwania(funkcja przetrwania):

Funkcja przeżycia ma następujące właściwości:

W tablicach trwania życia zwykle przyjmuje się, że jest ich trochę limit wieku (ograniczenie wieku) (z reguły lata) i odpowiednio w x>.

Opisując śmiertelność prawami analitycznymi przyjmuje się zwykle, że czas życia jest nieograniczony, jednak rodzaj i parametry praw dobiera się tak, aby prawdopodobieństwo życia w pewnym wieku było znikome.

Funkcja przeżycia ma proste znaczenie statystyczne.

Załóżmy, że obserwujemy grupę noworodków (najczęściej), które obserwujemy i możemy utrwalać momenty ich śmierci.

Oznaczmy liczbę żyjących przedstawicieli tej grupy w wieku do . Następnie:

.

Symbol mi tutaj i poniżej jest używany do oznaczenia matematycznego oczekiwania.

Zatem funkcja przeżycia jest równa średniemu odsetkowi tych, którzy dożyli wieku z pewnej ustalonej grupy noworodków.

W matematyce aktuarialnej często pracuje się nie z funkcją przeżycia, ale z właśnie wprowadzoną wartością (po ustaleniu początkowej wielkości grupy).

Funkcję przeżycia można zrekonstruować z gęstości:

Charakterystyka długości życia

Z praktycznego punktu widzenia ważne są następujące cechy:

1 . Przeciętny dożywotni

,
2 . Dyspersja dożywotni

,
gdzie
,

Przedstawione do tej pory w otwartym banku zadań USE w matematyce (mathege.ru), których rozwiązanie opiera się tylko na jednej formule, która jest klasyczną definicją prawdopodobieństwa.

Formułę najłatwiej zrozumieć za pomocą przykładów.
Przykład 1 W koszu jest 9 czerwonych kulek i 3 niebieskie. Kulki różnią się tylko kolorem. Na chybił trafił (bez patrzenia) otrzymujemy jeden z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana w ten sposób piłka będzie niebieska?

Komentarz. W problemach z teorii prawdopodobieństwa dzieje się coś (w tym przypadku nasza akcja pociągania piłki), co może mieć inny skutek - wynik. Należy zauważyć, że wynik można oglądać na różne sposoby. Efektem jest także „wyciągnęliśmy piłkę”. Rezultatem jest „Wyciągnęliśmy niebieską piłkę”. „Wylosowaliśmy tę konkretną piłkę ze wszystkich możliwych piłek” – ten najmniej uogólniony pogląd na wynik nazywa się wynikiem elementarnym. W formule do obliczania prawdopodobieństwa brane są pod uwagę wyniki elementarne.

Rozwiązanie. Teraz obliczamy prawdopodobieństwo wyboru niebieskiej kuli.
Wydarzenie A: „wybrana piłka okazała się niebieska”
Całkowita liczba wszystkich możliwych wyników: 9+3=12 (liczba wszystkich kul, które mogliśmy wylosować)
Liczba wyników korzystnych dla zdarzenia A: 3 (liczba takich wyników, w których wystąpiło zdarzenie A – czyli liczba niebieskich kulek)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Obliczmy dla tego samego problemu prawdopodobieństwo wyboru czerwonej piłki.
Całkowita liczba możliwych wyników pozostanie taka sama, 12. Liczba korzystnych wyników: 9. Pożądane prawdopodobieństwo: 9/12=3/4=0,75

Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia zawsze mieści się w zakresie od 0 do 1.
Czasami w mowie potocznej (ale nie w teorii prawdopodobieństwa!) Prawdopodobieństwo zdarzeń szacuje się w procentach. Przejście od oceny matematycznej do konwersacyjnej odbywa się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) przez 100%.
Więc,
W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzeń, które nie mogą mieć miejsca, wynosi zero - nieprawdopodobne. Na przykład w naszym przykładzie byłoby to prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej piłki z kosza. (Liczba pozytywnych wyników wynosi 0, P(A)=0/12=0 jeśli liczone według wzoru)
Prawdopodobieństwo 1 ma zdarzenia, które na pewno się wydarzą, bez opcji. Na przykład prawdopodobieństwo, że „wybrana piłka będzie czerwona lub niebieska” jest dla naszego problemu. (Liczba pozytywnych wyników: 12, P(A)=12/12=1)

Przyjrzeliśmy się klasycznemu przykładowi ilustrującemu definicję prawdopodobieństwa. Wszystkie podobne problemy USE w teorii prawdopodobieństwa są rozwiązywane za pomocą tego wzoru.
Zamiast czerwonych i niebieskich kulek mogą być jabłka i gruszki, chłopcy i dziewczęta, bilety wyuczone i nienauczone, bilety zawierające i niezawierające pytania na dany temat (prototypy), wadliwe i wysokiej jakości torby lub pompy ogrodowe (prototypy, ) – zasada pozostaje taka sama.

Różnią się nieco w sformułowaniu problemu teorii prawdopodobieństwa USE, w której trzeba obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia określonego dnia. ( , ) Podobnie jak w poprzednich zadaniach, musisz określić, co jest wynikiem elementarnym, a następnie zastosować tę samą formułę.

Przykład 2 Konferencja trwa trzy dni. Pierwszego i drugiego dnia po 15 mówców, trzeciego dnia - 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sprawozdanie prof. M. padnie trzeciego dnia, jeśli kolejność sprawozdań jest ustalana w drodze losowania?

Jaki jest tutaj podstawowy wynik? - Przypisanie raportu profesora do jednego ze wszystkich możliwych numerów seryjnych wystąpienia. W losowaniu bierze udział 15+15+20=50 osób. Tym samym raport prof. M. może otrzymać jeden z 50 numerów. Oznacza to, że istnieje tylko 50 podstawowych wyników.
Jakie są korzystne wyniki? - Te, w których okazuje się, że profesor będzie przemawiał trzeciego dnia. To znaczy ostatnich 20 numerów.
Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwo P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpowiedź: 0,4

Tutaj losowanie to ustalenie przypadkowej korespondencji między ludźmi a zamówionymi miejscami. W przykładzie 2 dopasowanie rozważano pod kątem tego, które z miejsc może zająć dana osoba. Do tej samej sytuacji można podejść z drugiej strony: która z osób z jakim prawdopodobieństwem mogłaby dostać się w dane miejsce (prototypy , , , ):

Przykład 3 W losowaniu bierze udział 5 Niemców, 8 Francuzów i 3 Estończyków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy (/drugi/siódmy/ostatni - to nie ma znaczenia) będzie Francuzem.

Liczba wyników elementarnych to liczba wszystkich możliwych osób, które mogły dostać się do danego miejsca w drodze losowania. 5+8+3=16 osób.
Korzystne wyniki - Francuzi. 8 osób.
Pożądane prawdopodobieństwo: 8/16=1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5

Prototyp jest nieco inny. Są zadania dotyczące monet () i kości (), które są nieco bardziej kreatywne. Rozwiązania tych problemów można znaleźć na stronach prototypów.

Oto kilka przykładów rzucania monetą lub kostką.

Przykład 4 Kiedy rzucamy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy reszki?
Wyniki 2 - orły lub ogony. (uważa się, że moneta nigdy nie spada na krawędź) Korzystny wynik - ogony, 1.
Prawdopodobieństwo 1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5.

Przykład 5 Co jeśli rzucimy monetą dwa razy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu przypadkach wypadnie na głowę?
Najważniejsze jest ustalenie, jakie podstawowe wyniki weźmiemy pod uwagę podczas rzucania dwiema monetami. Po rzuceniu dwóch monet może wystąpić jeden z następujących wyników:
1) PP - za każdym razem wyszło na ogon
2) PO - pierwszy raz reszka, drugi raz orła
3) OP - pierwszy raz orła, drugi raz reszka
4) OO - heads up za każdym razem
Nie ma innych opcji. Oznacza to, że są 4 podstawowe wyniki, z których tylko pierwszy jest korzystny, 1.
Prawdopodobieństwo: 1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa rzuty monetą wylądują na reszek?
Liczba wyników elementarnych jest taka sama, 4. Korzystne wyniki to drugi i trzeci, 2.
Prawdopodobieństwo zdobycia jednego ogona: 2/4=0,5

W takich problemach może się przydać inna formuła.
Jeżeli przy jednym rzucie monetą mamy 2 możliwe wyniki, to dla dwóch rzutów wyników będzie 2 2=2 2 =4 (jak w przykładzie 5), dla trzech rzutów 2 2 2=2 3 =8, dla czterech : 2·2·2·2=2 4 =16, … dla N rzutów możliwych wyników będzie 2·2·...·2=2 N .

Możesz więc obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania 5 reszek z 5 rzutów monetą.
Całkowita liczba wyników elementarnych: 2 5 =32.
Korzystne wyniki: 1. (RRRRRR - wszystkie 5 razy ogony)
Prawdopodobieństwo: 1/32=0,03125

To samo dotyczy kości. Przy jednym rzucie jest 6 możliwych wyników, więc dla dwóch rzutów: 6 6=36, dla trzech 6 6 6=216 itd.

Przykład 6 Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania liczby parzystej?

Łączne wyniki: 6, w zależności od liczby twarzy.
Korzystne: 3 wyniki. (2, 4, 6)
Prawdopodobieństwo: 3/6=0,5

Przykład 7 Rzuć dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuci 10? (w zaokrągleniu do setnych)

Istnieje 6 możliwych wyników dla jednej kości. Stąd dla dwojga, zgodnie z powyższą regułą, 6,6=36.
Jakie wyniki będą korzystne, aby w sumie wypadło 10?
10 należy rozłożyć na sumę dwóch liczb od 1 do 6. Można to zrobić na dwa sposoby: 10=6+4 i 10=5+5. Tak więc w przypadku kostek możliwe są opcje:
(6 na pierwszym i 4 na drugim)
(4 na pierwszym i 6 na drugim)
(5 na pierwszym i 5 na drugim)
W sumie 3 opcje. Pożądane prawdopodobieństwo: 3/36=1/12=0,08
Odpowiedź: 0,08

Inne rodzaje problemów B6 zostaną omówione w jednym z poniższych artykułów "Jak rozwiązać".

prawdopodobieństwo to liczba od 0 do 1, która odzwierciedla prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia losowego, gdzie 0 oznacza całkowity brak prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia, a 1 oznacza, że ​​dane zdarzenie na pewno wystąpi.

Prawdopodobieństwo zdarzenia E to liczba od 1 do 1.
Suma prawdopodobieństw wzajemnie wykluczających się zdarzeń wynosi 1.

empiryczne prawdopodobieństwo- prawdopodobieństwo, które jest obliczane jako względna częstotliwość zdarzenia w przeszłości, wyodrębniona z analizy danych historycznych.

Nie można obliczyć empirycznie prawdopodobieństwa bardzo rzadkich zdarzeń.

subiektywne prawdopodobieństwo- prawdopodobieństwo oparte na osobistej, subiektywnej ocenie zdarzenia, niezależnie od danych historycznych. Inwestorzy podejmujący decyzje o kupnie i sprzedaży akcji często działają na podstawie subiektywnego prawdopodobieństwa.

wcześniejsze prawdopodobieństwo -

Szansa 1 z… (szanse), że zdarzenie nastąpi dzięki pojęciu prawdopodobieństwa. Szansa zajścia zdarzenia jest wyrażana w kategoriach prawdopodobieństwa w następujący sposób: P/(1-P).

Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 0,5, to szansa na zdarzenie wynosi 1 z 2, ponieważ 0,5/(1-0,5).

Szansę, że zdarzenie nie wystąpi, oblicza się ze wzoru (1-P)/P

Niespójne prawdopodobieństwo- np. w cenie akcji spółki A uwzględnia się 85% możliwego zdarzenia E, a w cenie akcji spółki B tylko 50%. Nazywa się to niedopasowanym prawdopodobieństwem. Zgodnie z holenderskim twierdzeniem o zakładach, niedopasowane prawdopodobieństwo stwarza szanse na zysk.

Prawdopodobieństwo bezwarunkowe jest odpowiedzią na pytanie „Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia?”

Warunkowe prawdopodobieństwo jest odpowiedzią na pytanie: „Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, gdyby wydarzyło się zdarzenie B”. Prawdopodobieństwo warunkowe oznaczono jako P(A|B).

Wspólne prawdopodobieństwo to prawdopodobieństwo, że zdarzenia A i B zajdą w tym samym czasie. Oznaczony jako P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Zasada sumowania prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A lub zdarzenia B wynosi

P(A lub B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Jeżeli zdarzenia A i B wzajemnie się wykluczają, to

P(A lub B) = P(A) + P(B)

Niezależne wydarzenia- zdarzenia A i B są niezależne, jeśli

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Oznacza to, że jest to sekwencja wyników, w której wartość prawdopodobieństwa jest stała od jednego zdarzenia do następnego.
Przykładem takiego zdarzenia jest rzut monetą – wynik każdego kolejnego rzutu nie zależy od wyniku poprzedniego.

Zdarzenia zależne Są to zdarzenia, w których prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zależy od prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego.

Reguła mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Zasada całkowitego prawdopodobieństwa:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S i S” to wydarzenia wzajemnie się wykluczające

wartość oczekiwana zmienna losowa to średnia możliwych wyników zmiennej losowej. Dla zdarzenia X oczekiwanie oznaczono jako E(X).

Załóżmy, że mamy 5 wartości wzajemnie wykluczających się zdarzeń z pewnym prawdopodobieństwem (na przykład dochód firmy wyniósł taką a taką kwotę z takim prawdopodobieństwem). Oczekiwanie to suma wszystkich wyników pomnożona przez ich prawdopodobieństwo:

Wariancja zmiennej losowej to wartość oczekiwana odchyleń kwadratowych zmiennej losowej od jej wartości oczekiwanej:

s2 = E( 2 ) (6)

Warunkowa wartość oczekiwana - oczekiwanie zmiennej losowej X, pod warunkiem, że zdarzenie S już wystąpiło.

Z praktycznego punktu widzenia prawdopodobieństwo zdarzenia jest stosunkiem liczby tych obserwacji, w których wystąpiło dane zdarzenie, do łącznej liczby obserwacji. Taka interpretacja jest dopuszczalna w przypadku wystarczająco dużej liczby obserwacji lub eksperymentów. Na przykład, jeśli około połowa osób, które spotykasz na ulicy, to kobiety, to możesz powiedzieć, że prawdopodobieństwo, że osoba, którą spotykasz na ulicy, jest kobietą wynosi 1/2. Innymi słowy, częstość jego występowania w długiej serii niezależnych powtórzeń losowego eksperymentu może służyć jako oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia.

Prawdopodobieństwo w matematyce

We współczesnym podejściu matematycznym klasyczne (czyli nie kwantowe) prawdopodobieństwo jest podane przez aksjomatykę Kołmogorowa. Prawdopodobieństwo jest miarą P, który jest ustawiony na planie X, zwany przestrzenią prawdopodobieństwa. Ta miara musi mieć następujące właściwości:

Z tych warunków wynika, że ​​miara prawdopodobieństwa P posiada również nieruchomość addytywność: jeśli zestawy A 1 i A 2 nie przecinają się, to . Aby to udowodnić, musisz włożyć wszystko A 3 , A 4 , … równy zestawowi pustemu i zastosować własność przeliczalnej addytywności.

Miara prawdopodobieństwa nie może być zdefiniowana dla wszystkich podzbiorów zbioru X. Wystarczy zdefiniować go na sigma-algebrze składającej się z niektórych podzbiorów zbioru X. W tym przypadku zdarzenia losowe definiuje się jako mierzalne podzbiory przestrzeni X, czyli jako elementy algebry sigma.

Zmysł prawdopodobieństwa

Kiedy stwierdzimy, że powody, dla których jakiś możliwy fakt rzeczywiście wystąpił, przeważają nad przyczynami przeciwstawnymi, rozważamy ten fakt prawdopodobny, Inaczej - niesamowite. Ta przewaga podstaw pozytywnych nad negatywnymi i odwrotnie może reprezentować nieokreślony zestaw stopni, w wyniku czego prawdopodobieństwo(oraz nieprawdopodobieństwo) dzieje się jeszcze lub mniej .

Skomplikowane pojedyncze fakty nie pozwalają na dokładne obliczenie ich stopni prawdopodobieństwa, ale nawet tutaj ważne jest ustalenie kilku dużych podziałów. I tak np. w dziedzinie prawa, gdy fakt osobowy podlegający procesowi jest ustalany na podstawie zeznań świadków, zawsze pozostaje on, ściśle rzecz biorąc, tylko prawdopodobny i trzeba wiedzieć, jak istotne jest to prawdopodobieństwo; w prawie rzymskim przyjęto tu podział poczwórny: próba sądowa(gdzie prawdopodobieństwo praktycznie zamienia się w autentyczność), Dalej - probatio minus plena, następnie - probatio semiplena major i w końcu probatio semiplena minor .

Oprócz pytania o prawdopodobieństwo sprawy może powstać, zarówno na polu prawa, jak i na polu moralności (z pewnym etycznym punktem widzenia), pytanie, na ile jest prawdopodobne, że dany fakt stanowi naruszenie powszechnie obowiązującego prawa. To pytanie, które służy jako główny motyw religijnego orzecznictwa Talmudu, dało początek rzymskokatolickiej teologii moralnej (zwłaszcza od końca XVI wieku) bardzo złożonym systematycznym konstrukcjom i ogromnej literaturze dogmatycznej i polemicznej (zob. Probabilizm). ).

Pojęcie prawdopodobieństwa dopuszcza określone wyrażenie liczbowe w zastosowaniu tylko do takich faktów, które są częścią pewnego jednorodnego szeregu. Czyli (w najprostszym przykładzie), gdy ktoś rzuca monetą sto razy z rzędu, znajdujemy tutaj jedną wspólną lub dużą serię (suma wszystkich upadków monety), która składa się z dwóch prywatnych lub mniejszych, w tym wielkość liter jest równa liczbowo, seria (spada „orzeł” i opadające „ogony”); Prawdopodobieństwo, że tym razem moneta wypadnie ogonem, to znaczy, że ten nowy element ogólnej serii będzie należał do tej z dwóch mniejszych serii, jest równe ułamkowi wyrażającemu stosunek liczbowy między tą małą serią a dużą, mianowicie 1/2, czyli takie samo prawdopodobieństwo należy do jednego lub drugiego z dwóch szeregów prywatnych. W mniej prostych przykładach wniosku nie można wyciągnąć bezpośrednio z danych samego problemu, ale wymaga uprzedniej indukcji. Na przykład pyta się: jakie jest prawdopodobieństwo, że dany noworodek dożyje 80 lat? Tutaj musi istnieć szereg ogólny lub duży o znanej liczbie osób urodzonych w podobnych warunkach i umierających w różnym wieku (liczba ta musi być na tyle duża, aby wyeliminować przypadkowe odchylenia i na tyle mała, aby zachować jednorodność szeregu, ponieważ dla osoba, urodzona np. w Petersburgu w zamożnej rodzinie kulturalnej, cała milionowa populacja miasta, której znaczną część stanowią osoby z różnych grup, które mogą umrzeć przedwcześnie - żołnierze, dziennikarze , pracownicy wykonujący niebezpieczne zawody – stanowią grupę zbyt niejednorodną, ​​aby można było naprawdę zdefiniować prawdopodobieństwo); niech ta ogólna seria składa się z dziesięciu tysięcy ludzkich istnień; zawiera mniejsze wiersze przedstawiające liczbę osób, które dożyły tego lub innego wieku; jeden z tych mniejszych wierszy przedstawia liczbę osób dożywających 80 lat. Nie da się jednak określić wielkości tej mniejszej serii (jak i wszystkich innych). apriorycznie; odbywa się to w sposób czysto indukcyjny, poprzez statystykę. Załóżmy, że badania statystyczne wykazały, że na 10 000 mieszkańców Petersburga z klasy średniej tylko 45 dożywa 80 lat; zatem ten mniejszy rząd jest powiązany z większym jako 45 do 10 000, a prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie należała do tego mniejszego rzędu, czyli dożyje 80 lat, jest wyrażone jako ułamek 0,0045. Badanie prawdopodobieństwa z matematycznego punktu widzenia stanowi szczególną dyscyplinę, teorię prawdopodobieństwa.

Zobacz też

Uwagi

Literatura

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Antonimy:

Zobacz, co „Prawdopodobieństwo” znajduje się w innych słownikach:

Ogólnonaukowe i filozoficzne. kategoria oznaczająca ilościowy stopień możliwości wystąpienia masowych zdarzeń losowych w ustalonych warunkach obserwacji, charakteryzująca stabilność ich względnych częstości. W logice stopień semantyczny ... ... Encyklopedia filozoficzna

PRAWDOPODOBIEŃSTWO, liczba w zakresie od zera do jednego włącznie, reprezentująca możliwość zajścia tego zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia definiuje się jako stosunek liczby szans, że zdarzenie może wystąpić do całkowitej liczby możliwych ... ... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

Najprawdopodobniej .. Słownik rosyjskich synonimów i wyrażeń o podobnym znaczeniu. pod. wyd. N. Abramova, M.: Słowniki rosyjskie, 1999. prawdopodobieństwo, możliwość, prawdopodobieństwo, szansa, obiektywna możliwość, maza, dopuszczalność, ryzyko. Mrówka. niemożliwość... ... Słownik synonimów

prawdopodobieństwo- Miara, w której może wystąpić zdarzenie. Uwaga Matematyczna definicja prawdopodobieństwa to „liczba rzeczywista od 0 do 1 związana ze zdarzeniem losowym”. Liczba może odzwierciedlać względną częstotliwość w serii obserwacji ... ... Podręcznik tłumacza technicznego

Prawdopodobieństwo- „matematyczną, liczbową charakterystykę stopnia prawdopodobieństwa wystąpienia dowolnego zdarzenia w określonych warunkach, które można powtarzać nieograniczoną liczbę razy”. Na podstawie tego klasycznego… … Słownik ekonomiczny i matematyczny

- (prawdopodobieństwo) Możliwość wystąpienia zdarzenia lub określonego wyniku. Można ją przedstawić w skali z podziałkami od 0 do 1. Jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi zero, jego wystąpienie jest niemożliwe. Z prawdopodobieństwem równym 1 początek ... Słowniczek pojęć biznesowych

W zadaniach USE w matematyce są też bardziej złożone zadania probabilistyczne (niż rozważaliśmy w części 1), w których musisz zastosować zasadę dodawania, mnożenia prawdopodobieństw oraz rozróżniać zdarzenia połączone i niekompatybilne.

A więc teoria.

Wydarzenia wspólne i niewspólne

Zdarzenia uważa się za niezgodne, jeśli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie pozostałych. Oznacza to, że może wystąpić tylko jedno konkretne zdarzenie lub inne.

Na przykład, rzucając kostką, możesz odróżnić zdarzenia takie jak parzysta liczba punktów i nieparzysta liczba punktów. Te wydarzenia są niezgodne.

Zdarzenia nazywane są wspólnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich nie wyklucza wystąpienia drugiego.

Na przykład, rzucając kostką, możesz rozróżnić zdarzenia, takie jak wystąpienie nieparzystej liczby punktów i stratę liczby punktów, która jest wielokrotnością trzech. Gdy wypadnie trzy, oba zdarzenia są realizowane.

Suma zdarzeń

Suma (lub suma) kilku zdarzeń to zdarzenie polegające na wystąpieniu przynajmniej jednego z tych zdarzeń.

W którym suma dwóch rozłącznych zdarzeń to suma prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Na przykład prawdopodobieństwo uzyskania 5 lub 6 punktów na kostce w jednym rzucie będzie takie, że oba zdarzenia (upuść 5, upuść 6) są niezgodne, a prawdopodobieństwo jednego lub drugiego zdarzenia oblicza się w następujący sposób:

Prawdopodobieństwo suma dwóch wspólnych wydarzeń równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez uwzględnienia ich wspólnego wystąpienia:

Na przykład w centrum handlowym dwa identyczne automaty sprzedają kawę. Prawdopodobieństwo, że w ekspresie zabraknie kawy do końca dnia wynosi 0,3. Prawdopodobieństwo, że w obu maszynach zabraknie kawy wynosi 0,12. Ustalmy prawdopodobieństwo, że do końca dnia kawa skończy się w co najmniej jednym z automatów (czyli albo w jednym, albo w drugim, albo w obu naraz).

Prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia „kawa skończy się w pierwszym ekspresie” oraz prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia „kawa skończy się w drugim ekspresie” przy warunku wynosi 0,3. Wydarzenia są oparte na współpracy.

Prawdopodobieństwo wspólnej realizacji dwóch pierwszych zdarzeń wynosi w zależności od warunku 0,12.

Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że do końca dnia skończy się kawa w co najmniej jednym z automatów wynosi

Zdarzenia zależne i niezależne

Dwa zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego. W przeciwnym razie zdarzenia A i B nazywane są zależnymi.

Na przykład, gdy rzuca się dwiema kośćmi w tym samym czasie, jedna z nich, powiedzmy 1, a druga 5, są niezależnymi wydarzeniami.

Iloczyn prawdopodobieństw

Iloczyn (lub przecięcie) kilku zdarzeń to zdarzenie polegające na wspólnym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń.

Jeśli są dwa niezależne wydarzenia A i B z prawdopodobieństwami odpowiednio P(A) i P(B), to prawdopodobieństwo realizacji zdarzeń A i B jest jednocześnie równe iloczynowi prawdopodobieństw:

Na przykład interesuje nas przegrana szóstki na kostce dwa razy z rzędu. Oba zdarzenia są niezależne i prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z nich z osobna wynosi . Prawdopodobieństwo wystąpienia obu tych zdarzeń zostanie obliczone przy użyciu powyższego wzoru: .

Zobacz wybór zadań do opracowania tematu.