Sistem de coordonate dreptunghiular. Sistemul de coordonate carteziene: concepte de bază și exemple Lucrul cu planul de coordonate

Sistemul de coordonate dreptunghiular pe plan este dat de două drepte reciproc perpendiculare. Liniile drepte se numesc axe de coordonate (sau axe de coordonate). Punctul de intersecție al acestor drepte se numește origine și este notat cu litera O.

De obicei, una dintre linii este orizontală, cealaltă verticală. Linia orizontală este desemnată ca axa x (sau Ox) și se numește axa absciselor, cea verticală este axa y (Oy), se numește axa y. Întregul sistem de coordonate este notat cu xOy.

Punctul O împarte fiecare dintre axe în două semiaxe, dintre care una este considerată pozitivă (se notează cu o săgeată), cealaltă este considerată negativă.

Fiecărui punct F al planului i se atribuie o pereche de numere (x;y) — coordonatele sale.

Coordonata x se numește abscisă. Este egal cu Ox luat cu semnul corespunzător.

Coordonata y se numește ordonată și este egală cu distanța de la punctul F la axa Oy (cu semnul corespunzător).

Distanțele dintre osii sunt de obicei (dar nu întotdeauna) măsurate în aceeași unitate de lungime.

Punctele din dreapta axei y au abscise pozitive. Pentru punctele care se află la stânga axei y, abscisele sunt negative. Pentru orice punct situat pe axa Oy, coordonata sa x este egală cu zero.

Punctele cu ordonată pozitivă se află deasupra axei x, cele cu ordonată negativă se află mai jos. Dacă un punct se află pe axa x, coordonata lui y este zero.

Axele de coordonate împart planul în patru părți, care sunt numite sferturi de coordonate (sau unghiuri de coordonate sau cadrane).

1 sfert de coordonate situat în colțul din dreapta sus al planului de coordonate xOy. Ambele coordonate ale punctelor situate în trimestrul I sunt pozitive.

Trecerea de la un sfert la altul se realizează în sens invers acelor de ceasornic.

al 2-lea trimestru situat în colțul din stânga sus. Punctele situate în al doilea trimestru au o abscisă negativă și o ordonată pozitivă.

al 3-lea trimestru se află în cadranul din stânga jos al planului xOy. Ambele coordonate ale punctelor aparținând unghiului de coordonate III sunt negative.

al 4-lea trimestru de coordonate este colțul din dreapta jos al planului de coordonate. Orice punct din trimestrul IV are o primă coordonată pozitivă și una negativă a doua.

Un exemplu de locație a punctelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular:

Matematica este o știință destul de complexă. Studiind-o, nu trebuie doar să rezolvi exemple și probleme, ci și să lucrezi cu diverse figuri și chiar cu avioane. Unul dintre cele mai folosite în matematică este sistemul de coordonate din avion. Copiii au fost învățați cum să lucreze corect cu acesta de mai bine de un an. Prin urmare, este important să știți ce este și cum să lucrați corect cu el.

Să ne dăm seama ce este acest sistem, ce acțiuni puteți efectua cu el și, de asemenea, să aflăm principalele sale caracteristici și caracteristici.

Definirea conceptului

Un plan de coordonate este un plan pe care este definit un anumit sistem de coordonate. Un astfel de plan este definit de două drepte care se intersectează în unghi drept. Punctul de intersecție al acestor drepte este originea coordonatelor. Fiecare punct din planul de coordonate este dat de o pereche de numere, care se numesc coordonate.

Într-un curs de matematică școlar, elevii trebuie să lucreze destul de strâns cu un sistem de coordonate - să construiască figuri și puncte pe acesta, să stabilească cărui plan îi aparține o anumită coordonată și, de asemenea, să determine coordonatele unui punct și să le scrieți sau să le denumiți. Prin urmare, să vorbim mai detaliat despre toate caracteristicile coordonatelor. Dar mai întâi, să atingem istoria creației și apoi vom vorbi despre cum să lucrăm pe planul de coordonate.

Referință istorică

Ideile despre crearea unui sistem de coordonate erau pe vremea lui Ptolemeu. Chiar și atunci, astronomii și matematicienii se gândeau cum să învețe cum să stabilească poziția unui punct pe un plan. Din nefericire, la acea vreme nu exista un sistem de coordonate cunoscut de noi, iar oamenii de știință au fost nevoiți să folosească alte sisteme.

Inițial, ei stabilesc puncte prin specificarea latitudinii și longitudinii. Multă vreme a fost una dintre cele mai utilizate modalități de a mapa cutare sau cutare informații. Dar în 1637, Rene Descartes și-a creat propriul sistem de coordonate, numit ulterior „cartezian”.

Deja la sfârșitul secolului al XVII-lea. conceptul de „plan de coordonate” a devenit utilizat pe scară largă în lumea matematicii. În ciuda faptului că au trecut câteva secole de la crearea acestui sistem, acesta este încă utilizat pe scară largă în matematică și chiar în viață.

Exemple de planuri de coordonate

Înainte de a vorbi despre teorie, vom oferi câteva exemple ilustrative ale planului de coordonate, astfel încât să vă puteți imagina. Sistemul de coordonate este folosit în principal în șah. Pe tablă, fiecare pătrat are propriile coordonate - o coordonată de literă, a doua - digitală. Cu ajutorul acestuia, puteți determina poziția unei anumite piese pe tablă.

Al doilea exemplu cel mai izbitor este îndrăgitul joc „Battleship”. Amintiți-vă cum, atunci când jucați, numiți o coordonată, de exemplu, B3, indicând astfel exact unde țintiți. În același timp, atunci când plasați navele, setați puncte pe planul de coordonate.

Acest sistem de coordonate este utilizat pe scară largă nu numai în matematică, jocuri de logică, ci și în afaceri militare, astronomie, fizică și multe alte științe.

Axele de coordonate

După cum sa menționat deja, în sistemul de coordonate se disting două axe. Să vorbim puțin despre ele, deoarece au o importanță considerabilă.

Prima axă - abscisa - este orizontală. Se notează ca ( Bou). A doua axă este ordonata, care trece vertical prin punctul de referință și se notează ca ( Oi). Aceste două axe formează sistemul de coordonate, împărțind planul în patru sferturi. Originea este situată în punctul de intersecție al acestor două axe și ia valoarea 0 . Numai dacă planul este format din două axe care se intersectează perpendicular și au un punct de referință, este un plan de coordonate.

De asemenea, rețineți că fiecare dintre axe are propria sa direcție. De obicei, la construirea unui sistem de coordonate, se obișnuiește să se indice direcția axei sub forma unei săgeți. În plus, la construirea planului de coordonate, fiecare dintre axe este semnată.

sferturi

Acum să spunem câteva cuvinte despre un astfel de concept precum sferturi din planul de coordonate. Avionul este împărțit de două axe în patru sferturi. Fiecare dintre ele are propriul său număr, în timp ce numerotarea avioanelor este în sens invers acelor de ceasornic.

Fiecare dintre sferturi are propriile sale caracteristici. Deci, în primul trimestru, abscisa și ordonata sunt pozitive, în al doilea trimestru, abscisa este negativă, ordonata este pozitivă, în al treilea, atât abscisa cât și ordonata sunt negative, în al patrulea, abscisa este pozitiv, iar ordonata este negativă.

Reținând aceste caracteristici, puteți determina cu ușurință cărui sfert îi aparține un anumit punct. În plus, aceste informații vă pot fi utile dacă trebuie să faceți calcule folosind sistemul cartezian.

Lucrul cu planul de coordonate

Când ne-am ocupat de conceptul de avion și am vorbit despre sferturile sale, putem trece la o astfel de problemă precum lucrul cu acest sistem și, de asemenea, vorbim despre cum să punem puncte, coordonatele figurilor pe el. Pe planul de coordonate, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea la prima vedere.

În primul rând, sistemul în sine este construit, i se aplică toate denumirile importante. Apoi se lucrează direct cu puncte sau cifre. În acest caz, chiar și atunci când se construiesc figuri, punctele sunt aplicate mai întâi pe plan, iar apoi figurile sunt deja desenate.

Reguli pentru construirea unui avion

Dacă decideți să începeți să marcați forme și puncte pe hârtie, veți avea nevoie de un plan de coordonate. Pe ea sunt trasate coordonatele punctelor. Pentru a construi un plan de coordonate, aveți nevoie doar de o riglă și de un pix sau creion. În primul rând, se desenează abscisa orizontală, apoi verticala - ordonată. Este important să ne amintim că axele se intersectează în unghi drept.

Următorul element obligatoriu este marcarea. Unitățile-segmente sunt marcate și semnate pe fiecare dintre axe în ambele direcții. Acest lucru se face astfel încât să puteți lucra apoi cu avionul cu confort maxim.

Marcarea unui punct

Acum să vorbim despre cum să trasăm coordonatele punctelor pe planul de coordonate. Acestea sunt elementele de bază pe care trebuie să le cunoașteți pentru a plasa cu succes o varietate de forme în plan și chiar pentru a marca ecuații.

Când construiți puncte, ar trebui să vă amintiți cum coordonatele lor sunt înregistrate corect. Deci, de obicei, stabilind un punct, două numere sunt scrise între paranteze. Prima cifră indică coordonatele punctului de-a lungul axei absciselor, a doua - de-a lungul axei ordonatelor.

Punctul ar trebui construit în acest fel. Marcați mai întâi pe axă Bou punct dat, apoi marcați un punct pe axă Oi. Apoi, trageți linii imaginare din aceste denumiri și găsiți locul intersecției lor - acesta va fi punctul dat.

Tot ce trebuie să faci este să o marchezi și să o semnezi. După cum puteți vedea, totul este destul de simplu și nu necesită abilități speciale.

Plasarea unei forme

Acum să trecem la o astfel de întrebare precum construcția figurilor pe planul de coordonate. Pentru a construi orice figură pe planul de coordonate, ar trebui să știți cum să plasați puncte pe ea. Dacă știi cum să faci asta, atunci plasarea unei figurine într-un avion nu este atât de dificilă.

În primul rând, veți avea nevoie de coordonatele punctelor figurii. Pe ele le vom aplica pe cele alese pe care le-ați ales sistemului nostru de coordonate. Să luăm în considerare desenarea unui dreptunghi, triunghi și cerc.

Să începem cu un dreptunghi. Aplicarea acestuia este destul de ușoară. Mai întâi, patru puncte sunt aplicate planului, indicând colțurile dreptunghiului. Apoi, toate punctele sunt conectate secvenţial între ele.

Desenarea unui triunghi nu este diferită. Singurul lucru este că are trei colțuri, ceea ce înseamnă că trei puncte sunt aplicate planului, indicând vârfurile acestuia.

În ceea ce privește cercul, aici ar trebui să cunoașteți coordonatele a două puncte. Primul punct este centrul cercului, al doilea este punctul care indică raza acestuia. Aceste două puncte sunt reprezentate pe un plan. Apoi se ia o busolă, se măsoară distanța dintre două puncte. Punctul busolei este plasat într-un punct care indică centrul și este descris un cerc.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat aici, principalul lucru este că există întotdeauna o riglă și o busolă la îndemână.

Acum știți cum să trasați coordonatele formei. Pe planul de coordonate, acest lucru nu este atât de greu de făcut, așa cum ar părea la prima vedere.

concluzii

Așadar, am considerat împreună cu tine unul dintre cele mai interesante și de bază concepte de matematică cu care trebuie să se confrunte fiecare elev.

Am aflat că planul de coordonate este planul format prin intersecția a două axe. Cu ajutorul acestuia, puteți seta coordonatele punctelor, puteți pune forme pe el. Avionul este împărțit în sferturi, fiecare având propriile caracteristici.

Principala abilitate care ar trebui dezvoltată atunci când lucrați cu planul de coordonate este abilitatea de a reprezenta corect punctele date pe acesta. Pentru a face acest lucru, ar trebui să cunoașteți locația corectă a axelor, caracteristicile sferturilor, precum și regulile prin care sunt stabilite coordonatele punctelor.

Sperăm că informațiile furnizate de noi au fost accesibile și de înțeles, și că au fost utile și pentru dvs. și au ajutat la înțelegerea mai bună a acestui subiect.

• Două drepte de coordonate reciproc perpendiculare care se intersectează în punctul O - originea, formă sistem de coordonate dreptunghiular, numit și sistem de coordonate carteziene.
• Se numeste planul pe care este ales sistemul de coordonate plan de coordonate. Liniile de coordonate sunt numite axele de coordonate. Orizontală - axa absciselor (Ox), verticală - axa ordonatelor (Oy).
• Axele de coordonate împart planul de coordonate în patru părți - sferturi. Numerele de serie ale sferturii sunt de obicei numărate în sens invers acelor de ceasornic.
• Orice punct din planul de coordonate este dat de coordonatele sale - abscisa si ordonata. De exemplu, A(3; 4). Se citesc: punctul A cu coordonatele 3 și 4. Aici 3 este abscisa, 4 este ordonata.

I. Construcția punctului A(3; 4).

Abscisă 3 arată că de la origine – punctul O trebuie amânat spre dreapta 3 un singur segment și apoi lăsați deoparte 4 un singur segment și puneți un punct.

Acesta este punctul A(3; 4).

Construcția punctului B (-2; 5).

Pune deoparte de la zero la stânga 2 o singură tăietură și apoi în sus 5 tăieturi unice.

Punem capăt V.

De obicei luate ca un singur segment 1 celulă.

II. Construiți puncte în planul de coordonate xOy:

A(-3;1);B(-1;-2);

C(-2:4);D(2;3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Determinați coordonatele punctelor construite: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);IN 20);

C(3; 4);D(6;5);

F(0;-3);K(5;-2).

Un sistem ordonat de două sau trei axe care se intersectează perpendiculare între ele, cu o origine comună (origine) și o unitate comună de lungime se numește sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare .

Sistemul general de coordonate carteziene (sistem de coordonate afine) pot include, de asemenea, axe nu neapărat perpendiculare. În onoarea matematicianului francez Rene Descartes (1596-1662), este numit un astfel de sistem de coordonate în care o unitate comună de lungime este numărată pe toate axele, iar axele sunt drepte.

Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan are două axe sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu - trei axe. Fiecare punct dintr-un plan sau din spațiu este determinat de un set ordonat de coordonate - numere în conformitate cu lungimea unității a sistemului de coordonate.

Rețineți că, după cum reiese din definiție, există un sistem de coordonate carteziene pe o linie dreaptă, adică într-o singură dimensiune. Introducerea coordonatelor carteziene pe o linie dreaptă este una dintre modalitățile prin care oricărui punct de pe o dreaptă i se atribuie un număr real bine definit, adică o coordonată.

Metoda coordonatelor, care a apărut în lucrările lui René Descartes, a marcat o restructurare revoluționară a întregii matematici. A devenit posibilă interpretarea ecuațiilor (sau inegalităților) algebrice sub formă de imagini geometrice (grafice) și, invers, căutarea unei soluții la problemele geometrice folosind formule analitice, sisteme de ecuații. Da, inegalitate z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy si situat deasupra acestui plan cu 3 unitati.

Cu ajutorul sistemului de coordonate carteziene, apartenența unui punct la o curbă dată corespunde faptului că numerele Xși y satisface o ecuație. Deci, coordonatele unui punct al unui cerc centrat într-un punct dat ( A; b) satisface ecuația (X - A)² + ( y - b)² = R² .

Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan

Două axe perpendiculare pe un plan cu o origine comună și aceeași formă de unitate de scară Sistemul de coordonate carteziene în plan . Una dintre aceste axe se numește axa Bou, sau axa x , celălalt - axa Oi, sau axa y . Aceste axe sunt numite și axe de coordonate. Notează prin MXși My respectiv proiecţia unui punct arbitrar M pe osie Bouși Oi. Cum să obțineți proiecții? Treceți prin punct M Bou. Această linie intersectează axa Bou la punct MX. Treceți prin punct M linie dreaptă perpendiculară pe axă Oi. Această linie intersectează axa Oi la punct My. Acest lucru este prezentat în figura de mai jos.

Xși y puncte M vom numi respectiv mărimile segmentelor dirijate OMXși OMy. Valorile acestor segmente direcționale sunt calculate, respectiv, ca X = X0 - 0 și y = y0 - 0 . coordonate carteziene Xși y puncte M abscisă și ordonată . Faptul că punctul M are coordonate Xși y, se notează după cum urmează: M(X, y) .

Axele de coordonate împart planul în patru cadran , a cărui numerotare este prezentată în figura de mai jos. De asemenea, indică dispunerea semnelor pentru coordonatele punctelor, în funcție de amplasarea acestora într-unul sau altul cadran.

Pe lângă coordonatele dreptunghiulare carteziene din plan, sistemul de coordonate polar este adesea luat în considerare. Despre metoda de trecere de la un sistem de coordonate la altul - în lecție sistem de coordonate polare .

Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu

Coordonatele carteziene din spațiu sunt introduse în analogie completă cu coordonatele carteziene dintr-un plan.

Trei axe reciproc perpendiculare în spațiu (axe de coordonate) cu o origine comună Oși aceeași formă de unitate de scară Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu .

Una dintre aceste axe se numește axa Bou, sau axa x , celălalt - axa Oi, sau axa y , a treia - axa Oz, sau aplica axa . Lăsa MX, My Mz- proiecții ale unui punct arbitrar M spatii pe axa Bou , Oiși Oz respectiv.

Treceți prin punct M BouBou la punct MX. Treceți prin punct M plan perpendicular pe axa Oi. Acest plan intersectează axa Oi la punct My. Treceți prin punct M plan perpendicular pe axa Oz. Acest plan intersectează axa Oz la punct Mz.

Coordonate dreptunghiulare carteziene X , yși z puncte M vom numi respectiv mărimile segmentelor dirijate OMX, OMyși OMz. Valorile acestor segmente direcționale sunt calculate, respectiv, ca X = X0 - 0 , y = y0 - 0 și z = z0 - 0 .

coordonate carteziene X , yși z puncte M sunt denumite în mod corespunzător abscisă , ordonată și aplicatie .

Luate în perechi, axele de coordonate sunt situate în planurile de coordonate xOy , yOzși zOx .

Probleme despre punctele din sistemul de coordonate carteziene

Exemplul 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Găsiți coordonatele proiecțiilor acestor puncte pe axa x.

Soluţie. După cum reiese din partea teoretică a acestei lecții, proiecția unui punct pe axa x este situată pe axa x în sine, adică pe axa Bou, și, prin urmare, are o abscisă egală cu abscisa punctului însuși și o ordonată (coordonată pe axă Oi, pe care axa x o intersectează în punctul 0), egal cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale acestor puncte pe axa x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Exemplul 2 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Găsiți coordonatele proiecțiilor acestor puncte pe axa y.

Soluţie. După cum reiese din partea teoretică a acestei lecții, proiecția unui punct pe axa y este situată pe axa y în sine, adică pe axa Oi, și, prin urmare, are o ordonată egală cu ordonata punctului însuși și o abscisă (coordonata pe axă Bou, pe care axa y o intersectează în punctul 0), egal cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale acestor puncte pe axa y:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Exemplul 3 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Bou .

Bou Bou Bou, va avea aceeași abscisă ca și punctul dat, iar ordonata egală în valoare absolută cu ordonata punctului dat și opusă în semn acesteia. Deci obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de aceste puncte în jurul axei Bou :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Rezolvați singur problemele din sistemul de coordonate carteziene și apoi uitați-vă la soluții

Exemplul 4 Determinați în ce cadrane (sferturi, figură cu cadrane - la sfârșitul paragrafului „Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în plan”) poate fi localizat punctul M(X; y) , dacă

1) X y > 0 ;

2) X y < 0 ;

3) X − y = 0 ;

4) X + y = 0 ;

5) X + y > 0 ;

6) X + y < 0 ;

7) X − y > 0 ;

8) X − y < 0 .

Exemplul 5 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(A; b) .

Găsiți coordonatele punctelor simetrice față de aceste puncte în jurul axei Oi .

Continuăm să rezolvăm problemele împreună

Exemplul 6 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Găsiți coordonatele punctelor simetrice față de aceste puncte în jurul axei Oi .

Soluţie. Rotiți cu 180 de grade în jurul axei Oi segment de linie direcționat dintr-o axă Oi pana la acest punct. În figură, unde sunt indicate cadranele planului, vedem că punctul simetric cu cel dat în raport cu axa Oi, va avea aceeași ordonată ca și punctul dat și o abscisă egală în valoare absolută cu abscisa punctului dat și opusă în semn acesteia. Deci obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de aceste puncte în jurul axei Oi :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Exemplul 7 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Găsiți coordonatele punctelor care sunt simetrice față de aceste puncte în raport cu originea.

Soluţie. Rotim cu 180 de grade în jurul originii segmentului direcționat mergând de la origine la punctul dat. În figură, în care sunt indicate cadranele planului, vedem că un punct simetric unuia dat față de originea coordonatelor va avea o abscisă și o ordonată egale în valoare absolută cu abscisa și ordonata punctului dat. , dar opus în semn lor. Deci obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de aceste puncte în raport cu originea:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Exemplul 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Găsiți coordonatele proiecțiilor acestor puncte:

1) într-un avion Oxy ;

2) la avion Oxz ;

3) la avion Oyz ;

4) pe axa absciselor;

5) pe axa y;

6) pe axa aplicației.

1) Proiectia unui punct pe un plan Oxy situat pe acest plan însuși și, prin urmare, are o abscisă și ordonată egale cu abscisa și ordonata punctului dat și o aplicație egală cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Proiectia unui punct pe un plan Oxz situat pe acest plan însuși și, prin urmare, are o abscisă și aplicată egale cu abscisa și aplicatul punctului dat și o ordonată egală cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Proiectia unui punct pe un plan Oyz este situat pe acest plan însuși și, prin urmare, are o ordonată și o aplicată egale cu ordonata și aplicata unui punct dat și o abscisă egală cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) După cum reiese din partea teoretică a acestei lecții, proiecția unui punct pe axa x este situată pe axa x în sine, adică pe axa Bou, și, prin urmare, are o abscisă egală cu abscisa punctului însuși, iar ordonata și aplicata proiecției sunt egale cu zero (deoarece axele ordonatelor și aplicate intersectează abscisa în punctul 0). Obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe axa x:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Proiecția unui punct pe axa y este situată pe axa y însăși, adică pe axa Oi, și, prin urmare, are o ordonată egală cu ordonata punctului însuși, iar abscisa și aplicația proiecției sunt egale cu zero (deoarece abscisa și axele aplicate intersectează axa ordonatelor în punctul 0). Obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe axa y:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Proiecția unui punct pe axa aplicată este situată pe axa aplicată însăși, adică axa Oz, și, prin urmare, are o aplicație egală cu aplicata punctului însuși, iar abscisa și ordonata proiecției sunt egale cu zero (deoarece abscisa și axele ordonatelor intersectează axa aplicată în punctul 0). Obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe axa aplicată:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Exemplul 9 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene în spațiu

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Găsiți coordonatele punctelor care sunt simetrice față de aceste puncte în raport cu:

1) avion Oxy ;

2) avion Oxz ;

3) avion Oyz ;

4) axa absciselor;

5) axa y;

6) axa aplicatiei;

7) originea coordonatelor.

1) „Avansați” punctul de pe cealaltă parte a axei Oxy Oxy, va avea o abscisă și o ordonată egale cu abscisa și ordonata punctului dat și o aplicată egală ca mărime cu aplicatul punctului dat, dar opus ca semn acestuia. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele în raport cu planul Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) „Avansați” punctul de pe cealaltă parte a axei Oxz pe aceeași distanță. Conform figurii care afiseaza spatiul de coordonate, vedem ca punctul simetric fata de cel dat fata de axa Oxz, va avea o abscisă și aplicată egale cu abscisa și aplicata punctului dat și o ordonată egală ca mărime cu ordonata punctului dat, dar opusă ca semn acestuia. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele în raport cu planul Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) „Avansați” punctul de pe cealaltă parte a axei Oyz pe aceeași distanță. Conform figurii care afiseaza spatiul de coordonate, vedem ca punctul simetric fata de cel dat fata de axa Oyz, va avea o ordonata si o aplicata egale cu ordonata si o aplicata a punctului dat, si o abscisa egala ca marime cu abscisa punctului dat, dar opus ca semn acestuia. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele în raport cu planul Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Prin analogie cu punctele simetrice din plan și cu punctele din spațiu simetrice față de datele referitoare la planuri, observăm că în cazul simetriei în jurul unei axe a sistemului de coordonate carteziene în spațiu, coordonatele de pe axa în jurul căreia este stabilită simetria va își păstrează semnul, iar coordonatele celorlalte două axe vor fi aceleași ca valoare absolută cu coordonatele punctului dat, dar opuse ca semn.

4) Abscisa își va păstra semnul, în timp ce ordonata și aplicatul își vor schimba semnele. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele despre axa x:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinata își va păstra semnul, în timp ce abscisa și aplicatul își vor schimba semnele. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele despre axa y:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplicatul își va păstra semnul, iar abscisa și ordonata își vor schimba semnele. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele despre axa aplicată:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Prin analogie cu simetria în cazul punctelor de pe un plan, în cazul simetriei cu privire la originea coordonatelor, toate coordonatele unui punct simetric cu un punct dat vor fi egale în valoare absolută cu coordonatele unui punct dat, dar opus în semn lor. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor care sunt simetrice cu datele în raport cu originea.

Lasă dat ecuație cu două variabile F(x; y). Ați învățat deja cum să rezolvați astfel de ecuații analitic. Mulțimea soluțiilor unor astfel de ecuații poate fi reprezentată și sub forma unui grafic.

Graficul ecuației F(x; y) este mulțimea de puncte ale planului de coordonate xOy ale căror coordonate satisfac ecuația.

Pentru a reprezenta o ecuație cu două variabile, mai întâi exprimați variabila y în termenii variabilei x din ecuație.

Cu siguranță știți deja cum să construiți diverse grafice de ecuații cu două variabile: ax + b \u003d c este o linie dreaptă, yx \u003d k este o hiperbolă, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 este un cerc a cărui rază este R, iar centrul este în punctul O(a; b).

Exemplul 1

Trasează ecuația x 2 - 9y 2 = 0.

Soluţie.

Să factorizăm partea stângă a ecuației.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, adică y = x/3 sau y = -x/3.

Răspuns: figura 1.

Un loc aparte îl ocupă alocarea cifrelor pe plan prin ecuații care conțin semnul valorii absolute, asupra cărora ne vom opri în detaliu. Luați în considerare etapele de reprezentare a ecuațiilor de forma |y| = f(x) și |y| = |f(x)|.

Prima ecuație este echivalentă cu sistemul

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) sau y = -f(x).

Adică, graficul său este format din grafice cu două funcții: y = f(x) și y = -f(x), unde f(x) ≥ 0.

Pentru a reprezenta graficul celei de-a doua ecuații, sunt reprezentate grafice a două funcții: y = f(x) și y = -f(x).

Exemplul 2

Trasează ecuația |y| = 2 + x.

Soluţie.

Ecuația dată este echivalentă cu sistemul

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 sau y = -x - 2.

Construim un set de puncte.

Răspuns: figura 2.

Exemplul 3

Trasează ecuația |y – x| = 1.

Soluţie.

Dacă y ≥ x, atunci y = x + 1, dacă y ≤ x, atunci y = x - 1.

Răspuns: figura 3.

Când construiți grafice ale ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului, este convenabil și rațional să utilizați metoda zonei, bazat pe împărțirea planului de coordonate în părți în care fiecare expresie de submodul își păstrează semnul.

Exemplul 4

Trasează ecuația x + |x| + y + |y| = 2.

Soluţie.

În acest exemplu, semnul fiecărei expresii submodulului depinde de cadranul de coordonate.

1) În primul trimestru de coordonate x ≥ 0 și y ≥ 0. După extinderea modulului, ecuația dată va arăta astfel:

2x + 2y = 2, iar după simplificare x + y = 1.

2) În al doilea trimestru, unde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) În trimestrul al treilea x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) În al patrulea trimestru, pentru x ≥ 0 și y< 0 получим, что x = 1.

Vom reprezenta această ecuație în sferturi.

Răspuns: figura 4.

Exemplul 5

Desenați o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac egalitatea |x – 1| + |y – 1| = 1.

Soluţie.

Zerourile expresiilor submodulului x = 1 și y = 1 împart planul de coordonate în patru regiuni. Să defalcăm modulele în funcție de regiune. Să punem asta sub forma unui tabel.

Regiune	Semnul expresiei submodulului	Ecuația rezultată după extinderea modulului
eu	x ≥ 1 și y ≥ 1	x + y = 3
II	X< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	X< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 și y< 1	x – y = 1

Răspuns: figura 5.

Pe planul de coordonate pot fi specificate cifre și inegalităților.

Graficul inegalității cu două variabile este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate ale căror coordonate sunt soluții ale acestei inegalități.

Considera algoritm pentru construirea unui model pentru rezolvarea unei inegalități cu două variabile:

1. Notați ecuația corespunzătoare inegalității.
2. Trasează ecuația de la pasul 1.
3. Alegeți un punct arbitrar într-unul dintre semiplanuri. Verificați dacă coordonatele punctului selectat satisfac inegalitatea dată.
4. Desenați grafic mulțimea tuturor soluțiilor inegalității.

Luați în considerare, în primul rând, inegalitatea ax + bx + c > 0. Ecuația ax + bx + c = 0 definește o dreaptă care împarte planul în două semiplane. În fiecare dintre ele, funcția f(x) = ax + bx + c este păstrătoare de semne. Pentru a determina acest semn, este suficient să luați orice punct aparținând semiplanului și să calculați valoarea funcției în acest punct. Dacă semnul funcției coincide cu semnul inegalității, atunci acest semiplan va fi soluția inegalității.

Luați în considerare exemple de soluții grafice pentru cele mai comune inegalități cu două variabile.

1) ax + bx + c ≥ 0. Figura 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Figura 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figura 8.

4) y ≥ x2. Figura 9

5) xy ≤ 1. Figura 10.

Dacă aveți întrebări sau doriți să exersați modelarea mulțimilor tuturor soluțiilor inegalităților cu două variabile folosind modelarea matematică, puteți lecție gratuită de 25 de minute cu un tutor online după . Pentru a lucra în continuare cu profesorul, vei avea ocazia să-l alegi pe cel care ți se potrivește cel mai bine.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să desenezi o figură pe planul de coordonate?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.