Numere naturale (N). Numere prime și compuse. Divizor, multiplu. Cel mai mare divizor comun, cel mai mic multiplu comun. „Numere întregi. semne de divizibilitate. Scăderea GCD și LCM. minuend - subtrahend = diferență

Numărul natural este unul dintre conceptele de bază și poate unul dintre primele concepte ale matematicii.

Mulțimea numerelor naturale = (1, 2, 3…). Adică, mulțimea numerelor naturale este mulțimea tuturor numerelor întregi pozitive. Operațiile de adunare, înmulțire, scădere și împărțire sunt definite pe numere naturale. Rezultatul adunării, înmulțirii și scăderii a două numere naturale este un număr întreg. Iar rezultatul împărțirii a două numere naturale poate fi fie un număr întreg, fie un număr fracționar.

De exemplu: 20: 4 = 5 - rezultatul împărțirii este un număr întreg.
20: 3 \u003d 6 2/3 - rezultatul împărțirii este un număr fracționar.
Se spune că un număr natural n este divizibil cu un număr natural m dacă rezultatul împărțirii este un număr întreg. În acest caz, numărul m se numește divizor al numărului n, iar numărul n este numit multiplu al numărului m.

În primul exemplu, 20 este divizibil cu 4, 4 este un divizor al lui 20, 20 este un multiplu al lui 4.
În al doilea exemplu, numărul 20 nu este divizibil cu numărul 3, deci nu poate fi vorba de divizori și multipli.

Un număr n se numește prim dacă nu are alți divizori decât el însuși și unul. Exemple de numere prime: 2, 7, 11, 97 etc.
Un număr n se numește compus dacă are alți divizori decât el însuși și unul.

Orice număr natural poate fi descompus într-un produs de numere prime, iar această descompunere este unică, până la ordinea factorilor. De exemplu: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - toate aceste expansiuni diferă doar în ordinea factorilor.

Cel mai mare divizor comun al două numere m și n este cel mai mare număr natural care este un divizor atât al lui m, cât și al lui n. De exemplu, pentru numerele 34 și 85, cel mai mare divizor comun este 17.

Cel mai mic multiplu comun al două numere m și n este cel mai mic număr natural care este un multiplu atât al lui m, cât și al lui n. De exemplu, pentru numerele 15 și 4, cel mai mic multiplu comun ar fi 60.

Un număr natural divizibil cu două numere prime este, de asemenea, divizibil cu produsul lor. De exemplu, dacă un număr este divizibil cu 2 și 3, atunci este și divizibil cu 6 = 23, dacă cu 11 și cu 7, atunci cu 77.

Exemplu: numărul 6930 este divizibil cu 11 - 6930: 11 \u003d 630 și este divizibil cu 7 - 6930: 7 \u003d 990. Putem spune cu siguranță că acest număr este și divizibil cu 77. Să verificăm: 77 \u003d: u003d 90.

Algoritm pentru descompunerea numărului n în factori primi:

1. Aflați cel mai mic divizor prim al lui n (altul decât 1) - a1.
2. Împărțiți numărul n la a1, notați câtul cu n1.
3. n=a1 n1.
4. Facem aceeași operație cu n1 până obținem un număr prim.

Exemplu: Factorizarea numărului 17.136 în factori primi

1. Cel mai mic divizor prim, altul decât 1, este 2.

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. Cel mai mic divizor prim al lui 8568 este 2.

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. Cel mai mic divizor prim al lui 4284 este 2.

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. Cel mai mic divizor prim al lui 2142 este 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. Cel mai mic divizor prim al lui 1071 este 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. Cel mai mic divizor prim al lui 357 este 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. Cel mai mic divizor prim al lui 119 este 7.

20. 119: 7 = 17;

21. 17 este un număr prim, deci 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.

Am obținut o descompunere a numărului 17.136 în factori primi.

multiplu comun al numerelor naturaleAșibeste un număr care este un multiplu al fiecăruia dintre numerele date.

Cel mai mic număr dintre toți multiplii comuni Ași b numit cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor Ași b să notăm K( A, b).

De exemplu, două numere 12 și 18 sunt multipli comuni: 36, 72, 108, 144, 180 etc. Numărul 36 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 18. Puteți scrie: K (12, 18) \u003d 36.

Pentru cel mai mic multiplu comun, următoarele afirmații sunt adevărate:

1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor Ași b

2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor Ași b nu mai puțin decât cel mai mare dintre numerele date, adică dacă a >b, apoi K( A, b) ≥ A.

3. Orice multiplu comun de numere Ași b este divizibil cu cel mai mic multiplu comun al acestora.

Cel mai mare divizor comun

Divizor comun al numerelor naturale a șibeste numărul care este divizorul fiecăruia dintre numerele date.

Cel mai mare număr dintre toți divizorii comuni ai numerelor Ași b se numește cel mai mare divizor comun al numerelor date.

Cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b să notăm D( A, b).

De exemplu, pentru numerele 12 și 18, divizorii comuni sunt numerele: 1, 2, 3, 6. Numărul 6 este 12 și 18. Puteți scrie: D(12, 18) = 6.

Numărul 1 este un divizor comun al oricăror două numere naturale Ași b. Dacă aceste numere nu au alți divizori comuni, atunci D( A, b) = 1, iar numerele Ași b numit coprime.

De exemplu, numerele 14 și 15 sunt între prime deoarece D(14, 15) = 1.

Pentru cel mai mare divizor comun, următoarele afirmații sunt adevărate:

1. Cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b există întotdeauna și este unic.

2. Cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b nu depășește cel mai mic dintre numerele date, adică dacă A< b, atunci D(A, b) ≤ A.

3. Cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b este divizibil cu orice divizor comun al acestor numere.

Cel mai mare multiplu comun al numerelor Ași b iar cel mai mare divizor comun al lor sunt legate: produsul dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b este egal cu produsul acestor numere, adică K( A, b)D( A, b) = A· b.

Consecințele rezultă din această declarație:

a) Cel mai mic multiplu comun al a doua numere prime relativ este egal cu produsul acestor numere, i.e. D( A, b) = 1 => K( A, b) = A· b;

De exemplu, pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 14 și 15, este suficient să le înmulțim, deoarece D(14, 15) = 1.

b) A divizibil cu produsul numerelor coprime mși n, este necesar și suficient ca acesta să fie divizibil cu m, și pe n.

Această afirmație este un semn de divizibilitate prin numere, care poate fi reprezentată ca un produs a două numere coprime.

c) Coeficientii obtinuti prin impartirea a doua numere date la cel mai mare divizor comun al lor sunt numere coprime.

Această proprietate poate fi utilizată atunci când se verifică corectitudinea celui mai mare divizor comun găsit al numerelor date. De exemplu, să verificăm dacă numărul 12 este cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 36. Pentru a face acest lucru, conform ultimei afirmații, împărțim 24 și 36 la 12. Obținem numerele 2 și, respectiv, 3, care sunt coprime. Prin urmare, D(24, 36)=12.

Sarcina 32. Formulați și demonstrați testul de divizibilitate cu 6.

Soluţie X este divizibil cu 6, este necesar și suficient ca acesta să fie divizibil cu 2 și 3.

Lasă numărul X este divizibil cu 6. Apoi din faptul că X 6 și 62, rezultă că X 2. Și din faptul că X 6 și 63, rezultă că X 3. Am demonstrat că pentru ca un număr să fie divizibil cu 6, el trebuie să fie divizibil cu 2 și 3.

Să arătăm suficiența acestei condiții. pentru că X 2 și X 3, atunci X- multiplu comun al numerelor 2 si 3. Orice multiplu comun al numerelor este divizibil cu cel mai mic multiplu al acestora, ceea ce inseamna X K(2;3).

Deoarece D(2, 3)=1, atunci K(2, 3)=2 3=6. Prin urmare, X 6.

Sarcina 33. Formulează la 12, 15 și 60.

Soluţie. Pentru un număr natural X este divizibil cu 12, este necesar și suficient ca acesta să fie divizibil cu 3 și 4.

Pentru un număr natural X este divizibil cu 15, este necesar și suficient ca acesta să fie divizibil cu 3 și 5.

Pentru un număr natural X este divizibil cu 60, este necesar și suficient ca acesta să fie divizibil cu 4, 3 și 5.

Sarcina 34. Găsiți numere Ași b, dacă K( a, b)=75, A· b=375.

Soluţie. Folosind formula K( a,b)D( a,b)=A· b, găsim cel mai mare divizor comun al numerelor dorite Ași b:

D( A, b) === 5.

Apoi numerele dorite pot fi reprezentate ca A= 5R, b= 5q, Unde pși q pși 5 qîn egalitate a b= 275. Obțineți 5 p·5 q=375 sau p· q=15. Rezolvăm ecuația rezultată cu două variabile prin selecție: găsim perechi de numere coprime al căror produs este egal cu 15. Există două astfel de perechi: (3, 5) și (1, 15). Prin urmare, numerele dorite Ași b acestea sunt: ​​15 și 25 sau 5 și 75.

Sarcina 35. Găsiți numere Ași b, dacă se știe că D( A, b) = 7 și A· b= 1470.

Soluţie. Din moment ce D( A, b) = 7, atunci numerele dorite pot fi reprezentate ca A= 7R, b= 7q, Unde pși q sunt numere relativ prime. Expresii de substituție 5 Rși 5 qîn egalitate a b = 1470. Apoi 7 p 7 q= 1470 sau p· q= 30. Rezolvăm prin selecție ecuația rezultată cu două variabile: găsim perechi de numere coprime al căror produs este egal cu 30. Există patru astfel de perechi: (1, 30), (2, 15), (3, 10) , (5, 6). Prin urmare, numerele dorite Ași b acestea sunt: ​​7 și 210, 14 și 105, 21 și 70, 35 și 42.

Sarcina 36. Găsiți numere Ași b, dacă se știe că D( A, b) = 3 și A:b= 17:14.

Soluţie. pentru că A:b= 17:14, atunci A= 17Rși b= 14p, Unde R- cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b. Prin urmare, A= 17 3 = 51, b= 14 3 = 42.

Problema 37. Găsiți numere Ași b, dacă se știe că K( A, b) = 180, A:b= 4:5.

Soluţie. pentru că A: b=4: 5, atunci A=4Rși b=5R, Unde R- cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b. Atunci R 180=4 R·5 R. Unde R=9. Prin urmare, a= 36 și b=45.

Problema 38. Găsiți numere Ași b, dacă se știe că D( a,b)=5, K( a,b)=105.

Soluţie. Din moment ce D( A, b) K( A, b) = A· b, atunci A· b= 5 105 = 525. În plus, numerele dorite pot fi reprezentate ca A= 5Rși b= 5q, Unde pși q sunt numere relativ prime. Expresii de substituție 5 Rși 5 qîn egalitate A· b= 525. Apoi 5 p·5 q=525 sau p· q=21. Găsim perechi de numere coprime al căror produs este egal cu 21. Există două astfel de perechi: (1, 21) și (3, 7). Prin urmare, numerele dorite Ași b acestea sunt: ​​5 și 105, 15 și 35.

Sarcina 39. Demonstrează că numărul n(2n+ 1)(7n+ 1) este divizibil cu 6 pentru orice natură n.

Soluţie. Numărul 6 este compus, poate fi reprezentat ca produs a două numere coprime: 6 = 2 3. Dacă demonstrăm că un număr dat este divizibil cu 2 și 3, atunci, pe baza testului de divizibilitate cu un număr compus, putem concluziona că este divizibil cu 6.

Pentru a demonstra că numărul n(2n+ 1)(7n+ 1) este divizibil cu 2, există două posibilități de luat în considerare:

1) n este divizibil cu 2, adică n= 2k. Apoi produsul n(2n+ 1)(7n+ 1) va arăta astfel: 2 k(4k+ 1)(14k+ 1). Acest produs este divizibil cu 2, deoarece primul factor este divizibil cu 2;

2) n nu este divizibil cu 2, adică n= 2k+ 1. Apoi produsul n(2n+ 1 )(7n+ 1) va arăta astfel: (2 k+ 1)(4k+ 3)(14k+ 8). Acest produs este divizibil cu 2, deoarece ultimul factor este divizibil cu 2.

Pentru a demonstra că munca n(2n+ 1)(7n+ 1) este divizibil cu 3, trebuie luate în considerare trei posibilități:

1) n este divizibil cu 3, adică n= 3k. Apoi produsul n(2n+ 1)(7n+ 1) va arăta astfel: 3 k(6k+ 1)(21k+ 1). Acest produs este divizibil cu 3, deoarece primul factor este divizibil cu 3;

2) n când este împărțit la 3, restul este 1, adică n= 3k+ 1. Apoi produsul n(2n+ 1)(7n+ 1) va arăta astfel: (3 k+ 1)(6k+ 3)(21k+ 8). Acest produs este divizibil cu 3, deoarece al doilea factor este divizibil cu 3;

3) n când este împărțit la 3, dă un rest de 2, adică n= 3k+ 2. Apoi produsul n(2n+ 1)(7n+ 1) va arăta astfel: (3 k+ 2)(6k+ 5)(21k+ 15). Acest produs este divizibil cu 3, deoarece ultimul factor este divizibil cu 3.

Deci, este dovedit că produsul n(2n+ 1)(7n+ 1) este divizibil cu 2 și 3. Deci este divizibil cu 6.

Exerciții pentru munca independentă

1. Se dau doua numere: 50 si 75. Noteaza multimea:

a) divizori ai numărului 50; b) divizori ai numărului 75; c) divizori comuni ai acestor numere.

Care este cel mai mare divizor comun al 50 și 75?

2. Este numărul 375 un multiplu comun al numerelor: a) 125 și 75; b) 85 și 15?

3. Găsiți numere Ași b, dacă se știe că K( A, b) = 105, A· b= 525.

4. Găsiți numere Ași b, dacă se știe că D( A, b) = 7, A· b= 294.

5. Găsiți numere Ași b, dacă se știe că D( A, b) = 5, A:b= 13:8.

6. Găsiți numere Ași b, dacă se știe că K( A, b) = 224, A:b= 7:8.

7. Găsiți numere Ași b, dacă se știe că D( A, b) = 3, K( A; b) = 915.

8. Demonstrați testul de divizibilitate cu 15.

9. Din mulțimea numerelor 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 scrieți-le pe cele care sunt divizibile cu 12.

10. Formulați semne de divizibilitate cu 18, 36, 45, 75.

Sinopsis cuvinte cheie:numere întregi. Operatii aritmetice pe numere naturale. Divizibilitatea numerelor naturale. Numere prime și compuse. Descompunerea unui număr natural în factori primi. Semne de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Cel mai mare divizor comun (MCD), precum și cel mai mic multiplu comun (LCM). Împărțire cu rest.

numere întregi sunt numere care sunt folosite pentru a număra obiecte - 1, 2, 3, 4 , … Dar numărul 0 nu este firesc!

Mulțimea numerelor naturale este N. Înregistrare "3 ∈ N"înseamnă că numărul trei aparține mulțimii numerelor naturale, iar notația „0 ∉ N”înseamnă că numărul zero nu aparține acestei mulțimi.

Sistem de numere zecimale- sistem de numere pozițional bazat pe 10 .

Operatii aritmetice pe numere naturale

Pentru numerele naturale, sunt definite următoarele acțiuni: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, exponențiere, extracție rădăcină. Primii patru pași sunt aritmetic.

Fie a, b și c numere naturale, atunci

1. ADULTARE. Termen + Termen = Sumă

Proprietăți de adaos
1. Comutativ a + b = b + a.
2. Combinația a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. SCADĂ. Redus - Scăzut = Diferență

proprietăți de scădere
1. Scăderea sumei din numărul a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. Scăderea unui număr din suma (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a \u003d 0.

3. MULTIPLICARE. Multiplicator * Multiplicator = Produs

Proprietăți de multiplicare
1. Comutativ a * b \u003d b * a.
2. Combinativ a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Distribuția (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.

4. DIVIZIUNEA. Dividend: Divizor = coeficient

proprietățile diviziunii
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Nu poți împărți la zero!
3. 0: a=0.

Procedură

1. În primul rând, acțiunile între paranteze.
2. Apoi înmulțirea, împărțirea.
3. Și numai la sfârșitul adunării, scăderii.

Divizibilitatea numerelor naturale. Numere prime și compuse.

Împărțitor al unui număr natural A se numeste numarul natural prin care Aîmpărțit fără rest. Număr 1 este un divizor al oricărui număr natural.

Numărul natural este numit simplu doar dacă are Două divizor: unu și numărul însuși. De exemplu, numerele 2, 3, 11, 23 sunt numere prime.

Se numește un număr cu mai mult de doi divizori compozit. De exemplu, numerele 4, 8, 15, 27 sunt numere compuse.

semn de divizibilitate lucrări mai multe numere: dacă cel puțin unul dintre factori este divizibil cu un anumit număr, atunci produsul este și el divizibil cu acest număr. Muncă 24 15 77 impartit de 12 , deoarece factorul acestui număr 24 impartit de 12 .

Semnul divizibilității sumei (diferența) numere: dacă fiecare termen este divizibil cu un număr, atunci întreaga sumă este divizibilă cu acest număr. Dacă a:bși c:b, atunci (a + c): b. Si daca a:b, A c nedivizibil cu b, atunci a+c nedivizibil prin număr b.

Dacă a:cși c:b, atunci a:b. Pe baza faptului că 72:24 și 24:12, concluzionăm că 72:12.

Se numește reprezentarea unui număr ca produs al puterilor numerelor prime descompunerea unui număr în factori primi.

Teorema fundamentală a aritmeticii: orice număr natural (cu excepția 1 ) sau este simplu, sau poate fi descompus în factori primi într-un singur mod.

La descompunerea unui număr în factori primi se folosesc semnele de divizibilitate și se folosește notația „coloană”, în acest caz, divizorul este situat în dreapta barei verticale, iar coeficientul este scris sub dividend.

De exemplu, sarcina: descompuneți un număr în factori primi 330 . Soluţie:

Semne de divizibilitate prin 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 și 11.

Există semne de divizibilitate în 6, 15, 45 etc., adică în numere al căror produs poate fi factorizat 2, 3, 5, 9 și 10 .

Cel mai mare divizor comun

Se numește cel mai mare număr natural cu care fiecare dintre cele două numere naturale date este divizibil cel mai mare divizor comun aceste numere ( GCD). De exemplu, mcd (10; 25) = 5; şi GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

Dacă cel mai mare divizor comun a două numere naturale este 1 , atunci aceste numere sunt numite coprime.

Algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun(GCD)

GCD este adesea folosit în probleme. De exemplu, 155 de caiete și 62 de pixuri au fost împărțite în mod egal între elevii aceleiași clase. Câți elevi sunt în această clasă?

Soluţie: Găsirea numărului de elevi din această clasă se reduce la găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor 155 și 62, deoarece caietele și pixurile au fost împărțite în mod egal. 155 = 531; 62 = 231. GCD (155; 62) = 31.

Răspuns: 31 de elevi în clasă.

Cel mai mic multiplu comun

Multiplu al unui număr natural A este un număr natural care este divizibil cu A fără urmă. De exemplu, numărul 8 are multipli: 8, 16, 24, 32 , … Orice număr natural are infiniti multipli.

Cel mai mic multiplu comun(LCM) este cel mai mic număr natural care este un multiplu al acestor numere.

Algoritmul pentru găsirea celui mai mic multiplu comun ( NOC):

LCM este, de asemenea, adesea folosit în probleme. De exemplu, doi bicicliști au pornit în același timp pe pista de biciclete în aceeași direcție. Unul face un cerc în 1 min, iar celălalt în 45 s. În ce număr minim de minute după începerea mișcării se vor întâlni la început?

Soluţie: Numărul de minute după care se reîntâlnesc la start trebuie să fie divizibil cu 1 minut, precum și pe 45 s. În 1 min = 60 s. Adică, este necesar să se găsească LCM (45; 60). 45 = 325; 60 = 22 3 5. NOC (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Ca urmare, se dovedește că bicicliștii se vor întâlni la start după 180 s = 3 min.

Răspuns: 3 min.

Împărțire cu rest

Dacă un număr natural A nedivizibil cu un număr natural b, atunci poți face împărțire cu rest. În acest caz, se numește coeficientul rezultat incomplet. Egalitatea corectă este:

a = b n + r,

Unde A- divizibil b- separator, n- coeficient incomplet, r- restul. De exemplu, să fie dividendul 243 , separator - 4 , atunci 243: 4 = 60 (restul 3). Adică, a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, apoi 243 = 60 4 + 3 .

Numerele care sunt divizibile cu 2 fără urmă, sunt numite chiar: a = 2n,n ∈ N.

Restul numerelor sunt chemate ciudat: b = 2n + 1,n ∈ N.

Acesta este un rezumat al subiectului. „Numere întregi. Semne de divizibilitate». Pentru a continua, selectați pașii următori:

• Treceți la următorul rezumat: