Makarskaya E.V. În carte: Zilele științei studenților. Primăvara - 2011. M.: Universitatea de Stat din Moscova de Economie, Statistică și Informatică, 2011. S. 135-139.

Autorii iau în considerare aplicarea practică a teoriei ecuațiilor diferențiale liniare pentru studiul sistemelor economice. Lucrarea analizează modelele dinamice ale lui Keynes și Samuelson-Hicks cu găsirea stărilor de echilibru ale sistemelor economice.

Ivanov A.I., Isakov I., Demin A.V. și colab. Partea 5.M \u200b\u200b.: Slovo, 2012.

Manualul descrie metodele cantitative pentru studierea consumului de oxigen de către o persoană în timpul testelor cu activitate fizică dozată efectuate la Centrul de Cercetare de Stat al Federației Ruse-IBMP RAS. Manualul este destinat oamenilor de știință, fiziologi și medici care lucrează în domeniul medicinei aerospațiale, subacvatice și sportive.

Mikheev A.V. SPb.: Departamentul de Tipărire Operațională, Școala Superioară de Economie a Universității Naționale de Cercetare - Sankt Petersburg, 2012.

Această colecție conține probleme pentru cursul ecuațiilor diferențiale predate de autor la Facultatea de Economie a Universității Naționale de Cercetare Școala Superioară de Economie - Sankt Petersburg. La începutul fiecărui subiect, este prezentat un scurt rezumat al principalelor fapte teoretice și sunt analizate exemple de soluții la problemele tipice. Pentru studenți și ascultători de programe de învățământ profesional superior.

Konakov V.D. ITS. WP BRP. Editura Consiliului de administrație al Facultății de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova, 2012. Nr. 2012.

Acest manual se bazează pe un curs special ales de student, citit de autor la Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova. M.V. Lomonosov în anii universitari 2010-2012. Manualul îl cunoaște pe cititor cu metoda parametrix și analogul său discret, dezvoltat recent de autorul manualului și de colegii săi. Reunește materiale care anterior erau conținute doar într-un număr de articole de revistă. Fără a depune eforturi pentru o generalitate maximă a prezentării, autorul și-a propus să demonstreze posibilitățile metodei în demonstrarea teoremelor limitelor locale privind convergența lanțurilor Markov la un proces de difuzare și în obținerea unor estimări de tip Aronson pe două fețe pentru unele difuzii degenerate.

Nr. 20. NY: Springer, 2012.

Această publicație este o colecție de articole selectate din „A treia conferință internațională privind dinamica sistemelor informatice” desfășurată la Universitatea din Florida, 16-18 februarie 2011. Scopul acestei conferințe a fost de a reuni oameni de știință și ingineri din industrie, guvern și universități. astfel încât să poată schimba noi descoperiri și rezultate în probleme legate de teoria și practica dinamicii sistemului informațional Dinamica sistemului informațional: Descoperirea matematică este o cercetare modernă și este destinată studenților absolvenți și cercetătorilor interesați de ultimele descoperiri în teoria informației și dinamica informației Oamenii de știință din alte discipline pot beneficia, de asemenea, de aplicarea de noi dezvoltări în domeniile lor de cercetare.

Palvelev R., Sergeev A.G. Institutul de matematică Trudy. V.A. Institutul Steklov al RAS. 2012. Vol. 277.S. 199-214.

Se studiază limita adiabatică în ecuațiile hiperbolice Landau-Ginzburg. Cu ajutorul acestei limite, se stabilește o corespondență între soluțiile ecuațiilor Ginzburg-Landau și traiectorii adiabatice în spațiul modulelor soluțiilor statice, numite vortexuri. Manton a propus un principiu euristic adiabatic, postulând că orice soluție a ecuațiilor Ginzburg-Landau cu o energie cinetică suficient de mică poate fi obținută ca o perturbare a unei traiectorii adiabatice. O dovadă riguroasă a acestui fapt a fost găsită recent de primul autor

Oferim o formulă explicită pentru un cvasi-izomorfism între operele Hycomm (omologia spațiului modulului de curbe stabile de gen 0) și BV / Δ (coeficientul de homotopie al operatei Batalin-Vilkovisky de către operatorul BV). Cu alte cuvinte, obținem o echivalență de algebre Hycomm și BV-algebre îmbunătățite cu o homotopie care banalizează operatorul BV. Aceste formule sunt date în termenii graficelor Givental și sunt dovedite în două moduri diferite. O dovadă folosește acțiunea de grup Givental, iar cealaltă dovadă trece printr-un lanț de formule explicite privind rezoluțiile Hycomm și BV. A doua abordare oferă, în special, o explicație omologică a acțiunii grupului Givental asupra Hycomm-algebrelor.

Sub științific. editat de A. Mikhailov, Vol. 14.M.: Facultatea de sociologie a Universității de Stat din Moscova, 2012.

Articolele din această colecție sunt scrise pe baza rapoartelor făcute în 2011 la Facultatea de Sociologie, Universitatea de Stat din Moscova. M.V. Lomonosov la o întâlnire a celui de-al XIV-lea seminar științific anual interdisciplinar „Modelarea matematică a proceselor sociale”, numit după Eroul Academiei Muncii Socialiste A.A. Samara.

Publicația este destinată cercetătorilor, profesorilor, studenților universităților și instituțiilor științifice ale Academiei de Științe din Rusia, interesați de problemele, dezvoltarea și implementarea metodologiei de modelare matematică a proceselor sociale.

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚE AL FEDERAȚIEI RUSII CERCETARE NAȚIONALĂ UNIVERSITATEA NUCLEARĂ "MEPHI" TI Bukharova, VL Kamynin, AB Kostin, DS Tkachenko Curs de curs despre ecuații diferențiale obișnuite Recomandat de UMO „Fizică și tehnologii nucleare” în ca manual pentru studenții instituțiilor de învățământ superior Moscova 2011 UDC 517.9 BBK 22.161.6 B94 Bukharova T.I., Kamynin V.L., Kostin A.B., Tkachenko D.S. Un curs de prelegeri despre ecuații diferențiale obișnuite: Manual. - M.: NRNU MEPhI, 2011. - 228 p. Manualul se bazează pe un curs de prelegeri susținut de autori la Institutul de Fizică Inginerie din Moscova timp de mulți ani. Este destinat studenților NRNU MEPhI din toate facultățile, precum și studenților cu pregătire matematică avansată. Manualul a fost pregătit în cadrul Programului de creare și dezvoltare NRNU MEPhI. Recenzent: Doctor în fizică-matematică. Științe N.A. Kudryashov. ISBN 978-5-7262-1400-9 © National Research Nuclear University MEPhI, 2011 Cuprins Prefață. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5 I. Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare Concepte de bază. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Problemă cauchy. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6 6 11 II. Existența și unicitatea unei soluții la problema Cauchy pentru o ecuație de ordinul I. Teorema unicității pentru o OLE de ordinul întâi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Existența soluției la problema Cauchy pentru prima ordine OÄE. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Continuarea soluției pentru prima comandă OÄE. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... III. Problemă cauchy pentru un sistem normal de ordinul al n-lea Concepte de bază și unele proprietăți auxiliare ale funcțiilor vectoriale. ... ... ... Unicitatea soluției la problema Cauchy pentru un sistem normal. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ; ... Conceptul de spațiu metric. Principiul imaginilor date. ... ... ... ... ... Teoreme de existență și unicitate pentru soluționarea problemei Cauchy pentru sisteme normale. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14 14 23 34 38 38 43 44 48 IV. Unele clase de ecuații diferențiale ordinare rezolvate în ecuația quadraturilor cu variabile separabile. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Liniar OÄE de prima comandă. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Ecuații omogene. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Ecuația Vernoulli. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Ecuație în total diferențiale. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 55 55 58 63 64 65 V. 67 Ecuații de ordinul întâi care nu sunt rezolvate cu privire la derivată Teorema existenței și unicității soluției DE care nu este rezolvată cu privire la derivată. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... O soluție specială. Curba discriminantă. Mă învârt. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Metoda de introducere a parametrilor. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Ecuația lui Lagran. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Ecuația lui Clairaut. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Vi. Sisteme de ODE liniare Concepte de bază. Teorema existenței și unicității soluției problemei Sisteme omogene de DE liniar. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Determinant al lui Voronsky. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Soluții integrate pentru un sistem omogen. Trecerea la ÔСР real. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Sisteme neomogene de OÄE liniar. Metoda de variație a constantelor. ... ... ... ... Sisteme omogene de OÄE liniar cu coeficienți constanți. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Funcția exponențială a matricei. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 67 70 77 79 81 85 Cauchy 85. ... ... 87. ... ... 91. ... ... ... ... ... 96 97. ... ... o sută . ... ... 111 Sisteme neomogene de DE liniar cu coeficienți constanți. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 116 VII. ODE liniare de ordin înalt Reducerea la un sistem de ODE liniare. Teorema existenței și unicității soluției problemei Cauchy. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... OÄE liniar omogen de înaltă ordine. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Proprietățile soluțiilor complexe de OÄE liniar omogen de ordin înalt. Trecerea de la un SSS complex la real. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... DE liniar neomogen de ordin înalt. Metoda de variație a constantelor. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... OÄE liniar omogen de înaltă ordine cu coeficienți constanți. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ODE liniar neomogen de ordin înalt cu coeficienți constanți. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 126 VIII. Teoria stabilității Concepte de bază și definiții legate de stabilitate. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Stabilitatea soluțiilor unui sistem liniar. ... ... ... ... ... Teoremele de stabilitate ale lui Lyapunov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... Stabilitate la prima aproximare. ... ... ... ... ... ... Comportamentul traiectoriilor de fază în apropierea punctului de repaus 162. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. Primele integrale ale sistemelor ODE 198 Primele integrale ale sistemelor autonome de ecuații diferențiale ordinare 198 Sisteme semi-autonome ale ODE. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 205 Notare simetrică a sistemelor OÄU. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 206 X. Ecuații diferențiale parțiale de ordinul întâi Ecuații diferențiale parțiale liniare omogene de ordinul întâi Problema Cauchy pentru o ecuație diferențială parțială liniară de primul ordin ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Ecuații diferențiale parțiale cvasiliniare de ordinul întâi. ... ... ... Problema Cauchy pentru o ecuație diferențială parțială cvasiliniară de prim ordin. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Bibliografie. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... -4- 210. ... ... ... ... 210. ... ... ... ... 212. ... ... ... ... 216. ... ... ... ... 223. ... ... ... ... 227 PREFAȚĂ În pregătirea cărții, autorii și-au stabilit obiectivul de a colecta într-un singur loc și de a prezenta într-o formă accesibilă informații despre majoritatea problemelor legate de teoria ecuațiilor diferențiale obișnuite. Prin urmare, pe lângă materialul inclus în programa obligatorie a ecuațiilor diferențiale obișnuite predate la NRNU MEPhI (și în alte universități), manualul include și întrebări suplimentare, care, de regulă, nu au suficient timp în prelegeri, dar care vor fi utile pentru o mai bună înțelegere subiect și va fi util studenților actuali în activitățile lor profesionale viitoare. Se oferă dovezi riguroase din punct de vedere matematic pentru toate afirmațiile manualului propus. Aceste dovezi, de regulă, nu sunt originale, dar toate au fost revizuite în conformitate cu stilul de prezentare a cursurilor de matematică la MEPhI. Conform opiniei răspândite în rândul profesorilor și oamenilor de știință, disciplinele matematice ar trebui studiate cu dovezi complete și detaliate, trecând treptat de la simplu la complex. Autorii acestui ghid sunt de aceeași părere. Informațiile teoretice date în carte sunt susținute de o analiză a unui număr suficient de exemple, care, sperăm, vor simplifica studiul materialului de către cititor. Manualul se adresează studenților universitari cu pregătire matematică avansată, în primul rând studenților NRNU MEPhI. În același timp, va fi, de asemenea, util tuturor celor interesați de teoria ecuațiilor diferențiale și care utilizează această ramură a matematicii în munca lor. -5- Capitolul I. Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare 1. 1. Concepte de bază În manual, ha, bi va desemna oricare dintre mulțimile (a, b) ,, (a, b] ,, obținem x0 2 Zx ln 4C + 3 u (t) v (t) dt5 Zx v (t) dt. Ln C 6 x0 x0 După potențarea ultimei inegalități și aplicarea (2.3), avem 2 x 3 Zx Z u (x) 6 C + u (t) v (t) dt 6 C exp 4 v (t) dt5 x0 x0 pentru toate x 2 [1, 1]. Estimează diferența jf (x, y2) f (x, y1) j \u003d sin x y1 y2 6 pentru toate (x , y) 2 G. Astfel, f satisface condiția Lipschitz cu L \u003d 1, de fapt, chiar și cu L \u003d sin 1 în y. Cu toate acestea, derivata fy0 la punctele (x, 0) 6 \u003d (0, 0) nici măcar nu există. Următoarea teoremă, care este interesantă în sine, ne va permite să dovedim unicitatea soluției la problema Cauchy: Teorema 2.1 (Pe o estimare pentru diferența a două soluții) Fie G un domeniu 2 în R și f (x, y) 2 CG și să satisfacă condiția Lipschitz în G. y cu constanta L. Dacă y1, y2 sunt două soluții ale ecuației y 0 \u003d f (x, y) pe un interval, atunci inegalitatea (estimarea) este valabilă: jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) 6 y1 pentru toate x 2. -19- Dovada y2. Prin definiția 2.2 a soluției ecuației (2.1) obținem că 8 x 2 puncte x, y1 (x) și x, y2 (x) 2 G. Pentru toate t 2 avem egalitățile corecte y10 (t) \u003d ft, y1 (t ) și y20 (t) \u003d ft, y2 (t), pe care le integrăm peste t pe interval, unde x 2. Integrarea este legală, deoarece laturile dreapta și stânga sunt funcții continue. Obținem sistemul de egalități Zx y1 (x) y1 (x0) \u003d x0 Zx y2 (x) y2 (x0) \u003d f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. x0 Scăzând una din cealaltă, avem jy1 (x) y2 (x) j \u003d y1 (x0) y2 (x0) + Zx hft, y1 (t) ift, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 ( x0) + ft, y1 (t) ft, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt. x0 Notăm C \u003d y1 (x0) y2 (x0)\u003e 0, v (t) \u003d L\u003e 0, u (t) \u003d y1 (t) Apoi, prin inegalitatea Gronwall - Vellman, obținem estimarea: jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) y2 (t)\u003e 0. pentru toate x 2. Teorema este dovedită. Ca o consecință a teoremei dovedite, obținem o teoremă a unicității pentru soluționarea problemei Cauchy (2. 1), (2.2). Corolar 1. Fie funcția f (x, y) 2 C G și să satisfacă în G condiția Lipschitz în y, iar funcțiile y1 (x) și y2 (x) sunt două soluții ale ecuației (2.1) pe același interval și x0 2. Dacă y1 (x0) \u003d y2 (x0), atunci y1 (x) y2 (x) activat. Dovezi. Să luăm în considerare două cazuri. -20- 1. Fie x\u003e x0, apoi rezultă din teorema 2. 1 că h i adică y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L (x x0), y2 (x) pentru x\u003e x0. 2. Fie x 6 x0, faceți schimbarea t \u003d x, apoi yi (x) \u003d yi (t) y ~ i (t) pentru i \u003d 1, 2. Din moment ce x 2, atunci t 2 [x0, x1] și egalitatea y ~ 1 (x0) \u003d y ~ 2 (x0). Să aflăm ce ecuație satisface y ~ i (t). Următorul lanț de egalități este adevărat: d y ~ i (t) \u003d dt d ~ yi (x) \u003d dx f x, yi (x) \u003d f (t, y ~ i (t)). Aici am folosit regula diferențierii unei funcții complexe și faptul că yi (x) sunt soluții ale ecuației (2.1). Deoarece funcția f ~ (t, y) f (t, y) este continuă și îndeplinește condiția Lipschitz în y, atunci prin Teorema 2.1 avem că y ~ 1 (t) y ~ 2 (t) pe [x0, x1 ], adică y1 (x) y2 (x) activat. Combinând ambele cazuri considerate, obținem afirmația corolarului. Corolarul 2. (în funcție de dependența continuă de datele inițiale) Fie funcția f (x, y) 2 CG și să satisfacă în G condiția Lipschitz în raport cu y cu constantă L, iar funcțiile y1 (x) și y2 (x) sunt soluții ale ecuației (2.1) definit pe. Î se notează l \u003d x1 x0 și δ \u003d y1 (x0) y2 (x0). Atunci inegalitatea y1 (x) y2 (x) 6 δ eL l este adevărată pentru 8 x 2. Dovada rezultă imediat din teorema 2. 1. Inegalitatea din corolarul 2 se numește o estimare a stabilității unei soluții din datele inițiale. Înțelesul său este că, dacă la x \u003d x0 soluțiile sunt „apropiate”, atunci pe un segment finit ele sunt și „apropiate”. Teorema 2.1 oferă o estimare importantă pentru aplicațiile pentru modulul diferenței dintre două soluții și Corolarul 1 - unicitatea soluției la problema Cauchy (2.1), (2.2). Există, de asemenea, alte condiții suficiente pentru unicitate, dintre care una le prezentăm acum. După cum sa menționat mai sus, unicitatea geometrică a soluției la problema Cauchy înseamnă că nu mai mult de o curbă integrală a ecuației (2.1) poate trece prin punctul (x0, y0) al domeniului G. Teorema 2.2 (Osgood asupra unicității). Fie funcția f (x, y) 2 CG și pentru 8 (x, y1), (x, y2) 2 G inegalitatea f (x, y1) f (x, y2) 6 6 ϕ jy1 y2 j, unde ϕ ( u)\u003e 0 pentru u 2 (0, β], ϕ (u) este continuu, iar Zβ du! +1 când ε! 0+. Apoi prin punctul (x0, y0) al domeniului ϕ (u) ε G există cel mult o curbă integrală (2.1). -21- Dovadă. Să existe două soluții y1 (x) și y2 (x) ale ecuației (2.1) astfel încât y1 (x0) \u003d y2 (x0) \u003d y0, denotăm z (x) \u003d y2 (x) y1 (x). dyi Deoarece \u003d f (x, yi), pentru i \u003d 1, 2, atunci egalitatea dx dz \u003d f (x, y2) f (x, y1) este valabilă pentru z (x). dx dz \u003d f (x, y2) f (x, y1) jzj 6 ϕ jzj jzj, adică atunci z dx 1 d este inegalitatea jzj2 6 ϕ jzj jzj, din care pentru jzj 6 \u003d 0 urmează următoarele 2 dx dublă inegalitate: Zjz2 j Zx2 dx 6 x1 2 d jzj 6 2 jzjϕ jzj Zx2 dx, (2.5) x1 jz1 j unde integrarea se realizează pe orice interval pe care z (x)\u003e 0 și zi \u003d z (xi), i \u003d 1, 2. Prin presupunere, z (x) 6 0 și, în plus, este continuă, deci există un astfel de segment, selectați-l și remediați-l. Se consideră mulțimile n o X1 \u003d x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x > x2 și z (x) \u003d 0. Cel puțin unul dintre aceste seturi nu este gol, deoarece z (x0) \u003d 0 și x0 62. Fie, de exemplu, X1 6 \u003d ∅, este mărginit mai sus, deci 9 α \u003d sup X1. Rețineți că z (α) \u003d 0, adică α 2 X1, deoarece presupunând că z (α)\u003e 0, în virtutea continuității, vom avea z (x)\u003e 0 pe un anumit interval α δ1, α + δ1, iar acest lucru contrazice definiția α \u003d sup X1. Din condiția z (α) \u003d 0 rezultă că α< x1 . По построению z(x) > 0 pentru toate x 2 (α, x2], și în virtutea continuității lui z (x)! 0+ pentru x! Α + 0. Repetăm \u200b\u200braționamentul în derivare (2.5), integrând peste segmentul [α + δ, x2], unde x2 ales mai sus și fix, iar δ 2 (0, x2 α) este arbitrar, obținem inegalitatea: Zjz2 j Zx2 dx 6 α + δ d jzj2 6 2 jzjϕ jzj jz (α + δ) j Zx2 dx. α + δ În acest dublu inegalitate să lăsăm δ! 0+, apoi z (α + δ)! z (α) \u003d 0, de la Zjz2 jd jzj2! +1, prin condiția de continuitate a z (x), și apoi integrala 2 jzjϕ jzj a teoremei. jz (α + δ) j -22- Partea dreaptă a inegalității Rx2 dx \u003d x2 α δ 6 x2 α este mărginită de α + δ de sus de o valoare finită, care este simultan imposibilă. că prin problema lui Cauchy (2.1), (2.2) înțelegem următoarea problemă a găsirii funcției y (x): 0 y \u003d f (x, y), (x, y) 2 G, y (x0) \u003d y0, (x0, y0 ) 2 G, unde f (x, y) 2 CG și (x0, y0) 2 G; G este un domeniu în R2. Lema 2. 2. Fie f (x, y) 2 CG. Atunci se mențin următoarele enunțuri: 1 ) orice re Soluția ϕ (x) a ecuației (2.1) pe intervalul ha, bi satisfăcătoare (2.2) x0 2 ha, bi este o soluție pe ha, bi a ecuației integrale Zx y (x) \u003d y0 + f τ, y (τ) dτ ; (2.6) x0 2) dacă ϕ (x) 2 C ha, bi este o soluție la ecuația integrală (2.6) pe ha, bi, 1 unde x0 2 ha, bi, atunci ϕ (x) 2 C ha, bi este o soluție la (2.1 ), (2.2). Dovezi. 1. Fie ϕ (x) o soluție la (2.1), (2.2) pe ha, bi. Apoi, prin Observația 2.2, ϕ (x) 2 C ha, bi și 8 τ 2 ha, bi avem egalitatea ϕ 0 (τ) \u003d f τ, ϕ (τ), integrând de la x0 la x, obținem (pentru orice x 2 ha , bi) Rx ϕ (x) ϕ (x0) \u003d f τ, ϕ (τ) dτ și ϕ (x0) \u003d y0, adică ϕ (x) este o soluție la (2.6). x0 2. Fie y \u003d ϕ (x) 2 C ha, bi o soluție la (2.6). Deoarece f x, ϕ (x) este continuu pe ha, bi prin ipoteză, rezultă că Zx ϕ (x) y0 + f τ, ϕ (τ) dτ 2 C 1 ha, bi x0 ca o integrală cu limita superioară variabilă a unei funcții continue. Diferențierea ultimei egalități față de x, obținem ϕ 0 (x) \u003d f x, ϕ (x) 8 x 2 ha, bi și, evident, ϕ (x0) \u003d y0, adică ϕ (x) este o soluție la problema Cauchy (2.1), (2.2). (Ca de obicei, derivata la sfârșitul segmentului este înțeleasă ca derivată unilaterală corespunzătoare.) -23- Observație 2. 6. Lema 2. 2 se numește lema privind echivalența problemei Cauchy (2.1), (2.2) la ecuația integrală (2.6). Dacă dovedim că există o soluție la ecuația (2.6), atunci obținem rezolvabilitatea problemei Cauchy (2.1), (2.2). Acest plan este implementat în următoarea teoremă. Teorema 2.3 (teorema existenței locale). Fie dreptunghiul P \u003d (x, y) 2 R2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β se află în întregime în domeniul G al funcției f (x, y). Funcția f (x, y) 2 C G și îndeplinește condiția Lipschitz față de n y o în G cu constantă L. Î denotă β M \u003d max f (x, y), h \u003d min α, M. Când pe intervalul P există o soluție la problema Soshi (2.1), (2.2). Dovezi. Să stabilim existența unei soluții la ecuația integrală (2.6) pe un interval. Pentru a face acest lucru, luați în considerare următoarea succesiune de funcții: Zx y0 (x) \u003d y0, y1 (x) \u003d y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 Zx yn (x) \u003d y0 + f τ, yn 1 (τ ) dτ etc. x0 1. Să arătăm că sunt definite 8 n 2 N funcții yn (aproximări succesive), adică arătăm că pentru 8 x 2 inegalitatea yn (x) y0 6 β este valabilă pentru toate n \u003d 1, 2 ,. ... ... Folosim metoda inducției matematice (MMI): a) baza inducției: n \u003d 1. Zx y1 (x) y0 \u003d f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β, x0 unde M0 \u003d max f (x , y0) pentru jx x 0 j 6 α, M0 6 M; b) presupunerea și etapa de inducție. Fie inegalitatea adevărată pentru yn 1 (x), să o dovedim pentru yn (x): Zx yn (x) y0 \u003d f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 Deci, dacă jx x0 j 6 h, atunci yn ( x) y0 6 β 8 n 2 N. -24- x0 6 M h 6 β. Scopul nostru este să dovedim convergența succesorului celui mai apropiat 1 yk (x) k \u003d 0, pentru aceasta este convenabil să o reprezentăm în forma: yn \u003d y0 + n X yk 1 (x) \u003d y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 +. ... ... + yn yn 1, k \u003d 1 adică secvențe de sume parțiale ale unei serii funcționale. 2. Estimează termenii acestei serii dovedind următoarele inegalități 8 n 2 N și 8 x 2: x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! Să aplicăm metoda inducției matematice: jx n 1 1 hn. n! (2.7) a) baza de inducție: n \u003d 1.y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h, dovedit mai sus; b) presupunerea și etapa de inducție. Fie inegalitatea adevărată pentru n, o arătăm pentru n: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) \u003d f τ, yn 2 (τ) 1, până la dτ 6 x0 Zx i yn 6 de condiția Lipschitz 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 prin ipoteza inducției 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ \u003d (n 1)! x0 M0 Ln 1 \u003d (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ \u003d (n 1)! n n! 1 x0 Rx Aici am folosit faptul că integralul I \u003d jτ x0 pentru x\u003e x0 pentru x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 > A, B1< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B > Bk + 1\u003e Bk pentru toate k 2 N; 1) A< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k > N este valabil Să dovedim această afirmație auxiliară pentru cazul A, B 2 R (adică, A și B sunt finite; dacă A \u003d 1 sau B \u003d + 1, atunci în mod similar). Luați x A B x, arbitrar x 2 (A, B) și δ (x) \u003d min, δ (x)\u003e 0. Pentru 2 2, numărul δ din convergența Ak! A și Bk! B obținem 9 N1 (δ) 2 N: 8 k\u003e N1, A< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k > N2, x< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k > N. Aplicând Corolarul 1 în Secțiunea 2.1 (adică teorema unicității), obținem că ϕ (t) ψ (t) pentru toate t 2 și, în special, pentru t \u003d x. Deoarece x este un punct arbitrar (A, B), se demonstrează unicitatea soluției și, împreună cu aceasta, corolarul. Observația 2. 10. În corolarul dovedit, am întâlnit mai întâi conceptul de continuare a unei soluții la un set mai larg. O vom explora mai detaliat în secțiunea următoare. Aici sunt cateva exemple. p Exemplul 2. 2. Pentru ecuația y 0 \u003d ejxj x2 + y 2, aflați dacă soluția sa există pe toate (A, B) \u003d (1, +1). Luați în considerare această ecuație în „bandă” Q \u003d R2, funcția p jxj f (x, y) \u003d e x2 + y 2 ∂f y \u003d ejxj p, fy0 6 ejxj \u003d L (x). ∂y x2 + y 2 Prin Enunțul 2. 1 din Secțiunea 2.1, funcția f (x, y) îndeplinește condiția Lipschitz față de y cu o „constantă” L \u003d L (x), x este fixă. Apoi, toate condițiile corolarului sunt îndeplinite și pentru orice date inițiale (x0, y0) 2 R2 există o soluție la problema Cauchy și, în plus, este unică pe (1, +1). Rețineți că ecuația în sine în cvadraturi nu este rezolvată, dar soluțiile aproximative pot fi construite numeric. este definit și continuu în Q, -32- Exemplul 2. 3. Pentru ecuația y 0 \u003d ex y 2, aflați dacă există soluții definite pe R. Dacă luăm în considerare din nou această ecuație în „banda” Q \u003d R2, unde funcția ∂ ff (x, y) \u003d ex y 2 este definit și continuu și \u003d 2yex, atunci putem observa că starea corolarului este încălcată, și anume, nu există o funcție continuă L (x) astfel încât f (x, y2) f (x, y1) 6 L (x) jy2 y1 j pentru toate y1, y2 2 R. Într-adevăr, f (x, y2) f (x, y1) \u003d ex jy2 + y1 j jy2 y1 j și expresia jy2 + y1 j nu este delimitat pentru y1, y2 2 R. Astfel, corolarul nu este aplicabil. Să rezolvăm această ecuație prin „separarea variabilelor”, obținem soluția generală: „y (x) \u003d 0, y (x) \u003d 1. ex + C Pentru claritate, luăm x0 \u003d 0, y0 2 R. Dacă y0 \u003d 0, atunci y (x ) 0 este soluția la problema Cauchy pe R. 1 este soluția la problema Cauchy Pentru y0 2 [1, 0) ex este definit pentru toate x 2 R, iar pentru y0 2 (1, 1) [(0, +1) soluția nu este y0 + 1 poate fi continuat prin punctul x \u003d ln. Mai precis, dacă x\u003e 0, atunci y0 1 soluția y (x) \u003d y0 +1 este definită pentru x 2 (1, x) și dacă x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, atunci soluția există doar pentru x 2 1; ln y0 Acest exemplu arată că restricția asupra creșterii funcției f (x, y) în corolarul teoremei 2.4 dovedită mai sus este esențială pentru continuarea soluției la întreg (A, B). Exemple cu funcția f (x, y) \u003d f1 (x) y 1 + ε pentru orice ε\u003e 0 sunt obținute într-un mod similar; în exemplul dat, ε \u003d 1 este luat numai pentru comoditatea prezentării. 2. 3. Extinderea soluției pentru o definiție ODE de ordinul întâi 2. 5. Să luăm în considerare ecuația y 0 \u003d f (x, y) și să fie y (x) soluția sa pe ha, bi și Y (x) soluția sa pe hA , Bi și ha, bi sunt conținute în hA, Bi și Y (x) \u003d y (x) pe ha, bi. Atunci Y (x) se numește extensia soluției y (x) la hA, Bi și se spune că y (x) este extins la hA, Bi. -34- În secțiunea 2.2, am dovedit o teoremă de existență locală pentru o soluție la problema Cauchy (2.1), (2.2). În ce condiții se poate continua această decizie pentru o perioadă mai largă? Această secțiune este dedicată acestei întrebări. Rezultatul său principal este următorul. Teorema 2.5 (privind continuarea soluției într-un domeniu închis mărginit). Fie funcția f (x, y) 2 CG și să îndeplinească condiția Lipschitz în raport cu y în R2, iar (x0, y0) este un punct interior al unui domeniu închis delimitat G G. Apoi, prin punctul (x0, y0) soluția ecuației y 0 \u003d f (x , y), extins până la ∂G din limita domeniului G, adică poate fi extins la un segment astfel încât punctele a, y (a) și b, y (b) să se afle pe ∂G. ∂f (x, y) este continuu într-un delimitat, închis, convex în domeniul y G, atunci funcția f (x, y) satisface în G condiția Lipschitz în variabila y. Vezi corolarul din Declarația 2. 1 ∂f din Secțiunea 2.1. Prin urmare, această teoremă este valabilă dacă este continuă în ∂y G. Observație 2. 11. Reamintim că, dacă dovadă. Deoarece (x0, y0) este un punct interior al lui G, atunci există un dreptunghi închis nu 2 P \u003d (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β, care se află în întregime în G. Apoi, prin Teorema 2.3 din articolul .2.2 există h\u003e 0 astfel încât pe interval să existe (și, în plus, o soluție unică) y \u003d ϕ (x) a ecuației y 0 \u003d f (x, y). Să continuăm mai întâi această soluție spre dreapta până la limita domeniului G, împărțind proba în pași separați. 1. Luați în considerare setul ER: pentru E \u003d α\u003e 0 soluția y \u003d ϕ (x) este extensibilă până la o soluție y \u003d ϕ1 (x) a ecuației y 0 \u003d f (x, y) care îndeplinește condițiile Cauchy ϕ1 ~ b \u003d ϕ ~ b ... Astfel, ϕ (x) și ϕ1 (x) sunt soluții pe segmentul ~ b h1, ~ b al unei ecuații care coincid în punctul x \u003d ~ b, prin urmare ele coincid pe întregul segment ~ b h1, ~ b și, prin urmare, ϕ1 (x) este o continuare a soluției ϕ (x) de la segmentul ~ b h1, ~ b la ~ b h1, ~ b + h1. Luați în considerare funcția ψ (x): ϕ (x), x 2 x0, ψ (x) \u003d ϕ1 (x), x 2 ~ b ~ b, h1, ~ b + h1 ~ b h1, x0 + α0 + h1, care este o soluție la ecuația y 0 \u003d f (x, y) și îndeplinește condiția Cauchy ψ (x0) \u003d y0. Atunci numărul α0 + h1 2 E, iar acest lucru contrazice definiția lui α0 \u003d sup E. Prin urmare, cazul 2 este imposibil. În mod similar, soluția ϕ (x) se extinde la stânga, la segmentul în care punctul este a, ϕ (a) 2 ∂G. Teorema este complet dovedită. -37- Capitolul III. Problema Cauchy pentru un sistem normal de ordinul al treilea 3. 1. Concepte de bază și unele proprietăți auxiliare ale funcțiilor vectoriale În acest capitol vom considera un sistem normal de ordinul al n-lea de forma 8\u003e t, y ,. ... ... , y y _ \u003d f 1 n 1 1\u003e,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > \u003e: y_ \u003d f t, y ,. ... ... , y, n n 1 n unde necunoscutele (obligatorii) sunt funcțiile y1 (t) ,. ... ... , yn (t), și funcțiile fi sunt cunoscute, i \u003d 1, n, punctul de deasupra funcției denotă derivata față de t. Se presupune că toate fi sunt definite în domeniul G Rn + 1. Este convenabil să scrieți sistemul (3.1) în formă vectorială: y_ \u003d f (t, y), unde y (t) y1 (t). ... ... , yn (t), f (t, y) f1 (t, y). ... ... , fn (t, y); nu vom scrie săgeți în desemnarea vectorilor pentru concizie. Această notație va fi, de asemenea, notată cu (3.1). Fie punctul t0, y10 ,. ... ... , yn0 se află în G. Problema lui Cauchy pentru (3.1) este de a găsi o soluție ϕ (t) a sistemului (3.1) care să satisfacă condiția: ϕ1 (t0) \u003d y10, ϕ2 (t0) \u003d y20, ..., ϕn (t0) \u003d yn0, (3.2) sau în forma vectorială ϕ (t0) \u003d y 0. După cum sa menționat în capitolul 1, o soluție la sistemul (3.1) pe intervalul ha, bi este înțeleasă ca o funcție vectorială ϕ (t) \u003d ϕ1 (t) ,. ... ... , ϕn (t), îndeplinind condițiile: 1) 8 t 2 ha, bi punctul t, ϕ (t) se află în G; 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt ϕ (t); 38 3) 8 t 2 ha, bi ϕ (t) satisface (3.1). Dacă o astfel de soluție satisface suplimentar (3.2), unde t0 2 ha, bi, atunci se numește o soluție la problema Cauchy. Condițiile (3.2) se numesc condiții inițiale sau condiții Cauchy, iar numerele t0, y10 ,. ... ... , yn0 - datele Cauchy (date inițiale). În cazul special când funcția vectorială f (t, y) (n + 1) a variabilei depinde de y1 ,. ... ... , yn într-o manieră liniară, adică are forma: f (t, y) \u003d A (t) y + g (t), unde matricea A (t) \u003d aij (t) - n n, sistemul (3.1) se numește liniar. În viitor, avem nevoie de proprietățile funcțiilor vectoriale, pe care le vom prezenta aici pentru comoditatea referințelor. Regulile adunării și înmulțirii cu un număr pentru vectori sunt cunoscute din cursul algebrei liniare, aceste operații de bază se efectuează în coordonate. n Dacă introducem produsul scalar x, y \u003d x1 y1 + în R. ... ... + xn yn, atunci obținem un spațiu euclidian, care va fi notat și cu Rn, cu lungimea s q n P a vectorului jxj \u003d x, x \u003d x2k (sau norma euclidiană). Pentru scalar k \u003d 1 produs și lungime, sunt valabile două inegalități de bază: 1) 8 x, y 2 Rn 2) 8 x, y 2 Rn cer). x + y 6 x + y x, y 6 x (inegalitate triunghi); y (Inegalitatea Cauchy Áunyakov- Se știe din cursul analizei matematice din semestrul al doilea că convergența unei secvențe de puncte (vectori) într-un spațiu euclidian (finit-dimensional) este echivalentă cu convergența secvențelor de coordonate ale acestor vectori, spun ei, este echivalentă cu convergența în coordonate. Acest lucru rezultă cu ușurință din inegalitățile xp: x21 + ... + x2n \u003d jxj 6 n max xk.16k6n 16k6n Similar cu cazul scalar, sunt definite derivata și integrala funcției vectoriale, iar proprietățile sunt ușor dovedite prin trecerea la coordonate. Iată câteva inegalități pentru funcțiile vectoriale care vor fi utilizate mai jos. 1. Pentru orice funcție vectorială y (t) \u003d y1 (t) ,. ... ... , yn (t), integrabil (de exemplu, continuu) pe, inegalitatea Zb Zb y (t) dt 6 ay (t) dt a -39- (3.3) deține sau în formă coordonată 0 Zb Zb y1 (t) dt, @ y2 (t) dt ,. ... ... , a 1 Zb a Zb q yn (t) dt A 6 y12 (t) +. ... ... yn2 (t) dt. a o Dovadă. Rețineți mai întâi că inegalitatea nu exclude cazul b< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y [e-mail protejat] 2 2 l \u003d 1 2 x, k, i \u003d 1 de unde (3.5) urmează. Definiție 3. 1. Spunem că o funcție vectorială f (t, y) satisface condiția Lipschitz în raport cu o variabilă vectorială y pe un set G de variabile õ (t, y) dacă 9 L\u003e 0 astfel încât pentru orice t, y , 2 t, y 2 G deține inegalitatea ft, y 2 ft, y 1 6 L y 2 y 1. Ca și în cazul unei funcții a două variabile (a se vedea Propoziția 2.1), o condiție suficientă pentru proprietatea Lipschitz într-un domeniu „convex în y” G este ca derivatele parțiale să fie mărginite. Să dăm o definiție precisă. Definiție 3. 2. Domeniul G al variabilelor (t, y) se numește convex 1 2 în y dacă pentru oricare două puncte t, y și t, y situate în G, conține și întregul segment care leagă aceste două puncte, adică e. setați n o t, y y \u003d y 1 + τ y 2 y 1, unde τ 2. Enunțul 3. 1. Dacă domeniul G al variabilelor (t, y) este convex în y, iar derivatele parțiale ∂fi sunt continue și mărginite de o constantă l în G pentru ∂yj pentru toate i, j \u003d 1, n, atunci funcția vectorială ft, y satisface în G condiția Lipschitz față de y cu constanta L \u003d n l. 1 2 Dovadă. Luați în considerare punctele arbitrare t, y și t, y de la G și 1 2 segmentul care le conectează, adică setați t, y, unde y \u003d y + τ y y1, t este fix și τ 2. -41- Introducem o funcție vectorială a unui argument scalar g (τ) \u003d ft, y (τ), 2 1 apoi g (1) g (0) \u003d ft, yft, y și pe de altă parte - Z1 g (1) g (0) \u003d dg (τ) dτ \u003d dτ Z1 A (τ) dy (τ) dτ \u003d dτ 0 0 h \u003d datorită y \u003d y 1 + τ y 2 yi 1 Z1 \u003d A (τ) y 2 y 1 dτ , 0 unde A (τ) este o matrice cu elementele ∂fi, iar ∂yj y2 y 1 este coloana corespunzătoare. Aici am folosit regula diferențierii unei funcții complexe și anume, pentru toate i \u003d 1, n, t - fix, avem: gi0 (τ) \u003d ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t, y (τ) \u003d + + ... + \u003d dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi, ..., y2 y1. \u003d ∂y1 ∂yn Scriind-o în formă matricială, obținem: 0 2 1 g (τ) \u003d A (τ) y y cu o matrice n n A (τ) \u003d aij (τ) ∂fi ∂yj. Folosind estimarea integralei (3.3) și inegalității (3.5), după substituire obținem: ft, y 2 ft, y 1 Z1 \u003d g 0 (τ) dτ \u003d 0 Z1 6 A (τ) y 2 Z1 y1 A (τ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A (τ) A (τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 nl 0 6 max A (τ) din moment ce 2 y 1 dτ 6 2 2 n P ∂fi \u003d i, j \u003d 1 ∂yj 2 y2 y1, 2 6 n2 l2 la 8 τ 2. Afirmația este dovedită. -42- 3. 2. Unicitatea soluției la problema Cauchy pentru un sistem normal Teorema 3. 1 (pe estimarea diferenței dintre două soluții). Fie G un domeniu Rn + 1, iar funcția vectorială f (x, y) este continuă în G și îndeplinește condiția Lipschitz în raport cu variabila vectorială y din setul G cu constanta L. Dacă y 1, y 2 sunt două soluții ale sistemului normal (3.1) y_ \u003d f (x, y) pe un interval, apoi estimarea y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L (t t0) se menține pentru toate t 2. Dovada se repetă textual, luând în considerare renotările evidente, dovada teoremei 2.1 din secțiunea 2.1. 2 Din aceasta este ușor să se obțină o teoremă de unicitate și stabilitate pentru soluție în raport cu datele inițiale. Corolar 3.1. Fie funcția vectorială f (t, y) continuă în domeniul G și să satisfacă condiția Lipschitz în y în G, iar funcțiile y 1 (t) și y 2 (t) sunt două soluții ale sistemului normal (3.1) pe același interval, și t0 2. Dacă y 1 (t0) \u003d y 2 (t0), atunci y 1 (t) y 2 (t) activat. Corolar 3.2. (despre dependența continuă de datele inițiale). Fie funcția vectorială f (t, y) continuă în domeniul G și să satisfacă în G condiția Lipschitz în y cu o constantă L\u003e 0, iar funcțiile vectoriale y 1 (t) și y 2 (t) sunt soluții ale sistemului normal (3.1) definit pe. Apoi, pentru 8 t 2, inegalitatea y 1 (t) este adevărată unde δ \u003d y 1 (t0) y 2 (t0), și l \u003d t1 y 2 (t) 6 δ eL l, t0. Dovada corolarilor repetă dovada Corolarilor 2.1 și 2.2 cuvânt cu cuvânt, luând în considerare reproiectările evidente. 2 Investigarea solvabilității problemei Cauchy (3.1), (3.2), ca în cazul unidimensional, este redusă la solvabilitatea unei ecuații integrale (vector). Lema 3. 1. Fie f (t, y) 2 C G; Rn 1. Când următoarele afirmații sunt valabile: 1) orice soluție ϕ (t) a ecuației (3.1) pe intervalul ha, bi satisfăcătoare (3.2) t0 2 ha, bi este o soluție continuă pe ha, bi 1 Prin C G; H este obișnuit să denumească setul tuturor funcțiilor continue din domeniul G cu valori în spațiul H. De exemplu, f (t, y) 2 C G; Componentele Rn) definite pe setul G. este mulțimea tuturor funcțiilor vectoriale continue (cu n -43- ecuația integrală y (t) \u003d y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ; (3.6) t0 2) dacă vectorul -funcția ϕ (t) 2 C ha, bi este o soluție continuă la ecuația integrală (3.6) pe ha, bi, unde t0 2 ha, bi, atunci ϕ (t) are o derivată continuă pe ha, bi și este o soluție la (3.1), (3.2). Dovezi. 1. Fie 8 τ 2 ha, bi se menține egalitatea dϕ (τ) \u003d f τ, τ (τ). Apoi, integrând de la t0 la t, luând în considerare (3.2), obținem dτ Rt 0 și obținem că ϕ (t) \u003d y + f τ, ϕ (τ) dτ, adică ϕ (t) satisface ecuația (3.6). t0 2. Să presupunem că o funcție vectorială continuă ϕ (t) satisface Eq. (3.6) pe ha, bi, apoi ft, ϕ (t) este continuă pe ha, bi prin teorema continuității pentru o funcție compusă și, prin urmare, partea dreaptă a (3.6) ( și, prin urmare, partea stângă) are o derivată continuă față de t pe ha, bi. Pentru t \u003d t0 din (3.6) ϕ (t0) \u003d y 0, adică ϕ (t) este o soluție la problema Cauchy (3.1), (3.2). Rețineți că, ca de obicei, derivata de la sfârșitul segmentului (dacă îi aparține) înseamnă derivata unidirecțională a funcției. Lema este dovedită. Observație 3. 1. Folosind analogia cu cazul unidimensional (a se vedea capitolul 2) și afirmațiile dovedite mai sus, se poate demonstra teorema cu privire la existența și continuarea soluției la problema Cauchy prin construirea unei secvențe iterative care converge la soluția ecuației integrale (3.6) pe un anumit interval t0 h, t0 + h. Aici oferim o altă dovadă a teoremei existenței (și unicității) pentru o soluție bazată pe principiul mapărilor de contracție. Facem acest lucru pentru a familiariza cititorul cu metode de teorie mai moderne, care vor fi folosite în viitor, la cursuri de ecuații integrale și ecuații ale fizicii matematice. Pentru implementarea planului nostru, vor fi necesare o serie de concepte noi și afirmații auxiliare, pe care le vom lua în considerare. 3. 3. Conceptul de spațiu metric. Principiul mapării contracțiilor Cel mai important concept al limitei în matematică se bazează pe conceptul de „proximitate” a punctelor, adică capacitatea de a găsi distanța dintre ele. Pe axa numerică, distanța este modulul diferenței dintre două numere, pe plan este formula binecunoscută pentru distanța euclidiană etc. Multe fapte de analiză nu utilizează proprietățile algebrice ale elementelor, ci se bazează doar pe conceptul de distanță dintre ele. Dezvoltarea acestei abordări, adică alocarea unei „ființe” legată de conceptul de limită duce la conceptul de spațiu metric. -44- Definiție 3. 3. Fie X un set de natură arbitrară, iar ρ (x, y) să fie o funcție reală a două variabile x, y 2 X, satisfăcând trei axiome: 1) ρ (x, y)\u003e 0 8 x, y 2 X și ρ (x, y) \u003d 0 numai pentru x \u003d y; 2) ρ (x, y) \u003d ρ (y, x) (axioma de simetrie); 3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) (inegalitate triunghi). În acest caz, mulțimea X cu o funcție dată ρ (x, y) se numește spațiu metric (ÌП), și funcția ρ (x, y): X X 7! R care îndeplinește 1) - 3) este o metrică sau o distanță. Iată câteva exemple de spații metrice. Exemplul 3. 1. Fie X \u003d R cu distanța ρ (x, y) \u003d x y, obținem MP R. n o n xi 2 R, i \u003d 1, n este Exemplul 3. 2. Fie X \u003d R \u003d x1 ,. ... ... , xn mulțimea de mulțimi ordonate de n numere reale s n 2 P x \u003d x1 ,. ... ... , xn cu distanța ρ (x, y) \u003d xk yk, obținem n1 k \u003d 1 n spațiu euclidian dimensional R. n Exemplul 3. 3. Fie X \u003d C a, b; R este mulțimea tuturor funcțiilor continue pe a, b cu valori în Rn, adică funcții vectoriale continue, cu distanța ρ (f, g) \u003d max f (t) g (t), unde f \u003d f (t) \u003d f1 (t) ,. ... ... , fn (t), t2 s n 2 P g \u003d g (t) g1 (t) ,. ... ... , gn (t), f g \u003d fk (t) gk (t). k \u003d 1 Pentru exemple 3. 1 –3. Cele 3 axiome ale MP sunt verificate direct, lăsăm acest lucru ca un exercițiu pentru cititorul conștiincios. Ca de obicei, dacă fiecare n natural este asociat cu un element xn 2 X, atunci spunem că este dată o succesiune de puncte xn Ì X. Definiție 3. 4. O secvență de puncte xn a unui MP X se numește mergând la un punct x 2 X dacă lim ρ xn, x \u003d 0. n! 1 Definiție 3. 5. O secvență xn se numește fundamentală dacă pentru orice ε\u003e 0 există un număr natural N (ε) astfel încât pentru toate n\u003e N și m\u003e N inegalitatea ρ xn, xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε > 0 9 N (ε) 2 N: 8m, n\u003e N \u003d) max fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε > 0 există un număr N (ε) astfel încât pentru toate n\u003e N și pentru toate t 2 a, b inegalitatea fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Luați în considerare B \u003d Am, B: X 7! X, B - compresie. Prin teorema 3.2, operatorul B are un punct fix unic x. Deoarece A și B fac naveta AB \u003d BA și din moment ce Bx \u003d x, avem B Ax \u003d A Bx \u003d Ax, adică y \u003d Ax este, de asemenea, un punct fix al lui B și, întrucât un astfel de punct este unic prin teorema 3.2, atunci y \u003d x sau Ax \u003d x. Prin urmare, x este un punct fix al operatorului A. Să dovedim unicitatea. Să presupunem că x ~ 2 X și A ~ x \u003d x ~, atunci m m 1 B x ~ \u003d A x ~ \u003d A x ~ \u003d. ... ... \u003d x ~, adică x ~ este, de asemenea, un punct fix pentru B, de unde x ~ \u003d x. Teorema este dovedită. Un caz special al unui spațiu metric este un spațiu liniar normat. Iată o definiție precisă. Definiție 3. 9. Fie X un spațiu liniar (real sau complex), pe care este definită o funcție numerică x, care acționează de la X la R și îndeplinește axiomele: 1) 8 x 2 X, x\u003e 0 și x \u003d 0 numai pentru x \u003d θ; 2) 8 x 2 X și pentru 8 λ 2 R (sau C) 3) 8 x, y 2 X deține o poreclă). x + y 6 x + y λx \u003d jλj x; (inegalitatea triunghiulară - Atunci X este numit spațiu normat, x: X 7! R, satisfăcând 1) - 3), este norma. și funcția Într-un spațiu normalizat, puteți introduce distanța dintre elemente prin formula ρ x, y \u003d x y. Îndeplinirea axiomelor MP este ușor verificată. Dacă spațiul metric rezultat este complet, atunci spațiul normat corespunzător se numește spațiu Banach. Este adesea posibil să se introducă norma în moduri diferite pe același spațiu liniar. În acest sens, apare un astfel de concept. Definiție 3. 10. Fie X un spațiu liniar și u să fie două 1 2 norme introduse pe acesta. Normele și se numesc echivalente 1 2 norme dacă 9 C1\u003e 0 și C2\u003e 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1. Observație 3. 3. Dacă și sunt două norme echivalente pentru X și 1 2 spațiul X este complet într-una dintre ele, atunci este complet și în cealaltă normă. Acest lucru rezultă cu ușurință din faptul că secvența xn X, care este fundamentală față de, este, de asemenea, fundamentală față de și converge la 1 2 același element x 2 X. -47- Observație 3. 4. Adesea teorema 3.2 (sau 3.3) se aplică atunci când bila închisă a acestui spațiu este luată ca un spațiu n complet o Br (a) \u003d x 2 X ρ x, a 6 r, unde r\u003e 0 și a 2 X sunt fixe. Rețineți că o minge închisă într-un SMP este ea însăși un SMP cu aceeași distanță. Lăsăm dovada acestui fapt cititorului ca exercițiu. Observație 3. 5. Mai sus, am stabilit completitudinea spațiului din pentru n măsura 3. 3. Rețineți că în spațiul liniar X \u003d C 0, T, R se poate introduce norma kxk \u003d max x (t) astfel încât normalizarea rezultată să fie Banach. Pe același set de funcții vectoriale continue pe spațiul 0, T se poate introduce o normă echivalentă prin formula kxkα \u003d max e αt x (t) pentru orice α 2 R. Pentru α\u003e 0, echivalența rezultă din inegalitățile e αT x (t) 6 e αt x (t) 6 x (t) pentru toate t 2 0, T, de unde e αT kxk 6 kxkα 6 kxk. Vom folosi această proprietate a normelor echivalente pentru a demonstra o teoremă cu privire la rezolvabilitatea unică a problemei Cauchy pentru sisteme liniare (normale). 3. 4. Teoreme de existență și unicitate pentru soluționarea problemei Cauchy pentru sistemele normale Luați în considerare problema Cauchy (3.1) - (3.2), unde datele inițiale t0, y 0 2 G, G Rn + 1 este domeniul definiției funcției vectoriale f (t, y ). În această secțiune vom presupune că G are - unele n forma G \u003d a, b o, unde domeniul este Rn și mingea BR (y 0) \u003d Teorema este valabilă. y 2 Rn y y0 6 R se află în întregime. Teorema 3. 4. Fie vector funcția f (t, y) 2 C G; Rn și 9 M\u003e 0 și L\u003e 0 astfel încât condițiile 1) 8 (t, y) 2 G \u003d a, b f (t, y) 6 M sunt îndeplinite; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1. Fixăm numărul δ 2 (0, 1) și lăsăm t0 2 (a, b). Apoi R1 δ 9 h \u003d min; ; t0 a; b t0\u003e 0 ML astfel încât să existe și, în plus, o soluție unică la problema Êoshi (3.1), (3.2) y (t) pe intervalul Jh \u003d t0 h, t0 + h și y (t) y 0 6 R pentru toate t 2 Jh. -48- Dovadă. Prin Lema 3.1, problema lui Cauchy (3.1), (3.2) este echivalentă cu ecuația integrală (3.6) pe interval și, prin urmare, pe Jh, unde h a fost ales mai sus. Luați în considerare spațiul Banach X \u003d C (Jh; Rn), setul de funcții vectoriale continue x (t) pe segmentul Jh cu norma kxk \u003d max x (t) și introduceți un set închis în X: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh \u003d y (t) 2 X y (t) n \u003d y (t) 2 X yy (t) o 0 6R \u003d o 0 y 6R este o bilă închisă în X. Operatorul A definit de regula: Ay \u003d y 0 + Zt f τ , y (τ) dτ, t 2 Jh, t0 trimite SR y 0 la sine, deoarece y 0 \u003d max Ay Zt t2Jh f τ, y (τ) dτ 6 h \u200b\u200bM 6 R t0 prin condiția 1 a teoremei și definiția lui h. Să dovedim că A este un operator de contracție pe SR. Să luăm 0 1 2 în mod arbitrar și să estimăm valoarea: y (t), y (t) 2 SR y Ay 2 Ay 1 \u003d max Zt h t2Jh f τ, y 2 (τ) dacă τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 \u003d q y2 y1, unde q \u003d h L 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 alegem după formula R h \u003d min M; 1L δ; b a și oriunde trebuie să luăm -49- Jh \u003d t0, t0 + h \u003d a, a + h ca segment Jh. Toate celelalte condiții ale teoremei nu se modifică; dovada sa, ținând cont de reproiectări, R este păstrată. Pentru cazul t0 \u003d b, în \u200b\u200bmod similar, h \u003d min M; 1L δ; b a, și Jh \u003d b h, b. n Observație 3. 7. În teorema 3. 4 condiția f (t, y) 2 C G; R, unde G \u003d a, b D, poate fi slăbit prin înlocuirea acestuia cu cerința continuității lui f (t, y) în variabila t pentru fiecare y 2, păstrând în același timp condițiile 1 și 2. Dovada nu se modifică. Observație 3. 8. Este suficient ca condițiile 1 și 2 ale teoremei 3.4 să fie îndeplinite 0 pentru toate t, y 2 a, b BR y, iar constantele M și L depind, în general, de y și R. Pentru mai stricte restricții asupra funcției vectoriale ft, y, similar teoremei 2.4, teorema existenței și unicității pentru o soluție la problema lui Cauchy (3.1), (3.2) pe întregul interval a, b se menține n Teorema 3. 5. Să funcționeze vectorul fx, y 2 CG, R, unde G \u003d a, b Rn și există L\u003e 0 astfel încât condiția 8 t, y 1, t, y 2 2 G ft , y 2 ft, y 1 6 L y 2 y 1. Când pentru orice t0 2 și y 0 2 Rn de pe a, b există și, în plus, o soluție unică la problema иoshi (3.1), (3.2). Dovezi. Luați t0 2 și y 0 2 Rn arbitrar și fixați-le. Reprezentăm mulțimea G \u003d a, b Rn sub forma: G \u003d G [G +, unde Rn și G + \u003d t0, b Rn, presupunând că t0 2 a, b, altfel unul G \u003d a, t0 din etapele probei va fi absent. Să efectuăm raționamentul pentru banda G +. În intervalul t0, b, problema lui Cauchy (3.1), (3.2) este echivalentă cu ecuația (3.6). Să introducem operatorul integral n A: X 7! X, unde X \u003d C t0, b; R, prin formula Ay \u003d y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ. t0 Atunci ecuația integrală (3.6) poate fi scrisă sub forma ecuației operatorului Ay \u003d y. (3.8) Dacă dovedim că ecuația operatorului (3.8) are o soluție în SMP X, atunci obținem rezolvabilitatea problemei Cauchy pe t0, b sau pe a, t0 pentru G. Dacă această soluție este unică, atunci în virtutea echivalenței, soluția la problema Cauchy va fi, de asemenea, unică. Oferim două dovezi ale solvabilității unice a ecuației (3.8). Dovada 1. Luați în considerare funcțiile vectoriale arbitrare 1 2 n y, y 2 X \u003d C t0, b; R, atunci estimările sunt valabile pentru orice -50- t 2 t0, b Ay 2: Ay 1 Zt hf τ, y 2 (τ) \u003d 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1. Amintiți-vă că norma din X este introdusă după cum urmează: kxk \u003d max x (τ). Din inegalitatea obținută avem: 2 2 Ay 2 1 Ay Zt hf τ, Ay 2 (τ) \u003d 1 i τ t0 dτ f τ, Ay (τ) dτ 6 t0 6 L2 Zt Ay 2 (τ) Ay 1 (τ ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2 y2 y1. Continuând acest proces, putem demonstra prin inducție că 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! k y2 y1. Prin urmare, în cele din urmă, obținem estimarea Ak y 2 Ak y 1 \u003d max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! k y2 y1. k Deoarece α (k) \u003d! 0 pentru k! 1, atunci există k0 astfel, k! că α (k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α > 0 (a se vedea Remarca 3.5) prin formula: x α \u003d max e αt x (t). -51- Să arătăm că este posibil să alegem α astfel încât operatorul A din spațiul X cu norma pentru α\u003e L să fie contractant. Într-adevăr, α Ay 2 Ay 1 α Zt hf τ, y 2 (τ) αt \u003d max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ \u003d t0 \u003d L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) \u003d y2 α t0 \u003d L max e αt Deoarece α\u003e L, atunci q \u003d L α 1 1 αt e α e eαt0 L \u003d α α b t0 y 2 y1 y 1 α \u003d 1 e α b t0.< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с начальным условием y(x0) = y0 . (4.5) Формулу (4.2) можно записать в виде Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Подставляя сюда начальное условие (4.5), находим, что C = 0, т.е. решение задачи Коши определяется из соотношения Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Очевидно, оно определяется однозначно. Итак, общее решение уравнения (4.1) задается формулой (4.4), а решение задачи Коши (4.4), (4.5) находится из соотношения (4.6). Замечание 4. 1. Если f2 (y) = 0 при некоторых y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), то, очевидно, решениями уравнения (4.1) являются также функции y(x) yj , j = 1, 2, . . . , s, что доказывается непосредственной подстановкой этих функций в уравнение (4.1). Замечание 4. 2. Для уравнения (4.1) общее решение определяем из соотношения F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Таким образом, левая часть соотношения (4.7) постоянна на каждом решении уравнения (4.1). Соотношения типа (4.7) можно записать и при решении других ОДУ. Такие соотношения принято называть интегралами (общими интегралами) соответствующего ОДУ. Дадим точное определение. Определение 4. 1. Рассмотрим уравнение y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Соотношение (x, y) = C, (4.9) где (x, y) – функция класса C 1 , называется общим интегралом уравнения (4.8), если это соотношение не выполняется тождественно, но выполняется на каждом решении уравнения (4.8). При каждом конкретном значении C 2 R мы получаем частный интеграл. Общее решение уравнения (4.8) получается из общего интеграла (4.9) с использованием теоремы о неявной функции. Пример 4. 1. Рассмотрим уравнение x (4.10) y 0 (x) = y и начальное условие y(2) = 4. (4.11) Применяя для решения уравнения (4.10) описанный выше метод разделения переменныõ, получаем y dy = x dx, откуда находим общий интеграл для уравнения (4.10) y 2 x2 = C. Общее решение уравнения (4.10) запишется по формуле p y= C + x2 , а решение задачи Коши (4.10), (4.11) – по формуле p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. Линейные ОДУ первого порядка Линейным ОДУ первого порядка называется уравнение y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Если q(x) 6 Если q(x) x 2 ha, bi. (4.12) 0, то уравнение называется неоднородным. 0, то уравнение называется однородным: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Теорема 4. 1. 1) Если y1 (x), y2 (x) решения однородного уравнения (4.120), α, β произвольные числа, то функция y (x) αy1 (x) + βy2 (x) также является решением уравнения (4.120). 2) Для общего решения неоднородного уравнения (4.12) имеет место формула yон = yоо + yчн; (4.13) здесь yон общее решение неоднородного уравнения (4.12), yчн частное решение неоднородного уравнения (4.12), yоо общее решение однородного уравнения (4.120). Доказательство. Первое утверждение теоремы доказывается непосредственной проверкой: имеем y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Докажем второе утверждение. Пусть y0 – произвольное решение уравнения (4.120), тогда y00 = p(x)y0 . C другой стороны, 0 yчн = p(x)yчн + q(x). Следовательно, 0 y0 + yчн = p(x) y0 + yчн + q(x), а значит y y0 + yчн является решением уравнения (4.12). Таким образом, формула (4.13) дает решение неоднородного уравнения (4.12). Покажем, что по этой формуле могут быть получены все решения уравнения (4.12). Действительно, пусть y^(x) – решение уравнения (4.12). Положим y~(x) = y^(x) yчн. Имеем y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 yчн (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)yчн (x) = p(x) y^(x) q(x) = yчн (x) = p(x)~ y (x). Таким образом, y~(x) – решение однородного уравнения (4.120), и мы имеем y^(x) = y~(x) + yчн, что соответствует формуле (4.13). Теорема доказана. -58- Ниже будем рассматривать задачи Коши для уравнений (4.12) и (4.120) с начальным условием y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) Относительно функций p(x) и q(x) из (4.12) будем предполагать, что p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 3. Положим F (x, y) = p(x)y + q(x). Тогда в силу наложенных выше условий на p(x) и q(x) имеем F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 , а следовательно, для задачи Коши (4.12), (4.14) справедливы теоремы существования и единственности решения, доказанные в главе 2. В доказанных ниже теоремах 4. 2, 4. 3 будут получены явные формулы для решений уравнений (4.120) и (4.12) и будет показано, что эти решения существуют на всем промежутке ha, bi. Рассмотрим сначала однородное уравнение (4.120). Теорема 4. 2. утверждения: Пусть p(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие 1) любое решение уравнения (4.120) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение однородного уравнения (4.120) задается формулой y(x) = C e где C R p(x) dx , (4.15) произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.120), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Доказательство. Выведем формулу (4.15) в соответствии с данной в начале главы методикой. Прежде всего заметим, что функция y 0 является решением уравнения (4.120). Пусть y(x) – решение уравнения (4.120), причем y 6 0 на ha, bi. Тогда 9 x1 2 ha, bi такая, что y(x1) = y0 6= 0. Рассмотрим уравнение (4.120) в окрестности точки x1 . Это уравнение с разделяющимися переменными, причем y(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки x1 . Тогда, следуя результатам предыдущего параграфа, получим явную формулу для решения Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- откуда R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, что соответствует формуле (4.15). Áолее того, решение y 0 также задается формулой (4.15) при C = 0. Непосредственной подстановкой в уравнение (4.120) убеждаемся, что функция y(x), задаваемая по формуле (4.15) при любом C, является решением уравнения (4.120), причем на всем промежутке ha, bi. Покажем, что формула (4.15) задает общее решение уравнения (4.120). Действительно, пусть y^(x) – произвольное решение уравнения (4.120). Если y^(x) 6= 0 на ha, bi, то повторяя предыдущие рассуждения, получим, что эта функция задается формулой (4.15) при некотором C: именно, если y^(x0) = y^0 , то Rx p(ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Если же 9x1 2 ha, bi такая, что y^(x1) = 0, то задача Коши для уравнения (4.120) с начальным условием y(x1) = 0 имеет два решения y^(x) и y(x) 0. В силу замечания 4. 3 решение задачи Коши единственно, поэтому y^(x) 0, а следовательно, задается формулой (4.15) при C = 0. Итак, доказано, что общее решение уравнения (4.120) определено на всем ha, bi и задается формулой (4.15). Формула (4.16), очевидно, является частным случаем формулы (4.15), поэтому задаваемая ею функция y(x) является решением уравнения (4.120). Кроме того, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , поэтому формула (4.16) действительно задает решение задачи Коши (4.120), (4.14). Теорема 4. 2 доказана. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4.12). Теорема 4. 3. Пусть p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие утверждения: 1) любое решение уравнения (4.12) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение неоднородного уравнения (4.12) задается формулой Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e где C произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) dθ dξ. (4.18) Доказательство. В соответствии с теоремой 4. 1 и формулой (4.13) yон = yоо + yчн требуется найти частное решение уравнения (4.12). Для его нахождения применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Суть этого метода заключается в следующем: берем формулу (4.15), заменяем в ней константу C на неизвестную функцию C(x) и ищем частное решение уравнения (4.12) в виде yчн (x) = C(x) e R p(x) dx . (4.19) Подставим yчн (x) из (4.19) в уравнение (4.12) и найдем C(x) так, чтобы это уравнение удовлетворялось. Имеем R R 0 yчн (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Подставляя в (4.12), получим C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) dx = q(x), откуда R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Интегрируя последнее соотношение и подставляя найденное C(x) в формулу (4.19), получим, что Z R R p(x) dx yчн (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Кроме того, в силу теоремы 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Поэтому используя формулу (4.13) из теоремы 4. 1, получаем, что Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yоо + yчн = Ce +e q(x)e p(x) dx dx, что совпадает с формулой (4.17). Очевидно, что формула (4.17) задает решение на всем промежутке ha, bi. Наконец, решение задачи Коши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q(ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Действительно, формула (4.20) является частным случаем формулы (4.17) при C = y0 , поэтому она задает решение уравнения (4.12). Кроме того, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , поэтому удовлетворяются начальные данные (4.14). Приведем формулу (4.20) к виду (4.18). Действительно, из (4.20) имеем Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q(ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 что совпадает с формулой (4.18). Теорема 4. 3 доказана. Ñледствие(об оценке решения задачи Коши для линейной системы). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi), причем p(x) 6 K, q(x) 6 M Пусть 8 x 2 ha, bi. Òогда для решения задачи Êоши (4.12), (4.14) справедлива оценка M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Доказательство. Пусть сначала x > x0. În virtutea (4.18), avem Rx Zx K dξ y (x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ \u003d y0 eK (x x0) Zx + M x0 \u003d y0 e K (x x0) eK (x ξ) dξ \u003d x0 M + K e K (x ξ) ξ \u003d x ξ \u003d x0 \u003d y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1. Acum lasă x< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, apoi, evident, funcția y (x) 0 este o soluție la ecuația (4.24). Pentru a rezolva ecuația ernoulli (4.24) α 6 \u003d 0, α 6 \u003d 1 împărțim ambele părți ale ecuației cu y α. Pentru α\u003e 0, este necesar să se ia în considerare faptul că, datorită Observației 4. 4, funcția y (x) 0 este o soluție la ecuația (4.24), care se va pierde într-o astfel de diviziune. Prin urmare, în viitor va trebui adăugat soluției generale. După divizare, obținem relația y α y 0 \u003d a (x) y 1 α + b (x). Introduceți noua funcție necesară z \u003d y 1 α, apoi z 0 \u003d (1 prin urmare, ajungem la ecuația pentru z z 0 \u003d (1 α) a (x) z + (1 α) y α) b (x). α y 0 și (4.25) Ecuația (4.25) este o ecuație liniară. Astfel de ecuații sunt luate în considerare în secțiunea 4.2, unde se obține o formulă generală de soluție, datorită căreia soluția z (x) a ecuației. (4.25) este scrisă sub forma z (x) \u003d Ce R (α 1) a (x) dx + + (1 α ) e R (α 1) a (x) dx 1 Z b (x) e R (α 1) a (x) dx dx. (4.26) Atunci funcția y (x) \u003d z 1 α (x), unde z (x) este definită în (4.26), este o soluție la ecuația ernoulli (4.24). -64- În plus, așa cum s-a indicat mai sus, pentru α\u003e 0 soluția este și funcția y (x) 0. Exemplul 4. 4. Rezolvați ecuația y 0 + 2y \u003d y 2 ex. (4.27) Împărțiți ecuația (4.27) la y 2 și faceți schimbarea z \u003d obținem o ecuație liniară neomogenă 1 y. Ca rezultat, z 0 + 2z \u003d ex. (4.28) Rezolvăm mai întâi ecuația omogenă: z 0 + 2z \u003d 0, dz \u003d 2dx, z ln jzj \u003d 2x + c, z \u003d Ce2x, C 2 R1. Căutăm soluția ecuației neomogene (4.28) prin metoda variației unei constante arbitrare: zпн \u003d C (x) e2x, C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x \u003d ex, C 0 \u003d ex, C (x) \u003d ex, de unde zпн \u003d ex și soluția generală a ecuației (4.28) z (x) \u003d Ce2x + ex. Prin urmare, soluția la ecuația Áernoulli (4.24) este scrisă sub forma y (x) \u003d 1. ex + Ce2x În plus, soluția ecuației (4.24) este și funcția y (x) Am pierdut această soluție atunci când împărțim această ecuație cu y 2. 0. 4. 5. Ecuația în diferențiale complete Considerăm ecuația în diferențialele M (x, y) dx + N (x, y) dy \u003d 0, (x, y) 2 G, (4.29) G este un domeniu în R2. O astfel de ecuație se numește ecuație în diferențialul total x dacă există o funcție F (x, y) 2 C 1 (G), numită potențial, astfel încât dF (x, y) \u003d M (x, y) dx + N (x, y ) dy, (x, y) 2 G. Pentru simplitate, presupunem că M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G) și domeniul G sunt pur și simplu conectate. Sub aceste ipoteze, în cursul analizei matematice (a se vedea, de exemplu), se dovedește că potențialul F (x, y) pentru ecuația (4.29) există (adică, (4.29) este o ecuație în diferențiale totale) dacă și numai dacă My (x, y) \u003d Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. Mai mult, (x, Z y) F (x, y) \u003d M (x, y) dx + N (x, y) dy, (4.30) (x0, y0) unde punctul (x0, y0) este un punct fix din G, (x, y) este punctul curent în G, iar integralul curbiliniar este luat de-a lungul oricărei curbe care leagă punctele (x0, y0) și (x, y) și se află în întregime în domeniul G. Dacă ecuația (4.29) este ecuația

Acest curs de prelegeri a fost oferit de peste 10 ani pentru studenții de matematică teoretică și aplicată de la Universitatea de Stat din Extremul Orient. Respectă standardul de a doua generație pentru aceste specialități. Recomandat studenților și studenților de specialitate matematică.

Teorema lui Cauchy cu privire la existența și unicitatea unei soluții la problema Cauchy pentru o ecuație de prim ordin.
În această secțiune, impunând anumite restricții pe partea dreaptă a unei ecuații diferențiale de prim ordin, dovedim existența și unicitatea soluției determinate de datele inițiale (x0, y0). Prima dovadă a existenței unei soluții la ecuațiile diferențiale se datorează lui Cauchy; dovada de mai jos este dată de Picard; se face folosind metoda aproximărilor succesive.

CUPRINS
1. Ecuații de ordinul întâi
1.0. Introducere
1.1. Ecuații separate
1.2. Ecuații omogene
1.3. Ecuații omogene generalizate
1.4. Ecuații liniare de primul ordin și reduse la ele
1.5. Ecuația lui Bernoulli
1.6. Ecuația Riccati
1.7. Ecuația diferențială totală
1.8. Factor integrator. Cele mai simple cazuri de găsire a factorului integrator
1.9. Ecuații nerezolvate pentru derivată
1.10. Teorema lui Cauchy cu privire la existența și unicitatea unei soluții la problema Cauchy pentru o ecuație de prim ordin
1.11. Puncte speciale
1.12. Soluții speciale
2. Ecuații de ordine superioare
2.1. Concepte și definiții de bază
2.2. Tipuri de ecuații de ordine n rezolvabile prin cvadraturi
2.3. Integrale intermediare. Ecuații care acceptă reduceri de ordine
3. Ecuații diferențiale liniare de ordinul n
3.1. Noțiuni de bază
3.2. Ecuații diferențiale omogene liniare de ordinul n
3.3. Scăderea ordinii unei ecuații liniare omogene
3.4. Ecuații liniare neomogene
3.5. Reducerea ordinii într-o ecuație neomogenă liniară
4. Ecuații liniare cu coeficienți constanți
4.1. Ecuație liniară omogenă cu coeficienți constanți
4.2. Ecuații liniare neomogene cu coeficienți constanți
4.3. Ecuații liniare de ordinul doi cu soluții oscilante
4.4. Integrare pe serii de putere
5. Sisteme liniare
5.1. Sisteme neomogene și omogene. Unele proprietăți ale soluțiilor la sistemele liniare
5.2. Condiții necesare și suficiente pentru independența liniară a soluțiilor unui sistem liniar omogen
5.3. Existența unei matrice fundamentale. Construirea unei soluții generale la un sistem liniar omogen
5.4. Construirea întregului set de matrice fundamentale ale unui sistem liniar omogen
5.5. Sisteme neomogene. Construirea unei soluții generale prin metoda variației constantelor arbitrare
5.6. Sisteme omogene liniare cu coeficienți constanți
5.7. Unele informații din teoria funcțiilor matricilor
5.8. Construirea matricei fundamentale a unui sistem de ecuații liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul general
5.9. Teorema existenței și teoremele privind proprietățile funcționale ale soluțiilor sistemelor normale de ecuații diferențiale de ordinul întâi
6. Elemente ale teoriei stabilității
6.1
6.2. Cele mai simple tipuri de puncte de odihnă
7. Ecuații diferențiale parțiale de ordinul 1
7.1. Ecuație diferențială parțială omogenă liniară de ordinul 1
7.2. Ecuația diferențială parțială liniară neomogenă de ordinul I
7.3. Sistem de două ecuații diferențiale parțiale cu o funcție necunoscută
7.4. Ecuația lui Pfaff
8. Variante ale sarcinilor de control
8.1. Lucrarea de examinare nr. 1
8.2. Lucrarea de examinare nr. 2
8.3. Lucrarea de examinare nr. 3
8.4. Lucrarea de examinare nr. 4
8.5. Lucrarea de examinare nr. 5
8.6. Lucrarea de examinare nr. 6
8.7. Lucrarea de examinare nr. 7
8.8. Lucrarea de examinare nr. 8.

Descărcați gratuit cartea electronică într-un format convenabil, urmăriți și citiți:
Descărcați cartea Un curs de prelegeri despre ecuații diferențiale obișnuite, Shepeleva R.P., 2006 - fileskachat.com, descărcare rapidă și gratuită.

Descarcă pdf
Mai jos puteți cumpăra această carte la cel mai bun preț redus, cu livrare în toată Rusia.

„CONFERENȚE PRIVIND ECUAȚIILE DIFERENȚIALE ORDINARE PARTEA 1. ELEMENTELE TEORIEI GENERALE Manualul stabilește dispozițiile care stau la baza teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare: ...”

-- [ Pagina 1 ] --

A. E. Mamontov

CONFERINȚE ORDINARE

ECUATII DIFERENTIALE

ELEMENTELE TEORIEI GENERALE

Tutorialul stabilește dispozițiile care compun

baza teoriei ecuațiilor diferențiale obișnuite: conceptul de soluții, existența lor, unicitatea,

dependență de parametri. De asemenea (în § 3), o anumită atenție este acordată soluției „explicite” a unor clase de ecuații. Manualul este destinat studiului aprofundat al cursului „Ecuații diferențiale” de către studenții care studiază la Facultatea de Matematică a Universității Pedagogice de Stat din Novosibirsk.

UDC 517.91 LBC V161.61 Prefață Manualul este destinat studenților Facultății de Matematică a Universității Pedagogice de Stat din Novosibirsk, care doresc să studieze cursul obligatoriu „Ecuații diferențiale” într-un volum extins. Cititorilor li se oferă conceptele și rezultatele de bază care formează fundamentul teoriei ecuațiilor diferențiale obișnuite: concepte de soluții, teoreme ale existenței lor, unicitate, dependență de parametri. Materialul descris este prezentat sub forma unui text logic inseparabil în §§ 1, 2, 4, 5. De asemenea (în § 3, care stă oarecum separat și întrerupe temporar firul principal al cursului), sunt luate în considerare pe scurt cele mai populare metode de găsire a soluțiilor „explicite” ale unor clase de ecuații. La prima lectură, § 3 poate fi omis fără a afecta semnificativ structura logică a cursului.

Un rol important îl joacă exercițiile incluse în număr mare în text. Cititorul este puternic încurajat să le rezolve „fierbinte pe traseu”, ceea ce garantează asimilarea materialului și va servi drept test. Mai mult, de multe ori aceste exerciții umple țesătura logică, adică fără a le rezolva, nu toate propunerile vor fi dovedite riguros.

În paranteze pătrate în mijlocul textului, există remarci care au rolul de comentarii (explicații extinse sau laterale). Lexic, aceste fragmente întrerup textul principal (adică, pentru o lectură coerentă, acestea trebuie „ignorate”), dar sunt încă necesare ca explicații. Cu alte cuvinte, aceste fragmente trebuie percepute ca și cum ar fi fost scoase pe câmp.

Textul conține „note pentru profesor” clasificate separat - pot fi omise atunci când citesc de către elevi, dar sunt utile profesorului care va folosi manualul, de exemplu, atunci când susține prelegeri - ajută la înțelegerea mai bună a logicii cursului și indică direcția posibilelor îmbunătățiri (extensii) ale cursului ... Cu toate acestea, stăpânirea acestor observații de către studenți poate fi binevenită doar.

Un rol similar îl joacă „raționamentul pentru antrenor” - acestea oferă, într-o formă extrem de concisă, dovada unor propuneri oferite cititorului ca exerciții.

Cei mai comuni termeni (cheie) sunt folosiți sub formă de abrevieri, a căror listă este dată la final pentru comoditate. Există, de asemenea, o listă de notații matematice găsite în text, dar care nu sunt legate de cele mai frecvente (și / sau care nu sunt înțelese fără ambiguitate în literatură).

Simbolul înseamnă sfârșitul dovezii, enunțul declarației, observații etc. (acolo unde este necesar pentru a evita confuzia).

Formulele sunt numerotate independent în fiecare paragraf. Când se face referire la o parte a formulei, se utilizează indicii, de exemplu (2) 3 înseamnă a treia parte a formulei (2) (părți ale formulei sunt considerate a fi fragmente separate prin spațiu tipografic și de poziții logice - printr-o grămadă de „și”).

Acest manual nu poate înlocui complet un studiu aprofundat al subiectului, care necesită exerciții independente și citirea literaturii suplimentare, de exemplu, cea enumerată la sfârșitul manualului. Cu toate acestea, autorul a încercat să prezinte principalele prevederi ale teoriei într-o formă destul de succintă, adecvată pentru un curs de prelegere. În acest sens, trebuie remarcat faptul că, atunci când citiți un curs de prelegere în acest manual, este nevoie de aproximativ 10 prelegeri.

Este planificată publicarea a încă 2 părți (volume), continuarea acestui manual și finalizarea astfel a ciclului de prelegeri pe tema „ecuațiilor diferențiale obișnuite”: partea 2 (ecuații liniare), partea 3 (teoria suplimentară a ecuațiilor neliniare, ecuațiile diferențiale parțiale de ordinul întâi).

§ 1. Introducere O ecuație diferențială (DE) este o relație de forma u1 u1 un, derivate superioare F y, u (y), ..., \u003d 0, y1 y2 yk (1) unde y \u003d (y1, ..., yk) Rk sunt variabile independente, iar u \u003d u (y) sunt funcții necunoscute1, u \u003d (u1, ..., un). Astfel, (1) conține n necunoscute, deci sunt necesare n ecuații, adică F \u003d (F1, ..., Fn), deci (1) este, în general vorbind, un sistem de n ecuații. Dacă există o funcție necunoscută (n \u003d 1), atunci ecuația (1) este scalară (o ecuație).

Deci, funcția (funcțiile) F este (sunt) dată și se caută u. Dacă k \u003d 1, atunci (1) se numește ODE, altfel se numește PDE. Al doilea caz face obiectul unui curs special IFM prezentat într-o serie de tutoriale cu același nume. În această serie de tutoriale (formate din 3 părți-volume), vom studia numai ODE-urile, cu excepția ultimului paragraf al ultimei părți (volum), în care începem să studiem câteva cazuri speciale de PDE.

2u u Exemplu. 2 \u003d 0 este un PDE.

y1 y Valorile necunoscute ale lui u pot fi reale sau complexe, ceea ce este nesemnificativ, deoarece acest moment se referă doar la forma ecuațiilor de scriere: orice notație complexă poate fi transformată în real, separând părțile reale și imaginare (dar, desigur, dublând numărul de ecuații și necunoscute) și invers, în unele cazuri este convenabil să treceți la o notație complexă.

du d2v dv 2 \u003d uv; u3 \u003d 2. Acesta este un sistem de 2 exemple ODE.

dy dy dy pentru 2 funcții necunoscute în variabila independentă y.

Dacă k \u003d 1 (ODE), atunci se utilizează simbolul "drept" d / dy.

u (y) du Exemplu. exp (sin z) dz este un ODE, deoarece are un exemplu. \u003d u (u (y)) pentru n \u003d 1 nu este o ecuație diferențială, ci o ecuație diferențială funcțională.

Aceasta nu este o DE, ci o ecuație integro-diferențială, nu vom studia astfel de ecuații. Cu toate acestea, în mod specific, ecuația (2) este ușor redusă la un ODE:

Un exercitiu. Reduceți (2) la ODE.

Dar, în general, ecuațiile integrale sunt un obiect mai complex (este studiat parțial în cursul analizei funcționale), deși, așa cum vom vedea mai jos, cu ajutorul lor se obțin unele rezultate pentru ODE.

DE-urile apar atât din nevoile intra-matematice (de exemplu, în geometria diferențială), cât și în aplicații (istoric pentru prima dată și acum în principal în fizică). Cea mai simplă DE este „principala problemă a calculului diferențial” despre recuperarea unei funcții din derivata sa: \u003d h (y). După cum se știe din analiză, soluția sa are forma u (y) \u003d + h (s) ds. DE mai generale necesită metode speciale pentru rezolvarea acestuia. Cu toate acestea, așa cum vom vedea mai jos, practic toate metodele de rezolvare a ODE-urilor „într-o formă explicită” sunt reduse în esență la cazul banal indicat.

În aplicații, ODE apar cel mai adesea atunci când descriu procesele care se dezvoltă în timp, astfel încât rolul unei variabile independente este de obicei jucat de timpul t.

astfel, semnificația ODE în astfel de aplicații este de a descrie schimbarea parametrilor sistemului de-a lungul timpului. Prin urmare, atunci când construiți o teorie generală a ODE, este convenabil să indicați variabila independentă cu t (și să o numiți timp cu toate consecințele terminologice care rezultă) și funcția (funcțiile) necunoscută (e) - prin x \u003d (x1, ..., xn). Astfel, viziunea generală a ODE (sistemul ODE) este următoarea:

unde F \u003d (F1, ..., Fn) este un sistem de n ODE pentru n funcții x, iar dacă n \u003d 1, atunci un ODE pentru 1 funcție x.

Mai mult, x \u003d x (t), t R și x, în general vorbind, au o valoare complexă (acest lucru este pentru comoditate, de vreme ce unele sisteme sunt scrise mai compact).

Se spune că sistemul (3) este de ordinul m față de funcția xm.

Derivatele sunt numite senior, iar restul (inclusiv xm \u003d ele însele) sunt numite low. Dacă toate m \u003d, atunci pur și simplu spun că ordinea sistemului este egală.

Este adevărat, numărul m este adesea numit ordinea sistemului, ceea ce este și natural, așa cum va deveni clar mai jos.

Vom considera problema necesității studierii ODE și a aplicațiilor acestora pentru a fi suficient justificată de alte discipline (geometrie diferențială, analiză matematică, mecanică teoretică etc.) și este acoperită parțial în cursul exercițiilor practice de rezolvare a problemelor (de exemplu, dintr-o carte de probleme). În acest curs, ne vom ocupa exclusiv de studiul matematic al sistemelor formei (3), ceea ce implică un răspuns la următoarele întrebări:

1. ce înseamnă „rezolvarea” ecuației (sistemului) (3);

2. cum se face;

3. ce proprietăți au aceste soluții, cum să le cercetăm.

Întrebarea 1 nu este atât de evidentă pe cât pare - vezi mai jos. Rețineți imediat că orice sistem (3) poate fi redus la un sistem de prim ordin, denotând derivatele inferioare ca funcții noi necunoscute. Cel mai simplu mod de a explica această procedură este cu un exemplu:

din 5 ecuații pentru 5 necunoscute. Este ușor de înțeles că (4) și (5) sunt echivalente în sensul că soluția la una dintre ele (după reproiectarea corespunzătoare) este soluția la cealaltă. În acest caz, ar trebui să se stipuleze doar problema netezii soluțiilor - vom face acest lucru mai departe atunci când vom întâlni un ODE de ordin superior (adică nu primul).

Dar acum este clar că este suficient să se studieze numai ODE de ordinul întâi, în timp ce altele pot fi necesare numai pentru comoditatea notării (o astfel de situație va apărea uneori în cazul nostru).

Deocamdată, să ne restrângem la ODE de prima ordine:

dimx \u003d dimF \u003d n.

Studiul ecuației (sistemului) (6) este incomod datorită faptului că nu este rezolvat în ceea ce privește derivatele dx / dt. După cum se știe din analiză (din teorema funcției implicite), în anumite condiții de pe F, ecuația (6) poate fi rezolvată cu privire la dx / dt și scrisă în forma în care este dat f: Rn + 1 Rn, iar x: R Rn este cea dorită. Se spune că (7) este un ODE rezolvat cu privire la derivate (un ODE normal). Când treceți de la (6) la (7), în mod natural, pot apărea dificultăți:

Exemplu. Ecuația exp (x) \u003d 0 nu poate fi scrisă sub forma (7) și nu are deloc soluții, adică exp nu are zerouri chiar și în planul complex.

Exemplu. Ecuația x 2 + x2 \u003d 1 la rezoluție este scrisă ca două ODE normale x \u003d ± 1 x2. Ar trebui să le rezolvați pe fiecare dintre ele și apoi să interpretați rezultatul.

Cometariu. La reducerea (3) la (6), complexitatea poate apărea dacă (3) are 0 ordine în anumite funcții sau părți de funcții (adică aceasta este o ecuație diferențială funcțională). Dar atunci aceste funcții trebuie eliminate prin teorema funcției implicite.

Exemplu. x \u003d y, xy \u003d 1 x \u003d 1 / x. Găsiți x din ODE rezultat, apoi y din ecuația funcțională.

Dar, în orice caz, problema tranziției de la (6) la (7) aparține mai degrabă domeniului analizei matematice decât DE, și nu ne vom ocupa de ea. Cu toate acestea, atunci când rezolvați o ODE a formei (6), pot apărea momente interesante din punctul de vedere al unei ODE, deci această întrebare este adecvată pentru a fi studiată la rezolvarea problemelor (așa cum se face, de exemplu, în) și va fi ușor atinsă în § 3. Dar în restul cursului se ocupă numai de sisteme și ecuații normale. Deci, ia în considerare un ODE (sistem de ODE) (7). Să o scriem o dată în formă componentă:

Conceptul de „rezolvare (7)” (și, în general, orice DE) a fost înțeles de mult ca o căutare a unei „formule explicite” pentru o soluție (adică sub formă de funcții elementare, antiderivative sau funcții speciale etc.), fără accentul pus pe netezimea soluției și intervalul de definire a acesteia. Cu toate acestea, starea actuală a teoriei ODE și a altor ramuri ale matematicii (și a științelor naturii în general) arată că această abordare este nesatisfăcătoare, chiar dacă fracțiunea ODE care se pretează unei asemenea „integrări explicite” este extrem de mică (chiar și pentru cea mai simplă ODE x \u003d f (t) se știe că soluția în funcțiile elementare este rară, deși există o „formulă explicită”).

Exemplu. Ecuația x \u003d t2 + x2, în ciuda simplității sale extreme, nu are soluții în funcțiile elementare (și chiar „nu există o formulă” aici).

Și, deși este util să cunoaștem acele clase de ODE-uri pentru care este posibilă construcția „explicită” a soluției (în același mod în care este util să poți „număra integralele” atunci când este posibil, deși acest lucru este extrem de rar). În acest sens, următorii termeni sunt caracteristici: „integrare ODE "," integral ODE "(analogi învechi ai conceptelor moderne" rezolvă ODE "," soluție ODE "), care reflectă vechile concepte ale soluției. Cum să înțelegem termenii moderni, vom explica acum.

și această problemă va fi luată în considerare în § 3 (precum și în mod tradițional, se acordă multă atenție la rezolvarea problemelor în clasele practice), dar nu ar trebui să ne așteptăm la nicio universalitate din această abordare. De regulă, prin procesul de rezolvare (7) înțelegem pași complet diferiți.

Ar trebui clarificat care funcție x \u003d x (t) poate fi numită soluție (7).

În primul rând, observăm că o formulare clară a conceptului de soluție este imposibilă fără a specifica setul pe care este definită, doar pentru că soluția este o funcție și orice funcție (conform definiției școlii) este o lege care compară orice element al unui set (numit domeniul definiției) a acestei funcții) un element al unui alt set (valori ale funcției). Astfel, a vorbi despre o funcție fără a specifica sfera acesteia este, prin definiție, absurd. Funcțiile analitice (mai larg - elementare) servesc aici ca o „excepție” (înșelătoare) din motivele indicate mai jos (și unele altele), dar în cazul DE, astfel de libertăți sunt inacceptabile.

și, în general, fără a specifica seturile de definiții ale tuturor funcțiilor care participă la (7). După cum va fi clar din cele ce urmează, este recomandabil să legați rigid conceptul de soluție cu setul definiției sale și să considerați soluțiile diferite dacă seturile definițiilor lor sunt diferite, chiar dacă soluțiile coincid la intersecția acestor seturi.

Cel mai adesea, în situații specifice, acest lucru înseamnă că, dacă soluțiile sunt construite sub formă de funcții elementare, astfel încât 2 soluții să aibă „aceeași formulă”, atunci este încă necesar să se clarifice dacă mulțimile pe care sunt scrise aceste formule coincid. Confuzia care a dominat mult timp în acest număr a fost iertabilă atâta timp cât au fost luate în considerare soluții sub formă de funcții elementare, deoarece funcțiile analitice se extind fără echivoc pe intervale mai largi.

Exemplu. x1 (t) \u003d et on (0,2) și x2 (t) \u003d et on (1,3) sunt soluții diferite ale ecuației x \u003d x.

În acest caz, este firesc să se ia un interval deschis (poate infinit) ca set de definiție pentru orice soluție, deoarece acest set ar trebui să fie:

1. deschideți, astfel încât, în orice moment, are sens să vorbiți despre un derivat (cu două fețe);

2. conectat astfel încât soluția să nu se destrame în bucăți deconectate (în acest caz este mai convenabil să vorbim despre mai multe soluții) - vezi Exemplul anterior.

Astfel, soluția (7) este o pereche (, (a, b)), unde un b + este definit pe (a, b).

Notă pentru profesor. În unele manuale, este permisă includerea capetelor unui segment în domeniul definiției unei soluții, dar acest lucru este inadecvat, având în vedere faptul că complică doar prezentarea, dar nu oferă o generalizare reală (a se vedea § 4).

Pentru a înțelege mai ușor raționamentul, este util să se utilizeze interpretarea geometrică (7). În spațiul Rn + 1 \u003d ((t, x)) în fiecare punct (t, x) unde se definește f, putem considera vectorul f (t, x). Dacă construim în acest spațiu graficul soluției (7) (se numește curba integrală a sistemului (7)), atunci este format din puncte de formă (t, x (t)). Când t (a, b) se schimbă, acest punct se deplasează de-a lungul IC. Tangenta IC la punctul (t, x (t)) are forma (1, x (t)) \u003d (1, f (t, x (t))). Astfel, IK sunt acele și numai acele curbe din spațiul Rn + 1, care în fiecare punct (t, x) au o tangentă paralelă cu vectorul (1, f (t, x)). Pe această idee așa-numitul. metoda isoclină pentru construcția aproximativă a IC, care este utilizată la afișarea graficelor soluțiilor unor ODE specifice (a se vedea.

de exemplu ). De exemplu, pentru n \u003d 1, construcția noastră înseamnă următoarele: în fiecare punct al IR, înclinația sa spre axa t are proprietatea tg \u003d f (t, x). Este firesc să presupunem că, luând orice punct din setul definiției lui f, putem trage un IC prin el. Această idee va fi justificată riguros mai jos. Până în prezent, ne lipsește o formulare riguroasă a fluidității soluțiilor - acest lucru se va face mai jos.

Acum este necesar să se rafineze setul B pe care se definește f. Este firesc să luați acest set:

1. deschis (astfel încât IC-ul să poată fi construit în vecinătatea oricărui punct din B), 2. conectat (în caz contrar, toate piesele conectate pot fi considerate separat - totuși, IC-ul (ca grafic al unei funcții continue) nu poate sări de la o piesă la alta, astfel încât pe acest lucru nu va afecta generalitatea căutării soluțiilor).

Vom lua în considerare doar soluțiile clasice (7), adică astfel încât x însuși și x-ul său sunt continue pe (a, b). Atunci este firesc să se solicite acel f C (B). În cele ce urmează, această cerință va fi întotdeauna înțeleasă de noi. Deci, în sfârșit obținem definiția. Fie B Rn + 1 un domeniu, f C (B).

O pereche (, (a, b)), ab +, definită pe (a, b), se numește o soluție la (7) dacă C (a, b), pentru fiecare t (a, b) punctul (t, (t) ) B și (t) există și (t) \u003d f (t, (t)) (apoi automat C 1 (a, b)).

Geometric, este clar că (7) va avea multe soluții (ceea ce este ușor de înțeles grafic), deoarece dacă efectuăm IQ-uri începând de la punctele formei (t0, x0), unde t0 este fix, atunci vom obține IQ-uri diferite. În plus, modificarea intervalului pentru determinarea soluției va oferi o soluție diferită, conform definiției noastre.

Exemplu. x \u003d 0. Soluție: x \u003d \u003d const Rn. Cu toate acestea, dacă alegem o parte din t0 și fixăm valoarea x0 a soluției la punctul t0: x (t0) \u003d x0, atunci valoarea este determinată în mod unic: \u003d x0, adică soluția este unică până la alegerea intervalului (a, b) t0.

Prezența unui set de soluții „fără chip” este incomodă pentru lucrul cu ele2 - este mai convenabil să le „enumerați” după cum urmează: adăugați condiții suplimentare la (7) astfel încât să selectați o singură soluție (într-un anumit sens), și apoi, sortând aceste condiții, lucrați cu fiecare soluție separat (din punct de vedere geometric, poate exista o soluție (IC), dar există multe piese - ne vom ocupa de acest inconvenient mai târziu).

Definiție. Problema pentru (7) este (7) cu condiții suplimentare.

În esență, am inventat deja cea mai simplă problemă - aceasta este problema Cauchy: (7) cu condiții de formă (date Cauchy, date inițiale):

Din punct de vedere al aplicațiilor, această problemă este firească: de exemplu, dacă (7) descrie modificarea unor parametri x cu timpul t, atunci (8) înseamnă că la un moment (inițial) de timp este cunoscută valoarea parametrilor. Este nevoie să se studieze și alte probleme, despre asta vom vorbi mai târziu, dar deocamdată ne vom concentra asupra problemei Cauchy. Bineînțeles, această problemă are sens pentru (t0, x0) B. În consecință, o soluție la problema (7), (8) este o soluție (7) (în sensul definiției date mai sus) astfel încât t0 (a, b) și (8).

Sarcina noastră imediată este să dovedim existența unei soluții la problema Cauchy (7), (8) și, pentru un anumit exemplu suplimentar - o ecuație pătratică, este mai bine să scriem x1 \u003d ..., x2 \u003d ... decât x \u003d b / 2 ± ...

ipoteze despre f - și unicitatea acestuia într-un anumit sens.

Cometariu. Trebuie să clarificăm conceptul normei unui vector și a unei matrici (deși vom avea nevoie doar de matrici în partea 2). Datorită faptului că toate normele sunt echivalente într-un spațiu cu dimensiuni finite, alegerea unei norme specifice nu contează dacă suntem interesați doar de estimări și nu de valori exacte. De exemplu, pentru vectori, puteți utiliza | x | p \u003d (| xi | p) 1 / p, p este segmentul Peano (Picard). Luați în considerare conul K \u003d (| x x0 | F | t t0 |) și partea sa trunchiată K1 \u003d K (t IP). Este clar că doar K1 C.

Teorema. (Peano). Să fie îndeplinite cerințele de la f din problema (1), specificate în definiția soluției, adică:

f C (B), unde B este un domeniu în Rn + 1. Apoi, pentru toți (t0, x0) B, există o soluție la problema (1) pe Int (IP).

Dovezi. Să definim în mod arbitrar (0, T0] și să construim așa-numita polilinie Euler cu un pas, și anume: este o polilinie în Rn + 1, în care fiecare legătură are o proiecție pe axa t a lungimii, prima legătură spre dreapta începe la punctul (t0, x0) și este de așa natură încât dx / dt \u003d f (t0, x0); capătul drept al acestei legături (t1, x1) servește ca capătul stâng al celui de-al doilea, la care dx / dt \u003d f (t1, x1) etc., și similar cu stânga. Linia întreruptă rezultată definește o funcție liniară în bucăți x \u003d (t). Atâta timp cât t IP, linia întreruptă rămâne în K1 (și cu atât mai mult în C și, prin urmare, în B), deci construcția este corectă - pentru aceasta, de fapt, am făcut-o construcție auxiliară înainte de teoremă.

Într-adevăr, pretutindeni, cu excepția punctelor de întrerupere, există și apoi (s) (t) \u003d (z) dz, unde valorile arbitrare ale derivatei sunt luate la punctele de întrerupere.

Mai mult (deplasarea de-a lungul liniei întrerupte prin inducție) În special, | (t) x0 | F | t t0 |.

Astfel, pe funcția IP:

2. este echicontinuu, deoarece Lipschitz:

Aici, cititorul ar trebui, dacă este necesar, să-și reîmprospăteze cunoștințele despre concepte și rezultate precum: echicontinuitate, convergență uniformă, teorema Arzela-Ascoli etc.

Prin teorema Arzela-Ascoli, există o secvență k 0 astfel încât k este pe IP, unde C (IP). Prin construcție, (t0) \u003d x0, deci rămâne să verificăm dacă vom demonstra acest lucru pentru s t.

Un exercitiu. Luați în considerare s t în mod similar.

Să setăm 0 și să găsim 0 astfel încât pentru toți (t1, x1), (t2, x2) C să fie adevărat Acest lucru se poate face având în vedere continuitatea uniformă a lui f pe setul compact C. Să găsim m N astfel încât Fix t Int (IP) și să luăm orice s Int (IP) astfel încât tst +. Atunci pentru toate z avem | k (z) k (t) | F, prin urmare, având în vedere (4) | k (z) (t) | 2F.

Rețineți că k (z) \u003d k (z) \u003d f (z, k (z)), unde z este abscisa punctului final stâng al segmentului de polilinie care conține punctul (z, k (z)). Dar punctul (z, k (z)) cade în cilindru cu parametrii (, 2F), construiți pe punctul (t, (t)) (de fapt, chiar și în conul trunchiat - vezi figura, dar acum nu mai contează), deci, având în vedere (3), obținem | k (z) f (t, (t)) |. Pentru o linie întreruptă, avem, așa cum s-a menționat mai sus, formula La k, aceasta va da (2).

Cometariu. Fie f C 1 (B). Atunci soluția definită la (a, b) va fi din clasa C 2 (a, b). Într-adevăr, pe (a, b) avem: există f (t, x (t)) \u003d ft (t, x (t)) + (t, x (t)) x (t) (aici este matricea Jacobi ) este o funcție continuă. Cunoașteți trișarea, există și 2 C (a, b). Netezimea soluției poate fi sporită și mai mult dacă f este netedă. Dacă f este analitic, atunci se poate dovedi existența și unicitatea unei soluții analitice (aceasta este așa-numita teoremă a lui Cauchy), deși acest lucru nu decurge din raționamentul anterior!

Aici este necesar să ne amintim ce este o funcție analitică. Nu trebuie confundat cu o funcție reprezentată de o serie de putere (aceasta este doar o reprezentare a unei funcții analitice pe, în general vorbind, o parte a domeniului său de definiție)!

Cometariu. Pentru date (t0, x0), se poate încerca să maximizeze T0 variind T și R. Cu toate acestea, acest lucru, de regulă, nu este atât de important, deoarece există metode speciale pentru studierea intervalului maxim de existență a unei soluții (a se vedea § 4).

Teorema lui Peano nu spune nimic despre unicitatea soluției. În înțelegerea noastră a unei soluții, aceasta nu este întotdeauna singura, deoarece dacă există o soluție, atunci restricțiile sale la intervale mai restrânse vor fi alte soluții. Vom lua în considerare acest punct mai detaliat mai târziu (în § 4), dar, deocamdată, prin unicitate înțelegem coincidența oricăror două soluții la intersecția intervalelor de definire a acestora. Chiar și în acest sens, teorema lui Peano nu spune nimic despre unicitate, ceea ce nu este întâmplător, deoarece unicitatea nu poate fi garantată în condițiile sale.

Exemplu. n \u003d 1, f (x) \u003d 2 | x |. Problema Cauchy are o soluție banală: x1 0 și, în plus, x2 (t) \u003d t | t |. Din aceste două soluții, poate fi compilată o întreagă familie de soluții cu 2 parametri:

unde + (valori infinite înseamnă absența ramurii corespunzătoare). Dacă considerăm întregul R ca domeniul tuturor acestor soluții, atunci există încă multe dintre ele.

Rețineți că dacă aplicăm în această problemă dovada teoremei lui Peano prin linii poligonale Euler, atunci vom obține doar soluția zero. Pe de altă parte, dacă este permisă o mică eroare la fiecare etapă a procesului de construire a liniilor poligonale Euler, atunci chiar și după ce parametrul de eroare tinde la zero, rămân toate soluțiile. Astfel, teorema lui Peano și liniile poligonale ale lui Euler sunt naturale ca metodă de construcție a soluțiilor și sunt strâns legate de metodele numerice.

Problema observată în exemplu se datorează faptului că funcția f nu este netedă în x. Se pare că, dacă impunem cerințe suplimentare cu privire la regularitatea lui f în x, atunci unicitatea poate fi asigurată, iar acest pas este necesar într-un anumit sens (a se vedea mai jos).

Să ne amintim câteva concepte din analiză. O funcție (scalară sau vectorială) g se numește funcție Hölder cu exponent (0, 1] pe set dacă b este adevărat de condiția Lipschitz. Pentru 1, acest lucru este posibil doar pentru funcții constante. O funcție definită pe un interval (unde alegerea lui 0 este inesențială) se numește modul de continuitate, dacă se spune că g satisface în condiția generalizată Hölder cu modul, dacă în acest caz se numește modulul de continuitate al g în.

Se poate arăta că orice modul de continuitate este modulul de continuitate al unei funcții continue.

Faptul invers este important pentru noi și anume: orice funcție continuă pe un set compact are modulul său de continuitate, adică satisface (5) cu unele. Să dovedim. Amintiți-vă că dacă este compact și g C (), atunci g este în mod necesar continuu uniform în, adică

\u003d (): | x y | \u003d | g (x) g (y) |. Se pare că acest lucru este echivalent cu condiția (5) cu unele. Într-adevăr, dacă există, atunci este suficient să se construiască un modul de continuitate astfel încât (()), și apoi pentru | x y | \u003d \u003d () obținem Deoarece (și) sunt arbitrare, atunci x și y pot fi oricare.

Și invers, dacă (5) este adevărat, atunci este suficient să se găsească astfel încât (()), și apoi pentru | x y | \u003d () obținem Rămâne să justificăm tranzițiile logice:

Pentru monoton și, este suficient să luați funcții inverse, dar în cazul general este necesar să utilizați așa-numitul. funcții inverse generalizate. Existența lor necesită o dovadă separată, pe care nu o vom oferi, ci doar o idee (este util să însoțiți lectura cu imagini):

pentru orice F definim F (x) \u003d min F (y), F (x) \u003d max F (y) - acestea sunt funcții monotone și au invers. În F, este ușor să verificați dacă x x F (F (x)), (F) 1 (F (x)) x, F ((F) 1 (x)) x.

Cel mai bun modul de continuitate este liniar (condiția Lipschitz). Acestea sunt funcții „aproape diferențiate”. Este nevoie de un efort pentru a da un sens riguros ultimei afirmații și ne limităm la doar două observații:

1. Strict vorbind, nu fiecare funcție Lipschitz este diferențiată, deoarece exemplul arată g (x) \u003d | x | pe R;

2. dar diferențialitatea implică proprietatea Lipschitz, așa cum arată următoarea afirmație. Orice funcție g având toate M pe un set convex îndeplinește condiția Lipschitz pe ea.

[Deocamdată, luați în considerare funcțiile scalare g pentru concizie.] Dovadă. Pentru toate x, y pe care le avem Este clar că această afirmație este valabilă și pentru funcțiile vectoriale.

Cometariu. Dacă f \u003d f (t, x) (în general vorbind, o funcție vectorială), atunci putem introduce conceptul „f este Lipschitz în x”, adică | f (t, x) f (t, y) | C | xy | și, de asemenea, demonstrează că, dacă D este convex în x pentru tot t, atunci pentru f să fie Lipschitz față de x în D, este suficient să avem derivate ale lui f față de x mărginite În Enunț, am obținut estimarea | g (x) g (y) | prin | x y |. Pentru n \u003d 1 se face de obicei folosind formula incrementelor finite: g (x) g (y) \u003d g (z) (xy) (dacă g este o funcție vectorială, atunci z este diferit pentru fiecare componentă). Pentru n 1, este convenabil să utilizați următorul analog al acestei formule:

Lemă. (Hadamard). Fie f C (D) (în general vorbind, o funcție vectorială), unde D (t \u003d t) este convex pentru orice t și f (t, x) f (t, y) \u003d A (t, x, y) (xy), unde A este o matrice dreptunghiulară continuă.

Dovezi. Pentru orice t fix, aplicați calculul din dovadă. Enunț pentru \u003d D (t \u003d t), g \u003d fk. Obținem reprezentarea necesară cu A (t, x, y) \u003d A este într-adevăr continuu.

Să ne întoarcem la problema unicității soluției la problema (1).

Să punem întrebarea după cum urmează: care ar trebui să fie modulul de continuitate al lui f față de x pentru ca soluția (1) să fie unică în sensul că 2 soluții definite pe același interval coincid? Răspunsul este dat de următoarea teoremă:

Teorema. (Osgood). Fie, în condițiile teoremei lui Peano, modulul de continuitate al lui f față de x în B, adică funcția din inegalitate îndeplinește condiția (putem presupune C). Atunci problema (1) nu poate avea două soluții diferite definite pe același interval al formei (t0 a, t0 + b).

Comparați cu exemplul de non-unicitate de mai sus.

Lemă. Dacă z C 1 (,), atunci pe toate (,):

1. în punctele în care z \u003d 0, există | z | și || z | | | z |;

2. în punctele în care z \u003d 0, există derivate unilaterale | z | ± și || z | ± | \u003d | z | (în special, dacă z \u003d 0, atunci | z | \u003d 0 există).

Exemplu. n \u003d 1, z (t) \u003d t. La punctul t \u003d 0, derivata lui | z | nu există, dar există derivate unidirecționale.

Dovezi. (Leme). În acele puncte în care z \u003d 0, dacă z · z em: există | z | \u003d și || z | | | z |. În acele puncte t, unde z (t) \u003d 0, avem:

Cazul 1: z (t) \u003d 0. Apoi obținem existența | z | (t) \u003d 0.

Cazul 2: z (t) \u003d 0. Apoi, pentru +0 sau 0, z (t +) | | z (t) | al cărui modul este egal cu | z (t) |.

Prin presupunere, F C 1 (0,), F 0, F, F (+0) \u003d +. Fie z1,2 două soluții la (1) definite pe (t0, t0 +). Setăm z \u003d z1 z2. Noi avem:

Să presupunem că există t1 (pentru a fi definit, t1 t0) astfel încât z (t1) \u003d 0. Mulțimea A \u003d (t t1 | z (t) \u003d 0) nu este goală (t0 A) și este delimitată mai sus. Prin urmare, are o limită superioară t1. Prin construcție, z \u003d 0 pe (, t1) și, din moment ce z este continuu, avem z () \u003d 0.

De Lemma, | z | C 1 (, t1), și pe acest interval | z | | z | (| z |), astfel încât Integrarea peste (t, t1) (unde t (, t1)) dă F (| z (t) |) F (| z (t1) |) t1 t. Pentru t + 0 obținem o contradicție.

Corolar 1. Dacă, în condițiile teoremei lui Peano, f este Lipschitz în x în B, atunci problema (1) are o soluție unică în sensul descris în teorema lui Osgood, deoarece în acest caz () \u003d C satisface (7).

Corolar 2. Dacă, în condițiile teoremei lui Peano, C (B), atunci soluția (1) definită pe Int (IP) este unică.

Lemă. Orice soluție (1) definită pe IP trebuie să satisfacă estimarea | x | \u003d | f (t, x) | F, iar graficul său este în K1 și cu atât mai mult în C.

Dovezi. Să presupunem că există t1 IP astfel încât (t, x (t)) C. Pentru claritate, să fie t1 t0. Apoi există t2 (t0, t1] astfel încât | x (t) x0 | \u003d R. Similar cu argumentele din dovada teoremei lui Osgood, putem presupune că t2 este cel mai stâng astfel de punct, dar avem (t, x (t)) C, astfel încât | f (t, x (t)) | F și, prin urmare (t, x (t)) K1, care contrazice | x (t2) x0 | \u003d R. Prin urmare, (t, x (t) ) C pe întregul IP și apoi (repetând calculele) (t, x (t)) K1.

Dovezi. (Corolarul 2). C este un set compact f obținem că f este Lipschitz în x în C, unde graficele tuturor soluțiilor se află în vederea Lemei. Prin Corolarul 1, obținem ceea ce este necesar.

Cometariu. Condiția (7) înseamnă că condiția Lipschitz pentru f nu poate fi semnificativ slăbită. De exemplu, starea lui Hölder cu 1 nu mai este valabilă. Doar modulele de continuitate apropiate de liniare sunt potrivite - cum ar fi cel mai „rău”:

Un exercitiu. (destul de dificil). Demonstrați că dacă satisface (7), atunci există 1 care satisface (7) astfel încât 1 / este la zero.

În cazul general, nu este necesar să se solicite exact ceva din modulul de continuitate al lui f față de x pentru unicitate - sunt posibile diverse cazuri speciale, de exemplu:

Afirmație. Dacă, în condițiile teoremei lui Peano, atunci orice 2 soluții ale lui (1) definite la De la (9) este clar că x C 1 (a, b), și atunci diferențierea (9) dă (1) 1 și (1) 2 este evident ...

Spre deosebire de (1), pentru (9) este firesc să construim o soluție pe un segment închis.

Picard a propus următoarea metodă de aproximări succesive pentru a rezolva (1) \u003d (9). Notăm x0 (t) x0 și mai departe prin inducție. Teorema. (Cauchy-Picard). Să presupunem că în condițiile teoremei lui Peano funcția f este Lipschitz în x în orice set compact K din domeniul B convex în x, adică,

Apoi, pentru orice (t0, x0) B, problema Cauchy (1) (aka (9)) are o soluție unică pe Int (IP) și xk x pe IP, unde xk sunt definite în (10).

Cometariu. Este clar că teorema rămâne valabilă dacă condiția (11) este înlocuită cu C (B), deoarece această condiție implică (11).

Notă pentru profesor. De fapt, nu toate seturile compacte convexe în x sunt necesare, ci doar cilindrii, dar formularea se face exact în acest fel, deoarece în § 5 sunt necesare seturi compacte mai generale și, mai mult, cu această formulare Remarca arată cel mai natural.

Dovezi. Alegem în mod arbitrar (t0, x0) B și realizăm aceeași construcție auxiliară ca înainte de teorema lui Peano. Să dovedim prin inducție că toate xk sunt definite și continue pe IP, iar graficele lor se află în K1 și cu atât mai mult în C. Acest lucru este evident pentru x0. Dacă acest lucru este adevărat pentru xk1, atunci este clar din (10) că xk este definit și continuu pe IP și acesta este apartenența la K1.

Acum dovedim prin inducție estimarea pentru IP:

(C este un convex compact în x în B, iar L (C) este definit pentru acesta). Pentru k \u003d 0, aceasta este estimarea deja dovedită (t, x1 (t)) K1. Dacă (12) este adevărat pentru k: \u003d k 1, atunci din (10) avem așa cum este necesar. Astfel, seria este majorizată pe IP printr-o serie numerică convergentă și, prin urmare (aceasta se numește teorema Weierstrass) converge uniform pe IP către o funcție x C (IP). Dar asta înseamnă și xk x pe IP. Apoi în (10) pe IP trecem la limită și obținem (9) pe IP și, prin urmare, (1) pe Int (IP).

Unicitatea este obținută imediat prin Corolarul 1 din teorema lui Osgood, dar este util să o demonstram într-un alt mod, folosind doar ecuația (9). Să existe 2 soluții x1,2 la problema (1) (adică (9)) pe Int (IP). Așa cum s-a indicat mai sus, atunci graficele lor trebuie să fie neapărat în K1 și cu atât mai mult în C. Fie t I1 \u003d (t0, t0 +), unde este un număr pozitiv. Apoi \u003d 1 / (2L (C)). Atunci \u003d 0. Astfel, x1 \u003d x2 pe I1.

Notă pentru profesor. Există, de asemenea, o dovadă de unicitate cu ajutorul lemei lui Gronwall, este și mai naturală, deoarece rulează imediat la nivel global, dar până acum, lema lui Gronwall nu este foarte convenabilă, deoarece este dificil să o percepți în mod adecvat până la ODE liniare.

Cometariu. Ultima dovadă a unicității este instructivă prin faptul că arată încă o dată într-o altă lumină modul în care unicitatea locală duce la unicitatea globală (ceea ce nu este adevărat pentru existență).

Un exercitiu. Dovediți unicitatea pe toate IP-urile simultan, argumentând prin contradicție ca în dovada teoremei lui Osgood.

Un caz special important (1) sunt ODE liniare, adică cele în care valoarea f (t, x) este liniară în x:

În acest caz, pentru a intra în condițiile teoriei generale, ar trebui să se solicite Astfel, în acest caz, B este o bandă, iar condiția lui Lipschitz (și chiar diferențialitatea) față de x este satisfăcută automat: pentru toate t (a, b), x, y Rn avem | f (t, x) f (t, y) | \u003d | A (t) (x y) | | A (t) | | (X y) |.

Dacă selectăm temporar un set compact (a, b), atunci pe acesta obținem | f (t, x) f (t, y) | L | (x y) |, unde L \u003d max | A |.

Teoremele Peano și Osgood sau Cauchy-Picard implică rezolvabilitatea unică a problemei (13) pe un interval (Peano-Picard) care conține t0. Mai mult, soluția pentru acest interval este limita aproximărilor Picard succesive.

Un exercitiu. Găsiți acest interval.

Dar se pare că, în acest caz, toate aceste rezultate pot fi dovedite imediat la nivel global, adică pe toate (a, b):

Teorema. Să fie (14) adevărat. Apoi problema (13) are o soluție unică pe (a, b); în plus, aproximările succesive Picard converg către ea în mod uniform pe orice set compact (a, b).

Dovezi. Din nou, ca în TK-P, construim o soluție la ecuația integrală (9) folosind aproximări succesive folosind formula (10). Dar acum nu este nevoie să verificăm starea graficului care lovește conul și cilindrul, deoarece.

f este definit pentru toate x atâta timp cât t (a, b). Este necesar doar să verificați dacă toate xk sunt definite și continue pe (a, b), ceea ce este evident prin inducție.

În loc de (12), prezentăm acum o estimare similară a formei în care N este un număr în funcție de alegere. Primul pas de inducție pentru această estimare este diferit (deoarece nu este legat de K1): pentru k \u003d 0 | x1 (t) x0 | N datorită continuității lui x1, iar pașii următori sunt similari cu (12).

Este posibil să nu descriem acest lucru, deoarece este evident, dar este posibil Din nou observăm xk x pe, și x este o soluție a corespunzătoare (10) pe. Dar făcând acest lucru, am construit o soluție pe toate (a, b), deoarece alegerea unui compactum este arbitrară. Unicitatea rezultă din teoremele Osgood sau Cauchy-Picard (și din raționamentul de mai sus despre unicitatea globală).

Cometariu. După cum sa menționat mai sus, TC-P este formal superflu datorită prezenței teoremelor lui Peano și Osgood, dar este util din 3 motive - este:

1. vă permite să raportați problema Cauchy pentru o ODE cu o ecuație integrală;

2. oferă o metodă constructivă de aproximări succesive;

3. face mai ușoară demonstrarea existenței globale a ODE liniare.

[deși acesta din urmă poate fi dedus și din raționamentul din § 4.] În cele ce urmează, ne vom referi cel mai adesea la el.

Exemplu. x \u003d x, x (0) \u003d 1. Aproximări consecutive k Prin urmare, x (t) \u003d e este o soluție la problema originală pe ansamblu R.

Cel mai adesea, un rând nu va funcționa, dar rămâne o anumită constructivitate. De asemenea, puteți estima eroarea x xk (a se vedea).

Cometariu. Din teoremele lui Peano, Osgood și Cauchy-Picard, este ușor să obții teoremele corespunzătoare pentru ODE de ordin superior.

Un exercitiu. Formulați conceptele problemei Cauchy, soluțiile sistemului și problema Cauchy, toate teoremele pentru ODE de ordin superior, utilizând reducerea la sistemele de ordinul întâi prezentate în § 1.

Încălcând oarecum logica cursului, dar pentru a asimila și fundamenta mai bine metodele de rezolvare a problemelor în orele practice, întrerupem temporar prezentarea teoriei generale și ne ocupăm de problema tehnică a „soluției explicite a ODE-urilor”.

§ 3. Unele metode de integrare Deci, ia în considerare ecuația scalară \u003d f (t, x). Dt Cel mai simplu caz particular pe care am învățat să îl integrăm este așa-numitul. ERP, adică o ecuație în care f (t, x) \u003d a (t) b (x). Abordarea formală a integrării ERP este de a „separa” variabilele t și x (de unde și numele): \u003d a (t) dt, și apoi să ia integralul:

x \u003d B (A (t)). Acest raționament formal conține mai multe puncte care necesită justificare.

1. Împărțirea cu b (x). Presupunem că f este continuu, astfel încât a C (,), b C (,), adică B este un dreptunghi (,) (,)(în general vorbind, infinit). Seturile (b (x) 0) și (b (x) 0) sunt deschise și, prin urmare, sunt seturi de intervale finite sau numărabile. Există puncte sau segmente între aceste intervale, unde b \u003d 0. Dacă b (x0) \u003d 0, atunci problema Cauchy are o soluție x x0. Poate că această soluție nu este unică, atunci există intervale în domeniul său de definiție, unde b (x (t)) \u003d 0, dar atunci poate fi împărțit la b (x (t)) la acestea. Rețineți trecător că pe aceste intervale funcția B este monotonă și, prin urmare, putem lua B 1. Dar dacă b (x0) \u003d 0, atunci b (x (t)) \u003d 0 într-un vecinătate de t0, iar procedura este legală. Astfel, procedura descrisă ar trebui, în general, aplicată la împărțirea domeniului definiției unei soluții în părți.

2. Integrarea laturilor stânga și dreapta pentru diferite variabile.

Metoda I. Să presupunem că dorim să găsim o soluție la problema Kod (t) wi (1) x \u003d (t). Avem: \u003d a (t) b ((t)), de unde - am obținut aceeași formulă strict.

Metoda II. Ecuația este așa-numita. notație simetrică a ODE originală, adică una care nu specifică ce variabilă este independentă și care este dependentă. O astfel de formă are sens tocmai în cazul unei ecuații de ordinul întâi luată în considerare, având în vedere teorema privind invarianța formei primului diferențial.

Aici este potrivit să înțelegem mai detaliat conceptul unui diferențial, ilustrându-l prin exemplul planului ((t, x)), curbele pe acesta, constrângeri emergente, grade de libertate, un parametru pe o curbă.

Astfel, ecuația (2) conectează diferențialele t și x de-a lungul IC-ului necesar. Atunci integrarea ecuației (2) în modul arătat la început este perfect legală - înseamnă, dacă doriți, integrarea peste orice variabilă aleasă ca independentă.

În metoda I, am arătat acest lucru alegând t ca variabilă independentă. Acum să arătăm acest lucru alegând parametrul s de-a lungul IK ca variabilă independentă (deoarece aceasta arată mai clar egalitatea lui t și x). Fie ca valoarea s \u003d s0 să corespundă punctului (t0, x0).

Apoi avem: \u003d a (t (s)) t (s) ds, care după dă Aici ar trebui să ne concentrăm pe universalitatea notației simetrice, de exemplu: un cerc nu este scris nici ca x (t), nici ca t (x), ci ca x (s), t (s).

Unele alte ODE de ordinul întâi sunt reduse la ERP, care poate fi văzut la rezolvarea problemelor (de exemplu, folosind o carte de probleme).

Un alt caz important este ODE liniar:

Metoda I. Variația este constantă.

acesta este un caz special al unei abordări mai generale, care va fi discutat în partea 2. Ideea este că găsirea unei soluții într-o formă specială scade ordinea ecuației.

Să rezolvăm mai întâi așa-numitul. ecuație omogenă:

În virtutea unicității fie x 0, fie peste tot x \u003d 0. În acest din urmă caz \u200b\u200b(să fie, pentru claritate, x 0), obținem că (4) oferă toate soluțiile la (3) 0 (inclusiv zero și negativ).

Formula (4) conține o constantă arbitrară C1.

Metoda de variație a unei constante este aceea că soluția (3) C1 (t) \u003d C0 + Structura ORNU \u003d CRNU + OPROU este vizibilă (ca și în cazul sistemelor liniare algebrice) (mai multe despre aceasta în partea 2).

Dacă vrem să rezolvăm problema Cauchy x (t0) \u003d x0, atunci trebuie să găsim C0 din datele Cauchy - putem obține cu ușurință C0 \u003d x0.

Metoda II. Să găsim un IM, adică o astfel de funcție v prin care trebuie să înmulțim (3) (scris astfel încât toate necunoscutele să fie colectate pe partea stângă: xa (t) x \u003d b (t)) astfel încât pe partea stângă să obținem derivata unor o combinație convenabilă.

Avem: vx vax \u003d (vx) dacă v \u003d av, adică (o astfel de ecuație într-un fel, (3) este echivalentă cu o ecuație care este deja ușor de rezolvat și care dă (5). Dacă problema Cauchy este rezolvată, atunci în (6) este convenabil să luați o integrală definită Unele altele sunt reduse la ODE liniare (3), așa cum se poate vedea la rezolvarea problemelor (de exemplu, folosind o carte de probleme). Cazul important al ODE liniare (imediat pentru orice n) va fi luat în considerare mai detaliat în partea 2

Ambele situații considerate sunt cazuri speciale ale așa-numitelor. UPD. Luați în considerare o ODE de ordinul I (pentru n \u003d 1) într-o formă simetrică:

După cum sa menționat deja, (7) specifică IC în planul (t, x) fără a specifica ce variabilă este considerată independentă.

Dacă înmulțim (7) cu o funcție arbitrară M (t, x), atunci obținem o formă echivalentă de scriere a aceleiași ecuații:

Astfel, același ODE are multe înregistrări simetrice. Printre acestea, un rol special îl joacă așa-numitele. notare în diferențiale totale, numele UPD este regretabil, deoarece această proprietate nu este o ecuație, ci forma notației sale, adică astfel încât partea stângă a (7) este egală cu dF (t, x) cu unele F.

Este clar că (7) este UPD dacă și numai dacă A \u003d Ft, B \u003d Fx cu unele F. După cum se știe din analiză, este necesar și suficient pentru acesta din urmă. Nu fundamentăm aspecte strict tehnice, de exemplu, netezimea tuturor funcțiilor. Faptul este că § joacă un rol secundar - nu este deloc necesar pentru alte părți ale cursului și nu aș vrea să depun eforturi excesive pentru prezentarea sa detaliată.

Astfel, dacă (9) este satisfăcut, atunci există un F (este unic până la o constantă aditivă) astfel încât (7) poate fi rescris ca dF (t, x) \u003d 0 (de-a lungul IR), adică,

F (t, x) \u003d const de-a lungul IC, adică IC sunt liniile de nivel ale funcției F. Găsim că integrarea UPD este o problemă banală, deoarece căutarea F peste A și B care să satisfacă (9) nu este dificilă. Dacă (9) nu este satisfăcut, atunci ar trebui să găsiți așa-numitul. IM M (t, x) este astfel încât (8) este UPD, pentru care este necesar și suficient pentru a îndeplini analogul (9), care ia forma:

După cum rezultă din teoria PDE de ordinul întâi (pe care o vom discuta în partea 3), ecuația (10) are întotdeauna o soluție, deci există un IM. Astfel, orice ecuație a formei (7) are o înregistrare sub forma unui UPD și, prin urmare, permite integrarea „explicită”. Dar aceste argumente nu oferă o metodă constructivă în cazul general, deoarece pentru soluția lui (10), în general vorbind, este necesar să găsim soluția (7), pe care o căutăm. Cu toate acestea, există o serie de metode de căutare a IM, care sunt luate în considerare în mod tradițional în clasele practice (a se vedea de exemplu).

Rețineți că metodele de mai sus pentru rezolvarea ERP și ODE liniare sunt un caz special al ideologiei IM.

Într-adevăr, URS dx / dt \u003d a (t) b (x), scris în forma simetrică dx \u003d a (t) b (x) dt, se rezolvă prin înmulțirea cu IM 1 / b (x), deoarece după aceasta se transformă în UPD dx / b (x) \u003d a (t) dt, adică dB (x) \u003d dA (t). Ecuația liniară dx / dt \u003d a (t) x + b (t), scrisă în forma simetrică dx a (t) xdt b (t) dt, se rezolvă prin înmulțirea cu MI, aproape toate metodele de rezolvare a ODE „în formă explicită”

(cu excepția blocului mare asociat sistemelor liniare) sunt că, folosind metode speciale de reducere a ordinii și de modificare a variabilelor, acestea sunt reduse la ODE de ordinul întâi, care sunt apoi reduse la UPD și sunt rezolvate prin aplicarea teoremei principale a calculului diferențial: dF \u003d 0 F \u003d const. Problema reducerii ordinii este în mod tradițional inclusă în cursul instruirii practice (a se vedea de exemplu).

Să spunem câteva cuvinte despre ODE de ordinul întâi care nu sunt permise cu privire la derivată:

După cum sa menționat în secțiunea 1, se poate încerca să se rezolve (11) în ceea ce privește x și să se obțină o formă normală, dar acest lucru nu este întotdeauna recomandabil. De multe ori este mai convenabil să rezolvi direct (11).

Luați în considerare spațiul ((t, x, p)), unde p \u003d x este temporar considerat ca o variabilă independentă. Apoi (11) definește în acest spațiu o suprafață (F (t, x, p) \u003d 0), care poate fi scrisă parametric:

Este util să ne amintim ce înseamnă acest lucru, de exemplu folosind sfera în R3.

Soluțiile căutate vor corespunde curbelor de pe această suprafață: t \u003d s, x \u003d x (s), p \u003d x (s) - se pierde un grad de libertate deoarece soluțiile au o conexiune dx \u003d pdt. Să scriem această conexiune în termeni de parametri de pe suprafață (12): gu du + gv dv \u003d h (fudu + fv dv), adică

Astfel, soluțiile căutate corespund curbelor de pe suprafața (12), în care parametrii sunt legați de ecuația (13). Acesta din urmă este un ODE într-o formă simetrică care poate fi rezolvat.

Cazul I. Dacă într-o anumită regiune (gu hfu) \u003d 0, atunci (12) atunci t \u003d f ((v), v), x \u003d g ((v), v) oferă o notație parametrică a curbelor necesare în plan ( (t, x)) (adică ne proiectăm pe acest plan, deoarece nu avem nevoie de p).

Cazul II. În mod similar, dacă (gv hfv) \u003d 0.

Cazul III. În unele puncte, în același timp, gu hfu \u003d gv hfv \u003d 0. Aici este necesară o analiză separată, dacă acest set corespunde unor soluții (acestea sunt numite apoi speciale).

Exemplu. Ecuația lui Clairaud x \u003d tx + x 2. Avem:

x \u003d tp + p2. Să parametrizăm această suprafață: t \u003d u, p \u003d v, x \u003d uv + v 2. Ecuația (13) ia forma (u + 2v) dv \u003d 0.

Cazul I. Neimplementat.

Cazul II. u + 2v \u003d 0, apoi dv \u003d 0, adică v \u003d C \u003d const.

Prin urmare, t \u003d u, x \u003d Cu + C 2 este o înregistrare parametrică a CI.

Este ușor să o scrieți în mod explicit x \u003d Ct + C 2.

Cazul III. u + 2v \u003d 0, adică v \u003d u / 2. Aceasta înseamnă că t \u003d u, x \u003d u2 / 4 este o înregistrare parametrică a „candidatului pentru IC”.

Pentru a verifica dacă acesta este într-adevăr un IK, îl scriem în mod explicit x \u003d t2 / 4. S-a dovedit a fi o soluție (specială).

Un exercitiu. Dovediți că decizia specială se aplică tuturor celorlalți.

Este un fapt general - graficul oricărei soluții particulare este învelișul familiei tuturor celorlalte soluții. Aceasta este baza pentru o altă definiție a unei soluții speciale, exact ca un plic (a se vedea).

Un exercitiu. Demonstrați că pentru o ecuație Clairaud mai generală x \u003d tx (x) cu o funcție convexă, soluția singulară are forma x \u003d (t), unde este transformata Legendre a, adică \u003d () 1 sau (t) \u003d max (tv) (v)). În mod similar pentru ecuația x \u003d tx + (x).

Cometariu. Conținutul articolului 3 este descris mai detaliat și mai precis în manual.

Notă pentru profesor. Când citiți un curs de prelegeri, poate fi util să extindeți § 3 oferindu-i o formă mai riguroasă.

Acum să revenim la schița principală a cursului, continuând prezentarea începută în §§ 1, 2.

§ 4. Rezolvabilitatea globală a problemei Cauchy În § 2 am demonstrat existența locală a unei soluții la problema Cauchy, adică numai pe un interval care conține punctul t0.

Sub unele ipoteze suplimentare despre f, am dovedit, de asemenea, unicitatea soluției, înțelegând-o ca coincidență a două soluții definite pe același interval. Dacă f este liniar în x, obținem existență globală, adică pe întregul interval în care coeficienții ecuației (sistemului) sunt definite și continue. Totuși, după cum arată o încercare de a aplica teoria generală unui sistem liniar, intervalul Peano-Picard, în general vorbind, este mai mic decât cel pe care se poate construi o soluție. Întrebări naturale apar:

1. Cum se determină intervalul maxim pe care se poate afirma existența soluției (1)?

2. Acest interval coincide întotdeauna cu maximul la care partea dreaptă (1) 1 are încă sens?

3. Cum se formulează cu acuratețe conceptul de unicitate al unei soluții fără rezerve cu privire la intervalul definiției sale?

Faptul că răspunsul la întrebarea 2 este în general negativ (sau mai bine zis, necesită o atenție deosebită) este indicat de următorul exemplu. x \u003d x2, x (0) \u003d x0. Dacă x0 \u003d 0, atunci x 0 - nu există alte soluții ale teoremei lui Osgood. Dacă x0 \u003d 0, atunci decidem să facem un desen util). Intervalul de existență al unei soluții nu poate fi mai mare de (, 1 / x0) sau (1 / x0, +), respectiv, pentru x0 0 și x0 0 (a doua ramură a hiperbolului nu are nimic de-a face cu soluția! - aceasta este o greșeală tipică a elevilor). La prima vedere, nimic din problema inițială nu „prefigurează un astfel de rezultat”. În § 4 vom găsi o explicație pentru acest fenomen.

Exemplul ecuației x \u003d t2 + x2 relevă o eroare tipică a elevului cu privire la intervalul de existență al unei soluții. Aici faptul că „ecuația este definită peste tot” nu implică deloc continuarea soluției pentru întreaga linie. Acest lucru este clar chiar și dintr-un punct de vedere pur cotidian, de exemplu, în legătură cu legile legale și procesele care se dezvoltă în baza acestora: chiar dacă legea nu prevede în mod explicit încetarea existenței oricărei companii în 2015, acest lucru nu înseamnă că această companie nu va da faliment până în acest an. din motive interne (deși acționează în cadrul legii).

Pentru a răspunde la întrebările 1-3 (și chiar pentru a le articula clar), este necesară noțiunea unei soluții care nu continuă. Vom considera (cum am convenit mai sus) soluțiile ecuației (1) 1 ca perechi (, (tl (), tr ())).

Definiție. Soluția (, (tl (), tr ())) este o extensie a soluției (, (tl (), tr ())), dacă (tl (), tr ()) (tl (), tr ()) și | (tl (), tr ()) \u003d.

Definiție. O soluție (, (tl (), tr ())) nu poate fi extinsă dacă nu are extensii non-banale (adică diferite de ea). (vezi exemplul de mai sus).

Este clar că NR-urile au o valoare deosebită și, în termenii lor, este necesar să se demonstreze existența și unicitatea. Apare o întrebare firească - este întotdeauna posibil să construim un IS bazat pe o soluție locală sau pe problema Cauchy? Se pare, da. Pentru a înțelege acest lucru, să introducem următoarele concepte:

Definiție. Un set de soluții ((, (tl (), tr ()))) este consistent dacă oricare 2 soluții din acest set coincid la intersecția intervalelor de definiție a acestora.

Definiție. Un set consistent de soluții se numește maxim dacă este imposibil să adăugați o altă soluție, astfel încât noul set să fie consistent și să conțină puncte noi în unirea domeniilor soluțiilor.

Este clar că construcția INN este echivalentă cu construcția IS, și anume:

1. Dacă există un IS, orice INN care îl conține poate fi doar un set de restricții.

Un exercitiu. Verifica.

2. Dacă există un INN, atunci IS (, (t, t +)) este construit după cum urmează:

pune (t) \u003d (t), unde este orice element al INN definit în acest moment. Evident, o astfel de funcție va fi determinată în mod unic pe toate (t, t +) (unicitatea rezultă din consistența colecției) și la fiecare punct coincide cu toate elementele INN definite în acest moment. Pentru orice t (t, t +), există cineva definit în el și, prin urmare, în vecinătatea sa și, deoarece în acest vecinătate există o soluție (1) 1, atunci - și ea. Astfel, există o soluție (1) 1 pe toate (t, t +). Nu se poate extinde, deoarece altfel s-ar putea adăuga o continuare non-trivială la INN în ciuda maximității sale.

Construcția INN a problemei (1) în cazul general (în condițiile teoremei lui Peano), atunci când nu există unicitate locală, este posibilă (vezi,), dar destul de greoaie - se bazează pe o aplicație pas cu pas a teoremei lui Peano cu o limită inferioară pentru lungimea intervalului de continuare. Astfel, HP există întotdeauna. Vom justifica acest lucru numai în cazul în care există unicitate locală, atunci construcția INN (și, prin urmare, și a NR) este banală. De exemplu, pentru claritate, vom acționa în cadrul TC-P.

Teorema. Să fie îndeplinite condițiile TK-P în domeniul B Rn + 1. Apoi, pentru orice (t0, x0) problema B (1) are un IS unic.

Dovezi. Luați în considerare setul tuturor soluțiilor la problema (1) (nu este gol de TK-P). Formează un INN - consistent datorită unicității locale și maxim datorită faptului că acesta este setul tuturor soluțiilor problemei Cauchy în general. Aceasta înseamnă că HP există. Este unic datorită unicității locale.

Dacă este necesar să se construiască un IS bazat pe soluția locală existentă (1) 1 (și nu pe problema Cauchy), atunci această problemă, în prezența unicității locale, se reduce la problema Cauchy: trebuie să alegeți orice punct al CI existent și să luați în considerare problema Cauchy corespunzătoare. MS al acestei probleme va fi o continuare a soluției originale datorită unicității. Dacă nu există unicitate, continuarea soluției date se efectuează conform procedurii indicate mai sus.

Cometariu. NR nu poate fi extins la capetele intervalului existenței sale (indiferent de condiția de unicitate), astfel încât să fie o soluție și la punctele finale. Pentru a justifica, este necesar să se clarifice ce se înțelege prin soluția ODE la capetele segmentului:

1. Abordare 1. Fie prin soluția (1) 1 pe un interval să înțelegem o funcție care satisface ecuația de la capete în sensul unei derivate unilaterale. Apoi, posibilitatea extinderii specificate a definiției unei soluții, de exemplu, la capătul drept al intervalului de existență a acesteia (t, t +] înseamnă că IC are un punct final în interiorul lui B și C 1 (t, t +]. Dar apoi, după ce a rezolvat problema Cauchy x (t +) \u003d (t +) pentru (1) și găsirea soluției sale, obținem că pentru punctul final t + (la punctul t + există ambele derivate unilaterale și sunt egale cu f (t +, (t +)), ceea ce înseamnă că există o derivată obișnuită), adică nu a fost HP.

2. Abordare 2. Dacă prin soluția lui (1) 1 pe un segment ne referim la o funcție care este continuă doar la capete, dar astfel încât capetele IK să fie în B (chiar dacă ecuația nu trebuie să fie îndeplinită la capete), atunci același raționament se va dovedi, numai în ceea ce privește ecuația integrală corespunzătoare (vezi detalii).

Astfel, limitându-ne imediat la intervale deschise doar ca seturi de definiții ale soluțiilor, nu am încălcat generalitatea (ci am evitat doar lăutările inutile cu derivate unilaterale etc.).

Drept urmare, am răspuns la întrebarea 3, pusă la începutul secțiunii 4: dacă condiția unicității (de exemplu, Osgood sau Cauchy-Picard) este satisfăcută, are loc unicitatea IS a soluției problemei Cauchy. Dacă condiția de unicitate este încălcată, atunci pot exista multe IS ale problemei Cauchy, fiecare cu propriul său interval de existență. Orice soluție (1) (sau doar (1) 1) poate fi continuată până la HP.

Pentru a răspunde la întrebările 1, 2, este necesar să se ia în considerare nu variabila t separat, ci comportamentul IC în spațiul Rn + 1. La întrebarea cum se comportă IC „aproape de capete”, el răspunde. Rețineți că intervalul de existență are capete, dar IC poate să nu le aibă (capătul IC în B nu există întotdeauna - a se vedea Remarca de mai sus, dar finalul poate să nu existe pe B - vezi mai jos).

Teorema. (despre a părăsi compactul).

îl formulăm în condițiile unicității locale, dar acest lucru nu este necesar - vezi, acolo TPK este formulat ca un criteriu pentru NR.

În condițiile TK-P, graficul oricărei ecuații NR (1) 1 lasă orice set compact K B, adică K B (t, t +): (t, (t)) K la t.

Exemplu. K \u003d ((t, x) B | ((t, x), B)).

Cometariu. Astfel, IC NR apropiat de t ± se apropie de B: ((t, (t)), B) 0 la t t ± - procesul de continuare a soluției nu poate fi terminat strict în interiorul lui B.

pozitiv, aici este util ca exercițiu să demonstreze că distanța dintre seturile închise disjuncte, dintre care una este compactă, este pozitivă.

Dovezi. Fixăm K B. Luați orice 0 (0, (K, B)). Dacă B \u003d Rn + 1, atunci prin definiție presupunem (K, B) \u003d +. Mulțimea K1 \u003d ((t, x) | ((t, x), K) 0/2) este, de asemenea, compactă în B, deci există F \u003d max | f |. Să alegem numerele T și R suficient de mici astfel încât orice cilindru de formă De exemplu, este suficient să luăm T 2 + R2 2/4. Apoi problema Cauchy a formei are o soluție TC-P pe intervalul nu mai îngust decât (t T0, t + T0), unde T0 \u003d min (T, R / F) pentru toate (t, x) K.

Acum putem lua \u003d ca segment necesar. Într-adevăr, este necesar să arătăm că dacă (t, (t)) K, atunci t + T0 t t + T0. Să arătăm, de exemplu, a doua inegalitate. Soluția la problema Cauchy (2) cu x \u003d (t) există în dreapta cel puțin până la punctul t + T0, dar este un HP cu aceeași problemă, care, datorită unicității, este o extensie, deci t + T0 t +.

Astfel, graficul HP „ajunge întotdeauna la B”, deci intervalul existenței HP depinde de geometria IC.

De exemplu:

Afirmație. Fie B \u003d (a, b) Rn (intervalul este finit sau infinit), f îndeplinește condițiile TK-P din B, să fie IS-ul problemei (1) cu t0 (a, b). Atunci fie t + \u003d b, fie | (t) | + pentru t t + (și similar pentru t).

Dovezi. Deci, lăsăm t + b, apoi t + +.

Luați în considerare un set compact K \u003d B B. Pentru orice R + conform TPK, există (R) t + astfel încât pentru t ((R), t +) punctul (t, (t)) K. Dar, din moment ce t t +, acest lucru este posibil numai după cont | (t) | R. Dar asta înseamnă și | (t) | + pentru t t +.

În acest caz particular, vedem că dacă f este definit „pentru toate x”, atunci intervalul de existență al IS poate fi mai mic decât maximul posibil (a, b) numai datorită tendinței IS la apropierea de capetele intervalului (t, t +) (în general caz - până la limita B).

Un exercitiu. Generalizați ultima declarație pentru cazul când B \u003d (a, b), unde Rn este un domeniu arbitrar.

Cometariu. Ar trebui să se înțeleagă că | (t) | + nu înseamnă nici un k (t).

Astfel, am răspuns la întrebarea 2 (cf. exemplul de la începutul secțiunii 4): IC ajunge la B, dar proiecția sa pe axa t poate să nu ajungă la capetele proiecției lui B pe axa t. Întrebarea 1 rămâne - există semne prin care, fără rezolvarea ODE, este posibil să se judece posibilitatea continuării soluției la „cel mai larg interval posibil”? Știm că pentru ODE liniare această extensie este întotdeauna posibilă, dar în Exemplul de la începutul § 4 acest lucru este imposibil.

Să luăm în considerare mai întâi, pentru ilustrare, un caz particular al URS pentru n \u003d 1:

convergența integralei improprii h (s) ds (necorespunzătoare datorită lui \u003d + sau datorită singularității lui h într-un punct) nu depinde de alegerea lui (,). Prin urmare, în cele ce urmează vom scrie pur și simplu h (s) ds când vine vorba de convergența sau divergența acestei integrale.

acest lucru ar putea fi făcut deja în teorema lui Osgood și în afirmații conexe.

Afirmație. Fie a C (,), b C (, +), ambele funcții sunt pozitive la intervalele lor. Fie problema Cauchy (unde t0 (,), x0) are un IS x \u003d x (t) pe interval (t, t +) (,). Atunci:

Consecinţă. Dacă a \u003d 1, \u003d +, atunci t + \u003d + Dovadă. (Afirmații). Rețineți că x crește monoton.

Un exercitiu. Dovedi.

Prin urmare, există x (t +) \u003d lim x (t) +. Avem cazul 1. t +, x (t +) + - este imposibil de TPK, deoarece x este un IS.

Ambele integrale sunt fie finite, fie infinite.

Un exercitiu. Completați dovada.

Motivarea profesorului. Ca rezultat, obținem că în cazul 3: a (s) ds +, iar în cazul 4 (dacă se realizează deloc) același lucru.

Astfel, pentru cele mai simple ODE-uri cu n \u003d 1 de forma x \u003d f (x), extensibilitatea soluțiilor la este determinată de co.

ecuații autonome) vezi partea 3.

Exemplu. Pentru f (x) \u003d x, 1 (în special, cazul liniar \u003d 1) și f (x) \u003d x ln x, putem garanta continuarea soluțiilor (pozitive) la +. Pentru f (x) \u003d x și f (x) \u003d x ln x la 1 soluțiile sunt „distruse într-un timp finit”.

În general, situația este determinată de mulți factori și nu este atât de simplă, dar rămâne importanța „ratei de creștere a lui f de-a lungul lui x”. Pentru n 1, este dificil să se formuleze criterii de extensibilitate, dar există condiții suficiente. De regulă, ei se stabilesc cu ajutorul așa-numiților. estimări a priori ale soluțiilor.

Definiție. Fie h C (,), h 0. Se spune că pentru soluțiile unor ODE, AO | x (t) | h (t) pe (,) dacă o soluție a acestui ODE satisface această estimare pentru acea parte a intervalului (,) unde este definită (adică, nu se presupune că soluțiile sunt definite în mod necesar pe întregul interval (,)).

Dar se pare că prezența AO garantează că soluțiile vor fi totuși determinate pe întregul (,) (și, prin urmare, vor satisface estimarea pe întregul interval), astfel încât estimarea a priori se transformă într-una posterioară:

Teorema. Fie ca problema lui Cauchy (1) să îndeplinească condițiile TK-P, iar pentru soluțiile sale, există un AO pe intervalul (,) cu unele h C (,), și cilindrul curbiliniar (| x | h (t), t (,)) B Apoi НР (1) este definit pe toate (,) (și, prin urmare, satisface AO).

Dovezi. Să dovedim că t + (t este similar). Să spunem t +. Se consideră o mulțime compactă K \u003d (| x | h (t), t) B. Conform TPK, la t t +, punctul graficului (t, x (t)) lasă K, ceea ce este imposibil din cauza AO.

Astfel, pentru a demonstra extensibilitatea soluției la un anumit interval, este suficient să se estimeze formal soluția pe întregul interval necesar.

Analogie: măsurabilitatea unei funcții conform lui Lebesgue și estimarea formală a integralei implică existența reală a integralei.

Iată câteva exemple de situații în care funcționează această logică. Să începem cu o ilustrare a tezei de mai sus despre „creșterea lui f în x este destul de lentă”.

Afirmație. Fie B \u003d (,) Rn, f să îndeplinească condițiile TK-P din B, | f (t, x) | a (t) b (| x |), unde a și b îndeplinesc condițiile enunțului anterior cu \u003d 0 și \u003d +. Apoi IS-ul problemei (1) există pe (,) pentru toate t0 (,), x0 Rn.

Lemă. Dacă și sunt continue, (t0) (t0); pentru t t Dovadă. Rețineți că, în vecinătatea (t0, t0 +): dacă (t0) (t0), atunci acest lucru este imediat evident și altfel (dacă (t0) \u003d (t0) \u003d 0) avem (t0) \u003d g (t0, 0) (t0), care oferă din nou ceea ce este necesar.

Acum presupunem că există t1 t0 astfel încât (t1). Prin raționamente evidente putem găsi (t1) t2 (t0, t1] astfel încât (t2) \u003d (t2), și pe (t0, t2), dar apoi în punctul t2 avem \u003d, - o contradicție.

g este oricare și, de fapt, ai nevoie doar de C, și oriunde \u003d, acolo. Dar pentru a nu ne ciocăni capul, îl vom considera ca în Lemma. Iată o inegalitate strictă, dar o ODE neliniară, și există și așa-numita.

Notă pentru profesor. Inegalitățile de acest fel ca în Lemma sunt numite inegalități de tip Chaplygin (NP). Este ușor de văzut că în Lemma nu era necesară condiția de unicitate, astfel încât un astfel de „NP strict” este adevărat și în cadrul teoremei lui Peano. Un „LF slab” este în mod evident greșit fără unicitate, deoarece egalitatea este un caz special al unei inegalități slabe. În cele din urmă, „NP nonstrict” este adevărat în cadrul condiției de unicitate, dar este posibil să se demonstreze numai local - folosind IM.

Dovezi. (Afirmații). Să dovedim că t + \u003d (t \u003d în mod similar). Să presupunem t +, apoi prin Declarația de mai sus | x (t) | + pentru t t +, deci putem presupune x \u003d 0 pe. Dacă dovedim AO | x | h on) (mingea este închisă pentru comoditate).

Problema Cauchy x (0) \u003d 0 are un IS unic x \u003d 0 pe R.

Să indicăm o condiție suficientă pe f sub care se poate garanta existența unui IS pe R + pentru toți suficient de mici x0 \u003d x (0). Pentru a face acest lucru, presupuneți că (4) are așa-numitul. funcția Lyapunov, adică o astfel de funcție V astfel încât:

1. V C1 (B (0, R));

2.sgnV (x) \u003d sgn | x |;

Să verificăm îndeplinirea condițiilor A și B:

A. Luați în considerare problema Cauchy unde | x1 | R / 2. Să construim un cilindru B \u003d R B (0, R) - domeniul definiției funcției f, unde este delimitat și de clasa C 1, astfel încât să existe F \u003d max | f |. Conform TK-P, există o soluție la (5) definită pe intervalul (t1 T0, t1 + T0), unde T0 \u003d min (T, R / (2F)). Alegând un T suficient de mare, se poate obține T0 \u003d R / (2F). Este important ca T0 să nu depindă de alegerea lui (t1, x1), atâta timp cât | x1 | R / 2.

B. În timp ce soluția (5) este definită și rămâne în bila B (0, R), putem efectua următoarele raționamente. Noi avem:

V (x (t)) \u003d f (x (t)) V (x (t)) 0, adică V (x (t)) V (x1) M (r) \u003d max V (y) ... Este clar că m și M sunt non-descrescătoare, continue | r sunt discontinue la zero, m (0) \u003d M (0) \u003d 0, iar în afara zero sunt pozitive. Prin urmare, există R 0 astfel încât M (R) m (R / 2). Dacă | x1 | R, apoi V (x (t)) V (x1) M (R) m (R / 2), de unde | x (t) | R / 2. Rețineți că R R / 2.

Acum putem formula o teoremă, care din Sec. A, B deduce existența globală a soluțiilor (4):

Teorema. Dacă (4) are o funcție Lyapunov în B (0, R), atunci pentru toate x0 B (0, R) (unde R este definit mai sus), HP problema Cauchy x (t0) \u003d x0 pentru sistemul (4) (cu orice t0) definit înainte de +.

Dovezi. În temeiul articolului A, soluția poate fi construită pe, unde t1 \u003d t0 + T0 / 2. Această soluție se află în B (0, R) și îi aplicăm elementul B, astfel încât | x (t1) | R / 2. Aplicăm din nou elementul A și obținem o soluție pe, unde t2 \u003d t1 + T0 / 2, adică acum soluția este construită. Aplicăm elementul B acestei soluții și obținem | x (t2) | R / 2, și așa mai departe. Într-un număr numărabil de pași, obținem o soluție în § 5. Dependența soluțiilor la ODEs Să luăm în considerare problema Cauchy unde Rk. Dacă pentru unii, t0 (), x0 () această problemă Cauchy are un HP, atunci este x (t,). Se pune întrebarea: cum să studiem dependența lui x de? Această întrebare este importantă datorită diverselor aplicații (și va apărea în special în partea 3), dintre care una (deși poate nu cea mai importantă) este o soluție aproximativă la un ODE.

Exemplu. Luați în considerare problema Cauchy HP-ul său există și este unic, după cum urmează din TK-P, dar este imposibil să-l exprimați în funcții elementare. Cum se investighează atunci proprietățile sale? Una dintre modalități este următoarea: rețineți că (2) este „aproape” de problema y \u003d y, y (0) \u003d 1, a cărei soluție este ușor de găsit: y (t) \u003d et. Putem presupune că x (t) y (t) \u003d et. Această idee este clar formulată după cum urmează: luați în considerare problema La \u003d 1/100 aceasta este (2), iar la \u003d 0 aceasta este problema pentru y. Dacă dovedim că x \u003d x (t,) este continuu în (într-un anumit sens), atunci obținem că x (t,) y (t) la 0, iar asta înseamnă x (t, 1/100) y ( t) \u003d et.

Este adevărat, rămâne neclar cât de aproape este x de y, dar dovada continuității lui x în este primul pas necesar, fără de care este imposibil să avansăm mai departe.

În mod similar, este util să se studieze dependența de parametrii din datele inițiale. După cum vom vedea mai târziu, această dependență poate fi ușor redusă la o dependență de un parametru din partea dreaptă a ecuației, așa că deocamdată ne vom limita la o problemă de forma Let f C (D), unde D este un domeniu în Rn + k + 1; f este Lipschitz în x în orice set compact de la D convex în x (de exemplu, C (D) este suficient). Fixăm (t0, x0). Am setat M \u003d Rk | (t0, x0,) D este setul celor admisibile (pentru care problema (4) are sens). Rețineți că M este deschis. Vom presupune că (t0, x0) sunt alese astfel încât M \u003d. Conform TK-P, pentru toate M există un IS unic al problemei (4) - funcția x \u003d (t,), definită pe intervalul t (t (), t + ()).

Strict vorbind, deoarece depinde de multe variabile, este necesar să scrieți (4) după cum urmează:

unde (5) 1 se menține pe mulțimea G \u003d ((t,) | M, t (t (), t + ())). Cu toate acestea, diferența dintre semnele d / dt și / t este pur psihologică (utilizarea lor depinde de același concept psihologic de „fixare”). Astfel, mulțimea G este un set maxim natural al definiției unei funcții, iar problema continuității ar trebui investigată exact pe G.

Avem nevoie de un rezultat auxiliar:

Lemă. (Gronwalla). Funcția C, 0, satisface estimarea pentru toate t. Apoi, pentru toate, este adevărat. Notă profesorului. Când țineți o prelegere, nu trebuie să memorați în prealabil această formulă, ci să lăsați spațiu și să o scrieți după încheiere.

Dar apoi păstrați această formulă la vedere, deoarece va fi necesară în ToNZ.

h \u003d A + B Ah + B, de unde obținem ceea ce este necesar.

Semnificația acestei leme: ecuație diferențială și inegalitate, relația dintre ele, ecuație integrală și inegalitate, relația dintre toate acestea, leme diferențiale și integrale ale lui Gronwall și relația dintre ele.

Cometariu. Este posibil să dovedim această lemă în cadrul unor ipoteze mai generale despre, A și B, dar nu avem nevoie de acest lucru încă, dar vom face acest lucru în cursul MFM (de exemplu, este ușor de văzut că nu am folosit continuitatea lui A și B etc.).

Acum suntem gata să afirmăm clar rezultatul:

Teorema. (ToHZ) Sub ipotezele făcute despre f și în notația introdusă mai sus, putem afirma că G este deschis și C (G).

Cometariu. Este clar că mulțimea M, în general vorbind, nu este conectată, astfel încât G poate fi, de asemenea, deconectat.

Notă pentru profesor. Cu toate acestea, dacă am include (t0, x0) în numărul de parametri, atunci conexiunea ar fi - acest lucru se face în.

Dovezi. Să fie (t,) G. Este necesar să se demonstreze că:

Fie, pentru claritate, t t0. Avem: M, astfel încât (t,) este definit pe (t (), t + ()) t, t0 și, prin urmare, pe un anumit interval astfel încât punctul t (t, (t,),) să treacă printr-o curbă compactă D (paralelă) hiperplane (\u003d 0)). Acest lucru înseamnă că un set de specii Definiție trebuie să fie ținut constant în fața ochilor!

este, de asemenea, compact în D pentru a și b suficient de mici (convexe în x), astfel încât funcția f este Lipschitz în x:

[Această evaluare trebuie ținută constant în fața ochilor! ] și este uniform continuu în toate variabilele și cu atât mai mult | f (t, x, 1) f (t, x, 2) | (| 12 |), (t, x, 1), (t, x, 2).

[Această evaluare trebuie păstrată constant în fața ochilor! ] Se consideră un 1 arbitrar astfel încât | 1 | b și soluția corespunzătoare (t, 1). Mulțimea (\u003d 1) este compactă în D (\u003d 1), iar pentru t \u003d t0 punctul (t, (t, 1), 1) \u003d (t0, x0, 1) \u003d (t0, (t0,), 1) (\u003d 1), iar conform TPK la t t + (1) punctul (t, (t, 1), 1) pleacă (\u003d 1). Fie t2 t0 (t2 t + (1)) prima valoare la care merge punctul menționat.

Prin construcție, t2 (t0, t1]. Sarcina noastră este să arătăm că t2 \u003d t1 sub constrângeri suplimentare activate. Acum să lăsăm t3. Avem (pentru toate astfel de t3, toate cantitățile utilizate mai jos sunt definite prin construcție):

(t3, 1) (t3,) \u003d f (t, (t, 1), 1) f (t, (t,),) dt, Să încercăm să demonstrăm că această valoare este mai mică decât a în valoare absolută.

unde integrandul este estimat după cum urmează:

± f (t, (t,),), dar nu ± f (t, (t,),), deoarece diferența | (t, 1) (t,) | nu există încă o estimare, deci (t, (t, 1),) este neclar, dar pentru | 1 | este, și (t, (t,), 1) este cunoscut.

astfel încât la final | (t3, 1) (t3,) | K | (t, 1) (t,) | + (| 1 |) dt.

Astfel, funcția (t3) \u003d | (t3, 1) (t3,) | (aceasta este o funcție continuă) îndeplinește condițiile lemei lui Gronwall cu A (s) K 0, B (s) (| 1 |), T \u003d t2, \u003d 0, deci această lemă produce [Această estimare trebuie ținută în fața ochilor dvs. în orice moment! ] dacă luăm | 1 | 1 (t1). Vom presupune că 1 (t1) b. Toate raționamentele noastre sunt corecte pentru toate t3.

Astfel, cu această alegere de 1, când t3 \u003d t2, totuși | (t2, 1) (t2,) | a și, de asemenea, | 1 | b. Prin urmare, (t2, (t2, 1), 1) este posibil numai datorită faptului că t2 \u003d t1. Dar aceasta, în special, înseamnă că (t, 1) este definit pe întregul interval, adică t1 t + (1) și toate punctele formei (t, 1) G dacă t, | 1 | 1 (t1).

Adică, deși t + depinde de, dar segmentul rămâne în stânga lui t + () suficient de aproape de. În figură, existența numerelor t4 t0 și 2 (t4) este prezentată în mod similar pentru t t0. Dacă t t0, atunci punctul (t,) B (, 1) G, în mod similar pentru t t0 și dacă t \u003d t0, atunci sunt aplicabile ambele cazuri, astfel încât (t0,) B (, 3) G, unde 3 \u003d min (12). Este important ca pentru un (t) fix să se poată găsi t1 (t,) astfel încât t1 t 0 (sau, respectiv, t4), și 1 (t1) \u003d 1 (t,) 0 (sau, respectiv, 2), astfel încât alegerea 0 \u003d 0 (t,) este clar (deoarece o bilă poate fi înscrisă în vecinătatea cilindrică rezultată).

de fapt, s-a dovedit o proprietate mai subtilă: dacă un IS este definit pe un anumit interval, atunci toate IS-urile cu parametri suficient de apropiați sunt definite pe acesta (adică,

totul puțin revoltat de HP). Cu toate acestea, și invers, această proprietate rezultă din deschiderea lui G, așa cum se va arăta mai jos, deci acestea sunt formulări echivalente.

Astfel, am dovedit articolul 1.

Dacă ne aflăm în cilindrul indicat în spațiu, atunci estimarea este adevărată pentru | 1 | 4 (, t,). În același timp | (t3,) (t,) | pentru | t3 t | 5 (, t,) având în vedere continuitatea în t. Ca rezultat, pentru (t3, 1) B ((t,),) avem | (t3, 1) (t,) |, unde \u003d min (4, 5). Aceasta este p. 2.

"Ministerul Educației și Științei din Federația Rusă Instituția educațională bugetară de stat federală a învățământului profesional superior UNIVERSITATEA DE MANAGEMENT A STATULUI Institutul de formare a personalului științific, pedagogic și științific. PROGRAMUL ÎNCERCĂRILOR DE INTRARE PE DISCIPLINA SPECIALĂ SOCIOLOGIA MANAGEMENTULUI MOSCOVEI - ORGANIZAȚII MEDICALE 2014 examene de admitere pentru școala postuniversitară în ... "

"Amur State University Departamentul de Psihologie și Pedagogie COMPLEX EDUCAȚIONAL-METODOLOGIC DE DISCIPLINĂ PSIHOLOGIE CONSULTATIVĂ Program educațional de bază în direcția licenței 030300.62 Psihologie Blagoveshchensk 2012 UMKd dezvoltat Considerat și recomandat la o reuniune a Departamentului de Psihologie și Protocolul de pedagogie ..."

"Industria auto) Omsk - 2009 3 Agenția Federală pentru Educație GOU VPO Academia de Stat Siberiană pentru Automobile și Autostrăzi (SibADI) Departamentul de Inginerie Pedagogie INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE pentru studiul disciplinei Tehnologii pedagogice pentru studenții de specialitate 050501 - Formare profesională (autoturisme și ..."

«Serie Carte educațională G.S. Rosenberg, FN Ryanskiy ECOLOGIE TEORETICĂ ȘI APLICATĂ Manual recomandat de Asociația Educațional-Metodologică pentru învățământul universitar clasic al Federației Ruse ca manual pentru studenții instituțiilor de învățământ superior în specialități de mediu Ediția a II-a Editura Nizhnevartovsk Institutul Pedagogic Nizhnevartovsk 2005 BBK 28.080.1я73 Р64 Recenzori: Doctor în Biol. Științe, profesorul V.I. Popchenko (Institutul de Ecologie ... "

„MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI FEDERAȚIEI RUSII Instituția educațională bugetară de stat federală a învățământului profesional superior Universitatea PEDAGOGICĂ DE STAT KRASNOYARSK. V.P. Astafieva E.M. Antipova MICĂ PRACTICĂ PRIVIND BOTANICA Ediție electronică KRASNOYARSK 2013 LBC 28,5 А 721 Recenzori: Vasiliev AN, doctor în științe biologice, profesor al KSPU numit după V.P. Astafieva; Yamskikh G.Yu., doctor în științe geologice, profesor la Universitatea Federală Siberiană Tretyakova I.N., doctor în științe biologice, profesor, principal angajat al Institutului Forestier ... "

„Ministerul Educației și Științei din Federația Rusă Instituția bugetară educațională a statului federal al învățământului profesional superior Amur Universitatea de stat Departamentul de psihologie și pedagogie COMPLEXUL EDUCAȚIONAL-METODOLOGIC AL DISCIPLINEI BAZEI PEDIATRIEI ȘI IGIENEI Programul educațional de bază în direcția instruirii 050400,62 Educație psihologică și pedagogică Blagoveshchensk 2012 la o ședință a Departamentului de Psihologie și ... "

«Verificarea sarcinilor cu un răspuns detaliat Certificarea de stat (finală) a absolvenților clasei a IX-a a instituțiilor de învățământ (într-o formă nouă) 2013 GEOGRAFIE Moscova 2013 Autor-compilator: Ambartsumova E.M. Creșterea obiectivității rezultatelor certificării de stat (finale) a absolvenților a 9 clase de instituții de învățământ (în ... "

„Recomandări practice pentru utilizarea conținutului de referință și informațional și metodologic pentru predarea rusei ca limbă de stat a Federației Ruse. Recomandările practice se adresează profesorilor de limbă rusă (inclusiv ca limbă non-maternă). Conținut: Recomandări practice și orientări pentru selectarea 1. conținutului materialului pentru sesiuni educaționale și educaționale dedicate problemelor funcționării limbii ruse ca limbă de stat ... "

EV MURYUKINA DEZVOLTAREA GÂNDIRII CRITICE ȘI COMPETENȚA MEDIA A STUDENȚILOR ÎN PROCESUL ANALIZEI PRESĂ manual pentru universități Taganrog 2008 2 Muryukina E.V. Dezvoltarea gândirii critice și a competenței media a elevilor în procesul de analiză a presei. Manual pentru universități. Taganrog: NP Center for Personality Development, 2008.298 p. Manualul examinează dezvoltarea gândirii critice și a competenței media a elevilor în procesul de educație media. De la presă astăzi ... "

"DESPRE. P. Golovchenko DESPRE FORMAREA ACTIVITĂȚII FIZICE UMANE Partea II P ED AG OGIK A DVI GAT ELN OY ACTIVITY VN OSTI 3 Publicație educațională Oleg Petrovich Golovchenko FORMAREA ACTIVITĂȚII FIZICE UMANE Manualul II Partea pedagogică a activității fizice Editat de N. ... Kosenkova D.V. Smolyak și S.V. Potapova *** Semnat pentru tipărire la 23.11. Format 60 x 90 / 1/16. Hârtie de scris Times Headset Metoda operațională de imprimare Conv. etc. .... "

INSTITUȚIA DE EDUCAȚIE DE STAT A ÎNVĂȚĂMÂNTULUI PROFESIONAL SUPERIOR UNIVERSITATEA DE STAT KAZAN NUMITĂ DUPĂ IN SI. ULYANOVA-LENINA Biblioteci electronice de resurse științifice și educaționale. Ajutor didactic Abrosimov A.G. Lazareva Yu.I. Kazan 2008 Biblioteci electronice de resurse științifice și educaționale. Ghid de studiu în direcția resurselor educaționale electronice. - Kazan: KSU, 2008. Ajutorul didactic este publicat prin decizie ... "

«MINISTERUL EDUCAȚIEI FEDERAȚIEI RUSII Instituția de învățământ de stat a învățământului profesional superior Universitatea de stat din Orenburg Filiala Akbulak Departamentul de pedagogie V.A.. TETSKOVA METODOLOGIA ARTEI DIDACTICE ÎN ȘCOALA ELEMENTARĂ A UNEI ȘCOLI EDUCAȚIONALE GENERALE INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE Recomandată pentru publicare de către Consiliul editorial și editorial al Instituției educaționale de stat a învățământului profesional superior Orenburg State University ... "

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚE AL FEDERAȚIEI RUSII MINISTERUL EDUCAȚIEI REGIUNII STAVROPOL REGIUNEA EDUCAȚIONALĂ DE STAT STABILIREA ÎNVĂȚĂMÂNTULUI PROFESIONAL SUPERIOR STAVROPOL INSTITUȚIONAL DE STAT N. Dzhegutanova LITERATURA COPIILOR A ȚĂRILOR DE STUDIU COMPLEXUL DIDACTIC ȘI METODOLOGIC Stavropol 2010 1 Publicat prin decizia UDC 82.0 a Consiliului editorial și editorial al BBK 83.3 (0) GOU VPO Stavropol Institutul Pedagogic de Stat Recenzori: ... "

„REGULAMENTE privind noul sistem de evaluare a calității educației intrășcolare MBOU Kamyshinskaya liceu 1. Dispoziții generale 1.1. Regulamentul privind sistemul intra-școlar pentru evaluarea calității educației (denumit în continuare regulament) stabilește cerințe uniforme pentru implementarea sistemului intra-școlar pentru evaluarea calității educației (denumit în continuare SHSOCO) în instituția de învățământ bugetar municipal a școlii secundare Kamyshin (denumită în continuare „școala”). 1.2. Implementarea practică a SHSOCO este construită în conformitate cu ... "

„MINISTERUL SĂNĂTĂȚII REPUBLICII UZBEKISTAN TASHKENT ACADEMIA MEDICALĂ DEPARTAMENTUL OPERAȚIILOR DE SĂNĂTATE CU ALERGOLOGIE CLINICĂ APROBAT Prorector pentru afaceri academice Prof. O.R. Teshaev _ 2012 RECOMANDĂRI PENTRU COMPOZIȚIA DIDACTICII ȘI DEZVOLTĂRILOR METODOLOGICE PENTRU EXERCȚIILE PRACTICE PRIVIND UN SISTEM METODOLOGIC UNIFICAT Instrucțiuni metodice pentru profesorii universităților medicale Tashkent - 2012 MINISTERUL SĂNĂTĂȚII REPUBLICII UZBEKISTAN CENTRUL MEDICAL PENTRU DEZVOLTARE "

"Agenția Federală pentru Educație Universitatea de Stat Gorno-Altai AP Makoshev GEOGRAFIE POLITICĂ ȘI GEOPOLITICĂ Ghid de studiu Gorno-Altaisk RIO al Universității de Stat Gorno-Altai 2006 Publicat prin decizia Consiliului Editorial și Editura al Universității de Stat Gorno-Altai. Makoshev AP POLITIC GEOGRAFIE ȘI GEOPOLITICĂ. Ghid de studiu. - Gorno-Altaysk: RIO GAGU, 2006.-103 p. Ajutorul didactic este dezvoltat în funcție de educație ... "

„A.V. Novitskaya, L.I. Nikolaeva ȘCOALA VIITORULUI PROGRAM EDUCAȚIONAL MODERN Etape de viață CLASA 1 GHID METODOLOGIC PENTRU PROFESORII CLASELOR ELEMENTARE Moscova 2009 UDC 371 (075.8) LBC 74,00 N 68 Drepturi de autor protejate legal, este necesară trimiterea la autori. Novitskaya A.V., Nikolaeva L.I. Н 68 Program educațional modern Etape ale vieții. - M.: Avvallon, 2009. - 176 p. ISBN 978 5 94989 141 4 Această broșură se adresează în primul rând profesorilor, dar fără îndoială pentru informațiile sale ... "

„Complex educațional-metodic DREPTUL DE AFACERI RUSĂ 030500 - Jurisprudență Moscova 2013 Autor - compilator al Departamentului de revizuire a disciplinelor de drept civil - Complexul educațional-metodic este luat în considerare și aprobat în cadrul unei ședințe a protocolului Departamentului de disciplină de drept civil din _2013. Dreptul afacerilor din Rusia: educațional și metodologic ... "

"A. A. Yamashkin V. V. Ruzhenkov Al. A. Yamashkin GEOGRAFIA REPUBLICII MORDOVIA Manual de învățământ SARANSK PUBLICING HOUSE OF MORDOVSK UNIVERSITY 2004 UDC 91 (075) (470.345) BBK D9 (2R351-6Mo) Ya549 Reviewers: Department of Physical Geography, Voronezh State Pedagogical University; Doctor în științe geografice, profesorul A. M. Nosonov; profesor al complexului școlar nr. 39 din Saransk A. V. Leontyev Publicat prin decizia consiliului educațional și metodologic al facultății de formare preuniversitară și secundară ... "

Alexander Viktorovich Abrosimov Data nașterii: 16 noiembrie 1948 (1948 11 16) Locul nașterii: Kuibyshev Data morții ... Wikipedia

I Ecuații diferențiale ecuații care conțin funcțiile dorite, derivatele lor de diferite ordine și variabile independente. Teoria lui D. at. a apărut la sfârșitul secolului al XVII-lea. influențat de nevoile mecanicii și ale altor discipline de științe naturale, ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Ecuațiile diferențiale ordinare (ODE) este o ecuație diferențială a formei unde este o funcție necunoscută (posibil o funcție vectorială, apoi, de regulă, și o funcție vectorială cu valori în spațiul aceleiași dimensiuni; în acest ... ... Wikipedia

Wikipedia conține articole despre alte persoane cu acest nume de familie, vezi Yudovich. Victor Iosifovich Yudovich Data nașterii: 4 octombrie 1934 (1934 10 04) Locul nașterii: Tbilisi, URSS Data morții ... Wikipedia

Diferenţial - (Diferențial) Definiție diferențială, funcțional diferențial, blocare diferențială Informații despre definiție diferențială, funcțional diferențial, blocare diferențială Enciclopedia investitorilor

Unul dintre conceptele de bază din teoria ecuațiilor diferențiale parțiale. Rolul lui X se manifestă în proprietățile esențiale ale acestor ecuații, cum ar fi proprietățile locale ale soluțiilor, rezolvabilitatea diferitelor probleme, corectitudinea lor etc. Să fie ... ... Enciclopedia Matematicii

O ecuație în care necunoscutul este o funcție a unei variabile independente, iar această ecuație include nu numai funcția necunoscută în sine, ci și derivatele sale de diferite ordine. Termenul ecuații diferențiale a fost propus de G. ... ... Enciclopedia Matematicii

Trenogin Vladilen Aleksandrovich VA Trenogin la o prelegere la MISiS Data nașterii ... Wikipedia

Trenogin, Vladilen Aleksandrovich Trenogin Vladilen Aleksandrovich VA Trenogin la o prelegere la MISiS Data nașterii: 1931 (1931) ... Wikipedia

Ecuația Gaussiană, ecuația diferențială ordinară liniară de ordinul doi sau, în formă autoadjunctă, variabilele și parametrii în cazul general pot lua orice valori complexe. După înlocuire, se obține forma redusă ... ... Enciclopedia Matematicii