Antiderivativ și integral. Integrală nedefinită, proprietățile și calculul acesteia. Integrală antiderivativă și nedefinită Rezumat și prezentare pentru lecția integrală nedefinită
Anoshina O.V.
atelier pentru burlaci [Ștampila Ministerului Educației din Federația Rusă] / V.S.
Shipachev; ed. A.N. Tikhonov. - ediția a VIII-a, Rev. si adauga. Moscova: Yurayt, 2015. - 447 p.
2. Shipachev V. S. Matematică superioară. Curs complet: tutorial
pentru acad. diplomă de licență [Grif UMO] / VS Shipachev; ed. A.
N. Tikhonova. - ediția a IV-a, Rev. si adauga. - Moscova: Yurayt, 2015. - 608
din
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematică superioară
în exerciții și sarcini. [Text] / P.E. Danko, A.G. Popov, T. Ya.
Kozhevnikov. La 14:00 - M.: Școală superioară, 2007. - 304 + 415c.
Test. Efectuat în conformitate cu:
Sarcini și orientări pentru implementarea lucrărilor de control
la disciplina „MATEMATICĂ APLICATĂ”, Ekaterinburg, FGAOU
VO "Profesor de stat rus și pedagogic
Universitatea ", 2016 - anii 30.
Selectați opțiunea de testare cu ultima cifră a numărului
catalog.
2.
Examen
funcție antiderivativă f x definită pe
un anumit interval dacă F x f x pentru
fiecare x din acest interval.
De exemplu, funcția cos x este
antiderivativa funcției sin x, din moment ce
cos x sin x. Evident, dacă F x este antiderivativ
funcția f x, atunci F x C, unde C este o constantă, este, de asemenea
funcție antiderivativă f x.
Dacă F x este orice antiderivativ
funcția f x, apoi orice funcție a formei
Ф x F x C este, de asemenea
funcție antiderivativă f x și oricare
antiderivativul este reprezentabil în această formă. Definiție. Totalitatea tuturor
antiderivative ale funcției f x,
identificat la unii
se numește interval
integral nedefinit al
funcția f x pe acest interval și
notat f x dx. Dacă F x este un antiderivativ al funcției
f x, apoi scrieți f x dx F x C, deși
ar fi mai corect să scriem f x dx F x C.
Conform tradiției stabilite, vom scrie
f x dx F x C.
Astfel, același simbol
f x dx va indica toate
setul de antiderivați ai funcției f x,
și orice element al acestui set.
integrandul, iar diferențialul său este expresia subintegrală. Într-adevăr:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.
diferențial continuu (x)
funcția diferențiată este egală cu
această funcție până la o constantă:
d (x) (x) dx (x) C,
deoarece (x) este antiderivativ pentru (x).
antiderivative, apoi funcția f1 x f 2 x
are, de asemenea, un antiderivativ și
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6.f x dx f x C;
7.f x x dx F x C.
a 1
X
2.x a dx
C, (a 1).
a 1
dx
3.ln x C.
X
X
A
4.a x dx
C.
Într-un
5.e x dx e x C.
6. sin xdx cos x C.
7.cos xdx sin x C.
dx
8,2 ctgx C.
păcat x
dx
9,2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x
dx
arcsin x C.
1 x 2
dx
1
X
12.2 2 arctan C.
A
A
un x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
X
arcsin C ..
A
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
un x
a 2 x 2 2a ln a x C.
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C.
17.shxdx chx C.
18.chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x
proprietăți: 1
1. dx d (topor)
A
1
2.dx d (ax b),
A
1 2
3.xdx dx,
2
1 3
2
4.x dx dx.
3
Decizie. În tabelul integralelor găsim
cos xdx sin x C.
Transformăm această integrală într-una tabelară,
profitând de faptul că d ax adx.
Atunci:
d 5 x 1
\u003d cos 5 xd 5 x \u003d
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
\u003d sin 5 x C.
5
3x x 1 dx.
Decizie. De vreme ce sub semnul integral
atunci se găsește suma a patru termeni
extindeți integralul în suma a patru
integrale:
2
3
2
3
2
3
X
3
X
X
1
dx
X
dx
3
X
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2
utilizați următoarele proprietăți
integrale:
Dacă f x dx F x C, atunci
f x b dx F x b C.
Dacă f x dx F x C, atunci
1
f ax b dx F ax b C.
A
1
6
2
3
X
dx
2
3
X
C
.
3 6
5
Următoarele integrale sunt luate prin metoda de integrare pe părți:
a) x n sin xdx, unde n 1,2 ... k;
b) x n e x dx, unde n 1,2 ... k;
c) x n arctgxdx, unde n 0, 1, 2, ... k. ;
d) x n ln xdx, unde n 0, 1, 2, ... k.
Când calculați integralele a) și b), introduceți
n 1
notație: x n u, apoi du nx dx și, de exemplu
sin xdx dv, apoi v cos x.
Când se calculează integralele c), d) se notează cu u funcția
arctgx, ln x, iar pentru dv luați x n dx.
Decizie.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C.
x ln xdx
dx
u ln x, du
X
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2
alege direct antiderivativul
pentru f x nu putem, dar știm asta
ea există. Puteți găsi adesea
antiderivativ, introducând o nouă variabilă,
conform formulei
f x dx f t t dt, unde x t și t - nou
variabil
topor b
dx,
x px q
care conține un trinom pătrat în
numitor al integrandului
expresii. Se ia și o astfel de integrală
metoda schimbării variabile,
pre-evidențiere în
numitorul este un pătrat complet.
2
dx
.
x 4x 5
Decizie. Convertiți x 2 4 x 5,
2
selectând un pătrat complet conform formulei a b 2 a 2 2ab b 2.
Apoi obținem:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln (t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln (t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln (x 1) 2 x 2 arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt
problema găsirii zonei unui curbiliniar
trapez.
Să se acorde un anumit interval
funcție continuă y f (x) 0
O sarcină:
Trageți graficul și găsiți aria F a figurii,
delimitată de această curbă, de două drepte x \u003d a și x
\u003d b, iar de dedesubt - un segment al axei absciselor dintre puncte
x \u003d a și x \u003d b. Cifra aABb se numește
trapezoid curbat
f (x) dx
Sub o integrală definită
A
a unei funcții continue date f (x) pe
acest segment este înțeles
creșterea corespunzătoare a acestuia
antiderivativ, adică
F (b) F (a) F (x) /
b
A
Numerele a și b sunt limitele integrării,
- intervalul de integrare.
valorile integrandului antiderivativ
funcții pentru limitele superioare și inferioare
integrare.
Introducerea notării pentru diferență
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x) dx F (b) F (a)
A
Formula Newton-Leibniz.
desemnarea variabilei de integrare, adică
b
b
A
A
f (x) dx f (t) dt
unde x și t sunt orice litere.
2) O integrală definită cu aceeași
in afara
integrarea este zero
A
f (x) dx F (a) F (a) 0
A 3) La schimbul limitelor de integrare
integrala definita inverseaza semnul
b
A
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
A
b
(proprietate de aditivitate)
4) Dacă intervalul este împărțit într-un număr finit
intervale parțiale, apoi o integrală definită,
preluat intervalul este egal cu suma anumitor
integrale preluate de toate intervalele sale parțiale.
b
c
b
f (x) dx f (x) dx
c
A
A
f (x) dx 5) Se poate scoate multiplicatorul constant
pentru semnul unei integrale definite.
6) Integrala definită a algebricului
sumele unui număr finit de continuu
funcții este egal cu același algebric
suma integralelor definite ale acestora
funcții.
integral.
b
f (x) dx f (t) (t) dt
A
a (), b (), (t)
Unde
Fort [; ], funcțiile (t) și (t) sunt continue activate;
5
Exemplu:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Definiție. Să fie definită funcția f (x) pe
interval infinit, unde b< + . Если
există
b
lim
f (x) dx,
b
A
atunci această limită se numește necorespunzătoare
integral al funcției f (x) pe interval
}
Literatura principală
1. Shipachev V. S. Matematică superioară. Curs de bază: manual șiatelier pentru burlaci [Ștampila Ministerului Educației din Federația Rusă] / V.S.
Shipachev; ed. A.N. Tikhonov. - ediția a VIII-a, Rev. si adauga. Moscova: Yurayt, 2015. - 447 p.
2. Shipachev V. S. Matematică superioară. Curs complet: tutorial
pentru acad. diplomă de licență [Grif UMO] / VS Shipachev; ed. A.
N. Tikhonova. - ediția a IV-a, Rev. si adauga. - Moscova: Yurayt, 2015. - 608
din
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematică superioară
în exerciții și sarcini. [Text] / P.E. Danko, A.G. Popov, T. Ya.
Kozhevnikov. La 14:00 - M.: Școală superioară, 2007. - 304 + 415c.
Raportare
1.Test. Efectuat în conformitate cu:
Sarcini și orientări pentru implementarea lucrărilor de control
la disciplina „MATEMATICĂ APLICATĂ”, Ekaterinburg, FGAOU
VO "Profesor de stat rus și pedagogic
Universitatea ", 2016 - anii 30.
Selectați opțiunea de testare cu ultima cifră a numărului
catalog.
2.
Examen
Integrală nedefinită, proprietățile și calculul său Integrală antiderivativă și nedefinită
Definiție. Funcția F x se numeștefuncție antiderivativă f x definită pe
un anumit interval dacă F x f x pentru
fiecare x din acest interval.
De exemplu, funcția cos x este
antiderivativa funcției sin x, din moment ce
cos x sin x. Evident, dacă F x este antiderivativ
funcția f x, atunci F x C, unde C este o constantă, este, de asemenea
funcție antiderivativă f x.
Dacă F x este orice antiderivativ
funcția f x, apoi orice funcție a formei
Ф x F x C este, de asemenea
funcție antiderivativă f x și oricare
antiderivativul este reprezentabil în această formă. Definiție. Totalitatea tuturor
antiderivative ale funcției f x,
identificat la unii
se numește interval
integral nedefinit al
funcția f x pe acest interval și
notat f x dx. Dacă F x este un antiderivativ al funcției
f x, apoi scrieți f x dx F x C, deși
ar fi mai corect să scriem f x dx F x C.
Conform tradiției stabilite, vom scrie
f x dx F x C.
Astfel, același simbol
f x dx va indica toate
setul de antiderivați ai funcției f x,
și orice element al acestui set.
Proprietăți integrale
Derivata integralului nedefinit esteintegrandul, iar diferențialul său este expresia subintegrală. Într-adevăr:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.
Proprietăți integrale
3. Integrală nedefinită adiferențial continuu (x)
funcția diferențiată este egală cu
această funcție până la o constantă:
d (x) (x) dx (x) C,
deoarece (x) este antiderivativ pentru (x).
Proprietăți integrale
4. Dacă funcțiile f1 x și f 2 x auantiderivative, apoi funcția f1 x f 2 x
are, de asemenea, un antiderivativ și
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6.f x dx f x C;
7.f x x dx F x C.
1.dx x C.
a 1
X
2.x a dx
C, (a 1).
a 1
dx
3.ln x C.
X
X
A
4.a x dx
C.
Într-un
5.e x dx e x C.
6. sin xdx cos x C.
7.cos xdx sin x C.
dx
8,2 ctgx C.
păcat x
dx
9,2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x
Tabel integral nedefinit
11.dx
arcsin x C.
1 x 2
dx
1
X
12.2 2 arctan C.
A
A
un x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
X
arcsin C ..
A
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
un x
a 2 x 2 2a ln a x C.
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C.
17.shxdx chx C.
18.chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x
Proprietăți diferențiale
La integrare, este convenabil de utilizatproprietăți: 1
1. dx d (topor)
A
1
2.dx d (ax b),
A
1 2
3.xdx dx,
2
1 3
2
4.x dx dx.
3
Exemple de
Exemplu. Evaluează cos 5xdx.Decizie. În tabelul integralelor găsim
cos xdx sin x C.
Transformăm această integrală într-una tabelară,
profitând de faptul că d ax adx.
Atunci:
d 5 x 1
\u003d cos 5 xd 5 x \u003d
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
\u003d sin 5 x C.
5
Exemple de
Exemplu. Calculați x3x x 1 dx.
Decizie. De vreme ce sub semnul integral
atunci se găsește suma a patru termeni
extindeți integralul în suma a patru
integrale:
2
3
2
3
2
3
X
3
X
X
1
dx
X
dx
3
X
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2
Independență variabilă
Când calculați integrale, este convenabilutilizați următoarele proprietăți
integrale:
Dacă f x dx F x C, atunci
f x b dx F x b C.
Dacă f x dx F x C, atunci
1
f ax b dx F ax b C.
A
Exemplu
Să calculăm1
6
2
3
X
dx
2
3
X
C
.
3 6
5
Metode de integrare Integrare pe părți
Această metodă se bazează pe formula udv uv vdu.Următoarele integrale sunt luate prin metoda de integrare pe părți:
a) x n sin xdx, unde n 1,2 ... k;
b) x n e x dx, unde n 1,2 ... k;
c) x n arctgxdx, unde n 0, 1, 2, ... k. ;
d) x n ln xdx, unde n 0, 1, 2, ... k.
Când calculați integralele a) și b), introduceți
n 1
notație: x n u, apoi du nx dx și, de exemplu
sin xdx dv, apoi v cos x.
Când se calculează integralele c), d) se notează cu u funcția
arctgx, ln x, iar pentru dv luați x n dx.
Exemple de
Exemplu. Evaluează x cos xdx.Decizie.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C.
Exemple de
Exemplu. calculatix ln xdx
dx
u ln x, du
X
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2
Metoda de înlocuire variabilă
Să fie necesar să găsim f x dx șialege direct antiderivativul
pentru f x nu putem, dar știm asta
ea există. Puteți găsi adesea
antiderivativ, introducând o nouă variabilă,
conform formulei
f x dx f t t dt, unde x t și t - nou
variabil
Integrarea funcțiilor care conțin un trinom pătrat
Luați în considerare integralultopor b
dx,
x px q
care conține un trinom pătrat în
numitor al integrandului
expresii. Se ia și o astfel de integrală
metoda schimbării variabile,
pre-evidențiere în
numitorul este un pătrat complet.
2
Exemplu
calculatidx
.
x 4x 5
Decizie. Convertiți x 2 4 x 5,
2
selectând un pătrat complet conform formulei a b 2 a 2 2ab b 2.
Apoi obținem:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.
Exemplu
A găsi1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln (t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln (t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln (x 1) 2 x 2 arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt
O integrală definită, proprietățile sale de bază. Formula Newton-Leibniz. Anumite aplicații integrale.
Conceptul unei integrale definite este condus deproblema găsirii zonei unui curbiliniar
trapez.
Să se acorde un anumit interval
funcție continuă y f (x) 0
O sarcină:
Trageți graficul și găsiți aria F a figurii,
delimitată de această curbă, de două drepte x \u003d a și x
\u003d b, iar de dedesubt - un segment al axei absciselor dintre puncte
x \u003d a și x \u003d b. Cifra aABb se numește
trapezoid curbat
Definiție
bf (x) dx
Sub o integrală definită
A
a unei funcții continue date f (x) pe
acest segment este înțeles
creșterea corespunzătoare a acestuia
antiderivativ, adică
F (b) F (a) F (x) /
b
A
Numerele a și b sunt limitele integrării,
- intervalul de integrare.
Regulă:
Integrala definită este egală cu diferențavalorile integrandului antiderivativ
funcții pentru limitele superioare și inferioare
integrare.
Introducerea notării pentru diferență
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x) dx F (b) F (a)
A
Formula Newton-Leibniz.
Proprietățile de bază ale unei integrale definite.
1) Valoarea integralei definite nu depinde dedesemnarea variabilei de integrare, adică
b
b
A
A
f (x) dx f (t) dt
unde x și t sunt orice litere.
2) O integrală definită cu aceeași
in afara
integrarea este zero
A
f (x) dx F (a) F (a) 0
A 3) La schimbul limitelor de integrare
integrala definita inverseaza semnul
b
A
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
A
b
(proprietate de aditivitate)
4) Dacă intervalul este împărțit într-un număr finit
intervale parțiale, apoi o integrală definită,
preluat intervalul este egal cu suma anumitor
integrale preluate de toate intervalele sale parțiale.
b
c
b
f (x) dx f (x) dx
c
A
A
f (x) dx 5) Se poate scoate multiplicatorul constant
pentru semnul unei integrale definite.
6) Integrala definită a algebricului
sumele unui număr finit de continuu
funcții este egal cu același algebric
suma integralelor definite ale acestora
funcții.
3. Schimbarea variabilei într-o integrală definită.
3. Înlocuirea unei variabile într-o anumităintegral.
b
f (x) dx f (t) (t) dt
A
a (), b (), (t)
Unde
Fort [; ], funcțiile (t) și (t) sunt continue activate;
5
Exemplu:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Integrale necorespunzătoare.
Integrale necorespunzătoare.Definiție. Să fie definită funcția f (x) pe
interval infinit, unde b< + . Если
există
b
lim
f (x) dx,
b
A
atunci această limită se numește necorespunzătoare
integral al funcției f (x) pe interval
}
