Cum se determină media aritmetică. Care este media aritmetică a numerelor. Media aritmetică are o serie de proprietăți care dezvăluie mai pe deplin esența sa și simplifică calculul.
Cel mai comun tip de medie este media aritmetică.
medie aritmetică simplă
Media aritmetică simplă este termenul mediu, în determinarea căruia volumul total al unui anumit atribut din date este distribuit în mod egal între toate unitățile incluse în această populație. Astfel, producția anuală medie per lucrător este o astfel de valoare a volumului de producție care ar cădea asupra fiecărui angajat dacă întregul volum de producție ar fi distribuit în mod egal între toți angajații organizației. Valoarea medie aritmetică simplă se calculează cu formula:
medie aritmetică simplă— Egal cu raportul dintre suma valorilor individuale ale unei caracteristici și numărul de caracteristici în agregat
Exemplul 1. O echipă de 6 muncitori primește 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 mii de ruble pe lună.
Găsiți salariul mediu
Rezolvare: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 mii de ruble.
Media ponderată aritmetică
Dacă volumul setului de date este mare și reprezintă o serie de distribuție, atunci se calculează o medie aritmetică ponderată. Așa se determină prețul mediu ponderat pe unitatea de producție: costul total de producție (suma produselor cantității sale și prețul unei unități de producție) se împarte la cantitatea totală de producție.
Reprezentăm acest lucru sub forma următoarei formule:
Media aritmetică ponderată- este egal cu raportul (suma produselor valorii atributului la frecvența de repetare a acestui atribut) cu (suma frecvențelor tuturor atributelor).Se folosește atunci când variantele populației studiate au o formă inegală. număr de ori.
Exemplul 2. Găsiți salariul mediu lunar al lucrătorilor din magazine
Salariul mediu poate fi obținut prin împărțirea salariului total la numărul total de lucrători:
Răspuns: 3,35 mii de ruble.
Media aritmetică pentru o serie de intervale
Atunci când se calculează media aritmetică pentru o serie de variații de interval, media pentru fiecare interval este mai întâi determinată ca jumătate de sumă a limitelor superioare și inferioare și apoi media întregii serii. În cazul intervalelor deschise, valoarea intervalului inferior sau superior este determinată de valoarea intervalelor adiacente acestora.
Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative.
Exemplul 3. Determinați vârsta medie a studenților la catedra de seară.
Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative. Gradul de aproximare a acestora depinde de măsura în care distribuția reală a unităților de populație în cadrul intervalului se apropie de uniformă.
La calcularea mediilor, nu numai valorile absolute, ci și valorile relative (frecvența) pot fi folosite ca ponderi:
Media aritmetică are o serie de proprietăți care dezvăluie mai pe deplin esența sa și simplifică calculul:
1. Produsul mediei și suma frecvențelor este întotdeauna egal cu suma produselor variantei și frecvențelor, i.e.
2. Media aritmetică a sumei valorilor diferite este egală cu suma mediei aritmetice a acestor valori:
3. Suma algebrică a abaterilor valorilor individuale ale atributului de la medie este zero.
Tematica aritmetică și medie geometrică este inclusă în programul de matematică pentru clasele 6-7. Deoarece paragraful este destul de simplu de înțeles, este trecut rapid, iar până la sfârșitul anului școlar, elevii îl uită. Dar cunoștințe în statistici de bază sunt necesare pentru a promova examenul, precum și pentru examenele internaționale SAT. Și pentru viața de zi cu zi, gândirea analitică dezvoltată nu strică niciodată.
Cum se calculează media aritmetică și geometrică a numerelor
Să presupunem că există o serie de numere: 11, 4 și 3. Media aritmetică este suma tuturor numerelor împărțită la numărul de numere date. Adică, în cazul numerelor 11, 4, 3, răspunsul va fi 6. Cum se obține 6?
Rezolvare: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Numitorul trebuie să conțină un număr egal cu numărul de numere a căror medie se găsește. Suma este divizibilă cu 3, deoarece există trei termeni.
Acum trebuie să ne ocupăm de media geometrică. Să presupunem că există o serie de numere: 4, 2 și 8.
Media geometrică este produsul tuturor numerelor date, care se află sub o rădăcină cu un grad egal cu numărul numerelor date, adică în cazul numerelor 4, 2 și 8, răspunsul este 4. Iată cum s-a întâmplat. :
Rezolvare: ∛(4 × 2 × 8) = 4
În ambele opțiuni s-au obținut răspunsuri întregi, deoarece au fost luate ca exemplu numere speciale. Acesta nu este întotdeauna cazul. În cele mai multe cazuri, răspunsul trebuie să fie rotunjit sau lăsat la rădăcină. De exemplu, pentru numerele 11, 7 și 20, media aritmetică este ≈ 12,67, iar media geometrică este ∛1540. Iar pentru numerele 6 și 5, răspunsurile, respectiv, vor fi 5,5 și √30.
Se poate întâmpla ca media aritmetică să devină egală cu media geometrică?
Desigur că se poate. Dar numai în două cazuri. Dacă există o serie de numere formată numai din unu sau zero. De asemenea, este de remarcat faptul că răspunsul nu depinde de numărul lor.
Demonstrație cu unități: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (media aritmetică).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (media geometrică).
Demonstrație cu zerouri: (0 + 0) / 2=0 (media aritmetică).
√(0 × 0) = 0 (media geometrică).
Nu există altă opțiune și nu poate exista.
Nu numai în diverse științe matematice, ci și în viața de zi cu zi, există cazuri în care trebuie să calculați media a ceva. De exemplu, costul mediu al castraveților de pe piață, înălțimea medie a unui copil, costul mediu al șederii într-un hotel etc.
La toate acestea s-a gândit de mult. nume stiintific- "in medie". Acest indicator este utilizat în mod activ în statistici pentru a rezuma rezultatele. De exemplu, vârsta medie pentru a avea copii, vârsta medie de deces în rândul bărbaților și femeilor, salariul mediu pe regiune și în Rusia în ansamblu.
De exemplu, la adoptarea unei legi privind creșterea vârstei de pensionare, autoritățile tocmai au procedat de la vârsta medie a decesului în țara noastră.
Să ne dăm seama care este acest indicator.
Media aritmetică este media tuturor valorilor disponibile. Pentru a-l calcula, este necesar să însumați toate numerele implicate în operațiune și apoi să împărțiți la numărul lor total.
De exemplu, în 2017, copiii de diferite vârste au primit studii medii complete: 16, 17 și 18 ani. Media aritmetică va fi calculată ca suma tuturor vârstelor împărțită la trei. În total, vârsta medie a unui copil care a absolvit clasa a 11-a a fost de 17 ani.
Acest exemplu arată un calcul primitiv folosind exemplul a trei copii. De fapt, trebuie să rezumați toate datele disponibile. Adică, dacă vorbim de cinci copii, atunci le însumăm vârsta, de exemplu, 17 + 17 + 18 + 16 + 17 și împărțim rezultatul la cinci.
În mod similar, orice medie aritmetică este calculată pentru orice operație. Adică, dacă, de exemplu, trebuie să calculați vârsta medie a mamelor care au născut primul lor copil în 2017, atunci va trebui mai întâi să însumați toți indicatorii de vârstă și apoi să împărțiți la numărul total de părinți.
Adică, în general formula poate fi reprezentată după cum urmează:
Media aritmetică = ( suma tuturor valorilor disponibile)/numărul total de valori implicate în operațiune.
Astfel, calculul este destul de simplu, chiar și pentru școlari. Dificultățile pot apărea doar din cauza numărului mare de respondenți care participă la operațiune.
Este important să înțelegeți că media nu este doar un număr. Are o semnificație fizică specială, care a fost folosită în practică în lumea reală de mulți ani.
Ar fi greșit să folosiți media aritmetică doar pe hârtie, într-un caiet sau în programe de calculator. În caz contrar, puteți obține o mulțime de valori lipsite de sens și pur și simplu nerealiste.
De fapt, există mai multe mijlocii. Cu toate acestea, în fiecare caz, doar unul dintre ele este corect. În fiecare dintre operațiuni, trebuie să utilizați doar tipul de medie care este necesar, altfel se va face o greșeală uriașă.
Ce tipuri de medii sunt folosite în practică? Cel mai comun mediile sunt:
- In medie;
- medie geometrică;
- Armonică medie.
Aceste valori cel mai des folosit atât în viața de zi cu zi, cât și în științe. Cel mai adesea, desigur, primul indicator este calculat.
Adesea, acest indicator este aplicat și calculat incorect în condiții reale. De ce se întâmplă? De fapt, baza mediei aritmetice este aplicarea legii numerelor mari. În plus, se aplică și ipoteza, conform căreia valoarea inițială este definită în mod normal.
Aceasta înseamnă că în jurul valorii prezentate într-un număr de valori, există cea mai frecventă abatereîn orice parte. i.e. Mare sau mic. De exemplu, într-o serie de numere 8,8,9,8,9,8,8, abaterea va fi în jos, deoarece sunt mai multe opt. Și în seria: 17.17, 20,20,20,20,20, abaterea, dimpotrivă, va fi în sus, deoarece în acest caz există încă mai multe „douăzeci”.
Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, astfel de abateri sunt mici și de obicei egale ca probabilitate. Esența problemei este că în afaceri, ca și în viața reală, normalitatea distribuției în practică poate fi găsită extrem de rar.
Adică, de exemplu, timpul de deservire a unui client, timpul în care se așteaptă ca un client să primească acest serviciu, suma pentru care va încheia apoi un contract, cota de piață, creșterea veniturilor etc., sunt acei indicatori care sunt nu sunt distribuite uniform și normal. În unele cazuri, nu este de dorit să le medieți cu ajutorul mediei aritmetice. Pentru că ar fi greșit.
În practică, normalitatea distribuției poate fi adesea găsită în prezența un număr mare de valori variind de la sute la mii. De exemplu, numărul apelurilor către suportul tehnic al unei companii mari poate fi distribuit normal, atât pe hârtie, cât și efectiv.
Cu toate acestea, doar cantitatea nu va fi suficientă, deoarece în fiecare situație specifică trebuie să monitorizați și distributie corecta. Numai în acest fel se va putea calcula corect valoarea mediei aritmetice în final.
Întrebarea cum să găsiți media aritmetică apare în rândul persoanelor de diferite vârste și nu numai în rândul studenților. Uneori avem nevoie urgent să găsim media aritmetică, dar nu ne amintim cum să o facem. Apoi răsfoim frenetic manualele școlare de matematică, încercând să găsim informațiile de care avem nevoie. Dar este foarte simplu!
Pentru a găsi media aritmetică a mai multor numere, adună-le. După aceea, suma rezultată trebuie împărțită la numărul de termeni.
Pentru a fi mai clar, să ne dăm seama împreună cum să găsim media aritmetică a numerelor, folosind exemplul: 78, 115, 121 și 224. Mai întâi trebuie să adunăm aceste numere: 78+115+121+224=538. Acum suma primita, i.e. 538 trebuie împărțit la numărul de termeni: 538:4=134,5. Deci, media aritmetică a acestor numere este 134,5.
Media aritmetică a mai multor numere: găsiți cu Excel
Găsirea mediei aritmetice este foarte ușoară folosind Excel. Acest program vă permite să evitați calculele lungi și, în consecință, erorile. Pentru a afla media aritmetică a mai multor numere, scrieți-le într-o coloană. Apoi selectați această coloană și selectați pictograma sumă (?) și fila medie din bara de instrumente Acces rapid. Media aritmetică a acestor numere va apărea în partea de jos a coloanei evidențiate.
Media aritmetică - un indicator statistic care arată valoarea medie a unui anumit tablou de date. Un astfel de indicator este calculat ca o fracție, al cărei numărător este suma tuturor valorilor matricei, iar numitorul este numărul acestora. Media aritmetică este un coeficient important care este utilizat în calculele casnice.
Sensul coeficientului
Media aritmetică este un indicator elementar pentru compararea datelor și calcularea unei valori acceptabile. De exemplu, o cutie de bere de la un anumit producător este vândută în diferite magazine. Dar într-un magazin costă 67 de ruble, în altul - 70 de ruble, în al treilea - 65 de ruble, iar în ultimul - 62 de ruble. Există o gamă destul de mare de prețuri, așa că cumpărătorul va fi interesat de costul mediu al unei conserve, astfel încât atunci când cumpără un produs să-și poată compara costurile. În medie, o cutie de bere în oraș are un preț:
Prețul mediu = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 de ruble.
Cunoscând prețul mediu, este ușor să determinați unde este profitabil să cumpărați bunuri și unde va trebui să plătiți în exces.
Media aritmetică este utilizată constant în calculele statistice în cazurile în care este analizat un set omogen de date. În exemplul de mai sus, acesta este prețul unei cutii de bere de aceeași marcă. Cu toate acestea, nu putem compara prețul berii de la diferiți producători sau prețurile berii și limonadei, deoarece în acest caz răspândirea valorilor va fi mai mare, prețul mediu va fi neclar și nesigur și însuși sensul calculelor. va fi distorsionat la caricatura „temperatura medie în spital”. Pentru a calcula matrice de date eterogene, se utilizează media ponderată aritmetică, când fiecare valoare primește propriul factor de ponderare.
Calcularea mediei aritmetice
Formula de calcul este extrem de simplă:
P = (a1 + a2 + … an) / n,
unde an este valoarea cantității, n este numărul total de valori.
La ce poate fi folosit acest indicator? Prima și evidentă utilizare a acestuia este în statistică. Aproape fiecare studiu statistic folosește media aritmetică. Aceasta poate fi vârsta medie de căsătorie în Rusia, nota medie la o materie pentru un student sau cheltuiala medie zilnică pentru alimente. După cum am menționat mai sus, fără a ține cont de ponderi, calculul mediilor poate da valori ciudate sau absurde.
De exemplu, președintele Federației Ruse a făcut o declarație că, conform statisticilor, salariul mediu al unui rus este de 27.000 de ruble. Pentru majoritatea oamenilor din Rusia, acest nivel de salariu părea absurd. Nu este surprinzător dacă calculul ține cont de veniturile oligarhilor, ale șefilor întreprinderilor industriale, ale marilor bancheri, pe de o parte, și ale salariilor profesorilor, curățătorilor și vânzătorilor, pe de altă parte. Chiar și salariile medii într-o specialitate, de exemplu, un contabil, vor avea diferențe serioase la Moscova, Kostroma și Ekaterinburg.
Cum se calculează mediile pentru date eterogene
În situațiile de salarizare, este important să se ia în considerare ponderea fiecărei valori. Aceasta înseamnă că salariilor oligarhilor și bancherilor li s-ar acorda o pondere de, de exemplu, 0,00001, iar salariile vânzătorilor ar fi 0,12. Acestea sunt numere din tavan, dar ele ilustrează aproximativ prevalența oligarhilor și a vânzătorilor în societatea rusă.
Astfel, pentru a calcula media mediilor sau valoarea medie într-o matrice de date eterogenă, este necesară utilizarea mediei ponderate aritmetice. În caz contrar, veți primi un salariu mediu în Rusia la nivelul de 27.000 de ruble. Dacă doriți să cunoașteți nota medie la matematică sau numărul mediu de goluri marcate de un jucător de hochei selectat, atunci calculatorul de medie aritmetică vi se va potrivi.
Programul nostru este un calculator simplu și convenabil pentru calcularea mediei aritmetice. Trebuie doar să introduceți valorile parametrilor pentru a efectua calcule.
Să ne uităm la câteva exemple
Calculul notei medii
Mulți profesori folosesc metoda mediei aritmetice pentru a determina o notă anuală la o materie. Să ne imaginăm că un copil ia următoarele note trimestriale la matematică: 3, 3, 5, 4. Ce notă anuală îi va acorda profesorul? Să folosim un calculator și să calculăm media aritmetică. Mai întâi, selectați numărul adecvat de câmpuri și introduceți valorile notă în celulele care apar:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
Profesorul va rotunji valoarea în favoarea elevului, iar elevul va primi un patru solid pentru anul.
Calculul dulciurilor consumate
Să ilustrăm o oarecare absurditate a mediei aritmetice. Imaginează-ți că Masha și Vova au avut 10 dulciuri. Masha a mâncat 8 bomboane, iar Vova doar 2. Câte bomboane a mâncat în medie fiecare copil? Folosind un calculator, este ușor de calculat că, în medie, copiii au mâncat câte 5 dulciuri, ceea ce este complet neadevărat și de bun simț. Acest exemplu arată că media aritmetică este importantă pentru seturi de date semnificative.
Concluzie
Calculul mediei aritmetice este utilizat pe scară largă în multe domenii științifice. Acest indicator este popular nu numai în calculele statistice, ci și în fizică, mecanică, economie, medicină sau finanțe. Utilizați calculatoarele noastre ca asistent pentru rezolvarea problemelor de medie aritmetică.
