Metode aproximative pentru studiul sistemelor neliniare. Analiza sistemelor neliniare. Metoda liniarizării armonice. Aplicarea teoriei proceselor Markov pentru analiza sistemelor neliniare. Neliniaritate tip releu

Un sistem este considerat neliniar dacă ordinea sa >2 (n>2).

Studiul sistemelor liniare de ordin înalt este asociat cu depășirea dificultăților matematice semnificative, deoarece nu există metode generale de rezolvare a ecuațiilor neliniare. La analizarea mișcării sistemelor neliniare se folosesc metode de integrare numerică și grafică, care permit obținerea unei singure soluții particulare.

Metodele de cercetare sunt împărțite în două grupe. Primul grup este al metodelor bazate pe găsirea de soluții exacte la ecuații diferențiale neliniare. Al doilea grup este metodele aproximative.

Dezvoltarea metodelor exacte este importantă atât din punctul de vedere al obţinerii de rezultate directe, cât şi pentru studierea diferitelor regimuri speciale şi forme de procese dinamice ale sistemelor neliniare care nu pot fi identificate şi analizate prin metode aproximative. Metodele exacte sunt:

1. Metoda Lyapunov directă

2. Metode cu planul de fază

3. Metoda de montare

4. Metoda transformărilor punctuale

5. Metoda secțiunilor spațiului parametrilor

6. Metoda de frecvență pentru determinarea stabilității absolute

Pentru a rezolva multe probleme teoretice și practice, se utilizează tehnologia de calcul discretă și analogică, care face posibilă utilizarea metodelor de modelare matematică în combinație cu modelarea semi-naturală și la scară completă. În acest caz, tehnologia informatică este îmbinată cu elementele reale ale sistemelor de control, cu toate neliniaritățile lor inerente.

Metodele aproximative includ metode analitice și graf-analitice care permit înlocuirea unui sistem neliniar cu un model liniar echivalent, urmată de utilizarea metodelor teoriei liniare a sistemelor dinamice pentru studiul acestuia.

Există două grupuri de metode aproximative.

Primul grup se bazează pe presupunerea că sistemul neliniar studiat este similar în proprietăți cu cel liniar. Acestea sunt metode ale unui parametru mic, când mișcarea sistemului este descrisă folosind serii de puteri în raport cu un parametru mic care este prezent în ecuațiile sistemului sau care este introdus în aceste ecuații în mod artificial.

Al doilea grup de metode are ca scop studierea oscilațiilor periodice naturale ale sistemului. Se bazează pe presupunerea că oscilațiile dorite ale sistemului sunt apropiate de cele armonice. Acestea sunt metode de echilibrare armonică sau liniarizare armonică. Atunci când sunt utilizate, o înlocuire condiționată a unui element neliniar, care se află sub acțiunea unui semnal de intrare armonic, se realizează cu elemente liniare echivalente. Fundamentarea analitică a liniarizării armonice se bazează pe principiul egalității variabilelor de ieșire de frecvență, amplitudine și fază, elementul liniar echivalent și prima armonică a variabilei de ieșire a unui element neliniar real.

Cel mai mare efect este dat de o combinație rezonabilă de metode aproximative și exacte.

„Teoria controlului automat”

„Metode de cercetare a sistemelor neliniare”

1. Metoda ecuațiilor diferențiale

Ecuația diferențială a unui sistem închis neliniar de ordinul al n-lea (Fig. 1) poate fi convertită într-un sistem de n ecuații diferențiale de ordinul întâi sub forma:

unde: - variabile care caracterizează comportamentul sistemului (una dintre ele poate fi o valoare controlată); sunt funcții neliniare; tu este forța motrice.

De obicei, aceste ecuații sunt scrise în diferențe finite:

unde sunt conditiile initiale.

Dacă abaterile nu sunt mari, atunci acest sistem poate fi rezolvat ca un sistem de ecuații algebrice. Soluția poate fi reprezentată grafic.

2. Metoda spatiului fazelor

Să considerăm cazul când acțiunea externă este egală cu zero (U = 0).

Mișcarea sistemului este determinată de modificarea coordonatelor sale - în funcție de timp. Valorile în orice moment caracterizează starea (faza) sistemului și determină coordonatele sistemului având n - axe și pot fi reprezentate ca coordonatele unui anumit punct (reprezentând) M (Fig. 2).

Spațiul fazelor este spațiul de coordonate al sistemului.

Cu o schimbare a timpului t, punctul M se deplasează de-a lungul unei traiectorii numită traiectorie de fază. Dacă modificăm condițiile inițiale, obținem o familie de traiectorii de fază numită portret de fază. Portretul de fază determină natura procesului tranzitoriu într-un sistem neliniar. Portretul de fază are puncte singulare pe care traiectorii de fază ale sistemului tind sau din care pleacă (pot fi mai multe dintre ele).

Portretul de fază poate conține traiectorii de fază închise, care sunt numite cicluri limită. Ciclurile limită caracterizează auto-oscilațiile în sistem. Traiectoriile de fază nu se intersectează nicăieri, cu excepția punctelor singulare care caracterizează stările de echilibru ale sistemului. Ciclurile limită și stările de echilibru pot fi sau nu stabile.

Portretul de fază caracterizează complet sistemul neliniar. O trăsătură caracteristică a sistemelor neliniare este prezența diferitelor tipuri de mișcări, mai multe stări de echilibru și prezența ciclurilor limită.

Metoda spațiului de fază este o metodă fundamentală pentru studiul sistemelor neliniare. Este mult mai ușor și mai convenabil să studiezi sistemele neliniare pe planul de fază decât prin reprezentarea tranzitorii în domeniul timpului.

Construcțiile geometrice din spațiu sunt mai puțin clare decât construcțiile pe un plan, atunci când sistemul are un ordin al doilea și se folosește metoda planului de fază.

Aplicarea metodei planului de fază la sisteme liniare

Să analizăm relația dintre natura procesului tranzitoriu și curbele traiectoriilor de fază. Traiectorii de fază pot fi obținute fie prin integrarea ecuației traiectoriei de fază, fie prin rezolvarea ecuației diferențiale inițiale de ordinul 2.

Să fie dat sistemul (Fig. 3).

Luați în considerare mișcarea liberă a sistemului. În acest caz: U(t)=0, e(t)=– x(t)

În general, ecuația diferențială are forma

Unde (1)

Aceasta este o ecuație diferențială omogenă de ordinul 2; ecuația sa caracteristică este

. (2)

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt determinate din relații

(3)

Să reprezentăm ecuația diferențială de ordinul 2 ca sistem

Ecuații de ordinul 1:

(4)

unde este rata de modificare a variabilei controlate.

În sistemul liniar luat în considerare, variabilele x și y sunt coordonate de fază. Portretul de fază este construit în spațiul coordonatelor x și y, adică. pe planul de fază.

Dacă excludem timpul din ecuația (1), atunci obținem ecuația curbelor integrale sau a traiectoriilor de fază.

. (5)

Aceasta este o ecuație separabilă

Să luăm în considerare mai multe cazuri

Fișierele GB_prog.m și GB_mod.mdl și analiza compoziției spectrale a modului periodic la ieșirea părții liniare - folosind fișierele GB_prog.m și R_Fourie.mdl. Conținutul fișierului GB_prog.m: %Investigarea sistemelor neliniare prin metoda echilibrului armonic %Fișiere utilizate: GB_prog.m, GB_mod.mdl și R_Fourie.mdl. % Notație utilizată: NE - element neliniar, LP - parte liniară. %Curata tot...

Inerțiale în intervalul de frecvență permis (limitat de sus), dincolo de care trece în categoria celor inerțiale. În funcție de tipul de caracteristici, se disting elementele neliniare cu caracteristici simetrice și asimetrice. Simetrică este o caracteristică care nu depinde de direcția cantităților care o determină, adică. având simetrie față de începutul sistemului...

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Foloseste formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Universitatea Tehnică de Stat din Novosibirsk

Departamentul Acționare Electrică și Automatizare Instalații Industriale

LUCRARE DE CURS

la disciplina „Teoria controlului automat”

Analiza sistemelor de control automat neliniar

Student: Tishinov Yu.S.

Grupul Ema-71

Supervizor de cursuri

SARCINA PENTRU LUCRAREA CURSULUI:

1. Investigați ACS cu o diagramă bloc dată, tip de neliniaritate și parametri numerici folosind metoda planului de fază.

1.1 Verificați rezultatele calculelor din paragraful 1 utilizând modelarea structurală.

1.2 Investigați influența acțiunii de intrare și a parametrilor de neliniaritate asupra dinamicii sistemului.

2. Investigați ACS cu o diagramă bloc dată, tip de neliniaritate și parametri numerici folosind metoda liniarizării armonice.

2.1 Verificați rezultatele calculelor din paragraful 2 utilizând modelarea structurală.

2.2 Investigați influența acțiunii de intrare și a parametrilor de neliniaritate asupra dinamicii sistemului

1. Investigăm ACS cu o diagramă bloc dată, tipul de neliniaritate și parametri numerici folosind metoda planului de fază.

Opțiunea numărul 4-1-a

Datele inițiale.

1) Diagrama structurală a unui ACS neliniar:

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Se numește un sistem în care operațiunile de lucru și control sunt efectuate de dispozitive tehnice sistem de control automat (ACS).

Diagrama structurală se numește reprezentare grafică a descrierii matematice a sistemului.

Legătura de pe diagrama structurală este reprezentată ca un dreptunghi indicând influențele externe și funcția de transfer este scrisă în interiorul acesteia.

Setul de legături, împreună cu liniile de comunicare care le caracterizează interacțiunea, formează o diagramă bloc.

2) Parametrii diagramei bloc:

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Metoda planului de fază

Comportamentul unui sistem neliniar în orice moment este determinat de variabila controlată și derivata ei (n? 1), dacă aceste mărimi sunt reprezentate de-a lungul axelor de coordonate, atunci spațiul n? dimensional rezultat va fi numit spațiu fazelor. Starea sistemului în fiecare moment de timp va fi determinată în spațiul fazelor de punctul reprezentativ. În timpul procesului de tranziție, punctul reprezentativ se deplasează în spațiul fazelor. Traiectoria mișcării sale se numește traiectorie de fază. În stare staționară, punctul reprezentativ este în repaus și se numește punct singular. Setul de traiectorii de fază pentru diferite condiții inițiale, împreună cu punctele și traiectorii singulare, se numește portretul de fază al sistemului.

Când studiați un sistem neliniar prin această metodă, este necesar să convertiți diagrama bloc (Fig. 1.1) în forma:

Semnul minus indică faptul că feedback-ul este negativ.

unde X 1 și X 2 - valorile de ieșire și, respectiv, de intrare ale părții liniare a sistemului.

Să găsim ecuația diferențială a sistemului:

Atunci să facem un înlocuitor

Rezolvăm această ecuație în raport cu cea mai mare derivată:

Să presupunem că:

Împărțim ecuația (1.2) la ecuația (1.1) și obținem o ecuație diferențială neliniară pentru traiectoria fazei:

unde x 2 \u003d f (x 1).

Dacă acest DE este rezolvat prin metoda izoclinei, atunci este posibil să se construiască un portret de fază al sistemului pentru diferite condiții inițiale.

Un izoclin este locul punctelor din planul de fază pe care traiectoria fazei le intersectează la același unghi.

În această metodă, caracteristica neliniară este împărțită în secțiuni liniare și pentru fiecare dintre ele se înregistrează un DE liniar.

Pentru a obține ecuația izoclinului, partea dreaptă a ecuației (1.3) este echivalată cu o valoare constantă N și rezolvată relativ.

Ținând cont de neliniaritate, obținem:

Având în vedere valorile lui N în intervalul de la până la, se construiește o familie de izocline. Pe fiecare izoclină, o linie dreaptă auxiliară este trasată la un unghi față de axa x

unde m X - factorul de scară de-a lungul axei x;

m Y - factor de scară de-a lungul axei y.

Alegeți m X = 0,2 unități/cm, m Y = 40 unități/cm;

Formula finală pentru unghi:

Calculăm familia de izocline și unghiul pentru amplasament, rezumăm calculul în tabelul 1:

tabelul 1

Calculăm familia de izocline și unghiul pentru amplasament, rezumăm calculul în tabelul 2:

masa 2

Calculăm familia de izocline și unghiul pentru amplasament, rezumăm calculul în tabelul 3:

Tabelul 3

Să construim o traiectorie de fază

Pentru a face acest lucru, condițiile inițiale sunt selectate pe una dintre izocline (punctul A), sunt trasate două linii drepte de la punctul A până la intersecția cu următoarea izoclină la unghiurile b 1, b 2, unde b 1, b 2? respectiv, unghiurile primei și celei de-a doua izocline. Segmentul tăiat de aceste linii este împărțit în jumătate. Din punctul obținut, mijlocul segmentului, se trasează din nou două linii la unghiurile b 2, b 3, iar segmentul este împărțit la jumătate etc. Punctele rezultate sunt conectate printr-o curbă netedă.

Familiile de izocline sunt construite pentru fiecare secțiune liniară a caracteristicii neliniare și sunt separate unele de altele prin linii de comutare.

Din traiectoria fazei se poate observa că a fost obținut un punct singular de tipul focalizării stabile. Se poate concluziona că nu există auto-oscilații în sistem, iar procesul tranzitoriu este stabil.

1.1 Verificați rezultatele calculelor folosind modelarea structurală în programul MathLab

Schema structurala:

Portret de fază:

Procesul tranzitoriu la acțiunea de intrare egal cu 2:

Xout.max = 1,6

1.2 Studiem influența acțiunii de intrare și a parametrilor de neliniaritate asupra dinamicii sistemului

Să creștem semnalul de intrare la 10:

Xout.max = 14,3

Treg = 0,055

X afară. max=103

T reg = 0,18

Să creștem zona de sensibilitate la 15:

Xout.max = 0,81

Reduceți zona de sensibilitate la 1:

Xout.max = 3,2

Rezultatele simulării au confirmat rezultatele calculului: Figura 1.7 arată că procesul este convergent, nu există auto-oscilații în sistem. Portretul de fază al sistemului simulat este similar cu cel calculat.

După ce am studiat influența acțiunii de intrare și a parametrilor de neliniaritate asupra dinamicii sistemului, putem trage următoarele concluzii:

1) cu o creștere a acțiunii de intrare, nivelul stării staționare crește, numărul de oscilații nu se modifică, timpul de control crește.

2) odată cu creșterea zonei moarte, nivelul stării de echilibru crește, numărul de oscilații rămâne, de asemenea, neschimbat, timpul de control crește.

2. Investigăm ACS cu o diagramă bloc dată, tipul de neliniaritate și parametri numerici folosind metoda liniarizării armonice.

Opțiunea #5-20-c

Datele inițiale.

1) Diagrama bloc:

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Găzduit la http://www.allbest.ru/

2) Valorile parametrilor:

3) Tipul și parametrii neliniarității:

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Cea mai utilizată pentru studiul sistemelor de control automat neliniar de ordin înalt (n > 2) este metoda aproximativă de liniarizare armonică folosind reprezentări de frecvență dezvoltate în teoria sistemelor liniare.

Ideea principală a metodei este următoarea. Fie ca un sistem neliniar autonom închis (fără influențe externe) să fie format dintr-un NC neliniar inerțial conectat în serie și o parte liniară stabilă sau neutră a LP (Figura 2.3, a)

u=0 x z X=X m sinwt z y

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Găzduit la http://www.allbest.ru/

y \u003d Y m 1 sin (wt +)

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Pentru a aprecia posibilitatea existenței unor oscilații monoarmonice neamortizate în acest sistem, se presupune că la intrarea legăturii neliniare acționează un semnal armonic sinusoidal x(t) = X m sinwt (Fig. 2.3,b). În acest caz, semnalul la ieșirea legăturii neliniare z(t) = z conține un spectru de componente armonice cu amplitudini Z m 1 , Z m 2 , Z m 3 etc. și frecvențele w, 2w, 3w etc. Se presupune că acest semnal z(t), care trece prin partea liniară W l (jw), este filtrat de acesta în așa măsură încât în ​​semnalul de la ieșirea părții liniare y(t) toate armonicile superioare Y m 2 , Y m 3 și etc. si presupune ca

y(t)Y m 1 sin(wt +)

Ultima ipoteză se numește ipoteza filtrului, iar îndeplinirea acestei ipoteze este o condiție necesară pentru liniarizarea armonică.

Condiția de echivalență pentru circuitele prezentate în fig. 2.3, a și b, pot fi formulate ca o egalitate

x(t) + y(t) = 0(1)

Când ipoteza filtrului y(t) = Y m 1 sin(wt +) este îndeplinită, ecuația (1) se împarte în două

Ecuațiile (2) și (3) se numesc ecuații de echilibru armonic; primul dintre ele exprimă echilibrul amplitudinilor, iar al doilea - echilibrul fazelor oscilațiilor armonice.

Astfel, pentru ca oscilații armonice neamortizate să existe în sistemul luat în considerare, condițiile (2) și (3) trebuie îndeplinite dacă ipoteza filtrului este îndeplinită.

Să folosim metoda Goldfarb pentru soluția grafic-analitică a ecuației caracteristice a formei

W LCH (p) W NO (A) +1 = 0

W LCH (jw) W NO (A) = -1

Pentru o determinare aproximativă a auto-oscilațiilor se construiesc AFC-ul părții liniare a sistemului și caracteristica inversă negativă a elementului neliniar.

Pentru a construi AFC-ul părții liniare, transformăm diagrama bloc în forma din Fig. 2.4:

Ca rezultat al transformării, obținem schema din Fig. 2.5:

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Găsiți funcția de transfer a părții liniare a sistemului:

Să scăpăm de iraționalitatea la numitor prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul la numitor, obținem:

Să-l împărțim în părți imaginare și reale:

Pentru a construi caracteristica inversă negativă a unui element neliniar, folosim formula:

Parametrii de neliniaritate:

A este amplitudinea, cu condiția ca.

AFC-ul părții liniare a sistemului și caracteristica inversă negativă a elementului neliniar sunt prezentate în fig. 2.6:

Pentru a determina stabilitatea auto-oscilațiilor, folosim următoarea formulare: dacă punctul corespunzător amplitudinii crescute în comparație cu punctul de intersecție nu este acoperit de răspunsul în frecvență al părții liniare a sistemului, atunci auto-oscilațiile sunt stabile. . După cum se poate observa din Figura 2.6, soluția este stabilă, prin urmare, în sistem sunt stabilite auto-oscilații.

2.1 Să verificăm rezultatele calculului folosind modelarea structurală în programul MathLab.

Figura 2.7: Diagrama structurală

Procesul tranzitoriu cu o acțiune de intrare egală cu 1 (Fig. 2.8):

control automat armonic neliniar

După cum se poate observa din grafic, sunt stabilite auto-oscilații. Să verificăm influența neliniarității asupra stabilității sistemului.

2.2 Să investigăm influența acțiunii de intrare și a parametrilor de neliniaritate asupra dinamicii sistemului.

Să creștem semnalul de intrare la 100:

Să creștem semnalul de intrare la 270

Să reducem semnalul de intrare la 50:

Să creștem saturația la 200:

Reduceți saturația la 25:

Reduceți saturația la 10:

Rezultatele simulării nu au confirmat fără echivoc rezultatele calculului:

1) În sistem apar auto-oscilații, iar o modificare a saturației afectează amplitudinea oscilațiilor.

2) Odată cu creșterea acțiunii de intrare, valoarea semnalului de ieșire se modifică și sistemul tinde către o stare stabilă.

LISTA SURSELOR UTILIZATE:

1. Culegere de probleme privind teoria reglarii si controlului automat. Ed. V.A. Besekersky, ediția a cincea, revizuită. - M.: Nauka, 1978. - 512 p.

2. Teoria controlului automat. Partea a II-a. Teoria sistemelor neliniare și speciale de control automat. Ed. A.A. Voronova. Proc. indemnizație pentru universități. - M.: Mai sus. şcoală, 1977. - 288 p.

3. Topcheev Yu.I. Atlas pentru proiectarea sistemelor automate de control: manual. indemnizatie. ? M.: Mashinostroenie, 1989. ? 752 p.

Găzduit pe Allbest.ru

Documente similare

Sisteme neliniare descrise prin ecuații diferențiale neliniare. Metode de analiză a sistemelor neliniare: aproximare liniară pe bucăți, liniarizare armonică, plan de fază, liniarizare statistică. Folosind o combinație de metode.

rezumat, adăugat 21.01.2009


Analiza stabilității sistemului de control automat (ACS) după criteriul Nyquist. Investigarea stabilității ACS prin caracteristica amplitudine-fază-frecvență a AFC și prin caracteristicile logaritmice. Instrumente de control ale sistemului de urmărire a instrumentelor.

lucrare de termen, adăugată 11.11.2009


Analiza diagramei bloc a unui sistem de control automat dat. Condiții de bază pentru stabilitatea criteriului Hurwitz și Nyquist. Sinteza ca alegere a structurii și parametrilor sistemului pentru a îndeplini cerințele prestabilite. Conceptul de durabilitate.

lucrare de termen, adăugată 01.10.2013


Studiul modurilor sistemului de control automat. Determinarea funcției de transfer a unui sistem închis. Construirea caracteristicilor de amplitudine logaritmică și frecvență de fază. Sinteza sistemului „obiect-regulator”, calculul parametrilor optimi.

lucrare de termen, adăugată 17.06.2011


Proiectarea unui sistem de control automat servo închis, unidimensional, staționar, cu determinarea parametrilor unui dispozitiv corector care asigură cerințele specificate pentru calitatea reglementării. Analiza sistemului ținând cont de neliniaritatea PA.

lucrare de termen, adăugată 18.01.2011


Structura unui sistem de control automat continuu liniar închis. Analiza funcției de transfer a unui sistem cu feedback. Studiul sistemelor de control automat cu impuls liniar, liniar continuu și neliniar continuu.

test, adaugat 16.01.2011


Ecuații de relație ale diagramei bloc a ACS. Analiza unui sistem de control automat liniar continuu. Criterii de stabilitate. Indicatori ai calității proceselor tranzitorii în simularea pe calculator. Sinteza unui dispozitiv corectiv secvenţial.

test, adaugat 19.01.2016


Proiectarea unei scheme bloc a unui servomotor cu releu electromecanic. Compilarea ecuațiilor diferențiale ale unui sistem de control automat neliniar închis, construcția portretului său de fază. Linearizarea armonică a neliniarității.

lucrare de termen, adăugată 26.02.2014


Sisteme de control automat discret ca sisteme care conțin elemente care convertesc un semnal continuu într-unul discret. Elementul de impuls (IE), descrierea sa matematică. Sistem automat de control digital, metode de calcul al acestuia.

rezumat, adăugat 18.08.2009


Efectuarea sintezei și analizei sistemului de control automat servo folosind LAFC și LPFC. Determinarea tipurilor de legături ale funcțiilor de transfer ale sistemului și stabilitatea parametrilor de limită. Calculul caracteristicilor statistice și logaritmice ale sistemului.

Prezența neliniarităților în sistemele de control duce la descrierea unui astfel de sistem prin ecuații diferențiale neliniare, adesea de ordin suficient de ridicat. După cum se știe, majoritatea grupurilor de ecuații neliniare nu pot fi rezolvate într-o formă generală și se poate vorbi doar despre cazuri particulare de soluție, prin urmare, în studiul sistemelor neliniare, diferite metode aproximative joacă un rol important.

Prin intermediul metodelor aproximative pentru studierea sistemelor neliniare, este imposibil, de regulă, să se obțină o idee suficient de completă a tuturor proprietăților dinamice ale sistemului. Cu toate acestea, ele pot fi folosite pentru a răspunde la o serie de întrebări esențiale separate, cum ar fi problema stabilității, prezența auto-oscilațiilor, natura oricăror regimuri particulare etc.

În prezent, există un număr mare de metode analitice și grafic-analitice diferite pentru studierea sistemelor neliniare, printre care se numără metodele de plan de fază, potrivire, transformări punctuale, liniarizare armonică, metoda directă a lui Lyapunov, metode de frecvență pentru studiul stabilității absolute a lui Popov, metode pentru studiul sistemelor neliniare pe modele electronice și calculatoare.

Scurtă descriere a unora dintre metodele enumerate.

Metoda planului de fază este precisă, dar are o aplicație limitată, deoarece este practic inaplicabilă pentru sistemele de control, a căror descriere nu poate fi redusă la controale de ordinul doi.

Metoda liniarizării armonice se referă la metode aproximative, nu are restricții în ordinea ecuațiilor diferențiale. Când se aplică această metodă, se presupune că există oscilații armonice la ieșirea sistemului, iar partea liniară a sistemului de control este un filtru trece-înalt. În cazul filtrării slabe a semnalelor de către partea liniară a sistemului, atunci când se utilizează metoda liniarizării armonice, trebuie luate în considerare armonicile superioare. Acest lucru complică analiza stabilității și calității proceselor de control ale sistemelor neliniare.

A doua metodă Lyapunov permite obținerea doar a unor condiții suficiente de stabilitate. Și dacă pe baza acesteia se determină instabilitatea sistemului de control, atunci, în unele cazuri, pentru a verifica corectitudinea rezultatului obținut, este necesar să se înlocuiască funcția Lyapunov cu alta și să se efectueze din nou analiza de stabilitate. În plus, nu există metode generale pentru determinarea funcției Lyapunov, ceea ce face dificilă aplicarea acestei metode în practică.

Criteriul de stabilitate absolută permite să se analizeze stabilitatea sistemelor neliniare folosind caracteristicile de frecvență, ceea ce reprezintă un mare avantaj al acestei metode, deoarece combină aparatul matematic al sistemelor liniare și neliniare într-un singur întreg. Dezavantajele acestei metode includ complicarea calculelor în analiza stabilității sistemelor cu o parte liniară instabilă. Prin urmare, pentru a obține rezultatul corect asupra stabilității sistemelor neliniare, trebuie să folosiți diverse metode. Și numai coincidența unor rezultate diferite va face posibilă evitarea judecăților eronate cu privire la stabilitatea sau instabilitatea sistemului de control automat proiectat.

Capitol7

Analiza sistemelor neliniare

Sistemul de control constă din elemente funcționale individuale, pentru descrierea matematică a cărora sunt utilizate legăturile elementare tipice (vezi Secțiunea 1.4). Printre legăturile elementare tipice, există o legătură inerțială (de întărire). Caracteristica statică a unei astfel de legături, conectând intrarea Xși zi liberă y magnitudine, liniară: y=Kx. Elementele funcționale reale ale sistemului de control au o caracteristică statică neliniară y=f(X). Tip de dependență neliniară f(∙) poate fi variat:

Funcții cu pantă variabilă (funcții cu efect de „saturație”, funcții trigonometrice etc.);

Funcții liniare pe bucăți;

funcțiile releului.

Cel mai adesea, trebuie să se țină cont de neliniaritatea caracteristicii statice a elementului de detectare a sistemului de control, adică. neliniaritatea caracteristicii de discriminare. De obicei, se străduiesc să asigure funcționarea sistemului de control în secțiunea liniară a caracteristicii discriminatorii (dacă forma funcției o permite). f(∙)) și folosiți modelul liniar y=Kx. Uneori, acest lucru nu poate fi asigurat din cauza valorilor mari ale componentelor dinamice și de fluctuație ale erorii CS sau din cauza așa-numitei neliniarități semnificative a funcției f(∙) inerente, de exemplu, în funcțiile releului. Apoi este necesar să se efectueze o analiză a sistemului de control, ținând cont de legăturile care au o caracteristică statică neliniară, i.e. pentru a analiza sistemul neliniar.

7.1. Caracteristicile sistemelor neliniare

Procesele din sistemele neliniare sunt mult mai diverse decât procesele din sistemele liniare. Să notăm câteva caracteristici ale sistemelor și proceselor neliniare din ele.

1. Principiul suprapunerii nu este îndeplinit: reacția unui sistem neliniar nu este egală cu suma reacțiilor la influențele individuale. De exemplu, un calcul independent al componentelor dinamice și de fluctuație ale erorii de urmărire, efectuat pentru sisteme liniare (vezi Secțiunea 3), este imposibil pentru sistemele neliniare.

2. Proprietatea comutativității nu este aplicabilă diagramei bloc a unui sistem neliniar (legăturile liniare și neliniare nu pot fi interschimbate).

3. În sistemele neliniare, condițiile de stabilitate și însuși conceptul de stabilitate se modifică. Comportarea sistemelor neliniare, din punct de vedere al stabilității lor, depinde de impact și de condițiile inițiale. În plus, un nou tip de proces constant este posibil într-un sistem neliniar - auto-oscilații cu amplitudine și frecvență constante. Astfel de auto-oscilații, în funcție de amplitudinea și frecvența lor, pot să nu perturbe performanța sistemului de control neliniar. Prin urmare, sistemele neliniare nu mai sunt împărțite în două clase (stabile și instabile), ca sisteme liniare, ci sunt împărțite în mai multe clase.

Pentru sistemele neliniare, matematicianul rus A.M. Lyapunov în 1892 a introdus conceptele de stabilitate „în mic” și „în mare”: sistemul este stabil „în mic” dacă, pentru o abatere (suficient de mică) de la punctul de echilibru stabil, acesta rămâne într-un anumit punct. regiunea (limitată) ε, iar sistemul este stabil „mare” dacă rămâne în regiunea lui ε pentru orice abatere de la punctul de echilibru stabil. Rețineți că regiunea ε poate fi setată în mod arbitrar mic în apropierea punctului de echilibru stabil; prin urmare, dat în Sec. 2, definiția stabilității sistemelor liniare rămâne valabilă și este echivalentă cu definiția stabilității asimptotice în sensul lui Lyapunov. În același timp, criteriile de stabilitate pentru sistemele liniare considerate mai devreme pentru sistemele neliniare reale ar trebui luate ca criterii de stabilitate „în mic”.

4. Procesele tranzitorii se modifică calitativ în sistemele neliniare. De exemplu, în cazul funcției f(∙) cu o abrupție variabilă într-un sistem neliniar de ordinul I, procesul tranzitoriu este descris printr-un exponențial cu un parametru în schimbare T.

5. Deschiderea limitată a caracteristicii discriminatorii a sistemului neliniar este cauza perturbării urmăririi (sistemul este stabil „în mic”). În acest caz, este necesar să căutați un semnal și să introduceți sistemul în modul de urmărire (conceptul de contor de căutare-urmărire este prezentat în Secțiunea 1.1). În sistemele de sincronizare cu o caracteristică de discriminare periodică, sunt posibile salturi în valoarea de ieșire.

Prezența caracteristicilor considerate ale sistemelor neliniare duce la necesitatea utilizării unor metode speciale pentru analiza unor astfel de sisteme. Sunt luate în considerare următoarele:

O metodă bazată pe rezolvarea unei ecuații diferențiale neliniare și care permite, în special, determinarea erorii în starea staționară, precum și a benzilor de captare și reținere ale sistemului PLL neliniar;

Metode de liniarizare armonică și statistică, convenabile în analiza sistemelor cu element esențial neliniar;

Metode de analiză și optimizare a sistemelor neliniare bazate pe rezultatele teoriei proceselor Markov.

7.2. Analiza proceselor regulate într-un sistem PLL neliniar