Care este metoda statisticii matematice. Metode de statistică matematică. diagramă circulară - reprezentarea grafică a frecvențelor de date pentru clasele nominale utilizând sectoarele unui cerc, ale căror arii sunt direct proporționale cu frecvențele claselor
47. Statistica matematică, metodele sale. Principalele etape ale muncii statistice.
Statistica matematică este o disciplină științifică, subiectul căreia este dezvoltarea metodelor de înregistrare, descriere și analiză a datelor statistice experimentale obținute ca urmare a observațiilor fenomenelor masive aleatorii.
Sarcinile principale statistici matematice sunteți:
determinarea legii distribuției unei variabile aleatoare sau a unui sistem de variabile aleatoare;
testarea plauzibilității ipotezelor;
determinarea parametrilor de distribuție necunoscuți.
Toate metodele de statistică matematică se bazează pe teoria probabilității. Cu toate acestea, datorită specificității problemelor rezolvate, statisticile matematice se remarcă din teoria probabilității într-un câmp independent. Dacă în teoria probabilității modelul fenomenului este considerat dat și se calculează cursul real posibil al acestui fenomen (Fig. 1), atunci în statistica matematică se selectează un model teoretic-probabilistic adecvat pe baza datelor statistice (Fig. 2).
Fig. 1. Problema generală a teoriei probabilității
Fig. 2. Problema generală a statisticii matematice
Ca disciplină științifică, statisticile matematice s-au dezvoltat împreună cu teoria probabilității. Aparatul matematic al acestei științe a fost construit în a doua jumătate a secolului al XIX-lea.
Principalele etape ale muncii statistice.
Orice studiu statistic constă în 3 etape principale:
colecția este o observație masivă organizată științific, prin care se obțin informații primare despre fapte individuale (unități) ale fenomenului studiat. Această contabilitate statistică a unui număr mare sau a tuturor unităților incluse în fenomenul studiat este o bază de informații pentru generalizări statistice, pentru formularea concluziilor despre fenomenul sau procesul studiat;
grupare și rezumat. Aceste date sunt înțelese ca distribuirea unui set de fapte (unități) în grupuri și subgrupuri omogene, numărul final pentru fiecare grup și subgrup și prezentarea rezultatelor obținute sub forma unui tabel statistic;
prelucrare și analiză. Analiza statistică încheie etapa cercetării statistice. Conține prelucrarea datelor statistice care au fost obținute în timpul rezumatului, interpretarea rezultatelor obținute pentru a obține concluzii obiective despre starea fenomenului studiat și tiparele dezvoltării acestuia.
48. Populația generală și eșantionul. Metode de eșantionare
Populația generală (în engleză - populație) - totalitatea tuturor obiectelor (unităților), despre care omul de știință intenționează să tragă concluzii atunci când studiază o anumită problemă.
Populația generală este formată din toate obiectele care pot fi studiate. Compoziţie populația generală depinde de obiectivele studiului. Uneori populația generală este întreaga populație dintr-o anumită regiune (de exemplu, când se studiază atitudinea potențialilor alegători față de un candidat), cel mai adesea sunt stabilite mai multe criterii care determină obiectul cercetării. De exemplu, bărbații cu vârsta cuprinsă între 30 și 50 de ani care folosesc o anumită marcă de ras cel puțin o dată pe săptămână și au un venit de cel puțin 100 USD pentru fiecare membru al familiei.
Eșantion sau eșantion de populație - un set de cazuri (subiecți, obiecte, evenimente, eșantioane), utilizând o anumită procedură, selectată din populația generală pentru a participa la studiu.
Caracteristicile probei:
Caracteristicile calitative ale eșantionului - pe cine alegem exact și ce metode de construire a eșantionului folosim pentru aceasta
Caracteristicile cantitative ale eșantionului - câte cazuri selectăm, cu alte cuvinte, dimensiunea eșantionului.
Necesitatea eșantionării
Obiectul cercetării este foarte extins. De exemplu, consumatorii produselor unei companii globale sunt un număr mare de piețe dispersate geografic.
Este necesară colectarea informațiilor primare.
Marime de mostra
Dimensiunea eșantionului - numărul de cazuri incluse în eșantion. Din motive statistice, se recomandă ca numărul cazurilor să fie de cel puțin 30 - 35.
Metode de eșantionare de bază
Eșantionarea se bazează în principal pe cunoașterea schemei de eșantionare, care este înțeleasă ca o listă a tuturor unităților populației, din care sunt selectate unitățile de eșantionare. De exemplu, dacă considerăm toate atelierele de service auto din orașul Moscova ca un agregat, atunci trebuie să avem o listă a acestor ateliere, considerate ca un contur în cadrul căruia se formează eșantionul.
Conturul de eșantionare conține inevitabil o eroare numită eroare de contur de eșantionare, care caracterizează gradul de abatere de la dimensiunea reală a populației. Evident, nu există o listă oficială completă a tuturor magazinelor de service auto din Moscova. Cercetătorul ar trebui să informeze clientul despre lucrări cu privire la mărimea erorii de contur de eșantionare.
La formarea eșantionului, se utilizează metode probabilistice (aleatorii) și improbabile (non-aleatorii).
Dacă toate unitățile eșantionului au o șansă cunoscută (probabilitate) de a fi incluse în eșantion, atunci eșantionul se numește probabilistic. Dacă această probabilitate este necunoscută, atunci eșantionul este numit improbabil. Din păcate, în majoritatea cercetărilor de marketing, datorită imposibilității de a determina cu exactitate dimensiunea populației, nu este posibil să se calculeze cu precizie probabilitățile. Prin urmare, termenul „probabilitate cunoscută” se bazează pe utilizarea unor tehnici de eșantionare specifice, mai degrabă decât pe cunoașterea mărimii exacte a populației.
Metodele probabilistice includ:
selecție aleatorie simplă;
selecție sistematică;
selectarea clusterelor;
selecție stratificată.
Metode improbabile:
selecție bazată pe principiul comodității;
selecție bazată pe judecăți;
prelevarea de probe în timpul anchetei;
eșantionarea pe baza cotelor.
Semnificația metodei de selecție bazată pe principiul comodității constă în faptul că formarea eșantionului se realizează în modul cel mai convenabil din punctul de vedere al cercetătorului, de exemplu, din punctul de vedere al cheltuielilor minime de timp și efort, din punctul de vedere al disponibilității respondenților. Alegerea locului de cercetare și a compoziției eșantionului se face subiectiv, de exemplu, sondajul clienților se efectuează într-un magazin cel mai apropiat de locul de reședință al cercetătorului. Evident, mulți membri ai populației nu participă la sondaj.
Formarea unui eșantion pe baza judecății se bazează pe utilizarea opiniei specialiștilor calificați, experți cu privire la compoziția eșantionului. Focus grupuri se formează adesea pe baza acestei abordări.
Eșantionarea în procesul sondajului se bazează pe extinderea numărului de respondenți pe baza propunerilor respondenților care au luat deja parte la sondaj. Inițial, cercetătorul formează un eșantion mult mai mic decât este necesar pentru studiu, apoi se extinde pe măsură ce se realizează.
Formarea unui eșantion pe baza cotelor (selectarea cotelor) presupune o determinare preliminară, pe baza obiectivelor studiului, a numărului de grupuri de respondenți care îndeplinesc anumite cerințe (atribute). De exemplu, în scopuri de cercetare, sa decis ca cincizeci de bărbați și cincizeci de femei să fie intervievați într-un magazin universal. Intervievatorul efectuează un sondaj până când alege o cotă stabilită.
Metode de statistică matematică
1. Introducere
Statistica matematică este o știință care dezvoltă metode pentru obținerea, descrierea și prelucrarea datelor experimentale în scopul studierii modelelor fenomenelor de masă aleatorii.
În statisticile matematice, se pot distinge două domenii: statisticile descriptive și statisticile inductive (inferența statistică). Statistica descriptivă se referă la acumularea, sistematizarea și prezentarea datelor experimentale într-o formă convenabilă. Statisticile inductive bazate pe aceste date permit să se tragă anumite concluzii despre obiectele despre care sunt colectate datele sau estimări ale parametrilor acestora.
Domeniile tipice ale statisticii matematice sunt:
1) teoria eșantionării;
2) teoria estimărilor;
3) testarea ipotezelor statistice;
4) analiza de regresie;
5) analiza varianței.
Statistica matematică se bazează pe o serie de concepte de bază fără de care este imposibil de studiat metode moderne prelucrarea datelor experimentale. Printre primele dintre ele se numără conceptul de populație generală și eșantion.
În producția industrială de masă, este adesea necesar, fără a verifica fiecare produs fabricat, să se stabilească dacă calitatea produsului îndeplinește standardele. Deoarece numărul de produse fabricate este foarte mare sau verificarea produselor este asociată cu inutilizarea acestuia, se verifică un număr mic de produse. Pe baza acestei verificări, trebuie făcută o concluzie asupra întregii serii de produse. Desigur, nu puteți spune că toate tranzistoarele dintr-un lot de 1 milion de bucăți sunt bune sau rele verificând unul dintre ele. Pe de altă parte, deoarece procesul de eșantionare pentru testare și testarea în sine pot fi consumatoare de timp și costisitoare, scopul verificării produsului ar trebui să fie astfel încât să poată oferi o reprezentare fiabilă a întregului lot de produse, având în același timp dimensiunea minimă. În acest scop, vom introduce o serie de concepte.
Întregul set de obiecte studiate sau date experimentale se numește populație generală. Vom nota cu N numărul de obiecte sau cantitatea de date care alcătuiesc populația generală. Valoarea N se numește volumul populației generale. Dacă N \u003e\u003e 1, adică N este foarte mare, atunci N \u003d ¥ este de obicei luat în considerare.
Un eșantion aleatoriu sau pur și simplu un eșantion este o parte a populației generale, selectată aleatoriu din acesta. Cuvântul „la întâmplare” înseamnă că probabilitățile de a alege orice obiect din populația generală sunt aceleași. Aceasta este o presupunere importantă, cu toate acestea, este adesea dificil să o testați în practică.
Dimensiunea eșantionului este numărul de obiecte sau cantitatea de date care alcătuiesc eșantionul și este n ... În cele ce urmează, vom presupune că elementelor eșantionului li se pot atribui, respectiv, valori numerice x 1, x 2, ... x n. De exemplu, în procesul de control al calității tranzistoarelor bipolare fabricate, acesta poate măsura câștigul de curent continuu al acestora.
2. Caracteristicile numerice ale eșantionului
2.1 Media eșantionului
Pentru un eșantion specific de mărime n, eșantionul mediu al acestuia
este determinată de raportunde x i este valoarea elementelor eșantion. De obicei, doriți să descrieți proprietățile statistice ale eșantioanelor aleatorii și nu una dintre ele. Aceasta înseamnă că se are în vedere un model matematic, care presupune un număr suficient de mare de eșantioane de mărimea n. În acest caz, elementele eșantionului sunt considerate variabile aleatoare X i, luând valori x i cu densitatea probabilității f (x), care este densitatea probabilității populației generale. Apoi, media eșantionului este, de asemenea, o variabilă aleatorie
egalLa fel ca înainte, vom indica variabile aleatoare cu majuscule, iar valorile variabilelor aleatoare - cu litere mici.
Valoarea medie a populației generale din care este realizat eșantionul va fi numită medie generală și notată cu m x. Se poate aștepta ca, dacă dimensiunea eșantionului este semnificativă, atunci media eșantionului nu va diferi semnificativ de media generală. Deoarece media eșantionului este o variabilă aleatorie, așteptarea matematică poate fi găsită pentru aceasta:
Astfel, așteptarea matematică a mediei eșantion este egală cu media generală. În acest caz, se consideră că media eșantionului este estimarea imparțială a mediei generale. Vom reveni la acest termen mai târziu. Deoarece media eșantionului este o variabilă aleatorie care fluctuează în jurul mediei generale, este de dorit să se estimeze această fluctuație utilizând varianța mediei eșantionului. Luați în considerare un eșantion a cărui dimensiune n este semnificativ mai mică decât dimensiunea populației generale N (n<< N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда
Variabilele aleatoare X i și X j (i¹j) pot fi considerate independente, prin urmare,
Înlocuiți acest rezultat în formula varianței:
unde s 2 este varianța populației generale.
Din această formulă rezultă că, odată cu creșterea dimensiunii eșantionului, fluctuațiile eșantionului înseamnă în jurul scăderii medii generale ca s 2 / n. Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu. Fie un semnal aleatoriu cu așteptare matematică și, respectiv, varianță, egală cu m x \u003d 10, s 2 \u003d 9.
Probele de semnal sunt preluate la timpi echidistanți t 1, t 2, ...,
X (t) X 1
t 1 t 2. ... ... t n t
Deoarece eșantioanele sunt variabile aleatorii, le vom nota cu X (t 1), X (t 2) ,. ... ... , X (t n).
Să determinăm numărul de numărări astfel încât abaterea standard a estimării așteptării matematice a semnalului să nu depășească 1% din așteptarea sa matematică. Deoarece m x \u003d 10, este necesar ca
Pe de altă parte, prin urmare, sau din aceasta obținem că n ³ 900 de probe.2.2 Varianța eșantionului
Pentru datele eșantionului, este important să se cunoască nu numai media eșantionului, ci și răspândirea valorilor eșantionului în jurul eșantionului mediu. Dacă media eșantionului este o estimare a mediei generale, atunci varianța eșantionului ar trebui să fie o estimare a varianței generale. Varianța eșantionului
pentru un eșantion format din variabile aleatorii se determină după cum urmează
Folosind această reprezentare a varianței eșantionului, găsim așteptarea sa matematică
* Această lucrare nu este o lucrare științifică, nu este o lucrare finală de calificare și este rezultatul procesării, structurării și formatării informațiilor colectate destinate utilizării ca sursă de material pentru auto-pregătirea muncii educaționale.
Introducere.
Referințe.
Metode de statistică matematică
Introducere.
Concepte de bază ale statisticii matematice.
Prelucrarea statistică a rezultatelor cercetării psihologice și pedagogice.
Referințe.
Metode de statistică matematică
Introducere.
Concepte de bază ale statisticii matematice.
Prelucrarea statistică a rezultatelor cercetării psihologice și pedagogice.
Referințe.
Introducere.
Aplicarea matematicii la alte științe are sens doar împreună cu o teorie profundă a unui fenomen specific. Este important să ne amintim acest lucru pentru a nu ne pierde într-un simplu joc de formule, în spatele căruia nu există un conținut real.
Academicianul Yu.A. Mitropolit
Metodele teoretice de cercetare în psihologie și pedagogie fac posibilă dezvăluirea caracteristicilor calitative ale fenomenelor studiate. Aceste caracteristici vor fi mai complete și mai profunde dacă materialul empiric acumulat este supus unei prelucrări cantitative. Cu toate acestea, problema măsurătorilor cantitative în cadrul cercetării psihologice și pedagogice este foarte complexă. Această complexitate rezidă în primul rând în diversitatea subiectiv-cauzală a activității pedagogice și a rezultatelor acesteia, chiar în obiectul măsurării, care se află într-o stare de mișcare și schimbare continuă. În același timp, introducerea indicatorilor cantitativi în studiu astăzi este o componentă necesară și obligatorie a obținerii de date obiective cu privire la rezultatele muncii pedagogice. De regulă, aceste date pot fi obținute atât prin măsurarea directă sau indirectă a diferitelor componente ale procesului pedagogic, cât și prin evaluarea cantitativă a parametrilor corespunzători ai modelului său matematic construit în mod adecvat. În acest scop, în studiul problemelor de psihologie și pedagogie, se folosesc metode de statistică matematică. Cu ajutorul lor, sunt rezolvate diverse sarcini: prelucrarea materialelor de fapt, obținerea de date noi, suplimentare, fundamentarea organizării științifice a cercetării și altele.
2. Concepte de bază ale statisticii matematice
Un rol extrem de important în analiza multor fenomene psihologice și pedagogice îl joacă valorile medii, care sunt o caracteristică generalizată a unei populații omogene calitativ pe baza unui anumit criteriu cantitativ. Este imposibil, de exemplu, să se calculeze specialitatea secundară sau naționalitatea medie a studenților, deoarece acestea sunt fenomene calitativ eterogene. Dar este posibil și necesar să se determine, în medie, caracteristicile numerice ale performanței lor academice (scor mediu), eficacitatea sistemelor și tehnicilor metodologice etc.
În cercetarea psihologică și pedagogică, se folosesc de obicei diferite tipuri de medii: media aritmetică, media geometrică, mediana, moda și altele. Cele mai frecvente sunt media aritmetică, mediana și modul.
Media aritmetică este utilizată în cazurile în care există o relație direct proporțională între proprietatea definitorie și atributul dat (de exemplu, cu o îmbunătățire a performanței unui grup de studiu, performanța fiecăruia dintre membrii săi se îmbunătățește).
Media aritmetică este coeficientul împărțirii sumei cantităților la numărul lor și se calculează cu formula:
unde X este media aritmetică; X1, X2, X3 ... Xn - rezultatele observațiilor individuale (tehnici, acțiuni),
n este numărul de observații (tehnici, acțiuni),
Suma rezultatelor tuturor observațiilor (tehnici, acțiuni).
Mediană (Me) este o măsură a poziției medii care caracterizează valoarea unei caracteristici pe o scară ordonată (construită pe baza creșterii sau descreșterii), care corespunde cu mijlocul populației studiate. Mediana poate fi determinată pentru caracteristicile ordinale și cantitative. Locația acestei valori este determinată de formula: Locația medianei \u003d (n + 1) / 2
De exemplu. Studiul a constatat că:
- 5 persoane din participarea la studiul experimentului cu note excelente;
- 18 persoane studiază „bine”;
- pentru „satisfăcător” - 22 de persoane;
- „nesatisfăcător” - 6 persoane.
Deoarece N \u003d 54 de persoane au luat parte la experiment, mijlocul eșantionului este egal cu oamenii. Prin urmare, se concluzionează că mai mult de jumătate dintre elevi studiază sub nota „bun”, adică mediana este mai „satisfăcătoare”, dar mai mică decât „bună” (vezi figura).
Modul (Mo) este cea mai comună valoare tipică a unei caracteristici, printre alte valori. Corespunde clasei cu frecvența maximă. Această clasă se numește valoare modală.
De exemplu.
Dacă la întrebarea chestionarului: „indicați gradul de competență într-o limbă străină”, răspunsurile au fost distribuite:
1 - vorbește fluent - 25
2 - Vorbesc suficient pentru a comunica - 54
3 - Știu cum, dar am dificultăți de comunicare - 253
4 - Nu înțeleg cu greu - 173
5 - nu vorbi - 28
Evident, sensul cel mai tipic aici este „Am, dar am dificultăți de comunicare”, care va fi modal. Deci, modificarea este - 253.
Atunci când se utilizează metode matematice în cercetarea psihologică și pedagogică, se acordă o mare importanță calculului varianței și abaterilor rădăcină-medie-pătrat (standard).
Varianța este egală cu pătratul mediu al abaterilor valorii variantelor față de medie. Acționează ca una dintre caracteristicile rezultatelor individuale ale dispersiei valorilor variabilei studiate (de exemplu, evaluările elevilor) în jurul mediei. Calculul varianței se efectuează prin determinarea: abaterii de la medie; pătratul abaterii specificate; suma pătratelor abaterii și valoarea medie a pătratului abaterii (a se vedea tabelul 6.1).
Valoarea varianței este utilizată în diferite calcule statistice, dar nu este direct observabilă. Cantitatea direct legată de conținutul variabilei observate este abaterea standard.
Tabelul 6.1
Exemplu de calcul al varianței
|
Valoare indicator |
Deviere din medie |
abateri |
|
|
2 – 3 = – 1 |
|||
Abaterea pătrată medie confirmă tipicitatea și exponențialitatea mediei aritmetice, reflectă măsurarea fluctuațiilor în valorile numerice ale caracteristicilor, din care se derivă valoarea medie. Este egal cu rădăcina pătrată a varianței și este determinată de formula:
unde: - rădăcină înseamnă pătrat. Cu un număr mic de observații (acțiuni) - mai puțin de 100 - în valoarea formulei ar trebui să fie pus nu „N”, ci „N - 1”.
Media aritmetică și media pătrată sunt principalele caracteristici ale rezultatelor obținute în timpul studiului. Acestea ne permit să generalizăm datele, să le comparăm, să stabilim avantajele unui sistem (program) psihologic și pedagogic față de altul.
Abaterea pătrată medie (standard) a rădăcinii este utilizată pe scară largă ca măsură de dispersie pentru diferite caracteristici.
La evaluarea rezultatelor studiului, este important să se determine dispersia unei variabile aleatorii în jurul mediei. Această împrăștiere este descrisă folosind legea lui Gauss (legea distribuției normale a probabilității unei variabile aleatorii). Esența legii este că, atunci când se măsoară o anumită trăsătură într-un anumit set de elemente, există întotdeauna abateri în ambele direcții de la normă din cauza unei varietăți de motive incontrolabile și, cu cât abaterile sunt mai mari, cu atât apar mai rar.
O prelucrare ulterioară a datelor poate dezvălui: coeficient de variație (stabilitate) fenomenul studiat, care este procentul abaterii standard față de media aritmetică; măsură de oblicitate, arătând în ce direcție este direcționat numărul predominant de abateri; măsură de răcoare, care arată gradul de acumulare a valorilor unei variabile aleatorii în jurul mediei etc. Toate aceste date statistice ajută la identificarea mai completă a semnelor fenomenelor studiate.
Măsuri de cuplare între variabile. Se numesc relații (dependențe) între două sau mai multe variabile din statistici corelație. Se estimează utilizând valoarea coeficientului de corelație, care este o măsură a gradului și magnitudinii acestei relații.
Există mulți coeficienți de corelație. Să luăm în considerare doar o parte din ele care ia în considerare prezența unei relații liniare între variabile. Alegerea lor depinde de scalele de măsurare a variabilelor, relația dintre care trebuie evaluată. Cei mai des folosiți în psihologie și pedagogie sunt coeficienții Pearson și Spearman.
Să luăm în considerare calculul valorilor coeficienților de corelație folosind exemple specifice.
Exemplul 1. Să se măsoare două variabile comparabile X (starea civilă) și Y (excluderea din universitate) pe o scară dihotomică (un caz special al scării de denumire). Pentru a determina relația, folosim coeficientul Pearson.
În cazurile în care nu este necesar să se calculeze frecvența de apariție a diferitelor valori ale variabilelor X și Y, este convenabil să se calculeze coeficientul de corelație folosind un tabel de contingență (a se vedea tabelele 6.2, 6.3, 6.4), care arată numărul de apariții comune de perechi de valori pentru două variabile (caracteristici) ... A - numărul de cazuri când variabila X are o valoare egală cu zero și, în același timp, variabila Y are o valoare egală cu una; B - numărul de cazuri când variabilele X și Y au simultan valori egale cu una; С - numărul de cazuri în care variabilele X și Y au simultan valori egale cu zero; D - numărul de cazuri când variabila X are o valoare egală cu una și, în același timp, variabila Y are o valoare egală cu zero.
Tabelul 6.2
Tabelul general de urgență
|
Caracteristica X |
||||
În general, formula pentru coeficientul de corelație al lui Pearson pentru datele dihotomice este
Tabelul 6.3
Exemple de date la o scară dihotomică
Să înlocuim datele din tabelul de contingență (vezi Tabelul 6.4), corespunzător exemplului considerat, în formula:
Astfel, coeficientul de corelație Pearson pentru exemplul selectat este de 0,32, adică relația dintre starea civilă a studenților și faptele de excludere din universitate este nesemnificativă.
Exemplul 2. Dacă ambele variabile sunt măsurate pe scale de ordine, atunci coeficientul de corelație a rangului (Rs) al lui Spearman este utilizat ca măsură a relației. Se calculează după formula
unde Rs este coeficientul de corelație a rangului lui Spearman; Di este diferența dintre rândurile obiectelor comparate; N este numărul de obiecte comparate.
Valoarea coeficientului lui Spearman variază de la –1 la + 1. În primul caz, există o relație neechivocă, dar direcționată opus între variabilele analizate (cu o creștere a valorii uneia, valoarea celeilalte scade). În a doua, odată cu creșterea valorilor unei variabile, valoarea celei de-a doua variabile crește proporțional. Dacă valoarea lui R este egală cu zero sau are o valoare apropiată de ea, atunci nu există nicio relație semnificativă între variabile.
Ca exemplu de calcul al coeficientului Spearman, folosim datele din tabelul 6.5.
Tabelul 6.5
Date și rezultate intermediare la calcularea valorii coeficientului
corelarea rangului Rs
|
Calități |
Ranguri de experți |
Diferența de rang |
Diferența de rang la pătrat |
|
|
–1 |
||||
|
Suma pătratelor diferențelor de rang Di \u003d 22 |
Să înlocuim datele de exemplu în formula pentru coeficientul Smirman:
Rezultatele calculului ne permit să afirmăm prezența unei relații suficient de pronunțate între variabilele luate în considerare.
Testul statistic al unei ipoteze științifice. Dovada fiabilității statistice a influenței experimentale diferă semnificativ de cea din matematică și logica formală, unde concluziile sunt mai universale în natură: dovezile statistice nu sunt atât de stricte și finale - riscă întotdeauna să greșească în concluzii și, prin urmare, metodele statistice nu demonstrează în cele din urmă legitimitatea uneia sau alteia concluzie și se arată o măsură a probabilității de a accepta o anumită ipoteză.
O ipoteză pedagogică (o presupunere științifică despre avantajul unei anumite metode etc.) în procesul analizei statistice este tradusă în limbajul științei statistice și este formulată din nou, cel puțin sub forma a două ipoteze statistice. Primul (principal) se numește ipoteza nulă (H 0), în care cercetătorul vorbește despre poziția sa de plecare. El (a priori) declară că metoda nouă (asumată de el, colegii sau oponenții săi) nu are avantaje și, prin urmare, cercetătorul este gata psihologic să ia o poziție științifică cinstită: diferențele dintre metodele noi și cele vechi sunt declarate egale cu zero. In alt, ipoteză alternativă (H 1) se face o presupunere cu privire la avantajul noii metode. Uneori sunt prezentate mai multe ipoteze alternative cu desemnări adecvate.
De exemplu, ipoteza despre avantajul vechii metode (H 2). Ipotezele alternative sunt acceptate dacă și numai dacă ipoteza nulă este infirmată. Acest lucru se întâmplă în cazurile în care diferențele, de exemplu, în mijloacele aritmetice ale grupurilor experimentale și de control sunt atât de semnificative (semnificative statistic) încât riscul de eroare de a respinge ipoteza nulă și a accepta alternativa nu depășește una dintre cele trei acceptate niveluri de semnificație inferență statistică:
- primul nivel - 5% (în textele științifice uneori scriu p \u003d 5% sau a 0,05, dacă sunt prezentate în fracții), unde riscul de eroare în inferență este permis în cinci cazuri dintr-o sută de experimente similare teoretic posibile cu selecție strict aleatorie a subiecților pentru fiecare experiment;
- al doilea nivel - 1%, adică, în consecință, riscul de a face o greșeală este permis doar într-un singur caz dintr-o sută (a 0,01, cu aceleași cerințe);
- al treilea nivel - 0,1%, adică riscul de a face o greșeală este permis doar într-un singur caz la o mie (a? 0,001) Ultimul nivel de semnificație impune cerințe foarte ridicate pentru a justifica fiabilitatea rezultatelor experimentale și, prin urmare, este rar utilizat.
Atunci când se compară media aritmetică a grupurilor experimentale și de control, este important nu numai să se determine care medie este mai mare, ci și cu cât este mai mare. Cu cât diferența dintre ele este mai mică, cu atât va fi mai acceptabilă ipoteza nulă a absenței diferențelor semnificative statistic (de încredere). Spre deosebire de gândirea la nivelul conștiinței cotidiene, care este înclinată să perceapă diferența de mijloace obținute ca urmare a experienței ca un fapt și o bază pentru inferență, un profesor-cercetător familiarizat cu logica inferenței statistice nu se va grăbi în astfel de cazuri. Cel mai probabil, el va face o ipoteză cu privire la întâmplarea diferențelor, va prezenta o ipoteză nulă cu privire la absența diferențelor semnificative în rezultatele grupurilor experimentale și de control și numai după respingerea ipotezei nule va accepta alternativa.
Astfel, problema diferențelor în cadrul gândirii științifice este transferată pe un alt plan. Ideea nu constă doar în diferențe (ele există aproape întotdeauna), ci în amploarea acestor diferențe și, prin urmare, în determinarea diferenței și a limitei după care se poate spune: da, diferențele nu sunt accidentale, sunt semnificative statistic, ceea ce înseamnă că subiecții acestor două grupuri aparțin după experimentează nu mai mult la una (ca înainte), ci la două populații generale diferite și că nivelul de pregătire al elevilor care aparțin potențial acestor populații va diferi semnificativ. Pentru a arăta limitele acestor diferențe, așa-numitul estimări ale parametrilor generali.
Să vedem un exemplu specific (vezi Tabelul 6.6), cum folosind statistici matematice, puteți respinge sau confirma ipoteza nulă.
De exemplu, este necesar să se determine dacă eficacitatea activității de grup a elevilor depinde de nivelul de dezvoltare din grupul de studiu al relațiilor interumane. Ca ipoteză nulă, se sugerează că o astfel de dependență nu există și, ca alternativă, există o dependență. În aceste scopuri, sunt comparate rezultatele eficienței activității în două grupuri, dintre care unul în acest caz acționează ca unul experimental, iar celălalt ca unul de control. Pentru a determina dacă diferența dintre valorile medii ale indicatorilor de performanță în primul și în al doilea grup este semnificativă (semnificativă), este necesar să se calculeze semnificația statistică a acestei diferențe. Pentru aceasta, puteți utiliza testul t - Student. Se calculează după formula:
unde X 1 și X 2 - media aritmetică a variabilelor din grupele 1 și 2; М 1 și М 2 - valori ale erorilor medii, care sunt calculate prin formula:
unde este pătratul mediu, calculat prin formula (2).
Să determinăm erorile pentru primul rând (grup experimental) și al doilea rând (grupul de control):
Găsim valoarea t - criteriu după formula:
După calcularea valorii criteriului t, este necesar să se determine nivelul de semnificație statistică a diferențelor dintre indicatorii de performanță medii în grupurile experimentale și de control utilizând un tabel special. Cu cât valoarea criteriului t este mai mare, cu atât este mai mare semnificația diferențelor.
Pentru aceasta, se calculează t calculat cu t tabular. Valoarea tabelară este selectată luând în considerare nivelul de încredere selectat (p \u003d 0,05 sau p \u003d 0,01) și, de asemenea, în funcție de numărul de grade de libertate, care se găsește prin formula:
unde U este numărul de grade de libertate; N 1 și N 2 - numărul de măsurători în primul și al doilea rând. În exemplul nostru, U \u003d 7 + 7 –2 \u003d 12.
Tabelul 6.6
Date și rezultate intermediare la calcularea semnificației statisticilor
Diferențe în valorile medii
|
Grup experimental |
Grupul de control |
|||||
|
Valoarea performanței |
||||||
Pentru tabelul t - criteriu, constatăm că valoarea tabelului t. \u003d 3.055 pentru un nivel procentual (p
Cu toate acestea, profesorul-cercetător ar trebui să-și amintească că existența semnificației statistice a diferenței în valorile medii este un argument important, dar nu singurul, în favoarea prezenței sau absenței unei relații (dependență) între fenomene sau variabile. Prin urmare, este necesar să se implice alte argumente pentru o fundamentare cantitativă sau de fond a unei posibile conexiuni.
Metode de analiză a datelor multivariate. Analiza relației dintre un număr mare de variabile se efectuează folosind metode multivariate de prelucrare statistică. Scopul utilizării unor astfel de metode este de a face vizibile modelele ascunse, de a evidenția cele mai semnificative relații dintre variabile. Exemple de astfel de metode statistice multivariate sunt:
- analiza factorilor;
- analiza grupului;
- analiza variatiei;
- analiza regresiei;
- analiza structurală latentă;
- scalare multidimensională și altele.
Analiza factorilor este de a identifica și interpreta factorii. Un factor este o variabilă generalizată care vă permite să restrângeți o parte a informației, adică să o prezentați într-o formă convenabilă. De exemplu, teoria factorială a personalității identifică o serie de caracteristici generalizate ale comportamentului, care în acest caz se numesc trăsături de personalitate.
Analiza grupuluivă permite să evidențiați caracteristica principală și ierarhia relației de caracteristici.
Analiza variatiei - o metodă statistică utilizată pentru a studia una sau mai multe variabile care acționează simultan și variabile independente pentru variabilitatea trăsăturii observate. Particularitatea sa constă în faptul că trăsătura observată poate fi doar cantitativă, în același timp, trăsăturile explicative putând fi atât cantitative, cât și calitative.
Analiza regresiei vă permite să identificați dependența cantitativă (numerică) a valorii medii a modificărilor într-un atribut productiv (explicat) de la modificările unuia sau mai multor atribute (variabile explicative). De regulă, acest tip de analiză este utilizat atunci când este necesar să se afle cât de mult se modifică valoarea medie a unei caracteristici atunci când o altă caracteristică se schimbă cu una.
Analiza structurală latentă reprezintă un set de proceduri analitice și statistice pentru identificarea variabilelor ascunse (caracteristici), precum și structura internă a relațiilor dintre ele. Permite studierea manifestărilor de relații complexe cu caracteristici direct neobservabile ale fenomenelor socio-psihologice și pedagogice. Analiza latentă poate sta la baza modelării acestor relații.
Scalare multidimensională oferă o evaluare vizuală a asemănării sau diferenței dintre unele obiecte descrise de o mare varietate de variabile. Aceste diferențe sunt prezentate ca distanța dintre obiectele evaluate în spațiul multidimensional.
3. Prelucrarea statistică a rezultatelor psihologice și pedagogice
cercetare
În orice cercetare este întotdeauna important să se asigure masa și reprezentativitatea (reprezentativitatea) obiectelor de studiu. Pentru a rezolva această problemă, ei recurg de obicei la metode matematice de calcul al valorii minime a obiectelor (grupuri de respondenți) supuse cercetării, astfel încât să se poată trage concluzii obiective pe această bază.
Conform gradului de completitudine a acoperirii unităților primare, statisticile împart studiile în unele continue, atunci când sunt studiate toate unitățile fenomenului studiat și selectiv, dacă este studiată doar o parte a populației de interes, luate după un anumit criteriu. Cercetătorul nu are întotdeauna ocazia de a studia întregul set de fenomene, deși acest lucru ar trebui întotdeauna căutat (nu există suficient timp, fonduri, condiții necesare etc.); pe de altă parte, adesea nu este necesar un studiu continuu, deoarece concluziile vor fi destul de exacte după studierea unei anumite părți a unităților primare.
Baza teoretică a metodei selective de cercetare este teoria probabilității și legea numărului mare. Pentru ca studiul să aibă un număr suficient de fapte, observații, utilizați un tabel cu un număr suficient de mare. În acest caz, cercetătorul trebuie să stabilească magnitudinea probabilității și magnitudinea erorii admise. Să, de exemplu, eroarea permisă în concluziile care trebuie făcute ca urmare a observațiilor, în comparație cu ipotezele teoretice, nu trebuie să depășească 0,05 atât în \u200b\u200bdirecția pozitivă, cât și în cea negativă (cu alte cuvinte, ne putem înșela în cel mult 5 cazuri din 100). Apoi, conform tabelului cu numere suficient de mari (vezi Tabelul 6.7), constatăm că concluzia corectă se poate face în 9 cazuri din 10 când numărul de observații este de cel puțin 270, în 99 de cazuri din 100 cu cel puțin 663 de observații etc. Aceasta înseamnă că, odată cu creșterea preciziei și a probabilității cu care ne așteptăm să tragem concluzii, numărul observațiilor necesare crește. Cu toate acestea, în cercetarea psihologică și pedagogică, nu ar trebui să fie excesiv de mare. 300-500 de observații sunt adesea suficiente pentru concluzii solide.
Această metodă de determinare a mărimii eșantionului este cea mai simplă. Statistica matematică are, de asemenea, metode mai complexe pentru calcularea seturilor de eșantioane necesare, care sunt acoperite în detaliu în literatura specială.
Cu toate acestea, îndeplinirea cerințelor de caracter de masă nu asigură încă fiabilitatea concluziilor. Ele vor fi fiabile atunci când unitățile selectate pentru observare (conversații, experiment etc.) sunt suficient de reprezentative pentru clasa de fenomene studiată.
Tabelul 6.7
Un tabel scurt, cu numere suficient de mari
|
Cantitatea probabilități Permis |
||||||
Reprezentativitatea unităților de observare este asigurată în primul rând prin selectarea lor aleatorie folosind tabele de numere aleatorii. Să presupunem că este necesar să se determine 20 de grupuri de antrenament pentru efectuarea unui experiment de masă din cele 200 disponibile. Pentru aceasta, se întocmește o listă a tuturor grupurilor, care este numerotată. Apoi, 20 de numere sunt scrise din tabelul numerelor aleatorii, începând cu orice număr, la un anumit interval. Aceste 20 de numere aleatorii, în funcție de respectarea numerelor, determină grupurile de care cercetătorul are nevoie. O selecție aleatorie a obiectelor din populația generală (generală) oferă motive pentru a afirma că rezultatele obținute în studiul unui eșantion de populație de unități nu vor diferi brusc de cele care ar fi disponibile în cazul unui studiu al întregii populații de unități.
În practica cercetării psihologice și pedagogice, se utilizează nu numai selecții aleatorii simple, ci și metode de selecție mai complexe: selecție aleatorie stratificată, selecție în mai multe etape etc.
Metodele de cercetare matematică și statistică sunt, de asemenea, mijloace de obținere a unui nou material de fapt. În acest scop, se utilizează tehnici de modelare care măresc capacitatea informativă a chestionarului și scalarea, ceea ce face posibilă evaluarea mai precisă a acțiunilor atât ale cercetătorului, cât și ale subiecților.
Baremele au apărut din cauza necesității de a diagnostica și măsura obiectiv și precis intensitatea anumitor fenomene psihologice și pedagogice. Scalarea face posibilă ordonarea fenomenelor, cuantificarea fiecăruia dintre ele, determinarea etapelor inferioare și superioare ale fenomenului studiat.
Deci, atunci când studiați interesele cognitive ale ascultătorilor, puteți seta limitele lor: interes foarte mare - interes foarte slab. Introduceți o serie de pași între aceste limite care creează o scară de interese cognitive: interes foarte mare (1); mare interes (2); mediu (3); slab (4); foarte slab (5).
Scări de diferite tipuri sunt utilizate în cercetarea psihologică și pedagogică, de exemplu,
a) Scara tridimensională
Foarte activ …… .. ………… ..10
Activ ………………………… 5
Pasiv ... ... ………………… ... 0
b) Scara multidimensională
Foarte activ ………………… ..8
Intermediar ………………… .6
Nu prea activ ………… ... 4
Pasiv ……………………… ..2
Complet pasiv ………… ... 0
c) Scară pe două fețe.
Foarte interesat de …………… ..10
Destul de interesat de ……… ... 5
Indiferent ……………………… .0
Nu mă interesează ………………… ..5
Niciun interes ... 10
Scările numerice de evaluare conferă fiecărui articol o desemnare numerică specifică. Deci, atunci când analizăm atitudinea elevilor față de învățare, perseverența lor în muncă, disponibilitatea de a coopera etc. puteți întocmi o scară numerică pe baza următorilor indicatori: 1 - nesatisfăcător; 2 - slab; 3 - mediu; 4 este peste medie, 5 este mult peste medie. În acest caz, scara ia următoarea formă (a se vedea tabelul 6.8):
Tabelul 6.8
Dacă scara numerică este bipolară, ordonarea bipolară este utilizată cu o valoare zero în centru:
Disciplina Indisciplina
Pronunțat 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Nu se pronunță
Scalele de notare pot fi reprezentate grafic. În acest caz, ele exprimă categoriile într-un mod vizual. Mai mult, fiecare diviziune (pas) a scalei este caracterizată verbal.
Metodele luate în considerare joacă un rol important în analiza și generalizarea datelor obținute. Acestea ne permit să stabilim diverse relații, corelații între fapte, să identificăm tendințe în dezvoltarea fenomenelor psihologice și pedagogice. Deci, teoria grupărilor de statistici matematice ajută la determinarea faptelor din materialul empiric colectat care sunt comparabile, pe ce bază să le grupăm corect, ce grad de fiabilitate vor fi. Toate acestea fac posibilă evitarea manipulărilor arbitrare cu fapte și definirea unui program pentru prelucrarea lor. În funcție de obiective și obiective, se folosesc de obicei trei tipuri de grupări: tipologice, variaționale și analitice.
Gruparea tipologică este utilizat atunci când este necesar să se împartă materialul de fapt obținut în unități omogene calitativ (distribuția numărului de încălcări ale disciplinei între diferite categorii de studenți, defalcarea indicatorilor de performanță a exercițiului fizic pe ani de studiu etc.).
Dacă este necesar, grupați materialul în funcție de valoarea oricărui atribut în schimbare (variabilă) - o defalcare a grupurilor de studenți în funcție de nivelul de performanță academică, procentul de sarcini, încălcări de același tip etc. - aplicat gruparea variației, ceea ce face posibilă judecarea consecventă a structurii fenomenului studiat.
Vedere analitică a grupării ajută la stabilirea relației dintre fenomenele studiate (dependența gradului de pregătire al elevilor de diverse metode de predare, calitatea sarcinilor efectuate asupra temperamentului, abilităților etc.), interdependența și interdependența acestora în calculul exact.
Importanța muncii cercetătorului în gruparea datelor colectate este evidențiată de faptul că erorile din această lucrare devalorizează informațiile cele mai cuprinzătoare și semnificative.
În prezent, fundamentele matematice ale grupării, tipologiei, clasificării au primit cea mai profundă dezvoltare în sociologie. Abordările și metodele moderne de tipologie și clasificare în cercetarea sociologică pot fi aplicate cu succes în psihologie și pedagogie.
În cursul studiului, se utilizează tehnicile generalizării finale a datelor. Una dintre ele este tehnica întocmirii și studierii tabelelor.
La compilarea unui rezumat al datelor privind o cantitate statistică, se formează o serie de distribuție (serie de variații) a valorii acestei cantități. Un exemplu al unei astfel de serii (vezi Tabelul 6.9) este un rezumat al datelor privind circumferința toracică a 500 de persoane.
Tabelul 6.9
Rezumarea datelor pentru două sau mai multe mărimi statistice simultan implică compilarea unui tabel de distribuție care relevă distribuția valorilor unei mărimi statice în conformitate cu valorile pe care le iau alte cantități.
Ca ilustrare, este prezentat tabelul 6.10, compilat pe baza statisticilor privind circumferința toracică și greutatea acestor persoane.
Tabelul 6.10
|
Circumferința pieptului în cm |
|||||||||||
Tabelul de distribuție oferă o idee despre relația și relația care există între cele două valori și anume: cu o greutate redusă, frecvențele sunt situate în sfertul din stânga sus al tabelului, ceea ce indică predominanța persoanelor cu o circumferință toracică mică. Pe măsură ce greutatea crește la valoarea medie, distribuția frecvenței se deplasează spre centrul plăcii. Acest lucru indică faptul că persoanele care cântăresc mai aproape de medie au o circumferință a pieptului care este, de asemenea, aproape de medie. Odată cu o creștere suplimentară a greutății, frecvențele încep să ocupe sfertul din dreapta jos al plăcii. Acest lucru indică faptul că o persoană care cântărește mai mult decât media are o circumferință a pieptului care este, de asemenea, peste medie.
Din tabel rezultă că relația stabilită nu este strictă (funcțională), ci probabilistică, atunci când, cu modificări ale valorilor unei mărimi, cealaltă se schimbă ca tendință, fără o relație rigidă fără ambiguități. Conexiuni și dependențe similare se găsesc adesea în psihologie și pedagogie. În prezent, ele sunt de obicei exprimate utilizând analiza de corelație și regresie.
Seriile și tabelele variaționale oferă o idee despre statica fenomenului, în timp ce dinamica poate fi arătată prin seria de dezvoltare, unde prima linie conține etape succesive sau intervale de timp, iar a doua - valorile cantității statistice studiate obținute la aceste etape. Astfel se dezvăluie creșterea, scăderea sau modificările periodice ale fenomenului studiat, se dezvăluie tendințele și tiparele acestuia.
Tabelele pot fi completate cu valori absolute sau cifre rezumative (medie, relativă). Rezultatele muncii statistice - pe lângă tabele, sunt adesea descrise grafic sub formă de diagrame, forme etc. Principalele metode de graficare a mărimilor statistice sunt: \u200b\u200bmetoda punctelor, metoda liniilor drepte și metoda dreptunghiurilor. Sunt simple și accesibile oricărui cercetător. Tehnica utilizării lor este de a desena axe de coordonate, stabili o scară și extrage desemnarea segmentelor (punctelor) pe axele orizontale și verticale.
Diagramele care prezintă seria distribuției valorilor unei mărimi statistice permit trasarea curbelor de distribuție.
Reprezentarea grafică a două (sau mai multe) mărimi statistice face posibilă formarea unei anumite suprafețe curbate, numită suprafață de distribuție. O serie de dezvoltări în design grafic formează curbe de dezvoltare.
Reprezentarea grafică a materialului statistic vă permite să pătrundeți mai adânc în sensul valorilor digitale, să înțelegeți interdependențele și caracteristicile fenomenului studiat, care sunt greu de observat în tabel. Cercetătorul este eliberat de munca pe care ar trebui să o facă pentru a face față abundenței numerelor.
Tabelele și graficele sunt importante, dar numai primii pași în studiul mărimilor statistice. Principala metodă este analitică, operând cu formule matematice, cu ajutorul cărora sunt derivați așa-numiții „indicatori generalizatori”, adică valori absolute date într-o formă comparabilă (valori relative și medii, solduri și indici). Deci, cu ajutorul valorilor relative (procente), se determină caracteristicile calitative ale agregatelor analizate (de exemplu, raportul elevilor excelenți la numărul total de studenți; numărul de erori la lucrul la echipamente complexe, cauzate de instabilitatea mentală a elevilor, la numărul total de erori etc.). Adică, relațiile sunt dezvăluite: parte la întreg (pondere specifică), termeni la sumă (structura agregatului), o parte a agregatului la cealaltă parte; caracterizarea dinamicii oricăror schimbări în timp etc.
După cum puteți vedea, chiar și cea mai generală înțelegere a metodelor de calcul statistic sugerează că aceste metode au capacități mari în analiza și prelucrarea materialului empiric. Desigur, aparatul matematic poate procesa cu pasiune tot ceea ce cercetătorul pune în el, atât date fiabile, cât și supoziții subiective. De aceea, pentru fiecare cercetător este necesară stăpânirea perfectă a aparatului matematic pentru prelucrarea materialului empiric acumulat în unitate cu o cunoaștere aprofundată a caracteristicilor calitative ale fenomenului studiat. Numai în acest caz este posibil să selectați materiale de fapt obiective de înaltă calitate, procesarea calificată a acestuia și să obțineți date finale fiabile.
Aceasta este o scurtă descriere a celor mai frecvent utilizate metode de studiu a problemelor psihologiei și pedagogiei. Trebuie subliniat faptul că nici una dintre metodele luate în considerare, luate de la sine, nu poate pretinde universalitate, pentru o garanție completă a obiectivității datelor obținute. Astfel, elementele de subiectivitate din răspunsurile obținute prin intervievarea respondenților sunt evidente. Rezultatele observației, de regulă, nu sunt libere de evaluările subiective ale cercetătorului însuși. Datele preluate din diferite documente necesită în același timp verificarea exactității acestei documentații (în special documente personale, documente second-hand etc.).
Prin urmare, fiecare cercetător ar trebui să se străduiască, pe de o parte, să îmbunătățească tehnica de aplicare a oricărei metode specifice și, pe de altă parte, la o utilizare complexă, care se controlează reciproc, de diferite metode pentru a studia aceeași problemă. Posesia întregului sistem de metode face posibilă dezvoltarea unei metodologii de cercetare rațională, organizarea și desfășurarea clară a acesteia și obținerea unor rezultate teoretice și practice semnificative.
Referințe.
Shevandrin N.I. Psihologia socială în educație: Manual. Partea 1. Fundamente conceptuale și aplicate ale psihologiei sociale. - M.: VLADOS, 1995.
2. Davydov V.P. Bazele metodologiei, metodologiei și tehnologiei cercetării pedagogice: manual științific și metodologic. - M.: Academia FSB, 1997.
Statistica matematică este o ramură a matematicii care studiază metode aproximative de colectare și analiză a datelor pe baza rezultatelor unui experiment pentru identificarea tiparelor existente, adică găsirea legilor de distribuție a variabilelor aleatorii și a caracteristicilor lor numerice.
În statistica matematică, se obișnuiește să se distingă două domenii principale de cercetare:
1. Estimarea parametrilor populației generale.
2. Testarea ipotezelor statistice (unele ipoteze a priori).
Conceptele de bază ale statisticii matematice sunt: \u200b\u200bpopulația generală, eșantionul, funcția de distribuție teoretică.
Populația generală este o colecție a tuturor statisticilor imaginabile atunci când se observă o variabilă aleatorie.
X G \u003d (x 1, x 2, x 3, ..., x N,) \u003d (x i; i \u003d 1, N)
Variabila aleatorie observată X se numește caracteristică sau factor de eșantionare. Populația generală este un analog statistic al unei variabile aleatorii, volumul său N este de obicei mare, de aceea o parte din date este selectată din aceasta, numită populație eșantion sau pur și simplu eșantion.
X B \u003d (x 1, x 2, x 3, ..., x n,) \u003d (x i; i \u003d 1, n)
X B Ì X G, n £ N
Probă este un set de observații (obiecte) selectate aleatoriu din populația generală pentru studiu direct. Numărul de obiecte din eșantion se numește dimensiunea eșantionului și se notează cu n. De obicei, eșantionul este de 5% -10% din populația generală.
Utilizarea unui eșantion pentru a construi tiparele la care este subordonată variabila aleatorie observată permite evitarea observării sale continue (de masă), care este adesea un proces intensiv în resurse, dacă nu chiar imposibil.
De exemplu, o populație este o pluralitate de indivizi. Studiul unei populații întregi este laborios și costisitor, astfel încât datele sunt colectate dintr-un eșantion de indivizi care sunt considerați a fi reprezentanți ai acestei populații, permițând extragerea concluziilor despre această populație.
Cu toate acestea, proba trebuie să îndeplinească în mod necesar condiția reprezentativitate, adică pentru a oferi o imagine informată a populației generale. Cum se formează un eșantion reprezentativ (reprezentativ)? În mod ideal, cineva se străduiește să obțină o probă aleatorie (randomizată). Pentru a face acest lucru, se face o listă cu toți indivizii din populație și sunt selectați aleator. Dar, uneori, costurile pentru întocmirea unei liste pot fi inacceptabile și apoi se ia un eșantion acceptabil, de exemplu, se examinează o clinică, un spital și toți pacienții din clinica respectivă cu această boală.
Fiecare articol din eșantion se numește o variantă. Numărul de repetări ale variantelor din eșantion se numește frecvența apariției. Cantitatea se numește frecventa relativa opțiuni, adică se găsește ca raportul dintre frecvența absolută a variantelor și întreaga dimensiune a eșantionului. Se numește o succesiune de variante, scrise în ordine crescătoare serie de variații.
Luați în considerare trei forme ale unei serii de variații: clasificat, discret și interval.
Rând clasat - aceasta este o listă a unităților individuale ale populației în ordine crescătoare a trăsăturii studiate.
Serie de variații discrete este un tabel format din grafice sau rânduri: o valoare specifică a caracteristicii x i și frecvența absolută n i (sau frecvența relativă ω i) a valorii a x-a a caracteristicii x.
Un exemplu de serie de variații este tabelul
Scrieți distribuția frecvențelor relative.
Decizie: Găsiți frecvențele relative. Pentru a face acest lucru, împărțim frecvențele la dimensiunea eșantionului:
Distribuția frecvențelor relative este după cum urmează:
| 0,15 | 0,5 | 0,35 |
Control: 0,15 + 0,5 + 0,35 \u003d 1.
Seriile discrete pot fi afișate grafic. Într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, sunt marcate punctele cu coordonatele () sau (), care sunt conectate prin linii drepte. O astfel de linie întreruptă se numește frecvențe poligonale.
Construiți o serie de variații discrete (DVR) și desenați un poligon pentru distribuirea a 45 de solicitanți în funcție de numărul de puncte primite la examenele de admitere:
39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 40 41 38 44 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.
Decizie: Pentru a construi o serie de variații, aranjăm diferitele valori ale atributului x (variante) în ordine crescătoare și notăm frecvența acestuia sub fiecare dintre aceste valori.
Să construim un poligon al acestei distribuții:
Figura: 13.1. Poligon de frecvență
Serie de variație a intervalului utilizat pentru un număr mare de observații. Pentru a construi o astfel de serie, trebuie să selectați numărul de intervale de caracteristici și să setați lungimea intervalului. Cu un număr mare de grupuri, intervalul va fi minim. Numărul de grupuri din seria de variații poate fi găsit folosind formula Sturges: 
(k este numărul de grupuri, n este dimensiunea eșantionului), iar lățimea intervalului este 
unde este maximul; - valoarea minimă este o variantă, iar diferența lor R se numește gama de variație.
Este investigat un eșantion de 100 de persoane din totalitatea tuturor studenților unei universități medicale.
Decizie: Calculați numărul de grupuri:. Astfel, pentru a compila o serie de intervale, este mai bine să împărțiți acest eșantion în 7 sau 8 grupe. Se numește setul de grupuri în care sunt împărțite rezultatele observațiilor și frecvențele obținerii rezultatelor observațiilor din fiecare grup populația statistică.
Pentru a vizualiza distribuția statistică, utilizați o histogramă.
Histograma frecvenței este o figură în trepte, formată din dreptunghiuri adiacente construite pe o linie dreaptă, ale căror baze sunt aceleași și egale cu lățimea intervalului, iar înălțimea este egală fie cu frecvența de cădere în interval, fie cu frecvența relativă ω i.
Observațiile numărului de particule care intră în contorul Geiger într-un minut au dat următoarele rezultate:
21 30 39 31 42 34 36 30 28 30 33 24 31 40 31 33 31 27 31 45 31 34 27 30 48 30 28 30 33 46 43 30 33 28 31 27 31 36 51 34 31 36 34 37 28 30 39 31 42 37.
Construiți din aceste date o serie de variații de interval cu intervale egale (I interval 20-24; II interval 24-28 etc.) și trageți o histogramă.
Decizie: n \u003d 50
Histograma acestei distribuții arată ca:
Figura: 13.2. Histograma de distribuție
Opțiuni de locuri de muncă
№ 13.1. Tensiunea din rețea a fost măsurată la fiecare oră. În acest caz, s-au obținut următoarele valori (B):
227 219 215 230 232 223 220 222 218 219 222 221 227 226 226 209 211 215 218 220 216 220 220 221 225 224 212 217 219 220.
Construiți distribuție statistică și desenați poligonul.
№ 13.2. Observațiile glicemiei la 50 de persoane au dat următoarele rezultate:
3.94 3.84 3.86 4.06 3.67 3.97 3.76 3.61 3.96 4.04
3.82 3.94 3.98 3.57 3.87 4.07 3.99 3.69 3.76 3.71
3.81 3.71 4.16 3.76 4.00 3.46 4.08 3.88 4.01 3.93
3.92 3.89 4.02 4.17 3.72 4.09 3.78 4.02 3.73 3.52
3.91 3.62 4.18 4.26 4.03 4.14 3.72 4.33 3.82 4.03
Construiți din aceste date o serie de variații de interval cu intervale egale (I - 3.45-3.55; II - 3.55-3.65 etc.) și descrieți-o grafic, desenați o histogramă.
№ 13.3. Construiți un poligon de frecvențe de distribuție a ratei de sedimentare a eritrocitelor (VSH) la 100 de persoane.
Luați în considerare unele concepte și abordări de bază pentru clasificare erori. Prin metoda de calcul, erorile pot fi împărțite în absolute și relative.
Eroare absolută este egal cu diferența de măsurare medie a cantității xși adevărata valoare a acestei cantități:
În unele cazuri, dacă este necesar, se calculează erorile determinărilor individuale:
Rețineți că valoarea măsurată în analiza chimică poate fi atât conținutul unei componente, cât și un semnal analitic. În funcție de faptul dacă rezultatul analizei supraestimează sau subestimează eroarea, erorile pot fi pozitivși negativ.
Eroare relativă poate fi exprimat în fracții sau procente și de obicei nu are semn:
sau 
Erorile pot fi clasificate în funcție de sursa lor. Deoarece există o mulțime de surse de erori, clasificarea lor nu poate fi fără ambiguități.
Cel mai adesea, erorile sunt clasificate în funcție de natura motivelor care le cauzează. În acest caz, erorile sunt împărțite la sistematiccer și casual, greșelile (sau erorile grave) se disting, de asemenea.
LA sistematic includ erori care sunt cauzate de o cauză care acționează permanent, sunt constante în toate dimensiunile sau se modifică conform unei legi care acționează permanent, pot fi identificate și eliminate.
Aleatoriu erorile, cauzele cărora sunt necunoscute, pot fi estimate prin metode de statistici matematice.
Domnișoară este o eroare care distorsionează brusc rezultatul analizei și este de obicei ușor de detectat, de obicei cauzată de neglijența sau incompetența analistului. În fig. 1.1 este o diagramă care explică conceptele de sistematic, erori și ratări. Drept 1 corespunde cazului ideal atunci când nu există erori sistematice și aleatorii în toate cele N determinări. Liniile 2 și 3 sunt, de asemenea, exemple idealizate de analiză chimică. Într-un caz (linia 2), erorile aleatorii sunt complet absente, dar toate Ndefinițiile au o eroare sistematică negativă constantă Δх; altfel (linia 3) nu există deloc o eroare sistematică. Situația reală se reflectă în linie 4: există atât erori aleatorii, cât și erori sistematice.
Figura: 4.2.1 Erori sistematice și aleatorii în analiza chimică.
Împărțirea erorilor în sistematică și aleatorie este într-o anumită măsură arbitrară.
Erorile sistematice ale unui eșantion de rezultate, atunci când se ia în considerare o cantitate mai mare de date, pot deveni aleatorii. De exemplu, eroarea sistematică cauzată de citirile incorecte ale instrumentului, la măsurarea semnalului analitic pe diferite instrumente din diferite laboratoare, devine aleatorie.
Reproductibilitate caracterizează gradul de apropiere unul de celălalt al definițiilor individuale, dispersia rezultatelor individuale în raport cu media (Fig. 1.2).
Figura: 4.2..2. Repetabilitatea și precizia analizei chimice
In unele cazuri împreună cu termenul „reproductibilitate” folosiți termenul "convergenţă".În acest caz, convergența este înțeleasă ca împrăștierea rezultatelor determinărilor paralele, iar reproductibilitatea este împrăștierea rezultatelor obținute prin diferite metode, în diferite laboratoare, la momente diferite etc.
Dreapta este calitatea analizei chimice, reflectând apropierea de zero a erorii sistematice. Corectitudinea caracterizează deviația rezultatului analizei obținute de la valoarea reală a valorii măsurate (vezi Fig. 1.2).
Populatie generala - un set ipotetic al tuturor rezultatelor imaginabile de la -∞ la + ∞;
Analiza datelor experimentale arată că sunt observate erori mari mai rardecât cele mici. De asemenea, se remarcă faptul că, odată cu creșterea numărului de observații, se întâlnesc aceleași erori ale semnelor diferite la fel de de multe ori. Aceste și alte proprietăți ale erorilor aleatorii sunt descrise prin distribuția normală sau ecuația Gauss,care descrie densitatea probabilității 
.
unde x-valoarea unei variabile aleatorii;
μ – media generală (valorea estimata- parametru constant);
Valorea estimata-
pentru o variabilă continuă aleatorie este limita la care tinde media 
cu o creștere nelimitată a eșantionului. Astfel, așteptarea matematică este valoarea medie pentru întreaga populație ca întreg, uneori se numește
media generală.
σ 2 -dispersie (parametru constant) - caracterizează împrăștierea unei variabile aleatorii în raport cu așteptările sale matematice;
σ este abaterea standard.
Dispersie - caracterizează împrăștierea unei variabile aleatorii în raport cu așteptările sale matematice.
Eșantion de populație (probă) - numărul real (n) de rezultate pe care le are cercetătorul, n \u003d 3 ÷ 10.
Legea distribuției normale inacceptabil pentru a gestiona un număr mic de modificări în eșantion (de obicei 3 - 10) - chiar dacă populația în ansamblu este distribuită în mod normal. Pentru eșantioane mici, în loc de distribuția normală, utilizați distribuția elevilor (t - distribuție), care leagă cele trei caracteristici principale ale eșantionului -
Lățimea intervalului de încredere;
Probabilitatea corespunzătoare;
Marime de mostra.
Înainte de a prelucra date folosind metode de statistici matematice, este necesar să se identifice ratează (erori grave) și excludeți-le din rezultatele luate în considerare. Una dintre cele mai simple este metoda de detectare a ratărilor folosind testul Q cu numărul de măsurători n< 10:
unde R = x max - X min - intervalul de variație; x 1 - o valoare suspectă proeminentă; x 2 - rezultatul unei singure determinări, cea mai apropiată ca valoare de x 1 .
Valoarea obținută este comparată cu valoarea critică a Q crit la un nivel de încredere de P \u003d 0,95. Dacă Q\u003e Q crit, rezultatul aruncat este ratat și este eliminat.
Principalele caracteristici ale eșantionului... De probat din n
rezultatele sunt calculate media,
:
și varianțăcaracterizarea dispersiei rezultatelor în raport cu media:
Varianța într-o formă explicită nu poate fi utilizată pentru a caracteriza cantitativ dispersia rezultatelor, deoarece dimensiunea sa nu coincide cu dimensiunea rezultatului analizei. Pentru a caracteriza utilizarea împrăștierii deviație standard,S.
Această valoare se mai numește abaterea rădăcină-medie-pătrat (sau standard) sau eroarea rădăcină-medie-pătrat a unui rezultat individual.
DESPREdeviație standard relativăsau coeficientul de variație (V) se calculează prin raport
Varianța mediei aritmetice calculati:
și abaterea standard a mediei
Trebuie remarcat faptul că toate valorile - varianța, abaterea standard și deviația standard relativă, precum și varianța mediei aritmetice și abaterea standard a mediei aritmetice - caracterizează reproductibilitatea rezultatelor analizei chimice.
Folosit la prelucrarea mică (n<20) выборок из нормально распределенной генеральной совокупности t – распределение (т.е. распределение нормированной случайной величины) характеризуется соотношением
undet p , f – distribuția elevului cu numărul de grade de libertate f= n-1 și nivelul de încredere P \u003d 0,95(sau nivel de semnificație p \u003d 0,05).
Valorile distribuțiilor t sunt date în tabele, sunt calculate pentru eșantionul în n rezultă valoarea intervalului de încredere al valorii măsurate pentru o probabilitate de încredere dată conform formulei
Interval de încredere caracterizează atât reproductibilitatea rezultatelor analizei chimice, cât și - dacă se cunoaște adevărata valoare a lui x - corectitudinea lor.
Un exemplu de performanță a testului numărul 2
Sarcina
Cand șiÎn analiza aerului pentru conținutul de azot prin metoda cromatografică, s-au obținut următoarele rezultate pentru două serii de experimente:
Decizie:
Verificați rândurile pentru erori grave utilizând testul Q. De ce le așezați într-un rând descendent (de la minim la maxim sau invers):
Primul episod:
77,90<77,92<77,95<77,99<78,05<78,07<78,08<78,10
Verificăm rezultatele extreme ale seriei (dacă conțin o eroare gravă).
Valoarea obținută este comparată cu valoarea tabelată (Tabelul 2 din Anexă). Pentru n \u003d 8, p \u003d 0,95 filă Q \u003d 0,55.
pentru că Fila Q\u003e calculul Q 1, cifra din stânga nu este o „ratare”.
Verificarea cifrei din dreapta
Q calc De asemenea, numărul din extrema dreaptă nu este greșit. Noi avem rezultatele al doilea rândda în ordine crescătoare: 78,02<78,08<78,13<78,14<78,16<78,20<78,23<78,26. Verificăm rezultatele extreme ale experimentelor - dacă acestea sunt greșite. Q (n \u003d 8, p \u003d 0,95) \u003d 0,55. Valoarea tabelului. Valoarea din stânga nu este greșită. Cifra din extrema dreaptă (este greșită). Acestea. 0,125<0,55 Numărul din extrema dreaptă nu este o „ratare”. Rezultatele experimentelor le supunem prelucrării statistice. Calculăm media ponderată a rezultatelor: Dispersie în raport cu media: Deviație standard: Abaterea standard a mediei aritmetice: Pentru mici (n<20)
выборках из нормально распределенной
генеральной совокупности следует
использовать t
– распределение, т.е. распределение
Стьюдента при числе степени свободы
f=n-1
и доверительной вероятности p=0,95. Folosind tabelele distribuțiilor t, valoarea intervalului de încredere a valorii măsurate pentru o probabilitate de încredere dată este determinată pentru un eșantion de n - rezultate. Acest interval poate fi calculat: DIN varianță egalăși rezultate mediidouă probe. Comparația a două varianțe se realizează folosind distribuția F (distribuția Fisher). Dacă avem două populații eșantion cu varianțe S 2 1 și S 2 2 și numărul de grade de libertate f 1 \u003d n 1 -1 și respectiv f 2 \u003d n 2 -1, atunci calculăm valoarea lui F: F \u003d S 2 1 / S 2 2 în plus numeratorul conține întotdeauna cea mai mare dintre cele două a comparat varianțele eșantionului. Rezultatul este comparat cu valoarea tabelului. Dacă F 0\u003e F crit (la p \u003d 0,95; n 1, n 2), atunci discrepanța dintre varianțe este semnificativă și seturile de eșantioane considerate diferă în reproductibilitate. Dacă discrepanța dintre varianțe este nesemnificativă, este posibil să se compare media x 1 și x 2 din cele două probe, adică aflați dacă există o diferență semnificativă statistic între rezultatele testului. Pentru a rezolva problema, se utilizează distribuția t. Media ponderată a celor două dispersii este calculată preliminar: Și deviația standard medie ponderată și apoi cantitatea t: Valoare t exp compara cu t creta cu numărul de grade de libertate f \u003d f 1 + f 2 \u003d (n 1 + n 2 -2) și nivelul de încredere al eșantionului p \u003d 0,95. Dacă în același timp t exp
>
t creta , apoi discrepanța dintre medie Sarcina de control numărul 2 Analiza aerului pentru conținutul componentei X prin metoda cromatografică pentru două serii a dat următoarele rezultate (tabelul-1). 3. Dacă rezultatele ambelor eșantioane și ale aceleiași populații sunt. Verificați testul t Student (p \u003d 0,95; n \u003d 8). Tabelul-4.2.1- Date inițiale pentru sarcina de control nr. 2 Opțiunea nr. Componenta
- pentru primul rând de rezultate.
- pentru al doilea rând de rezultate.
- pentru primul rând.
- pentru al doilea rând.
- pentru primul rând.
- pentru al doilea rând.
și 
semnificativ și eșantionul nu aparține aceleiași populații generale. Dacă t exp<
t крит,
расхождение между средними незначимо,
т.е. выборки принадлежат одной и той же
генеральной совокупности, и, следовательно,
данные обеих серий можно объединить и
рассматривать их как одну выборочную
совокупность из n 1 +n 2
результатов.
