Segmente de linii proporționale în planul lecției într-un triunghi drept. Segmente de linie proporțională într-un triunghi dreptunghic. Declarația afirmațiilor dovedite

secţiuni: Matematica

Clasă: 8

Tipul ocupației: combinate.

Scopul didactic: crearea condițiilor pentru înțelegerea și înțelegerea conceptului de „medie proporțională”, îmbunătățirea capacității de a găsi segmente proporționale bazate pe asemănarea triunghiurilor, verificarea nivelului de stăpânire a cunoștințelor și abilităților pe tema respectivă.

Sarcini:

• stabiliți o corespondență între laturile unui triunghi dreptunghic, înălțimea trasată de hipotenuză și segmente ale hipotenuzei;
• introduceți conceptul de medie proporțională;
• să formeze capacitatea de a aplica cunoștințele acumulate la rezolvarea problemelor practice;

Materiale educaționale: manuale „Geometrie 7-9” de L. S. Atanasyan, prezentare „Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic”. Anexa 1 .

Rezultate asteptate:

Personal

• Capacitatea de a defini granița cunoașterii și ignoranței.
• Abilitatea de a exprima corect gândurile matematic.
• Posibilitatea de a recunoaște declarații incorecte.

Metasubject

• Abilitatea de a vă planifica activitățile pentru a rezolva o problemă de învățare.
• Capacitatea de a construi un lanț de raționament logic.
• Capacitatea de a da o formulare verbală unui fapt scris sub formă de formulă.

Subiect

• Capacitatea de a găsi triunghiuri similare și de a demonstra asemănarea lor.
• Posibilitatea de a exprima picioarele unui triunghi drept și înălțimea trasă de sus unghi drept, prin segmentele hipotenuzei.
• Capacitatea de a citi notația matematică folosind conceptul de „medie proporțională”.

Schița lecției.

1. Moment organizatoric... Organizarea atenției; autoreglare volitivă. (Fiecare student primește fișe de lucru în două direcții). Apendicele 2 , Apendicele 3 .

2. Repetare:Să repetăm \u200b\u200binformațiile de bază ale subiectului „Triunghiuri similare” Diapozitivul 1

• Dă o definiție a triunghiurilor similare
• Cum să citești primul semn de asemănare a triunghiurilor
• Cum se citește al doilea semn de asemănare a triunghiurilor
• Cum să citești al treilea semn de asemănare a triunghiurilor
• Care este coeficientul de asemănare?
• Triunghi dreptunghic. Picioare. Ipotenuză.

Test pentru a stabili adevărul sau falsitatea afirmațiilor (răspundeți „da” sau „nu”). Slide 2

• Două triunghiuri sunt similare dacă unghiurile lor sunt corespunzător egale și laturile similare sunt proporționale.
• Două triunghiuri echilaterale sunt întotdeauna asemănătoare.
• Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt respectiv proporționale cu cele trei laturi ale celuilalt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.
• Laturile unui triunghi au lungimea de 3, 4, 6 cm, laturile celuilalt triunghi au 9, 14, 18 cm. Aceste triunghiuri sunt similare?
• Perimetrele unor astfel de triunghiuri sunt egale.
• Dacă cele două unghiuri ale unui triunghi sunt 60 ° și 50 °, iar cele două unghiuri ale celuilalt triunghi sunt de 50 ° și 80 °, astfel de triunghiuri sunt similare.
• Două triunghiuri în unghi drept sunt similare dacă au un unghi egal egal.
• Cele două triunghiuri izoscele sunt similare.
• Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt respectiv egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.
• Dacă cele două laturi ale unui triunghi sunt respectiv proporționale cu cele două laturi ale celuilalt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Cheia testului:1.Da; 2. da; 3. da; 4. nu; 5. nu; 6. nu; 7. da; 8. nu; 9. da; 10. nr.

Formular de verificare test - verificare reciprocă. Răspunsurile și verificările sunt efectuate în fișele de lucru ale lecției.

3. Atribuirea teoretică în grupuri.Clasa este împărțită în trei grupuri. Fiecare grup primește o sarcină. Apendicele 4 .

Grupul nr. 1

1. Dovedește asemănarea triunghiurilor „în stânga” și „dreapta”.
2. Înregistrați proporționalitatea picioarelor.
3. Exprimă înălțimea de la proporție.

Grupul nr. 2

Conform unui desen pre-pregătit al unui triunghi cu unghi drept (Figura 1)

1. Dovedește asemănarea triunghiurilor „în stânga” și „mari” în unghi drept.
2. Exprimați-vă din proporția de soare.

Grupul nr. 3

Conform unui desen pre-pregătit al unui triunghi cu unghi drept (Figura 1)

1. Dovedește asemănarea triunghiurilor dreptunghiulare și „mari”.
2. Înregistrați proporționalitatea asemănărilor.
3. Exprimă din proporția UA.

Notează dovada acestor declarații pe tablă conform desenelor făcute în avans și în caiete. O persoană din grup este chemată la consiliu.

4. Formularea subiectului lecției.În toate cele trei misiuni, noi și cu mine am format o relație. Cum poți numi elementele incluse în această relație? Răspuns: segmente proporționale. Să clarificăm segmentele proporționale din ...? Răspuns: în triunghi dreptunghic. Deci, băieți, subiectul tutorialului nostru? Răspuns: "Segmente de linie proporționale într-un triunghi dreptunghic."Slide 3

5. Formularea declarațiilor dovedite

Înainte de a lucra mai departe, introducem câteva concepte și notații noi.
Care este media aritmetică a două numere?
Răspuns: Media aritmetică a numerelor m și n se numește numărul a, egal cu jumătatea sumei numerelor m și n
Scrieți formula pentru media aritmetică a numerelor m și n.
Să formulăm definiția mediei geometrice a două numere: numărul a se numește media geometrică (sau media proporțională) pentru numerele m și n, dacă egalitatea este adevărată Diapozitivul 4
Să facem câteva exerciții pentru a consolida aceste definiții. Slide 5
1. Găsiți media aritmetică și media geometrică a numerelor 3 și 12.
2. Găsiți lungimea medie a segmentelor proporționale (geometrice) MN și KP, dacă MN \u003d 9 cm, KP \u003d 27 cm
Să introducem concepția proiecției piciorului pe hipotenuză. Slide 6.
Acum, folosind concepte noi, vom încerca să formulăm concluziile dovedite în timpul lucrului în grup.
În această diapozitivă, încercați să formulați afirmația care a demonstrat a doua și a treia grupă. Diapozitiv 7
Scrieți această afirmație folosind noua notare (proiecția piciorului către ipotenuză) și apoi indicați-o folosind definiția proiecției piciorului către ipotenuză. Slide 8
În acest diapozitiv, încercați să formulați o afirmație pe care au dovedit-o studenții grupului al treilea. Diapozitiv 9
Scrieți această afirmație folosind noua notare (proiecția piciorului către ipotenuză) și apoi indicați-o folosind definiția proiecției piciorului către ipotenuză. Diapozitivul 10

6. Blitz-poll pentru consolidarea formulelor studiate.Diapozitiv 11-12

• În triunghiul dreptunghic ABC, CD-ul înălțimii este desenat din vertexul unghiului drept C. AD \u003d 16, DB \u003d 9. Găsiți AC, AB, CB și CD. Slide 11
• În triunghiul dreptunghic ABC, CD-ul înălțimii este desenat din vertexul unghiului drept C. AD \u003d 18, DB \u003d 2. Găsiți AC, AB, CB și CD. Diapozitivul 12
• Într-un triunghi ABC în unghi drept, înălțimea CH este trasă din vertexul unghiului drept C. CA \u003d 6, AH \u003d 2. Găsiți HB. Diapozitiv 13

Test pentru a verifica asimilarea primară a materialului

În prezentare, deschideți diapozitivul cu formulele derivate (diapozitivul 14). Există un test tipărit pe foile de lucru: completați-l scriind răspunsurile corecte pe placă. Apoi se face o verificare încrucișată (diapozitivul 15) a răspunsurilor pregătite în prezentare.

Teme pentru acasă

Fiecare student primește o notă cu formule și text al sarcinilor acasă cu sfaturi (un plan pentru implementarea treptată a fiecărei sarcini) Apendicele 5 .

9. Reflexie

Rezumă lecția. Colectați fișele de lucru și notați fiecare elev pentru o lecție.

Literatură.

1. http://gorkunova.ucoz.ru/ Fișă pentru atelierul „Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic”
2. Prezentare „Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic” Savchenko EM Orașul Polyarnye Zori, regiunea Murmansk.

Marcaj de similaritate pentru triunghiurile drepte

Să introducem mai întâi un criteriu de asemănare pentru triunghiurile în unghi drept.

Teorema 1

Marcaj de similaritate pentru triunghiurile drepte: două triunghiuri în unghi drept sunt similare atunci când au un unghi egal egal (fig. 1).

Figura 1. Triunghiuri similare în unghi drept

Dovada.

Să ne dea că $ \\ unghiul B \u003d \\ unghiul B_1 $. Deoarece triunghiurile sunt dreptunghiulare, atunci $ \\ unghiul A \u003d \\ unghiul A_1 \u003d (90) ^ 0 $. Prin urmare, ele sunt similare la primul semn de asemănare a triunghiurilor.

Teorema este dovedită.

Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghi

Teorema 2

Înălțimea unui triunghi cu unghi drept, tras din vertexul unghiului drept, împarte triunghiul în două triunghiuri similare în unghi drept, fiecare dintre acestea fiind similar cu acest triunghi.

Dovada.

Să ni se ofere un triunghi unghi drept $ ABC $ cu un unghi drept $ C $. Să desenăm înălțimea $ CD $ (Fig. 2).

Figura 2. Ilustrarea teoremei 2

Să demonstrăm că triunghiurile $ ACD $ și $ BCD $ sunt similare cu triunghiul $ ABC $ și că triunghiurile $ ACD $ și $ BCD $ sunt similare între ele.

Deoarece $ \\ angle ADC \u003d (90) ^ 0 $, triunghiul $ ACD $ este dreptunghiular. Triunghiurile $ ACD $ și $ ABC $ au un unghi comun $ A $, prin urmare, prin Teorema 1, triunghiurile $ ACD $ și $ ABC $ sunt similare.

Deoarece $ \\ angle BDC \u003d (90) ^ 0 $, triunghiul $ BCD $ este dreptunghiular. Triunghiurile $ BCD $ și $ ABC $ au un unghi comun $ B $, prin urmare, prin Teorema 1, triunghiurile $ BCD $ și $ ABC $ sunt similare.

Luați în considerare acum triunghiurile $ ACD $ și $ BCD $

\\ [\\ unghiul A \u003d (90) ^ 0- \\ unghiul ACD \\] \\ [\\ unghiul BCD \u003d (90) ^ 0- \\ unghiul ACD \u003d \\ unghiul A \\]

Prin urmare, prin Teorema 1, triunghiurile $ ACD $ și $ BCD $ sunt similare.

Teorema este dovedită.

Media proporțională

Teorema 3

Înălțimea unui triunghi în unghi drept, trasat din vârful unghiului drept, este media proporțională pentru segmentele în care înălțimea împarte ipotenuza acestui triunghi.

Dovada.

Prin Teorema 2, avem că triunghiurile $ ACD $ și $ BCD $ sunt similare, prin urmare

Teorema este dovedită.

Teorema 4

Piciorul unui triunghi dreptunghic este media proporțională între ipotenuză și segmentul hipotenuzei, închis între picior și înălțimea desenată din vârful unghiului.

Dovada.

În dovada teoremei, vom folosi notația din figura 2.

Prin Teorema 2, avem că triunghiurile $ ACD $ și $ ABC $ sunt similare, prin urmare

Teorema este dovedită.

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont Google (cont) și conectați-vă la acesta: https://accounts.google.com

Legături pentru diapozitive:

Segmente proporționale într-un triunghi în unghi drept Gradul de geometrie 8

Teme pentru acasă

1. Problema 3, 5 A B C N M 3 4 Date: MN || AC. Găsiți: Р∆АВС

A B C D M N P Q MNPQ - paralelogram? 2. Sarcina

Asemănarea triunghiurilor drepte A B C A 1 B 1 C 1 Dacă unghiul acut al unui triunghi drept este egal cu unghiul acut al unui alt triunghi drept, astfel de triunghiuri drepte sunt similare

Media proporțională А В D X У Segment ХУ se numește media proporțională (media geometrică) pentru segmentele AB și SD, dacă

Rezolvați problemele: 1. Segmentul de 8 cm este proporțional mediu între segmentele de 16 cm și 4 cm? 2. Este segmentul de 9 cm media proporțională între segmentele de 15 cm și 6 cm? 3. Este proporțional segmentul cu lungimea de cm între segmentele cu lungimea de 5 cm și 4 cm? da nu da

Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghiular А В С H Înălțimea unui triunghi dreptunghic, desenat din vertexul unui unghi drept, este media proporțională pentru segmentele în care ipotenuză este împărțită la această înălțime

Segmente de linie proporțională într-un triunghi dreptunghic А В С Н 9 4? Obiectivul 1.

Segmente de linie proporțională într-un triunghi dreptunghic А В С Н 9 7? Obiectivul 2.

Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic A B CH Piciorul unui triunghi unghi drept este media proporțională pentru ipotenuză și proiecția acestui picior pe hipotenuză.

Segmente de linie proporțională într-un triunghi dreptunghic А В С Н 21 4? Obiectivul 3.

A B CH 20 30? Problema 4.

Teme pentru acasă

Rezolvați problema 5 2? ? ? Rezolvați problema 9 4? ? ? Rezolva triunghiul

A B CH 20 15? O sarcină. Într-un triunghi, ale cărui laturi sunt egale cu 15, 20 și 25, înălțimea este desenată spre partea sa mai mare. Găsiți segmentele de linie în care înălțimea împarte această latură 25

A B CH 20 15? Sarcina 5. Într-un triunghi, ale cărui laturi sunt egale cu 15, 20 și 25, înălțimea este desenată spre partea sa mai mare. Găsiți segmentele de linie în care înălțimea împarte această latură 25