Formule pentru găsirea ariei unui triunghi în termeni de sinus. Rapoarte trigonometrice pentru a găsi piciorul unui triunghi dreptunghiular
Dacă problema dă lungimile celor două laturi ale unui triunghi și unghiul dintre ele, atunci puteți aplica formula pentru aria unui triunghi prin sinus.
Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi printr-un sinus. Având în vedere laturile a \u003d 3, b \u003d 4 și unghiul γ \u003d 30 °. Sinusul unui unghi de 30 ° este 0,5 
Aria triunghiului va fi de 3 metri pătrați. cm.
Pot exista și alte condiții. Dacă sunt date lungimea unei laturi și unghiurile, atunci mai întâi trebuie să calculați unghiul lipsă. pentru că suma tuturor unghiurilor triunghiului este de 180 °, apoi:
Suprafața este egală cu jumătate din pătratul laturii ori fracția. Numărătorul său conține produsul sinusului unghiurilor adiacente, iar numitorul este sinusul unghiului opus. Acum calculăm aria folosind următoarele formule:
De exemplu, dat un triunghi cu latura a \u003d 3 și unghiurile γ \u003d 60 °, β \u003d 60 °. Calculați al treilea unghi: 
Înlocuirea datelor în formulă
Obținem că aria triunghiului este de 3,87 metri pătrați. cm.
II. Aria unui triunghi în cosinus
Pentru a găsi aria unui triunghi, trebuie să cunoașteți lungimile tuturor laturilor. Prin teorema cosinusului, laturile necunoscute pot fi găsite și abia apoi utilizate.
Prin teorema cosinusului, pătratul laturii necunoscute a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte laturi minus produsul dublu al acestor laturi de cosinusul unghiului dintre ele.
Din teoremă derivăm formule pentru găsirea lungimii laturii necunoscute:
Știind cum să găsiți partea lipsă, având două laturi și unghiul dintre ele, puteți calcula cu ușurință aria. Formula pentru aria unui triunghi în termeni de cosinus vă ajută să găsiți rapid și ușor soluții la diverse probleme.
Un exemplu de calcul al formulei pentru aria unui triunghi în termeni de cosinus
Dat fiind un triunghi cu laturile cunoscute a \u003d 3, b \u003d 4 și un unghi γ \u003d 45 °. Mai întâi, găsiți partea lipsă din... În cosinus 45 ° \u003d 0,7. Pentru a face acest lucru, înlocuim datele în ecuația derivată din teorema cosinusului.
Acum, folosind formula, găsim
În viață, adesea trebuie să ne confruntăm cu probleme de matematică: la școală, la universitate și apoi să ne ajutăm copilul cu temele. Oamenii din anumite profesii vor fi expuși zilnic la matematică. Prin urmare, este util să memorați sau să amintiți reguli matematice. În acest articol vom analiza unul dintre ele: găsirea piciorului triunghi dreptunghic.
Ce este un triunghi dreptunghiular
Pentru început, să ne amintim ce este un triunghi dreptunghiular. Un triunghi unghiular este figura geometrică din trei segmente de linie care leagă puncte care nu stau pe o linie dreaptă, iar unul dintre colțurile acestei cifre este de 90 de grade. Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare, iar partea care se află opusă unghi drept - hipotenuza.
Găsiți piciorul unui triunghi dreptunghiular
Există mai multe moduri de a afla lungimea piciorului. Aș dori să le iau în considerare mai detaliat.
Teorema lui Pitagora pentru a găsi piciorul unui triunghi dreptunghiular
Dacă cunoaștem hipotenuza și piciorul, atunci putem găsi lungimea piciorului necunoscut folosind teorema lui Pitagora. Sună așa: „Pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor”. Formula: c² \u003d a² + b², unde c - hipotenuză, a și b - picioare. Transformăm formula și obținem: a² \u003d c²-b².
Exemplu. Hipotenuza are 5 cm, iar piciorul este de 3 cm. Transformăm formula: c² \u003d a² + b² → a² \u003d c²-b². Atunci decidem: a² \u003d 5²-3²; a² \u003d 25-9; a² \u003d 16; a \u003d √16; a \u003d 4 (cm).
Rapoarte trigonometrice pentru a găsi piciorul unui triunghi dreptunghiular
De asemenea, puteți găsi un picior necunoscut dacă se cunoaște orice altă parte și un unghi acut al unui triunghi dreptunghiular. Există patru opțiuni pentru găsirea piciorului funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangent, cotangent. Tabelul de mai jos ne va ajuta să rezolvăm problemele. Să luăm în considerare aceste opțiuni.
Găsiți piciorul unui triunghi dreptunghiular folosind sinusul
Sinusul unghiului (sin) este raportul dintre piciorul opus și hipotenuză. Formula: sin \u003d a / c, unde a este piciorul opus unghiului dat, și c este hipotenuza. Apoi, transformăm formula și obținem: a \u003d sin * c.
Exemplu. Hipotenuza are 10 cm, unghiul A este de 30 de grade. Conform tabelului, calculăm sinusul unghiului A, este 1/2. Apoi, folosind formula transformată, rezolvăm: a \u003d sin∠А * c; a \u003d 1/2 * 10; a \u003d 5 (cm).
Găsiți piciorul unui triunghi dreptunghiular folosind cosinusul
Cosinusul unghiului (cos) este raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză. Formula: cos \u003d b / c, unde b este piciorul adiacent unghiului dat, și c este hipotenuza. Să transformăm formula și să obținem: b \u003d cos * c.
Exemplu. Unghiul A este de 60 de grade, hipotenuza este de 10 cm. Conform tabelului, calculăm cosinusul unghiului A, este 1/2. Atunci decidem: b \u003d cos∠A * c; b \u003d 1/2 * 10, b \u003d 5 (cm).
Găsiți piciorul unui triunghi dreptunghiular folosind tangenta
Tangenta unghiului (tg) este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent. Formula: tg \u003d a / b, unde a este piciorul opus colțului, iar b este adiacent. Transformăm formula și obținem: a \u003d tg * b.
Exemplu. Unghiul A este egal cu 45 de grade, hipotenuza este egal cu 10 cm. Conform tabelului calculăm tangenta unghiului A, este egal cu Rezolva: a \u003d tg∠A * b; a \u003d 1 * 10; a \u003d 10 (cm).
Găsiți piciorul unui triunghi dreptunghiular folosind cotangenta
Cotangenta unui unghi (ctg) este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus. Formula: ctg \u003d b / a, unde b este piciorul adiacent colțului, a este piciorul opus. Cu alte cuvinte, o cotangentă este o „tangentă inversată”. Obținem: b \u003d ctg * a.
Exemplu. Unghiul A are 30 de grade, piciorul opus 5 cm. Potrivit tabelului, tangenta unghiului A este √3. Calculăm: b \u003d ctg∠A * a; b \u003d √3 * 5; b \u003d 5√3 (cm).
Deci, acum știi cum să găsești un picior într-un triunghi dreptunghiular. După cum puteți vedea, acest lucru nu este atât de dificil, principalul lucru este să vă amintiți formulele.
Sinusul este una dintre principalele funcții trigonometrice, a căror utilizare nu se limitează la o singură geometrie. Tabelele pentru calcularea funcțiilor trigonometrice, cum ar fi calculatoarele de inginerie, nu sunt întotdeauna la îndemână, iar calcularea sinusului este uneori necesară pentru a rezolva diferite probleme. În general, calcularea sinusului vă va consolida abilitățile de desen și cunoștințele despre identitățile trigonometrice.
Jocuri de riglă și creion
Problemă simplă: cum se găsește sinusul unui unghi desenat pe hârtie? Pentru soluție, veți avea nevoie de o riglă obișnuită, un triunghi (sau busole) și un creion. Cel mai simplu mod de a calcula sinusul unui unghi este prin împărțirea piciorului îndepărtat al unui triunghi cu unghi drept la latura lungă - hipotenuza. Astfel, mai întâi trebuie să completați unghiul acut cu forma unui triunghi unghiular trasând o linie perpendiculară pe una dintre raze la o distanță arbitrară de vârful colțului. Va fi necesar să observăm unghiul exact la 90 °, pentru care avem nevoie de un triunghi clerical.
Folosirea unei busole este puțin mai precisă, dar va dura mai mult. Pe una dintre raze, trebuie să marcați 2 puncte la o anumită distanță, să reglați raza pe busolă, aproximativ egală cu distanța dintre puncte și să desenați semicercuri cu centre în aceste puncte până când se obțin intersecțiile acestor linii. Conectând punctele de intersecție ale cercurilor noastre între ele, obținem o perpendiculară strictă pe raza colțului nostru, rămâne doar să extindem linia până când se intersectează cu o altă rază.
În triunghiul rezultat, trebuie să măsurați partea opusă colțului cu o riglă și partea lungă pe una dintre raze. Raportul dintre prima dimensiune și a doua va fi valoarea dorită a sinusului unghiului acut.
Găsiți sinusul pentru un unghi mai mare de 90 °
Pentru un unghi obtuz, sarcina nu este mult mai dificilă. Este necesar să trasăm o rază din vârf în direcția opusă folosind o riglă pentru a forma o linie dreaptă cu una dintre razele unghiului de interes pentru noi. Cu unghiul acut obținut, trebuie să procedați așa cum este descris mai sus, sinele unghiurilor adiacente, care formează împreună un unghi dezvoltat de 180 °, sunt egale.
Calculul sinusului din alte funcții trigonometrice
De asemenea, este posibil să se calculeze sinusul dacă sunt cunoscute valorile altor funcții trigonometrice ale unghiului sau cel puțin lungimile laturilor triunghiului. Identitățile trigonometrice ne vor ajuta în acest sens. Să ne uităm la exemple comune.
Cum se găsește sinusul cu un cosinus cunoscut al unui unghi? Prima identitate trigonometrică, care provine din teorema lui Pitagora, afirmă că suma pătratelor sinusului și cosinusului cu același unghi este egală cu unul.
Cum se găsește sinusul cu o tangentă cunoscută a unui unghi? Tangenta se obține prin împărțirea piciorului îndepărtat la cel apropiat sau prin împărțirea sinusului la cosinus. Astfel, sinusul va fi produsul cosinusului și tangentei, iar pătratul sinusului va fi pătratul acestui produs. Înlocuim cosinusul pătrat cu diferența dintre unul și sinusul pătrat în conformitate cu primul identitate trigonometrică iar prin simple manipulări aducem ecuația la calculul sinusului pătrat prin tangentă, respectiv, pentru a calcula sinusul, va trebui să extrageți rădăcina din rezultatul obținut.
Cum se găsește sinusul cu o cotangentă cunoscută a unui unghi? Valoarea cotangentei poate fi calculată prin împărțirea lungimii piciorului de lângă colț la lungimea piciorului îndepărtat și, de asemenea, împărțirea cosinusului la sinus, adică cotangenta este funcția inversă tangentei în raport cu numărul 1. Pentru a calcula sinusul, puteți calcula tangenta cu formula tg α \u003d 1 / ctg α și folosiți formula din a doua opțiune. De asemenea, puteți obține o formulă directă prin analogie cu tangenta, care va arăta astfel.
Cum se găsește sinusul pe trei laturi ale unui triunghi
Există o formulă pentru găsirea lungimii laturii necunoscute a oricărui triunghi, nu doar dreptunghiular, de-a lungul a două laturi cunoscute folosind funcția de cosinus trigonometric a unghiului opus. Arată așa.
Latură un triunghi poate fi detectat nu numai de-a lungul perimetrului și zonei, ci și de-a lungul unei laturi și colțuri date. Pentru aceasta se folosesc funcții trigonometrice - sinusului și a sinusului ... Probleme cu aplicarea lor se găsesc în cursul de geometrie școlară, precum și în cursul universitar de geometrie analitică și algebră liniară.
Instrucțiuni
1. Dacă una dintre laturile triunghiului și unghiul dintre acesta și cealaltă parte a acestuia sunt celebre, utilizați funcțiile trigonometrice - sinusului ohm și co sinusului ohm. Imaginați-vă un triunghi unghiular HBC cu un unghi? egal cu 60 de grade. Triunghiul HBC este prezentat în figură. Din cauza sinusului , așa cum este faimos, reprezintă raportul dintre piciorul opus și hipotenuză și sinusului - raportul piciorului adiacent cu hipotenuza, pentru a rezolva problema, utilizați relația suplimentară dintre acești parametri: sin? \u003d HB / BC În consecință, dacă doriți să cunoașteți piciorul unui triunghi unghiular, exprimați-l prin hipotenuză într-un alt mod: HB \u003d BC * sin?
2. Dacă, dimpotrivă, piciorul unui triunghi este dat în starea problemei, găsiți ipotenuza acestuia, ghidată de relația suplimentară dintre valorile date: BC \u003d НB / sin? Prin analogie, găsiți laturile triunghiului și folosind co sinusului a, schimbând expresia anterioară într-un alt mod: cos? \u003d HC / BC
3. În matematica elementară, există o reprezentare a teoremei sinusului ov. Ghidat de faptele descrise de această teoremă, este permisă și detectarea laturilor unui triunghi. În plus, vă permite să detectați laturile unui triunghi înscris într-un cerc, dacă cunoaștem raza acestuia din urmă. Pentru a face acest lucru, utilizați relația de mai jos: a / sin? \u003d B / sin b \u003d c / sin y \u003d 2R Această teoremă este aplicabilă în cazul în care cele două laturi și unghiul triunghiului sunt celebre, sau unul dintre colțurile triunghiului și raza cercului din jurul său sunt date ...
4. În afară de teoremă sinusului există o teoremă esențial analogă sinusului ov, care, ca și precedentul, se aplică și triunghiurilor din toate cele 3 soiuri: dreptunghiulare, unghi acut și obtuz. Ghidat de faptele care dovedesc această teoremă, este permis să se găsească mărimi necunoscute prin aplicarea următoarelor relații între ele: c ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2-2ab * cos?
O figură geometrică formată din trei puncte care nu aparțin unei linii drepte numite vârfuri și trei segmente care le leagă în perechi, numite laturi, se numește triunghi. Există o mulțime de sarcini pentru găsirea laturilor și a unghiurilor unui triunghi dintr-un număr limitat de date inițiale, una dintre aceste sarcini este găsirea laturii unui triunghi de-a lungul uneia dintre laturile sale și a două colțuri .
Instrucțiuni
1. Să se construiască triunghiul ABC și latura BC și unghiurile sunt celebre. și ??. Se știe că suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu 180?, prin urmare, în triunghiul? ABC unghiul ?? va fi egal ?? \u003d 180? - (?? + ??). Este permisă detectarea laturilor AC și AB prin aplicarea teoremei sinusurilor, care spune AB / sin ?? \u003d BC / păcat ?? \u003d AC / păcat ?? \u003d 2 * R, unde R este raza cercului circumscris în jurul triunghiului? ABC, atunci obținem R \u003d BC / sin ??, AB \u003d 2 * R * sin ??, AC \u003d 2 * R * sin ??. Teorema sinelor poate fi utilizată pentru orice date 2 colțuri și lateral.
2. Laturile unui triunghi dat pot fi detectate prin calcularea ariei acestuia prin formula S \u003d 2 * R? * pacat ?? * pacat ?? * sin ??, unde R este calculat prin formula R \u003d BC / sin ??, R este raza triunghiului descris? ABC de aici Apoi latură AB este permis să fie detectat prin calcularea altitudinii scăzute pe el h \u003d BC * sin ??, apoi folosind formula S \u003d 1/2 * h * AB avem AB \u003d 2 * S / h În mod similar, este permis să calculăm latură AC.
3. Dacă unghiurile exterioare ale triunghiului sunt date ca unghiuri ?? și ??, atunci este permisă detectarea unghiurilor interioare cu sprijinul raporturilor corespunzătoare ?? \u003d 180? - ??, ?? \u003d 180? - ??, ?? \u003d 180? - (?? + ??). În plus, acționăm similar cu primele două puncte.
Înțelegerea triunghiurilor a fost realizată de matematicieni de câteva milenii. Știința triunghiurilor - trigonometria - folosește mărimi speciale: sinus și cosinus.
Triunghi dreptunghic
Inițial, sinusul și cosinusul au apărut datorită necesității de a calcula cantitățile în triunghiuri unghiulare. S-a observat că, dacă valoarea măsurării gradului unghiurilor dintr-un triunghi unghiular nu este modificată, atunci raportul de aspect, indiferent cât de mult se modifică aceste laturi în lungime, rămâne invariabil identic. Așa au fost introduse reprezentările sinusului și ale cosinusului. Sinusul unui unghi acut într-un triunghi dreptunghi este raportul piciorului opus față de hipotenuză, iar cosinusul este cel adiacent hipotenuzei.
Teoremele cosinusului și sinusului
Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite nu numai în triunghiuri unghiulare. Pentru a găsi valoarea unui unghi obtuz sau acut, laturile oricărui triunghi, este suficient să se aplice teorema cosinusurilor și sinusurilor. Teorema cosinusului este destul de primitivă: „Pătratul laturii unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte 2 laturi minus produsul dublu al acestor laturi de cosinusul unghiului dintre ele.” Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit celui mic: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății unui cerc circumscris în jurul unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.
Derivate
Un derivat este un instrument matematic care arată cât de rapid se schimbă o funcție în raport cu metamorfozarea argumentului său. Derivații sunt folosiți în algebră, geometrie, economie și fizică și o serie de discipline tehnice. Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabulare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar cosinusul este sinusul, dar cu semn minus.
Aplicarea în matematică
În special, sinusurile și cosinusurile sunt utilizate atunci când se rezolvă triunghiuri unghiulare și problemele asociate acestora. Confortul sinusurilor și cosinusului se reflectă în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost estimate primitiv de teoremele cosinusului și sinusurilor, rupând forme și obiecte dificile în triunghiuri „primitive”. Inginerii și arhitecții, care se ocupau adesea de calculele raportului de aspect și măsurile de grad, au petrecut mult timp și efort pentru a calcula cosinusurile și sinusurile unghiurilor non-tabulare. Apoi, tabelele Bradis au venit în salvare, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangențe de diferite unghiuri. În vremurile sovietice, unii profesori își forțau elevii să învețe pe de rost paginile tabelelor Bradis.
Aria unui triunghi este jumătate din produsul laturilor sale de sinusul unghiului dintre ele.
Dovezi:
Să considerăm un triunghi arbitrar ABC. Fie latura BC \u003d a, latura CA \u003d b, iar S să fie aria acestui triunghi. Este necesar să se demonstreze că S \u003d (1/2) * a * b * sin (C).
Pentru început, introducem un sistem de coordonate dreptunghiular și plasăm originea în punctul C. Plasați sistemul nostru de coordonate astfel încât punctul B să se afle pe direcția pozitivă a axei Cx, iar punctul A să aibă o ordonată pozitivă.
Dacă totul este făcut corect, ar trebui să obțineți următoarea figură.
Aria unui triunghi dat poate fi calculată folosind următoarea formulă: S \u003d (1/2) * a * hunde h este înălțimea triunghiului. În cazul nostru, înălțimea triunghiului h este egală cu ordonata punctului A, adică h \u003d b * sin (C).
Având în vedere rezultatele obținute, formula pentru aria unui triunghi poate fi rescrisă astfel: S \u003d (1/2) * a * b * sin (C). Q.E.D.
Rezolvarea problemelor
Problema 1. Găsiți aria unui triunghi ABC dacă a) AB \u003d 6 * √8 cm, AC \u003d 4 cm, unghi A \u003d 60 grade b) BC \u003d 3 cm, AB \u003d 18 * √2 cm, unghi B \u003d 45 grade în ) AC \u003d 14 cm, CB \u003d 7 cm, unghiul C \u003d 48 de grade.
Prin teorema demonstrată mai sus, aria S a unui triunghi ABC este egală cu:
S \u003d (1/2) * AB * AC * sin (A).
Să facem calculele:
a) S \u003d ((1/2) * 6 * √8 * 4 * sin (60˚)) \u003d 12 * √6 cm ^ 2.
b) S \u003d (1/2) * BC * BA * sin (B) \u003d ((1/2) * 3 * 18 * √2 * (√2 / 2)) \u003d 27 cm ^ 2.
c) S \u003d (1/2) * CA * CB * sin (C) \u003d ½ * 14 * 7 * sin48˚ cm ^ 2.
Valoarea sinusului unghiului este calculată pe un calculator sau folosim valorile din tabelul valorilor unghiurilor trigonometrice. Răspuns:
a) 12 * √6 cm ^ 2.
c) aproximativ 36,41 cm ^ 2.
Problema 2. Aria triunghiului ABC este de 60 cm ^ 2. Găsiți latura AB dacă AC \u003d 15 cm, unghiul A \u003d 30˚.
Fie S aria unui triunghi ABC. Prin teorema zonei unui triunghi, avem:
S \u003d (1/2) * AB * AC * sin (A).
Să înlocuim valorile pe care le avem în ea:
60 \u003d (1/2) * AB * 15 * sin30˚ \u003d (1/2) * 15 * (1/2) * AB \u003d (15/4) * AB.
De aici exprimăm lungimea laturii AB: AB \u003d (60 * 4) / 15 \u003d 16.
