Pregătirea pentru examen. Rezolvarea inegalităților logaritmice și exponențiale prin metoda de raționalizare. Lucrarea lui Manov „Inegalități logaritmice în examen” Soluția nivelului profilului examenului inegalităților logaritmice
Secțiuni: Matematica
Adesea, atunci când se decide inegalități logaritmice, există probleme cu o bază variabilă a logaritmului. Deci, o inegalitate a formei
este o inegalitate școlară standard. De regulă, pentru a o rezolva, se aplică o tranziție la un set echivalent de sisteme:
Dezavantajul acestei metode este necesitatea de a rezolva șapte inegalități, fără a lua în considerare două sisteme și un set. Deja cu funcții pătratice date, rezolvarea unui set poate consuma mult timp.
Se poate propune o modalitate alternativă, mai puțin laborioasă de a rezolva această inegalitate standard. Pentru aceasta, luăm în considerare următoarea teoremă.
Teorema 1. Fie o funcție de creștere continuă pe setul X. Apoi, pe acest set, semnul creșterii funcției va coincide cu semnul creșterii argumentului, adică Unde 
.
Notă: dacă o funcție continuă descrescătoare pe setul X, atunci.
Să ne întoarcem la inegalitate. Să mergem la logaritmul zecimal (puteți merge la oricare cu o bază constantă mai mare decât una).
Acum puteți utiliza teorema, notând în numerator creșterea funcțiilor 
și în numitor. Deci este adevărat
Ca rezultat, numărul de calcule care duc la răspuns este aproximativ înjumătățit, ceea ce nu numai că economisește timp, dar vă permite, de asemenea, să faceți mai puține erori aritmetice și de „neatenție”.
Exemplul 1.
Comparând cu (1) găsim 
, 
, .
Trecând la (2) vom avea:
Exemplul 2.
Comparând cu (1) găsim ,,.
Trecând la (2) vom avea:
Exemplul 3.
Deoarece partea stângă a inegalității este o funcție în creștere pentru și 
, atunci răspunsul este stabilit.
Setul de exemple în care teorema 1 poate fi aplicată poate fi ușor extins dacă se ia în considerare teorema 2.
Lăsați pe platou X funcții ,,, iar pe acest set semnele și coincid, adică , atunci va fi corect.
Exemplul 4.
Exemplul 5.
Cu abordarea standard, exemplul este rezolvat conform schemei: produsul este mai mic decât zero, atunci când factorii sunt cu semne diferite. Acestea. se are în vedere ansamblul a două sisteme de inegalități, în care, așa cum s-a indicat la început, fiecare inegalitate se împarte în încă șapte.
Dacă luăm în considerare teorema 2, atunci fiecare dintre factori, luând în considerare (2), poate fi înlocuit cu o altă funcție care are același semn în acest exemplu O.D.Z.
Metoda de înlocuire a creșterii unei funcții cu o creștere a argumentului, ținând cont de teorema 2, se dovedește a fi foarte convenabilă atunci când se rezolvă problemele tipice C3 ale examenului.
Exemplul 6.
Exemplul 7.
... Să denotăm. Primim
... Rețineți că înlocuirea implică:. Revenind la ecuație, obținem
.
Exemplul 8.
În teoremele pe care le folosim, nu există nicio restricție asupra claselor de funcții. În acest articol, de exemplu, teoremele au fost aplicate soluției inegalităților logaritmice. Următoarele câteva exemple vor demonstra promisiunea metodei de rezolvare a altor tipuri de inegalități.
INEGALITĂȚI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE
Sechin Mihail Alexandrovici
Mică Academie de Științe pentru studenții Republicii Kazahstan „Căutător”
MBOU "Școala secundară Sovetskaya №1", clasa a 11-a, oraș. Districtul Sovetsky sovietic
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesoara MBOU „Școala sovietică №1”
Districtul sovietic
Obiectiv: investigarea mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 folosind metode nestandardizate, identificarea fapte interesante logaritm.
Subiect de studiu:
3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode nestandardizate.
Rezultate:
Conţinut
Introducere ……………………………………………………………………… .4
Capitolul 1. Context ………………………………………………… ... 5
Capitolul 2. Colectarea inegalităților logaritmice ………………………… 7
2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor …………… 7
2.2. Metoda de raționalizare ………………………………………………… 15
2.3. Înlocuirea non-standard .................. .......................................... ..... 22
2.4. Misiuni de capcană ………………………………………………… 27
Concluzie ………………………………………………………………… 30
Literatură……………………………………………………………………. 31
Introducere
Sunt în clasa a XI-a și intenționez să intru într-o universitate, unde subiectul profilului este matematică. Prin urmare, lucrez mult cu problemele părții C. În sarcina C3, trebuie să rezolvați o inegalitate nestandardă sau un sistem de inegalități, de obicei asociat cu logaritmi. În timp ce mă pregăteam pentru examen, m-am confruntat cu problema lipsei de metode și tehnici pentru rezolvarea inegalităților logaritmice ale examenului oferite în C3. Metode învățate în curiculumul scolar pe această temă, nu oferiți o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică m-a invitat să lucrez singur cu sarcinile C3 sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: există logaritmi în viața noastră?
Având în vedere acest lucru, a fost ales subiectul:
„Inegalități logaritmice la examen”
Obiectiv: investigarea mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode nestandardizate, dezvăluind fapte interesante ale logaritmului.
Subiect de studiu:
1) Găsiți informațiile necesare despre metodele nestandardizate pentru rezolvarea inegalităților logaritmice.
2) Găsiți mai multe informații despre logaritmi.
3) Învață să rezolvi probleme specifice C3 folosind metode non-standard.
Rezultate:
Semnificația practică constă în extinderea aparatului pentru rezolvarea problemelor C3. Acest material poate fi folosit în unele lecții, pentru cercuri, activități extracurriculare în matematică.
Produsul proiectului va fi colecția „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”.
Capitolul 1. Context
De-a lungul secolului al XVI-lea, numărul calculelor aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studierea mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori de mulți ani. Astronomia era în pericolul real de a se îneca în calcule neîndeplinite. Au apărut dificultăți în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, tabelele cu dobânzi compuse erau necesare pentru diferite valori ale interesului. Principala dificultate a fost reprezentată de înmulțirea, împărțirea numerelor multidigitare, în special mărimile trigonometrice.
Descoperirea logaritmilor s-a bazat pe proprietățile binecunoscute ale progresiilor de la sfârșitul secolului al XVI-lea. Arhimede a vorbit despre legătura dintre membrii progresiei geometrice q, q2, q3, ... și progresia aritmetică a exponenților lor 1, 2, 3, ... în Psalm. O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la indicatori negativi și fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, divizarea, exponențierea și extracția rădăcinilor corespund exponențial în aritmetică - în aceeași ordine - adunării, scăderii, înmulțirii și diviziunii.
Aceasta a fost ideea din spatele logaritmului ca exponent.
Au trecut mai multe etape în istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor.
Etapa 1
Logaritmii au fost inventați cel târziu în 1594 de către baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Burghi (1552-1632). Ambii au dorit să ofere un nou mijloc convenabil de calcule aritmetice, deși au abordat această sarcină în moduri diferite. Neper a exprimat cinematic funcția logaritmică și a intrat astfel într-un nou câmp al teoriei funcției. Burghi a rămas pe baza luării în considerare a progreselor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu seamănă cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) aparține lui Napier. A apărut dintr-o combinație de cuvinte grecești: logos - „relație” și ariqmo - „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un termen diferit: numeri artificiale - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturale - „numere naturale”.
În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresch College din Londra, Napier a propus să ia zero pentru logaritmul unității și 100 pentru logaritmul celor zece, sau, ceea ce se rezumă la același lucru, pur și simplu 1. Așa au apărut logaritmele zecimale și au fost tipărite primele tabele logaritmice. Mai târziu, mesele Briggs au fost completate de librarul olandez și iubitor de matematică Andrian Flakk (1600-1667). Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi mai devreme decât oricine altcineva, și-au publicat tabelele mai târziu decât altele - în 1620. Jurnalul și semnele Jurnal au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659, urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Speidel a publicat tabele cu logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub titlul „Noi logaritmi”.
Primele tabele logaritmice în limba rusă au fost publicate în 1703. Dar în toate tabelele logaritmice s-au făcut erori în calcul. Primele tabele fără erori au fost publicate la Berlin în 1857, editate de matematicianul german K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă a geometriei analitice și a calculului infinitesimal. Stabilirea unei legături între cvadratura unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural datează din acel moment. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni.
Matematician, astronom și inginer german Nikolaus Mercator în compoziție
"Tehnica logaritmică" (1668) oferă o serie care dă expansiunea lui ln (x + 1) în
puterile lui x:
Această expresie corespunde exact cursului gândului său, deși, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci simboluri mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematica elementară dintr-un punct de vedere mai înalt”, citită în 1907-1908, F. Klein a propus utilizarea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor.
Etapa 3
Definiție funcția logaritmică în funcție de invers
exponențial, logaritmul ca indicator al gradului unei baze date
nu a fost formulat imediat. Compoziție de Leonard Euler (1707-1783)
O introducere în analiza infinitesimalului (1748) a servit ca o continuare
dezvoltarea teoriei funcției logaritmice. Prin urmare,
au trecut 134 de ani de la introducerea pentru prima dată a logaritmilor
(numărând din 1614) înainte ca matematicienii să ajungă la definiție
conceptul de logaritm, care este acum baza cursului școlar.
Capitolul 2. Colectarea inegalităților logaritmice
2.1. Tranziții echivalente și metoda intervalului generalizat.
Tranziții echivalente
dacă a\u003e 1
dacă 0 <
а <
1
Metoda intervalului generalizat
Această metodă este cea mai versatilă pentru rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Schema soluției arată astfel:
1. Reduceți inegalitatea la forma în care funcția 
, iar în dreapta 0.
2. Găsiți domeniul funcției .
3. Găsiți zerourile funcției , adică pentru a rezolva ecuația 
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).
4. Desenați domeniul și zerourile funcției pe linia numerică.
5. Determinați semnele funcției la intervalele obținute.
6. Selectați intervale în care funcția ia valorile necesare și notați răspunsul.
Exemplul 1.
Decizie:
Să aplicăm metoda de spațiere
de unde
Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnul logaritmilor sunt pozitive.
Răspuns:
Exemplul 2.
Decizie:
Primul cale . ODZ este determinat de inegalitate x \u003e 3. Luarea logaritmului pentru acest lucru x baza 10, primim
Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de descompunere, adică comparând factorii cu zero. Cu toate acestea, în acest caz, este ușor să se determine intervalele de constanță a funcției
prin urmare, puteți aplica metoda intervalelor.
Funcţie f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ este continuu la x \u003e 3 și dispare în puncte x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Astfel, definim intervalele de constanță a funcției f(x):
Răspuns:
A doua cale . Să aplicăm ideile metodei intervalelor direct la inegalitatea originală.
Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că expresiile a b - a c și ( a - 1)(b - 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră pentru x \u003e 3 este echivalent cu inegalitatea
sau
Ultima inegalitate este rezolvată prin metoda intervalelor
Răspuns:
Exemplul 3.
Decizie:
Să aplicăm metoda de spațiere
Răspuns:
Exemplul 4.
Decizie:
Din 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 pentru toate reale xapoi
Pentru a rezolva a doua inegalitate, folosim metoda intervalelor
În prima inegalitate, facem înlocuirea
apoi ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ycare satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.
De unde, de când
obținem inegalitatea
care se realizează cu aceia xpentru care 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Acum, luând în considerare soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în cele din urmă
Răspuns:
Exemplul 5.
Decizie:
Inegalitatea este echivalentă cu un set de sisteme
sau
Să aplicăm metoda intervalelor sau
Răspuns:
Exemplul 6.
Decizie:
Inegalitatea este echivalentă cu sistemul
Lasa
apoi y > 0,
iar prima inegalitate
sistemul ia forma
sau prin extindere
trinomial pătrat după factori,
Aplicând metoda intervalelor la ultima inegalitate,
vedem că soluțiile sale satisfac condiția y \u003e 0 va fi totul y > 4.
Astfel, inegalitatea inițială este echivalentă cu sistemul:
Deci, soluțiile la inegalitate sunt toate
2.2. Metoda de raționalizare.
Anterior, metoda raționalizării inegalității nu era rezolvată, nu era cunoscută. Aceasta este „o nouă metodă modernă eficientă pentru rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice” (citat din cartea S. I. Kolesnikova)
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, a existat reținere - îl cunoaște examinatorul și de ce nu i se dă la școală? Au existat situații în care profesorul i-a spus elevului: "De unde ai luat-o? Stai jos - 2."
Acum metoda este promovată pe scară largă. Și pentru experți există linii directoare asociate acestei metode, iar în „Cele mai complete ediții ale variantelor de model ...” în soluția C3 se folosește această metodă.
METODĂ MINUNATĂ!
„Masă magică”
În alte surse
în cazul în care un a\u003e 1 și b\u003e 1, apoi conectați a b\u003e 0 și (a -1) (b -1)\u003e 0;
în cazul în care un a\u003e 1 și 0 dacă 0<a<1 и b
>1, apoi conectați a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
dacă 0<a<1 и 00 și (a -1) (b -1)\u003e 0. Raționamentul de mai sus este simplu, dar simplifică considerabil soluția inegalităților logaritmice. Exemplul 4.
jurnal x (x 2-3)<0
Decizie:
Exemplul 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Decizie: Exemplul 6.
Pentru a rezolva această inegalitate, în loc de numitor, scriem (x-1-1) (x-1), iar în locul numărătorului - produsul (x-1) (x-3-9 + x). Exemplul 7.
Exemplul 8.
2.3. Înlocuire non-standard. Exemplul 1.
Exemplul 2.
Exemplul 3.
Exemplul 4.
Exemplul 5.
Exemplul 6.
Exemplul 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Să facem înlocuirea y \u003d 3 x -1; atunci această inegalitate ia forma Jurnal 4 jurnal 0,25 La fel de jurnal 0,25 Facem schimbarea t \u003d log 4 y și obținem inegalitatea t 2 -2t + ≥0, a cărei soluție este intervalele - Astfel, pentru a găsi valorile lui y, avem un set de două inegalități cele mai simple Prin urmare, inegalitatea inițială este echivalentă cu un set de două inegalități exponențiale, Soluția la prima inegalitate a acestui set este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Exemplul 8.
Decizie:
Inegalitatea este echivalentă cu sistemul Soluția la a doua inegalitate, care determină DHS, este setul celor x,
pentru cine x > 0.
Pentru a rezolva prima inegalitate, facem schimbarea Apoi obținem inegalitatea sau Setul de soluții la ultima inegalitate se găsește prin metodă intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, primim sau Multe dintre acestea xcare satisfac ultima inegalitate apartine lui ODZ ( x \u003e 0), prin urmare, este o soluție pentru sistem și de aici inegalitatea originară. Răspuns: 2.4. Căutați capcane. Exemplul 1.
Decizie. Inegalitățile ODZ sunt toate x care îndeplinesc condiția 0 Exemplul 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Răspuns... (0; 0,5) U.
Răspuns :
(3;6)
.
\u003d -log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, apoi rescrieți ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Soluția la acest set este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.
adică totalitatea 
... Astfel, inegalitatea inițială este valabilă pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Prin urmare, toate x din intervalul 0
Concluzie
Nu a fost ușor să găsim metode speciale pentru rezolvarea problemelor C3 din abundența mare a diferitelor surse educaționale. Pe parcursul muncii efectuate, am putut să studiez metode nestandardizate pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: \u200b\u200btranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării , substituire nestandard , sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode sunt absente în programa școlară.
Folosind diferite metode, am rezolvat cele 27 de inegalități propuse la examen în partea C, și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”, care a devenit un produs produs al muncii mele. Ipoteza pe care am pus-o la începutul proiectului a fost confirmată: sarcinile C3 pot fi rezolvate eficient, cunoscând aceste metode.
În plus, am găsit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să o fac. Produsele mele de design vor fi utile atât pentru studenți, cât și pentru profesori.
Concluzii:
Astfel, obiectivul stabilit al proiectului a fost atins, problema a fost rezolvată. Și am obținut cea mai completă și versatilă experiență în activitățile proiectului la toate etapele de lucru. În timpul lucrului la proiect, principalul meu impact de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activităților legate de operațiile mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativa personală, responsabilitatea, perseverența, activitatea.
O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pentru Am devenit: experiență școlară semnificativă, capacitatea de a extrage informații din diverse surse, de a verifica fiabilitatea acesteia, de a le clasifica în funcție de importanță.
În plus față de cunoștințele directe ale disciplinei în matematică, și-a extins abilitățile practice în domeniul informaticii, a dobândit noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, a stabilit contacte cu colegii de clasă și a învățat să coopereze cu adulții. Pe parcursul activităților proiectului, au fost dezvoltate abilități și abilități educaționale generale organizaționale, intelectuale și comunicative.
Literatură
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o singură variabilă (sarcini tipice C3).
2. Malkova AG Pregătirea pentru examenul de matematică.
3. Samarova SS Soluția inegalităților logaritmice.
4. Matematică. Colecție de lucrări de instruire editate de A.L. Semyonov și I.V. Iashchenko. -M.: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
Articolul este dedicat analizei a 15 sarcini din profilul USE în matematică pentru 2017. În această sarcină, elevilor li se oferă să rezolve inegalități, cel mai adesea logaritmice. Deși pot exista indicative. Acest articol oferă o analiză a exemplelor de inegalități logaritmice, inclusiv a celor care conțin o variabilă la baza logaritmului. Toate exemplele sunt preluate din banca deschisă a sarcinilor USE în matematică (profil), astfel încât astfel de inegalități vă vor întâlni la examen ca sarcina 15. Ideal pentru cei care doresc să învețe cum să rezolve sarcina 15 din a doua parte a profilului USE într-o perioadă scurtă de timp în matematică pentru a obține mai multe puncte la examen.
Analiza a 15 sarcini din examenul de profil la matematică
| Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea: |
În sarcinile celui de-al 15-lea examen de matematică (profil), se întâlnesc deseori inegalități logaritmice. Rezolvarea inegalităților logaritmice începe cu determinarea intervalului de valori acceptabile. În acest caz, nu există nicio variabilă la baza ambelor logaritmi, există doar numărul 11, ceea ce simplifică mult sarcina. Prin urmare, singura limitare pe care o avem aici este că ambele expresii sub semnul logaritmului sunt pozitive:
Title \u003d "(! LANG: Redat de QuickLaTeX.com">!}
Prima inegalitate din sistem este inegalitatea pătrată. Pentru a o rezolva, nu ne-ar strica să facem parte din stânga în factori. Cred că știi că orice trinom pătrat al formei 
este factorizat după cum urmează:
unde și sunt rădăcinile ecuației. În acest caz, coeficientul este 1 (acesta este coeficientul numeric din fața). Coeficientul este, de asemenea, 1, iar coeficientul este o interceptare, este -20. Rădăcinile unui trinom sunt cel mai ușor de determinat de teorema lui Vieta. Ecuația pe care am dat-o, atunci suma rădăcinilor va fi egală cu coeficientul cu semnul opus, adică -1, iar produsul acestor rădăcini va fi egal cu coeficientul, adică -20. Este ușor de ghicit că rădăcinile vor fi -5 și 4.
Acum partea stângă a inegalității poate fi factorizată: title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X la punctele -5 și 4. Prin urmare, soluția dorită a inegalității este un interval. Pentru cei care nu înțeleg ce este scris aici, puteți vedea detaliile în videoclip, începând din acest moment. Acolo veți găsi, de asemenea, o explicație detaliată a modului în care este rezolvată a doua inegalitate a sistemului. Se rezolvă. Mai mult, răspunsul este exact același ca pentru prima inegalitate a sistemului. Adică mulțimea scrisă mai sus este regiunea valorilor admisibile ale inegalității.
Deci, luând în considerare factorizarea, inegalitatea inițială ia forma:
Folosind formula, aducem 11 la puterea expresiei sub semnul primului logaritm și mutăm al doilea logaritm în partea stângă a inegalității, în timp ce schimbăm semnul său în opus:
După reducere obținem:
Ultima inegalitate, datorată funcției în creștere, este echivalentă cu inegalitatea 
, a cărei soluție este intervalul 
... Rămâne să o intersectăm cu gama de valori admisibile a inegalității, iar acesta va fi răspunsul la întreaga sarcină.
Deci, răspunsul dorit la sarcină este:
Am descoperit această sarcină, acum trecem la următorul exemplu al sarcinii 15 USE în matematică (profil).
| Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea:
|
Începem soluția prin determinarea intervalului de valori admisibile ale acestei inegalități. La baza fiecărui logaritm trebuie să fie un număr pozitiv care nu este egal cu 1. Toate expresiile de sub semnul logaritmului trebuie să fie pozitive. Nu ar trebui să existe zero în numitorul fracției. Ultima condiție este echivalentă cu aceasta, deoarece doar altfel ambele logaritmi din numitor dispar. Toate aceste condiții determină gama valorilor admisibile ale acestei inegalități, care este definită de următorul sistem de inegalități:
Title \u003d "(! LANG: Redat de QuickLaTeX.com">!}
În intervalul de valori valide, putem folosi formulele de transformare a logaritmului pentru a simplifica partea stângă a inegalității. Folosind formula 
scapă de numitor:
Acum avem doar logaritmi de bază. Acest lucru este deja mai convenabil. Apoi, folosim formula și, de asemenea, formula pentru a aduce expresia care merită glorie la următoarea formă:
În calcule, am folosit ceea ce se află în intervalul de valori acceptabile. Folosind înlocuitorul, ajungem la expresia:
Folosim încă un înlocuitor:. Drept urmare, ajungem la următorul rezultat:
Deci, ne întoarcem treptat la variabilele originale. Mai întâi la variabilă:
