Derivați complexi. Derivat logaritmic.
Derivata funcției exponențiale

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul acoperit, vom lua în considerare derivatele mai complexe și, de asemenea, vom face cunoștință cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea derivatului, în special, cu derivatul logaritmic.

Cititorii cu un nivel scăzut de pregătire ar trebui să se refere la articol Cum se găsește un derivat? Exemple de soluții, ceea ce vă va ridica abilitățile aproape de la zero. Apoi, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe, intelege si rezolva toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând și, după ce o stăpânești, vei diferenția cu încredere funcțiile destul de complexe. Nu este de dorit să adere la poziția „Unde altundeva? Și e suficient! ”, Pentru că toate exemplele și soluțiile sunt luate din teste reale și se găsesc adesea în practică.

Să începem cu repetarea. La lectie Derivată a unei funcții complexene-am uitat la o serie de exemple cu comentarii detaliate. În cursul studierii calculului diferențial și a altor ramuri ale analizei matematice, va trebui să vă diferențiați foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să scrieți exemple în detaliu. Prin urmare, vom practica găsirea de derivate pe cale orală. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivați ai celor mai simple funcții complexe, de exemplu:

Prin regula diferențierii unei funcții complexe :

Când se studiază alte subiecte ale matanului în viitor, o astfel de notă detaliată nu este adesea necesară, se presupune că studentul este capabil să găsească derivate similare pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a avut loc un telefon și o voce plăcută a întrebat: „Care este derivatul tangentei a două X-uri?” Acesta ar trebui să fie urmat de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat unei soluții independente.

Exemplul 1

Găsiți următoarele derivate pe cale orală, într-un singur pas, de exemplu :. Pentru a finaliza sarcina, trebuie să utilizați numai tabelul derivatelor funcțiilor elementare (dacă nu este încă amintit). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția. Derivată a unei funcții complexe.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivați complexi

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu atașamente de funcții 3-4-5 vor fi mai puțin înfricoșătoare. Poate că următoarele două exemple vor părea dificile pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va suferi), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă copilărească.

Exemplul 2

Găsiți derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când se găsește derivata unei funcții complexe, este necesar în primul rând dreaptaÎNȚELEGI atașamentele. În cazurile în care există îndoieli, îmi amintesc o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală „X”, de exemplu, și încercăm (mental sau pe o schiță) să înlocuim această valoare cu „expresia teribilă”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai profundă investiție.

2) Apoi, trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi ridicați cosinusul la un cub:

5) La al cincilea pas, diferența:

6) Și, în cele din urmă, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula complexă de diferențiere a funcției sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția exterioară la cea interioară. Noi decidem:

Pare fără greșeli ....

(1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luați derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata triplului este zero. În al doilea termen, luăm derivata gradului (cub).

(4) Luați derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) În cele din urmă, luăm derivatul celui mai adânc cuibărit.

Poate suna prea greu, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia tot farmecul și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la examen pentru a verifica dacă elevul înțelege cum să găsească derivatul unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pentru o soluție independentă.

Exemplul 3

Găsiți derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi, aplicați regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Acum este momentul să treci la ceva mai compact și drăguț.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să ofere un produs de nu două, ci de trei funcții. Cum se găsește derivatul produsului din trei factori?

Exemplul 4

Găsiți derivata unei funcții

În primul rând, să vedem dacă este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea extinde parantezele. Dar în acest exemplu, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri, este necesar în mod constantaplică regula de diferențiere a produselor de două ori

Trucul este că pentru „y” denotăm produsul a două funcții: și pentru „ve” - logaritmul :. De ce se poate face acest lucru? Este - acesta nu este un produs de doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

Puteți fi în continuare pervertit și puneți ceva în afara parantezelor, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul în acest formular - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul considerat poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Găsiți derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, în eșantion se rezolvă în primul mod.

Să vedem exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Găsiți derivata unei funcții

Aici puteți merge în mai multe moduri:

Sau așa:

Dar soluția va fi scrisă mai compact dacă în primul rând vom folosi regula pentru diferențierea coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat și, dacă îl lăsați așa cum este, nu va fi o eroare. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna recomandabil să verificați o schiță, dar este posibil să simplificați răspunsul? Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și scapă de fracțiunea cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a face o greșeală nu în găsirea derivatului, ci în transformări banale școlare. Pe de altă parte, profesorii deseori resping o sarcină și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu pentru o soluție de bricolaj:

Exemplul 7

Găsiți derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei, iar acum vom lua în considerare un caz tipic când logaritmul „teribil” este propus pentru diferențiere

Exemplul 8

Găsiți derivata unei funcții

Aici puteți parcurge un drum lung, folosind regula diferențierii unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te scufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei un derivat neplăcut dintr-o putere fracționată și apoi și dintr-o fracțiune.

prin urmare inainte de cum să luați derivatul logaritmului "fantezist", este simplificat preliminar folosind proprietățile școlare bine-cunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule chiar acolo. Dacă nu aveți un caiet, redesenați-le pe o bucată de hârtie, deoarece restul exemplelor lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi structurată astfel:

Să transformăm funcția:

Găsiți derivatul:

Preconfigurarea funcției în sine a simplificat mult soluția. Astfel, atunci când un astfel de logaritm este propus pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „rupem”.

Și acum câteva exemple simple pentru o soluție independentă:

Exemplul 9

Găsiți derivata unei funcții

Exemplul 10

Găsiți derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile la sfârșitul lecției.

Derivat logaritmic

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci apare întrebarea, este posibil în unele cazuri să organizăm logaritmul în mod artificial? Poate sa! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Găsiți derivata unei funcții

Am văzut exemple similare recent. Ce sa fac? Puteți aplica în mod constant regula pentru diferențierea coeficientului și apoi regula pentru diferențierea lucrării. Dezavantajul acestei metode este că obții o fracțiune uriașă de trei etaje, cu care nu vrei să te ocupi deloc.

Dar, în teorie și practică, există un lucru atât de minunat ca derivatul logaritmic. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „agățarea” lor de ambele părți:

Notă : de cand funcția poate lua valori negative, apoi, în general vorbind, trebuie să utilizați module: care va dispărea ca urmare a diferențierii. Cu toate acestea, proiectarea actuală este, de asemenea, acceptabilă, unde sunt luate în considerare valorile implicite complex valori. Dar dacă cu toată severitatea, atunci în ambele cazuri ar trebui făcută o rezervare.

Acum trebuie să „rupi” maxim logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor tăi?). Voi descrie acest proces în detaliu:

De fapt, procedăm la diferențiere.
Închidem ambele părți sub cursă:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu voi comenta, deoarece dacă citiți acest text, trebuie să faceți față cu încredere.

Dar partea stângă?

În stânga avem funcție complexă... Prevăd întrebarea: „De ce, există și o literă„ igrek ”sub logaritm?”

Faptul este că acest „igrek cu o singură literă” - SINGURA ESTE O FUNCȚIE (dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivat dintr-o funcție implicită). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „jocul” este o funcție internă. Și folosim regula diferențierii unei funcții complexe :

În partea stângă, ca prin magie, avem un derivat. Mai departe, conform regulii proporționale, aruncăm „jocul” de la numitorul din partea stângă în partea de sus a părții din dreapta:

Și acum ne amintim ce fel de funcție de „joc” am discutat în diferențiere? Ne uităm la starea:

Răspuns final:

Exemplul 12

Găsiți derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj. Un eșantion al proiectării unui exemplu de acest tip la sfârșitul lecției.

Cu ajutorul derivatului logaritmic a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, este o altă chestiune că funcțiile de acolo sunt mai simple și, probabil, utilizarea derivatului logaritmic nu este foarte justificată.

Derivata funcției exponențiale

Nu am luat în considerare încă această funcție. O funcție exponențială este o funcție în care iar gradul și baza depind de „x”... Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau în orice prelegere:

Cum se găsește derivata unei funcții exponențiale?

Este necesar să folosiți trucul pe care tocmai l-ați luat în considerare - derivatul logaritmic. Agățăm logaritmi de ambele părți:

De regulă, gradul este scos de sub logaritmul din partea dreaptă:

Drept urmare, în partea dreaptă avem un produs cu două funcții, care vor fi diferențiate în conformitate cu formula standard .

Găsiți derivata, pentru aceasta înglobăm ambele părți sub linii:

Alte acțiuni sunt simple:

In cele din urma:

Dacă unele transformări nu sunt pe deplin clare, vă rugăm să citiți cu atenție explicațiile din Exemplul 11.

În sarcinile practice, funcția exponențială va fi întotdeauna mai complicată decât exemplul luat în considerare.

Exemplul 13

Găsiți derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și un produs de doi factori - "x" și "logaritmul logaritmului lui x" (un alt logaritm este încorporat sub logaritm). Când diferențiem constanta, după cum ne amintim, este mai bine să scoatem imediat semnul derivatei, astfel încât să nu se împiedice în picioare; și, desigur, aplică regula familiară :

În cazul în care un g(x) și f(tu) Sunt funcții diferențiate ale argumentelor lor, respectiv, la puncte x și tu= g(x), atunci funcția complexă este, de asemenea, diferențiată la punctul respectiv xși se găsește prin formula

O greșeală tipică în rezolvarea problemelor derivate este transferul automat al regulilor de diferențiere a funcțiilor simple în funcții complexe. Vom învăța să evităm această greșeală.

Exemplul 2.Găsiți derivata unei funcții

Soluție greșită: calculați logaritmul natural al fiecărui termen dintre paranteze și căutați suma derivatelor:

Soluție corectă: din nou definim unde este „măr” și unde este „carne tocată”. Aici logaritmul natural al expresiei dintre paranteze este „măr”, adică o funcție printr-un argument intermediar tu, iar expresia dintre paranteze este „tocă”, adică un argument intermediar tu prin variabilă independentă x.

Apoi (folosind formula 14 din tabelul derivatelor)

În multe probleme reale, expresia cu logaritmul este oarecum mai complicată, deci există o lecție

Exemplul 3.Găsiți derivata unei funcții

Soluție greșită:

Soluție corectă. Încă o dată, definim unde este „măr” și unde este „carne tocată”. Aici, cosinusul expresiei dintre paranteze (formula 7 din tabelul derivatelor) este „măr”, este preparat în modul 1, afectându-l doar pe acesta, iar expresia dintre paranteze (derivatul puterii este numărul 3 din tabelul derivatelor) este „carne tocată”, se pregătește cu modul 2, care îl afectează numai pe acesta. Și, ca întotdeauna, conectăm cele două derivate cu un semn de lucru. Rezultat:

Derivatul unei funcții logaritmice complexe este o atribuire frecventă în lucrările de testare, așa că vă recomandăm cu tărie să vizitați lecția „Derivată a unei funcții logaritmice”.

Primele exemple au fost pentru funcții complexe în care argumentul intermediar al variabilei independente a fost o funcție simplă. Dar în sarcinile practice este adesea necesar să se găsească derivata unei funcții complexe, unde argumentul intermediar este fie el însuși o funcție complexă, fie conține o astfel de funcție. Ce să faci în astfel de cazuri? Găsiți derivate ale unor astfel de funcții folosind tabele și reguli de diferențiere. Când se găsește derivatul argumentului intermediar, acesta este pur și simplu înlocuit la locul potrivit în formulă. Mai jos sunt două exemple despre cum se realizează acest lucru.

De asemenea, este util să cunoașteți următoarele. Dacă o funcție complexă poate fi reprezentată ca un lanț de trei funcții

atunci derivatul său ar trebui găsit ca produs al derivatelor fiecăreia dintre aceste funcții:

Multe dintre temele dvs. pot necesita deschiderea tutorialelor în ferestre noi Acțiuni cu puteri și rădăcini și Acțiuni cu fracții .

Exemplul 4.Găsiți derivata unei funcții

Aplicăm regula diferențierii unei funcții complexe, fără a uita că în produsul rezultat al derivatelor, argumentul intermediar cu privire la variabila independentă x nu se schimba:

Pregătim al doilea factor al produsului și aplicăm regula pentru diferențierea sumei:

Prin urmare, al doilea termen este o rădăcină

Astfel, am obținut că argumentul intermediar, care este o sumă, conține o funcție complexă ca unul dintre termeni: ridicarea la o putere este o funcție complexă, iar ceea ce este ridicat la o putere este un argument intermediar cu privire la variabila independentă x.

Prin urmare, aplicăm din nou regula diferențierii unei funcții complexe:

Transformăm gradul primului factor într-o rădăcină și diferențiat al doilea factor, nu uitați că derivata constantei este egală cu zero:

Acum putem găsi derivata argumentului intermediar necesar pentru a calcula derivata unei funcții complexe necesare în condiția problemei y:

Exemplul 5.Găsiți derivata unei funcții

În primul rând, să folosim regula diferențierii sumelor:

Am primit suma derivatelor a două funcții complexe. Primul dintre ele îl găsim:

Aici ridicarea sinusului la o putere este o funcție complexă, iar sinusul în sine este un argument intermediar cu privire la variabila independentă x... Prin urmare, vom folosi regula diferențierii unei funcții complexe, pe parcurs luând în considerare factorul :

Acum găsim al doilea termen din generatorii derivatei funcției y:

Aici ridicarea cosinusului la o putere este o funcție complexă f, iar cosinusul în sine este un argument intermediar cu privire la variabila independentă x... Să folosim din nou regula diferențierii unei funcții complexe:

Rezultatul este derivatul necesar:

Tabel derivat al unor funcții complexe

Pentru funcțiile complexe, pe baza regulii de diferențiere a unei funcții complexe, formula pentru derivarea unei funcții simple ia o formă diferită.

1. Derivată a unei funcții de putere compuse, unde tu x
2. Derivată a rădăcinii expresiei
3. Derivată a funcției exponențiale
4. Un caz special de funcție exponențială
5. Derivată a unei funcții logaritmice cu o bază pozitivă arbitrară și
6. Derivată a unei funcții logaritmice complexe, unde tu - funcție argument diferențiată x
7. Derivată de sinus
8. Derivată a cosinusului
9. Derivată a tangentei
10. Derivată a cotangentei
11. Derivată a arcsinei
12. Derivat al arccosinei
13. Derivată a arctangentei
14. Derivată a arcului cotangent

Dacă urmărim definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului creșterii funcției Δ y la creșterea argumentului Δ x:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să calculați folosind această formulă, să zicem, derivata unei funcții f(x) = x 2 + (2x + 3) e x Păcat x... Dacă faceți totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule veți adormi. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că așa-numitele funcții elementare se pot distinge de întreaga varietate de funcții. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și introduse în tabel. Astfel de funcții sunt suficient de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcțiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivații acestor funcții trebuie cunoscuți pe de rost. Mai mult, memorarea lor nu este deloc dificilă - de aceea sunt elementare.

Deci, derivatele funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Grad rațional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) \u003d păcat x	cos x
Cosinus	f(x) \u003d cos x	- păcat x (minus sinus)
Tangentă	f(x) \u003d tg x	1 / cos 2 x
Cotangentă	f(x) \u003d ctg x	- 1 / păcat 2 x
Logaritm natural	f(x) \u003d ln x	1/x
Logaritm arbitrar	f(x) \u003d jurnal a x	1/(x Ln a)
Functie exponentiala	f(x) = e x	e x (Nimic nu s-a schimbat)

Dacă funcția elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcții este de asemenea ușor calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi mutate în afara semnului derivat. De exemplu:

(2x 3) ’\u003d 2 · ( x 3) '\u003d 2 3 x 2 = 6x 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate una la cealaltă, multiplicate, împărțite - și multe altele. Astfel, vor apărea noi funcții, care nu mai sunt deosebit de elementare, ci și diferențiabile în funcție de anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată de sumă și diferență

Să funcții f(x) și g(x), ale căror derivate sunt cunoscute de noi. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferenței) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare, diferența f − g poate fi rescris ca sumă f + (−1) g, și atunci rămâne o singură formulă - derivatul sumei.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funcţie f(x) Este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(x) = (x 2 + păcat x)’ = (x 2) ’+ (păcat x)’ = 2x + cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(x). Numai că există deja trei termeni (din punctul de vedere al algebrei):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Răspuns:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat al unei opere

Matematica este o știință logică, așa că mulți cred că dacă derivata sumei este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului lovitură"\u003e este egal cu produsul derivatelor. Dar te simți! Derivatul produsului este calculat folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar adesea trecută cu vederea. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este rezolvarea incorectă a problemelor.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x - 7) e x .

Funcţie f(x) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ’cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- păcat x) = x 2 (3cos x − x Păcat x)

Functia g(x) primul factor este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă față de acest lucru. Evident, primul factor al funcției g(x) este un polinom, iar derivatul său este derivatul sumei. Noi avem:

g ’(x) = ((x 2 + 7x - 7) e x)’ = (x 2 + 7x - 7) ” e x + (x 2 + 7x - 7) ( e x)’ = (2x + 7) e x + (x 2 + 7x - 7) e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) e x .

Răspuns:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x Păcat x);
g ’(x) = x(x + 9) e x .

Rețineți că, în ultimul pas, derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu este necesar, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate de la sine, ci pentru a investiga funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi echivalată cu zero, semnele sale vor fi clarificate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(x) și g(x), și g(x) ≠ 0 pe setul de interes pentru noi, putem defini o nouă funcție h(x) = f(x)/g(x). Pentru o astfel de funcție, puteți găsi și o derivată:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai dificile formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să o studiați cu exemple specifice.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numărătorul și numitorul fiecărei fracții conține funcții elementare, deci nu avem nevoie decât de formula pentru derivata coeficientului:

Prin tradiție, luarea în calcul a numărătorului în factori va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(x) \u003d păcat x și înlocuiți variabila xsă spunem mai departe x 2 + ln x... Se va dovedi f(x) \u003d păcat ( x 2 + ln x) Este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va funcționa pentru a-l găsi conform regulilor discutate mai sus.

Cum să fii? În astfel de cazuri, înlocuirea variabilelor și formula pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(x) = f ’(t) · t ', în cazul în care un x se înlocuiește cu t(x).

De regulă, cu înțelegerea acestei formule, situația este chiar mai tristă decât cu derivatul coeficientului. Prin urmare, este de asemenea mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu o descriere detaliată a fiecărui pas.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) \u003d păcat ( x 2 + ln x)

Rețineți că dacă funcția f(x) în loc de expresia 2 x + 3 va fi ușor x, atunci obținem o funcție elementară f(x) = e x ... Prin urmare, facem o înlocuire: let 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t ... Căutăm derivata unei funcții complexe prin formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Realizăm înlocuirea inversă: t = 2x + 3. Primim:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x + 3 (2 x + 3)’ = e 2x + 3 2 \u003d 2 e 2x + 3

Acum să ne ocupăm de funcție g(x). Evident, trebuie să înlocuiți x 2 + ln x = t... Noi avem:

g ’(x) = g ’(t) · t ’\u003d (Sin t)’ · t ’\u003d Cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = x 2 + ln x... Apoi:

g ’(x) \u003d cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) ’\u003d Cos ( x 2 + ln x) (2 x + 1/x).

Asta e tot! După cum se poate observa din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(x) \u003d 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) Cos ( x 2 + ln x).

Foarte des în lecțiile mele folosesc cuvântul „accident vascular cerebral” în locul termenului „derivat”. De exemplu, un prim dintr-o sumă este egal cu suma loviturilor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la eliminarea acestor cursuri, conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la derivata exponentului cu un exponent rațional:

(x n)’ = n · x n − 1

Puțini știu care este rolul n poate fi un număr fracționat. De exemplu, rădăcina este x 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezie sub rădăcină? Din nou, va apărea o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții la teste și examene.

O sarcină. Găsiți derivata unei funcții:

În primul rând, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Acum facem o înlocuire: let x 2 + 8x − 7 = t... Găsim derivata după formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) ” t '\u003d 0,5 t −0,5 t ’.

Înlocuim invers: t = x 2 + 8x - 7. Avem:

f ’(x) \u003d 0,5 ( x 2 + 8x - 7) −0,5 ( x 2 + 8x - 7) ’\u003d 0,5 · (2 x + 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

În cele din urmă, reveniți la rădăcini:

Funcțiile complexe nu se potrivesc întotdeauna definiției unei funcții complexe. Dacă există o funcție de forma y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, atunci nu poate fi considerată complexă, spre deosebire de y \u003d sin 2 x.

Acest articol va arăta conceptul unei funcții complexe și identificarea acesteia. Să lucrăm cu formule pentru găsirea derivatei cu exemple de soluții în concluzie. Utilizarea tabelului derivatelor și regula diferențierii reduce semnificativ timpul pentru găsirea derivatului.

Definiții de bază

Definiția 1

O funcție complexă este o funcție al cărei argument este și o funcție.

Se notează astfel: f (g (x)). Avem că funcția g (x) este considerată un argument pentru f (g (x)).

Definiția 2

Dacă există o funcție f și este o funcție cotangentă, atunci g (x) \u003d ln x este o funcție a logaritmului natural. Obținem că funcția complexă f (g (x)) va fi scrisă ca arctan (lnx). Sau o funcție f, care este o funcție ridicată la puterea a patra, unde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 este considerată o funcție rațională întreagă, obținem că f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

Evident, g (x) poate fi dificil. Din exemplul y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, puteți vedea că valoarea lui g are o rădăcină cub cu o fracție. Această expresie poate fi notată ca y \u003d f (f 1 (f 2 (x))). De unde avem că f este o funcție sinusoidală și f 1 este o funcție situată sub rădăcină pătrată, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 este o funcție rațională fracționată.

Definiție 3

Gradul de cuibărire este determinat de oricare numar natural și este scris ca y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))).

Definiția 4

Conceptul de compoziție a funcției se referă la numărul de funcții imbricate de o declarație de problemă. Pentru soluție, o formulă pentru găsirea derivatei unei funcții complexe a formei

(f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x)

Exemple de

Exemplul 1

Găsiți derivata unei funcții complexe de forma y \u003d (2 x + 1) 2.

Decizie

Prin condiție, puteți vedea că f este o funcție de pătrat și g (x) \u003d 2 x + 1 este considerată o funcție liniară.

Să aplicăm formula derivată pentru o funcție complexă și să scriem:

f "(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)" \u003d 2 · (g (x)) 2 - 1 \u003d 2 · g (x) \u003d 2 · (2 \u200b\u200bx + 1); g "(x) \u003d (2 x + 1)" \u003d (2 x) "+ 1" \u003d 2 x "+ 0 \u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2 ⇒ (f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 (2 x + 1) 2 \u003d 8 x + 4

Este necesar să se găsească o derivată cu o formă originală simplificată a funcției. Primim:

y \u003d (2 x + 1) 2 \u003d 4 x 2 + 4 x + 1

De aceea avem asta

y "\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)" \u003d (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "\u003d 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 \u003d \u003d 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 \u003d 8 x + 4

Rezultatele s-au potrivit.

Când rezolvați probleme de acest fel, este important să înțelegeți unde va fi localizată funcția formei f și g (x).

Exemplul 2

Ar trebui să găsiți derivatele funcțiilor complexe de forma y \u003d sin 2 x și y \u003d sin x 2.

Decizie

Prima notație a funcției spune că f este o funcție de pătrat și g (x) este o funcție sinusoidală. Atunci obținem asta

y "\u003d (sin 2 x)" \u003d 2 sin 2 - 1 x (sin x) "\u003d 2 sin x cos x

A doua intrare arată că f este o funcție sinusoidală, iar g (x) \u003d x 2 este o funcție de putere. Rezultă că produsul unei funcții complexe poate fi scris ca

y "\u003d (sin x 2)" \u003d cos (x 2) (x 2) "\u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Formula pentru derivata y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x))))))) va fi scrisă ca y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x)) )) ·. ... ... · F n "(x)

Exemplul 3

Găsiți derivata funcției y \u003d sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Decizie

Acest exemplu arată complexitatea funcțiilor de scriere și localizare. Atunci y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) denotați, unde f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) este o funcție sinusoidală, o funcție de creștere în 3 grad, funcție cu logaritm și bază e, funcție arctangentă și liniară.

Din formula pentru definirea unei funcții complexe, avem asta

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Obținem ce să găsim

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ca derivată sinusoidală conform tabelului derivatelor, apoi f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ca derivată a funcției de putere, apoi f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) \u003d 3 ln 3 - 1 arctan (2 x) \u003d 3 ln 2 arctan (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ca derivată a logaritmului, apoi f 2" (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)) ca derivată a arctangentei, apoi f 3" (f 4 (x)) \u003d 1 1 + (2 x) 2 \u003d 1 1 + 4 x 2.
5. Când găsiți derivata f 4 (x) \u003d 2 x, scădeți 2 în afara semnului derivatei folosind formula pentru derivata unei funcții de putere cu un exponent egal cu 1, atunci f 4 "(x) \u003d (2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2.

Combinăm rezultatele intermediare și obținem acest lucru

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) \u003d \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 arctan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 \u003d \u003d 6 cos (ln 3 arctan (2 x)) ln 2 arctan (2 x) arctan (2 x) (1 + 4 x 2)

Analizarea acestor funcții seamănă cu păpușile matrioșka. Regulile de diferențiere nu pot fi întotdeauna aplicate în mod explicit folosind un tabel de instrumente derivate. Este adesea necesar să se utilizeze o formulă pentru găsirea derivatelor funcțiilor complexe.

Există unele diferențe între funcțiile complexe și cele complexe. Cu o capacitate evidentă de a distinge acest lucru, găsirea derivatelor va fi deosebit de ușoară.

Exemplul 4

Este necesar să luați în considerare oferirea unui exemplu similar. Dacă există o funcție de forma y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1, atunci poate fi considerată o formă complexă g (x) \u003d t g x, f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1. Evident, este necesar să se aplice o formulă pentru un derivat complex:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" \u003d (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "\u003d \u003d 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g "(x) \u003d (tgx)" \u003d 1 cos 2 x ⇒ y "\u003d (f (g (x)))" \u003d f "(g (x)) g" (x) \u003d (2 tgx + 3 ) 1 cos 2 x \u003d 2 tgx + 3 cos 2 x

O funcție de forma y \u003d t g x 2 + 3 t g x + 1 nu este considerată dificilă, deoarece are suma de t g x 2, 3 t g x și 1. Cu toate acestea, t g x 2 este considerat o funcție complexă, atunci obținem o funcție de putere de forma g (x) \u003d x 2 și f, care este o funcție a tangentei. Pentru a face acest lucru, ar trebui să vă diferențiați de suma. Obținem asta

y "\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)" \u003d (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "\u003d \u003d (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 \u003d (tgx 2)" + 3 cos 2 x

Trecem la găsirea derivatei unei funcții complexe (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x)))" \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g "(x) \u003d (x 2)" \u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Obținem că y "\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)" \u003d (t g x 2) "+ 3 cos 2 x \u003d 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funcțiile complexe pot fi incluse în funcții complexe, iar funcțiile complexe în sine pot fi funcții complexe.

Exemplul 5

De exemplu, considerați o funcție complexă de forma y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Această funcție poate fi reprezentată ca y \u003d f (g (x)), unde f este o funcție a logaritmului la baza 3, iar g (x) este considerată suma a două funcții de forma h (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 și k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1). Evident, y \u003d f (h (x) + k (x)).

Luați în considerare funcția h (x). Acesta este raportul l (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 la m (x) \u003d e x 2 + 3 3

Avem că l (x) \u003d x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 \u003d n (x) + p (x) este suma a două funcții n (x) \u003d x 2 + 7 și p (x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), unde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) este o funcție complexă cu un coeficient numeric 3 și p 1 este o funcție de cubare, p 2 ca funcție de cosinus, p 3 (x) \u003d 2 x + 1 - o funcție liniară.

Am obținut că m (x) \u003d ex 2 + 3 3 \u003d q (x) + r (x) este suma a două funcții q (x) \u003d ex 2 și r (x) \u003d 3 3, unde q (x) \u003d q 1 (q 2 (x)) este o funcție complexă, q 1 este o funcție cu funcție exponențială, q 2 (x) \u003d x 2 este o funcție de putere.

Aceasta arată că h (x) \u003d l (x) m (x) \u003d n (x) + p (x) q (x) + r (x) \u003d n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Când treceți la o expresie de forma k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), se poate vedea că funcția este reprezentată ca o funcție complexă s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) cu întreg rațional t (x) \u003d x 2 + 1, unde s 1 este funcția de pătrat și s 2 (x) \u003d ln x este logaritmic cu baza e.

Prin urmare, rezultă că expresia ia forma k (x) \u003d s (x) t (x) \u003d s 1 (s 2 (x)) t (x).

Atunci obținem asta

y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) \u003d \u003d fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) \u003d r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Prin structurile funcționale, a devenit clar cum și ce formule ar trebui utilizate pentru a simplifica o expresie atunci când o diferențiem. Pentru a vă familiariza cu astfel de probleme și pentru conceptul soluției lor, este necesar să vă îndreptați spre punctul de diferențiere a unei funcții, adică să găsiți derivatul acesteia.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

Pe care am analizat cele mai simple instrumente derivate și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și câteva tehnici de găsire a instrumentelor derivate. Astfel, dacă nu sunteți foarte bun cu derivatele funcțiilor sau unele puncte ale acestui articol nu sunt complet clare, atunci citiți mai întâi lecția de mai sus. Vă rog, acordați-vă o dispoziție serioasă - materialul nu este unul ușor, dar voi încerca să îl prezint simplu și ușor.

În practică, trebuie să te ocupi de derivata unei funcții complexe foarte des, aș spune chiar, aproape întotdeauna, când ți se dau sarcini pentru a găsi derivate.

Privim în tabel regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:

Înţelegere. În primul rând, să fim atenți la înregistrare. Aici avem două funcții - și, mai mult, funcția, figurativ vorbind, este încorporată în funcție. O funcție de acest fel (atunci când o funcție este cuibărită în alta) se numește funcție complexă.

Voi apela funcția funcție externăși funcția - o funcție internă (sau imbricată).

! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară la finalizarea sarcinilor. Folosesc expresii informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă ușura înțelegerea materialului.

Pentru a clarifica situația, luați în considerare:

Exemplul 1

Găsiți derivata unei funcții

Sub sinus, avem nu doar litera „X”, ci o expresie întreagă, deci nu va funcționa pentru a găsi derivata imediat din tabel. De asemenea, observăm că este imposibil să aplicăm primele patru reguli aici, se pare că există o diferență, dar faptul este că nu puteți „rupe” un sinus:

În acest exemplu, deja din explicațiile mele, este clar intuitiv că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (atașament) și o funcție externă.

Primul pas, care trebuie efectuat atunci când se găsește derivata unei funcții complexe este to aflați ce funcție este internă și care este externă.

Cand exemple simple pare clar că un polinom este cuibărit sub sinus. Dar dacă totul nu este evident? Cum se determină exact ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă sugerăm să utilizați următoarea tehnică, care poate fi realizată mental sau pe schiță.

Imaginați-vă că trebuie să calculăm valoarea unei expresii la pe un calculator (în loc de unul, poate exista orice număr).

Ce vom calcula mai întâi? in primul rand va trebui să efectuați următoarea acțiune :, deci polinomul va fi o funcție internă:

În al doilea rând va trebui găsit, deci sinusul va fi o funcție externă:

După ce noi Imaginat cu funcții interne și externe, este timpul să aplicăm regula diferențierii unei funcții complexe .

Începem să decidem. Din lecție Cum se găsește un derivat? ne amintim că proiectarea soluției oricărei derivate începe întotdeauna așa - închidem expresia între paranteze și punem o linie în dreapta sus:

Primul găsim derivata funcției externe (sinus), privim tabelul derivatelor funcțiilor elementare și observăm că. Toate formulele tabulare sunt de asemenea aplicabile dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:

Vă rugăm să rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu îl atingem.

Ei bine, este destul de evident că

Rezultatul aplicării formulei în designul final arată astfel:

Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:

Dacă există vreo neînțelegere, scrieți soluția și citiți din nou explicațiile.

Exemplul 2

Găsiți derivata unei funcții

Exemplul 3

Găsiți derivata unei funcții

Ca întotdeauna, scriem:

Să ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde este una internă. Pentru a face acest lucru, încercați (mental sau pe o schiță) să calculați valoarea expresiei la. Ce ar trebui făcut mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce este egală baza: ceea ce înseamnă că polinomul este funcția internă:

Și, numai atunci se realizează exponențierea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă:

Conform formulei , mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula necesară în tabel :. Repetăm \u200b\u200bdin nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „x”, ci și pentru o expresie complexă... Astfel, rezultatul aplicării regulii diferențierii unei funcții complexe ca urmare a:

Subliniez din nou că, atunci când luăm derivata funcției exterioare, funcția interioară nu se schimbă:

Acum rămâne să găsim un derivat foarte simplu al funcției interne și să „pieptănăm” puțin rezultatul:

Exemplul 4

Găsiți derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspuns la sfârșitul tutorialului).

Pentru a consolida înțelegerea derivatului unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, voi încerca să-l descopăr pe cont propriu, să speculez unde este funcția externă și unde este funcția internă, de ce sunt rezolvate sarcinile astfel?

Exemplul 5

a) Găsiți derivata funcției

b) Găsiți derivata funcției

Exemplul 6

Găsiți derivata unei funcții

Aici avem o rădăcină și, pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca un grad. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma potrivită pentru diferențiere:

Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma a trei termeni este o funcție internă, iar exponențierea este o funcție externă. Aplicăm regula diferențierii unei funcții complexe :

Gradul este din nou reprezentat ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne aplicăm o regulă simplă pentru diferențierea sumei:

Terminat. De asemenea, puteți aduce expresia la un numitor comun între paranteze și puteți scrie totul într-o fracțiune. Bineînțeles, desigur, dar atunci când se obțin derivați grei de lungă durată, este mai bine să nu faceți acest lucru (este ușor să vă confundați, să faceți o greșeală inutilă, iar profesorul va fi incomod să verifice).

Exemplul 7

Găsiți derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspuns la sfârșitul tutorialului).

Este interesant de observat că uneori, în loc de regula pentru diferențierea unei funcții complexe, se poate folosi regula pentru diferențierea coeficientului , dar o astfel de soluție va arăta neobișnuită ca o perversiune. Iată un exemplu tipic:

Exemplul 8

Găsiți derivata unei funcții

Aici puteți utiliza regula pentru diferențierea coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsiți derivatul folosind regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Pregătim funcția pentru diferențiere - mutăm minusul în afara semnului derivatei și ridicăm cosinusul la numărător:

Cosinusul este o funcție internă, exponențierea este o funcție externă.
Ne folosim regula :

Găsiți derivata funcției interne, resetați cosinusul înapoi:

Terminat. În exemplul considerat, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați cu regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 9

Găsiți derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspuns la sfârșitul tutorialului).

Până în prezent, am analizat cazurile în care am avut un singur atașament într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, unde, cum ar fi păpușile cuibăritoare, una în alta, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate simultan.

Exemplul 10

Găsiți derivata unei funcții

Să înțelegem atașamentele acestei funcții. Încercarea de a evalua expresia folosind valoarea testului. Cum am conta pe un calculator?

Mai întâi trebuie să găsiți, ceea ce înseamnă că arcul este cel mai adânc cuibărit:

Atunci acest arcsine al unuia ar trebui să fie pătrat:

Și, în cele din urmă, ridicați cei 7 la putere:

Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două atașamente, în timp ce funcția cea mai interioară este arcul, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.

Începem să rezolvăm

Conform regulii mai întâi trebuie să luați derivata funcției externe. Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu neagă validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii diferențierii unei funcții complexe ca urmare a.