Корреляция значения. Пример нахождения коэффициента корреляции Значении коэффициента корреляции равном 1 связь

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Корреляционный анализ

Введение

1. Корреляционный анализ

1.1 Понятие корреляционной связи

1.2 Общая классификация корреляционных связей

1.3 Корреляционные поля и цель их построения

1.4 Этапы корреляционного анализа

1.5 Коэффициенты корреляции

1.6 Нормированный коэффициент корреляции Браве-Пирсона

1.7 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

1.8 Основные свойства коэффициентов корреляции

1.9 Проверка значимости коэффициентов корреляции

1.10 Критические значения коэффициента парной корреляции

2. Планирование многофакторного эксперимента

2.1 Условие задачи

2.2 Определение центр плана (основной уровень) и уровня варьирования факторов

2.3 Построение матрицы планирования

2.4 Проверка однородности дисперсии и равноточности измерения в разных сериях

2.5 Коэффициенты уравнения регрессии

2.6 Дисперсия воспроизводимости

2.7 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

2.8 Проверка адекватности уравнения регрессии

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Планирование эксперимента -математико-статистическая дисциплина, изучающая методы рациональной организации экспериментальных исследований - от оптимального выбора исследуемых факторов и определения собственно плана эксперимента в соответствии с его целью до методов анализа результатов. Начало планирования эксперимента положили труды английского статистика Р.Фишера (1935), подчеркнувшего, что рациональное планирование экспериментадаёт не менее существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов измерений. В 60-х годах 20 века сложилась современная теория планирования эксперимента. Её методы тесно связаны с теорией приближения функций и математическим программированием. Построены оптимальные планы и исследованы их свойства для широкого класса моделей.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

Планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

Планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

Планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

Планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

Планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к производственно-технической деятельности по специальности с применением методов теории планирования и современных информационных технологий.

Задачи дисциплины: изучение современных методов планирования, организации и оптимизации научного и промышленного эксперимента, проведения экспериментов и обработки полученных результатов.

1. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

1.1 Понятие корреляционной связи

Исследователя нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых выборках. Например, может ли рост влиять на вес человека или может ли давление влиять на качество продукции?

Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией. Корреляционная связь - это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого.

Известно, например, что в среднем между ростом людей и их весом наблюдается положительная связь, и такая, что чем больше рост, тем больше вес человека. Однако из этого правила имеются исключения, когда относительно низкие люди имеют избыточный вес, и, наоборот, астеники, при высоком росте имеют малый вес. Причиной подобных исключений является то, что каждый биологический, физиологический или психологический признак определяется воздействием многих факторов: средовых, генетических, социальных, экологических и т.д.

Корреляционные связи - это вероятностные изменения, которые можно изучать только на представительных выборках методами математической статистики. Оба термина - корреляционная связь и корреляционная зависимость - часто используются как синонимы. Зависимость подразумевает влияние, связь - любые согласованные изменения, которые могут объясняться сотнями причин. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной зависимости, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого.

Корреляционная зависимость - это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака.

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.

Корреляционные связи различаютсяпо форме, направлению и степени (силе).

По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной может быть, например, связь между количеством тренировок на тренажере и количеством правильно решаемых задач в контрольной сессии. Криволинейной может быть, например, связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи (рисунок 1). При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности.

Рисунок 1 - Связь между эффективностью решения задачи и силой мотивационной тенденции

По направлению корреляционная связь может быть положительной ("прямой") и отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака - низкие значения другого (рисунок 2). При отрицательной корреляции соотношения обратные (рисунок 3). При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной корреляции - отрицательный знак.

Рисунок 2 – Прямая корреляция

Рисунок 3 – Обратная корреляция

Рисунок 4 – Отсутствие корреляции

Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции. Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.

1.2 Общая классификация корреляционных связей

В зависимости от коэффициента корреляции различают следующие корреляционные связи:

Сильная, или тесная при коэффициенте корреляции r>0,70;

Средняя (при 0,50

Умеренная (при 0,30

Слабая (при 0,20

Очень слабая (при r<0,19).

1.3 Корреляционные поля и цель их построения

Корреляция изучается на основании экспериментальных данных, представляющих собой измеренные значения (x i , y i) двух признаков. Если экспериментальных данных немного, то двумерное эмпирическое распределение представляется в виде двойного ряда значений x i и y i . При этом корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д.

Корреляционный анализ, как и другие статистические методы, основан на использовании вероятностных моделей, описывающих поведение исследуемых признаков в некоторой генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные значения x i и y i . Когда исследуется корреляция между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал (метры, секунды, килограммы и т.д.), то очень часто принимается модель двумерной нормально распределенной генеральной совокупности. Такая модель отображает зависимость между переменными величинами x i и y i графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Эту графическую зависимость называются также диаграммой рассеивания или корреляционным полем.
Данная модель двумерного нормального распределения (корреляционное поле) позволяет дать наглядную графическую интерпретацию коэффициента корреляции, т.к. распределение в совокупности зависит от пяти параметров: μ x , μ y – средние значения (математические ожидания); σ x ,σ y – стандартные отклонения случайных величин Х и Y и р – коэффициент корреляции, который является мерой связи между случайными величинами Х и Y.
Если р = 0, то значения, x i , y i , полученные из двумерной нормальной совокупности, располагаются на графике в координатах х, у в пределах области, ограниченной окружностью (рисунок 5, а). В этом случае между случайными величинами Х и Y отсутствует корреляция и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновременно и независимость случайных величин Х и Y.

Это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1 (говорят о том, что при увеличении значения одной переменной увеличивается значение другой переменной), а при полной отрицательной - минус 1 (свидетельствуют об обратной связи, т.е. При увеличении значений одной переменной, значения другой уменьшаются).

График зависимости застенчивости и дипресивности. Как видим, точки (испытуемые) расположены не хаотично, а выстраиваются вокруг одной линии, причём, глядя на эту линию можно сказать, что чем выше у человека выражена застенчивость, тем больше депрессивность, т. е. эти явления взаимосвязаны.

Пр2.: График для Застенчивости и Общительности. Мы видим, что с увеличением застенчивости общительность уменьшается. Их коэффициент корреляции - 0,43. Таким образом, коэффициент корреляции больший от 0 до 1 говорит о прямопропорциональной связи (чем больше… тем больше…), а коэффициент от -1 до 0 о обратнопропорциональной (чем больше… тем меньше…)

В случае если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга.

Корреляционная связь - это связь, где воздействие отдельных факторов проявляется только как тенденция (в среднем) при массовом наблюдении фактических данных. Примерами корреляционной зависимости могут быть зависимости между размерами активов банка и суммой прибыли банка, ростом производительности труда и стажем работы сотрудников.

Используется две системы классификации корреляционных связей по их силе: общая и частная.

Общая классификация корреляционных связей:

1) сильная, или тесная при коэффициенте корреляции r > 0,70;

2) средняя при 0,50 < r < 0,69;

3) умеренная при 0,30 < r < 0,49;

4) слабая при 0,20 < r < 0,29;5) очень слабая при r < 0,19.

Частная классификация корреляционных связей:

1) высокая значимая корреляция при r, соответствующем уровню статистической значимости ρ ≤ 0.01

2) значимая корреляция при r, соответствующем уровню статистической значимости ρ ≤ 0,05;

3) тенденция достоверной связи при r, соответствующем уровню статистической значимости ρ ≤ 0,10;

4) незначимая корреляция при r, не достигающем уровня статистической значимости. Две эти классификации не совпадают.

Первая ориентирована только на величину коэффициента корреляции, а вторая определяет, какого уровня значимости достигает данная величина коэффициента корреляции при данном объеме выборки. Чем больше объем выборки, тем меньшей величины коэффициента корреляции оказывается достаточно, чтобы корреляция была признана достоверной. В результате при малом объеме выборки может оказаться так, что сильная корреляция окажется недостоверной. В то же время при больших объемах выборки даже слабая корреляция может оказаться достоверной. Обычно принято ориентироваться на вторую классификацию, поскольку она учитывает объем выборки. Вместе с тем, необходимо помнить, что сильная, или высокая, корреляция - это корреляция с коэффициентом r > 0,70, а не просто корреляция высокого уровня значимости.

В следующей таблице написаны названия коэффициентов корреляции для различных типов шкал.

	Дихотомическая шкала (1/0)	Ранговая (порядковая) шкала
Дихотомическая шкала (1/0)	Коэфициент ассоциации Пирсона, коэффициент четырехклеточной сопряженности Пирсона.		Бисериальная корреляция
Ранговая (порядковая) шкала	Рангово-бисериальная корреляция.	Ранговый коэффициент корреляции Спирмена или Кендалла.
Интервальная и абсолютная шкала	Бисериальная корреляция	Значения интервальной шкалы переводятся в ранги и используется ранговый коэффициент	Коэффициент корреляции Пирсона (коэффициент линейной корреляции)

При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом групповые средние переменных совпадают с их общи-ми средними, а линии регрессии параллельны осям координат.

Равенство r = 0 говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости (некоррелирован-ности переменных), но не вообще об отсутствии корреляционной, а тем более, статистической зависимости.

Иногда вывод об отсутствии корреляции важнее наличия сильной корреляции. Нулевая корреляция двух переменных может свидетельствовать о том, что никакого влияния одной переменной на другую не существует, при условии, что мы доверяем результатам измерений.

В SPSS: 11.3.2 Коэффициенты корреляции

До сих пор мы выясняли лишь сам факт существования статистической зависимости между двумя признаками. Далее мы попробуем выяснить, какие заключения можно сделать о силе или слабости этой зависимости, а также о ее виде и направленности. Критерии количественной оценки зависимости между переменными называются коэффициентами корреляции или мерами связанности. Две переменные коррелируют между собой положительно, если между ними существует прямое, однонаправленное соотношение. При однонаправленном соотношении малые значения одной переменной соответствуют малым значениям другой переменной, большие значения — большим. Две переменные коррелируют между собой отрицательно, если между ними существует обратное, разнонаправленное соотношение. При разнонаправленном соотношении малые значения одной переменной соответствуют большим значениям другой переменной и наоборот. Значения коэффициентов корреляции всегда лежат в диапазоне от -1 до +1.

В качестве коэффициента корреляции между переменными, принадлежащими порядковой шкале применяется коэффициент Спирмена , а для переменных, принадлежащих к интервальной шкале — коэффициент корреляции Пирсона (момент произведений). При этом следует учесть, что каждую дихотомическую переменную, то есть переменную, принадлежащую к номинальной шкале и имеющую две категории, можно рассматривать как порядковую.

Для начала мы проверим существует ли корреляция между переменными sex и psyche из файла studium.sav. При этом мы учтем, что дихотомическую переменную sex можно считать порядковой.

Выполните следующие действия:

· Выберите в меню команды Analyze (Анализ) Descriptive Statistics (Дескриптивные статистики) Crosstabs. (Таблицы сопряженности)

· Перенесите переменную sex в список строк, а переменную psyche — в список столбцов.

· Щелкните на кнопке Statistics... (Статистика). В диалоге Crosstabs: Statistics установите флажок Correlations (Корреляции). Подтвердите выбор кнопкой Continue.

· В диалоге Crosstabs откажитесь от вывода таблиц, установив флажок Supress tables (Подавлять таблицы). Щелкните на кнопке ОК.

Корреляция — степень связи между 2-мя или несколькими независимыми явлениями.

Корреляция бывает положительной и отрицательной.

Положительная корреляция (прямая) возникает при одновременном изменении 2-х переменных величин в одинаковых направлениях (в положительном или отрицательном). Например, взаимосвязь между количеством пользователей, приходящих на сайт из поисковой выдачи и нагрузкой на сервер: чем больше пользователей, тем больше нагрузка.

Корреляция отрицательна (обратная) , если изменение одной величины приводит противоположному изменению другой. Например, с увеличением налоговой нагрузки на компании уменьшается их прибыль. Чем больше налогов, тем меньше денег на развитие.

Эффективность корреляции как статистического инструмента заключается в возможности выражения связи между двумя переменными при помощи коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции (КК) находится в диапазоне чисел от -1 до 1.

При значении КК равным 1, следует понимать, что при каждом изменении 1-й переменной происходит эквивалентное изменение 2-й переменной в том же направлении.

Если значение КК равно -1, то при каждом изменении происходит эквивалентное изменение второй переменной в противоположном направлении.

Чем ближе корреляция к -1 или 1, тем сильнее связь между переменными. При нулевом значении (или близким к 0) значимая связь между 2-мя переменными отсутствует или очень минимальна.

Данный метод обработки статистической информации популярен в экономических, технических, социальных и других науках в виду простоты подсчета КК, простотой интерпретации результатов и отсутствия необходимости владения математикой на высоком уровне.

Корреляционная зависимость отражает только взаимосвязь между переменными и не говорит о причинно-следственных связях: положительная или отрицательная корреляция между 2-мя переменными не обязательно означает, что изменение одной переменной вызывает изменение другой.

Например, есть положительная корреляция между увеличением зарплаты менеджеров по продажам и качеством работы с клиентами (повышения качества обслуживания, работа с возражениями, знание положительных качеств продукта в сравнении с конкурентами) при соответствующей мотивации персонала. Увеличившийся объем продаж, а следовательно и зарплата менеджеров, вовсе не означает что менеджеры улучшили качество работы с клиентами. Вполне вероятно, что случайно поступили крупные заказы и были отгружены или отдел маркетинга увеличил рекламный бюджет или произошло еще что-то.

Возможно существует некая третья переменная, влияющая на причину наличия или отсутствия корреляции.

Коэффициент корреляции не рассчитывается:

• когда соотношение между двумя переменными не линейное, например, квадратичное;
• в данных имеется больше 1-го наблюдения по каждому случаю;
• имеются аномальные наблюдения (выбросы, «отщепенцы»);
• данные содержат ярко выраженные подгруппы наблюдений.

Коэффициент корреляции - это степень связи между двумя переменными. Его расчет дает представление о том, есть ли зависимость между двумя массивами данных. В отличие от регрессии, корреляция не позволяет предсказывать значения величин. Однако расчет коэффициента является важным этапом предварительного статистического анализа. Например, мы установили, что коэффициент корреляции между уровнем прямых иностранных инвестиций и темпом роста ВВП является высоким. Это дает нам представление о том, что для обеспечения благосостояния нужно создать благоприятный климат именно для зарубежных предпринимателей. Не такой уж и очевидный вывод на первый взгляд!

Корреляция и причинность

Пожалуй, нет ни одной сферы статистики, которая бы так прочно вошла в нашу жизнь. Коэффициент корреляции используется во всех областях общественных знаний. Основная его опасность заключается в том, что зачастую его высокими значениями спекулируют для того, чтобы убедить людей и заставить их поверить в какие-то выводы. Однако на самом деле сильная корреляция отнюдь не свидетельствует о причинно-следственной зависимости между величинами.

Коэффициент корреляции: формула Пирсона и Спирмана

Существует несколько основных показателей, которые характеризуют связь между двумя переменными. Исторически первым является коэффициент линейной корреляции Пирсона. Его проходят еще в школе. Он был разработан К. Пирсоном и Дж. Юлом на основе работ Фр. Гальтона. Этот коэффициент позволяет увидеть взаимосвязь между рациональными числами, которые изменяются рационально. Он всегда больше -1 и меньше 1. Отрицательно число свидетельствует об обратно пропорциональной зависимости. Если коэффициент равен нулю, то связи между переменными нет. Равен положительному числу - имеет место прямо пропорциональная зависимость между исследуемыми величинами. Коэффициент ранговой корреляции Спирмана позволяет упростить расчеты за счет построения иерархии значений переменных.

Отношения между переменными

Корреляция помогает найти ответ на два вопроса. Во-первых, является ли связь между переменными положительной или отрицательной. Во-вторых, насколько сильна зависимость. Корреляционный анализ является мощным инструментом, с помощью которого можно получить эту важную информацию. Легко увидеть, что семейные доходы и расходы падают и растут пропорционально. Такая связь считается положительной. Напротив, при росте цены на товар, спрос на него падает. Такую связь называют отрицательной. Значения коэффициента корреляции находятся в пределах между -1 и 1. Нуль означает, что зависимости между исследуемыми величинами нет. Чем ближе полученный показатель к крайним значениям, тем сильнее связь (отрицательная или положительная). Об отсутствии зависимости свидетельствует коэффициент от -0,1 до 0,1. Нужно понимать, что такое значение свидетельствует только об отсутствии линейной связи.

Особенности применения

Использование обоих показателей сопряжено с определенными допущениями. Во-первых, наличие сильной связи, не обуславливает того факта, что одна величина определяет другую. Вполне может существовать третья величина, которая определяет каждую из них. Во-вторых, высокий коэффициент корреляции Пирсона не свидетельствует о причинно-следственной связи между исследуемыми переменными. В-третьих, он показывает исключительно линейную зависимость. Корреляция может использоваться для оценки значимых количественных данных (например, атмосферного давления, температуры воздуха), а не таких категорий, как пол или любимый цвет.

Множественный коэффициент корреляции

Пирсон и Спирман исследовали связь между двумя переменными. Но как действовать в том случае, если их три или даже больше. Здесь на помощь приходит множественный коэффициент корреляции. Например, на валовый национальный продукт влияют не только прямые иностранные инвестиции, но и монетарная и фискальная политика государства, а также уровень экспорта. Темп роста и объем ВВП - это результат взаимодействия целого ряда факторов. Однако нужно понимать, что модель множественной корреляции основывается на целом ряде упрощений и допущений. Во-первых, исключается мультиколлинеарность между величинами. Во-вторых, связь между зависимой и оказывающими на нее влияние переменными считается линейной.

Области использования корреляционно-регрессионного анализа

Данный метод нахождения взаимосвязи между величинами широко применяется в статистике. К нему чаще всего прибегают в трех основных случаях:

1. Для тестирования причинно-следственных связей между значениями двух переменных. В результате исследователь надеется обнаружить линейную зависимость и вывести формулу, которая описывает эти отношения между величинами. Единицы их измерения могут быть различными.
2. Для проверки наличия связи между величинами. В этом случае никто не определяет, какая переменная является зависимой. Может оказаться, что значение обеих величин обуславливает какой-то другой фактор.
3. Для вывода уравнения. В этом случае можно просто подставить в него числа и узнать значения неизвестной переменной.

Человек в поисках причинно-следственной связи

Сознание устроено таким образом, что нам обязательно нужно объяснить события, которые происходят вокруг. Человек всегда ищет связь между картиной мира, в котором он живет, и получаемой информацией. Часто мозг создает порядок из хаоса. Он запросто может увидеть причинно-следственную связь там, где ее нет. Ученым приходится специально учиться преодолевать эту тенденцию. Способность оценивать связи между данными объективно необходима в академической карьере.

Предвзятость средств массовой информации

Рассмотрим, как наличие корреляционной связи может быть неправильно истолковано. Группу британских студентов, отличающихся плохим поведением, опросили относительно того, курят ли их родители. Потом тест опубликовали в газете. Результат показал сильную корреляцию между курением родителей и правонарушениями их детей. Профессор, который проводил это исследование, даже предложил поместить на пачки сигарет предупреждение об этом. Однако существует целый ряд проблем с таким выводом. Во-первых, корреляция не показывает, какая из величин является независимой. Поэтому вполне можно предположить, что пагубная привычка родителей вызвана непослушанием детей. Во-вторых, нельзя с уверенностью сказать, что обе проблемы не появились из-за какого-то третьего фактора. Например, низкого дохода семей. Следует отметить эмоциональный аспект первоначальных выводов профессора, который проводил исследование. Он был ярым противником курения. Поэтому нет ничего удивительного в том, что он интерпретировал результаты своего исследования именно так.

Выводы

Неправильное толкование корреляции как причинно-следственной связи между двумя переменными может стать причиной позорных ошибок в исследованиях. Проблема состоит в том, что оно лежит в самой основе человеческого сознания. Многие маркетинговые трюки построены именно на этой особенности. Понимание различия между причинно-следственной связью и корреляцией позволяет рационально анализировать информацию как в повседневной жизни, так и в профессиональной карьере.

Регрессионный анализ позволяет оценить, как одна переменная зависит от другой и каков разброс значений зависимой переменной вокруг прямой, определяющей зависимость. Эти оценки и соответствующие доверительные интервалы позволяют предсказать значение зависимой переменной и определить точность этого предсказания.

Результаты регрессионного анализа можно представить только в достаточно сложной цифровой или графической форме. Однако нас часто интересует не предсказание значения одной переменной по значению другой, а просто характеристика тесноты (силы) связи между ними, при этом выраженная одним числом.

Эта характеристика называется коэффициентом корреляции, обычно ее обозначают буквой г. Коэффициент корреляции мо-

жет принимать значения от -1 до +1. Знак коэффициента корреляции показывает направление связи (прямая или обратная), а абсолютная величина - тесноту связи. Коэффициент, равный -1, определяет столь же жесткую связь, что и равный 1. В отсутствие связи коэффициент корреляции равен нулю.

На рис. 8.10 приведены примеры зависимостей и соответствующие им значения г. Мы рассмотрим два коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции Пирсона предназначен для описания линейной связи количественных признаков; как и регресси
онный анализ, он требует нормальности распределения. Когда говорят просто о «коэффициенте корреляции», почти всегда имеют в виду коэффициент корреляции Пирсона, именно так мы и будем поступать.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена можно использовать, когда связь нелинейна-и не только для количественных, но и для порядковых признаков. Это непараметрический метод, он не требует какого-либо определенного типа распределения.

О количественных, качественных и порядковых признаках мы уже говорили в гл. 5. Количественные признаки - это обычные числовые данные, такие, как рост, вес, температура. Значения количественного признака можно сравнить между собой и сказать, какое из них больше, на сколько и во сколько раз. Например, если один марсианин весит 15 г, а другой 10, то первый тяжелее второго и в полтора раза и на 5 г. Значения порядкового признака тоже можно сравнить, сказав, какое из них больше, но нельзя сказать, ни на сколько, ни во сколько раз. В медицине порядковые признаки встречаются довольно часто. Например, результаты исследования влагалищного мазка по Папаниколау оценивают по такой шкале: 1) норма, 2) легкая дисплазия, 3) умеренная дисплазия, 4) тяжелая дисплазия, 5) рак in situ. И количественные, и порядковые признаки можно расположить по порядку - на этом общем свойстве основана большая группа непараметрических критериев, к которым относится и коэффициент ранговой корреляции Спирмена. С другими непараметрическими критериями мы познакомимся в гл. 10.

Коэффициент корреляции Пирсона

И все же, почему для описания тесноты связи нельзя воспользоваться регрессионным анализом? В качестве меры тесноты связи можно было бы использовать остаточное стандартное отклонение. Однако если поменять местами зависимую и независимую переменные, то остаточное стандартное отклонение, как и другие показатели регрессионного анализа, будет иным.

Взглянем на рис. 8.11. По известной нам выборке из 10 марсиан построены две линии регрессии. В одном случае вес - зависимая переменная, во втором - независимая. Линии регрессии заметно разли-

20

Если поменять местами х и у, уравнение регрессии получится другим, а коэф- ■ корреляции останется прежним.

чаются. Получается, что связь роста с весом одна, а веса с ростом - другая. Асимметричность регрессионного анализа - вот что мешает непосредственно использовать его для характеристики силы связи. Коэффициент корреляции, хотя его идея вытекает из регрессионного анализа, свободен от этого недостатка. Приводим формулу.

r Y(X - X)(Y - Y)

&((- X) S(y - Y)2"

где X и Y - средние значения переменных X и Y. Выражение для r «симметрично» -поменяв местами Xи Y, мы получим ту же величину. Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Чем теснее связь, тем больше абсолютная величина коэффициента корреляции. Знак показывает направление связи. При r > 0 говорят о прямой корреляции (с увеличением одной переменной другая также возрастает), при r Возьмем пример с 10 марсианами, который мы уже рассматривали с точки зрения регрессионного анализа. Вычислим коэффициент корреляции. Исходные данные и промежуточные результаты вычислений приведены в табл. 8.3. Объем выборки n = 10, средний рост

X = £ X/n = 369/10 = 36,9 и вес Y = £ Y/n = 103,8/10 = 10,38.

Находим Щ- X)(Y- Y) = 99,9, Щ- X)2 = 224,8, £(Y - Y)2 = 51,9.

Подставим полученные значения в формулу для коэффициента корреляции:

224,8 х 51,9 ’ "

Величина r близка к 1, что говорит о тесной связи роста и веса. Чтобы лучше представить себе, какой коэффициент корреляции следует считать большим, а какой незначительным, взгляни-

Таблица 8.3. Вычисление коэффициента корреляции X Y X -X Y-Y (X -X)(Y-Y) (X -X)2 (Y-Y)2 31 7,8 -5,9 -2,6 15,3 34,8 6,8 32 8,3 -4,9 -2,1 10,3 24,0 4,4 33 7,6 -3,9 -2,8 10,9 15,2 7,8 34 9,1 -2,9 -1,3 3,8 8,4 1,7 35 9,6 -1,9 -0,8 1,5 3,6 0,6 35 9,8 -1,9 -0,6 1,1 3,6 0,4 40 11,8 3,1 1,4 4,3 9,6 2,0 41 12,1 4,1 1,7 7,0 16,8 2,9 42 14,7 5,1 4,3 22,0 26,0 18,5 46 13,0 9,1 2,6 23,7 82,8 6,8 369 103,8 0,0 0,2 99,9 224,8 51,9

те на табл. 8.4 - в ней приведены коэффициенты корреляции для примеров, которые мы разбирали ранее.

Связь регрессии и корреляции

Все примеры коэффициентов корреляции (табл. 8.4) мы первоначально использовали для построения линий регрессии. Действительно, между коэффициентом корреляции и параметрами регрессионного анализа существует тесная связь, которую мы сейчас продемонстрируем. Разные способы представления коэффициента корреляции, которые мы при этом получим, позволят лучше понять смысл этого показателя.

Вспомним, что уравнение регрессии строится так, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений от линии регрессии.

Обозначим эту минимальную сумму квадратов S (эту величину называют остаточной суммой квадратов). Сумму квадратов отклонений значений зависимой переменной Y от ее среднего Y обозначим S^. Тогда:

Величина г2 называется коэффициентом детерминации - это просто квадрат коэффициента корреляции. Коэффициент детерминации показывает силу связи, но не ее направленность.

Из приведенной формулы видно, что если значения зависимой переменной лежат на прямой регрессии, то S = 0, и тем самым r = +1 или r = -1, то есть существует линейная связь зависимой и независимой переменной. По любому значению независимой переменной можно совершенно точно предсказать значение зависимой переменной. Напротив, если переменные вообще не связаны между собой, то Soci = SofSisi Тогда r = 0.

Видно также, что коэффициент детерминации равен той доле общей дисперсии S^, которая обусловлена или, как говорят, объясняется линейной регрессией.

Остаточная сумма квадратов S связана с остаточной дисперсией s2y\x соотношением Socj = (п - 2) s^, а общая сумма квадратов S^ с дисперсией s2 соотношением S^ = (п - 1)s2 . В таком случае

r2 = 1 _ n _ 2 sy\x п _1 sy

Эта формула позволяет судить о зависимости коэффициента корреляции от доли остаточной дисперсии в полной дисперсии

six/s2y Чем эта доля меньше, тем больше (по абсолютной величине) коэффициент корреляции, и наоборот.

Мы убедились, что коэффициент корреляции отражает тесноту линейной связи переменных. Однако если речь идет о предсказании значения одной переменной по значению другой, на
коэффициент корреляции не следует слишком полагаться. Например, данным на рис. 8.7 соответствует весьма высокий коэффициент корреляции (г = 0,92), однако ширина доверительной области значений показывает, что неопределенность предсказания довольно значительна. Поэтому даже при большом коэффициенте корреляции обязательно вычислите доверительную область значений.

И под конец приведем соотношение коэффициента корреляции и коэффициента наклона прямой регрессии b:

где b - коэффициент наклона прямой регрессии, sx и sY - стандартные отклонения переменных.

Если не брать во внимание случай sx = 0, то коэффициент корреляции равен нулю тогда и только тогда, когда b = 0. Этим фактом мы сейчас и воспользуемся для оценки статистической значимости корреляции.

Статистическая значимость корреляции

Поскольку из b = 0 следует г = 0, гипотеза об отсутствии корреляции равнозначна гипотезе о нулевом наклоне прямой регрессии. Поэтому для оценки статистической значимости корреляции можно воспользоваться уже известной нам формулой для оценки статистической значимости отличия b от нуля:

Здесь число степеней свободы v = n - 2. Однако если коэффициент корреляции уже вычислен, удобнее воспользоваться формулой:

Число степеней свободы здесь также v = п - 2.

При внешнем несходстве двух формул для t, они тождественны. Действительно, из того, что

r 2 _ 1 - n_ 2 Sy]x_

Подставив значение sy^x в формулу для стандартной ошибки

Животный жир и рак молочной железы

В опытах на лабораторных животных показано, что высокое содержание животного жира в рационе повышает риск рака молочной железы. Наблюдается ли эта зависимость у людей? К. Кэррол собрал данные о потреблении животных жиров и смертности от рака молочной железы по 39 странам. Результат представлен на рис. 8.12А. Коэффициент корреляции между потреблением животных жиров и смертностью от рака молочной железы оказался равен 0,90. Оценим статистическую значимость корреляции.

0,90 1 - 0,902 39 - 2

Критическое значение t при числе степеней свободы v = 39 - 2 = 37 равно 3,574, то Єсть меньше полученного нами. Таким образом, при уровне значимости 0,001 можно утверждать, что существует корреляция между потреблением животных жиров и смертностью от рака молочной железы.

Теперь проверим, связана ли смертность с потреблением растительных жиров? Соответствующие данные приведены на рис. 8.12Б. Коэффициент корреляции равен 0,15. Тогда

1 - 0,152 39 - 2

Даже при уровне значимости 0,10 вычисленное значение t меньше критического. Корреляция статистически не значима.