Paghihiwalay ng hindi mababawasan na multiple ng isang polynomial. Mga Opsyon sa Factorization Lab

Ang online na calculator na ito ay idinisenyo upang i-factor ang isang function.

Halimbawa, i-factorize: x 2 /3-3x+12. Isulat natin ito bilang x^2/3-3*x+12. Maaari mo ring gamitin ang serbisyong ito, kung saan naka-save ang lahat ng mga kalkulasyon sa Word format.

Halimbawa, mabulok sa mga termino. Isulat natin ito bilang (1-x^2)/(x^3+x) . Upang makita ang pag-usad ng solusyon, i-click ang Ipakita ang mga hakbang. Kung kailangan mong makuha ang resulta sa Word format, gamitin ang serbisyong ito.

Tandaan: ang bilang na "pi" (π) ay isinusulat bilang pi; square root bilang sqrt , halimbawa sqrt(3) , ang tangent tg ay nakasulat tan . Upang tingnan ang sagot, tingnan ang Alternatibong.

Kung ang isang simpleng expression ay ibinigay, halimbawa, 8*d+12*c*d, pagkatapos ay ang factoring ang expression ay nangangahulugan na kumakatawan sa expression sa anyo ng mga kadahilanan. Upang gawin ito, kailangan mong makahanap ng mga karaniwang kadahilanan. Isulat natin ang expression na ito bilang: 4*d*(2+3*c) .
Ipakita ang produkto sa anyo ng dalawang binomial: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Dito kailangan mo nang makahanap ng ilang karaniwang salik: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Inalis namin ang (x+7z) at makuha ang: (x+7z)(x + 3y) .

tingnan din ang Dibisyon ng mga polynomial na may sulok (lahat ng mga hakbang ng paghahati na may haligi ay ipinapakita)

Magiging kapaki-pakinabang kapag pinag-aaralan ang mga patakaran ng factorization pinaikling mga pormula ng pagpaparami, sa tulong kung saan magiging malinaw kung paano buksan ang mga bracket na may isang parisukat:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Pamamaraan ng Factorization

Matapos matutunan ang ilang mga trick factorization Ang mga sumusunod na pag-uuri ng mga solusyon ay maaaring gawin:

Paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami.
Paghahanap ng isang karaniwang kadahilanan.

Kahulugan 1. Kung ang polynomial na f(x) ay naglaho kapag ang bilang c ay pinalitan para sa hindi alam, kung gayon ang c ay tinatawag na ugat ng polynomial na f(x) (o ang equation na f(x)=0).

Halimbawa 1. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.

Ang numero 1 ay ang ugat ng f(x), at ang numero 2 ay hindi ang ugat ng f(x), dahil f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, at f(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Lumalabas na ang mga ugat ng isang polynomial ay nauugnay sa mga divisors nito.

Ang numerong c ay isang ugat ng polynomial na f(x) kung at kung ang f(x) ay nahahati sa x-c.

Kahulugan 2. Kung c ang ugat ng polynomial na f(x), kung gayon ang f(x) ay hinati sa x-c. Pagkatapos ay mayroong natural na bilang na k na ang f(x) ay nahahati sa (x-c) k, ngunit hindi nahahati ng (x-c) k+1. Ang bilang na ito na k ay tinatawag na multiplicity ng root c ng polynomial f(x), at ang root c mismo ay ang k-fold root ng polynomial na ito. Kung k=1, kung gayon ang ugat c ay tinatawag na simple.

Upang mahanap ang multiplicity k ng ugat ng polynomial f(x), gamitin ang theorem:

Kung ang bilang c ay ang k-fold na ugat ng polynomial f(x), kung gayon para sa k>1 ito ang magiging (k-1)-fold root ng unang derivative ng polynomial na ito; kung k=1, kung gayon ang c ay hindi magsisilbing ugat para sa f "(x).

Bunga. Sa unang pagkakataon, ang k-fold na ugat ng polynomial f(x) ay hindi magsisilbing ugat para sa kth derivative.

Halimbawa 2. Siguraduhin na ang numero 2 ay ang ugat ng polynomial f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16. Tukuyin ang multiplicity nito.

Solusyon. Ang numero 2 ay ang ugat ng f(x), dahil 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

Ang numero 2 ay hindi ang ugat ng f"""(x) sa unang pagkakataon, kaya ang numero 2 ay isang triple root ng polynomial f(x).

Hayaang magbigay ng polynomial f(x) ng degree n≥1 na may nangungunang coefficient 1: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n at α 1 ,... ,α n ang mga ugat nito. Ang mga ugat ng isang polynomial at ang mga coefficient nito ay nauugnay sa pamamagitan ng mga formula na tinatawag na Vieta formula:

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

Pinapadali ng mga formula ng Vieta ang pagsulat ng isang polynomial dahil sa mga ugat nito.

Halimbawa 3. Maghanap ng polynomial na may mga simpleng ugat 2; 3 at ang dobleng ugat –1.

Solusyon. Hanapin natin ang mga coefficient ng polynomial:

at 1 =– (2+3–1–1)=-3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

at 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Ang kinakailangang polynomial ay x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.

Kahulugan 3. Ang polynomial na f(x)ÌP[x] ng degree n ay mababawasan sa isang field P kung maaari itong mabulok sa produkto ng dalawang salik na φ(x) at ψ(x) mula sa P[x], na ang mga degree ay mas mababa sa n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ОP[x] ay tinatawag na irreducible sa ibabaw ng field P kung sa alinman sa mga factorization nito mula sa P[x] isa sa mga salik ay may degree 0, ang isa ay may degree n.

Ang mga sumusunod na theorems ay nagtataglay:

Anumang polynomial ng non-zero degree f(x) mula sa ring P[x] ay maaaring mabulok sa isang produkto ng hindi mababawasan na mga salik mula sa P[x] na kakaiba hanggang sa mga salik ng degree na zero.

Madali itong sumusunod mula dito na para sa anumang polynomial f(х)ОР[x] ng degree n, n≥1, mayroong sumusunod na decomposition sa hindi mababawasan na mga salik:

kung saan ang mga hindi mababawasan na polynomial sa P[x] na may mga nangungunang coefficient na katumbas ng isa. Ang pagpapalawak na ito para sa isang polynomial ay natatangi.

Ang hindi mababawasan na mga salik na kasama sa naturang pagpapalawak ay hindi kailangang magkaiba. Kung ang irreducible polynomial ay eksaktong k beses sa expansion (2), kung gayon ito ay tinatawag na k-fold factor ng polynomial f(x). simpleng salik para sa f(x) .

Kung sa pagpapalawak (2) magkakaparehong mga salik ang pinagsama-sama, ang pagpapalawak na ito ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:

, (3)

kung saan ang mga salik Р 1 (x),…, Р r (x) ay magkakaiba na. Ang mga indicators k 1 ,…,k r dito ay katumbas ng multipliities ng kaukulang salik. Ang pagpapalawak (3) ay maaaring isulat bilang:

kung saan ang F 1 (x) ay produkto ng lahat ng simpleng hindi mababawasang salik, ay produkto ng lahat ng dobleng hindi mababawasang salik, atbp. sa pagpapalawak (3). Kung walang m-fold na mga kadahilanan sa pagpapalawak (3), kung gayon ang kadahilanan ay itinuturing na katumbas ng isa.

Ang mga polynomial na F 1 (x),…,F s (x) para sa polynomial na f(x) sa mga field ng numero ay matatagpuan gamit ang konsepto ng derivative, ang Euclidean algorithm mula sa dating formulated theorem (tungkol sa koneksyon sa derivative) tulad ng sumusunod:

Samakatuwid nakukuha namin

Kaya, para sa polynomial f(x) mahahanap natin ang mga salik .

Kung para sa isang polynomial f(x) kinakailangan na hanapin ang mga salik F 1 (x),...,F s (x) ng pagpapalawak nito (4), kung gayon sinasabi nila na kailangang paghiwalayin ang maramihang mga salik nito.

Halimbawa 4. Paghiwalayin ang maraming salik f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

Solusyon. Hanapin ang gcd f(x) at f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

Ngayon ay nakita natin ang d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).

Ipinapahayag namin ang v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(gumawa kami ng dibisyon).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(gumawa kami ng dibisyon).

Samakatuwid nakukuha natin ang F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

Kaya, ang polynomial na f(x) ay may pagpapalawak f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. Sa pagpapalawak (3) ng polynomial f(x) walang prime factor, ang double factor ay x-2 at ang triple factor ay x+1.

Tandaan 1. Ang pamamaraang ito ay hindi nagbibigay ng anuman kung ang lahat ng hindi mababawasang salik ng polynomial f(x) ay simple (nakukuha natin ang pagkakakilanlan f(x)=F 1 (x)).

Tandaan 2. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang multiplicity ng lahat ng mga ugat ng isang arbitrary polynomial.

MGA OPSYON SA TRABAHO SA LABORATORY

Opsyon 1

1. Siguraduhin na ang polynomial 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 ay may ugat na 1+i. Hanapin ang natitirang mga ugat ng polynomial.

2. Paghiwalayin ang mga multiple ng x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108.

3. Hanapin ang polynomial ng pinakamaliit na degree na ang mga ugat ay: 5, i, i+3.

Opsyon 2

1. Ano ang multiplicity ng root x 0 = 2 para sa polynomial f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48? Hanapin ang natitirang mga ugat nito.

2. Paghiwalayin ang mga multiple ng x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8.

3. Tukuyin ang relasyon sa pagitan ng mga coefficient ng equation x 3 +px+q=0, kung ang mga ugat nito na x 1, x 2, x 3 ay nakakatugon sa kaugnayan.

Opsyon 3

1. Ano ang multiplicity ng root x 0 = 4 para sa polynomial x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Hanapin ang natitirang mga ugat.

2. Paghiwalayin ang mga multiple x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Tukuyin ang λ upang ang isa sa mga ugat ng equation ay katumbas ng dalawang beses sa isa pa: x 3 -7x+λ=0.

Opsyon 4

1. Ipakita na ang x=3 ay ang ugat ng polynomial f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9. Tukuyin ang multiplicity nito at hanapin ang natitirang mga ugat.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8.

3. Ang kabuuan ng dalawang ugat ng equation na 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 ay katumbas ng 1. Hanapin ang λ.

Opsyon 5

1. Ipakita na ang x 0 = -2 ay ang ugat ng polynomial x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40. Tukuyin ang multiplicity nito at hanapin ang natitirang mga ugat.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108.

3. Hanapin ang polynomial ng pinakamaliit na degree na ibinigay sa mga ugat na 1, 2, 3, 1+i.

Opsyon 6

1. Hanapin ang kondisyon kung saan ang polynomial x 5 + ax 4 + b ay may double root na iba sa zero.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27.

3. Ang polynomial na a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n ay may mga ugat na x 1, x 2,…, x n. Anong mga ugat mayroon ang mga polynomial: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

Opsyon 7

1. Ipakita na ang x=-2 ay ang ugat ng polynomial 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8. Hanapin ang multiplicity ng ugat at hanapin ang natitirang mga ugat ng polynomial.

3. Hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation na 2x 3 -2x 2 -4x-1.

Opsyon 8

1. Patunayan na ang x=1 ay ang ugat ng polynomial x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2. Tukuyin ang multiplicity nito. Hanapin ang natitirang mga ugat ng polynomial.

3. Ang isa sa mga ugat ng polynomial ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa iba. Hanapin ang mga ugat ng polynomial f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ.

Opsyon 9

1. Hanapin ang kondisyon kung saan ang polynomial x 5 +10ax 3 +5bx+c ay may triple root na iba sa zero.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1.

3. Lutasin ang equation x 3 -6x 2 +qx+2=0, kung alam na ang mga ugat nito ay bumubuo ng arithmetic progression.

Opsyon 10

1. Ipakita na ang x=3 ay ang ugat ng polynomial f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72. Tukuyin ang multiplicity ng ugat, maghanap ng iba pang mga ugat ng polynomial.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 6 -4x 4 -16x 2 +16.

3. Humanap ng polynomial na may totoong coefficient ng pinakamaliit na degree na ibinigay sa mga ugat na 1, 2+i, 3.

Opsyon 11

1. Ipakita na ang x=2 ay ang ugat ng polynomial x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8. Hanapin ang multiplicity nito at iba pang mga ugat.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2.

3. Bumuo ng polynomial ng pinakamaliit na degree kung ang mga ugat nito x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 ay kilala.

Opsyon 12

1. Ipakita na ang x = -1 ay ang ugat ng polynomial x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2. Hanapin ang multiplicity nito at ang natitirang mga ugat ng polynomial.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1.

3. Bumuo ng polynomial ng pinakamaliit na degree kung ang mga ugat nito x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 ay kilala.

Opsyon 13

1. Ano ang multiplicity ng root x 0 = 4 para sa polynomial x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Hanapin ang natitirang mga ugat ng polynomial.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Tukuyin ang λ upang ang isa sa mga ugat ng equation na x 3 -7x+λ=0 ay katumbas ng dalawang beses sa isa pa.

Kaugnay na impormasyon.

Kahulugan 1. Kung ang polynomial na f(x) ay naglaho kapag ang bilang c ay pinalitan para sa hindi alam, kung gayon ang c ay tinatawag na ugat ng polynomial na f(x) (o ang equation na f(x)=0).

Halimbawa 1. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.

Ang numero 1 ay ang ugat ng f(x), at ang numero 2 ay hindi ang ugat ng f(x), dahil f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, at f(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Lumalabas na ang mga ugat ng isang polynomial ay nauugnay sa mga divisors nito.

Ang numerong c ay isang ugat ng polynomial na f(x) kung at kung ang f(x) ay nahahati sa x-c.

Upang mahanap ang multiplicity k ng ugat ng polynomial f(x), gamitin ang theorem:

Bunga. Sa unang pagkakataon, ang k-fold na ugat ng polynomial f(x) ay hindi magsisilbing ugat para sa kth derivative.

Halimbawa 2. Siguraduhin na ang numero 2 ay ang ugat ng polynomial f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16. Tukuyin ang multiplicity nito.

Solusyon. Ang numero 2 ay ang ugat ng f(x), dahil 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

Ang numero 2 ay hindi ang ugat ng f"""(x) sa unang pagkakataon, kaya ang numero 2 ay isang triple root ng polynomial f(x).

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

Pinapadali ng mga formula ng Vieta ang pagsulat ng isang polynomial dahil sa mga ugat nito.

Halimbawa 3. Maghanap ng polynomial na may mga simpleng ugat 2; 3 at ang dobleng ugat –1.

Solusyon. Hanapin natin ang mga coefficient ng polynomial:

at 1 =– (2+3–1–1)=-3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

at 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Ang kinakailangang polynomial ay x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ОP[x] ay tinatawag na irreducible sa ibabaw ng field P kung sa alinman sa mga factorization nito mula sa P[x] isa sa mga salik ay may degree 0, ang isa ay may degree n.

Ang mga sumusunod na theorems ay nagtataglay:

Anumang polynomial ng non-zero degree f(x) mula sa ring P[x] ay maaaring mabulok sa isang produkto ng hindi mababawasan na mga salik mula sa P[x] na kakaiba hanggang sa mga salik ng degree na zero.

Madali itong sumusunod mula dito na para sa anumang polynomial f(х)ОР[x] ng degree n, n≥1, mayroong sumusunod na decomposition sa hindi mababawasan na mga salik:

kung saan ang mga hindi mababawasan na polynomial sa P[x] na may mga nangungunang coefficient na katumbas ng isa. Ang pagpapalawak na ito para sa isang polynomial ay natatangi.

Kung sa pagpapalawak (2) magkakaparehong mga salik ang pinagsama-sama, ang pagpapalawak na ito ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:

, (3)

kung saan ang mga salik Р 1 (x),…, Р r (x) ay magkakaiba na. Ang mga indicators k 1 ,…,k r dito ay katumbas ng multipliities ng kaukulang salik. Ang pagpapalawak (3) ay maaaring isulat bilang:

Samakatuwid nakukuha namin

Kaya, para sa polynomial f(x) mahahanap natin ang mga salik .

Halimbawa 4. Paghiwalayin ang maraming salik f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

Solusyon. Hanapin ang gcd f(x) at f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

Ngayon ay nakita natin ang d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).

Ipinapahayag namin ang v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(gumawa kami ng dibisyon).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(gumawa kami ng dibisyon).

Samakatuwid nakukuha natin ang F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

Kaya, ang polynomial na f(x) ay may pagpapalawak f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. Sa pagpapalawak (3) ng polynomial f(x) walang prime factor, ang double factor ay x-2 at ang triple factor ay x+1.

Tandaan 1. Ang pamamaraang ito ay hindi nagbibigay ng anuman kung ang lahat ng hindi mababawasang salik ng polynomial f(x) ay simple (nakukuha natin ang pagkakakilanlan f(x)=F 1 (x)).

Tandaan 2. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang multiplicity ng lahat ng mga ugat ng isang arbitrary polynomial.

MGA OPSYON SA TRABAHO SA LABORATORY

Opsyon 1

1. Siguraduhin na ang polynomial 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 ay may ugat na 1+i. Hanapin ang natitirang mga ugat ng polynomial.

2. Paghiwalayin ang mga multiple ng x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108.

3. Hanapin ang polynomial ng pinakamaliit na degree na ang mga ugat ay: 5, i, i+3.

Opsyon 2

1. Ano ang multiplicity ng root x 0 = 2 para sa polynomial f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48? Hanapin ang natitirang mga ugat nito.

2. Paghiwalayin ang mga multiple ng x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8.

3. Tukuyin ang relasyon sa pagitan ng mga coefficient ng equation x 3 +px+q=0, kung ang mga ugat nito na x 1, x 2, x 3 ay nakakatugon sa kaugnayan.

Opsyon 3

1. Ano ang multiplicity ng root x 0 = 4 para sa polynomial x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Hanapin ang natitirang mga ugat.

2. Paghiwalayin ang mga multiple x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Tukuyin ang λ upang ang isa sa mga ugat ng equation ay katumbas ng dalawang beses sa isa pa: x 3 -7x+λ=0.

Opsyon 4

1. Ipakita na ang x=3 ay ang ugat ng polynomial f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9. Tukuyin ang multiplicity nito at hanapin ang natitirang mga ugat.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8.

3. Ang kabuuan ng dalawang ugat ng equation na 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 ay katumbas ng 1. Hanapin ang λ.

Opsyon 5

1. Ipakita na ang x 0 = -2 ay ang ugat ng polynomial x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40. Tukuyin ang multiplicity nito at hanapin ang natitirang mga ugat.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108.

3. Hanapin ang polynomial ng pinakamaliit na degree na ibinigay sa mga ugat na 1, 2, 3, 1+i.

Opsyon 6

1. Hanapin ang kondisyon kung saan ang polynomial x 5 + ax 4 + b ay may double root na iba sa zero.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27.

3. Ang polynomial na a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n ay may mga ugat na x 1, x 2,…, x n. Anong mga ugat mayroon ang mga polynomial: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

Opsyon 7

1. Ipakita na ang x=-2 ay ang ugat ng polynomial 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8. Hanapin ang multiplicity ng ugat at hanapin ang natitirang mga ugat ng polynomial.

3. Hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation na 2x 3 -2x 2 -4x-1.

Opsyon 8

1. Patunayan na ang x=1 ay ang ugat ng polynomial x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2. Tukuyin ang multiplicity nito. Hanapin ang natitirang mga ugat ng polynomial.

3. Ang isa sa mga ugat ng polynomial ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa iba. Hanapin ang mga ugat ng polynomial f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ.

Opsyon 9

1. Hanapin ang kondisyon kung saan ang polynomial x 5 +10ax 3 +5bx+c ay may triple root na iba sa zero.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1.

3. Lutasin ang equation x 3 -6x 2 +qx+2=0, kung alam na ang mga ugat nito ay bumubuo ng arithmetic progression.

Opsyon 10

1. Ipakita na ang x=3 ay ang ugat ng polynomial f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72. Tukuyin ang multiplicity ng ugat, maghanap ng iba pang mga ugat ng polynomial.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 6 -4x 4 -16x 2 +16.

3. Humanap ng polynomial na may totoong coefficient ng pinakamaliit na degree na ibinigay sa mga ugat na 1, 2+i, 3.

Opsyon 11

1. Ipakita na ang x=2 ay ang ugat ng polynomial x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8. Hanapin ang multiplicity nito at iba pang mga ugat.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2.

3. Bumuo ng polynomial ng pinakamaliit na degree kung ang mga ugat nito x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 ay kilala.

Opsyon 12

1. Ipakita na ang x = -1 ay ang ugat ng polynomial x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2. Hanapin ang multiplicity nito at ang natitirang mga ugat ng polynomial.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1.

3. Bumuo ng polynomial ng pinakamaliit na degree kung ang mga ugat nito x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 ay kilala.

Opsyon 13

1. Ano ang multiplicity ng root x 0 = 4 para sa polynomial x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Hanapin ang natitirang mga ugat ng polynomial.

2. Paghiwalayin ang maraming salik ng polynomial x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Tukuyin ang λ upang ang isa sa mga ugat ng equation na x 3 -7x+λ=0 ay katumbas ng dalawang beses sa isa pa.

May mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyong malaman kung ang isang binigay na polynomial ay may maraming salik, at kung ang sagot ay positibo, ginagawa nilang posible na bawasan ang pag-aaral ng polynomial na ito sa pag-aaral ng mga polynomial na hindi na naglalaman ng maraming salik.

Teorama. Kung ito ay isang maramihang hindi mababawasang salik ng isang polynomial, kung gayon ito ay magiging isang maramihang salik ng hinango ng polynomial na ito. Sa partikular, ang pangunahing kadahilanan ng isang polynomial. Hindi pumapasok sa derivative expansion.

Sa katunayan, hayaan

at hindi na mahahati ng. Pag-iiba ng pagkakapantay-pantay (5.1), nakukuha natin ang:

Ang pangalawa sa mga termino sa panaklong ay hindi nahahati ng. Sa katunayan, hindi ito nahahati sa kondisyon, mayroon itong mas mababang antas, i.e. hindi rin mahahati ng. Sa kabilang banda, ang unang termino ng kabuuan sa mga square bracket ay hinati ng, i.e. ang multiplier ay talagang nakikipaglaro sa maramihan.

Mula sa theorem na ito at mula sa paraan sa itaas ng paghahanap ng pinakadakilang karaniwang divisor ng dalawang polynomial ay sumusunod na kung ang agnas ng isang polynomial sa hindi mababawasan na mga kadahilanan ay ibinigay:

pagkatapos ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng isang polynomial at ang derivative nito ay may sumusunod na decomposition sa hindi mababawasan na mga salik:

kung saan ang multiplier ay dapat palitan ng isa. Sa partikular, ang isang polynomial ay hindi naglalaman ng maraming mga kadahilanan kung at kung ito ay coprime sa derivative nito.

Paghihiwalay ng maramihan

Kung ang isang polynomial na may pagpapalawak (5.2) ay ibinigay at kung tinutukoy natin ang pinakamalaking karaniwang divisor at ang hinango nito, kung gayon ang (5.3) ay magiging isang pagpapalawak para sa. Hinahati ang (5.2) sa (5.3), nakukuha natin:

mga. nakakakuha tayo ng polynomial na hindi naglalaman ng maraming salik, at bawat hindi mababawas na salik kung saan, sa pangkalahatan, ay may mas mababang antas at, sa anumang kaso, naglalaman lamang ng mga pangunahing salik. Kung ang problemang ito ay nalutas, pagkatapos ay ang lahat na natitira ay upang matukoy ang multiplicity ng mga nahanap na hindi mababawasan na mga kadahilanan sa, na kung saan ay nakamit sa pamamagitan ng paggamit ng division algorithm.

Ang pagpapakumplikado sa pamamaraang binalangkas ngayon, maaari tayong magpatuloy kaagad sa pagsasaalang-alang ng ilang mga polynomial na walang maraming mga kadahilanan, at, sa pagkakaroon ng natagpuan ang mga hindi mababawasan na mga kadahilanan ng mga polynomial na ito, hindi lamang natin mahahanap ang lahat ng hindi mababawasan na mga kadahilanan para sa, ngunit malalaman din ang kanilang multiplicity.

Hayaan ang (5.2) na maging isang decomposition sa hindi mababawasan na mga salik, at ang pinakamataas na multiplicity ng mga salik ay, . Tukuyin natin sa pamamagitan ng produkto ng lahat ng solong salik ng isang polynomial, sa pamamagitan ng produkto ng lahat ng dobleng salik, ngunit kinuha lamang ng isang beses, atbp., sa wakas, sa produkto ng lahat -maramihang salik, isang beses din na kinuha; kung para sa ilan ay walang -multiple factors, then we assume. Pagkatapos ay hahatiin ito sa antas ng polynomial at ang pagpapalawak (5.2) ay kukuha ng anyo

at pagpapalawak (5.3) para sa ay muling isusulat sa anyo

nagsasaad sa pamamagitan ng pinakamalaking karaniwang divisor ng isang polynomial at ang hinango nito at sa pangkalahatan sa pamamagitan ng pinakadakilang karaniwang divisor ng polynomials at, sa ganitong paraan, nakukuha natin ang:

……………………………

At sa wakas

Kaya, gamit lamang ang mga pamamaraan na hindi nangangailangan ng kaalaman sa hindi mababawasan na mga kadahilanan ng polynomial, lalo na ang pagkuha ng derivative, ang Euclidean algorithm at ang division algorithm, maaari tayong makahanap ng mga polynomial na walang maraming mga kadahilanan, at ang bawat hindi mababawasan na kadahilanan ng polynomial ay magiging - maramihang. para sa.

Halimbawa. I-factor ang polynomial sa multiple.

Ang polynomial ay may pagpapalawak sa anyo.

Gumawa ako ng isang programa upang i-factor ang isang polynomial sa multiple.

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Mga Dialog, StdCtrls, Grids;

TForm1 = klase(TForm)

SGd1: TStringGrid;

Button1: TButton;

SGd2: TStringGrid;

SGd3: TStringGrid;

SGd4: TStringGrid;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

(Mga pribadong deklarasyon)

(Mga pampublikong deklarasyon)

c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,step,f:integer;

kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:array ng integer;

izub,e,fx:array ng integer;

pamamaraan TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var i,j,k_1,st3,l:integer;

k2_2,k1_1:array ng integer;

st1:=StrToInt(Edit1.Text);

para sa i:=0 hanggang st1 magsisimula

SGd4.Cells:=SGd1.Cells;

para sa i:=0 hanggang st1 magsisimula

kung SGd1.Cells<>"" pagkatapos

kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)

else MessageDlg("Attention! Ang mga coefficient values ay hindi pa naipasok!",mtWarning,,0);

para sa i:=st1 downto 0 magsisimula

kung kof1[i]<>0 pagkatapos magsimula

kung(kof1<0)or(i=0) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

kof2:=kof1[i]*i;

//Edit2.Text:=s;

para sa i:=st2 downto 0 magsisimula

SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);

kung kof2[i]<>0 pagkatapos magsimula

kung(kof2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

para sa i:=0 hanggang st1 magsisimula

kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

para sa i:=0 hanggang st2 ay magsisimula

kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

habang kof2<>0 magsisimula na

//Edit4.Text:="";

kung k1<>kof2 pagkatapos ay magsimula

kung (k1 mod kof2)=0 pagkatapos ay magsimula

para sa j:=0 hanggang st2 do

k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];

kung k2<>1 pagkatapos

para sa j:=0 hanggang st1 do

k1[j]:=kof2*k1[j];

kung k_1<>1 pagkatapos magsimula

para sa j:=0 hanggang st2 do

k2[j]:=k_1*kof2[j];

para sa i:=1 hanggang st1 magsisimula

k1:=k1[i]-k2[i];

hanggang st1

kung k1<>0 pagkatapos ay simulan ang //Abbreviation

para sa i:=1 to st1 do

kung k1[i]<>0 pagkatapos magsimula

kung (k1[i] mod k1)<>0 pagkatapos sokr:=false;

kung sokr=totoo noon

para sa i:=0 to st1 do

k1[i]:=k1[i] div k_1;

para sa i: = 0 hanggang st2 do // Pagpapalit ng polynomials

k2_2[i]:=kof2[i];

para sa i:=0 to st1 do

para sa i:=0 hanggang 10 ay magsisimula

SGd3.Cells:="";

SGd1.Cells:="";

izub:=0;

izubst:=st2;

para sa i:=0 hanggang st2 ay magsisimula

SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]);

izub:=k1[i];

kung k1[i]<>0 pagkatapos magsimula

//Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i);

kung (k2_2>0)at(i

para sa i:=0 hanggang st1 magsisimula

kof2[i]:=k1_1[i];

d_st:=StrToInt(Edit1.Text);

para sa i:=d_st+1 pababa sa 1 magsisimula

kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells);

//Paghahanap ng E

para sa n_nod:=1 hanggang n_iz ay magsisimula

m:=izubst;

para sa i:=n+1 pababa sa 1 magsisimula

para sa i:=m+1 downto 1 magsisimula

b[i]:=izub;

para sa i:=n+1 pababa sa 1 magsisimula

kung a[i]<>0 pagkatapos magsimula

kung ang<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

para sa i:=m+1 downto 1 magsisimula

kung b[i]<>0 pagkatapos magsimula

kung (b<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

para sa j:=n+1 pababa sa 1 magsisimula

para sa j:=m+1 pababa sa 1 magsisimula

b2[j]:=buf[i]*b[j];

para sa j:=f hanggang 1 ay magsisimula

a2[j]:=a2[j]*b;

para sa j:=f hanggang 1 ay magsisimula

a2[j]:=a2[j]-b2;

para sa i:=f+1 pababa sa 1 magsisimula

e:=buf[i];

kung buf[i]<>0 pagkatapos magsimula

kung (buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

para sa i:=n downto 0 magsisimula

kung a2[i]<>0 pagkatapos magsimula

kung(a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

para sa n_nod:=1 hanggang n_iz-1 ay magsisimula

m:=est;

para sa i:=n+1 pababa sa 1 magsisimula

a[i]:=e;

para sa i:=m+1 downto 1 magsisimula

b[i]:=e;

kung n_nod=n_iz-1 then fx:=b[i];

para sa i:=n+1 pababa sa 1 magsisimula

kung a[i]<>0 pagkatapos ay simulan kung(a<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

para sa i:=m+1 downto 1 magsisimula

kung b[i]<>0 pagkatapos ay simulan kung(b<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

para sa j:=n+1 pababa sa 1 magsisimula

para sa i:=step+1 downto 1 magsisimula na

para sa j:=m+1 pababa sa 1 magsisimula

b2[j]:=buf[i]*b[j];

para sa j:=f hanggang 1 ay magsisimula

a2[j]:=a2[j]*b;

para sa j:=f hanggang 1 ay magsisimula

a2[j]:=a2[j]-b2;

para sa i:=f+1 pababa sa 1 magsisimula

fx:=buf[i];

kung buf[i]<>0 pagkatapos ay simulan kung(buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

para sa i:=n downto 0 magsisimula

kung a2[i]<>0 pagkatapos ay simulan kung(a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

fxst:=est+1;

for i:=1 to n_iz do start

para sa j:=fxst[i] pababa sa 0 ay magsisimula

kung fx<>0 pagkatapos magsimula

kung (fx<0)or(j=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

s:=s+")^"+IntToStr(i)+" ";

Edit6.Text:=Edit6.Text+s;

para sa i:=0 hanggang 10 ay magsisimula

SGd1.Cells:=SGd4.Cells;

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang polynomial ay ang kanilang karaniwang divisor na isang multiple ng alinman sa kanilang mga karaniwang divisor. Kung

d= GCD(f 1 , … ,f n), pagkatapos ay mayroong mga ganoong polynomial u 1 , … ,u n, Ano

d = u 1 f 1 +… + u n f n .

Ang expression na ito ay tinatawag na linear na representasyon ng GCD.

Para mahanap ang gcd( f, g) at ang linear na representasyon nito, ang Euclidean algorithm ay ginagamit. Binubuo ito ng sequential division na may natitira sa unang polynomial ng pangalawa, pagkatapos ay ang pangalawa sa natitira, atbp. Ang huling hindi zero na natitira ay GCD( f, g). Gamit ang nagresultang kadena ng mga dibisyon, matatagpuan ang isang linear na representasyon.

Halimbawa 2.1. Maghanap ng GCD( f, g

f=X 4 + 2X 3 –X 2 +x + 1;

g= 2X 3 –X – 1.

Solusyon. Nagsasagawa kami ng isang kadena ng mga dibisyon na may natitira:

R Ang mga resulta ng paghahati ay nakasulat sa sumusunod na anyo:

f = g  (1/2 x+ 1) – ½ r 1 , r 1 = x 2 – 5x + 4;

g = r 1  (2x + 10) + 41r 2 , r 2 = x – 1; (*)

r 1 = r 2  (x – 4).

Huling hindi-zero na natitira r 2 =x– 1 ay gcd( f, g). Nahanap namin ang linear na representasyon nito gamit ang mga formula (*):

r 1 = 2f– 2g  (1/2 x + 1) = 2f – g  (x + 2);

41r 2 = g – r 1  (2x + 10) = g – (2f – g  (x + 2))  (2x + 10) =

= g– 2(2x+ 10)f+ (x+ 2)(2x+ 10)g= (4x+ 20)f+ (2x 2 + 14x+ 21)g;

GCD( f, g) = x – 1= r 2 =
f +
g.

Puna: Kung hindi mo kailangang maghanap ng linear na representasyon ng GCD, sa panahon ng mga kalkulasyon, hindi kailangang isaalang-alang ang mga numerical coefficient ng mga natitira, at maaari silang itapon. Upang maiwasan ang paglitaw ng mga fraction sa mga kalkulasyon, maaari mong i-multiply ang dibidendo sa isang angkop na integer bago isagawa ang paghahati.

Pagsasanay 2.1. Maghanap ng GCD( f, g) at ang linear na representasyon nito:

A) f=X 6 – 4X 5 + 11X 4 – 27X 3 + 37X 2 – 35x + 35;

g=X 5 – 3X 4 + 7X 3 – 20X 2 + 10x – 25.

b) f = 4X 4 – 2X 3 – 16X 2 + 5x + 9;

g= 2X 3 –X 2 – 5X + 4.

3. Maramihan

Pormal na derivative ng isang polynomial f = a 0 + a 1 x + … + a n x n sa ibabaw ng field F ay tinatawag na polynomial f  = a 1 + 2a 2 x 2 + … + na n x n-1 , para saan kN,aMeron tayo
.

Mga polynomial f At g ay tinatawag na nauugnay kung sila ay multiple ng bawat isa. Polinomyal f sa ibabaw ng isang singsing K ay sinasabing mababawasan sa K kung ito ay nonzero at maaaring katawanin bilang produkto ng dalawang hindi maibabalik na polynomial. Polinomyal f ay tinatawag na irreducible sa K kung ito ay hindi mababawasan sa K at anumang divisor nito ay nauugnay sa f o 1. Tanging mga polynomial na may positibong antas ang hindi mababawasan sa isang field. Ang isang polynomial sa isang field ay nabubulok sa isang produkto ng mga hindi mababawasan, at ang pagkabulok na ito ay natatangi hanggang sa pagkakasunud-sunod at pagkakaugnay.

Polinomyal f ay may hindi mababawasang kadahilanan p multiplicity k, Kung fp k ,fp k+1. Ang multiplier ay tinatawag na multiple kung ang multiple nito ay mas malaki sa 1.

Teorama 3.1. Kung isang polynomial f ay may hindi mababawasang salik sa larangan p multiplicity k, Iyon p– hindi mababawasan na multiplicity factor k–1 para sa f .

Nakakatulong ang theorem na ito na malutas ang problema ng paghihiwalay ng mga multiple ng isang polynomial f at factoring gamit ang polynomial na ito. Upang gawin ito, nakita namin ang GCD( f, f ) =d. Polinomyal d binubuo ng maraming salik ng isang polynomial f, ang bawat isa ay kasama sa d na may multiplicity na 1 mas mababa kaysa sa in f. Kung kaya mong mabulok d sa mga kadahilanan, pagkatapos ay ang lahat ng maramihang mga kadahilanan ng polynomial ay tinutukoy f, at ang gawain ng pagsasaliksik ay nagiging mas madali. Kung hindi, maaari nating isaalang-alang ang polynomial
. Binubuo ito ng lahat ng pangunahing salik ng polynomial f, kinuha na may multiplicity na 1. Kung hindi mapalawak ang polynomial na ito, maaari mong, halimbawa, hanapin ang gcd( f 1 , d), o ilapat ang inilarawang algorithm sa polynomial d.

Halimbawa 3.1. Salik ng isang polynomial

f = x 5 – 15x 3 – 10x 2 + 60x+ 72.

Solusyon. Kinakalkula namin f = 5x 4 – 45x 2 – 20x+ 60 = 5(x 4 – 9x 2 – 4x+ 12). Dahil hindi natin kailangang maghanap ng linear na representasyon ng GCD, ang mga non-zero numerical coefficient na nagmula sa mga coefficient ng polynomial ay maaaring itapon. Samakatuwid, sa halip na f Kunin natin g =x 4 – 9x 2 – 4x+ 12. Matapos makumpleto ang isang hanay ng mga dibisyon na may nalalabi f sa g ayon sa Euclidean algorithm, nakukuha namin

f = xg – 6r 1 , r 1 = x 3 + x 2 – 8x– 12;

g = (x– 1)r 1 .

Kaya naman, d = GCD( f, f ) =r 1 = x 3 +x 2 – 8x – 12. Dahil ang antas ng gcd ay mas malaki sa 2 at medyo mahirap i-factor ito, isinasaalang-alang namin ang polynomial
=x 2 –x – 6 = (x– 3)(x+ 2). kasi f Ang 1 ay may degree 2 at posible na i-factor ito, pagkatapos ay ang lahat ng hindi mababawasan na mga kadahilanan ng polynomial ay tinutukoy f, at ang natitira na lang ay upang matukoy ang kanilang multiplicity. Gawin natin ito gamit ang scheme ni Horner.

Sagot: f= (x+ 2) 3 (x– 3) 2 .

Magkomento. Dahil sa proseso ng paglutas ay ganap naming natukoy ang lahat ng mga pangunahing kadahilanan ng polynomial f, pagkatapos ay tukuyin ang multiplicity ng factor ( x– 3) ayon sa scheme ni Horner hindi ito kinakailangan: dahil ang antas ng polynomial ay 5 at ang multiplicity ng unang kadahilanan ng unang degree ay 3, kung gayon ang multiplicity ng pangalawang kadahilanan ay dapat na katumbas ng 2.

Mga ehersisyo.

3.1. Salik ang polynomial:

A) f = x 6 – 6x 4 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4;

b) f = x 5 – 6x 4 + 16x 3 – 24x 2 + 20x – 4.

3.2. Patunayan na ang polynomial x 2 n – nx n +1 +nx n –1 – Ang 1 ay may numero 1 bilang isang triple root.

Paghihiwalay ng hindi mababawasan na multiple ng isang polynomial. Mga Opsyon sa Factorization Lab

Pamamaraan ng Factorization

Paghihiwalay ng maramihan

3. Maramihan

Mga tungkulin ng guro ng klase Mga tungkulin at mga detalye ng mga aktibidad ng guro ng klase

Ano ang estado ng armadong pwersa ng Belarus Army sa Belarus

Nicholas the Bloody: bakit Duguan, ang kasaysayan ng paghahari ni Nicholas II Bakit tinawag na duguan si Nicholas 2

Paksa sa English na may pagsasaling "My Hometown - My hometown"

Ang aking mga bakasyon sa tag-araw sa Aleman

Paghihiwalay ng hindi mababawasan na multiple ng isang polynomial. Mga Opsyon sa Factorization Lab

Pamamaraan ng Factorization

Paghihiwalay ng maramihan

3. Maramihan

Mga katulad na artikulo