Plane stressed estado ng lakas ng mga materyales. stressed at deformed na estado. Torsion ng rectangular beam
Mga batayan ng teorya ng pagkalastiko
Lektura 4
Plane problema ng elasticity theory
slide 2
Sa teorya ng pagkalastiko, mayroong isang malaking klase ng mga problema na mahalaga sa kahulugan ng mga praktikal na aplikasyon at, sa parehong oras, pinapayagan ang makabuluhang pagpapasimple ng matematikal na bahagi ng solusyon. Ang pagpapasimple ay nakasalalay sa katotohanan na sa mga problemang ito ang isa sa mga coordinate axes ng katawan, halimbawa, ang z axis, ay maaaring itapon at ang lahat ng phenomena ay maaaring ituring na nagaganap sa parehong coordinate plane x0y ng load body. Sa kasong ito, ang mga stress, strain at displacements ay magiging function ng dalawang coordinate - x at y.
Ang isang problema na isinasaalang-alang sa dalawang coordinate ay tinatawag problema ng eroplano ng teorya ng pagkalastiko.
sa ilalim ng terminong " problema ng eroplano ng teorya ng pagkalastiko» pagsamahin ang dalawang pisikal na magkaibang problema, na humahantong sa magkatulad na mga ugnayang pangmatematika:
1) ang problema ng isang plane deformed state (plane deformation);
2) ang problema ng estado ng stress ng eroplano.
Ang mga problemang ito ay kadalasang nailalarawan sa pamamagitan ng isang makabuluhang pagkakaiba sa pagitan ng isang geometric na dimensyon at ng iba pang dalawang dimensyon ng mga katawan na isinasaalang-alang: isang malaking haba sa unang kaso at isang maliit na kapal sa pangalawang kaso.
Pagpapapangit ng eroplano
Ang pagpapapangit ay tinatawag na flat kung ang mga displacement ng lahat ng mga punto ng katawan ay maaaring mangyari lamang sa dalawang direksyon sa isang eroplano at hindi nakasalalay sa coordinate na normal sa eroplanong ito, i.e.
u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4.1)
Ang deformation ng eroplano ay nangyayari sa mahabang prismatic o cylindrical na katawan na may axis na parallel sa z axis, kung saan ang isang load ay kumikilos sa lateral surface, patayo sa axis na ito at hindi nagbabago sa magnitude kasama nito.
Ang isang halimbawa ng deformation ng eroplano ay ang stress-strain state na nangyayari sa isang mahabang tuwid na dam at isang mahabang arko ng isang underground tunnel (Fig. 4.1).
Larawan - 4.1. Ang deformation ng eroplano ay nangyayari sa katawan ng dam at sa vault ng underground tunnel
slide 3
Ang pagpapalit ng mga bahagi ng displacement vector (4.1) sa mga formula ng Cauchy (2.14), (2.15), makuha namin ang:
(4.2)
Ang kawalan ng mga linear na deformation sa direksyon ng z axis ay humahantong sa hitsura ng mga normal na stress σ z . Mula sa pormula ng batas ng Hooke (3.2) para sa pagpapapangit ε z sinusundan nito iyon
kung saan nakuha ang expression para sa stress σ z:
(4.3)
Ang pagpapalit ng ratio na ito sa unang dalawang formula ng batas ni Hooke, makikita natin:
(4.4)
slide 4
Mula sa pagsusuri ng mga pormula (4.2) − (4.4) at (3.2) ay sumusunod din na
Kaya, ang mga pangunahing equation ng tatlong-dimensional na teorya ng pagkalastiko sa kaso ng pagpapapangit ng eroplano ay lubos na pinasimple.
Sa tatlong Navier differential equilibrium equation (2.2), dalawang equation na lang ang natitira:
(4.5)
at ang pangatlo ay nagiging isang pagkakakilanlan.
Dahil ang direksyon na cosine ay nasa lahat ng dako sa lateral surface n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, dalawang equation na lang ang natitira sa tatlong kondisyon sa surface (2.4):
(4.6)
kung saan ang l, m ay ang mga cosiine ng direksyon ng panlabas na normal v sa ibabaw ng tabas;
X, Y, X v, Y v ay ang mga bahagi ng pwersa ng katawan at ang intensity ng mga panlabas na pagkarga sa ibabaw sa x at y axes, ayon sa pagkakabanggit.
slide 5
Ang anim na Cauchy equation (2.14), (2.15) ay binabawasan sa tatlo:
(4.7)
Sa anim na Saint-Venant deformation continuity equation (2.17), (2.18), isang equation ang nananatili:
(4.8)
at ang iba ay nagiging mga pagkakakilanlan.
Sa anim na pormula ng batas ni Hooke (3.2), isinasaalang-alang ang (4.2), (4.4), tatlong pormula ang nananatili:
Sa mga ugnayang ito, para sa uri ng rekord na tradisyonal sa teorya ng pagkalastiko, ang mga bagong nababanat na constant ay ipinakilala:
slide 6
Estado ng stress ng eroplano
Ang estado ng stress ng eroplano ay nangyayari kapag ang haba ng parehong prismatic body ay maliit kumpara sa iba pang dalawang dimensyon. Sa kasong ito, ito ay tinatawag na kapal. Ang mga stress sa katawan ay kumikilos lamang sa dalawang direksyon sa xOy coordinate plane at hindi nakadepende sa z coordinate. Ang isang halimbawa ng naturang katawan ay isang manipis na plato ng kapal h, na puno sa gilid ng ibabaw (rib) na may mga puwersa na kahanay sa eroplano ng plato at pantay na ibinahagi sa kapal nito (Fig. 4.2).
Figure 4.2 - Manipis na plato at mga load na inilapat dito
Sa kasong ito, posible rin ang mga pagpapasimple na katulad ng sa problema sa plane strain. Ang mga bahagi ng stress tensor σ z , τ xz , τ yz sa parehong mga eroplano ng plate ay katumbas ng zero. Dahil ang plato ay manipis, maaari nating ipagpalagay na ang mga ito ay katumbas din ng zero sa loob ng plato. Pagkatapos ang estado ng stress ay matutukoy lamang ng mga bahagi σ x , σ y , τ xy na hindi nakadepende sa z coordinate, ibig sabihin, hindi nagbabago kasama ang kapal ng plato, ngunit mga function ng x at y lamang.
Kaya, ang sumusunod na estado ng stress ay nangyayari sa isang manipis na plato:
Slide 7
Kaugnay ng mga stress, ang estado ng stress ng eroplano ay naiiba sa plane strain ayon sa kundisyon
Bilang karagdagan, mula sa pormula ng batas ni Hooke (3.2), na isinasaalang-alang ang (4.10), para sa linear deformation ε z nakuha namin na hindi ito katumbas ng zero:
Dahil dito, ang mga base ng plato ay magiging hubog, dahil magkakaroon ng mga displacement 
kasama ang z-axis.
Sa ilalim ng mga pagpapalagay na ito, ang mga pangunahing plane strain equation: differential equilibrium equation (4.5), surface condition (4.6), Cauchy equation (4.7), at strain continuity equation (4.8) ay nagpapanatili ng parehong anyo sa plane stress problem.
Ang mga pormula ng batas ni Hooke ay kukuha ng sumusunod na anyo:
Ang mga formula (4.11) ay naiiba sa mga formula (4.9) ng batas ni Hooke para sa pagpapapangit ng eroplano sa pamamagitan lamang ng mga halaga ng mga elastic constant: E at E 1 , v At v 1 .
Slide 8
Sa baligtad na anyo, ang batas ni Hooke ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
(4.12)
Kaya, kapag nilutas ang dalawang problemang ito (plane deformation at plane stress state), ang isa ay maaaring gumamit ng parehong mga equation at pagsamahin ang mga problema sa isang plane problem ng elasticity theory.
Mayroong walong hindi alam sa plane problem ng elasticity theory:
ay dalawang bahagi ng displacement vector u at v;
– tatlong bahagi ng stress tensor σ x , σ y , τ xy ;
ay tatlong bahagi ng strain tensor ε x , ε y , γ xy .
Walong equation ang ginagamit upang malutas ang problema:
– dalawang differential equilibrium equation (4.5);
– tatlong Cauchy equation (4.7);
ay tatlong pormula ng batas ni Hooke (4.9), o (4.11).
Bilang karagdagan, ang mga strain na nakuha ay dapat sumunod sa strain continuity equation (4.8), at ang mga kondisyon ng equilibrium (4.6) sa pagitan ng mga panloob na stress at ang intensity ng panlabas na pagkarga sa ibabaw X v, Y v.
Stressed at deformed na estado
Mayroong tatlong uri ng estado ng stress:
1) linear stress state - pag-igting (compression) sa isang direksyon;
2) estado ng stress ng eroplano - pag-igting (compression) sa dalawang direksyon;
3) volumetric stress state - pag-igting (compression) sa tatlong magkaparehong patayo na direksyon.
Isaalang-alang ang isang infinitesimal parallelepiped (cube). Sa mga mukha nito ay maaaring may mga normal na s at tangential stresses t. Kapag binago ang posisyon ng "cube", nagbabago ang mga boltahe. Makakahanap ka ng posisyon kung saan walang mga shear stress, tingnan ang fig.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif" align="left" width="337" height="217 src="> Gupitin natin ang elementary parallelepiped (Fig. a) na may oblique section.isang plane lang.Isinasaalang-alang namin ang elementary triangular prism (Fig. b).Ang posisyon ng inclined area ay tinutukoy ng anggulo a.Kung ang pag-ikot mula sa x-axis ay counterclockwise (tingnan ang Fig.b), kung gayon a>0.
Ang mga normal na stress ay may index na naaayon sa axis ng kanilang direksyon. shear stresses, kadalasan, ay may dalawang indeks: ang una ay tumutugma sa direksyon ng normal sa site, ang pangalawa sa direksyon ng stress mismo (sa kasamaang palad, may iba pang mga pagtatalaga at ibang pagpipilian ng mga coordinate axes, na humahantong sa isang pagbabago sa mga palatandaan sa ilang mga formula).
Normal na stress ay positibo kung ito ay makunat, shear stress ay positibo kung ito ay may posibilidad na paikutin ang itinuturing na bahagi ng elemento clockwise tungkol sa panloob na punto. pp (para sa shear stress sa ilang mga aklat-aralin at unibersidad, ang kabaligtaran ay tinatanggap).
Stress sa isang hilig na platform:
Ang batas ng pagpapares ng shear stresses: kung ang isang tangential stress ay kumikilos sa site, pagkatapos ay isang tangential stress na katumbas ng magnitude at kabaligtaran sa sign ay kikilos sa site na patayo dito. (txz=-tzx)
Mayroong dalawang pangunahing gawain sa teorya ng estado ng stress.
Direktang problema . Batay sa kilalang mga pangunahing diin: s1= smax, s2= smin, kinakailangan upang matukoy para sa isang site na nakahilig sa isang partikular na anggulo (a) sa mga pangunahing site, normal at shear stress:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif" width="219" height="33"> 
o 
.
Para sa isang perpendikular na platform:
.
Mula sa kung saan makikita na ang sa + sb = s1 + s2 ay ang kabuuan ng mga normal na stress sa dalawang magkabilang patayo na lugar ng invariant (independiyente) na may paggalang sa slope ng mga lugar na ito.
Tulad ng sa linear stress state, ang maximum shear stresses ay nangyayari sa a=±45o, i.e..gif" align="left" width="240" height="227">.gif" width="154" height= "55 src=">.gif" align="left" width="253" height="176 src=">Kung ang isa sa mga pangunahing stress ay lumalabas na negatibo, dapat silang tukuyin na s1, s3, kung pareho ay negatibo , pagkatapos ay s2, s3.
Katayuan ng stress ng volume
Mga stress sa anumang site na may alam na mga pangunahing stress s1, s2, s3:
kung saan ang a1, a2, a3 ay ang mga anggulo sa pagitan ng normal sa lugar na isinasaalang-alang at ang mga direksyon ng mga pangunahing diin.
Maximum na shear stress: 
.
Ito ay kumikilos sa isang plataporma na kahanay sa pangunahing diin s2 at nakakiling sa isang anggulo na 45o sa mga pangunahing diin na s1 at s3.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif" width="171" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif" width="115" height="48 src="> (minsan tinatawag na principal shear stresses).
Ang estado ng stress ng eroplano ay isang espesyal na kaso ng isang three-dimensional at maaari ding katawanin ng tatlong Mohr circle, habang ang isa sa mga pangunahing stress ay dapat na katumbas ng 0. Para sa shear stresses, gayundin sa isang plane stress state, batas ng pagpapares: ang mga bahagi ng mga shear stresses kasama ang magkabilang patayo na mga lugar, patayo sa linya ng intersection ng mga lugar na ito, ay pantay sa magnitude at kabaligtaran sa direksyon.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif" width="166" height="51 src=">;
Ang octahedral na normal na stress ay katumbas ng average ng tatlong pangunahing stress.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif" width="199" height="50">, Ang octahedral shear stress ay proporsyonal sa geometric na kabuuan ng mga principal shear stresses. Tindi ng stress:
DIV_ADBLOCK135">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif" width="177" height="49"> 
Ang pagbabago sa dami ay hindi nakasalalay sa ratio sa pagitan ng mga pangunahing diin, ngunit nakasalalay sa kabuuan ng mga pangunahing diin. Iyon ay, ang isang elementary cube ay makakatanggap ng parehong pagbabago sa volume kung ang parehong mga average na stress ay ilalapat sa mga mukha nito: 
, pagkatapos 
, kung saan K= - bulk modulus. Kapag ang isang katawan ay deformed, ang materyal na kung saan ay may ratio ng Poisson m = 0.5 (halimbawa, goma), ang dami ng katawan ay hindi nagbabago.
Potensyal na strain energy
Sa simpleng pag-igting (compression), ang potensyal na enerhiya ay U=https://pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif" width="95" height="47 src=">.gif" width ="234 "height="50 src="> o
Ang kabuuang strain energy na naipon sa bawat unit volume ay maaaring ituring na binubuo ng dalawang bahagi: 1) ang enerhiya na naipon dahil sa pagbabago sa volume (ibig sabihin, ang parehong pagbabago sa lahat ng dimensyon ng cube nang hindi binabago ang cubic na hugis) at 2) ang energy uf na nauugnay sa pagbabago ng hugis ng cube (ibig sabihin, ang enerhiyang ginugol sa paggawa ng cube sa parallelepiped). u = uo + uf.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif" width="389" height="50 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif" width="160" height="84 src=">. Kapag inikot mo ang coordinate system, nagbabago ang tensor coefficients, ang tensor mismo ay nananatili pare-pareho.
Tatlong invariant ng estado ng stress:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif" width="249" height="48"> 
ea - relative strain, ga - shear angle.
Ang parehong pagkakatulad ay hawak para sa bulk na estado. Samakatuwid, mayroon kaming mga invariant ng deformed state:
J1 = ex + ey + ez;
J2= exey +eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif height="140 src="> - strain tensor.
ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx ang mga bahagi ng deformed state.
Para sa mga palakol na tumutugma sa mga direksyon ng mga pangunahing strain e1, e2, e3, ang strain tensor ay nasa anyo: 
.
Mga teorya ng lakas
Sa pangkalahatang kaso, ang mapanganib na estado ng stress ng isang elemento ng istruktura ay nakasalalay sa ratio sa pagitan ng tatlong pangunahing stress (s1,s2,s3). Iyon ay, mahigpit na pagsasalita, para sa bawat ratio ay kinakailangan upang eksperimento na matukoy ang magnitude ng paglilimita ng stress, na hindi makatotohanan. Samakatuwid, ang mga naturang pamamaraan para sa pagkalkula ng lakas ay pinagtibay na gagawing posible upang masuri ang antas ng panganib ng anumang estado ng stress mula sa tensile-compression stress. Ang mga ito ay tinatawag na strength theories (theories of limit stress states).
1st strength theory(theory of the greatest normal stresses): ang sanhi ng pagsisimula ng state limiting stress ay ang pinakamalaking normal na stress. smax= s1£ [s]. Pangunahing kawalan: dalawang iba pang pangunahing mga stress ay hindi isinasaalang-alang. Ito ay kinumpirma ng karanasan lamang kapag nag-uunat ng mga napakarupok na materyales (salamin, dyipsum). Sa kasalukuyan, halos hindi ito ginagamit.
2nd strength theory(Ang teorya ng pinakamalaking kamag-anak na pagpapapangit): ang sanhi ng pagsisimula ng limitasyon ng estado ng stress ay ang pinakamalaking pagpahaba. emax= e1£ [e]..gif" width="63 height=47" height="47">, kundisyon ng lakas: sequiIII= s1 - s3£ [s]. Ang pangunahing disbentaha ay hindi nito isinasaalang-alang ang impluwensya ng s2.
Sa estado ng stress ng eroplano: sequivIII= 
£[s]. Para sa sy=0 nakukuha natin 
Malawakang ginagamit para sa mga plastik na materyales.
Ika-4 na teorya ng lakas(Teorya ng enerhiya): ang sanhi ng pagsisimula ng estado ng limitasyon ng stress ay ang halaga ng tiyak na potensyal na enerhiya ng pagbabago ng hugis. uf£..gif" width="367" height="55 src=">..gif" width="166" height="57">. Ito ay ginagamit sa mga kalkulasyon ng mga malutong na materyales, kung saan ang pinahihintulutang makunat at compressive stress ay hindi pareho (cast iron).
Para sa mga plastik na materyales = Ang teorya ni Mohr ay nagiging ika-3 teorya.
Circle ni Mohr (stress circle). Ang mga coordinate ng mga punto ng bilog ay tumutugma sa normal at paggugupit na stress sa iba't ibang mga site. Ipagpaliban namin ang sinag mula sa s axis mula sa sentro C sa isang anggulo 2a (a> 0, pagkatapos ay pakaliwa sa pahina), nakita namin ang punto D,
na ang mga coordinate ay: sa, ta. Maaari mong graphical na malutas ang parehong direkta at kabaligtaran na mga problema.
Purong shift
https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif" width="48 height=47" height="47">, kung saan ang Q ay ang puwersang kumikilos sa kahabaan ng mukha, ang F ay ang bahagi ng mukha . , kung saan gumagana lamang ang mga shear stresses, ay tinatawag na mga lugar ng purong gupit. Ang mga shear stress sa mga ito ay ang pinakamalaki. Ang purong gupit ay maaaring katawanin bilang sabay-sabay na compression at tensyon na nagaganap sa dalawang magkaparehong patayo na direksyon. Ibig sabihin, ito ay isang espesyal na kaso ng isang estado ng stress ng eroplano, kung saan binibigyang diin ng prinsipal ang: s1= - s3 = t, s2= 0. Ang mga pangunahing lugar ay gumagawa ng isang anggulo na 45° sa mga purong gupit na lugar.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif" width="16" height="48 src="> - relatibong paglilipat o gupit na anggulo.
Ang batas ni Hooke sa paggugupit : g = t/G o t = G×g.
G- modulus ng paggugupit o modulus ng elasticity ng pangalawang uri [MPa] - isang materyal na pare-pareho na nagpapakilala sa kakayahang labanan ang mga deformasyon ng gupit. (E - modulus of elasticity, m - Poisson's ratio).
Potensyal na enerhiya sa paggugupit: 
.
Partikular na potensyal na enerhiya ng shear strain: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif" width="63" height="53">.
Ang lahat ng potensyal na enerhiya sa purong paggugupit ay ginugugol lamang sa pagbabago ng hugis, ang pagbabago sa dami sa panahon ng pagpapapangit ng paggugupit ay zero.
Ang bilog ni Mohr sa purong shift.
Pamamaluktot
https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif" align="left" width="175" height="125 src=">Itong uri ng deformation, kung saan isang torque lang - Mk Ito ay maginhawa upang matukoy ang tanda ng metalikang kuwintas Mk sa direksyon ng panlabas na sandali Kung, kapag tiningnan mula sa gilid ng seksyon, ang panlabas na sandali ay nakadirekta sa counterclockwise, pagkatapos ay Mk> 0 (mayroon ding kabaligtaran na panuntunan). pamamaluktot, ang isang seksyon ay umiikot na may kaugnayan sa isa pa sa twist angle- j. Kapag ang isang bilog na bar (shaft) ay pinaikot, ang isang purong shear stress state ay lumitaw (walang mga normal na stress), tanging tangential stresses ang lumitaw. Ipinapalagay na ang mga seksyon ng eroplano bago ang pag-twist ay nananatiling patag at pagkatapos ng pag-twist - batas ng mga seksyon ng eroplano. Ang shear stresses sa mga punto ng seksyon ay nagbabago sa proporsyon sa distansya ng mga punto mula sa axis. ..gif" width="103" height="57 src="> - kamag-anak na anggulo ng twist..gif" width="127 height=57" height="57">, [t] =, para sa isang plastic na materyal, ang tlim ay kinukuha na ang shear yield strength tm, para sa isang malutong na materyal, ang tv ang pinakahuling lakas , [n] ay ang coefficient torsional stiffness condition: qmax£[q] – pinapayagang anggulo ng twist.
Torsion ng rectangular beam
https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif" width="46" height="46">Gupitin ang mga diagram ng stress ng isang rectangular na seksyon.
; , Jk at Wk - kondisyon na tinatawag na sandali ng pagkawalang-galaw at ang sandali ng paglaban sa panahon ng pamamaluktot. Wk=ahb2,
Jk= bhb3, Maximum shear stresses tmax ay nasa gitna ng mahabang gilid, stresses sa gitna ng maikling gilid: t= g×tmax, coefficients: a, b, g ay ibinibigay sa mga reference na libro depende sa ratio h /b (halimbawa, kapag h/b= 2, a=0.246, b=0.229, g=0.795.
yumuko
https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif" width="270" height="45">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif" width="71" height="53">, r - radius ng curvature ng neutral na layer, y - distansya mula sa ilang hibla hanggang sa neutral na layer. Ang batas ni Hooke sa pagyuko: , kung saan (Navier formula): , Jx - sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon na may kaugnayan sa pangunahing gitnang axis na patayo sa eroplano ng baluktot na sandali, EJx - baluktot na higpit, https://pandia.ru/text/78/374 /images/image091_15.gif" width="126" height="54">, Jx/ymax=Wx-section modulus sa baluktot, .
https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif" width="103 height=54" height="54">, kung saan ang Sx(y) ay ang static na sandali na nauugnay sa neutral axis ng bahaging iyon ng lugar, na matatagpuan sa ibaba o sa itaas ng layer na may pagitan sa layong "y" mula sa neutral axis; Jx - moment of inertia Kabuuan cross section na may kaugnayan sa neutral na axis, ang b(y) ay ang lapad ng seksyon sa layer kung saan tinutukoy ang shear stresses.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif" width="89" height="49 src=">, F=b×h, para sa circular section:, F=p×R2 , para sa isang seksyon ng anumang hugis,
k- koepisyent depende sa hugis ng seksyon (parihaba: k= 1.5; bilog - k= 1.33).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif" align="left" width="244" height="85 src=">Ang pagkilos ng itinapon na bahagi ay pinapalitan ng panloob na mga salik ng puwersa M at Q, na tinutukoy mula sa mga equation ng ekwilibriyo. Sa ilang mga unibersidad, ang sandaling M>0 ay inilatag, ibig sabihin, ang diagram ng mga sandali ay itinayo sa mga nakaunat na hibla. Kapag Q= 0, mayroon tayong extremum ng diagram ng sandali. Differential dependencies sa pagitan ng M,QAtq: https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif" width="187" height="54">.
Pagkalkula ng flexural strength
:
dalawang kondisyon ng lakas na nauugnay sa iba't ibang mga punto ng sinag: a) sa pamamagitan ng mga normal na stress 
, (mga puntos sa pinakamalayo mula sa C); b) sa pamamagitan ng shear stresses https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif "width="96" height="51">, na sinusuri ayon sa b). Maaaring may mga puntos sa ang mga seksyon ng mga beam, kung saan matatagpuan ang parehong normal at malalaking tangential stress. Para sa mga puntong ito, matatagpuan ang mga katumbas na stress, na hindi dapat lumampas sa mga pinapayagan. Sinusuri ang mga kondisyon ng lakas ayon sa iba't ibang teorya ng lakas
ako-ako: 
; II-I: (na may ratio ng Poisson m=0.3); - minsan lang gamitin.
III-I: 
, IV-I: 
,
Teorya ni Mohr: , (ginagamit para sa cast iron, kung saan ang pinapayagang tensile stress ¹ - compressive).
Pagpapasiya ng mga displacement sa mga beam sa panahon ng baluktot
https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif" width="104" height="52 src=">, kung saan ang r(x) ay ang radius ng curvature ng baluktot na axis ng beam sa seksyon x, M (x) - baluktot na sandali sa parehong seksyon, EJ - higpit ng sinag Ito ay kilala mula sa mas mataas na matematika: - padaplis ng anggulo sa pagitan ng x-axis at ang padaplis sa curved axis. Napakaliit ng halagang ito (maliit ang mga pagpapalihis ng sinag) Þ ang parisukat nito ay napapabayaan at ang anggulo ng pag-ikot ng seksyon ay tinutumbas sa tangent. tinatayang differential equation para sa curved beam axis: 
. Kung ang y-axis ay nakaturo sa itaas, pagkatapos ay ang sign (+). Sa ilang unibersidad, bumababa ang y-axis Þ(-). Pagsasama ng diff..gif" width="226" height="50 src="> - nakukuha namin antas ng pagpapalihis. Ang integration constants C at D ay matatagpuan mula sa mga kondisyon ng hangganan, na nakasalalay sa mga paraan ng pag-aayos ng beam.
a" mula sa pinanggalingan, ito ay pinarami ng factor (x - a) 0, na katumbas ng 1. Anumang ibinahagi na load ay pinalawig hanggang sa dulo ng beam, at ang isang load sa kabilang direksyon ay inilalapat upang mabayaran ito .
EJ= M(x) = RA×x – https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif" width="79 height=49" height="49"> - P(x - a – b); isinasama namin ang:
EJ = EJq0 + RA× – – M(x – a) + – P;
EJy =EJy0 + EJq0x + RA× – – M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif" width="93" height="51 src=">.
Ang mga paunang parameter ay kung ano ang mayroon tayo sa pinanggalingan, ibig sabihin, para sa figure: M0=0, Q0=RA, deflection y0=0, anggulo ng pag-ikot q0¹0. q0 makikita natin mula sa pagpapalit sa pangalawang equation ang mga kondisyon para sa pag-aayos ng tamang suporta: x=a+b+c; y(x)=0.
Differential dependencies sa baluktot :
; 
; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif" width="56" height="48 src=">.
Kahulugan ng mga displacement sa pamamagitan ng paraan ng fictitious load. Pagtutugma ng mga equation:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif" align="left" width="203" height="120 src="> at mayroon kaming isang pagkakatulad, Þ ang kahulugan ng mga deflection ay maaaring ay bawasan sa kahulugan ng mga sandali mula sa ilang kathang-isip (kondisyon) na pagkarga sa isang kathang-isip na sinag: Ang sandali mula sa isang kathang-isip na pagkarga Mf pagkatapos hatiin sa EJ ay katumbas ng pagpapalihis na "y" sa isang naibigay na sinag mula sa isang ibinigay na pagkarga Isinasaalang-alang na at , nakuha namin na ang anggulo ng pag-ikot sa isang naibigay na sinag ay ayon sa bilang na katumbas ng kathang-isip na transverse force sa isang kathang-isip na sinag.. Sa kasong ito, dapat mayroong kumpletong pagkakatulad sa mga kondisyon ng hangganan ng dalawang sinag. Ang bawat ibinigay na sinag ay tumutugma sa sarili nitong kathang-isip na sinag.
Ang pag-aayos ng mga fictitious beam ay pinili mula sa kondisyon na sa mga dulo ng beam at sa mga suporta ay may kumpletong pagsusulatan sa pagitan ng "y" at "q" sa isang naibigay na beam at Mf at Qf sa isang fictitious beam. Kung ang mga diagram ng mga sandali sa parehong tunay at mga gawa-gawang beam ay binuo mula sa gilid ng nakaunat na hibla (ibig sabihin, ang positibong sandali ay inilatag), kung gayon ang mga linya ng pagpapalihis sa ibinigay na sinag ay tumutugma sa diagram ng mga sandali sa ang fictitious beam.
Statically indeterminate beam.
Ang mga sistema ay tinatawag na statically indeterminate kung ang mga reaksyon kung saan ay hindi matukoy mula sa mga equation ng equilibrium ng isang solid body. Sa ganitong mga sistema, mayroong higit pang mga bono kaysa sa kinakailangan para sa ekwilibriyo. Ang antas ng static na indeterminacy ng beam(walang mga intermediate na bisagra - tuloy-tuloy na mga sinag) ay katumbas ng labis (dagdag) na bilang ng mga panlabas na link (higit sa tatlo).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif" width="21" height="25 src=">.gif" width="20" height="25 src=">. gif" width="39" height="51 src="> + C;
EJy = RВ×https://pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif" width="40" height="49 src="> + С×х + D..gif" width=" 39" taas="49 src=">+ MA=0; ay RA at MA.
dagdag na "pag-aayos" ay tinatawag pangunahing sistema. Para sa "dagdag" na hindi alam, maaari mong kunin ang alinman sa mga reaksyon. Ang pagkakaroon ng inilapat ang ibinigay na mga load sa pangunahing sistema, nagdaragdag kami ng isang kondisyon na nagsisiguro sa pagkakaisa ng ibinigay na sinag at ang pangunahing isa - ang equation ng displacement compatibility. Para sa Fig.: yB=0, ibig sabihin, pagpapalihis sa punto B = 0. Ang solusyon sa equation na ito ay posible sa iba't ibang paraan.
Paraan upang ihambing ang mga displacement
.
Ang pagpapalihis ng punto B (Fig.) ay tinutukoy sa pangunahing sistema sa ilalim ng pagkilos ng isang naibigay na pagkarga (q): yВq = "dagdag" na hindi kilalang RB, at ang pagpapalihis mula sa pagkilos ng RB ay matatagpuan: 
. Palitan sa equation ng compatibility ng displacement: yB= yВq += 0, ibig sabihin, += 0, kung saan RB=https://pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif" align="left" width =" 371" taas="300 src="> Tatlong sandali na teorama
. Ginamit sa pagkalkula tuloy-tuloy na mga sinag- mga beam sa maraming mga suporta, ang isa ay naayos, ang natitira ay palipat-lipat. Upang lumipat mula sa isang statically indeterminate beam patungo sa isang statically determinate basic system, ang mga bisagra ay ipinapasok sa itaas ng mga karagdagang suporta. Mga karagdagang hindi alam: mga sandali na inilapat ang Mn sa mga dulo ng span sa mga karagdagang suporta.
Ang mga plot ng mga sandali ay binuo para sa bawat span ng beam mula sa isang naibigay na load, na isinasaalang-alang ang bawat span bilang isang simpleng beam sa dalawang suporta. Para sa bawat intermediate na suporta "n" ay pinagsama-sama equation ng tatlong sandali:
wn, wn+1 – mga lugar ng plot, isang – distansya mula sa sentro ng grabidad ng kaliwang diagram hanggang sa kaliwang suporta, bn+1 – distansya mula sa sentro ng grabidad ng kanang diagram hanggang sa kanang suporta. Ang bilang ng mga equation ng sandali ay katumbas ng bilang ng mga intermediate na suporta. Ginagawang posible ng kanilang pinagsamang solusyon na makahanap ng hindi kilalang mga sandali ng suporta. Alam ang mga sandali ng suporta, ang mga indibidwal na span ay isinasaalang-alang at ang hindi kilalang mga reaksyon ng suporta ay matatagpuan mula sa mga static na equation. Kung mayroon lamang dalawang span, malalaman ang kaliwa at kanang mga sandali, dahil ang mga ito ay binibigyan ng mga sandali, o katumbas ng zero. Bilang resulta, nakakuha kami ng isang equation na may isang hindi kilalang М1.
Pangkalahatang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga displacement
m" , na sanhi ng pagkilos ng puwersa ng pangkalahatan na "n". Kabuuang pag-alis na dulot ng ilang salik ng puwersa: DР = DРP + DРQ + DРM. Mga displacement na dulot ng isang puwersa o isang sandali: d - tiyak na pag-aalis. Kung ang nag-iisang puwersa P=1 ay nagdulot ng displacement dP, ang kabuuang displacement na dulot ng puwersa P ay magiging: DP=P×dP. Kung ang mga salik ng puwersa na kumikilos sa system ay itinalagang X1, X2, X3, atbp., kung gayon ang paggalaw sa direksyon ng bawat isa sa kanila:
kung saan Х1d11=+D11; X2d12=+D12; Хidmi=+Dmi. Dimensyon ng mga partikular na displacement: 
, J - joules, ang sukat ng trabaho ay 1J = 1Nm.
Ang gawain ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa isang nababanat na sistema: 
.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif" width="307" height="57">,
k - koepisyent na isinasaalang-alang ang hindi pantay na pamamahagi ng mga stress ng paggugupit sa cross-sectional area, ay depende sa hugis ng seksyon.
Batay sa batas ng konserbasyon ng enerhiya: potensyal na enerhiya U=A.
D 
11 - paggalaw sa direksyon. puwersa P1 mula sa aksyon ng puwersa P1;
D12 - paggalaw sa direksyon. puwersa P1 mula sa aksyon ng puwersa P2;
D21 - paggalaw sa direksyon. puwersa P2 mula sa aksyon ng puwersa P1;
D22 - paggalaw sa direksyon. puwersahin ang P2 mula sa pagkilos ng puwersa P2.
Ang А12=Р1×D12 ay ang gawain ng puwersa Р1 ng unang estado sa paggalaw sa direksyon nito, na sanhi ng puwersa Р2 ng pangalawang estado. Katulad nito: A21=P2×D21 ay ang gawain ng puwersa P2 ng pangalawang estado sa paggalaw sa direksyon nito, sanhi ng puwersa P1 ng unang estado. A12=A21. Ang parehong resulta ay nakuha para sa anumang bilang ng mga puwersa at sandali. Work reciprocity theorem: Р1×D12=Р2×D21.
Ang gawain ng mga puwersa ng unang estado sa mga displacement sa kanilang mga direksyon, na sanhi ng mga puwersa ng pangalawang estado, ay katumbas ng gawain ng mga puwersa ng pangalawang estado sa mga displacement sa kanilang mga direksyon, na sanhi ng mga puwersa ng unang estado. .
Teorama sa reciprocity ng mga displacement (Teorem ni Maxwell) Kung P1=1 at P2=1, P1d12=P2d21, ibig sabihin, d12=d21, sa pangkalahatan dmn=dnm.
Para sa dalawang unit state ng isang elastic system, ang paggalaw sa direksyon ng unang unit force na dulot ng pangalawang unit force ay katumbas ng paggalaw sa direksyon ng pangalawang unit force na dulot ng unang force.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif" width="104" height="27 src="> mula sa pagkilos ng isang unit force; 4) ang mga nahanap na expression ay pinapalitan sa Mohr integral at pinagsama ayon sa ibinigay na Kung ang nagreresultang Dmn>0, kung gayon ang displacement ay tumutugma sa napiling direksyon ng unit force, kung<0, то противоположно.
Para sa flat na disenyo:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif" width="155" height="58">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif" width="81 height=43" height="43"> para sa kaso kapag ang diagram mula sa isang naibigay na load ay may arbitrary na hugis, at mula sa isang solong pag-load - ang rectilinear ay maginhawang tinutukoy ng graph-analytical na pamamaraan na iminungkahi ng Vereshchagin. 
, kung saan ang W ay ang lugar ng diagram Мр mula sa isang panlabas na load, ang yc ay ang ordinate ng diagram mula sa isang unit load sa ilalim ng sentro ng gravity ng diagram Мр. Ang resulta ng pagpaparami ng mga diagram ay katumbas ng produkto ng lugar ng isa sa mga diagram sa pamamagitan ng ordinate ng iba pang diagram, na kinuha sa ilalim ng sentro ng grabidad ng lugar ng unang diagram. Ang ordinate ay dapat kunin mula sa isang diagram ng tuwid na linya. Kung ang parehong mga diagram ay rectilinear, kung gayon ang ordinate ay maaaring kunin mula sa alinman.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif" width="119" height="50 src=">. Ang formula na ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng mga seksyon, na ang bawat isa ay dapat may tuwid na linya diagram na walang mga bali.Ang kumplikadong diagram Mp ay nahahati sa mga simpleng geometric na hugis, kung saan mas madaling matukoy ang mga coordinate ng mga sentro ng grabidad.Kapag nagpaparami ng dalawang diagram na mukhang trapezoid, maginhawang gamitin ang formula: 
. Ang parehong formula ay angkop din para sa mga triangular na diagram, kung papalitan natin ang katumbas na ordinate = 0.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif" width="71" height="48"> (para sa fig., i.e. 
, xC=L/2).
blind "embedding na may pantay na distributed load, mayroon kaming concave quadratic parabola, kung saan =3L/4. Maaari rin itong makuha kung ang diagram ay kinakatawan ng pagkakaiba sa pagitan ng lugar ng isang tatsulok at ng lugar ng isang convex quadratic parabola: 
. Ang "nawawalang" lugar ay itinuturing na negatibo.
Teorama ni Castigliano.
– ang pag-aalis ng punto ng aplikasyon ng pangkalahatang puwersa sa direksyon ng pagkilos nito ay katumbas ng bahagyang derivative ng potensyal na enerhiya na may paggalang sa puwersang ito. Ang pagpapabaya sa impluwensya ng axial at transverse na pwersa sa paggalaw, mayroon tayong potensyal na enerhiya: 
, saan 
.
Statically indeterminate system- mga sistema, ang mga kadahilanan ng puwersa sa mga elemento na hindi matukoy lamang mula sa mga equation ng equilibrium ng isang matibay na katawan. Sa ganitong mga sistema, ang bilang ng mga bono ay mas malaki kaysa sa kinakailangan para sa ekwilibriyo. Degree ng static indeterminacy: S = 3n - m, n - ang bilang ng mga saradong mga loop sa istraktura, m - ang bilang ng mga solong bisagra (isang bisagra na nagkokonekta sa dalawang rod ay binibilang bilang isa, nagkokonekta ng tatlong rod - bilang dalawa, atbp.). paraan ng puwersa Ang mga kadahilanan ng puwersa ay itinuturing na hindi alam. Ang pagkakasunud-sunod ng pagkalkula: 1) itakda ang antas ng static. hindi matukoy; 2) sa pamamagitan ng pag-alis ng mga hindi kinakailangang koneksyon, ang orihinal na sistema ay pinalitan ng isang statically determinate na isa - ang pangunahing sistema (maaaring mayroong ilang mga naturang sistema, ngunit kapag nag-aalis ng mga hindi kinakailangang koneksyon, ang geometric invariability ng istraktura ay hindi dapat labagin); 3) ang pangunahing sistema ay puno ng mga ibinigay na puwersa at hindi kinakailangang hindi alam; 4) ang hindi kilalang pwersa ay dapat mapili upang ang mga deformation ng orihinal at pangunahing mga sistema ay hindi magkakaiba. Iyon ay, ang mga reaksyon ng mga tinanggihang bono ay dapat magkaroon ng mga naturang halaga kung saan ang mga displacement sa kanilang mga direksyon = 0. Ang mga canonical equation ng paraan ng mga puwersa:
Ang mga equation na ito ay karagdagang ur-strains na nagbibigay-daan sa iyong magbukas ng static. hindi matukoy. Ang bilang ng ur-s = ang bilang ng mga itinapon na koneksyon, ibig sabihin, ang antas ng kawalan ng katiyakan ng system.
Ang dik ay ang paggalaw sa direksyong i, sanhi ng puwersa ng yunit na kumikilos sa direksyon k. dii - pangunahing, dik - mga paggalaw sa gilid. Ayon sa reciprocity theorem: dik=dki. Dip - paggalaw sa direksyon ng i-th na koneksyon, na sanhi ng pagkilos ng isang naibigay na pag-load (mga miyembro ng pag-load). Ang mga displacement na kasama sa canonical equation ay maginhawang tinutukoy ng Mohr method.
Upang gawin ito, ang mga solong load X1=1, X2=1, Xn=1, ang panlabas na pagkarga ay inilalapat sa pangunahing sistema at ang mga kurba ng mga baluktot na sandali ay naka-plot. Ang Mohr integral ay ginagamit upang mahanap ang: 
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
.
Ang linya sa ibabaw ng M ay nagpapahiwatig na ang mga panloob na pwersa ay sanhi ng pagkilos ng isang yunit ng puwersa.
Para sa mga system na binubuo ng mga elemento ng rectilinear, ito ay maginhawa upang i-multiply ang mga diagram gamit ang Vereshchagin method. 
; 
atbp. Ang WP ay ang lugar ng Mp diagram mula sa isang panlabas na load, ang yСр ay ang ordinate ng diagram mula sa isang solong load sa ilalim ng sentro ng gravity ng Мр diagram, ang W1 ay ang lugar ng M1 diagram mula sa isang nag-iisang load. Ang resulta ng pagpaparami ng mga diagram ay katumbas ng produkto ng lugar ng isa sa mga diagram sa pamamagitan ng ordinate ng iba pang diagram, na kinuha sa ilalim ng sentro ng grabidad ng lugar ng unang diagram.
Pagkalkula ng mga flat curved bar (rods)
Kasama sa mga curved beam ang mga hook, chain link, arches, atbp. Mga Limitasyon: ang cross section ay may axis ng symmetry, ang axis ng beam ay flat curve, gumagana ang load sa parehong eroplano. May mga bar ng maliit na kurbada: h / R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,
rН ay ang radius ng neutral na layer, e=R – rН, R ay ang radius ng layer kung saan matatagpuan ang mga sentro ng gravity ng seksyon. Ang neutral na axis ng curved beam ay hindi dumadaan sa gitna ng gravity ng seksyon C. Ito ay palaging matatagpuan mas malapit sa gitna ng curvature kaysa sa sentro ng gravity ng seksyon. , r=rН – y. Alam ang radius ng neutral na layer, maaari mong matukoy ang distansya "e" mula sa neutral na layer hanggang sa sentro ng grabidad. Para sa isang hugis-parihaba na seksyon na may taas h, na may panlabas na radius R2 at panloob na R1: ; para sa iba't ibang seksyon, ang mga formula ay ibinibigay sa sangguniang literatura. Para sa h/R<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.
Ang mga normal na stress sa seksyon ay ipinamamahagi ayon sa hyperbolic na batas (mas mababa sa panlabas na gilid ng seksyon, higit pa sa panloob na gilid). Sa ilalim ng pagkilos ng isang normal na puwersa N: 
(narito ang rН ay ang radius ng neutral na layer, na kung saan ay nasa ilalim ng pagkilos ng sandaling M, ibig sabihin, sa N=0, ngunit sa katotohanan, sa pagkakaroon ng isang longitudinal na puwersa, ang layer na ito ay hindi na neutral). Kondisyon ng lakas: 
, habang isinasaalang-alang ang matinding mga punto kung saan ang kabuuang mga stress mula sa baluktot at tension-compression ay magiging pinakamalaki, ibig sabihin, y= – h2 o y= h1. Ang mga displacement ay maginhawang tinutukoy ng pamamaraan ni Mohr.
Katatagan ng mga compressed rod. Paayon na liko
Ang pagkasira ng baras ay maaaring mangyari hindi lamang dahil ang lakas ay masisira, kundi pati na rin dahil ang baras ay hindi nagpapanatili ng nais na hugis. Halimbawa, baluktot sa ilalim ng longitudinal compression ng isang manipis na pinuno. Ang pagkawala ng katatagan ng isang rectilinear form ng equilibrium ng isang centrally compressed rod ay tinatawag buckling. Nababanat na balanse tuloy-tuloy, kung ang deformed body, na may anumang maliit na paglihis mula sa equilibrium state, ay may posibilidad na bumalik sa orihinal nitong estado at bumalik dito kapag ang panlabas na impluwensya ay tinanggal. Ang pag-load, ang labis na nagiging sanhi ng pagkawala ng katatagan, ay tinatawag kritikal na pagkarga Rcr (kritikal na puwersa). Pinahihintulutang pag-load [P]=Pkr/nу, nу – normative stability factor..gif" width="111" height="51 src=">.gif" width="115 height=54" height="54"> - ang formula ay nagbibigay ng halaga ng kritikal na puwersa para sa isang baras na may mga hinged na dulo. Sa iba't ibang mga pag-aayos: 
, m ay ang kadahilanan ng pagbabawas ng haba.
Gamit ang hinged fastening ng magkabilang dulo ng baras m=1; para sa isang baras na may saradong dulo m=0.5; para sa isang baras na may isang sarado at iba pang libreng dulo m=2; para sa isang baras na may nakapirming dulo at nakabitin ang kabilang dulo, m=0.7.
Kritikal na compressive stress.: 
, – flexibility ng baras, 
ay ang pinakamaliit na principal radius ng inertia ng cross-sectional area ng rod. Ang mga formula na ito ay may bisa lamang kapag ang mga boltahe ng skr £ spts ay ang limitasyon ng proporsyonalidad, ibig sabihin, sa loob ng mga limitasyon ng pagkakalapat ng batas ni Hooke. Ang Euler formula ay naaangkop kapag ang baras ay nababaluktot: 
, halimbawa, para sa bakal na St3 (C235) lkr "100. Para sa kaso l
Sapat na maikling baras kung saan l
(Fnet = Fgross-Fweak – ang lugar ng mahinang seksyon, na isinasaalang-alang ang lugar ng mga butas sa seksyong Fweak, halimbawa, mula sa mga rivet). \u003d scr / nу, nу - karaniwang koepisyent. margin ng katatagan. Ang pinahihintulutang stress ay ipinahayag sa mga tuntunin ng pangunahing pinapahintulutang stress [s] na ginagamit sa mga kalkulasyon ng lakas: =j×[s], j - pinahihintulutang kadahilanan ng pagbabawas ng stress para sa mga compressed rods (buckling coefficient). Ang mga halaga ng j ay ibinibigay sa Talahanayan. sa mga aklat-aralin at nakasalalay sa materyal ng pamalo at ang kakayahang umangkop nito (halimbawa, para sa bakal na St3 sa l=120 j=0.45).
Sa pagkalkula ng disenyo ng kinakailangang cross-sectional area, ang j1 = 0.5–0.6 ay kinuha sa unang hakbang; hanapin: 
. Dagdag pa, alam ang Fgross, piliin ang seksyon, tukuyin ang Jmin, imin at l, itakda ayon sa Talahanayan. ang aktwal na j1I, kung ito ay malaki ang pagkakaiba sa j1, ang pagkalkula ay uulitin sa average na j2= (j1+j1I)/2. Bilang resulta ng pangalawang pagtatangka, natagpuan ang j2I, kumpara sa nakaraang halaga, at iba pa, hanggang sa makamit ang isang malapit na tugma. Karaniwang tumatagal ng 2-3 pagsubok..
Relasyon sa pagitan mga sandali ng pagkawalang-galaw kapag pinihit ang mga palakol:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif" width="17" height="47 src=">(Jx - Jy)sin2a + Jxycos2a ;
Anggulo a>0, kung ang paglipat mula sa lumang coordinate system patungo sa bago ay nangyayari nang pakaliwa. p. Jy1 + Jx1= Jy + Jx
Extreme (maximum at minimum) na mga halaga ng mga sandali ng inertia ay tinatawag pangunahing mga sandali ng pagkawalang-galaw. Ang mga axes kung saan ang mga axial moments ng inertia ay may matinding halaga ay tinatawag pangunahing axes ng pagkawalang-galaw. Ang mga pangunahing axes ng inertia ay magkaparehong patayo. Centrifugal moments of inertia tungkol sa mga pangunahing axes \u003d 0, ibig sabihin, ang mga pangunahing axes ng inertia ay ang mga axes na nauugnay kung saan ang centrifugal moment ng inertia \u003d 0. Kung ang isa sa mga axes ay nag-tutugma o pareho ay nag-tutugma sa axis ng simetrya, kung gayon principal sila. Anggulo na tumutukoy sa posisyon ng mga pangunahing axes: 
, kung a0>0 Þ ang mga axes ay iniikot sa counterclockwise. p. Ang axis ng maximum ay palaging gumagawa ng isang mas maliit na anggulo sa mga axes, kung saan ang sandali ng pagkawalang-kilos ay may mas malaking halaga. Ang mga pangunahing palakol na dumadaan sa sentro ng grabidad ay tinatawag pangunahing mga gitnang axes ng inertia. Mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga palakol na ito: 
Jmax + Jmin = Jx + Jy. Ang centrifugal moment ng inertia tungkol sa mga pangunahing central axes ng inertia ay 0. Kung ang mga pangunahing sandali ng inertia ay kilala, ang mga formula para sa paglipat sa rotated axes ay:
Jx1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1=(Jmax - Jmin)sin2a;
Ang pangwakas na layunin ng pagkalkula ng mga geometric na katangian ng seksyon ay upang matukoy ang mga pangunahing gitnang sandali ng pagkawalang-galaw at ang posisyon ng mga pangunahing gitnang axes ng inertia. 
Radius ng pagkawalang-galaw- https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif" width="85" height="32 src=">. Para sa mga seksyon na may higit sa dalawang axes ng symmetry (halimbawa: bilog, square, ring, etc.) axial moments of inertia relative to all central axes are equal to each other, Jxy=0, ang ellipse of inertia turns into a circle of inertia.
s- normal na boltahe[Pa], 1Pa (pascal) = 1 N/m2,
106Pa = 1 MPa (megapascal) = 1 N/mm2
N - longitudinal (normal) na puwersa [N] (newton); F - cross-sectional area [m2]
e - kamag-anak na pagpapapangit [dimensionless value];
DL - longitudinal deformation [m] (absolute elongation), L - haba ng bar [m].
Batas ni Hooke - s = E×e
E - tensile modulus (modulus ng elasticity ng 1st kind o Young's modulus) [MPa]. Para sa bakal E = 2×105MPa = 2×106 kg/cm2 (sa "lumang" sistema ng mga yunit).
(mas maraming E, hindi gaanong mapalawak ang materyal)
; - Batas ni Hooke
EF - paninigas ng baras sa pag-igting (compression).
Kapag ang baras ay nakaunat, ito ay "thinners", ang lapad nito - isang bumababa sa pamamagitan ng transverse deformation - Da.
Relatibong transverse deformation.
 |
Mga pangunahing mekanikal na katangian ng mga materyales
sp - limitasyon ng proporsyonalidad, st - yield point, sВ- limitasyon ng lakas o pansamantalang pagtutol, ang sk ay ang boltahe sa sandali ng pagkalagot.
Ang mga malutong na materyales, tulad ng cast iron, ay masira sa mababang pagpahaba at walang yield plateau, na lumalaban sa compression kaysa sa pag-uunat.
Pinahihintulutang boltahe https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif" align="left" width="173" height="264"> mga stress sa kahabaan ng slope:
Direktang gawain…………………………………………………..3
Baliktad na problema……………………………………………………3
Katayuan ng stress ng volume…………………………………………4
Stress sa kahabaan ng octahedral site…………………..5
Mga pagpapapangit sa ilalim ng estado ng volumetric stress.
Pangkalahatang batas ni Hooke ……………………………………………6
Potensyal na strain energy………………………………7
Mga teorya ng lakas…………………………………………………………………………9
Teorya ng lakas ni Mohr …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………
Mohr Circle……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………
Net shift……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………
Ang batas ni Hooke sa paggugupit………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………
Torsyon………………………………………………………..13
Torsyon ng isang parihabang bar…………………….14
Yumuko………………………………………………………………15
Ang pormula ni Zhuravsky…………………………………………………………………………16
Pagkalkula para sa lakas ng baluktot…………………………………………………………………………18
Pagpapasiya ng mga displacement sa mga beam sa panahon ng baluktot………………19
Differential dependencies sa baluktot……………….20
Displacement compatibility equation……………………..22
Paraan ng paghahambing ng mga displacement……………………………..22
Ang three-moment theorem………………………………………………..22
Pangkalahatang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga displacement………………….24
Work reciprocity theorem (Betley's theorem)……………….25
Ang theorem sa reciprocity of displacements (Maxwell's theorem).. 26
Pagkalkula ng Mohr integral sa pamamagitan ng Vereshchagin method……….27
Teorama ni Castigliano…………………………………………..28
Statically indeterminate na mga sistema………………………..29
Pagkalkula ng mga flat curved bar (rods)………………………………31
Katatagan ng mga compressed rod. Paayon na baluktot……….33
Mga katangiang geometriko ng mga patag na seksyon…………36
Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon…………………………………..37
Centrifugal moment of inertia ng seksyon ………………………..37
Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga simpleng seksyon ng hugis……………………..38
Mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa parallel axes……..39
Ang kaugnayan sa pagitan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw kapag lumiliko
mga palakol………………………………………………………………40
Mga sandali ng pagtutol………………………………………….42
Tensyon at compression……………………………………………………43
Pangunahing mekanikal na katangian ng mga materyales…….45
biaxial o patag tinatawag na tulad ng isang stressed estado ng katawan, kung saan sa lahat ng mga punto nito ang isa sa mga pangunahing stresses ay katumbas ng zero. Maaaring ipakita * na ang estado ng stress ng eroplano ay nangyayari sa isang prismatic o cylindrical na katawan (Larawan 17.1) na may maluwag at di-load na mga dulo, kung ang isang sistema ng mga panlabas na puwersa na normal sa axis ay inilapat sa gilid na ibabaw ng katawan Oz at nagbabago depende sa z ayon sa quadratic law, ito ay simetriko na may paggalang sa mean section. Ito ay lumiliko na sa lahat ng mga cross section ng katawan
at boltahe isang x, isang y, x pagbabago depende sa z gayundin, ayon sa quadratic law, ito ay simetriko na may paggalang sa mean section. Ang pagpapakilala ng mga pagpapalagay na ito ay ginagawang posible upang makakuha ng isang solusyon sa problema na nakakatugon sa mga kondisyon (17.13) at lahat ng mga equation ng teorya ng pagkalastiko.
Ang interes ay ang espesyal na kaso kapag ang mga stress ay hindi nakasalalay sa variable z'-
Ang ganitong stressed na estado ay posible lamang sa ilalim ng pagkilos ng isang load na pantay na ipinamamahagi kasama ang haba. Ito ay sumusunod mula sa mga pormula ng batas ni Hooke (16.3) na ang mga pagpapapangit e x, e y, e z , y ay hindi rin nakadepende sa z, at mga pagpapapangit y at y zx isinasaalang-alang ang (17.13) ay katumbas ng zero. Sa kasong ito, ang ikaapat at ikalima ng mga deformation continuity equation (16.4), (16.5) ay magkaparehong nasiyahan, at ang ikalawa, ikatlo, at ikaanim na equation ay nasa anyo.
Pagsasama ng mga equation na ito at isinasaalang-alang ang ikatlong formula ng batas ni Hooke (16.3) sa az = 0, nakukuha namin
Cm.: Timoshenko S. P., Goodyear J. Teorya ng pagkalastiko. Moscow: Nauka, 1975.
Kaya, ang estado ng stress ng eroplano sa isang prismatic o cylindrical na katawan na may libreng mga dulo na puno ng isang pare-parehong pagkarga sa ibabaw kasama ang haba ng katawan ay posible lamang sa partikular na kaso kapag ang kabuuan ng mga stress isang x + a y nag-iiba depende sa mga variable na x at sa linear o pare-pareho.
Kung ang distansya sa pagitan ng mga dulo ng eroplano ng katawan (Larawan 7.1) ay maliit kumpara sa mga sukat ng mga seksyon, kung gayon mayroon tayong kaso ng isang manipis na plato (Larawan 17.5) na na-load sa kahabaan ng panlabas na tabas na may mga pwersang simetriko na ibinahagi na may kaugnayan sa ang gitnang eroplano ng plato ayon sa isang parisukat na batas. Dahil ang kapal ng plato h ay maliit, pagkatapos ay may isang bahagyang error maaari itong ipagpalagay na para sa anumang simetriko na may paggalang sa median plane loading ng stress plate isang x, isang v , txv ay pantay na ipinamamahagi sa kapal nito.
Sa kasong ito, ang mga stress ay dapat na maunawaan bilang kanilang mga average na halaga sa ibabaw ng kapal, halimbawa
Dapat ding tandaan na kapag ang pagpapalagay (17.14) ay ipinakilala, ang kondisyon (17.13) ng zero stresses
Ang itinuturing na kaso ng estado ng stress ng isang manipis na plato na may mga pagpapalagay (17.13) at (17.14) ay madalas na tinatawag pangkalahatang estado ng stress ng eroplano.
Isaalang-alang natin ang mga pangunahing equation ng teorya ng elasticity para sa kasong ito.
Isinasaalang-alang ang (17.13), ang mga pormula ng batas ni Hooke (16.3) ay maaaring isulat sa anyo
Ang kaukulang kabaligtaran na ugnayan ay may anyo
Ang mga pormula (17.17) at (17.18) ay naiiba sa mga pormula (17.7) at (17.9) ng batas ni Hooke para sa pagpapapangit ng eroplano lamang sa na sa huli, sa halip na ang elastic modulus E at ang ratio ng Poisson v ay kinabibilangan ng mga pinababang dami E ( at vr
Ang equilibrium equation, Cauchy relations, strain continuity equation at static boundary condition ay hindi naiiba sa mga katumbas na equation (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) para sa plane strain.
Ang pagpapapangit ng eroplano at pangkalahatang estado ng stress ng eroplano ay mahalagang inilarawan ng parehong mga equation. Ang pagkakaiba lamang ay nasa mga halaga ng mga constant ng elasticity sa mga formula ng batas ni Hooke. Samakatuwid, ang parehong mga gawain ay pinagsama ng isang karaniwang pangalan: problema ng eroplano ng teorya ng pagkalastiko.
Ang kumpletong sistema ng mga equation ng plane problem ay binubuo ng dalawang equilibrium equation (17.10), tatlong geometric Cauchy relations (17.3) at tatlong formula ng Hooke's law (17.7) o (17.17). Naglalaman ang mga ito ng walong hindi kilalang function: tatlong boltahe a x, a y, x xy, tatlong strain e x, e y, y xy at dalawang galaw At At At.
Kung kapag ang paglutas ng problema ay hindi kinakailangan upang matukoy ang mga displacement, kung gayon ang bilang ng mga hindi alam ay nabawasan sa anim. Upang matukoy ang mga ito, mayroong anim na equation: dalawang equilibrium equation, tatlong formula ng batas ni Hooke at ang equation ng continuity ng mga deformation (17.11).
Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng dalawang uri ng problema sa eroplano na isinasaalang-alang ay ang mga sumusunod. Para sa pagpapapangit ng eroplano ? z = 0,oz* 0, at ang halaga c z ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (17.6) pagkatapos matukoy ang mga diin o x io. Para sa isang pangkalahatang estado ng stress ng eroplano isang z = 0, ? z Ф 0, at warp ? z maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga diin o x at OU ayon sa formula (17.16). gumagalaw w ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasama ng Cauchy equation
DEFORMED STATES ("FLAT PROBLEM")
Ang stress ng eroplano at mga estado ng plane strain ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na tampok.
1. Ang lahat ng bahagi ng stress ay hindi nakadepende sa isa sa mga coordinate na karaniwan sa lahat ng mga bahagi, at nananatiling pare-pareho kapag nagbabago ito.
2. Sa mga eroplanong normal sa axis ng coordinate na ito:
a) ang mga bahagi ng shear stress ay katumbas ng zero;
b) ang normal na stress ay maaaring katumbas ng zero (plane stress state), o katumbas ng kalahati ng kabuuan ng dalawang iba pang normal na stress (plane strain state).
Kunin natin ang axis, na nabanggit kanina, ang y-axis. Malinaw mula sa nabanggit na ang axis na ito ay magiging punong-guro, ibig sabihin, maaari din itong tukuyin ng index 2. Bukod dito, , at hindi nakasalalay sa y; sa parehong oras, at , at samakatuwid, at at ay katumbas ng zero.
Para sa isang plane stressed state = 0. Para sa isang plane deformed state (ang tampok na ito ng isang plane deformed state ay mapapatunayan sa ibaba).
Dapat palaging isaalang-alang ng isa ang makabuluhang pagkakaiba sa pagitan ng stress ng eroplano at mga estado ng strain ng eroplano.
Sa una, sa direksyon ng ikatlong axis, walang normal na stress, ngunit mayroong pagpapapangit, sa pangalawa ay may normal na stress, ngunit walang pagpapapangit.
Ang isang estado ng stress ng eroplano ay maaaring, halimbawa, sa isang plato na napapailalim sa pagkilos ng mga puwersa na inilapat sa tabas nito na kahanay sa eroplano ng plato at ibinahagi nang pantay-pantay sa kapal nito (Larawan 3.16). Ang pagbabago sa kapal ng plato sa kasong ito ay hindi mahalaga, at ang kapal nito ay maaaring kunin bilang pagkakaisa. Sa sapat na katumpakan, ang estado ng stress ng flange ay maaaring ituring na flat kapag gumuhit ng cylindrical billet mula sa sheet na materyal.
Ang isang plane deformed state ay maaaring tanggapin para sa mga seksyon ng isang cylindrical o prismatic body na may malaking haba, malayo sa mga dulo nito, kung ang katawan ay puno ng mga puwersa na hindi nagbabago sa haba nito at nakadirekta patayo sa mga generator. Sa isang patag na deformed na estado, halimbawa, ang isang sinag ay maaaring ituring na napapailalim sa pagkabalisa sa direksyon ng kapal nito, kapag ang pagpapapangit sa kahabaan ng haba ay maaaring mapabayaan.
Ang lahat ng mga equation ng estado ng stress para sa isang problema sa eroplano ay lubos na pinasimple at ang bilang ng mga variable ay nababawasan.
Ang mga equation para sa problema sa eroplano ay madaling makuha mula sa mga nakuha nang mas maaga para sa bulk stress state, na isinasaalang-alang na 
\u003d 0 at pagkuha ng \u003d 0, dahil ang mga hilig na lugar ay dapat lamang ituring na parallel sa y axis, ibig sabihin, normal sa mga lugar na walang mga stress sa estado ng stress ng eroplano o walang mga deformation sa isang plane deformed state (Fig. 3.17 ).
Sa kasong isinasaalang-alang
Ang pagtukoy sa anggulo (tingnan ang Fig. 3.17) sa pagitan ng normal hanggang sa hilig na lugar at ang axis (o ang axis, kung ang estado ng stress ay ibinibigay sa mga pangunahing axes 1 at 2) sa pamamagitan ng , nakukuha natin , mula sa kung saan .
Isinasaalang-alang ang nasa itaas, sa pamamagitan ng direktang pagpapalit sa kaukulang mga expression (3.10) at (3.11) para sa volumetric stress state, nakukuha natin ang normal at shear stresses sa inclined area (tingnan ang Fig. 3.17).
Fig.3.15. State stress ng eroplano (a), stress sa isang inclined platform (b)
normal na boltahe
gupitin ang stress
. (3.41)
Mula sa expression (3.41) madaling makita na mayroon itong maximum sa sin 2 \u003d 1, i.e. sa \u003d 45 °:
. (3.42)
Ang magnitude ng mga pangunahing stress ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga bahagi sa mga arbitrary na palakol, gamit ang equation (3.13), kung saan natin nakukuha
. (3.43)
Sa kasong ito, para sa estado ng stress ng eroplano = 0; para sa flat strained state
Alam ang estado ng stress sa mga pangunahing axes, madaling lumipat sa anumang arbitrary coordinate axes (Fig. 3.18). Hayaang ang bagong coordinate axis x ay gumawa ng isang anggulo sa axis, pagkatapos, kung isasaalang-alang ito bilang normal sa hilig na lugar, mayroon tayo para sa huli ayon sa equation (3.40)
ngunit para sa axis, ang boltahe ay ang boltahe, kaya
ang expression na ito ay maaaring ma-convert bilang mga sumusunod:
(3.44)
Ang bagong axis ay ikiling sa axis 1 sa pamamagitan ng isang anggulo (+90°); samakatuwid, ang pagpapalit sa nakaraang equation ng ( + 90°), makuha namin
Tinutukoy namin ang boltahe mula sa expression (3.41):
. (3.46)
Tinutukoy ang average na boltahe sa pamamagitan ng, ibig sabihin, pagkuha
, (3.47)
at isinasaalang-alang ang equation (3.42), nakuha namin ang tinatawag na mga formula ng pagbabagong-anyo, na nagpapahayag ng mga bahagi ng stress bilang isang function ng anggulo:
(3.48)
Kapag gumagawa ng diagram ng Mohr, isinasaalang-alang namin na dahil isinasaalang-alang namin ang mga lugar na kahanay sa y-axis (ibig sabihin, axis 2), ang direksyon ng cosine ay palaging zero, ibig sabihin, anggulo = 90 °. Samakatuwid, ang lahat ng kaukulang mga halaga ay matatagpuan sa bilog na tinukoy ng equation (3.36 b) kapag pinapalitan ang = 0 dito, lalo na:
, (3.49)
o isinasaalang-alang ang mga expression (3.47) at (3.42)
. (3.49a)
Ang bilog na ito ay ipinapakita sa Fig. 3.19 at ito ay isang Mohr diagram. Ang mga coordinate ng ilang punto P, na matatagpuan sa bilog, ay tumutukoy sa kaukulang mga halaga at Ikonekta natin ang puntong P sa punto . Madaling makita na ang mga segment 0 2 P = ;
Рр= , Ор= , at, dahil dito, kasalanan 
= 
.
Ang paghahambing ng mga nakuhang expression sa mga equation (3.48), maaari nating itatag iyon
P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.
Kaya, alam ang posisyon ng hilig na lugar, na tinutukoy ng anggulo, mahahanap ng isa ang mga halaga ng mga stress at kumikilos sa lugar na ito.
Fig.3.17. Diagram ng Mohr
,
pagkatapos ay ang segment na OP ay nagpapahayag ng kabuuang stress S.
Kung ang isang elemento ng isang stressed body, sa hilig na mukha kung saan ang mga stress ay isinasaalang-alang, ay iginuhit upang ang pangunahing diin ay nakadirekta parallel sa axis, pagkatapos ay ang normal na N iginuhit sa hilig na mukha na ito, at samakatuwid ang direksyon ng stress, ay magiging parallel sa segment na СР.
Ang pagpapatuloy ng linya P0 2 sa intersection na may bilog, sa puntong P "nakukuha namin ang pangalawang pares ng mga halagaat para sa isa pang hilig na lugar, kung saan" = + 90 °, ibig sabihin, para sa lugar na patayo sa una , na may direksyon ng normal na ". Ang mga direksyon ng normal na N at N" ay maaaring kunin ayon sa pagkakabanggit bilang mga direksyon ng mga bagong axes: at , at ang mga stress at " - ayon sa pagkakabanggit para sa mga coordinate stresses at. Kaya, posible na matukoy ang estado ng stress sa mga arbitrary na palakol nang hindi gumagamit ng mga formula (3.44) - (3.46).ay katumbas ng bawat isa ayon sa batas ng pagpapares.
Hindi mahirap lutasin ang kabaligtaran na problema: para sa mga binigay na stress sa dalawang magkabilang patayo na lugar , at , t "(kung saan t" = t) hanapin ang mga pangunahing stress.
Gumuhit kami ng mga coordinate axes n at (Larawan 3.19). Nag-plot kami ng mga puntos na P at P "na may mga coordinate na naaayon sa ibinigay na mga stress , at ,. Ang intersection ng segment PP" na may axis ay tutukoy sa gitna ng Mohr circle 0 2 na may diameter PP "= 2 31. Dagdag pa, kung itinatayo namin ang mga axes N, N" (o, isang bagay na pareho, , ) at paikutin ang pigura upang ang mga direksyon ng mga ax na ito ay parallel sa mga direksyon ng mga stress at sa isinasaalang-alang na punto ng ibinigay na katawan, pagkatapos ay ang mga direksyon ng mga axes at ang diagram ay magiging parallel sa direksyon ng mga pangunahing axes 1 at 2.
Nakukuha namin ang differential equilibrium equation para sa isang plane problem mula sa mga equation (3.38), na isinasaalang-alang na ang lahat ng derivatives na may paggalang sa y ay katumbas ng zero, at katumbas din ng zero at :
(3.50)
Kapag nilulutas ang ilang mga problema na nauugnay sa eroplano, kung minsan ay maginhawang gumamit ng mga polar coordinates sa halip na mga rectangular coordinates, na tinutukoy ang posisyon ng isang punto sa pamamagitan ng radius vector at ang polar angle, ibig sabihin, ang anggulo na ginagawa ng radius vector sa axis.
Ang mga kondisyon ng balanse sa mga polar coordinate ay madaling makuha mula sa parehong mga kondisyon sa cylindrical coordinate sa pamamagitan ng equating
At ibinigay na ang mga derivatives ay pantay
(3.51)
Ang isang espesyal na kaso ng problema sa eroplano ay kapag ang mga stress ay hindi rin nakadepende sa coordinate (stress distribution simetriko tungkol sa axis). Sa kasong ito, ang mga derivatives na may kinalaman sa at binibigyang-diin at mawawala, at ang mga kondisyon ng ekwilibriyo ay tinutukoy ng isang differential equation.
. (3.52)
Ito ay malinaw na ang mga stress ay ang mga pangunahing din dito.
Ang ganitong stressed state ay maaaring kunin para sa flange ng isang round billet sa panahon ng pagguhit nang hindi pinindot ang cylindrical cup.
Uri ng estado ng stress
Ang estado ng stress sa anumang punto ng deformable na katawan ay nailalarawan sa pamamagitan ng tatlong pangunahing normal na mga stress at direksyon ng mga pangunahing axes.
Mayroong tatlong pangunahing uri ng estado ng stress: volume (triaxial), kung saan ang lahat ng tatlong pangunahing stress ay hindi katumbas ng zero, flat (biaxial), kung saan ang isa sa mga pangunahing stress ay zero, at linear (uniaxial), kung saan lamang ang isang pangunahing diin ay iba sa zero.
Kung ang lahat ng mga normal na stress ay may parehong pag-sign, kung gayon ang estado ng stress ay tinatawag ng parehong pangalan, at para sa mga stress ng iba't ibang sign - kabaligtaran.
Kaya, mayroong siyam na uri ng estado ng stress: apat na volumetric, tatlong flat at dalawang linear (Larawan 3.18).
Ang estado ng stress ay tinatawag na homogenous kapag sa anumang punto ng deformable body ang mga direksyon ng pangunahing axes at ang magnitude ng pangunahing normal na mga stress ay nananatiling hindi nagbabago.
Ang uri ng estado ng stress ay nakakaapekto sa kakayahan ng metal na mag-deform ng plastic nang hindi bumagsak at ang dami ng panlabas na puwersa na dapat ilapat upang makamit ang isang pagpapapangit ng isang naibigay na halaga.
Kaya, halimbawa, ang pagpapapangit sa ilalim ng mga kondisyon ng parehong volumetric na estado ng stress ay nangangailangan ng higit na pagsisikap kaysa sa ilalim ng kabaligtaran na estado ng stress, ang lahat ng iba pang mga bagay ay pantay.
mga tanong sa pagsusulit
1.Ano ang boltahe? Ano ang katangian ng estado ng stress ng isang punto, ng isang katawan sa kabuuan?
2. Ano ang ipinahahayag ng mga indeks sa notasyon ng mga bahagi ng stress tensor?
3. Ibigay ang sign rule para sa mga bahagi ng stress tensor.
4. Isulat ang mga formula ni Cauchy para sa mga diin sa mga hilig na platform. Ano ang batayan ng kanilang konklusyon?
5. Ano ang stress tensor? Ano ang mga bahagi ng stress tensor?
6. Ano ang tawag sa eigenvectors at eigenvalues ng stress tensor?
7. Ano ang mga pangunahing diin? Ilan?
8. Ibigay ang panuntunan para sa pagtatalaga ng mga indeks sa mga pangunahing normal na diin.
9. Magbigay ng pisikal na interpretasyon ng mga pangunahing normal na stress at ang pangunahing axes ng stress tensor.
10. Ipakita ang mga diagram ng pangunahing normal na mga stress para sa mga pangunahing proseso ng OMD - rolling, drawing, pressing.
11. Ano ang mga invariant ng stress tensor? Ilan?
12. Ano ang mekanikal na kahulugan ng unang stress tensor invariant?
13. Ano ang tinatawag na intensity ng shear stresses?
14..Ano ang mga pangunahing shear stresses? Hanapin ang kanilang mga platform
15.. Gaano karaming mga bahagi ng pangunahing paggugupit na diin ang maaaring ipahiwatig sa isang punto ng deformable na katawan?
16. Ano ang maximum shear stress, ang normal na stress sa site kung saan ito kumikilos?
17. Ano ang axisymmetric stress state? Magbigay ng halimbawa.
18. Ipakita ang mga diagram ng pangunahing normal na mga stress para sa mga pangunahing proseso ng OMD - pag-roll, pagguhit, pagpindot.
19. Ano ang karaniwan sa pagitan ng plane stressed at plane deformed state at ano ang pagkakaiba ng mga ito? Alin sa mga estadong ito ang tinutukoy ng simpleng paglilipat?
20. Ibigay ang mga formula ng stress theory na kilala mo sa pangunahing coordinate system
21. Ano ang stress ellipsoid? Isulat ang equation nito at ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod ng pagtatayo. Ano ang anyo ng stress ellipsoid para sa hydrostatic pressure, plane at linear stress states?
22. Sumulat ng isang equation para sa paghahanap ng mga pangunahing normal na stress at tatlong sistema ng mga equation para sa paghahanap ng mga pangunahing axes T a.
23..Ano ang isang spherical tensor at isang stress deviator? Anong mga dami ang ginagamit upang kalkulahin ang pangalawa at pangatlong invariant ng stress deviator?
24. Ipakita na ang mga pangunahing sistema ng coordinate ng stress tensor at ang stress deviator ay nagtutugma.
25. Bakit ang intensity ng stress at shear stress intensity ay ipinakilala sa pagsasaalang-alang? Ipaliwanag ang kanilang pisikal na kahulugan at magbigay ng mga geometric na interpretasyon.
26. Ano ang isang Mohr diagram? Ano ang radii ng mga pangunahing bilog?
27. Paano magbabago ang diagram ng Mohr kapag nagbago ang average na boltahe?
28. Ano ang octahedral stresses?
29. Gaano karaming mga katangian na lugar ang maaaring iguhit sa pamamagitan ng isang punto ng isang katawan sa isang stress na estado?
30. Mga kondisyon ng equilibrium para sa estado ng volumetric na stress sa mga parihaba na coordinate, sa cylindrical at spherical na mga coordinate.
31. Equilibrium equation para sa isang problema sa eroplano.
BIBLIOGRAPIYA
1. Ilyushin A. A. Plasticity. Ch. I. M.-L., GTI, 1948. 346 p. (33)
2. I. M. Pavlov, "Sa pisikal na katangian ng mga representasyon ng tensor sa teorya ng plasticity," Izvestiya vuzov. Ferrous metalurhiya", 1965, No. 6, p. 100–104.
3. V. V. Sokolovsky, Teorya ng Plasticity. M., Higher School, 1969. 608 p. (91)
4. M. V. Storozhev at E. A. Popov, Teorya ng paggamot sa presyon ng metal. M., "Engineering", 1971. 323 p. (99)
5. S. P. Timoshenko, Teorya ng Elastisidad. Gostekhizdat, 1934. 451 p. (104)
6. Shofman L. A. Mga Batayan ng pagkalkula ng proseso ng panlililak at pagpindot. Mashgiz, 1961. (68)
Isaalang-alang natin ang kaso ng estado ng stress ng eroplano, na mahalaga para sa mga aplikasyon at natanto, halimbawa, sa eroplano Oyz. Ang stress tensor sa kasong ito ay may anyo
Ang geometric na paglalarawan ay ipinapakita sa Fig.1. Kasabay nito, ang mga site x= Ang const ay punong-guro na may katumbas na zero principal na boltahe. Ang mga invariant ng stress tensor ay , at ang equation ng katangian ay nasa anyo
Ang mga ugat ng equation na ito ay
|
Ang pag-numero ng mga ugat ay ginawa para sa kaso 
Fig.1. Paunang estado ng stress ng eroplano. 
Fig.2. Posisyon ng mga pangunahing stress
Ang isang arbitrary na site ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang anggulo sa Fig. 1, habang ang vector P may mga bahagi: , , n x \u003d 0. Ang normal at shear stress sa isang hilig na site ay ipinahayag sa mga tuntunin ng anggulo tulad ng sumusunod:
Ang pinakamaliit na positibong ugat ng equation (4) ay ilalarawan ng . Since tg( X) ay isang periodic function na may period , pagkatapos ay mayroon tayong dalawang magkaparehong orthogonal na direksyon na bumubuo sa mga anggulo at 
may ehe OU. Ang mga direksyong ito ay tumutugma sa magkabilang patayo na mga pangunahing lugar (Larawan 2).
Kung iiba natin ang kaugnayan (2) na may paggalang sa at itinutumbas ang derivative sa sero, darating tayo sa equation (4), na nagpapatunay na ang mga pangunahing diin ay labis.
Upang mahanap ang oryentasyon ng mga lugar na may matinding paggugupit na diin, itinutumbas namin sa zero ang derivative ng expression.
mula sa kung saan kami kumukuha
|
Kung ihahambing ang mga ugnayan (4) at (5), makikita natin iyon
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay posible kung ang mga anggulo at naiiba sa pamamagitan ng anggulo. Dahil dito, ang mga direksyon ng mga lugar na may matinding paggugupit na diin ay naiiba mula sa mga direksyon ng mga pangunahing lugar sa pamamagitan ng isang anggulo (Larawan 3).
Fig.3. Sobrang shear stress
Ang mga halaga ng extreme shear stresses ay nakuha pagkatapos na palitan ang (5) sa kaugnayan (3) gamit ang mga formula
.
Pagkatapos ng ilang pagbabago, nakukuha namin
Ang paghahambing ng expression na ito sa mga halaga ng mga pangunahing stress (2.21) na nakuha nang mas maaga, ipinapahayag namin ang matinding paggugupit na stress sa mga tuntunin ng mga pangunahing stress.
Ang isang katulad na pagpapalit sa (2) ay humahantong sa isang expression para sa mga normal na stress sa mga lugar na may
Ang mga relasyon na nakuha ay nagpapahintulot sa amin na magsagawa ng isang direksyon na nakatuon sa pagtatasa ng lakas ng mga istraktura sa kaso ng isang estado ng stress ng eroplano.
STRAIN TENSOR
Isaalang-alang muna natin ang kaso ng pagpapapangit ng eroplano (Larawan 4). Hayaan ang flat na elemento MNPQ gumagalaw sa loob ng eroplano at nag-deform (nagbabago ng hugis at laki). Ang mga coordinate ng mga punto ng elemento bago at pagkatapos ng pagpapapangit ay minarkahan sa figure.
Fig.4. Flat na pagpapapangit.
Sa pamamagitan ng kahulugan, relatibong linear strain sa isang punto M sa direksyon ng axis Oh ay katumbas ng
Mula sa fig. 4 ang sumusunod
Kung ganoon MN=dx, nakukuha namin
Sa kaso ng maliliit na deformation, kapag , , maaari nating pabayaan ang mga parisukat na termino. Isinasaalang-alang ang tinatayang ratio
patas sa x<<1, окончательно для малой деформации получим
Ang angular deformation ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga anggulo at (4). Sa kaso ng mga maliliit na deformation
Para sa angular deformation na mayroon kami
Sa pagsasagawa ng mga katulad na kalkulasyon sa pangkalahatang kaso ng tatlong-dimensional na pagpapapangit, mayroon kaming siyam na relasyon
Ang tensor na ito ay ganap na tinutukoy ang deformed state ng solid. Ito ay may parehong mga katangian ng stress tensor. Ang ari-arian ng mahusay na proporsyon ay sumusunod nang direkta mula sa kahulugan ng angular deformations. Ang mga pangunahing halaga at pangunahing direksyon, pati na rin ang mga matinding halaga ng mga angular na strain at ang kanilang mga kaukulang direksyon, ay matatagpuan sa parehong mga pamamaraan tulad ng para sa stress tensor.
Ang mga strain tensor invariant ay tinutukoy ng mga analogous formula, at ang unang invariant ng maliit na strain tensor ay may malinaw na pisikal na kahulugan. Bago ang pagpapapangit, ang dami nito ay katumbas ng dV 0 =dxdydz. Kung pinabayaan natin ang mga deformation ng paggugupit, na nagbabago sa hugis, hindi sa lakas ng tunog, pagkatapos pagkatapos ng pagpapapangit, ang mga buto-buto ay magkakaroon ng mga sukat
(Larawan 4), at ang dami nito ay magiging katumbas ng
Kamag-anak na pagbabago ng volume
sa loob ng maliliit na deformation ay magiging
na kasabay ng kahulugan ng unang invariant. Malinaw, ang pagbabago sa volume ay isang pisikal na dami na hindi nakadepende sa pagpili ng sistema ng coordinate.
Tulad ng stress tensor, ang strain tensor ay maaaring mabulok sa isang spherical tensor at isang deviator. Sa kasong ito, ang unang invariant ng deviator ay katumbas ng zero, i.e. ang deviator ay nagpapakilala sa pagpapapangit ng katawan nang hindi binabago ang dami nito.
