Mga kamag-anak na halaga. Ang isang kamag-anak na halaga ay ang resulta ng paghahati (paghahambing) ng dalawang ganap na halaga. Paghahambing ng mga average Anong mga halaga ang maaaring ihambing sa bawat isa
Kamag-anak na halaga ay ang resulta ng paghahati (paghahambing) ng dalawang ganap na halaga. Ang numerator ng fraction ay ang halagang inihahambing, at ang denominator ay ang halaga na inihahambing sa (ang batayan ng paghahambing). Halimbawa, kung ihahambing natin ang mga pag-export ng Estados Unidos at Russia, na noong 2005 ay umabot sa 904.383 at 243.569 bilyong dolyar, ayon sa pagkakabanggit, ang kamag-anak na halaga ay magpapakita na ang halaga ng mga pag-export ng US ay 3.71 beses (904.383 / 243.569) higit sa Ang mga export ng Russia, habang ang baseng paghahambing ay ang halaga ng mga export ng Russia. Ang resultang kamag-anak na halaga ay ipinahayag bilang koepisyent, na nagpapakita kung gaano karaming beses ang inihambing na ganap na halaga ay mas malaki kaysa sa batayang halaga. Sa halimbawang ito, ang base ng paghahambing ay kinuha bilang isa. Kung ang base ay kinuha bilang 100, ang kamag-anak na halaga ay ipinahayag bilang porsyento (% ), kung para sa 1000 - in ppm (‰ ). Ang pagpili ng isang anyo o isa pa ng kaugnay na halaga ay nakasalalay sa ganap na halaga nito:
- kung ang inihambing na halaga ay higit pa sa base ng paghahambing ng 2 beses o higit pa, pagkatapos ay piliin ang anyo ng koepisyent (tulad ng sa halimbawa sa itaas);
- kung ang kamag-anak na halaga ay malapit sa isa, kung gayon, bilang panuntunan, ito ay ipinahayag bilang isang porsyento (halimbawa, paghahambing ng mga halaga ng mga pag-export ng Russia noong 2006 at 2005, na nagkakahalaga ng 304.5 at 243.6 bilyong dolyar, ayon sa pagkakabanggit, masasabi natin na ang export noong 2006 ay 125% ng 2005);
- kung ang kamag-anak na halaga ay makabuluhang mas mababa sa isa (malapit sa zero), ito ay ipinahayag sa ppm (halimbawa, noong 2004 ang Russia ay na-export sa mga bansang CIS ng kabuuang 4142 libong tonelada ng mga produktong langis, kabilang ang 10.7 libong tonelada sa Georgia, na 0.0026 o 2.6 ‰ mula sa lahat ng pag-export ng mga produktong petrolyo sa mga bansang CIS).
May mga kamag-anak na halaga ng dynamics, istraktura, koordinasyon, paghahambing at intensity, para sa kaiklian na tinutukoy sa mga sumusunod. mga indeks.
Dynamic na index nailalarawan ang pagbabago ng anumang kababalaghan sa panahon. Ito ay ang ratio ng mga halaga ng parehong ganap na halaga sa iba't ibang mga yugto ng panahon. Ang index na ito ay tinutukoy ng formula (2):
kung saan ang mga numero ay nangangahulugang: 1 - ang pag-uulat o nasuri na panahon, 0 - ang huling o base na panahon.
Ang criterion value ng dynamics index ay isa (o 100%), iyon ay, kung >1, pagkatapos ay mayroong pagtaas (pagtaas) sa phenomenon sa paglipas ng panahon; kung =1 – katatagan; kung<1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – baguhin ang index, pagbabawas mula sa kung saan ang yunit (100%), nakukuha rate ng pagbabago (dynamics) na may criterion value na 0, na tinutukoy ng formula (3):
Kung T>0, pagkatapos ay ang paglago ng phenomenon ay nagaganap; T=0 - katatagan, T<0 – спад.
Sa halimbawa sa itaas tungkol sa mga pag-export ng Russia noong 2006 at 2005, ito ay ang dynamics index na kinakalkula gamit ang formula (2): ako D= 304.5/243.6*100% = 125%, na higit pa sa criterion value na 100%, na nagpapahiwatig ng pagtaas sa mga pag-export. Gamit ang formula (3) nakukuha natin ang rate ng pagbabago: T= 125% - 100% = 25%, na nagpapakita na tumaas ng 25%.
Ang mga pagkakaiba-iba ng index ng dinamika ay ang mga indeks ng nakaplanong gawain at ang pagpapatupad ng plano, na kinakalkula para sa pagpaplano ng iba't ibang dami at pagsubaybay sa kanilang pagpapatupad.
Naka-iskedyul na Index ng Trabaho ay ang ratio ng nakaplanong halaga ng katangian sa batayang halaga. Ito ay tinutukoy ng formula (4):
saan X' 1– binalak na halaga; x0 ay ang batayang halaga ng tampok.
Halimbawa, inilipat ng administrasyong customs ang 160 bilyong rubles sa pederal na badyet noong 2006, at binalak na ilipat ang 200 bilyong rubles sa susunod na taon, na nangangahulugang ayon sa formula (4): ako pz= 200/160 = 1.25, ibig sabihin, ang target para sa customs administration para sa 2007 ay 125% ng nakaraang taon.
Upang matukoy ang porsyento ng pagkumpleto ng plano, kinakailangan upang kalkulahin index ng pagpapatupad ng plano, iyon ay, ang ratio ng naobserbahang halaga ng katangian sa binalak (pinakamainam, maximum na posible) na halaga ayon sa formula (5):
Halimbawa, para sa Enero-Nobyembre 2006, ang mga awtoridad sa customs ay nagplano na ilipat ang 1.955 trilyon rubles sa pederal na badyet. rubles, ngunit aktwal na inilipat ang 2.59 trilyon. rub., ibig sabihin ng formula (5): ako VP= 2.59 / 1.955 = 1.325, o 132.5%, iyon ay, ang nakaplanong gawain ay natapos ng 132.5%.
Index ng istraktura (share) ay ang ratio ng anumang bahagi ng bagay (set) sa buong bagay. Ito ay tinutukoy ng formula (6):
Sa halimbawa sa itaas tungkol sa pag-export ng mga produktong petrolyo sa mga bansang CIS, ang bahagi ng pag-export na ito sa Georgia ay kinakalkula gamit ang formula (6): d\u003d 10.7 / 4142 \u003d 0.0026, o 2.6 ‰ .
Index ng koordinasyon- ito ang ratio ng anumang bahagi ng bagay sa isa pang bahagi nito, na kinuha bilang batayan (base ng paghahambing). Ito ay tinutukoy ng formula (7):
Halimbawa, ang mga pag-import ng Russia noong 2006 ay umabot sa 163.9 bilyong dolyar, pagkatapos, kung ihahambing ito sa mga pag-export (base sa paghahambing), kinakalkula namin ang index ng koordinasyon gamit ang formula (7): i K= 163.9/304.5 = 0.538, na nagpapakita ng ratio sa pagitan ng dalawang bahagi ng foreign trade turnover, iyon ay, ang halaga ng mga import ng Russia noong 2006 ay 53.8% ng halaga ng mga export. Ang pagpapalit ng base ng paghahambing sa pag-import, gamit ang parehong formula, makuha namin ang: i K= 304.5/163.9 = 1.858, ibig sabihin, ang pag-export ng Russia noong 2006 ay 1.858 beses na mas malaki kaysa sa mga pag-import, o ang mga pag-export ay nagkakahalaga ng 185.8% ng mga pag-import.
Index ng Paghahambing- ito ay isang paghahambing (ratio) ng iba't ibang mga bagay ayon sa parehong mga katangian. Ito ay tinutukoy ng formula (8):
saan PERO, B- pinaghahambing na mga bagay.
Sa halimbawang tinalakay sa itaas, kung saan inihambing ang mga pag-export ng Estados Unidos at Russia, ito ay ang index ng paghahambing na kinakalkula gamit ang formula (8): ako s= 904.383/243.569 = 3.71. Ang pagpapalit ng base ng paghahambing (iyon ay, ang mga pag-export ng Russia ay object A, at ang mga export ng US ay object B), gamit ang parehong formula, nakukuha namin: ako s= 243.569 / 904.383 = 0.27, ibig sabihin, ang mga export ng Russia ay 27% ng mga export ng US.
Intensity index- ito ang ratio ng iba't ibang katangian ng isang bagay sa bawat isa. Ito ay tinutukoy ng formula (9):
saan X- isang katangian ng bagay; Y- isa pang tanda ng parehong bagay
Halimbawa, ang mga tagapagpahiwatig ng output ng produksyon sa bawat yunit ng oras ng pagtatrabaho, mga gastos sa bawat yunit ng produksyon, mga presyo ng yunit, atbp.
Mula noong unang panahon, ang mga tao ay seryosong interesado sa tanong kung paano ito pinaka-maginhawa upang ihambing ang mga dami na ipinahayag sa iba't ibang mga halaga. At ito ay hindi lamang natural na kuryusidad. Ang tao ng pinaka sinaunang mga sibilisasyong panlupa ay naglagay ng kabuluhan sa medyo mahirap na bagay na ito. Tamang pagsukat ng lupa, pagtukoy sa bigat ng produkto sa merkado, pagkalkula ng kinakailangang ratio ng mga kalakal sa barter, pagtukoy sa tamang rate ng mga ubas kapag nag-aani ng alak - ilan lamang ito sa mga gawain na madalas na lumalabas sa mahirap na buhay. ng ating mga ninuno. Samakatuwid, ang mga mahihirap na pinag-aralan at illiterate na mga tao, kung kinakailangan, upang ihambing ang mga halaga, ay humingi ng payo sa kanilang mas may karanasan na mga kasama, at madalas silang kumuha ng angkop na suhol para sa naturang serbisyo, at medyo isang mahusay, sa pamamagitan ng paraan.
Kung ano ang maihahambing
Sa ngayon, ang araling ito ay gumaganap din ng isang mahalagang papel sa proseso ng pag-aaral ng mga eksaktong agham. Siyempre, alam ng lahat na kinakailangan upang ihambing ang mga homogenous na halaga, iyon ay, mga mansanas na may mga mansanas, at mga beets na may mga beets. Hindi kailanman mangyayari sa sinuman na subukang ipahayag ang mga digri Celsius sa kilometro o kilo sa decibel, ngunit alam na natin ang haba ng boa constrictor sa mga loro mula pagkabata (para sa mga hindi nakakaalala: mayroong 38 na loro sa isang boa constrictor) . Bagaman ang mga parrot ay magkakaiba din, at sa katunayan ang haba ng boa constrictor ay mag-iiba depende sa mga subspecies ng loro, ngunit ito ang mga detalye na susubukan naming malaman.
Mga sukat
Kapag sinabi ng gawain: "Ihambing ang mga halaga ng mga dami", kinakailangan na dalhin ang parehong mga dami sa parehong denominator, iyon ay, upang ipahayag ang mga ito sa parehong mga halaga para sa kadalian ng paghahambing. Malinaw na hindi magiging mahirap para sa marami sa atin na ihambing ang halaga na ipinahayag sa kilo sa halaga na ipinahayag sa centners o sa tonelada. Gayunpaman, may mga homogenous na dami na maaaring ipahayag sa iba't ibang mga sukat at, bukod dito, sa iba't ibang mga sistema ng pagsukat. Subukan, halimbawa, ang paghahambing ng kinematic viscosities at pagtukoy kung aling fluid ang mas malapot sa centistoke at square meters bawat segundo. Hindi gumagana? At hindi ito gagana. Upang gawin ito, kailangan mong ipakita ang parehong mga halaga sa parehong mga halaga, at sa pamamagitan ng numerical na halaga upang matukoy kung alin sa mga ito ang higit na mataas sa kalaban.
Sistema ng pagsukat
Upang maunawaan kung anong mga dami ang maihahambing, subukan nating alalahanin ang mga umiiral na sistema ng pagsukat. Upang i-optimize at pabilisin ang mga proseso ng pag-aayos noong 1875, labing pitong bansa (kabilang ang Russia, USA, Germany, atbp.) ay lumagda sa isang metric convention at tinukoy ang metric system of measures. Upang bumuo at pagsama-samahin ang mga pamantayan ng metro at kilo, itinatag ang International Committee for Weights and Measures, at itinatag ang International Bureau of Weights and Measures sa Paris. Ang sistemang ito sa kalaunan ay umunlad sa International System of Units, SI. Sa kasalukuyan, ang sistemang ito ay pinagtibay ng karamihan sa mga bansa sa larangan ng teknikal na mga kalkulasyon, kabilang ang mga bansang kung saan ang mga pambansa ay tradisyonal na ginagamit sa pang-araw-araw na buhay (halimbawa, ang USA at England).
GHS
Gayunpaman, kaayon ng karaniwang tinatanggap na pamantayan ng mga pamantayan, isa pa, hindi gaanong maginhawang CGS system (sentimetro-gramo-segundo) ang binuo. Ito ay iminungkahi noong 1832 ng German physicist na si Gauss, at noong 1874 ay ginawang moderno nina Maxwell at Thompson, pangunahin sa larangan ng electrodynamics. Noong 1889, iminungkahi ang isang mas maginhawang sistema ng ISS (meter-kilogram-segundo). Ang paghahambing ng mga bagay sa laki ng mga halaga ng sanggunian ng metro at kilo ay mas maginhawa para sa mga inhinyero kaysa sa paggamit ng kanilang mga derivatives (centi-, milli-, deci-, atbp.). Gayunpaman, ang konseptong ito ay hindi rin nakahanap ng mass response sa puso ng mga taong nilayon nito. Sa buong mundo, ito ay aktibong binuo at ginamit, samakatuwid, ang mga kalkulasyon sa CGS ay isinasagawa nang mas kaunti, at pagkatapos ng 1960, sa pagpapakilala ng SI system, ang CGS ay halos hindi na ginagamit. Sa kasalukuyan, ang CGS ay aktwal na ginagamit sa pagsasanay lamang sa mga kalkulasyon sa theoretical mechanics at astrophysics, at pagkatapos ay dahil sa mas simpleng paraan ng pagsulat ng mga batas ng electromagnetism.
Hakbang-hakbang na pagtuturo
Suriin natin ang isang halimbawa nang detalyado. Ipagpalagay na ang problema ay: "Ihambing ang mga halaga ng 25 tonelada at 19570 kg. Alin sa mga halaga ang mas malaki?" Ang unang bagay na dapat gawin ay upang matukoy kung anong mga dami ang aming ibinigay na mga halaga. Kaya, ang unang halaga ay ibinibigay sa tonelada, at ang pangalawa - sa kilo. Sa ikalawang hakbang, sinusuri namin kung ang mga nagtitipon ng problema ay sinusubukang linlangin kami sa pamamagitan ng pagsisikap na pilitin kaming ihambing ang magkakaibang dami. Mayroon ding mga ganitong gawain sa bitag, lalo na sa mga mabilisang pagsubok, kung saan binibigyan ng 20-30 segundo upang sagutin ang bawat tanong. Tulad ng nakikita natin, ang mga halaga ay homogenous: pareho sa mga kilo at sa tonelada, sinusukat natin ang masa at bigat ng katawan, kaya ang pangalawang pagsubok ay naipasa na may positibong resulta. Ang ikatlong hakbang, isinasalin namin ang mga kilo sa tonelada o, sa kabaligtaran, tonelada sa mga kilo para sa kadalian ng paghahambing. Sa unang bersyon, 25 at 19.57 tonelada ang nakuha, at sa pangalawa: 25,000 at 19,570 kilo. At ngayon maaari mong ihambing ang laki ng mga halagang ito sa kapayapaan ng isip. Tulad ng malinaw na makikita, ang unang halaga (25 tonelada) sa parehong mga kaso ay mas malaki kaysa sa pangalawa (19,570 kg).
Mga bitag
Tulad ng nabanggit sa itaas, ang mga modernong pagsubok ay naglalaman ng maraming mga gawain sa panlilinlang. Ang mga ito ay hindi kinakailangang mga gawain na nasuri namin, ang isang medyo hindi nakakapinsalang hitsura ay maaaring maging isang bitag, lalo na kung saan ang isang ganap na lohikal na sagot ay nagmumungkahi mismo. Gayunpaman, ang panlilinlang, bilang panuntunan, ay namamalagi sa mga detalye o sa isang maliit na nuance na sinusubukan ng mga compiler ng gawain na magkaila sa lahat ng posibleng paraan. Halimbawa, sa halip na ang tanong na pamilyar sa iyo mula sa nasuri na mga problema sa pagbabalangkas ng tanong: "Ihambing ang mga halaga kung posible" - ang mga compiler ng pagsubok ay maaaring hilingin lamang sa iyo na ihambing ang ipinahiwatig na mga halaga, at piliin ang pinahahalagahan ang kanilang mga sarili na kapansin-pansing katulad sa isa't isa. Halimbawa, kg * m / s 2 at m / s 2. Sa unang kaso, ito ang puwersa na kumikilos sa bagay (newtons), at sa pangalawa - ang acceleration ng katawan, o m / s 2 at m / s, kung saan hihilingin sa iyo na ihambing ang acceleration sa bilis ng ang katawan, iyon ay, ganap na magkakaibang dami.
Mga kumplikadong paghahambing
Gayunpaman, kadalasan ang dalawang halaga ay ibinibigay sa mga gawain, na ipinahayag hindi lamang sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat at sa iba't ibang mga sistema ng pagkalkula, ngunit naiiba din sa bawat isa sa mga detalye ng pisikal na kahulugan. Halimbawa, ang pahayag ng problema ay nagsasabi: "Ihambing ang mga halaga ng dynamic at kinematic viscosities at tukuyin kung aling likido ang mas malapot." Sa kasong ito, ang mga halaga ay ipinahiwatig sa mga yunit ng SI, iyon ay, sa m 2 / s, at dynamic - sa CGS, iyon ay, sa poise. Paano magpatuloy sa kasong ito?
Upang malutas ang mga naturang problema, maaari mong gamitin ang mga tagubilin na ipinakita sa itaas na may isang maliit na karagdagan dito. Kami ang magpapasya kung alin sa mga sistema ang aming gagana: hayaan itong tanggapin sa pangkalahatan sa mga inhinyero. Sa pangalawang hakbang, tinitingnan din natin kung ito ay isang bitag? Ngunit sa halimbawang ito, masyadong, lahat ay malinis. Inihahambing namin ang dalawang likido sa mga tuntunin ng panloob na alitan (lagkit), kaya ang parehong mga halaga ay homogenous. Ang ikatlong hakbang ay ang pag-convert mula poise sa pascal second, iyon ay, sa pangkalahatang tinatanggap na mga yunit ng SI system. Susunod, isinasalin namin ang kinematic viscosity sa dynamic, pinarami ito sa kaukulang halaga ng density ng likido (halaga ng talahanayan), at ihambing ang mga resulta na nakuha.
Wala sa sistema
Mayroon ding mga non-systemic na yunit ng pagsukat, iyon ay, mga yunit na hindi kasama sa SI, ngunit ayon sa mga resulta ng mga desisyon ng pagpupulong ng General Conference on Weights and Measures (GCVM), na katanggap-tanggap para sa pagbabahagi sa mga SI. Posibleng ihambing ang mga naturang dami sa isa't isa lamang kapag ang mga ito ay nabawasan sa isang pangkalahatang anyo sa pamantayan ng SI. Kabilang sa mga non-systemic unit ang mga unit gaya ng minuto, oras, araw, litro, electron volt, knot, hectare, bar, angstrom at marami pang iba.
Una, isaalang-alang ang problema ng paghahambing ng halaga na sinusukat sa eksperimento sa pare-parehong a. Ang halaga ay maaari lamang matukoy nang humigit-kumulang sa pamamagitan ng pagkalkula ng average sa mga sukat. Kailangan nating malaman kung ang relasyon ay tumatagal. Sa kasong ito, dalawang gawain ang ibinibigay, direkta at kabaligtaran:
a) mula sa isang kilalang halaga, hanapin ang pare-parehong a, na lumampas sa isang ibinigay na posibilidad
b) hanapin ang posibilidad na , kung saan ang a ay isang ibinigay na pare-pareho.
Malinaw, kung gayon ang posibilidad na mas mababa sa 1/2. Walang interes ang kasong ito, at ipagpalagay pa natin iyon
Ang problema ay nabawasan sa mga problemang tinalakay sa Seksyon 2. Hayaang tukuyin ang X at ang pamantayan nito sa pamamagitan ng mga sukat
Ang bilang ng mga sukat ay ituturing na hindi masyadong maliit, kaya mayroong isang random na variable na may normal na distribusyon. Pagkatapos mula sa pamantayan ng Estudyante (9), na isinasaalang-alang ang simetriya ng normal na distribusyon, sumusunod na para sa isang arbitraryong piniling posibilidad, ang kundisyon
Isulat muli natin ang ekspresyong ito sa sumusunod na anyo:
nasaan ang mga koepisyent ng Mag-aaral na ibinigay sa Talahanayan 23. Kaya, ang direktang problema ay nalutas: isang pare-pareho ang natagpuan, na may posibilidad na lumampas
Ang kabaligtaran na problema ay nalutas gamit ang direktang isa. Isulat muli natin ang mga formula (23) gaya ng sumusunod:
Nangangahulugan ito na kailangan mong kalkulahin ang t mula sa mga kilalang halaga ng a, piliin ang hilera na may data sa talahanayan 23 - at hanapin ang katumbas na halaga mula sa halaga ng t. Tinutukoy nito ang nais na posibilidad
Dalawang random na variable. Madalas na kinakailangan upang maitaguyod ang impluwensya ng ilang kadahilanan sa dami ng pinag-aaralan - halimbawa, kung (at kung gaano) ang isang tiyak na additive ay nagpapataas ng lakas ng metal. Upang gawin ito, kinakailangan upang sukatin ang lakas ng orihinal na metal at ang lakas ng haluang metal y at ihambing ang dalawang dami na ito, ibig sabihin, hanapin
Ang mga inihambing na halaga ay random; Kaya, ang mga katangian ng isang tiyak na grado ng metal ay nag-iiba mula sa init hanggang sa init, dahil ang mga hilaw na materyales at ang natutunaw na rehimen ay hindi mahigpit na pareho. Tukuyin natin ang mga dami na ito sa pamamagitan ng . Ang magnitude ng pinag-aralan na epekto ay pantay at kinakailangan upang matukoy kung ang kundisyon ay natutugunan
Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahambing ng isang random na variable na may pare-parehong a, na tinalakay sa itaas. Ang direkta at kabaligtaran na mga problema sa paghahambing sa kasong ito ay binabalangkas tulad ng sumusunod:
a) ayon sa mga resulta ng pagsukat, hanapin ang pare-parehong a, na lumalampas sa isang ibinigay na posibilidad (i.e., tantiyahin ang laki ng epekto sa ilalim ng pag-aaral);
b) tukuyin ang posibilidad na kung saan ang a ay ang nais na laki ng epekto; nangangahulugan ito na kinakailangan upang matukoy ang posibilidad kung saan
Upang malutas ang mga problemang ito, kinakailangan upang kalkulahin ang z at ang pagkakaiba-iba ng dami na ito. Tingnan natin ang dalawang paraan upang mahanap ang mga ito.
Mga independiyenteng sukat. Sukatin natin ang halaga sa mga eksperimento, at ang halaga sa mga eksperimento na hiwalay sa mga unang eksperimento. Kinakalkula namin ang mga average na halaga gamit ang karaniwang mga formula:
Ang mga paraan na ito ay mga random na variable, at ang kanilang mga pamantayan (hindi dapat ipagkamali sa mga pamantayan ng iisang sukat!) ay tinatayang tinutukoy ng walang pinapanigan na mga pagtatantya:
Dahil ang mga eksperimento ay independyente, ang mga random na variable na x at y ay independyente rin, kaya ang kanilang mga mean na halaga ay ibinabawas at ang kanilang mga pagkakaiba ay idinagdag:
Ang isang bahagyang mas tumpak na pagtatantya ng pagkakaiba ay:
Kaya, ang pagpapakalat nito ay matatagpuan din, at ang mga karagdagang kalkulasyon ay ginawa gamit ang mga formula (23) o (24).
Mga pare-parehong sukat. Ang isang mas mataas na katumpakan ay nakukuha sa pamamagitan ng isa pang paraan ng pagproseso, kapag sa bawat isa sa mga eksperimento ay sabay na sinusukat ang . Halimbawa, pagkatapos ng paglabas ng kalahati ng matunaw, ang isang additive ay idinagdag sa metal na natitira sa pugon, at pagkatapos ay ang mga sample ng metal mula sa bawat kalahati ng matunaw ay inihambing.
Sa kasong ito, sa esensya, sa bawat eksperimento, agad na sinusukat ang halaga ng isang random na variable, na dapat ikumpara sa pare-parehong a. Ang mga sukat ay pagkatapos ay pinoproseso ayon sa mga formula (21)–(24), kung saan ang z ay dapat palitan kahit saan.
Ang pagkakaiba para sa pare-parehong mga sukat ay magiging mas maliit kaysa sa mga independyente, dahil ito ay dahil lamang sa isang bahagi ng mga random na salik: ang mga salik na iyon na patuloy na nagbabago ay hindi nakakaapekto sa pagkalat ng kanilang pagkakaiba. Samakatuwid, ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan upang makakuha ng mas maaasahang mga konklusyon.
Halimbawa. Ang isang kagiliw-giliw na paglalarawan ng paghahambing ng mga halaga ay ang pagpapasiya ng nagwagi sa mga palakasan kung saan ang paghusga ay isinasagawa "sa pamamagitan ng mata" - gymnastics, figure skating, atbp.
Talahanayan 24. Mga marka ng paghusga
Ipinapakita sa talahanayan 24 ang protocol ng mga kumpetisyon sa dressage sa Olympics noong 1972. Makikita na malaki ang pagkalat ng mga marka ng mga hukom, at ni isang marka ay hindi makikilala bilang lubhang mali at itinapon. Sa unang tingin, tila mababa ang pagiging maaasahan ng pagtukoy ng nanalo.
Kalkulahin natin kung gaano katama ang pagtukoy sa panalo, ibig sabihin, ano ang posibilidad ng kaganapan . Dahil ang parehong mga sakay ay nakuhanan ng parehong mga hukom, ang paraan ng coordinated measurements ay maaaring gamitin. Ayon sa talahanayan 24, kinakalkula namin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halagang ito sa formula (24) at makuha ang .
Ang pagpili ng isang hilera sa talahanayan 23, nakita namin na ang halagang ito ng t ay tumutugma sa Kaya, ibig sabihin, na may posibilidad na 90%, ang gintong medalya ay iginawad nang tama.
Ang paghahambing sa pamamagitan ng independiyenteng paraan ng pagsukat ay magbibigay ng bahagyang mas masahol na marka, dahil hindi nito ginagamit ang impormasyon na ang mga marka ay ibinigay ng parehong mga hukom.
Paghahambing ng mga pagkakaiba-iba. Hayaang kailanganin na ihambing ang dalawang pang-eksperimentong pamamaraan. Malinaw, ang mas tumpak na pamamaraan ay ang isa kung saan ang pagkakaiba ng isang solong pagsukat ay mas maliit (siyempre, kung ang sistematikong error ay hindi tumaas). Kaya, kailangan nating itatag kung nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay.
Average na mga halaga
Sa klinikal na medisina at kasanayan sa kalusugan ng publiko, madalas tayong makatagpo ng mga quantitative na katangian (taas, bilang ng mga araw ng kawalan ng kakayahan para sa trabaho, mga antas ng presyon ng dugo, mga pagbisita sa klinika, populasyon sa site, atbp.). Ang mga quantitative value ay maaaring discrete o tuloy-tuloy. Ang isang halimbawa ng isang discrete value ay ang bilang ng mga bata sa isang pamilya, pulse; isang halimbawa ng tuluy-tuloy na halaga ay ang presyon ng dugo, taas, timbang (ang numero ay maaaring isang fraction, na nagiging susunod)
Ang bawat numerong halaga ng yunit ng pagmamasid ay tinatawag opsyon(x). Kung bubuo ka ng lahat ng mga opsyon sa pataas o pababang pagkakasunud-sunod at ipahiwatig ang dalas ng bawat opsyon (p), maaari mong makuha ang tinatawag na serye ng pagkakaiba-iba.
Ang isang variational series na may normal na distribution ay graphic na kumakatawan sa isang bell (histogram, polygon).
Upang makilala ang isang variational series na may normal na distribution (o Gauss-Lyapunov distribution), dalawang grupo ng mga parameter ang palaging ginagamit:
1. Mga parameter na nagpapakilala sa pangunahing trend ng serye: average na halaga (`x), mode (Mo), median (Me).
2. Mga parameter na nagpapakilala sa pagpapakalat ng serye: standard deviation (d), coefficient of variation (V).
average na halaga Ang (`x) ay isang halaga na tumutukoy sa pamamagitan ng isang numero ang quantitative na katangian ng isang qualitatively homogenous na populasyon.
Fashion (Mo)- ang pinakakaraniwang variant ng serye ng variation.
Median (Ako)- isang variant na naghahati sa serye ng variation sa pantay na kalahati.
Karaniwang lihis(d) ay nagpapakita kung paano, sa karaniwan, ang bawat opsyon ay lumilihis mula sa mean.
Coefficient ng variation (V) tinutukoy ang pagkakaiba-iba ng serye ng variation sa porsyento at ginagawang posible na hatulan ang qualitative homogeneity ng pinag-aralan na populasyon. Maipapayo na gamitin para sa paghahambing ng mga pagkakaiba-iba ng iba't ibang mga character (pati na rin ang antas ng pagkakaiba-iba ng ibang mga grupo, mga grupo ng mga indibidwal ng iba't ibang mga species, halimbawa, ang bigat ng mga bagong silang at pitong taong gulang na mga bata).
Mga limitasyon o limitasyon(lim) – pinakamababa at pinakamataas na halaga ng opsyon. ang pinakasimpleng paraan upang makilala ang isang variational na serye, ipahiwatig ang saklaw nito, ang minimum at maximum na mga halaga ng serye, i.e. kanyang mga limitasyon. Gayunpaman, hindi ipinapahiwatig ng mga limitasyon kung paano ipinamamahagi ang mga indibidwal na miyembro ng populasyon ayon sa katangiang pinag-aaralan, samakatuwid, ginagamit ang dalawang pangkat sa itaas ng mga parameter ng serye ng variation.
Mayroong iba't ibang mga pagbabago sa pagkalkula ng mga parameter ng variational series. Ang kanilang pagpili ay depende sa variation series mismo at teknikal na paraan.
Depende sa kung paano nag-iiba ang sign - discretely o tuloy-tuloy, sa isang malawak o makitid na hanay, ang isang simpleng unweighted, simpleng weighted (para sa discrete value) at isang interval variation series (para sa tuloy-tuloy na value) ay nakikilala.
Ang pagpapangkat ng mga serye ay isinasagawa na may malaking bilang ng mga obserbasyon sa sumusunod na paraan:
1. Tukuyin ang hanay ng serye sa pamamagitan ng pagbabawas ng pinakamababang opsyon mula sa maximum.
2. Ang resultang numero ay hinati sa nais na bilang ng mga grupo (ang pinakamababang numero ay 7, ang maximum ay 15). Ito ay kung paano tinukoy ang pagitan.
3. Simula sa pinakamababang opsyon, bumuo ng serye ng variation. Ang mga hangganan ng mga pagitan ay dapat na malinaw, hindi kasama ang pagpasok ng parehong opsyon sa iba't ibang grupo.
Ang pagkalkula ng mga parameter ng variational series ay isinasagawa mula sa gitnang variant. Kung tuluy-tuloy ang serye, ang gitnang variant ay kinakalkula bilang kalahati ng kabuuan ng paunang variant ng nauna at kasunod na mga grupo. Kung ito ay isang hindi nagpapatuloy na serye, ang gitnang variant ay kinakalkula bilang kalahati ng kabuuan ng inisyal at huling variant sa pangkat.
Pagkalkula ng mga parameter ng serye ng variation
Algorithm para sa pagkalkula ng mga parameter ng isang simpleng unweighted variational series:
1. Ayusin ang mga opsyon sa pataas na pagkakasunod-sunod
2. Isama ang lahat ng mga opsyon (Sx);
3. Sa pamamagitan ng paghahati ng kabuuan sa bilang ng mga obserbasyon, ang isang hindi timbang na average ay nakuha;
4. Kalkulahin ang serial number ng median (Ako);
5. Tukuyin ang median na variant (Me)
6. Hanapin ang deviation (d) ng bawat opsyon mula sa average (d = x -`x)
7. Kuwadrado ang deviation (d 2);
8. Sum d 2 (Sd 2);
9. Kalkulahin ang standard deviation sa pamamagitan ng formula: ± ;
10. Tukuyin ang coefficient ng variation sa pamamagitan ng formula: 
.
11. Gumawa ng konklusyon tungkol sa mga resulta.
Tandaan: sa isang homogenous na istatistikal na populasyon, ang koepisyent ng variation ay 5-10%, 11-20% - medium variation, higit sa 20% - mataas na variation.
Halimbawa:
Sa resuscitation at intensive care unit, 9 na pasyente na may vascular lesions ng utak ang ginamot. Tagal ng paggamot para sa bawat pasyente sa mga araw: 7, 8, 12, 6, 4, 10, 9, 5.11.
1. Bumubuo kami ng serye ng variation (x): 4,5,6,7,8,9,10,11,12
2. Kalkulahin ang pagpipiliang sum: Sx = 72
3. Kalkulahin ang average na halaga ng serye ng variation: =72/9=8 araw;
4. 
;
5. Ako n =5 =8 araw;
| x | d | d2 |
| -4 | ||
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| +1 | ||
| +2 | ||
| +3 | ||
| +4 | ||
| S=72 | S=0 | Sd2=60 |
9. 
(mga araw);
10. Ang coefficient ng variation ay: ;
Algorithm para sa pagkalkula ng mga parameter ng isang simpleng may timbang na serye ng variation:
1. Ayusin ang mga opsyon sa pataas na pagkakasunud-sunod, na nagpapahiwatig ng kanilang dalas (p);
2. I-multiply ang bawat opsyon sa dalas nito (x*p);
3. Sum products xp (Sxp);
4. Kalkulahin ang average na halaga sa pamamagitan ng formula (`x)= ;
5. Hanapin ang serial number ng median;
6. Tukuyin ang variant ng median (Me);
7. Ang pinakakaraniwang variant ay kinuha bilang fashion (Mo);
8. Maghanap ng mga deviations d ng bawat opsyon mula sa average (d = x - `x);
9. Kuwadrado ang mga deviations (d 2);
10. I-multiply ang d 2 sa p (d 2 *p);
11. Sum d 2 *p (Sd 2 *p);
12. Kalkulahin ang (mga) standard deviation sa pamamagitan ng formula: ± ;
13. Tukuyin ang coefficient ng variation sa pamamagitan ng formula: .
Halimbawa.
Ang systolic blood pressure ay sinusukat sa mga batang babae na may edad na 16 na taon.
| Systolic na presyon ng dugo, mm Hg x | Bilang ng sinuri, p | x*p | d | d2 | d2*p |
| -11.4 | 130.0 | 260.0 | |||
| -9.4 | 88.4 | 265.2 | |||
| -7.4 | 54.8 | 219.2 | |||
| -5.4 | 29.2 | 175.2 | |||
| -1.4 | 2.0 | 20.0 | |||
| +0.6 | 0.4 | 9.6 | |||
| 2.6 | 6.8 | 40.8 | |||
| 4.6 | 21.2 | 84.8 | |||
| 6.6 | 43.6 | 130.8 | |||
| 10.6 | 112.4 | 337.2 | |||
| 12.6 | 158.8 | 317.6 | |||
| n=67 | Sxp=7194 | Sd 2 p=1860.4 |
mmHg.;
MmHg.
;
Ako=108 mm Hg; Mo=108 mmHg
Algorithm para sa pagkalkula ng mga parameter ng isang pinagsama-samang serye ng variational sa pamamagitan ng paraan ng mga sandali:
1. Ayusin ang mga opsyon sa pataas na pagkakasunud-sunod, na nagpapahiwatig ng kanilang dalas (p)
2. I-hold ang pagpipilian sa pagpapangkat
3. Kalkulahin ang gitnang variant
4. Ang variant na may pinakamataas na frequency ay kinukuha bilang conditional average (A)
5. Kalkulahin ang conditional deviation (a) ng bawat central option mula sa conditional average (A)
6. I-multiply ang a sa p (a * p)
7. Ibuod ang mga produkto ng ar
8. Tukuyin ang halaga ng pagitan y sa pamamagitan ng pagbabawas ng gitnang opsyon mula sa nauna
9. Kalkulahin ang average na halaga ayon sa formula:
;
10. Upang kalkulahin ang conditional square deviation, ang conditional deviations ay squared (a 2)
11. Multiply ng 2 * p
12. Ibuod ang mga produkto a * p 2
13. Kalkulahin ang standard deviation ng formula
Halimbawa
Available ang data para sa mga lalaking may edad na 30-39 taon
| masa, kg x | Bilang ng na-survey p | Gitnang opsyon x s | ngunit | a 2 | isang 2 *p | a*r | Mga Naipon na Dalas |
| 45-49 | 47,5 | -4 | -4 | ||||
| 50-54 | 52,5 | -3 | -9 | ||||
| 55-59 | 57,5 | -2 | -14 | ||||
| 60-64 | 62,5 | -1 | -10 | ||||
| 65-69 | 67,5 | ||||||
| 70-74 | 72,5 | ||||||
| 75-79 | 77,5 | ||||||
| 80-84 | 82,5 | ||||||
| 85-89 | 87,5 | ||||||
| sum |
- ibig sabihin ng aritmetika
; - karaniwang lihis; 
- ibig sabihin ng pagkakamali
Pagtatasa ng pagiging maaasahan
Ang pagtatasa ng istatistika ng pagiging maaasahan ng mga resulta ng isang medikal na istatistikang pag-aaral ay binubuo ng isang bilang ng mga yugto - ang katumpakan ng mga resulta ay nakasalalay sa mga indibidwal na yugto.
Sa kasong ito, mayroong dalawang kategorya ng mga error: 1) mga error na hindi maaaring isaalang-alang nang maaga ng mga pamamaraan ng matematika (mga error sa katumpakan, atensyon, tipikal, mga error sa pamamaraan, atbp.); 2) mga error sa representasyon na nauugnay sa sample na pananaliksik.
Ang laki ng pagkakamali ng pagiging kinatawan ay tinutukoy ng parehong laki ng sample at ang pagkakaiba-iba ng katangian at ipinahayag bilang ang ibig sabihin ng error. Ang average na error ng indicator ay kinakalkula ng formula:
kung saan ang m ay ang average na error ng indicator;
p ay isang istatistikal na tagapagpahiwatig;
q ay ang kapalit ng p (1-p, 100-p, 1000-p, atbp.)
n ay ang bilang ng mga obserbasyon.
Kapag ang bilang ng mga obserbasyon ay mas mababa sa 30, ang isang susog ay ipinapasok sa formula:
Ang error ng mean na halaga ay kinakalkula ng mga formula:
; 
;
kung saan ang s ay ang standard deviation;
n ay ang bilang ng mga obserbasyon.
Halimbawa 1
289 katao ang umalis sa ospital, 12 ang namatay.
Ang kabagsikan ay magiging:
; ;
Kapag nagsasagawa ng paulit-ulit na pag-aaral, ang average (M) sa 68% ng mga kaso ay magbabago sa loob ng ±m, i.e. ang antas ng posibilidad (p) kung saan nakuha natin ang mga limitasyon ng kumpiyansa para sa mean ay 0.68. Gayunpaman, ang antas ng probabilidad na ito ay karaniwang hindi nakakatugon sa mga mananaliksik. Ang pinakamaliit na antas ng posibilidad kung saan nais nilang makakuha ng ilang mga hangganan para sa pagbabagu-bago ng mean (mga limitasyon ng kumpiyansa) ay 0.95 (95%). Sa kasong ito, ang mga limitasyon ng kumpiyansa ng mean ay dapat palawakin sa pamamagitan ng pagpaparami ng error (m) sa confidence factor (t).
Confidence coefficient (t) - isang numero na nagpapakita kung gaano karaming beses na dapat dagdagan ang error ng mean value upang maigiit sa isang naibigay na bilang ng mga obserbasyon na may nais na antas ng probabilidad (p) na ang mean na halaga ay hindi lalampas sa mga limitasyon nakuha sa ganitong paraan.
Sa p=0.95 (95%) t=2, ibig sabihin. M±tm=M+2m;
Sa p=0.99 (99%) t=3, ibig sabihin. M±tm=M+3m;
Paghahambing ng mga average
Kapag naghahambing ng dalawang aritmetika na average (o dalawang tagapagpahiwatig) na kinakalkula para sa magkaibang tagal ng panahon o sa ilalim ng bahagyang magkaibang kundisyon, tinutukoy ang kahalagahan ng mga pagkakaiba sa pagitan ng mga ito. Sa kasong ito, nalalapat ang sumusunod na panuntunan: ang pagkakaiba sa pagitan ng mga average (o indicator) ay itinuturing na makabuluhan kung ang pagkakaiba sa arithmetic sa pagitan ng mga pinaghahambing na average (o mga indicator) ay mas malaki sa dalawang square root ng kabuuan ng mga squared error ng mga average na ito ( o mga tagapagpahiwatig), ibig sabihin.
(para sa mga kumpara sa average);
(para sa mga maihahambing na tagapagpahiwatig).
Valery Galasyuk- Academician ng AES ng Ukraine, General Director ng COWPERWOOD auditing firm (Dnepropetrovsk), Miyembro ng Presidium ng Konseho ng Union of Auditors ng Ukraine, Miyembro ng Audit Chamber ng Ukraine, Chairman ng Audit Commission ng Ukrainian Society of Appraisers, Deputy Chairman ng Board of the Association of Taxpayers of Ukraine, Deputy Chairman ng Commission for Evaluation of Efficiency investment activity ng Ukrainian Society of Financial Analysts, nangungunang appraiser ng Ukrainian Society of Appraisers
Victor Galasyuk– Direktor ng Department of Credit Consulting ng Information and Consulting Company "INCON-CENTER" (consulting group na "COWPERWOOD"), Master of Economics ng Enterprise, nagwagi ng mga kumpetisyon para sa mga batang appraiser ng Ukrainian Society of Appraisers
Ang matematika ay ang tanging perpektong pamamaraan
hinahayaan ang sarili na maakay ng ilong
Einstein
Ang trabaho ko ay magsabi ng totoo, hindi para maniwala ka dito.
Rousseau
Ang artikulong ito ay nakatuon sa pangunahing problema na lumitaw sa proseso ng numerical na paghahambing ng mga dami. Ang kakanyahan ng problemang ito ay nakasalalay sa katotohanan na, sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang iba't ibang mga pamamaraan ng paghahambing ng numero ng parehong mga dami ay nag-aayos ng ibang antas ng kanilang hindi pagkakapantay-pantay. Ang pagiging natatangi ng problemang ito ay hindi nakasalalay sa katotohanan na hindi pa ito nalutas, bagaman tila ang mga pamamaraan para sa paghahambing ng numero ay lubusang pinag-aralan at hindi nagtataas ng mga katanungan kahit na sa mga mag-aaral, ngunit sa katotohanan na ito ay may hindi pa sapat na naipapakita sa kamalayan ng publiko at, higit sa lahat, sa pagsasagawa.
Tulad ng alam mo, maaari mong ihambing ang dalawang halaga ayon sa numero alinman sa pamamagitan ng pagsagot sa tanong na "Magkano ang isang halaga kaysa sa isa?" O sa pamamagitan ng pagsagot sa tanong na "Ilang beses ang isang halaga na mas malaki kaysa sa isa?". Iyon ay, upang maihambing ang dalawang dami, dapat mong ibawas ang isa sa isa (), o hatiin ang isa sa isa (). Kasabay nito, tulad ng ipinakita ng mga pag-aaral, mayroon lamang dalawang paunang uri ng pamantayan para sa numerical na paghahambing ng mga dami: at , at wala sa kanila ang may eksklusibong karapatang umiral.
13 qualitatively different variants lang ng ratio sa numerical axis ng mga value ng dalawang pinaghahambing na value X at Y ang posible (tingnan ang Fig. 1).
Kapag inihambing ang dalawang halaga X at Y batay sa pamantayan ng paghahambing sa anumang variant ng kanilang ratio sa number axis, walang mga problema. Sa katunayan, anuman ang mga halaga ng X at Y, ang pamantayan ng paghahambing ay natatanging nagpapakilala sa distansya sa pagitan ng mga punto X at Y sa totoong axis.
Gayunpaman, ang paggamit ng pamantayan sa paghahambing upang ihambing ang mga halaga ng X at Y sa ilang mga kaso ng kanilang ratio sa axis ng numero ay maaaring humantong sa mga problema, dahil sa mga kasong ito ang mga halaga ng mga halaga ng X at Y ay maaaring magkaroon ng isang makabuluhang epekto sa mga resulta ng ang pagkukumpara. Halimbawa, kapag inihahambing ang mga halaga ng 0.0100000001 at 0.0000000001, na tumutugma sa opsyon 5 sa "mga kuwintas ng Galasyuk", gamit ang paghahambing na pamantayan ay nagpapakita na ang unang numero ay mas malaki kaysa sa pangalawa sa pamamagitan ng 0.01, at ang paggamit ng pamantayan sa paghahambing ay nagpapakita na ang ang unang numero ay mas malaki kaysa sa pangalawa ng 100 000,001 beses. Kaya, na may isang tiyak na ratio ng mga inihambing na halaga sa numerical axis, ang paghahambing na pamantayan ay nagpapahiwatig bahagyang antas ng hindi pagkakapantay-pantay inihambing ang mga halaga ng X at Y, at ang criterion ng paghahambing ay tumuturo sa isang makabuluhang antas ng kanilang hindi pagkakapantay-pantay.
O, halimbawa, kapag inihahambing ang mga halaga ng 1,000,000,000 100 at
1,000,000,000,000, na tumutugma sa parehong opsyon 5 sa mga kuwintas ni Galasyuk, ang paggamit ng pamantayan sa paghahambing ay nagpapakita na ang unang numero ay mas malaki kaysa sa pangalawa sa pamamagitan ng 100, at ang paggamit ng pamantayan sa paghahambing ay nagpapakita na ang unang numero ay humigit-kumulang katumbas ng pangalawa, dahil ito ay mas malaki kaysa sa pangalawang numero lamang sa 1.0000000001 beses. Kaya, na may isang tiyak na ratio ng mga inihambing na halaga sa numerical axis, ang paghahambing na pamantayan ay nagpapahiwatig makabuluhang antas ng hindi pagkakapantay-pantay inihambing ang mga halaga ng X at Y, at ang criterion ng paghahambing ay tumuturo sa isang bahagyang antas ng kanilang hindi pagkakapantay-pantay.
Dahil ang problemang tinalakay sa artikulong ito ay lumitaw lamang kapag ginagamit ang paghahambing na pamantayan, pagkatapos ay upang pag-aralan ito, isinasaalang-alang namin ang paghahambing ng dalawang dami. m At n batay sa pamantayan ng paghahambing. Upang ihambing ang mga dami na ito, hinahati namin m sa n: .
Pagsusuri ng mga resulta ng paghahambing ng mga halaga m At n maaaring isagawa sa dalawang yugto: sa unang yugto, kinukuha namin ang denominator ng ratio na hindi nagbabago - ang halaga n, sa pangalawang numerator - ang halaga m(tingnan ang fig. 2).
Upang maisagawa ang unang yugto ng pagsusuri, bumuo kami ng isang graph ng dependence ng ratio sa halaga m(tingnan ang Fig. 3), habang dapat tandaan na kapag n=0 relasyon ay hindi tinukoy.
Gaya ng nakikita sa Figure 3, kung n=const, n¹0, para sa |m|→∞ ang kaugnayan | |→∞, at para sa |m|→0 ang kaugnayan | |→0.
Upang ipatupad ang ikalawang yugto ng pagsusuri, bumuo kami ng isang graph ng dependence ng ratio sa halaga n(tingnan ang Fig. 4), habang dapat tandaan na kapag n=0 relasyon ay hindi tinukoy.
Gaya ng nakikita sa Figure 4, kung m=const, m¹0, n¹0, kung gayon para sa |n|→∞ ang kaugnayan | |→0, at para sa |n|→0 ang kaugnayan | |→∞. Dapat tandaan na bilang ang mga halaga ng | n| pantay na pagbabago | n| kasangkot ang mas maliliit na pagbabago sa saloobin | |. At kapag lumalapit sa mga zero na halaga | n| pantay na pagbabago | n| nagsasama ng mas malalaking pagbabago sa ugali | |.
Ang pagbubuod ng mga resulta ng mga yugto I at II ng pagsusuri, ipinakita namin ang mga ito sa anyo ng sumusunod na talahanayan, kasama dito ang mga resulta ng pagsusuri ng paghahambing batay sa paunang uri ng pamantayan (tingnan ang Talahanayan 1). Mga sitwasyon kung saan ang X=0 at Y=0 ay hindi isinasaalang-alang dito. Inaasahan naming pag-aralan ang mga ito sa hinaharap.
Talahanayan 1
Mga pangkalahatang resulta ng pagsusuri ng paghahambing ng mga halagaXAtY
batay sa dalawang orihinal na uri ng pamantayan sa paghahambing
(X¹ 0 atY¹ 0)
|
7. Galasyuk V.V. Ilang mga paunang uri ng pamantayan sa pagiging epektibo sa gastos ang dapat: isa, dalawa, tatlo...?//Stock market.-2000.-№3.-p.39-42. 8. Galasyuk V.V. Sa dalawang paunang uri ng pamantayan sa pagiging epektibo sa gastos//Mga Tanong ng pagsusuri, Moscow.-2000.-№1.-p.37-40. 9. Poincaré Henri. Tungkol sa agham: Per. mula sa French-M.-Nauka. Pangunahing edisyon ng pisikal at matematikal na panitikan, 1983.-560 p. 20.10.2002 |
