Paglutas ng mga paghahambing ng unang antas. Paglutas ng mga congruence at ang kanilang mga aplikasyon Paghahati-hati at mga paghahambing ng modulo

Nilalaman.

Panimula

§1. Paghahambing ng modulo

§2. Mga Katangian ng Paghahambing

1. Mga Katangian ng Paghahambing ng Module-Independent
2. Mga Katangian sa Paghahambing na Partikular sa Module

§3. Sistema ng pagbabawas

1. Kumpletong sistema ng mga pagbabawas
2. Ang pinababang sistema ng mga pagbabawas

§4. Euler's theorem at Fermat

1. Pag-andar ng Euler
2. Euler's theorem at Fermat

Kabanata 2. Teorya ng paghahambing sa isang variable

§1. Mga pangunahing konsepto na may kaugnayan sa desisyon ng mga paghahambing

1. Ang mga ugat ng paghahambing
2. Pagkakatumbas ng mga paghahambing
3. Ang teorama ni Wilson

§2. Mga paghahambing ng unang antas at ang kanilang mga solusyon

1. Paraan ng pagpili
2. Mga pamamaraan ng Euler
3. Pamamaraan ng algorithm ni Euclid
4. Patuloy na paraan ng fraction

§3. Mga sistema ng paghahambing ng 1st degree sa isang hindi alam

§4. Dibisyon ng mga paghahambing ng mas mataas na kapangyarihan

§5. Mga primitive na ugat at indeks

1. Deduction class order
2. Primitive roots modulo prime
3. Mga indeks ng modulo prime

Kabanata 3 Paglalapat ng teorya ng paghahambing

§1. Mga palatandaan ng divisibility

§2. Sinusuri ang mga resulta ng mga operasyon sa aritmetika

§3. Pag-convert ng isang ordinaryong fraction sa isang may hangganan

decimal fraction

Konklusyon

Panitikan

Panimula

Sa ating buhay madalas nating kailangang harapin ang mga integer at mga gawain na nauugnay sa kanila. Sa tesis na ito, isinasaalang-alang ko ang teorya ng paghahambing ng mga integer.

Dalawang integer na ang pagkakaiba ay isang multiple ng isang ibinigay na natural na numero m ay tinatawag na maihahambing na modulo m.

Ang salitang "module" ay nagmula sa Latin na modulus, na sa Russian ay nangangahulugang "sukat", "halaga".

Ang pahayag na "a ay kapareho ng b modulo m" ay karaniwang isinusulat bilang ab (mod m) at tinatawag na paghahambing.

Ang kahulugan ng paghahambing ay nabuo sa aklat ni K. Gauss "Arithmetic Research". Ang gawaing ito, na nakasulat sa Latin, ay nagsimulang ilimbag noong 1797, ngunit ang aklat ay nai-publish lamang noong 1801 dahil sa katotohanan na ang proseso ng pag-imprenta noong panahong iyon ay lubhang matrabaho at mahaba. Ang unang seksyon ng aklat ni Gauss ay tinatawag na "Sa Paghahambing ng mga Bilang sa Pangkalahatan".

Ang mga paghahambing ay napaka-maginhawang gamitin sa mga pagkakataong iyon kapag sapat na upang malaman sa anumang mga numero ng pananaliksik hanggang sa multiple ng isang tiyak na numero.

Halimbawa, kung interesado tayo sa kung anong digit ang nagtatapos sa kubo ng isang integer a, sapat na para sa atin na malaman lamang ang hanggang multiple ng 10 at maaari tayong gumamit ng mga paghahambing na modulo 10.

Ang layunin ng gawaing ito ay isaalang-alang ang teorya ng paghahambing at pag-aralan ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga paghahambing sa mga hindi alam, gayundin ang pag-aaral ng aplikasyon ng teorya ng paghahambing sa matematika ng paaralan.

Ang tesis ay binubuo ng tatlong kabanata, at ang bawat kabanata ay nahahati sa mga talata, at mga talata sa mga talata.

Ang unang kabanata ay tumatalakay sa mga pangkalahatang katanungan ng teorya ng paghahambing. Dito natin isinasaalang-alang ang konsepto ng modulo na paghahambing, ang mga katangian ng mga paghahambing, ang kumpleto at pinababang sistema ng mga nalalabi, ang Euler function, ang Euler at Fermat theorem.

Ang ikalawang kabanata ay nakatuon sa teorya ng paghahambing sa hindi alam. Binabalangkas nito ang mga pangunahing konsepto na nauugnay sa paglutas ng mga paghahambing, isinasaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga paghahambing ng unang antas (paraan ng pagpili, pamamaraan ni Euler, pamamaraan ng algorithm ng Euclid, ang paraan ng patuloy na mga fraction, gamit ang mga indeks), mga sistema ng paghahambing ng unang antas sa isang hindi kilalang , paghahambing ng mas mataas na antas, atbp.

Ang ikatlong kabanata ay naglalaman ng ilang aplikasyon ng teorya ng numero sa matematika ng paaralan. Ang mga palatandaan ng divisibility, pagpapatunay ng mga resulta ng mga aksyon, conversion ng mga ordinaryong fraction sa mga sistematikong decimal fraction ay isinasaalang-alang.

Ang pagtatanghal ng teoretikal na materyal ay sinamahan ng isang malaking bilang ng mga halimbawa na nagpapakita ng kakanyahan ng ipinakilala na mga konsepto at kahulugan.

Kabanata 1. Pangkalahatang tanong ng teorya ng paghahambing

§1. Paghahambing ng modulo

Hayaan ang z-ring ng mga integer, m-fixed integer at m z-set ng lahat ng integer na mahahati ng m.

Kahulugan 1. Dalawang integer na a at b ay sinasabing magkaparehong modulo m kung ang m ay naghahati sa a-b.

Kung ang mga numerong a at b ay maihahambing na modulo m, pagkatapos ay isulat ang a b (mod m).

Kondisyon a Ang ibig sabihin ng b (mod m) ay ang a-b ay nahahati sa m.

a b (mod m)↔(a-b) m

Tinukoy namin na ang kaugnayan ng comparability modulo m ay tumutugma sa kaugnayan ng comparability modulo (-m) (divisibility by m ay katumbas ng divisibility by –m). Samakatuwid, nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na m>0.

Mga halimbawa.

Teorama. (sign of comparability of spirit numbers modulo m): Dalawang integers a at b ay maihahambing na modulo m kung at kung ang a at b ay may parehong natitira kapag hinati sa m.

Patunay.

Hayaang ang mga natitira kapag hinahati ang a at b sa m ay pantay, iyon ay, a=mq₁+r,(1)

B=mq₂+r, (2)

Kung saan 0≤r≥m.

Ibawas ang (2) sa (1), makuha natin ang a-b= m(q₁- q₂), ibig sabihin, a-b m o a b (mod m).

Sa kabaligtaran, hayaan ang a b (mod m). Ang ibig sabihin nito ay a-b m o a-b=mt, t z (3)

Hatiin ang b sa m; nakukuha natin ang b=mq+r sa (3), magkakaroon tayo ng a=m(q+t)+r, iyon ay, ang paghahati ng a sa m ay nagbibigay ng parehong natitira gaya ng paghahati ng b sa m.

Mga halimbawa.

5=4 (-2)+3

23=4 5+3

24=3 8+0

10=3 3+1

Kahulugan 2. Ang dalawa o higit pang mga numero na nagbibigay ng parehong natitira kapag hinati sa m ay tinatawag na equidistant o maihahambing na modulo m.

Mga halimbawa.

Mayroon kaming: 2m+1-(m+1)²= 2m+1 - m²-2m-1=- m², at (- m²) ay nahahati ng m => tama ang aming paghahambing.

1. Patunayan na mali ang mga sumusunod na paghahambing:

Kung ang mga numero ay maihahambing na modulo m, kung gayon mayroon silang parehong gcd dito.

Mayroon kaming: 4=2 2, 10=2 5, 25=5 5

gcd(4,10) = 2, gcd(25,10) = 5, kaya mali ang aming paghahambing.

§2. Mga Katangian ng Paghahambing

1. Mga katangian ng paghahambing na independyente sa module.

Maraming mga katangian ng paghahambing ay katulad ng sa mga pagkakapantay-pantay.

a) reflexivity: aa (mod m) (anumang integer a ay maihahambing sa mismong modulo m);

C) simetrya: kung a b (mod m), pagkatapos b a (mod m);

C) transitivity: kung a b (mod m), at b na may (mod m), pagkatapos ay may (mod m).

Patunay.

Sa pamamagitan ng kundisyon m/(a-b) at m/ (c-d). Samakatuwid, m/(a-b)+(c-d), m/(a+c)-(b+d) => a+c b + d (mod m).

Mga halimbawa.

Maghanap ng natitira kapag naghahati sa 13.

Solusyon: -1 (mod 13) at 1 (mod 13), pagkatapos ay (-1)+1 0 (mod 13), iyon ay, ang natitira sa dibisyon ng 13 ay 0.

a-c b-d (mod m).

Patunay.

Sa pamamagitan ng kundisyon m/(a-b) at m/(c-d). Samakatuwid, m/(a-b)-(c-d), m/(a-c)-(b-d) => (a-c) b-d (mod m).

1. (isang kinahinatnan ng mga katangian 1, 2, 3). Maaari mong idagdag ang parehong integer sa parehong bahagi ng paghahambing.

Patunay.

Hayaan ang a b (mod m) at k ay anumang integer. Sa pamamagitan ng pag-aari ng reflexivity

k=k (mod m), at ayon sa mga katangian 2 at 3 mayroon tayong a+k b + k (mod m).

a c d (mod m).

Patunay.

Ayon sa kundisyon, a-b є mz, c-d є mz. Kaya a c-b d = (a c - b c)+(b c- b d)=(a-b) c+b (c-d) є mz, i.e. a c d (mod m).

Bunga. Ang parehong bahagi ng paghahambing ay maaaring itaas sa parehong integer na hindi negatibong kapangyarihan: kung ab (mod m) at s ay isang hindi negatibong integer, pagkatapos ay a s b s (mod m).

Mga halimbawa.

Solusyon: malinaw naman 13 1 (mod 3)

2-1 (mod 3)

5 -1 (mod 3), pagkatapos

- 1-1 0 (mod 13)

Sagot: ang nais na natitira ay zero, at ang A ay nahahati sa 3.

Solusyon:

Patunayan natin na 1+ 0(mod13) o 1+ 0(mod 13)

1+ =1+ 1+ =

Dahil ang 27 ay 1 (mod 13), kasunod nito ang 1+ 1+1 3+1 9 (mod 13).

h.t.d.

3. Hanapin ang natitira kapag hinahati ang natitira sa isang numero sa 24.

Mayroon kaming: 1 (mod 24), kaya

1 (mod 24)

Pagdaragdag ng 55 sa parehong bahagi ng paghahambing, nakukuha natin ang:

(mod 24).

Mayroon kaming: (mod 24), kaya

(mod 24) para sa anumang k є N.

Kaya naman (mod 24). Mula noong (-8)16(mod 24), ang nais na natitira ay 16.

1. Ang parehong bahagi ng paghahambing ay maaaring i-multiply sa parehong integer.

2. Mga katangian ng paghahambing depende sa modyul.

Patunay.

Dahil a b (mod t), pagkatapos (a - b) t. At dahil t n , pagkatapos ay dahil sa transitivity ng divisibility relation(a - b n), iyon ay, a b (mod n).

Halimbawa.

Hanapin ang natitira pagkatapos hatiin ang 196 sa 7.

Solusyon:

Alam na 196= , maaari nating isulat ang 196(mod 14). Gamitin natin ang dating property, 14 7, makakakuha tayo ng 196 (mod 7), ibig sabihin, 196 7.

1. Ang parehong bahagi ng paghahambing at ang modulus ay maaaring i-multiply sa parehong positibong integer.

Patunay.

Hayaan ang isang b (mod m ) at c ay isang positibong integer. Pagkatapos a-b = mt at ac-bc=mtc, o ac bc (mod mc).

Halimbawa.

Suriin kung ang halaga ng isang expression ay buong bilang.

Solusyon:

Katawanin natin ang mga praksiyon sa anyo ng paghahambing: 4(mod 3)

1 (mod 9)

31 (mod 27)

Idinaragdag namin ang mga paghahambing na ito ayon sa termino (property 2), makakakuha kami ng 124(mod 27) Nakita namin na ang 124 ay hindi isang integer na mahahati ng 27, kaya ang halaga ng expressionay hindi rin isang integer.

1. Ang parehong bahagi ng paghahambing ay maaaring hatiin sa pamamagitan ng kanilang karaniwang kadahilanan kung ito ay relatibong prime sa modulus.

Patunay.

Kung ca cb (mod m), ibig sabihin, m/c(a-b) at numero Sa coprime sa m, (c,m)=1, pagkatapos ay hinahati ng m ang a-b. Kaya naman, a b (mod t ).

Halimbawa.

60 9 (mod 17), pagkatapos hatiin ang parehong bahagi ng paghahambing sa 3 makuha natin:

20 (mod 17).

Sa pangkalahatan, imposibleng hatiin ang parehong bahagi ng paghahambing sa isang numero na hindi katugma sa modulus, dahil pagkatapos ng paghahati, maaaring makuha ang mga numero na hindi maihahambing sa modulus na ito.

Halimbawa.

8 (mod 4) ngunit 2 (mod 4).

1. Ang parehong bahagi ng paghahambing at ang modulus ay maaaring hatiin ng kanilang karaniwang divisor.

Patunay.

Kung ka kb (mod km), pagkatapos ay ang k (a-b) ay nahahati sa km. Samakatuwid, ang a-b ay nahahati sa m, ibig sabihin a b (mod t ).

Patunay.

Hayaan ang P (x) = c 0 x n + c 1 x n-1 + ... + c n-1 x+ c n . Sa pamamagitan ng kondisyon a b (mod t), pagkatapos

a k b k (mod m) para sa k = 0, 1, 2, …,n. Pag-multiply ng magkabilang bahagi ng bawat resultang n + 1 na paghahambing sa c n-k , nakukuha namin:

c n-k a k c n-k b k (mod m), kung saan k = 0, 1, 2, …,n.

Pagdaragdag ng mga huling paghahambing, makukuha natin ang: P (a) P(b) (mod m). Kung a (mod m) at c i d i (mod m), 0 ≤ i ≤ n, kung gayon

(mod m). Kaya, sa congruence modulo m, ang mga indibidwal na termino at salik ay maaaring palitan ng mga numerong congruent modulo m.

Kasabay nito, dapat bigyang pansin ang katotohanan na ang mga exponent na nakatagpo sa mga paghahambing ay hindi maaaring palitan sa ganitong paraan: mula sa

a n c(mod m) at n k(mod m) ay hindi nagpapahiwatig na a k na may (mod m).

Ang Property 11 ay may ilang mahahalagang aplikasyon. Sa partikular, maaari itong magamit upang magbigay ng teoretikal na pagpapatunay ng mga palatandaan ng divisibility. Para sa paglalarawan, bilang halimbawa, ibibigay namin ang derivation ng pagsubok para sa divisibility ng 3.

Halimbawa.

Anumang natural na numero N ay maaaring katawanin bilang isang sistematikong numero: N = a 0 10 n + a 1 10 n-1 + ... + a n-1 10 + a n .

Isaalang-alang ang polynomial f (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x+a n . kasi

10 1 (mod 3), pagkatapos ay sa pamamagitan ng property 10 f (10) f(1) (mod 3) o

N = a 0 10 n + a 1 10 n-1 + ... + a n-1 10 + a n a 1 + a 2 +…+ a n-1 + a n (mod 3), ibig sabihin, para ang N ay mahahati ng 3, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito ay mahahati ng 3.

§3. Mga sistema ng pagbabawas

1. Kumpletuhin ang sistema ng pagsingil.

Ang mga katumbas na numero, o, ano ang pareho, maihahambing na modulo m, ay bumubuo ng isang klase ng mga numero modulo m.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ito na ang parehong natitirang r ay tumutugma sa lahat ng mga numero ng klase, at makukuha natin ang lahat ng mga numero ng klase kung pipilitin natin ang q na tumakbo sa lahat ng mga integer sa anyong mq + r.

Alinsunod dito, sa m iba't ibang mga halaga ng r, mayroon kaming m klase ng mga numero modulo m.

Anumang bilang ng isang klase ay tinatawag na residue modulo m na may paggalang sa lahat ng mga numero ng parehong klase. Ang nalalabi na nakuha sa q=0, katumbas ng natitirang r, ay tinatawag na pinakamaliit na di-negatibong nalalabi.

Ang nalalabi ρ, ang pinakamaliit sa ganap na halaga, ay tinatawag na ganap na pinakamaliit na nalalabi.

Malinaw, para sa r mayroon tayong ρ=r; kapag r> mayroon kaming ρ=r-m; sa wakas, kung ang m ay pantay at r=, kung gayon para sa ρ ay maaaring kunin ng isa ang alinman sa dalawang numero at -m= - .

Pinipili namin mula sa bawat klase ng residues modulo T sa pamamagitan ng isang numero. Kunin m integer: x 1 ,…, x m . Ang set (x 1, ..., x t) ay tinatawag kumpletong sistema ng residues modulo m.

Dahil ang bawat klase ay naglalaman ng hindi mabilang na hanay ng mga nalalabi, posibleng bumuo ng hindi mabilang na hanay ng iba't ibang kumpletong sistema ng mga residue modulo m, ang bawat isa ay naglalaman ng t mga bawas.

Halimbawa.

Bumuo ng ilang kumpletong sistema ng mga residue modulo T = 5. Mayroon kaming mga klase: 0, 1, 2, 3, 4.

0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…}

1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…}

Gumawa tayo ng ilang kumpletong sistema ng mga pagbabawas, na kumukuha ng isang bawas mula sa bawat klase:

0, 1, 2, 3, 4

5, 6, 2, 8, 9

10, -9, -8, -7, -6

5, -4, -3, -2, -1

atbp.

Pinakagamit:

1. Kumpletong sistema ng hindi bababa sa mga hindi negatibong nalalabi: 0, 1, t -1 Sa halimbawa sa itaas: 0, 1, 2, 3, 4. Ang ganitong sistema ng mga nalalabi ay simple: kailangan mong isulat ang lahat ng di-negatibong nalalabi na nagreresulta mula sa paghahati ng m.
2. Kumpletong sistema ng hindi bababa sa positibong residues(Ang pinakamaliit na positibong bawas ay kinukuha mula sa bawat klase):

1, 2, …,m. Sa aming halimbawa: 1, 2, 3, 4, 5.

1. Isang kumpletong sistema ng ganap na hindi bababa sa mga nalalabi.Sa kaso ng kakaibang m, ang ganap na pinakamaliit na nalalabi ay lilitaw nang magkatabi.

- ,…, -1, 0, 1,…, ,

at sa kaso ng pantay na m, isa sa dalawang hanay

1, …, -1, 0, 1,…, ,

, …, -1, 0, 1, …, .

Sa halimbawang ibinigay: -2, -1, 0, 1, 2.

Isaalang-alang natin ngayon ang mga pangunahing katangian ng kumpletong sistema ng mga nalalabi.

Teorama 1 . Anumang set ng m integer:

x l ,x 2 ,…,х m (1)

magkapares na hindi maihahambing na modulo m, ay bumubuo ng isang kumpletong sistema ng mga residue modulo m.

Patunay.

1. Ang bawat isa sa mga numero sa set (1) ay kabilang sa ilang klase.
2. Anumang dalawang numero x i at x j mula sa (1) ay hindi maihahambing sa isa't isa, ibig sabihin, kabilang sila sa iba't ibang klase.
3. Sa kabuuan, may mga m na numero sa (1), ibig sabihin, kasing dami ng mga klase na modulo T.

x 1, x 2,…, x t ay isang kumpletong sistema ng residues modulo m.

Teorama 2. Hayaan (a, m) = 1, b - arbitrary integer; saka kung x 1, x 2,…, x t -kumpletong sistema ng residues modulo m, pagkatapos ay ang hanay ng mga numero palakol 1 + b, ax 2 + b,…, ax m Ang + b ay isa ring kumpletong sistema ng residues modulo m.

Patunay.

Isipin mo

Ax 1 + b, ax 2 + b, ..., ax m + b (2)

1. Ang bawat isa sa mga numero sa set (2) ay kabilang sa ilang klase.
2. Anumang dalawang numero ax i +b at ax j + b mula sa (2) ay hindi maihahambing sa isa't isa, iyon ay, kabilang sila sa iba't ibang klase.

Sa katunayan, kung mayroong dalawang numero sa (2) ganoon

palakol i + b palakol j + b (mod m), (i = j), pagkatapos ay makukuha natin palakol at palakol j (mod m). Mula noong (a, t) = 1, kung gayon ang pag-aari ng mga paghahambing ay maaaring mabawasan ang parehong bahagi ng paghahambing sa pamamagitan ng A . Nakukuha namin ang x i x j (mod m).

Ayon sa kundisyon, x i x j (mod m) para sa (i = j) , dahil x 1 ,x 2 , ..., x m - buong sistema ng mga pagbabawas.

1. Ang hanay ng mga numero (2) ay naglalaman ng T mga numero, iyon ay, kasing dami ng mga klase modulo m.

Kaya, palakol 1 + b, palakol 2 + b, ..., palakol m + b ay ang kumpletong sistema ng residues modulo m.

Halimbawa.

Hayaan ang m = 10, a = 3, b = 4.

Kunin natin ang ilang kumpletong sistema ng residues modulo 10, halimbawa: 0, 1, 2, ..., 9. Bumuo tayo ng mga numero ng form palakol + b. Nakukuha namin ang: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31. Ang resultang hanay ng mga numero ay isang kumpletong sistema ng mga residue modulo 10.

1. Ang ibinigay na sistema ng mga pagbabawas.

Patunayan natin ang sumusunod na teorama.

Teorama 1.

Ang mga numero ng parehong residue class modulo m ay may parehong pinakamalaking karaniwang divisor na may m: kung a b (mod m), pagkatapos (a, m) = (b, m).

Patunay.

Hayaan ang isang b (mod m). Pagkatapos a = b + mt, saan t z. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na (a, m) = (b, m).

Sa katunayan, hayaan ang δ-karaniwang divisor ng a at m, pagkatapos ay aδ, m . Dahil a = b + mt, pagkatapos b=a-mt, kaya bδ. Samakatuwid, ang anumang karaniwang divisor ng a at m ay isang karaniwang divisor ng m at b.

Sa kabaligtaran, kung m δ at b δ, kung gayon a = b + mt ay nahahati ng δ, at samakatuwid ang anumang karaniwang divisor ng m at b ay isang karaniwang divisor ng a at m. Ang teorama ay napatunayan.

Kahulugan 1. Pinakamahusay na Common Divisor ng isang Modulus t at anumang numero a mula sa klase ng mga pagbabawas para sa T tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor T at ang klase ng residues na ito.

Depinisyon 2. Natitirang klase a modulo m ay tinatawag na coprime na may modulo m kung ang pinakamalaking karaniwang divisor a at t katumbas ng 1 (iyon ay, kung m at anumang numero mula sa a ay coprime).

Halimbawa.

Hayaan ang t = 6. Ang natitirang klase 2 ay binubuo ng mga numero (..., -10, -4, 2, 8, 14, ...). Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng alinman sa mga numerong ito at modyul 6 ay 2. Kaya, (2, 6) = 2. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng anumang numero mula sa klase 5 at modyul 6 ay 1. Kaya, ang klase 5 ay relatibong prime sa module 6.

Pumili tayo sa bawat klase ng mga residue na may modulo m isang numero. Kumuha kami ng isang sistema ng mga pagbabawas, na bahagi ng kumpletong sistema ng mga pagbabawas. tawag nila sa kanyapinababang sistema ng residues modulo m.

Kahulugan 3. Ang hanay ng mga residue modulo m, na kinuha nang paisa-isa mula sa bawat coprime na may T class of residues modulo ang module na ito ay tinatawag na reduced residue system.

Ang Depinisyon 3 ay nagpapahiwatig ng isang paraan para sa pagkuha ng pinababang sistema ng residues modulo T: kinakailangang isulat ang ilang kumpletong sistema ng mga nalalabi at alisin mula dito ang lahat ng mga nalalabi na hindi kasama sa m. Ang natitirang hanay ng mga pagbabawas ay ang pinababang sistema ng mga pagbabawas. Malinaw na mayroong isang walang katapusang bilang ng mga pinababang sistema ng mga residue modulo m.

Kung kukunin natin ang kumpletong sistema ng hindi bababa sa di-negatibo o ganap na hindi bababa sa mga nalalabi bilang paunang isa, kung gayon sa ipinahiwatig na paraan ay makukuha natin ang ayon sa pagkakabanggit na pinababang sistema ng hindi bababa sa hindi negatibo o ganap na hindi bababa sa mga nalalabi modulo m.

Halimbawa.

Kung si T = 8, pagkatapos ay 1, 3, 5, 7 - pinababang sistema ng hindi bababa sa mga hindi negatibong nalalabi, 1, 3, -3, -1- pinababang sistema ng ganap na hindi bababa sa mga nalalabi.

Teorama 2.

Hayaan ang bilang ng mga klase na relatibong prime sa m ay katumbas ng k.Pagkatapos ng anumang koleksyon ng mga k integer

pairwise na hindi maihahambing na modulo m at medyo prime sa m, ay isang pinababang sistema ng residues modulo m.

Patunay

A) Ang bawat numero sa set (1) ay kabilang sa ilang klase.

1. Ang lahat ng mga numero mula sa (1) ay pairwise incomparable modulo T, ibig sabihin, kabilang sila sa iba't ibang klase ng modulo m.
2. Ang bawat numero mula sa (1) ay may kasamang T, ibig sabihin, lahat ng mga numerong ito ay nabibilang sa iba't ibang klase na kasama ng modulo m.
3. Sa kabuuan, (1) ay may k mga numero, iyon ay, kasing dami ng nabawasang sistema ng mga residue modulo m dapat maglaman.

Samakatuwid, ang hanay ng mga numero(1) - pinababang sistema ng residues modulo T.

§4. Pag-andar ng Euler.

Euler's at Fermat's theorems.

1. Pag-andar ng Euler.

Ipahiwatig ng φ(T) ang bilang ng mga klase ng residues modulo m coprime na may m, iyon ay, ang bilang ng mga elemento ng pinababang sistema ng residues modulo t. Function φ (t) ay numeric. tawag nila sa kanyaPag-andar ng Euler.

Pinipili namin bilang mga kinatawan ng modulo ng mga natitirang klase t mga numero 1, ... , t - 1, t. Pagkatapos φ (t) ay ang bilang ng mga naturang numero na kasama sa t. Sa madaling salita, φ (t) - ang bilang ng mga positibong numero na hindi hihigit sa m at medyo prime sa m.

Mga halimbawa.

1. Hayaan ang t = 9. Ang kumpletong sistema ng residues modulo 9 ay binubuo ng mga numero 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sa mga ito, ang mga numerong 1,2,4, 5, 7, 8 ay coprime mula sa 9. Kaya dahil ang bilang ng mga numerong ito ay 6, kung gayon φ (9) = 6.
2. Hayaan ang t = 12. Ang kumpletong sistema ng residues ay binubuo ng mga numero 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Sa mga ito, ang mga numero 1, 5, 7, 11 ay coprime mula sa 12. Samakatuwid,

φ(12) = 4.

Sa t = 1, ang kumpletong sistema ng mga nalalabi ay binubuo ng isang klase 1. Ang karaniwang natural na divisor ng mga numero 1 at 1 ay 1, (1, 1) = 1. Sa batayan na ito, inilalagay namin ang φ(1) = 1.

Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng Euler function.

1) Kung m = p ay isang prime number, pagkatapos ay φ(p) = p- 1.

Patunay.

Mga nalalabi 1, 2, ... , p- 1 at sila lang ang coprime na may prime number R. Samakatuwid φ (p) = p - 1.

2) Kung m = p k - kapangyarihan ng isang prime number p, pagkatapos

φ(t) = (p - 1) . (1)

Patunay.

Kumpletong sistema ng residues modulo t = p k binubuo ng mga numero 1,..., p k - 1, p k natural na divisors T ay mga degree R. Samakatuwid ang numero Amaaaring magkaroon ng karaniwang divisor na may m maliban sa 1, kailan langAhinati ngR.Ngunit kabilang sa mga numero 1, ... , pk -1 saRpaghahati lamang ng mga numerop, 2p, ... , p2 , ... RUpang, ang bilang nito ayRUpang: p = pk-1. Samakatuwid, sumama sat = pUpangmagpahingaRUpang- Rk-1=pkl(p-1)numero. Kaya, ito ay pinatunayan na

φ (RUpang) = pk-1(r-1).

Teorama1.

Ang Euler function ay multiplicative, iyon ay, para sa mga coprime na numero m at n mayroon kaming φ (mn) = φ(m) φ (n).

Patunay.

Ang unang kinakailangan sa kahulugan ng isang multiplicative function ay natutupad sa isang maliit na paraan: ang Euler function ay tinukoy para sa lahat ng natural na mga numero, at φ (1) = 1. Kailangan lang nating ipakita iyon kungurimedyo prime number, kung gayon

φ (tp)= φ (T) φ (P).(2)

Ayusin ang kumpletong sistema ng residues modulotpbilangPXT -matrice

1 2 T

t+1 t+2 2t

………………………………

(P -1) t+1 (P -1) m +2 Biyernes

Dahil angTAtPcoprime, pagkatapos ay ang numeroXkapwa simple satpkung at kung lamangXkapwa simple saTAtXkapwa simple saP. Ngunit ang bilangkm + tkapwa simple saTkung at kung lamangtkapwa simple saT.Samakatuwid, ang mga numerong medyo prime sa m ay matatagpuan sa mga column kung saanttumatakbo sa pamamagitan ng pinababang sistema ng residues moduloT.Ang bilang ng mga naturang column ay φ(T).Ang bawat column ay nagpapakita ng kumpletong sistema ng residues moduloP.Mula sa mga nalalabi na ito φ(P)sumama saP.Samakatuwid, ang kabuuang bilang ng mga numero ay sumasama at mayTat may n, ay katumbas ng φ(T)φ(n)

(φ (T)mga hanay, na ang bawat isa ay tumatagal ng φ(P)numero). Ang mga numerong ito, at ang mga ito lamang, ang kasamaatbp.Kaya, ito ay pinatunayan na

φ (tp)= φ (T) φ (P).

Mga halimbawa.

№1 . Patunayan ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay

φ(4n) =

Patunay.

№2 . lutasin ang equation

Solusyon:kasi(m)=, Iyon= , yan ay=600, =75, =3, pagkatapos x-1=1, x=2,

y-1=2, y=3

Sagot: x=2, y=3

Maaari naming kalkulahin ang halaga ng Euler function(m), alam ang canonical na representasyon ng numerong m:

m=.

Dahil sa multiplier(m) mayroon kaming:

(m)=.

Pero ayon sa formula (1) nakukuha natin yan

-1), at samakatuwid

(3)

Ang pagkakapantay-pantay (3) ay maaaring muling isulat bilang:

Dahil ang=m, pagkatapos(4)

Formula (3) o, na pareho, (4) ay ang ninanais.

Mga halimbawa.

№1 . Ano ang halaga

Solusyon:,

, =18 (1- ) (1- =18 , Pagkatapos= 1+1+2+2+6+6=18.

№2 . Batay sa mga katangian ng Euler number function, patunayan na mayroong isang walang katapusang hanay ng mga prime sa pagkakasunud-sunod ng mga natural na numero.

Solusyon:Pag-flatte ng bilang ng mga prime sa pamamagitan ng isang may hangganang set, ipagpalagay naay ang pinakamalaking prime number at hayaan ang a=ay ang produkto ng lahat ng prime number, batay sa isa sa mga katangian ng Euler number function

Dahil a≥, kung gayon ang a ay isang pinagsama-samang numero, ngunit dahil ang canonical na representasyon nito ay naglalaman ng lahat ng prime number, kung gayon=1. Meron kami:

=1 ,

na imposible, at sa gayon ay napatunayan na ang hanay ng mga prime number ay walang katapusan.

№3 .Lutasin ang equation, kung saan x=At=2.

Solusyon:Ginagamit namin ang pag-aari ng Euler numerical function,

,

at ayon sa kondisyon=2.

Ipahayag mula sa=2 , nakukuha namin, palitan natin

:

(1+ -1=120, =11 =>

Pagkatapos x=, x=11 13=143.

Sagot:x= 143

2. Euler's theorem at Fermat.

Sa teorya ng paghahambing, ang teorama ni Euler ay may mahalagang papel.

Ang teorama ni Euler.

Kung ang isang integer a ay relatibong prime sa m, kung gayon

(1)

Patunay.Hayaan

(2)

ay isang pinababang sistema ng residues modulo m.

Kungaay isang integer na relatibong prime sa m, kung gayon

(3)

Sa n ibinibigay nila ang parehong natitira.

Mga katumbas na pormulasyon: a at b maihahambing na modulo n kung ang kanilang pagkakaiba a - b ay nahahati sa n , o kung ang isang ay maaaring kinakatawan bilang a = b + kn , Saan k ay ilang integer. Halimbawa: 32 at −10 ay magkaparehong modulo 7 dahil

Ang pahayag na "a at b ay magkaparehong modulo n" ay nakasulat bilang:

Mga Katangian ng Pagkakapantay-pantay ng Modulo

Ang modulo comparison relation ay may mga katangian

Anumang dalawang integer a At b ay maihahambing na modulo 1.

Upang ang mga numero a At b ay maihahambing na modulo n, ito ay kinakailangan at sapat na ang kanilang pagkakaiba ay mahahati ng n.

Kung ang mga numero at ay pairwise maihahambing na modulo n, pagkatapos ang kanilang mga kabuuan at , pati na rin ang mga produkto at maihahambing din ang modulo n.

Kung mga numero a At b maihahambing na modulo n, pagkatapos ang kanilang mga degree a k At b k ay maihahambing din ang modulo n para sa anumang natural k.

Kung mga numero a At b maihahambing na modulo n, At n hinati ng m, Iyon a At b maihahambing na modulo m.

Upang ang mga numero a At b ay maihahambing na modulo n, na kinakatawan bilang canonical decomposition nito sa mga pangunahing salik p i

kailangan at sapat upang

Ang ugnayan ng paghahambing ay isang ugnayang katumbas at may maraming katangian ng mga ordinaryong pagkakapantay-pantay. Halimbawa, maaari silang idagdag at i-multiply: kung

Ang mga paghahambing, gayunpaman, ay hindi maaaring, sa pangkalahatan, ay nahahati sa isa't isa o sa iba pang mga numero. Halimbawa: , gayunpaman, binabawasan ng 2, nakakakuha tayo ng maling paghahambing: . Ang mga panuntunan sa pagbabawas para sa mga paghahambing ay ang mga sumusunod.

Hindi ka rin makakapagsagawa ng mga operasyon sa mga paghahambing kung ang kanilang mga module ay hindi tumutugma.

Iba pang mga katangian:

Mga kaugnay na kahulugan

Mga klase sa pagbabawas

Ang hanay ng lahat ng mga numero na maihahambing sa a modulo n tinawag klase ng pagbabawas a modulo n , at karaniwang tinutukoy ng [ a] n o . Kaya, ang paghahambing ay katumbas ng pagkakapantay-pantay ng mga natitirang klase [a] n = [b] n .

Dahil modulo comparison n ay isang katumbas na ugnayan sa hanay ng mga integer, pagkatapos ay ang nalalabi na mga klase modulo n ay mga equivalence classes; ang kanilang numero ay n. Ang set ng lahat ng residue classes modulo n tinutukoy ng o .

Ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami sa magbuod ng kaukulang mga operasyon sa set:

[a] n + [b] n = [a + b] n

Kaugnay ng mga operasyong ito, ang set ay isang may hangganang singsing, at kung n simple - final field .

Mga sistema ng pagbabawas

Binibigyang-daan ka ng residue system na magsagawa ng mga operasyon ng aritmetika sa isang may hangganan na hanay ng mga numero nang hindi lalampas dito. Kumpletong sistema ng mga pagbabawas Ang modulo n ay anumang set ng n integer na walang kapantay na modulo n. Karaniwan, bilang isang kumpletong sistema ng mga residue modulo n, ang isa ay kumukuha ng pinakamaliit na di-negatibong residues

0,1,...,n − 1

o ganap na pinakamaliit na residues na binubuo ng mga numero

,

sa kaso ng kakaiba n at mga numero

sa kaso ng kahit na n .

Paghahambing ng desisyon

Mga paghahambing ng unang antas

Sa teorya ng numero, kriptograpiya, at iba pang larangan ng agham, ang problema ay madalas na lumitaw sa paghahanap ng mga solusyon para sa paghahambing ng unang antas ng anyo:

Ang solusyon ng naturang paghahambing ay nagsisimula sa pagkalkula ng gcd (a, m)=d. Sa kasong ito, posible ang 2 kaso:

• Kung b hindi maramihan d, kung gayon ang paghahambing ay walang mga solusyon.
• Kung b maramihan d, pagkatapos ang paghahambing ay may natatanging solusyon modulo m / d, o, na pareho, d mga solusyon sa modulo m. Sa kasong ito, bilang resulta ng pagbabawas ng orihinal na paghahambing sa pamamagitan ng d resulta ng paghahambing:

saan a 1 = a / d , b 1 = b / d At m 1 = m / d ay mga integer, at a 1 at m 1 ay coprime. Samakatuwid ang numero a 1 ay maaaring baligtad na modulo m 1 , ibig sabihin, hanapin ang gayong numero c na (sa madaling salita, ). Ngayon ang solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami ng nagresultang paghahambing sa c:

Praktikal na pagkalkula ng halaga c maaaring gawin sa iba't ibang paraan: gamit ang Euler's theorem, Euclid's algorithm, ang teorya ng patuloy na mga fraction (tingnan ang algorithm), atbp. Sa partikular, ang Euler's theorem ay nagpapahintulot sa iyo na isulat ang halaga c bilang:

Halimbawa

Para sa paghahambing, mayroon kami d= 2 , kaya modulo 22 ang paghahambing ay may dalawang solusyon. Palitan natin ang 26 ng 4, na maihahambing na modulo 22, at pagkatapos ay kanselahin ang lahat ng 3 numero ng 2:

Dahil ang 2 ay relatibong prime sa modulo 11, maaari nating bawasan ang kaliwa at kanang bahagi ng 2. Bilang resulta, makakakuha tayo ng isang solusyon modulo 11: , na katumbas ng dalawang solusyon modulo 22: .

Mga paghahambing ng ikalawang antas

Ang paglutas ng mga paghahambing ng ikalawang antas ay binabawasan upang malaman kung ang isang naibigay na numero ay isang parisukat na nalalabi (gamit ang parisukat na batas ng reciprocity) at pagkatapos ay kalkulahin ang square root modulo na ito.

Kwento

Ang Chinese remainder theorem, na kilala sa maraming siglo, ay nagsasaad (sa modernong matematikal na wika) na ang residue ring modulo ay produkto ng ilang coprime number ay

Isaalang-alang ang paghahambing ng form x 2 ≡a(mod pα), saan p ay isang simpleng kakaibang numero. Gaya ng ipinapakita sa Seksyon 4 §4, ang solusyon sa congruence na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng congruence x 2 ≡a(mod p). At ang paghahambing x 2 ≡a(mod pα) ay magkakaroon ng dalawang solusyon kung a ay isang quadratic residue modulo p.

Halimbawa:

Lutasin ang Quadratic Comparison x 2 ≡86(mod 125).

125 = 5 3 , 5 ay isang prime number. Tingnan natin kung ang 86 ay isang parisukat na modulo 5.

Ang orihinal na paghahambing ay may 2 solusyon.

Maghanap tayo ng solusyon sa paghahambing x 2 ≡86(mod 5).

x 2 ≡1(mod 5).

Ang paghahambing na ito ay maaaring malutas sa paraang ipinahiwatig sa nakaraang talata, ngunit gagamitin namin ang katotohanan na ang square root ng 1 modulo ay ±1, at ang paghahambing ay may eksaktong dalawang solusyon. Kaya, ang solusyon sa congruence modulo 5 ay

x≡±1(mod 5) o, kung hindi man, x=±(1+5 t 1).

Palitan ang resultang solusyon sa paghahambing na modulo 5 2 =25:

x 2 ≡86(mod 25)

x 2 ≡11(mod 25)

(1+5t 1) 2 ≡11(mod 25)

1+10t 1 +25t 1 2 ≡11(mod 25)

10t 1 ≡10(mod 25)

2t 1 ≡2(mod 5)

t 1 ≡1(mod 5), o katumbas nito, t 1 =1+5t 2 .

Kung gayon ang solusyon sa congruence modulo 25 ay x=±(1+5(1+5 t 2))=±(6+25 t 2). Palitan ang resultang solusyon sa paghahambing na modulo 5 3 =125:

x 2 ≡86(mod 125)

(6+25t 2) 2 ≡86(mod 125)

36+12 25 t 2 +625t 2 2 ≡86(mod 125)

12 25 t 2 ≡50(mod 125)

12t 2 ≡2(mod 5)

2t 2 ≡2(mod 5)

t 2 ≡1(mod 5), o t 2 =1+5t 3 .

Kung gayon ang solusyon sa paghahambing na modulo 125 ay x=±(6+25(1+5 t 3))=±(31+125 t 3).

Sagot: x≡±31(mod 125).

Isaalang-alang ngayon ang isang paghahambing ng form x 2 ≡a(mod2α). Ang ganitong paghahambing ay hindi palaging may dalawang solusyon. Para sa naturang module, posible ang mga sumusunod na kaso:

1) α=1. Pagkatapos ang paghahambing ay may solusyon lamang kapag a≡1(mod 2), at ang solusyon ay x≡1(mod 2) (isang solusyon).

2) α=2. Ang paghahambing ay may mga solusyon lamang kapag a≡1(mod 4), at ang solusyon ay x≡±1(mod 4) (dalawang solusyon).

3) α≥3. Ang paghahambing ay may mga solusyon lamang kapag a≡1(mod 8), at magkakaroon ng apat na ganoong solusyon. Paghahambing x 2 ≡a(mod 2 α) para sa α≥3 ay nalulutas sa parehong paraan tulad ng mga paghahambing ng form x 2 ≡a(mod pα), tanging ang mga solusyon modulo 8 ang kumikilos bilang paunang solusyon: x≡±1(mod 8) at x≡±3(mod 8). Dapat silang ihambing ang modulo 16, pagkatapos ay modulo 32, at iba pa hanggang modulo 2 α .

Halimbawa:

Lutasin ang Paghahambing x 2 ≡33(mod 64)

64=26. Suriin natin kung ang orihinal na paghahambing ay may solusyon. 33≡1(mod 8), kaya ang paghahambing ay may 4 na solusyon.

Modulo 8 ang mga solusyong ito ay: x≡±1(mod 8) at x≡±3(mod 8), na maaaring ilarawan bilang x=±(1+4 t 1). Palitan ang expression na ito sa paghahambing ng modulo 16

x 2 ≡33(mod 16)

(1+4t 1) 2 ≡1(mod 16)

1+8t 1 +16t 1 2 ≡1(mod 16)

8t 1 ≡0 (mod 16)

t 1 ≡0 (mod 2)

Pagkatapos ang solusyon ay kukuha ng form x=±(1+4 t 1)=±(1+4(0+2 t 2))=±(1+8 t 2). Palitan ang resultang solusyon sa congruence modulo 32:

x 2 ≡33(mod 32)

(1+8t 2) 2 ≡1(mod 32)

1+16t 2 +64t 2 2 ≡1(mod 32)

16t 2 ≡0 (mod 32)

t 2 ≡0 (mod 2)

Pagkatapos ang solusyon ay kukuha ng form x=±(1+8 t 2) =±(1+8(0+2t 3)) =±(1+16 t 3). Palitan ang resultang solusyon sa paghahambing na modulo 64:

x 2 ≡33(mod 64)

(1+16t 3) 2 ≡33(mod 64)

1+32t 3 +256t 3 2 ≡33(mod 64)

32t 3 ≡32 (mod 64)

t 3 ≡1 (mod 2)

Pagkatapos ang solusyon ay kukuha ng form x=±(1+16 t 3) =±(1+16(1+2t 4)) =±(17+32 t 4). Kaya, modulo 64, ang orihinal na paghahambing ay may apat na solusyon: x≡±17(mod 64)at x≡±49(mod 64).

Ngayon isaalang-alang ang isang pangkalahatang paghahambing: x 2 ≡a(mod m), (a,m)=1, - canonical decomposition ng module m. Ayon sa Theorem mula sa aytem 4 ng §4, ang paghahambing na ito ay katumbas ng sistema

Kung ang bawat paghahambing ng sistemang ito ay mapagpasyahan, kung gayon ang buong sistema ay mapagpasyahan. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang solusyon ng bawat paghahambing ng sistemang ito, nakakakuha kami ng isang sistema ng mga paghahambing ng unang antas, paglutas kung saan, gamit ang natitirang teorama ng Tsino, nakuha namin ang solusyon ng orihinal na paghahambing. Bukod dito, ang bilang ng iba't ibang solusyon ng orihinal na paghahambing (kung ito ay malulutas) ay 2 k, kung α=1, 2 k+1 kung α=2, 2 k+2 kung α≥3.

Halimbawa:

Lutasin ang Paghahambing x 2 ≡4(mod 21).

Paghahambing sa isang hindi alam x may porma

saan . Kung a n hindi mahahati ng m, pagkatapos ito ay tinatawag na degree paghahambing.

Desisyon Ang paghahambing ay anumang integer x 0 , para sa

Kung X 0 natutugunan ang paghahambing, kung gayon, ayon sa ari-arian 9 ng mga paghahambing, ang paghahambing na ito ay masisiyahan ang lahat ng mga integer na maihahambing sa x 0 modulo m. Samakatuwid, ang lahat ng mga solusyon sa paghahambing na kabilang sa parehong klase ng modulo residues T, isasaalang-alang namin bilang isang solusyon. Kaya, ang isang paghahambing ay may maraming mga solusyon tulad ng mayroong mga elemento ng kumpletong sistema ng mga nalalabi na nagbibigay-kasiyahan dito.

Ang mga paghahambing na ang mga hanay ng solusyon ay pareho ay tinatawag katumbas.

2.2.1 Paghahambing ng unang antas

Paghahambing ng unang antas sa isang hindi alam X may porma

(2.2)

Teorama 2.4. Para sa isang paghahambing na magkaroon ng hindi bababa sa isang solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na ang bilang b hinati ng GCD( a, m).

Patunay. Patunayan muna natin ang pangangailangan. Hayaan d = GCD( a, m) At X 0 - solusyon sa paghahambing. Pagkatapos , iyon ay, ang pagkakaiba Oh 0 − b hinati ng T. Kaya mayroong isang integer q, Ano Oh 0 − b = qm. Mula rito b= ah 0 − qm. At dahil d, bilang isang karaniwang divisor, hinahati ang mga numero A At T, pagkatapos ay ang minuend at ang subtrahend ay hinati ng d, at samakatuwid b hinati ng d.

Ngayon patunayan natin ang kasapatan. Hayaan d- pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero A At T, At b hinati ng d. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng divisibility, mayroong mga integer a 1 , b 1 ,T 1 , Ano .

Gamit ang pinahabang Euclid algorithm, nakahanap kami ng linear na representasyon ng numero 1 = gcd( a 1 , m 1 ):

para sa ilang x 0 , y 0 . Pinaparami namin ang parehong bahagi ng huling pagkakapantay-pantay sa b 1 d:

o, na pareho,

,

iyon ay, , at ang solusyon ng paghahambing. □

Halimbawa 2.10. Paghahambing 9 X= 6 (mod 12) ay may solusyon dahil ang gcd(9, 12) = 3 at 6 ay nahahati ng 3. □

Halimbawa 2.11. Paghahambing 6x= 9 (mod 12) ay walang mga solusyon dahil ang gcd(6, 12) = 6 at 9 ay hindi nahahati sa 6. □

Teorama 2.5. Hayaang mapagpasyahan ang congruence (2.2) at d = GCD( a, m). Pagkatapos ang hanay ng mga solusyon ng paghahambing (2.2) ay binubuo ng d modulo residue classes T, ibig sabihin, kung X 0 ay isa sa mga solusyon, pagkatapos ang lahat ng iba pang mga solusyon ay

Patunay. Hayaan X 0 ay ang solusyon ng paghahambing (2.2), i.e. At , . Kaya may ganyan q, Ano Oh 0 − b = qm. Ang pagpapalit ngayon sa huling pagkakapantay-pantay sa halip na X 0 isang di-makatwirang solusyon ng anyo, kung saan, nakukuha natin ang expression

, mahahati ng m. □

Halimbawa 2.12. Paghahambing 9 X=6 (mod 12) ay may eksaktong tatlong solusyon mula noong gcd(9, 12)=3. Ang mga solusyong ito ay: X 0 \u003d 2, x 0 + 4 \u003d 6, X 0 + 2∙4=10.□

Halimbawa 2.13. Paghahambing 11 X=2 (mod 15) ay may natatanging solusyon X 0 = 7 dahil gcd(11,15)=1.□

Ipakita natin kung paano lutasin ang first-degree na paghahambing. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, ipapalagay natin na ang GCD( a, t) = 1. Pagkatapos ay maaaring hanapin ang solusyon ng congruence (2.2), halimbawa, gamit ang Euclidean algorithm. Sa katunayan, gamit ang pinahabang Euclidean algorithm, kinakatawan namin ang numero 1 bilang isang linear na kumbinasyon ng mga numero a At T:

I-multiply ang magkabilang panig ng equation na ito sa b, makuha namin: b = abq + si mrb, saan abq - b = - si mrb, yan ay a ∙ (bq) = b(mod m) At bq ay ang solusyon ng paghahambing (2.2).

Ang isa pang paraan upang malutas ay ang paggamit ng teorama ni Euler. Muli, ipinapalagay namin na ang GCD(a, T)= 1. Inilapat namin ang Euler theorem: . I-multiply ang magkabilang panig ng paghahambing sa b: . Muling pagsusulat ng huling expression bilang , nakuha namin na ang solusyon ng congruence (2.2).

Hayaan na ang GCD( a, m) = d>1. Pagkatapos a = atd, m = mtd, saan gcd( A 1 , m 1) = 1. Bilang karagdagan, ito ay kinakailangan b = b 1 d, para malutas ang paghahambing. Kung X 0 - solusyon sa paghahambing A 1 x = b 1 (mod m 1), at ang isa lamang, dahil GCD( A 1 , m 1) = 1, pagkatapos X 0 ang magiging desisyon at paghahambing A 1 xd = db 1 (mod m 1), ibig sabihin, ang orihinal na paghahambing (2.2). Pahinga d- 1 solusyon ang natagpuan ng Theorem 2.5.

Paghahambing ng mga numero modulo

Inihanda ang proyekto ni: Irina Zutikova

MAOU "Lyceum №6"

Klase: 10 "a"

Siyentipikong tagapayo: Zheltova Olga Nikolaevna

Tambov

2016

• Problema
• Layunin ng proyekto
• Hypothesis
• Mga layunin ng proyekto at plano upang makamit ang mga ito
• Mga paghahambing at ang kanilang mga ari-arian
• Mga halimbawa ng mga gawain at ang kanilang mga solusyon
• Mga ginamit na site at literatura

Problema:

Karamihan sa mga mag-aaral ay bihirang gumamit ng modulo na paghahambing ng mga numero para sa paglutas ng hindi pamantayan at mga gawain sa Olympiad.

Layunin ng proyekto:

Ipakita kung paano, sa pamamagitan ng paghahambing ng mga numero ng modulo, maaari mong lutasin ang mga hindi karaniwan at mga gawain sa Olympiad.

Hypothesis:

Ang isang mas malalim na pag-aaral ng paksang "Modulo comparison of numbers" ay makakatulong sa mga mag-aaral na malutas ang ilang hindi pamantayan at mga gawain sa Olympiad.

Mga layunin ng proyekto at plano upang makamit ang mga ito:

1. Pag-aralan nang detalyado ang paksang "Paghahambing ng mga numero modulo".

2. Lutasin ang ilang hindi pamantayan at Olympiad na gawain gamit ang modulo na paghahambing ng mga numero.

3.Gumawa ng memo para sa mga mag-aaral sa paksang "Paghahambing ng mga numero modulo".

4. Magsagawa ng isang aralin sa paksang "Modulo paghahambing ng mga numero" sa klase 10 "a".

5. Ibigay ang takdang-aralin sa klase sa paksang "Modulo Comparison".

6. Paghambingin ang oras ng pagtatapos ng gawain bago at pagkatapos pag-aralan ang paksang "Paghahambing ng Modulo".

7. Gumawa ng mga konklusyon.

Bago simulan ang pag-aaral nang detalyado ang paksang "Paghahambing ng mga numero ng modulo", nagpasya akong ihambing kung paano ito ipinakita sa iba't ibang mga aklat-aralin.

• Algebra at simula ng mathematical analysis. Malalim na antas. Baitang 10 (Yu.M. Kolyagin at iba pa)
• Matematika: algebra, function, pagsusuri ng data. Baitang 7 (L.G. Peterson at iba pa)
• Algebra at simula ng mathematical analysis. antas ng profile. Baitang 10 (E.P. Nelin at iba pa)
• Algebra at simula ng mathematical analysis. antas ng profile. Baitang 10 (G.K. Muravin at iba pa)

Tulad ng nalaman ko, sa ilang mga aklat-aralin ang paksang ito ay hindi man lang naaapektuhan, sa kabila ng malalim na antas. At ang pinaka-naiintindihan at naa-access na paksa ay ipinakita sa aklat-aralin ni L.G. Peterson (Kabanata: Panimula sa teorya ng divisibility), kaya't subukan nating maunawaan ang "Paghahambing ng mga numero modulo", batay sa teorya mula sa aklat-aralin na ito.

Mga paghahambing at ang kanilang mga ari-arian.

Kahulugan: Kung ang dalawang integer a at b ay may parehong natitira kapag hinati sa ilang integer m (m>0), kung gayon sinasabi nila naAng a at b ay magkatugmang modulo m, at magsulat:

Teorama: kung at kung ang pagkakaiba sa pagitan ng a at b ay mahahati ng m.

Ari-arian:

1. Reflexivity ng mga paghahambing.Anumang numero a ay maihahambing sa mismong modulo m (m>0; a,m ay mga integer).
2. Simetrya ng mga paghahambing.Kung ang numero a ay kapareho ng bilang b modulo m, kung gayon ang bilang b ay katugma sa bilang na a modulo m (m>0; a,b,m ay mga integer).
3. Transitivity ng mga paghahambing.Kung ang isang numero a ay kapareho ng b modulo m, at ang b ay kapareho sa c modulo m, kung gayon ang a ay kapareho sa c modulo m(m>0; a,b,c,m ay mga integer).
4. Kung ang bilang a ay katugma ng bilang b modulo m, kung gayon ang bilang a n maihahambing sa bilang b n modulo m(m>0; a,b,m ay mga integer; n ay isang natural na numero).

Mga halimbawa ng mga gawain at ang kanilang mga solusyon.

1.Hanapin ang huling digit ng numero 3 999 .

Solusyon:

kasi ang huling digit ng numero ay ang natitira sa dibisyon ng 10, pagkatapos

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(Dahil 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (ayon sa ari-arian))

Sagot:7.

2. Patunayan na 2 4n -1 ay nahahati sa 15 nang walang natitira. (Phystech2012)

Solusyon:

kasi 16 1(mod 15), pagkatapos

16n-1 0(mod 15) (ayon sa ari-arian); 16n= (2 4) n

2 4n -1 0(mod 15)

3. Patunayan na 12 2n+1 +11n+2 mahahati nang walang natitira sa 133.

Solusyon:

12 2n+1 =12*144n 12*11n (mod 133) (ayon sa ari-arian)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Numero (11n *133) ay nahahati sa 133 nang walang natitira. Samakatuwid, (12 2n+1 +11n+2 ) ay nahahati sa 133 nang walang natitira.

4. Hanapin ang natitira sa dibisyon sa pamamagitan ng 15 ng numero 2 2015 .

Solusyon:

Mula noong 16 1(mod 15), pagkatapos

2 2015 8(mod 15)

Sagot: 8.

5. Hanapin ang natitira sa dibisyon sa pamamagitan ng 17 ng numero 2 2015 . (Phystech 2015)

Solusyon:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

Mula noong 16 -1(mod 17), pagkatapos

2 2015-8(mod 15)

8 9(mod 17)

Sagot:9.

6. Patunayan na ang bilang ay 11 100 -1 ay nahahati sa 100 nang walang natitira. (Phystech 2015)

Solusyon:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (ayon sa ari-arian)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (ayon sa ari-arian)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (ayon sa ari-arian)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100)(ayon sa ari-arian)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (ayon sa ari-arian)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (ayon sa ari-arian)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (ayon sa ari-arian)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (ayon sa ari-arian)

Kaya 11 100 1(mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (ayon sa ari-arian)

7. Tatlong numero ang ibinigay: 1771,1935,2222. Hanapin ang numero na kapag hinati kung saan ang natitira sa tatlong ibinigay na mga numero ay magiging pantay. (HSE2016)

Solusyon:

Hayaang ang hindi kilalang numero ay katumbas ng a, kung gayon

2222 1935(mod a); 1935 1771(mod a); 2222 1771(mod a)

2222-1935 0(moda) (property); 1935-17710(moda) (ayon sa ari-arian); 2222-17710(moda) (ayon sa ari-arian)

287 0(mod a); 164 0(mod a); 451 0(mod a)

287-164 0(moda) (ayon sa ari-arian); 451-2870(moda)(ayon sa ari-arian)

123 0(mod a); 164 0(mod a)

164-123 0(mod a) (property)

41

HSE Olympiad 2016