Vektör modüllerinin iç çarpımı nasıl hesaplanır. Vektörlerin nokta çarpımı. Vektör uzunluğu. Koordinatlarda nokta çarpımı

Ders: Vektör koordinatları; vektörlerin iç çarpımı; vektörler arasındaki açı

Vektör koordinatları

Bu nedenle, daha önce de belirtildiği gibi, vektörler, kendi başlangıcı ve sonu olan yönlü bir segmenttir. Başlangıç \u200b\u200bve bitiş bazı noktalarla temsil ediliyorsa, bir düzlemde veya uzayda kendi koordinatlarına sahiptirler.

Her noktanın kendi koordinatları varsa, tüm vektörün koordinatlarını alabiliriz.

Vektörün başlangıcı ve sonu aşağıdaki atamalara ve koordinatlara sahip olan bir vektörümüz olduğunu varsayalım: A (A x; Ay) ve B (B x; By)

Bu vektörün koordinatlarını elde etmek için, başlangıcın karşılık gelen koordinatlarını vektörün sonunun koordinatlarından çıkarmak gerekir:

Uzaydaki bir vektörün koordinatlarını belirlemek için aşağıdaki formülü kullanın:

Vektörlerin nokta çarpımı

Bir iç çarpımı tanımlamanın iki yolu vardır:

• Geometrik yol. Ona göre iç çarpım, bu modüllerin değerlerinin aralarındaki açının kosinüsü ile çarpımına eşittir.

• Cebirsel anlam. Cebir açısından bakıldığında, iki vektörün iç çarpımı, karşılık gelen vektörlerin çarpımlarının toplamının bir sonucu olarak elde edilen belirli bir miktardır.

Vektörler uzayda verilmişse, benzer bir formül kullanılmalıdır:

Özellikleri:

• İki özdeş vektörü skaler olarak çarparsanız, bunların iç çarpımı negatif olmayacaktır:

• İki özdeş vektörün skaler ürününün sıfıra eşit olduğu ortaya çıkarsa, bu vektörler sıfır olarak kabul edilir:

• Bir vektör kendisiyle çarpılırsa, skaler ürün modülünün karesine eşit olacaktır:

• Skaler ürün, iletişimsel bir özelliğe sahiptir, yani skaler ürün, vektörlerin permütasyonundan değişmeyecektir:

• Sıfır olmayan vektörlerin skaler çarpımı, ancak vektörler birbirine dikse sıfır olabilir:

• Vektörlerin skaler çarpımı için, vektörlerden birinin bir sayı ile çarpılması durumunda yer değiştirme yasası geçerlidir:

• Bir iç çarpım ile çarpmanın dağıtma özelliğini de kullanabilirsiniz:

Vektörler arasındaki açı

Düzlem problemi durumunda, a \u003d (a x; a y) ve b \u003d (b x; b y) vektörlerinin skaler çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

a b \u003d a x b x + a y b y

Uzamsal problemler için vektör iç çarpım formülü

Uzamsal problem durumunda, a \u003d (a x; a y; a z) ve b \u003d (b x; b y; b z) vektörlerinin skaler çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

N boyutlu vektörlerin nokta çarpım formülü

N boyutlu uzay durumunda, a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) ve b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) vektörlerinin skaler çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

bir b \u003d bir 1 b 1 + bir 2 b 2 + ... + bir n b n

Vektörlerin nokta çarpım özellikleri

1. Bir vektörün skaler çarpımı her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir:

2. Bir vektörün skaler çarpımı kendi başına sıfıra eşittir, ancak ve ancak vektör sıfır vektörüne eşitse:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. Bir vektörün skaler çarpımı, modülünün karesine eşittir:

4. Skaler çarpma işlemi iletişimseldir:

5. Sıfır olmayan iki vektörün skaler çarpımı sıfıra eşitse, bu vektörler ortogonaldir:

a ≠ 0, b ≠ 0, bir b \u003d 0<=> a ┴ b

6. (αa) b \u003d α (a b)

7. Skaler çarpma işlemi dağıtıcıdır:

(a + b) c \u003d a c + b c

Vektörlerin iç çarpımını hesaplamak için problem örnekleri

Düzlem problemleri için vektörlerin iç çarpımını hesaplama örnekleri

A \u003d (1; 2) ve b \u003d (4; 8) vektörlerinin iç çarpımını bulun.

Karar: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

A ve b vektörlerinin skaler çarpımını bulunuz uzunlukları | a | \u003d 3, | b | \u003d 6 ve vektörler arasındaki açı 60˚.

Karar: a b \u003d | a | · | B | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

P \u003d a + 3b ve q \u003d 5a - 3 b vektörlerinin skaler çarpımını bulunuz eğer uzunlukları | a | \u003d 3, | b | \u003d 2 ve a ve b vektörleri arasındaki açı 60˚'dir.

Karar:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 bir a - 3 bir b + 15 b bir - 9 b b \u003d

5 | a | 2 + 12 a b - 9 | b | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 marul 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Uzamsal problemler için vektörlerin iç çarpımını hesaplamaya bir örnek

A \u003d (1; 2; -5) ve b \u003d (4; 8; 1) vektörlerinin iç çarpımını bulun.

Karar: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

N boyutlu vektörler için iç çarpım hesaplamasına bir örnek

A \u003d (1; 2; -5; 2) ve b \u003d (4; 8; 1; -2) vektörlerinin iç çarpımını bulun.

Karar: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

13. Vektörlerin vektör çarpımı ve bir vektör denir üçüncü vektör aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

2) dik, dik. (1 "")

3) vektörler, tüm uzayın temeli ile aynı şekilde yönlendirilir (olumlu veya olumsuz).

Tayin etmek:.

Bir vektör ürününün fiziksel anlamı

- O noktasına göre kuvvet momenti; - yarıçap, kuvvetin uygulama noktasının vektörüdür, o zaman

dahası, eğer O noktasına transfer edilirse, üçlü bir temel vektör olarak yönlendirilmelidir.

Tanım 1

Vektörlerin skaler çarpımı, bu vektörlerin dininin çarpımına ve aralarındaki açının kosinüsüne eşit bir sayıdır.

A → ve b → vektörlerinin çarpımının gösterimi a →, b → biçimindedir. Formüle çevirelim:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → ve b → vektörlerin uzunluklarını, a →, b → ^ verilen vektörler arasındaki açıyı gösterir. En az bir vektör sıfırsa, yani 0 değerine sahipse, sonuç sıfır olacaktır, a →, b → \u003d 0

Vektörü kendisiyle çarparken, uzunluğunun karesini alırız:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

Tanım 2

Bir vektörün kendi başına skaler çarpımına skaler kare denir.

Formül ile hesaplanır:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

A →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → gösterimi, npb → a → a → on'un sayısal izdüşümü olduğunu gösterir. b →, npa → a → sırasıyla b →'nin a → üzerine izdüşümüdür.

İki vektör için bir çarpımın tanımını formüle edelim:

İki vektörün skaler çarpımı a → b →, vektörün uzunluğunun çarpımı olarak adlandırılır a → izdüşümle b → yönünde a → veya uzunluğunun çarpımı a → izdüşümüyle.

Koordinatlarda nokta çarpımı

İç çarpım, belirli bir düzlemdeki veya uzaydaki vektörlerin koordinatları aracılığıyla hesaplanabilir.

Üç boyutlu uzayda bir düzlemdeki iki vektörün skaler çarpımına verilen vektörlerin koordinatlarının toplamı a → ve b → denir.

Kartezyen sistemde verilen vektörlerin skaler çarpımını hesaplarken a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y), şunu kullanın:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

üç boyutlu uzay için aşağıdaki ifade geçerlidir:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

Aslında bu, iç çarpımın üçüncü tanımıdır.

Bunu kanıtlayalım.

Kanıt 1

Kanıt için, a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) vektörleri için a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay Kartezyen sistem.

Vektörler ertelenmelidir

O A → \u003d a → \u003d a x, bir y ve O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

O zaman A B → vektörünün uzunluğu A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y) 'ye eşit olacaktır.

O A B üçgenini düşünün.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B), kosinüs teoremine göre doğrudur.

Koşulla, O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^ olduğu görülebilir, bu nedenle vektörler arasındaki açıyı farklı şekilde bulmak için formül yazıyoruz

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Daha sonra ilk tanımdan b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), dolayısıyla (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Vektörlerin uzunluğunu hesaplamak için formül uygulayarak şunu elde ederiz:
a →, b → \u003d 1 2 ((bir 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + ile 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (ile - ay) 2) 2) \u003d 1 2 (bir 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay ile

Eşitlikleri kanıtlayalım:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- sırasıyla üç boyutlu uzay vektörleri için.

Koordinatlı vektörlerin skaler çarpımı, bir vektörün skaler karesinin, sırasıyla uzaydaki ve bir düzlemdeki koordinatlarının karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler. a → \u003d (bir x, bir y, bir z), b → \u003d (b x, b y, b z) ve (a →, a →) \u003d bir x 2 + bir y 2.

Nokta çarpım ve özellikleri

A →, b → ve c → için geçerli olan iç çarpım özellikleri vardır:

1. değişme (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. dağılım (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. kombinasyon özelliği (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ herhangi bir sayıdır;
4. skaler kare her zaman sıfırdan büyüktür (a →, a →) ≥ 0, burada a → sıfır olduğunda (a →, a →) \u003d 0.

örnek 1

Özellikler, düzlemdeki nokta çarpımının tanımı ve gerçek sayıların toplanması ve çarpılması özellikleri nedeniyle açıklanabilir.

Değişebilirlik özelliğini (a →, b →) \u003d (b →, a →) ispatlayınız. Tanımdan, (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y ve (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y'ye sahibiz.

Değişme özelliği ile, eşitlikler a x b x \u003d b x a x ve a y b y \u003d b y a y doğrudur, bu nedenle a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

Bunu takip eden (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

Dağıtılabilirlik herhangi bir sayı için geçerlidir:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (bir (n) →, b →)

ve (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (bir →, b → (n)),

dolayısıyla bizde var

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (bir ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (bir (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (bir (n) →, b (m) →)

Örnekler ve çözümlerle nokta ürün

Böyle bir planın herhangi bir sorunu, iç ürünle ilgili özellikler ve formüller kullanılarak çözülür:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (bir →, b →) \u003d a → n p bir → b → \u003d b → n p b → bir →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y veya (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (bir →, bir →) \u003d bir → 2.

Bazı çözüm örneklerine bakalım.

Örnek 2

A → 3'ün uzunluğu, b →'nin uzunluğu 7'dir. Açı 60 derece ise iç çarpımı bulun.

Karar

Koşula göre, tüm verilere sahibiz, bu nedenle aşağıdaki formüle göre hesaplıyoruz:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Cevap: (a →, b →) \u003d 21 2.

Örnek 3

Verilen vektörler a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). İç çarpım nedir.

Karar

Bu örnekte, koordinatlarla hesaplama formülü, problem ifadesinde belirtildikleri için dikkate alınmıştır:

(a →, b →) \u003d ax bx + ay ile + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Cevap: (a →, b →) \u003d - 9

Örnek 4

A B → ve A C → iç çarpımını bulun. Koordinat düzleminde A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) noktaları verilmiştir.

Karar

Başlamak için, vektörlerin koordinatları hesaplanır, çünkü noktaların koordinatları koşulla verilir:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Koordinatları kullanarak formüle değiştirerek şunu elde ederiz:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Cevap: (A B →, A C →) \u003d 28.

Örnek 5

Verilen vektörler a → \u003d 7 m → + 3 n → ve b → \u003d 5 m → + 8 n →, ürünlerini bulun. m → 3'e eşittir ve n → 2 birime eşittir, diktirler.

Karar

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Dağıtım özelliğini uygulayarak şunları elde ederiz:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Ürünün işareti için katsayıyı çıkarıp:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Değiştirilebilirlik özelliğine göre, şunları dönüştürüyoruz:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Sonuç olarak, şunları elde ederiz:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Şimdi iç çarpım formülünü koşul tarafından belirtilen açıyla uygulayalım:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → marul (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 marul π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Cevap: (a →, b →) \u003d 411

Sayısal bir projeksiyon varsa.

Örnek 6

A → ve b → iç çarpımını bulun. Vektör a → koordinatlara sahiptir a → \u003d (9, 3, - 3), projeksiyon b → koordinatlarla (- 3, - 1, 1).

Karar

Hipoteze göre, vektörler a → ve projeksiyon b → zıt yöndedir, çünkü a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, dolayısıyla projeksiyon b → n p a → b → → uzunluğuna karşılık gelir ve "-" işaretiyle:

n p bir → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Formüle ikame ederek şu ifadeyi alıyoruz:

(bir →, b →) \u003d bir → n p bir → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Cevap: (a →, b →) \u003d - 33.

Bir vektörün uzunluğunu veya sayısal bir izdüşümü bulmanın gerekli olduğu bilinen bir iç çarpımla ilgili sorunlar.

Örnek 7

Belirli bir skaler ürün için λ hangi değeri almalıdır a → \u003d (1, 0, λ + 1) ve b → \u003d (λ, 1, λ) -1'e eşit olacaktır.

Karar

Formül, koordinatların çarpımlarının toplamını bulmanın gerekli olduğunu gösterir:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Elimizde (a →, b →) \u003d - 1 var.

Λ'yı bulmak için denklemi hesaplıyoruz:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, dolayısıyla λ \u003d - 1.

Cevap: λ \u003d - 1.

İç çarpımın fiziksel anlamı

Mekanik, iç çarpım uygulamasını ele alır.

Sabit bir F kuvveti ile A çalışırken → cisim M noktasından N noktasına hareket ettiğinde, F → ve M N → vektörlerinin uzunluklarının çarpımını aralarındaki açının kosinüsü ile bulabilirsiniz, bu da işin kuvvet ve yer değiştirme vektörlerinin ürününe eşit olduğu anlamına gelir:

Bir \u003d (F →, M N →).

Örnek 8

Bir malzeme noktasının 5 ntona eşit bir kuvvetin etkisi altında 3 metre hareketi, eksene göre 45 derecelik bir açıyla yönlendirilir. Bulmak bir.

Karar

İş, kuvvet vektörü ve yer değiştirmenin ürünü olduğu için, F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 ° koşuluna bağlı olarak A \u003d (F →, S →) \u003d F elde ettiğimiz anlamına gelir. → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Cevap: A \u003d 15 2 2.

Örnek 9

F → \u003d (3, 1, 2) kuvveti altında M (2, - 1, - 3) 'ten N (5, 3 λ - 2, 4)' e hareket eden malzeme noktası 13 J'ye eşit iş yaptı. Hareketin uzunluğunu hesaplayın.

Karar

M N → vektörünün verilen koordinatları için M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7) var.

F → \u003d (3, 1, 2) ve MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) vektörleriyle iş bulma formülüne göre, A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ.

Hipotez yoluyla, 22 + 3 λ \u003d 13 anlamına gelen A \u003d 13 J verildi. Dolayısıyla λ \u003d - 3, dolayısıyla M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

Yer değiştirme uzunluğunu bulmak için M N →, formülü uygulayın ve değerleri değiştirin:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Cevap: 158.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Vektörler arasındaki açı

Verilen iki $ \\ overrightarrow (a) $ ve $ \\ overrightarrow (b) $ vektörünü düşünün. $ \\ Overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (OA) $ ve $ \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (OB) $ vektörlerini rastgele seçilmiş bir $ O $ noktasından bir kenara ayıralım, sonra $ AOB $ açısına $ \\ overrightarrow ( a) $ ve $ \\ overrightarrow (b) $ (şek. 1).

Resim 1.

Burada, $ \\ overrightarrow (a) $ ve $ \\ overrightarrow (b) $ vektörleri ortak yönlü ise veya bunlardan biri sıfır vektörse, vektörler arasındaki açının $ 0 ^ 0 $ olduğunu unutmayın.

Tanım: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) $

Vektörlerin nokta çarpımı

Matematiksel olarak bu tanım şu şekilde yazılabilir:

İç çarpım iki durumda sıfır olabilir:

Vektörlerden biri sıfır vektörse (O zamandan beri uzunluğu sıfırdır).

Vektörler karşılıklı olarak dikse (yani $ cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

Ayrıca, bu vektörler arasındaki açı dar ise ($ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)\u003e 0 $) iç çarpımın sıfırdan büyük olduğuna ve bu vektörler arasındaki açı geniş ise sıfırdan küçük (çünkü $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)

Skaler kare kavramı, skaler çarpım kavramı ile ilişkilidir.

Tanım 2

$ \\ Overrightarrow (a) $ vektörünün skaler karesi, bu vektörün kendi başına skaler çarpımıdır.

Skaler karenin olduğunu anlıyoruz

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a ) \\ sağ | \\ sol | \\ overrightarrow (a) \\ sağ | \u003d (\\ sol | \\ overrightarrow (a) \\ sağ |) ^ 2 \\]

Nokta çarpımı vektörlerin koordinatlarından hesaplama

Tanımdan çıkan iç çarpım değerini bulmanın standart yolunun yanı sıra, başka bir yol daha var.

Bir düşünelim.

$ \\ Overrightarrow (a) $ ve $ \\ overrightarrow (b) $ vektörlerinin sırasıyla $ \\ left (a_1, b_1 \\ right) $ ve $ \\ left (a_2, b_2 \\ right) $ koordinatlarına sahip olmasını sağlayın.

Teorem 1

$ \\ Overrightarrow (a) $ ve $ \\ overrightarrow (b) $ vektörlerinin skaler çarpımı, karşılık gelen koordinatların çarpımlarının toplamına eşittir.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

Kanıt.

Teorem kanıtlandı.

Bu teoremin birkaç sonucu vardır:

Sonuç 1: $ \\ Overrightarrow (a) $ ve $ \\ overrightarrow (b) $ vektörleri, ancak ve ancak $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $ ise diktir.

Sonuç 2: Vektörler arasındaki açının kosinüsü $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $ şeklindedir

Vektörlerin nokta çarpım özellikleri

Herhangi üç vektör ve gerçek bir $ k $ sayısı için bu doğrudur:

$ (\\ overrightarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

Bu özellik, skaler karenin tanımından (Tanım 2) çıkar.

Seyahat yasası: $ \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

Bu özellik, iç çarpım tanımından (Tanım 1) çıkar.

Dağıtım yasası:

$ \\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) $. \\ end (numaralandırma)

Teorem 1'e göre, elimizde:

\\ [\\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ left (a_1 + a_2 \\ right) a_3 + \\ left (b_1 + b_2 \\ sağ) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) \\]

Kombinasyon kanunu: $ \\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. \\ end (numaralandırma)

Teorem 1'e göre, elimizde:

\\ [\\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ left (a_1a_2 + b_1b_2 \\ right) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) \\]

Vektörlerin iç çarpımını hesaplamak için bir problem örneği

örnek 1

$ \\ Overrightarrow (a) $ ve $ \\ overrightarrow (b) $ vektörlerinin iç çarpımını bulun, eğer $ \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ ve $ \\ left | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d 2 $ ve aralarındaki açı $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

Karar.

Tanım 1'i kullanarak

$ (30) ^ 0 için: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((30) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

$ (45) ^ 0 için: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((45) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

$ (90) ^ 0 için: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((90) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

$ (135) ^ 0 için: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((135) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ left (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ Benzer makaleler