Matrisin tersini hesaplayın. Cebirsel tamamlayıcılar kullanarak ters matrisin hesaplanması için algoritma: eş (eş) matris yöntemi. Ekonomik analizde matris yöntemi

Matrix Cebiri - Ters Matris

ters matris

Ters matris belirli bir matris ile hem sağda hem de solda çarpıldığında kimlik matrisi veren bir matris olarak adlandırılır.
Matrisin tersi matrisi gösterelim VE sonra, elde ettiğimiz tanıma göre:

nerede E Kimlik matrisidir.
Kare matris aranan özel olmayan (dejenere olmayan) determinantı sıfır değilse. Aksi takdirde denir özel (dejenere) veya tekil.

Aşağıdaki teorem geçerlidir: her tekil olmayan matrisin bir tersi vardır.

Ters matrisi bulma işlemi denir temyiz matrisler. Matris ters çevirme algoritmasını düşünün. Tekil olmayan bir matris verilsin nsıra:

nerede Δ \u003d det Bir ≠ 0.

Bir Elemanın Cebirsel Tamamlanmasımatrisler n -inci derece VE matrisin determinantı ( n –1) silerek elde edilen sipariş ben-nci satır ve jmatrisin inci sütunu VE:

Sözde oluşturalım ekli matris:

matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları nerede VE.
Matrisin satırlarının elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının VE matrisin ilgili sütunlarına yerleştirilir à yani matris aynı anda transpoze edilir.
Matrisin tüm elemanlarını bölmek Ã Δ ile - matrisin determinantının değeri VE, sonuç olarak ters matrisi elde ederiz:

Ters matrisin bir dizi özel özelliğini not ediyoruz:
1) belirli bir matris için VE ters matrisi tek olanıdır;
2) ters bir matris varsa, o zaman sağ ters ve sola ters matrisler bununla çakışır;
3) özel (dejenere) bir kare matrisin ters matrisi yoktur.

Ters matrisin temel özellikleri:
1) ters matrisin determinantı ve orijinal matrisin determinantı karşılıklı değerlerdir;
2) kare matrislerin çarpımının ters matrisi, ters sırada alınan faktörlerin ters matrislerinin çarpımına eşittir:

3) matrisin transpoze tersi, verilen transpoze matrisin tersine eşittir:

PRI me r. Verilen matrisin tersini hesaplayın.

Dejenere olmayan herhangi bir A matrisi için, ve ayrıca benzersiz bir A -1 matrisi vardır, öyle ki

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

burada E, A ile aynı sıraların kimlik matrisidir. A -1 matrisine A matrisinin tersi denir.

Birinin unutması durumunda, özdeşlik matrisinde, birlerle dolu köşegen dışında, diğer tüm konumlar, özdeşlik matrisine bir örnek olarak sıfırlarla doldurulur:

Eş matris yöntemi ile ters matrisin bulunması

Ters matris aşağıdaki formülle tanımlanır:

burada A ij, a ij öğeleridir.

Şunlar. ters matrisi hesaplamak için bu matrisin determinantını hesaplamanız gerekir. Sonra tüm elemanları için cebirsel tamamlayıcıları bulun ve bunlardan yeni bir matris oluşturun. Sonra, bu matrisi taşımanız gerekir. Ve yeni matrisin her bir elemanını orijinal matrisin determinantına bölün.

Bazı örneklere bakalım.

Matrix için A -1 bulun

Çözüm Eş matris yöntemi ile A -1 bulalım. Det A \u003d 2'ye sahibiz. A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını bulalım. Bu durumda, matris elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları, formüle göre bir işaretle alınan matrisin kendisinin karşılık gelen elemanları olacaktır.

A 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2'ye sahibiz. Eş matrisi oluşturuyoruz

A * matrisini taşıyoruz:

Ters matrisi aşağıdaki formüle göre buluyoruz:

Biz alırız:

Eş matris yöntemini kullanarak A -1'i bulunuz

Çözüm: İlk olarak, ters matrisin var olduğundan emin olmak için belirli bir matrisin tanımını hesaplıyoruz. Sahibiz

Burada ikinci sıranın elemanlarına üçüncü sıranın elemanlarını ekledik, daha önce (-1) ile çarptık ve ardından ikinci sıradaki determinantı genişlettik. Verilen matrisin sıfır olmadığı belirlendiğinden, ters matris mevcuttur. Eşlik matrisi oluşturmak için bu matrisin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını buluruz. Sahibiz

Formüle göre

matris A * 'yı taşıyın:

Sonra formüle göre

Ters matrisin temel dönüşümler yöntemiyle bulunması

Formülden izlenen ters matrisi bulma yöntemine ek olarak (bitişik matris yöntemi), ters matrisi bulmak için temel dönüşüm yöntemi olarak adlandırılan bir yöntem vardır.

Temel matris dönüşümleri

Aşağıdaki dönüşümlere temel matris dönüşümleri denir:

1) satırların (sütunların) permütasyonu;

2) bir satırı (sütunu) sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak;

3) bir satırın (sütun) öğelerine, daha önce belirli bir sayı ile çarpılan başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerinin eklenmesi.

A -1 matrisini bulmak için, B \u003d (A | E) mertebelerinden (n; 2n) oluşan dikdörtgen bir matris oluşturuyoruz ve E kimlik matrisini bölme çizgisi boyunca sağdaki A matrisine atıyoruz:

Bir örneğe bakalım.

Temel dönüşüm yöntemini kullanarak A -1'i bulun eğer

Çözüm.B matrisini oluşturalım:

B matrisinin satırlarını α 1, α 2, α 3 ile gösterelim. B matrisinin satırları üzerinde aşağıdaki dönüşümleri gerçekleştirelim.

Tanım 1: bir matris, determinantı sıfırsa dejenere olarak adlandırılır.

Tanım 2: bir matris, determinantı sıfır değilse dejenere olmayan olarak adlandırılır.

"A" matrisine ters matrisA * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (özdeşlik matrisi) koşulu sağlanmışsa.

Bir kare matris, yalnızca dejenere değilse tersine çevrilebilir.

Ters matris hesaplama şeması:

1) "A" matrisinin determinantını hesaplayın eğer ∆ A \u003d 0 ise ters matris mevcut değildir.

2) "A" matrisinin tüm cebirsel tamamlayıcılarını bulun.

3) Cebirsel tamamlayıcılardan oluşan bir matris oluşturun (Aij)

4) Cebirsel tamamlayıcıların matrisini transpoze edin (Aij) T

5) Transpoze matrisi bu matrisin determinantının tersiyle çarpın.

6) Kontrol edin:

İlk bakışta zor görünebilir, ama aslında her şey çok basit. Tüm çözümler, "-" ve "+" işaretleriyle karıştırılmamaya ve onları kaybetmemeye karar verirken asıl önemli olan basit aritmetik işlemlere dayanmaktadır.

Şimdi ters matrisi hesaplayarak sizinle birlikte pratik bir görevi çözelim.

Görev: aşağıdaki resimde gösterilen ters matris "A" yı bulun:

Her şeyi ters matris hesaplama planında belirtildiği gibi çözeriz.

1. Yapılacak ilk şey, "A" matrisinin determinantını bulmaktır:

Açıklama:

Niteleyicimizi, temel işlevlerinden yararlanarak basitleştirdik. İlk olarak 2. ve 3. satırlara ilk satırın elemanlarını bir sayı ile çarparak ekledik.

İkincisi, determinantın 2. ve 3. sütunlarını değiştirdik ve özelliklerine göre önündeki işareti değiştirdik.

Üçüncüsü, ikinci sıranın ortak faktörünü (-1) çıkardık, böylece işareti tekrar değiştirdik ve pozitif oldu. Aynı örneğin en başında olduğu gibi 3. satırı da sadeleştirdik.

Köşegenin altındaki elemanların sıfıra eşit olduğu ve 7 özelliği ile köşegenin elemanlarının çarpımına eşit olduğu üçgen bir determinant elde ettik. Sonuç olarak, biz var ∆ A \u003d 26, dolayısıyla tersi var.

A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

3. Bir sonraki adım, ortaya çıkan eklemelerden bir matris derlemektir:

5. Bu matrisi determinantın tersiyle, yani 1/26 ile çarpın:

6. Şimdi sadece kontrol etmemiz gerekiyor:

Kontrol sırasında kimlik matrisini aldık, bu nedenle çözüm kesinlikle doğru bir şekilde gerçekleştirildi.

Ters matrisi hesaplamanın 2 yolu.

1. Temel matris dönüşümü

2. Temel bir transformatör aracılığıyla ters matris.

Temel matris dönüşümü şunları içerir:

1. Bir dizenin sıfır olmayan bir sayı ile çarpılması.

2. Herhangi bir satıra bir sayı ile çarpılan başka bir dize eklemek.

3. Matrisin satırlarının yerini değiştirme.

4. Bir temel dönüşümler zinciri uygulayarak başka bir matris elde ederiz.

VE -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2.A -1 * A \u003d E

Gerçek sayılarla pratik bir örneğe bakalım.

Görev: Matrisin tersini bulun.

Karar:

Hadi kontrol edelim:

Çözüm hakkında küçük bir açıklama:

Önce matrisin 1. ve 2. satırlarını yeniden düzenledik, sonra ilk satırı (-1) ile çarptık.

Bundan sonra, ilk satır (-2) ile çarpıldı ve matrisin ikinci satırına eklendi. Daha sonra 2 çizgi 1/4 ile çarpıldı.

Dönüşümün son aşaması, ikinci satırı 2 ile çarpıp birinciden eklemekti. Sonuç olarak, solda, birim matrisi elde ettik, bu nedenle, tersi sağdaki matristir.

Kontrol ettikten sonra çözümün doğru olduğundan emin olduk.

Gördüğünüz gibi ters matrisi hesaplamak çok kolay.

Bu dersin sonunda, böyle bir matrisin özelliklerine de biraz zaman ayırmak istiyorum.

CEBİR DESTEKLERİ VE KÜÇÜKLER

Üçüncü mertebenin bir belirleyicisine sahip olalım: .

Minörbu öğeye karşılık gelen bir ij üçüncü derecenin determinantı, verilen elemanın bulunduğu kesişme noktasındaki satır ve sütunun silinmesiyle verilen ikinci derecenin determinantı olarak adlandırılır, yani. ben-nci satır ve jinci sütun. Belirli bir öğeye karşılık gelen küçükler bir ij gösterecek M ij.

Örneğin, minör M 12öğeye karşılık gelen bir 12bir belirleyici olacak 1. satır ve 2. sütunun verilen determinanttan silinmesiyle elde edilir.

Böylece, üçüncü mertebenin determinantını tanımlayan formül, bu determinantın, karşılık gelen küçükler tarafından 1. sıranın elemanlarının çarpımlarının toplamına eşit olduğunu gösterir; elemana karşılık gelen küçük bir 12, "-" işaretiyle alınır, yani bunu yazabiliriz

.

(1)

Benzer şekilde, ikinci mertebeden ve daha yüksek mertebeden belirleyiciler için küçüklerin tanımlarını getirebiliriz.

Bir kavramı daha tanıtalım.

Cebirsel tamamlayıcıelement bir ij determinant, minör olarak adlandırılır M ij(–1) i + j ile çarpılır.

Bir Elemanın Cebirsel Tamamlanması bir ij belirtilen Bir ij.

Tanımdan, bir elementin cebirsel tamamlayıcısı ile onun minör arasındaki bağlantının eşitlikle ifade edildiğini buluyoruz. Bir ij \u003d (–1) i + j M ij.

Örneğin,

Misal. Bir determinant verilir. Bulmak Bir 13, bir 21, bir 32.

Elemanların cebirsel tamamlayıcılarını kullanarak formül (1) 'in şu şekilde yazılabileceğini görmek kolaydır:

Bu formüle benzer şekilde, determinantın herhangi bir satır veya sütunun elemanlarında ayrışmasını elde edebilirsiniz.

Örneğin, determinantın 2. satırın elemanları tarafından çarpanlara ayrılması aşağıdaki gibi elde edilebilir. Belirleyicinin 2. özelliğine göre, elimizde:

Ortaya çıkan determinantı 1. satırın elemanları ile genişletelim.

.

(2)

Buradan dan beri (2) formülündeki ikinci mertebenin belirleyicileri, elementlerin küçükleridir bir 21, bir 22, bir 23... Böylece, yani determinantın 2. satırın unsurları açısından ayrışmasını aldık.

Benzer şekilde, determinantın çarpanlara ayrılmasını üçüncü satırın elemanları ile elde edebilirsiniz. Belirleyicilerin 1. özelliğini kullanarak (transpozisyon hakkında), benzer genişletmelerin sütun elemanları açısından genişletme için de geçerli olduğu gösterilebilir.

Bu nedenle, aşağıdaki teorem doğrudur.

Teorem (belirli bir satır veya sütundaki bir determinantın genişlemesi üzerine). Belirleyici, cebirsel tümleyicileri ile satırlarından (veya sütunlarından) herhangi birinin elemanlarının çarpımlarının toplamına eşittir.

Yukarıdakilerin tümü, herhangi bir yüksek mertebenin belirleyicileri için de geçerlidir.

Örnekler.

TERS MATRIX

Ters matris kavramı yalnızca kare matrisler.

Eğer bir Bir Bir kare matristir, o zaman tersine çevirmek bunun için bir matris, gösterilen bir matristir A -1 ve durumu tatmin etmek. (Bu tanım, sayıların çarpımı ile analoji yoluyla tanıtılmıştır)

Bu yazıda, bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için matris yönteminden bahsedeceğiz, tanımını bulacağız ve çözüm örnekleri vereceğiz.

Tanım 1

Ters matris yöntemi bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olması durumunda SLAE'leri çözmek için kullanılan bir yöntemdir.

örnek 1

N bilinmeyenli n doğrusal denklem sistemine bir çözüm bulun:

bir 11 x 1 + bir 12 x 2 +. ... ... + bir 1 n x n \u003d b 1 bir n 1 x 1 + bir n 2 x 2 +. ... ... + bir n n x n \u003d b n

Matris kaydı : A × X \u003d B

burada А \u003d а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ve n 1 а n 2 ⋯ а n - sistemin matrisi.

X \u003d x 1 x 2 ⋮ x n - bilinmeyenler sütunu,

B \u003d b 1 b 2 ⋮ b n - serbest katsayılar sütunu.

Elimizdeki denklemden X'i ifade etmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için, soldaki matris denkleminin her iki tarafını da A - 1 ile çarpmanız gerekir:

A - 1 × A × X \u003d A - 1 × B.

A - 1 × A \u003d E olduğundan, E × X \u003d A - 1 × B veya X \u003d A - 1 × B.

Yorum Yap

A matrisinin ters matrisi, ancak d e t A koşulu sıfıra eşit değilse var olma hakkına sahiptir. Bu nedenle SLAE'leri ters matris yöntemiyle çözerken, öncelikle d e t A.

D e t A'nın sıfıra eşit olmaması durumunda, sistemin tek bir çözümü vardır: ters matris yöntemini kullanmak. D e t А \u003d 0 ise, sistem bu yöntemle çözülemez.

Ters matris yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme örneği

Örnek 2

SLAE'yi ters matris yöntemiyle çözüyoruz:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 \u003d 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 \u003d 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 \u003d 2

Nasıl çözülür?

• Sistemi bir matris denklemi şeklinde yazıyoruz A X \u003d B, burada

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Bu X denkleminden ifade ediyoruz:

• A matrisinin determinantını bulun:

det A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t А, 0'a eşit değildir, bu nedenle ters matris çözüm yöntemi bu sistem için uygundur.

• Birleşim matrisini kullanarak ters matris A - 1'i bulun. A i j cebirsel tamamlayıcılarını A matrisinin karşılık gelen elemanlarına hesaplıyoruz:

Bir 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

Bir 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5-12) \u003d 7,

Bir 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

Bir 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

Bir 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5-10 - 9 \u003d 1,

Bir 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2-4 3-1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

Bir 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

Bir 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8-3) \u003d - 5,

Bir 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2-4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• A matrisinin cebirsel tamamlayıcılarından oluşan birleşim matrisini A * yazıyoruz:

A * \u003d - 6 7 5 17 1-10 - 10 - 5 0

• Ters matrisi aşağıdaki formüle göre yazıyoruz:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1-5 5-10 0,

• A - 1 ters matrisini B serbest terimlerinin sütunuyla çarpıyoruz ve sisteme çözüm getiriyoruz:

X \u003d A - 1 × B \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

Cevap : x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın