Gauss matrisleri. Aptallar için Gauss yöntemi: çözüm örnekleri. Gauss kuralını kullanma sorunları

Çözülmesi gereken bir lineer cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini bir eşitliğe dönüştüren bilinmeyen xi değerlerini bulun).

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin şunları yapabileceğini biliyoruz:

1) Çözümü yok ( tutarsız).
2) Sonsuz sayıda çözüme sahip olun.
3) Benzersiz bir çözüme sahip olun.

Hatırladığımız gibi, Cramer kuralı ve matris yöntemi, sistemin sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygulanamaz. Gauss yöntemi – herhangi bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araç, hangisi her durumdabizi cevaba götürecek! Yöntemin algoritması her üç durumda da aynı şekilde çalışır. Cramer ve matris yöntemlerinde determinant bilgisi gerekliyse, Gauss yöntemini uygulamak için yalnızca aritmetik işlemler bilgisi gereklidir, bu da onu ilkokul öğrencileri için bile erişilebilir kılar.

Genişletilmiş matris dönüşümleri ( bu, sistemin matrisidir - yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan bir matris artı bir serbest terimler sütunu)gauss yönteminde doğrusal cebirsel denklem sistemleri:

1) itibaren teller matrisler yapabilmek yeniden düzenlemekyerlerde.

2) matris orantılı (özel bir durum olarak - aynı) satırlar içeriyorsa (veya ise), ardından sil matristen biri hariç tüm bu satırlar.

3) dönüşümler sırasında matriste bir sıfır satırı görünürse, o zaman da onu takip eder sil.

4) matrisin satırı olabilir çarpma (bölme)sıfır dışında herhangi bir sayıya.

5) matrisin satırı olabilir sayı ile çarpılan başka bir dize ekleyinsıfır olmayan.

Gauss yönteminde, temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez.

Gauss yöntemi iki aşamadan oluşur:

"Doğrudan hareket" - temel dönüşümlerin yardımıyla, doğrusal cebirsel denklem sisteminin genişletilmiş matrisini "üçgen" aşamalı bir biçime indirgeyin: ana köşegenin altında bulunan genişletilmiş matrisin elemanları sıfıra eşittir ("yukarıdan aşağı" hareket). Örneğin, bu forma:

Bunu yapmak için aşağıdaki eylemleri gerçekleştirin:

1) Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin ilk denklemini ve x 1'deki katsayının K'ya eşit olduğunu varsayalım. İkinci, üçüncü, vb. denklemler şu şekilde dönüştürülür: her denklem (serbest terimler dahil bilinmeyenler için katsayılar), her denklemde bulunan bilinmeyen x 1 katsayısına bölünür ve K ile çarpılır. Bundan sonra, ilkini ikinci denklemden çıkarırız (bilinmeyenler ve serbest terimler için katsayılar). İkinci denklemde x 1 için 0 katsayısını elde ederiz Birinci denklemi üçüncü dönüştürülmüş denklemden, bilinmeyen x 1'in katsayısı 0 olana kadar birinci denklem hariç tüm denklemler çıkarın.

2) Sonraki denkleme gidin. İkinci denklem olsun ve x 2'deki katsayı M'ye eşit olsun. Tüm "alt" denklemlerle yukarıda anlatıldığı gibi ilerliyoruz. Böylece, tüm denklemlerde bilinmeyen x 2'nin "altında" sıfır olacaktır.

3) Bir sonraki denkleme gidin ve son bir bilinmeyen ve dönüştürülmüş serbest terim olana kadar bu şekilde devam edin.

Gauss yönteminin "Tersi" - bir doğrusal cebirsel denklem sistemine bir çözüm elde etme ("aşağıdan yukarıya" hareket). Son "alt" denklemden bir ilk çözüm elde ederiz - bilinmeyen x n. Bunu yapmak için, A * x n \u003d B temel denklemini çözüyoruz. Yukarıdaki örnekte, x 3 \u003d 4. Bulunan değeri sonraki "üst" denkleme koyun ve bir sonraki bilinmeyene göre çözün. Örneğin, x 2-4 \u003d 1, yani x 2 \u003d 5. Tüm bilinmeyenleri bulana kadar böyle devam edin.

Misal.

Bazı yazarların önerdiği gibi, doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemiyle çözelim:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım bir forma getirelim:

Sol üst "adım" a bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç kimse yok, bu yüzden satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda, birimin temel bir dönüşüm kullanılarak organize edilmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yapalım:
1 adım ... -1 ile çarpılan ikinci satırı ilk satıra ekleyin. Yani zihinsel olarak ikinci satırı –1 ile çarptık ve birinci ve ikinci satırları eklerken ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte "eksi bir" var, bu bizim için uygun. +1 almak isteyen herkes ek bir işlem yapabilir: ilk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

Adım 2 ... İkinci satıra 5 ile çarpılan ilk satır, üçüncü satıra da 3 ile çarpılan ilk satır eklenmiştir.

Aşama 3 ... İlk satır -1 ile çarpıldı, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adımda gerekli birime sahibiz.

4. adım ... Üçüncü satır ikinci satıra 2 ile çarpılarak eklendi.

Adım 5 ... Üçüncü satır 3'e bölündü.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu gösteren işaret (daha az sıklıkla - bir yazım hatası) "kötü" alt satırdır. Yani, en altta (0 0 11 | 23) gibi bir şey elde edersek ve buna göre 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, o zaman yüksek bir olasılıkla sırasında bir hata yapıldığı iddia edilebilir. temel dönüşümler.

Ters hareketi gerçekleştiririz, örneklerin tasarımında, sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmaz ve denklemler "doğrudan verilen matristen alınır". Ters hareket, size hatırlatırım, aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Bu örnekte bir hediyemiz var:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, dolayısıyla x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Cevap: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Önerilen algoritmaya göre aynı sistemi çözelim. Biz alırız

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

İkinci denklemi 5'e ve üçüncüyü 3'e bölün.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

İkinci ve üçüncü denklemleri 4 ile çarparak şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

İlk denklemi ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarırsak:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Üçüncü denklemi 0,64'e bölün:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Üçüncü denklemi 0,4 ile çarpın

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

"Aşamalı" genişletilmiş bir matris elde etmek için ikinciyi üçüncü denklemden çıkaralım:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Böylece, hesaplamalar sırasında biriken hata nedeniyle, x 3 \u003d 0.96 veya yaklaşık 1 elde ederiz.

x 2 \u003d 3 ve x 1 \u003d -1.

Bu şekilde çözdüğünüzde, hesaplamalarda asla kafanız karışmayacak ve hesaplama hatalarına rağmen sonucu alacaksınız.

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmenin bu yöntemi kolayca programlanabilir ve bilinmeyenler için katsayıların belirli özelliklerini hesaba katmaz, çünkü pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tamsayı olmayan katsayılarla uğraşmak zorundadır.

Başarılar dilerim! Sınıfta görüşürüz! Özel öğretmen.

blog sitesi, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla birlikte kaynağa bir bağlantı gereklidir.