Alt uzayların doğrusal bağımsızlığı. Doğrusal uzayın alt uzayları. Özellikler. Alt uzayların toplamı ve kesişimi. Doğrusal uzayların izomorfizmi

Tanım. Doğrusal uzay sayı alanının üstünde İLE set denir R aşağıdaki durumlarda vektör olarak adlandıracağımız ve , olarak adlandıracağımız öğeler vb.:

Bu aksiyomlardan şu sonuç çıkar:

Doğrusal kabuklar

Tanım.Doğrusal kabuk vektör ailesi, bunların doğrusal uzaydaki tüm olası doğrusal kombinasyonlarının kümesidir L.

Doğrusal gövdenin doğrusal bir uzay olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. L.

Doğrusal kabuk vektörler tarafından yayılan veya bir ailenin vektörleri tarafından oluşturulan bir alt uzay olarak da adlandırılır. Aynı zamanda tüm alt uzayların kesişimi olarak da tanımlanabilir. L, her şeyi içeren Rütbe vektör ailesine onun doğrusal açıklığının boyutu denir.

Bazın ilk karakteristik özelliği: doğrusal kabuğu her şeyle örtüşüyorL.

Alt uzaylar

Tanım. Doğrusal alt uzay veya vektör alt uzayı boş olmayan bir kümedir k doğrusal uzay L öyle ki k kendisi de tanımlananlara göre doğrusal bir uzaydır L bir skalerle toplama ve çarpma işlemleri. Tüm altuzayların kümesi şu şekilde gösterilir: Enlem ( L ) . Bir alt kümenin alt uzay olabilmesi için gerekli ve yeterli olması

Son iki ifade aşağıdakine eşdeğerdir:

Özellikle, bir elemandan oluşan bir uzay, herhangi bir uzayın bir alt uzayıdır; herhangi bir uzayın kendisi bir altuzaydır. Bu ikisiyle örtüşmeyen altuzaylara denir. sahip olmak veya önemsiz değil.

Alt uzayların özellikleri

Sonsuz boyutlu uzaylarda fonksiyonel analizde, kapalı alt uzaylar.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı

Tanım. Bir vektör ailesine doğrusal denir bağımsız, eğer önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon sıfıra eşit değilse, yani

bundan her şeyin = 0 olduğu sonucu çıkar. Aksi halde buna doğrusal denir bağımlı. Ailenin doğrusal bağımsızlığı şu anlama gelir: sıfır vektörü, aile elemanlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak benzersiz bir şekilde temsil edilir. O halde herhangi bir vektörün ya tek bir temsili vardır ya da hiç temsili yoktur. Aslında iki temsilin karşılaştırılması

Bu, bazın ikinci karakteristik özelliğini ima eder: elemanları doğrusal olarak bağımsızdır. Bu iki özelliğin tanımı, bazın ilk tanımına eşdeğerdir.

dikkat et ki bir vektör ailesi ancak ve ancak kendi doğrusal açıklığının temelini oluşturuyorsa doğrusal olarak bağımsızdır.

Sıfır veya iki özdeş vektör varsa, bir aile açıkça doğrusal olarak bağımlıdır.

Lemma 1. Bir vektör ailesi, ancak ve ancak vektörlerden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

Eğer

Tam tersine, eğer öyleyse

Lema 2. doğrusal bağımlı ise doğrusal bir kombinasyondur.

Kanıt.

Eğer eşit değillerse öyle olmalılar, aksi halde aralarında önemsiz olmayan bir bağımlılık elde ederiz.

Doğrusal (vektör) Uzay, vektör adı verilen rastgele öğelerden oluşan bir V kümesidir; burada vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma işlemleri tanımlanır; \mathbf(u) ve (\mathbf(v)) herhangi iki vektöre bir vektör atanır \mathbf(u)+\mathbf(v)\mathbf(u) ve (\mathbf(v)) vektörlerinin toplamı olarak adlandırılan, herhangi bir vektör (\mathbf(v)) ve gerçek sayılar alanından \mathbb(R) herhangi bir sayı \lambda bir vektörle ilişkilidir \lambda\mathbf(v), \mathbf(v) vektörünün çarpımına \lambda sayısıyla denir; yani aşağıdaki koşullar karşılanır:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(toplamanın değişebilirliği);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(eklemenin ilişkilendirilebilirliği);
3. sıfır vektörü olarak adlandırılan bir \mathbf(o)\in V öğesi vardır, öyle ki \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. Her (\mathbf(v)) vektörü için, \mathbf(v) vektörünün karşısında öyle adlandırılan bir vektör vardır ki, \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ \mathbb(R) içinde;
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

1-8 arası koşullar denir doğrusal uzay aksiyomları. Vektörlerin arasına yerleştirilen eşittir işareti, eşitliğin sol ve sağ taraflarının V kümesinin aynı elemanını temsil ettiği anlamına gelir; bu tür vektörlere eşit denir.

Doğrusal uzayın tanımında reel sayılar için bir vektörün bir sayı ile çarpılması işlemi tanıtılmıştır. Böyle bir uzaya denir reel sayılar alanı üzerinde doğrusal uzay veya kısaca, gerçek doğrusal uzay. Tanımda gerçek sayıların \mathbb(R) alanı yerine karmaşık sayıların \mathbb(C) alanını alırsak, o zaman şunu elde ederiz: karmaşık sayılar alanı üzerindeki doğrusal uzay veya kısaca, karmaşık doğrusal uzay. Sayı alanı olarak rasyonel sayıların \mathbb(Q) alanını da seçebiliriz ve bu durumda rasyonel sayılar alanı üzerinde doğrusal bir uzay elde ederiz. Aşağıda aksi belirtilmedikçe gerçek doğrusal uzaylar dikkate alınacaktır. Bazı durumlarda, kısaca anlatmak gerekirse, aşağıda tartışılan tüm uzaylar doğrusal olduğundan, doğrusal sözcüğünü atlayarak uzaydan bahsedeceğiz.

Notlar 8.1

1. Aksiyomlar 1-4, toplama işlemine göre doğrusal bir uzayın değişmeli bir grup olduğunu gösterir.

2. Aksiyomlar 5 ve 6, vektörleri toplama işlemine (aksiyom 5) veya sayıları toplama işlemine (aksiyom 6) göre bir vektörü bir sayıyla çarpma işleminin dağıtımını belirler. Bazen bir sayıyla çarpmanın ilişkisellik yasası olarak da adlandırılan Aksiyom 7, iki farklı işlem arasındaki bağlantıyı ifade eder: bir vektörü bir sayıyla çarpmak ve sayıları çarpmak. Aksiyom 8 tarafından tanımlanan özelliğe, bir vektörün bir sayı ile çarpılması işleminin üniterliği denir.

3. Doğrusal uzay boş olmayan bir kümedir çünkü mutlaka sıfır vektörü içerir.

4. Vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma işlemlerine, vektörler üzerinde doğrusal işlemler denir.

5. \mathbf(u) ve \mathbf(v) vektörleri arasındaki fark, \mathbf(u) vektörünün karşıt vektör (-\mathbf(v)) ile toplamıdır ve şöyle gösterilir: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Sıfırdan farklı iki \mathbf(u) ve \mathbf(v) vektörüne, eğer öyle bir \lambda sayısı varsa, doğrusal (orantılı) denir. \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Eşdoğrusallık kavramı herhangi bir sonlu sayıda vektöre uzanır. Sıfır vektörü \mathbf(o) herhangi bir vektörle eşdoğrusal kabul edilir.

Doğrusal uzay aksiyomlarının sonuçları

1. Doğrusal uzayda yalnızca bir sıfır vektörü vardır.

2. Doğrusal uzayda, herhangi bir \mathbf(v)\in V vektörü için benzersiz bir zıt vektör vardır (-\mathbf(v))\in V.

3. Rasgele bir uzay vektörü ile sıfır sayısının çarpımı sıfır vektörüne eşittir, yani. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Sıfır vektörünün herhangi bir sayıyla çarpımı sıfır vektörüne eşittir, yani herhangi bir sayı için \lambda.

5. Belirli bir vektörün karşısındaki vektör, bu vektörün (-1) sayısına göre çarpımına eşittir, yani. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. Formun ifadelerinde \mathbf(a+b+\ldots+z)(sonlu sayıda vektörün toplamı) veya \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(bir vektör ile sonlu sayıda faktörün çarpımı) parantezleri istediğiniz sıraya yerleştirebilir veya hiç belirtmeyebilirsiniz.

Örneğin ilk iki özelliği kanıtlayalım. Sıfır vektörünün tekliği. Eğer \mathbf(o) ve \mathbf(o)" iki sıfır vektör ise, aksiyom 3 ile iki eşitlik elde ederiz: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" veya \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o) Aksiyom 1'e göre sol tarafları eşittir. Sonuç olarak sağ taraflar da eşittir, yani. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Karşıt vektörün benzersizliği. Eğer \mathbf(v)\in V vektörü iki zıt vektöre (-\mathbf(v)) ve (-\mathbf(v))" sahipse, o zaman 2, 3,4 aksiyomlarıyla bunların eşitliğini elde ederiz:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v))).

Geri kalan özellikler de benzer şekilde kanıtlanır.

Doğrusal uzay örnekleri

1. Bir sıfır vektör içeren bir küme olan \(\mathbf(o)\)'yı işlemlerle birlikte gösterelim \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) Ve \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Belirtilen işlemler için 1-8 aksiyomları karşılanmıştır. Sonuç olarak, \(\mathbf(o)\) kümesi herhangi bir sayı alanı üzerinde doğrusal bir uzaydır. Bu doğrusal uzaya null adı verilir.

2. V_1,\,V_2,\,V_3 - vektörleri toplama ve vektörleri bir sayıyla çarpma gibi olağan işlemlerle sırasıyla düz bir çizgi üzerinde, bir düzlem üzerinde, uzayda vektör kümelerini (yönlendirilmiş bölümler) gösterelim. Doğrusal uzayın 1-8 aksiyomlarının yerine getirilmesi, temel geometrinin seyrinden kaynaklanır. Sonuç olarak, V_1,\,V_2,\,V_3 kümeleri gerçek doğrusal uzaylardır. Serbest vektörler yerine karşılık gelen yarıçap vektör kümelerini dikkate alabiliriz. Örneğin, bir düzlem üzerinde ortak bir kökene sahip bir dizi vektör; Düzlemin sabit bir noktasından çizilen gerçek bir doğrusal uzaydır. Birim uzunluktaki yarıçap vektörleri kümesi doğrusal bir uzay oluşturmaz, çünkü bu vektörlerden herhangi biri için toplam \mathbf(v)+\mathbf(v) söz konusu kümeye ait değil.

3. \mathbb(R)^n - matrisleri toplama ve matrisleri bir sayıyla çarpma işlemlerini içeren n\times1 boyutunda bir matris sütunları kümesini gösterelim. Doğrusal uzayın 1-8 aksiyomları bu küme için karşılanmıştır. Bu kümedeki sıfır vektörü sıfır sütunudur o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Sonuç olarak, \mathbb(R)^n kümesi gerçek bir doğrusal uzaydır. Benzer şekilde, karmaşık öğeler içeren n\times1 boyutunda sütunlardan oluşan bir \mathbb(C)^n kümesi karmaşık bir doğrusal uzaydır. Negatif olmayan gerçek elemanlara sahip sütun matrisleri kümesi ise zıt vektörler içermediğinden doğrusal bir uzay değildir.

4. \(Ax=o\) - lineer cebirsel denklemlerin ve bilinmeyenlerin (burada A, sistemin gerçek matrisidir) homojen bir Ax=o sisteminin çözüm kümesini, sütunların bir kümesi olarak kabul edelim. matrisleri toplama ve matrisleri bir sayıyla çarpma işlemleriyle n\times1 boyutları. Bu işlemlerin aslında \(Ax=o\) kümesinde tanımlandığına dikkat edin. Homojen bir sisteme yönelik çözümlerin Özellik 1'inden (bkz. Bölüm 5.5), homojen bir sistemin iki çözümünün toplamı ve çözümünün bir sayı ile çarpımının aynı zamanda homojen bir sistemin çözümleri olduğu sonucu çıkar; \(Ax=o\) kümesine aittir. Sütunlar için doğrusal uzay aksiyomları karşılanmıştır (doğrusal uzay örneklerindeki 3. maddeye bakınız). Bu nedenle homojen bir sistemin çözüm kümesi gerçek bir doğrusal uzaydır.

Homojen olmayan Ax=b,~b\ne o sisteminin \(Ax=b\) çözüm kümesi, aksine, sıfır eleman içermediğinden dolayı doğrusal bir uzay değildir (x=o, homojen olmayan sisteme bir çözüm değildir).

5. M_(m\times n) - matrisleri toplama ve matrisleri bir sayıyla çarpma işlemleriyle birlikte m\times n büyüklüğünde bir matris kümesini gösterelim. Doğrusal uzayın 1-8 aksiyomları bu küme için karşılanmıştır. Sıfır vektörü uygun boyutlarda bir sıfır matris O'dur. Bu nedenle, M_(m\times n) kümesi doğrusal bir uzaydır.

6. P(\mathbb(C)) - tek değişkenli, karmaşık katsayılı polinomlar kümesini gösterelim. Birçok terimin eklenmesi ve bir polinomun sıfır dereceli bir polinom olarak kabul edilen bir sayı ile çarpılması işlemleri tanımlanır ve 1-8 aksiyomlarını karşılar (özellikle sıfır vektörü, sıfıra eşit olan bir polinomdur). Bu nedenle, P(\mathbb(C)) kümesi karmaşık sayılar alanı üzerinde doğrusal bir uzaydır. Gerçek katsayılı polinomların P(\mathbb(R)) kümesi de doğrusal bir uzaydır (ancak elbette gerçek sayılar alanı üzerinde). Gerçek katsayılı en fazla n dereceli polinomlardan oluşan P_n(\mathbb(R)) kümesi de gerçek bir doğrusal uzaydır. Polinomların toplamının derecesi terimlerin derecelerini aşmadığından, birçok terimin toplama işleminin bu kümede tanımlandığına dikkat edin.

Derecesi n olan polinomlar kümesi doğrusal bir uzay değildir, çünkü bu tür polinomların toplamı, söz konusu kümeye ait olmayan daha düşük dereceli bir polinom olarak ortaya çıkabilir. Derecesi n'den yüksek olmayan ve pozitif katsayılı tüm polinomların kümesi de doğrusal bir uzay değildir, çünkü böyle bir polinomun negatif bir sayıyla çarpılması, bu kümeye ait olmayan bir polinomla sonuçlanacaktır.

7. C(\mathbb(R)) - \mathbb(R) üzerinde tanımlı ve sürekli olan gerçek fonksiyonlar kümesini gösterelim. f,g fonksiyonlarının toplamı (f+g) ve f fonksiyonunun \lambda f çarpımı ve \lambda gerçek sayısı eşitliklerle tanımlanır:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) tüm x\in \mathbb(R) için

Sürekli fonksiyonların toplamı ve sürekli bir fonksiyon ile bir sayının çarpımı sürekli fonksiyonlar olduğundan, bu işlemler aslında C(\mathbb(R)) üzerinde tanımlanır; C(\mathbb(R))'nin elemanları. Doğrusal uzay aksiyomlarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. Reel sayıların toplamı değişmeli olduğundan eşitlik şu şekilde olur: f(x)+g(x)=g(x)+f(x) herhangi bir x\in \mathbb(R) için. Bu nedenle f+g=g+f, yani. aksiyom 1 karşılanmıştır. Aksiyom 2, toplamanın ilişkilendirilebilirliğinden benzer şekilde çıkar. Sıfır vektörü o(x) fonksiyonudur, sıfıra eşit ve elbette süreklidir. Herhangi bir f fonksiyonu için f(x)+o(x)=f(x) eşitliği sağlanır; Aksiyom 3 doğrudur. f vektörünün zıt vektörü (-f)(x)=-f(x) fonksiyonu olacaktır. O halde f+(-f)=o (aksiyom 4 doğrudur). Aksiyom 5, 6, gerçek sayıların toplama ve çarpma işlemlerinin dağıtılabilirliğinden ve aksiyom 7 - sayıların çarpımının ilişkilendirilebilirliğinden kaynaklanır. Son aksiyom karşılanmıştır, çünkü bir ile çarpma fonksiyonu değiştirmez: herhangi bir x\in \mathbb(R) için 1\cdot f(x)=f(x), yani 1\cdot f=f . Dolayısıyla, tanıtılan işlemlerle birlikte dikkate alınan C(\mathbb(R)) kümesi gerçek bir doğrusal uzaydır. Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- birinci, ikinci vb.nin sürekli türevlerine sahip fonksiyon kümeleri. sıralar da sırasıyla doğrusal uzaylardır.

Trigonometrik binom kümesini (çoğunlukla \omega\ne0 ) gerçek katsayılarla gösterelim; formun birçok işlevi f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Nerede a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Bu tür binomların toplamı ve bir binomun gerçek sayıyla çarpımı trigonometrik binomlardır. Söz konusu küme için doğrusal uzay aksiyomları karşılanmıştır (çünkü T_(\omega)(\mathbb(R))\altküme C(\mathbb(R))). Bu nedenle birçok T_(\omega)(\mathbb(R)) Fonksiyonlar için bir sayı ile olağan toplama ve çarpma işlemleriyle, bu gerçek bir doğrusal uzaydır. Sıfır elemanı binomdur o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, aynı şekilde sıfıra eşittir.

\mathbb(R) üzerinde tanımlanan ve monoton gerçek fonksiyonlar kümesi doğrusal bir uzay değildir, çünkü iki monoton fonksiyonun farkı monoton olmayan bir fonksiyon olarak ortaya çıkabilir.

8. \mathbb(R)^X - X kümesinde tanımlanan gerçek fonksiyonlar kümesini aşağıdaki işlemlerle gösterelim:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Bu gerçek bir doğrusal uzaydır (kanıt önceki örnektekiyle aynıdır). Bu durumda X kümesi keyfi olarak seçilebilir. Özellikle eğer X=\(1,2,\ldots,n\) ise f(X) sıralı bir sayı kümesidir f_1,f_2,\ldots,f_n, Nerede f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Böyle bir küme, boyutları n\times1 olan bir matris sütunu olarak düşünülebilir; bir demet \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))\mathbb(R)^n kümesiyle çakışır (doğrusal uzay örnekleri için 3. maddeye bakın). Eğer X=\mathbb(N) ise (\mathbb(N)'nin doğal sayılar kümesi olduğunu hatırlayın), o zaman doğrusal bir uzay elde ederiz \mathbb(R)^(\mathbb(N))- birçok sayı dizisi \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Özellikle, yakınsak sayı dizileri kümesi aynı zamanda doğrusal bir uzay oluşturur, çünkü iki yakınsak dizinin toplamı yakınsar ve yakınsak bir dizinin tüm terimleri bir sayıyla çarpıldığında, yakınsak bir dizi elde ederiz. Bunun tersine, ıraksak diziler kümesi doğrusal bir uzay değildir, çünkü örneğin ıraksak dizilerin toplamının bir sınırı olabilir.

9. \mathbb(R)^(+) - a\oplus b toplamı ve \lambda\ast a çarpımının (bu örnekteki gösterimler olağan olanlardan farklıdır) olduğu pozitif gerçek sayılar kümesini gösterelim. eşitliklerle tanımlanır: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda) yani elementlerin toplamı sayıların çarpımı olarak, bir elementin bir sayı ile çarpılması ise bir kuvvete yükselme olarak anlaşılmaktadır. Pozitif sayıların çarpımı pozitif bir sayı olduğundan ve pozitif bir sayının herhangi bir gerçek kuvveti pozitif bir sayı olduğundan, her iki işlem de aslında \mathbb(R)^(+) kümesinde tanımlıdır. Aksiyomların geçerliliğini kontrol edelim. Eşitlikler

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

aksiyom 1 ve 2'nin sağlandığını gösterin. Bu kümenin sıfır vektörü birdir, çünkü a\oplus1=a\cdot1=a, yani o=1 . a'nın zıt vektörü, a\ne o'dan beri tanımlanan \frac(1)(a) vektörüdür. Aslında, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. 5, 6,7,8 aksiyomlarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

\begin(toplanan) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(toplandı)

Tüm aksiyomlar karşılanmıştır. Sonuç olarak, söz konusu küme gerçek bir doğrusal uzaydır.

10. V gerçek bir doğrusal uzay olsun. V üzerinde tanımlanan doğrusal skaler fonksiyonlar kümesini ele alalım; işlevler f\iki nokta üst üste V\'den \mathbb(R)'ye, gerçek değerleri alıp koşulları karşılayarak:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(toplanabilirlik);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(homojenlik).

Doğrusal fonksiyonlar üzerindeki doğrusal işlemler, doğrusal uzay örneklerinin 8. paragrafındakiyle aynı şekilde belirtilir. f+g toplamı ve \lambda\cdot f çarpımı eşitliklerle tanımlanır:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\ in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)'de.

Doğrusal uzay aksiyomlarının yerine getirilmesi paragraf 8'dekiyle aynı şekilde doğrulanır. Bu nedenle, doğrusal uzay V üzerinde tanımlanan doğrusal fonksiyonlar kümesi doğrusal bir uzaydır. Bu uzaya V uzayına eşlenik denir ve V^(\ast) ile gösterilir. Elementlerine kovektörler denir.

Örneğin, vektör argümanının skaler fonksiyonlarının kümesi olarak kabul edilen n değişkenin doğrusal formlarının kümesi, \mathbb(R)^n uzayına eşlenik doğrusal uzaydır.

Bir hata, yazım hatası fark ederseniz veya herhangi bir öneriniz varsa yorumlara yazın.

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

İzin vermek L Ve M- uzayın iki alt uzayı R.

Miktar L+M vektörler kümesi denir x+y, Nerede X∈L Ve sen∈M. Açıkçası, vektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu L+M ait L+M, buradan L+M uzayın bir alt uzayıdır R(boşlukla çakışabilir R).

Karşıya geçerek L∩M alt uzaylar L Ve M aynı anda altuzaylara ait olan vektörlerin kümesidir L Ve M(yalnızca sıfır vektörden oluşabilir).

Teorem 6.1. Rastgele altuzayların boyutlarının toplamı L Ve M sonlu boyutlu doğrusal uzay R bu alt uzayların toplamının boyutuna ve bu alt uzayların kesişiminin boyutuna eşittir:

loş L+loş M=loş(L+M)+loş(L∩M).

Kanıt. Haydi belirtelim F=L+M Ve G=L∩M. İzin vermek İyi oyun boyutlu altuzay. İçinde bir temel seçelim. Çünkü G⊂L Ve G⊂M bu nedenle temel G temele eklenebilir L ve tabana M. Alt uzayın tabanı olsun L ve alt uzayın tabanını alalım M. Vektörlerin olduğunu gösterelim.

alt uzaya ait G=L∩M. Öte yandan vektör v alt uzayın temel vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilebilir G:

Alt uzayın tabanının doğrusal bağımsızlığından dolayı L sahibiz:

Doğrusal bağımsız. Ancak herhangi bir vektör z itibaren F(alt uzayların toplamının tanımı gereği) toplamla temsil edilebilir x+y, Nerede x∈L, y∈M. Sırasıyla X a vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilir sen- vektörlerin doğrusal birleşimi. Sonuç olarak, vektörler (6.10) altuzayı oluşturur F. (6.10) vektörlerinin bir temel oluşturduğunu bulduk F=L+M.

Altuzay üslerini incelemek L Ve M ve altuzay temeli F=L+M(6.10), elimizde: loş L=g+l, loş M=g+m, loş (L+M)=g+l+m. Buradan:

loş L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

2.Doğrusal bir operatörün özvektörleri ve özdeğerleri.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

X ≠ 0 vektörüne denir özvektör AX = IX olacak şekilde bir l sayısı varsa, A matrisli doğrusal operatör.

Bu durumda l numarası çağrılır. özdeğer x vektörüne karşılık gelen operatör (matris A).

Başka bir deyişle, bir özvektör, doğrusal bir operatörün etkisi altında eşdoğrusal bir vektöre dönüşen bir vektördür; sadece bir sayıyla çarpın. Buna karşılık, uygunsuz vektörlerin dönüştürülmesi daha karmaşıktır.

Bir özvektörün tanımını bir denklem sistemi biçiminde yazalım:

Tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:

İkinci sistem matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:

(A - lE)X = O

Ortaya çıkan sistemin her zaman sıfır çözümü vardır X = O. Tüm serbest terimlerin sıfıra eşit olduğu sistemlere denir. homojen. Böyle bir sistemin matrisi kare ise ve determinantı sıfıra eşit değilse, Cramer formüllerini kullanarak her zaman benzersiz bir çözüm elde ederiz: sıfır. Bir sistemin sıfırdan farklı çözümlere sahip olduğu ancak ve ancak bu matrisin determinantının sıfıra eşit olması durumunda kanıtlanabilir;

|A - lE| = = 0

Bilinmeyenli bu denkleme denir karakteristik denklem(karakteristik polinom) matris A (doğrusal operatör).

Doğrusal bir operatörün karakteristik polinomunun baz seçimine bağlı olmadığı kanıtlanabilir.

Örneğin A = matrisiyle tanımlanan doğrusal operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım.

Bunu yapmak için |A - lE| karakteristik denklemini oluşturalım. = = (1 -l) 2 – 36 = 1 – 2l+l 2 - 36 =l 2 – 2l- 35; D = 4 + 140 = 144; özdeğerlerl 1 = (2 - 12)/2 = -5;l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Özvektörleri bulmak için iki denklem sistemini çözeriz

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Bunlardan ilki için genişletilmiş matris şu şekli alır:

,

dolayısıyla x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, yani. X(1) = (-(2/3)s;s).

İkincisi için genişletilmiş matris şu şekli alır:

,

buradan x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, yani. X(2) = ((2/3)s1;s1).

Dolayısıyla, bu doğrusal operatörün özvektörlerinin tümü (-(2/3)с; с) formundaki ve özdeğeri (-5) olan vektörler ve ((2/3)с 1 ; с 1) formundaki tüm vektörlerdir ve özdeğeri (-5)'dir. özdeğer 7.

A operatörünün matrisinin özvektörlerinden oluşan temelde köşegen olduğu ve şu şekilde olduğu kanıtlanabilir:

,

burada ben bu matrisin özdeğerleridir.

Bunun tersi de doğrudur: Eğer A matrisi bir bazda köşegen ise, o zaman bu bazın tüm vektörleri bu matrisin özvektörleri olacaktır.

Aynı zamanda, bir doğrusal operatörün n tane ikili farklı özdeğeri varsa, o zaman karşılık gelen özvektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve bu operatörün matrisinin karşılık gelen tabanda köşegen bir forma sahip olduğu da kanıtlanabilir.

Bunu önceki örnekle açıklayalım. Rasgele sıfır olmayan c ve c1 değerlerini alalım, ancak X (1) ve X (2) vektörleri doğrusal olarak bağımsız olacak şekilde, yani. bir temel oluşturacaktı. Örneğin c = c 1 = 3 olsun, bu durumda X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3) olur. Bu vektörlerin doğrusal bağımsızlığını doğrulayalım:

12 ≠ 0. Bu yeni temelde A matrisi A * = formunu alacaktır.

Bunu doğrulamak için A * = C -1 AC formülünü kullanalım. İlk önce C-1'i bulalım.

C-1 = ;

11 No'lu SINAV BİLETİ

1. Doğrusal uzayda yeni bir tabana geçiş. Geçiş matrisi.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Yeni bir temele geçiş

R uzayında iki taban vardır: eskisi el , e 2 ,...en ve yenisi el * , e 2 * ,...en * . Herhangi bir yeni temel vektör, eski temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir:

Eski temelden yeni temele geçiş belirtilebilir geçiş matrisi

Yeni temel vektörlerin eski temel üzerindeki çarpım katsayılarının bu matrisin satırlarını değil sütunlarını oluşturduğuna dikkat edin.

Matris A tekil değildir, aksi takdirde sütunları (ve dolayısıyla temel vektörleri) doğrusal olarak bağımlı hale gelir. Bu nedenle ters A-1 matrisine sahiptir.

X vektörünün eski tabana göre koordinatları (x l, x 2,... x n) ve yeni tabana göre koordinatları (x l *, x 2 *,... x n *) olsun, yani. Х = x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * +...+ x n * e n * .

Bu denklemde önceki sistemdeki e l * , e 2 * ,...e n * değerlerini yerine koyalım:

x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * (a 11 e l + a 12 e 2 + … + a 1n e n) + x 2 * (a 21 e l + a 22 e 2 + … + + a 2n e n) +...+ x n * (a n1 e l + a n2 e 2 + … + a nn e n)

0 = e l (x l * a 11 + x 2 * a 21 + … + x n * a n1 - x l) + e 2 (x l * a 12 + x 2 * a 22 + … + x n * a n2 – x 2) + + … + e n (x l * a 1n + x 2 * a 2n + … + x n * a nn – x n)

El, e 2,...e n vektörlerinin doğrusal bağımsızlığından dolayı, son denklemdeki tüm katsayıların sıfıra eşit olması gerekir. Buradan:

veya matris formunda

Her iki tarafı da A -1 ile çarparsak şunu elde ederiz:

Örneğin, e l , e 2 , e 3 tabanına a 1 = (1, 1, 0) ve 2 = (1, -1, 1) ve 3 = (-3, 5, -6) vektörleri verilsin. ) ve b = (4; -4; 5). a l, a 2 ve 3 vektörlerinin de bir taban oluşturduğunu gösteriniz ve b vektörünü bu tabana göre ifade ediniz.

a l, a 2 ve 3 vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için bunlardan oluşan matrisin sıralamasının üçe eşit olduğundan emin oluruz:

Orijinal matrisin A geçiş matrisinden başka bir şey olmadığına dikkat edin. Aslında el, e 2, e 3 ve a l, a 2 ve 3 bazları arasındaki bağlantı sistem tarafından ifade edilebilir:

A -1'i hesaplayalım.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Yani a l, a 2, a 3 vektörü temelinde b = (0,5; 2; -0,5).

2 Öklid uzayında vektör uzunluğu ve vektörler arasındaki açı.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

ve doğrusal bir uzayın altuzayları olsun.

Alt uzayları geçerek ve her biri aynı anda ait olan bir vektörler kümesi olarak adlandırılır; altuzayların kesişimi iki kümenin olağan kesişimi olarak tanımlanır.

Alt uzayların cebirsel toplamı ve formdaki vektörler kümesi olarak adlandırılır, burada . Alt uzayların cebirsel toplamı (kısacası sadece toplamı) gösterilir

Bir vektörün formdaki temsiline denir vektör ayrışması altuzay yok Ve .

Notlar 8.8

1. Alt uzayların kesişimi bir alt uzaydır. Bu nedenle boyut, temel vb. kavramlar kavşaklar için geçerlidir.

2. Alt uzayların toplamı bir alt uzaydır. Bu nedenle boyut, temel vb. kavramlar tutarlara uygulanır.

Aslında kümedeki doğrusal işlemlerin kapalılığını göstermek gerekir. İki vektörün toplama ait olduğunu varsayalım. her biri alt uzaylara ayrıştırılır:

Toplamı bulalım: . O zamandan beri ve o zamandan beri. Sonuç olarak küme toplama işlemine göre kapalıdır. Hadi işi bulalım: . O zamandan beri, a, o zaman. Sonuç olarak küme bir sayı ile çarpma işlemine göre kapalıdır. Dolayısıyla doğrusal bir altuzaydır.

3. Kesişme işlemi, doğrusal bir uzayın tüm altuzayları kümesinde tanımlanır. Değişmeli ve ilişkiseldir. Herhangi bir V alt uzayı ailesinin kesişimi doğrusal bir alt uzaydır ve ifadedeki parantezler isteğe bağlı olarak yerleştirilebilir veya hiç yerleştirilmeyebilir.

4. Minimal doğrusal altuzay sonlu boyutlu bir doğrusal uzayın bir alt kümesini içeren tüm alt uzayların kesişimidir; . Eğer ise, o zaman belirtilen kesişim boş alt uzayla çakışır, çünkü alt uzaylardan herhangi birinde yer alır. Eğer doğrusal bir altuzay ise, o zaman belirtilen kesişim, kesişen altuzayların her birinde bulunduğundan (ve bunlardan biri olduğundan) çakışır.

Doğrusal bir kabuğun minimum özelliği: doğrusal kabuk herhangi bir alt küme sonlu boyutlu doğrusal uzay içeren minimum doğrusal altuzaydır , yani .

Aslında şunu belirtelim . İki kümenin eşitliğini kanıtlamak gerekir: . O zamandan beri (bkz. yorum 8.7'nin 6. paragrafı), o zaman. Dahil edildiğini kanıtlayalım. Rasgele bir öğe şu şekildedir: burada. içeren herhangi bir alt uzay olsun. Tüm vektörleri ve bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonunu içerir (bkz. Açıklamalar 8.7, paragraf 7), özellikle vektör. Bu nedenle vektör, içeren herhangi bir alt uzaya aittir. Bu, bu tür altuzayların kesişimine ait olduğu anlamına gelir. Böylece, . Eşitlik iki eklemeden kaynaklanır.

5. Alt uzay toplama işlemi, doğrusal bir uzayın tüm alt uzaylarının kümesi üzerinde tanımlanır. Değişmeli ve ilişkiseldir. Bu nedenle, sonlu sayıda alt uzayın toplamında parantezler keyfi olarak yerleştirilebilir veya hiç yerleştirilmeyebilir.

6. Bir alt uzaylar birleşimini, her biri bir uzaya veya bir uzaya (veya her iki alt uzaya) ait olan bir vektörler kümesi olarak tanımlayabiliriz. Bununla birlikte, genel durumda alt uzayların birleşimi bir alt uzay değildir (yalnızca veya ek koşulu altında bir alt uzay olacaktır).

7. Altuzayların toplamı, birleşimlerinin doğrusal açıklığıyla çakışır. Gerçekten de dahil etme, tanımdan kaynaklanmaktadır. Kümenin herhangi bir elemanı şu forma sahiptir: kümedeki iki vektörün doğrusal birleşimidir. Ters dahil edilmeyi kanıtlayalım. Herhangi bir öğenin formu vardır , Nerede . Bu toplamı ikiye bölelim ve ilk toplama sahip tüm terimleri atayalım. Kalan terimler ikinci toplamı oluşturacaktır:

İlk toplam bir vektör, ikinci toplam ise bir vektör. Buradan, . Araç, . Ortaya çıkan iki dahil etme, söz konusu kümelerin eşitliğini gösterir.

Alt uzayların toplamının boyutuna ilişkin Teorem 8.4. Eğer Ve sonlu boyutlu doğrusal uzayın alt uzayları , bu durumda alt uzayların toplamının boyutu, kesişimlerinin boyutu hariç boyutlarının toplamına eşittir (Grassmann'ın formülü ):

Aslında kesişimin temeli olsun. Bunu, alt uzayın tabanına kadar sıralı bir vektör kümesiyle ve alt uzayın tabanına kadar sıralı bir vektör kümesiyle tamamlayalım. Böyle bir ekleme Teorem 8.2 ile mümkündür. Yukarıdaki üç vektör kümesinden sıralı bir küme oluşturuyoruz vektörler. Bu vektörlerin uzayın üreteçleri olduğunu gösterelim. Gerçekte, bu uzayın herhangi bir vektörü, sıralı bir kümedeki vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir.

Buradan, . Jeneratörlerin olduğunu kanıtlayalım doğrusal olarak bağımsızdırlar ve bu nedenle uzayın temelini oluştururlar. Aslında bu vektörlerin doğrusal bir birleşimini yapalım ve bunu sıfır vektörüne eşitleyelim:

İlk iki toplamı gösterelim - bu, 'den bir vektör, son toplamı gösterelim - bu, 'den bir vektör. Eşitlik (8.14): vektörün aynı zamanda uzaya ait olduğu anlamına gelir. Araç, . Bu vektörü tabana göre genişleterek şunu buluruz: . Bu vektörün (8.14)'deki açılımını dikkate alarak şunu elde ederiz:

Son eşitlik sıfır vektörünün altuzay tabanı açısından açılımı olarak düşünülebilir. Bu genişlemenin tüm katsayıları sıfırdır: ve. (8.14) yerine koyarsak, elde ederiz. Bu yalnızca önemsiz durumda mümkündür ve vektörler sistemi doğrusal olarak bağımsız olduğundan (bu, alt uzayın temelidir). Böylece eşitlik (8.14) yalnızca tüm katsayıların aynı anda sıfıra eşit olduğu önemsiz durumda sağlanır. Bu nedenle, vektörler kümesi doğrusal olarak bağımsız, yani uzayın temelidir. Alt uzayların toplamının boyutunu hesaplayalım:

Q.E.D.

Örnek 8.6. Bir noktada ortak orijine sahip yarıçap vektörleri uzayında aşağıdaki altuzaylar verilmiştir: ve - bir noktada kesişen düz çizgilere ait üç yarıçap vektör seti ve sırasıyla; ve kesişen düzlemlere ait iki yarıçap vektörü kümesidir ve sırasıyla; düz çizgi, düzleme aittir, düz çizgi düzleme aittir, düzlemdir ve düz bir çizgide kesişir (Şekil 8.2). Belirtilen beş altuzaydan her ikisinin toplamlarını ve kesişimlerini bulun.

Çözüm. Toplamı bulalım. Sırasıyla ve'ye ait iki vektörü toplayarak düzleme ait bir vektör elde ederiz. Aksine, ait olan herhangi bir vektör (bkz. Şekil 8.2), sırasıyla çizgiler üzerine projeksiyonlar ve vektörler oluşturularak formda temsil edilebilir. Bu, düzlemin herhangi bir yarıçap vektörünün altuzaylara genişletilebileceği anlamına gelir; . Benzer şekilde, a'nın ve doğrularından geçen düzleme ait yarıçap vektörleri kümesi olduğunu bulduk.

Toplamı bulalım. Uzayın herhangi bir vektörü alt uzaylara genişletilebilir ve . Aslında, yarıçap vektörünün sonu boyunca düz çizgiye paralel bir düz çizgi çizeriz (bkz. Şekil 8.2), yani. vektörün düzleme izdüşümünü oluşturuyoruz. Daha sonra vektörü erteliyoruz, böylece . Buradan, . O zamandan beri. Benzer şekilde şunu da elde ederiz. Kalan miktarlar basitçe bulunur: . Şuna dikkat edin.

Teorem 8.4'ü kullanarak örneğin boyutlardaki eşitliği kontrol edelim. ve'yi Grassmann formülüne yerleştirerek, beklendiği gibi şunu elde ederiz: .

Altuzayların kesişimlerini Şekil 2'de buluyoruz. 8.2, geometrik şekillerin kesişimi olarak:

sıfır yarıçap vektörü nerede.

Sadece bir miktar alan. Doğrudan toplam için kriterler.

Doğrusal uzay set denir L Bir sayıya göre toplama ve çarpma işlemlerinin tanımlandığı, yani. her bir eleman çifti için a,bL biraz var CL , bunların toplamı denir ve herhangi bir öğe için AL ve herhangi bir R sayısı mevcut BL tarafından 'nin çarpımı denir A. Doğrusal uzayın elemanlarına denir vektörler . Bir sayıyla toplama ve çarpma işlemleri aşağıdaki aksiyomları karşılar.

Toplama aksiyomları:  a, b, c  L

a+b = b+a – değişme özelliği

(a+b) + c = a + (b+c) –çağrışımsallık

Uzayda bir element var boş vektör ve belirlenmiş 0 , bu da herhangi bir şeye eklenir A itibaren L aynı unsuru verir A, onlar.  0L: a L 0 + bir = bir.

Herkes için A itibaren L var karşıt eleman , belirtilen -A, öyle ki (-a) + a = 0

(a L  (-a) L: (-a) + a = 0)

Toplama aksiyomlarından elde edilen sonuçlar:

1. Boş vektör benzersizdir, yani. en az biri için ise a L bu adil b + a = a, O b = 0.

2. Herhangi bir vektör için AL karşıt öğe benzersizdir, yani. b + a = 0  b = (-a)

Çarpma aksiyomları:  ,  R  a, b  L

 (A) = ()A

(a+b) =a+B - dağılım (vektörlere göre)

(+)bir =a+A - dağıtım (sayılara göre)

1bir = bir

Çarpma aksiyomlarından elde edilen sonuçlar:  A L    R

 0 = 0

0 bir = 0

(-A) = (-1) A
^

2.1 Doğrusal uzay örnekleri

1. Uzay k N yüksekliğindeki sütunlar Bu uzayın elemanları, bir sayıyla bileşen bazında toplama ve bileşen bazında çarpma işlemlerini içeren n adet gerçek sayı içeren sütunlardır. Böyle bir uzaydaki boş bir vektör, n sıfırdan oluşan bir sütundur.

2. Üç boyutlu uzayda sıradan vektörler R 3 “paralelkenar kuralına göre” toplama işlemleri ve çarpma-uzatma işlemleriyle. Tüm vektörlerin başlangıçlarının koordinatların başlangıç ​​noktasında olduğu varsayılır; boş bir vektör, koordinatların başlangıç ​​noktasında biten bir vektördür

3. Bir değişken 1'de n dereceli bir polinom, fonksiyondur

P n ( X ) = n X +  n-1 X n n-1 + … +  1 X +  0 ve  n  0

Birçok polinom derece daha yüksek değil n, bir sayıyla olağan toplama ve çarpma işlemleriyle doğrusal bir uzay oluşturur. Derecesi n olan polinomlar kümesinin doğrusal bir uzay oluşturmadığına dikkat edin. Gerçek şu ki, örneğin 3 dereceli iki polinomun toplamı, 2 dereceli bir polinom olarak ortaya çıkabilir (örneğin, ( X 3 + 3) + (– X 3 – 2X 2 + 7) = – 2X 2 + 10, derece 2) olan bir polinomdur. Bununla birlikte, polinomların eklenmesi işlemi dereceyi düşürebilir ancak arttıramaz, bu nedenle derecesi n'den yüksek olmayan polinomlar kümesi toplama altında kapatılır (yani derecesi n'den yüksek olmayan iki polinomun toplamı her zaman bir a'dır) derecesi polinomu n'den yüksek değildir ve doğrusal bir uzay oluşturur.
^

2.2 Boyut, taban, koordinatlar.

Doğrusal kombinasyon vektörler ( e 1 , e 2 , … e n )   1 ifadesi olarak adlandırılır e 1 +  2 e 2 + … n e n = Yani doğrusal bir kombinasyon, sayısal katsayılara sahip vektörlerin toplamıdır. Eğer tüm katsayılar  Ben 0'a eşitse doğrusal kombinasyon denir önemsiz .

2 vektörden oluşan sisteme denir doğrusal bağımlı , eğer bu vektörlerin önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu varsa 0 . Başka bir deyişle, hepsi sıfıra eşit olmayan n adet  R sayısı varsa ve vektörlerin katsayılarla doğrusal kombinasyonu sıfır vektöre eşitse:

Aksi takdirde vektörler çağrılır Doğrusal bağımsız . Başka bir deyişle vektörlere denir Doğrusal bağımsız , Eğer
 1'den itibaren e 1 +  2 e 2 + …+ n e N = 0 takip ediyor  1 =  2 = …= n = 0, yani bu vektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonunun sıfır vektöre eşit olması önemsizdir.

Ayrışma vektör A vektör sistemine göre ( e Ben) temsil denir A vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ( e Ben). Başka bir deyişle, yayılmak vektör A vektörlere göre ( e Ben)  i sayılarını bulmak anlamına gelir öyle ki

bir = 1 e 1 +  2 e 2 + … k e k

Vektörlerin bağımsızlığının tanımının aşağıdaki biçimde verilebileceğine dikkat edin: vektörler ancak ve ancak genişleme durumunda bağımsızdır 0 sadece onlar için.

Doğrusal uzay denir sonlu boyutlu , eğer bu uzaydaki tüm bağımsız vektör sistemleri en fazla n eleman içerecek şekilde bir n tamsayısı varsa.

Boyut sonlu boyutlu doğrusal uzay L doğrusal olarak bağımsız vektörlerin mümkün olan maksimum sayısıdır (dim ile gösterilir) L veya loş L ). Başka bir deyişle doğrusal uzaya denir. n boyutlu , Eğer:

1. Uzayda n vektörden oluşan bağımsız bir sistem vardır;

2. n +1 vektörden oluşan herhangi bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

Temel doğrusal uzay L N Eleman sayısı uzayın boyutuna eşit olan herhangi bir bağımsız vektör sistemi denir.

Teorem 1. Herhangi bir bağımsız vektör sistemi bir temele tamamlanabilir. Yani eğer sistem  L k bağımsızdır ve uzayın boyutundan daha az vektör içerir (n  L k, vektörlerin birleştirilmiş kümesi ( e 1 ,e 2 ,…e N, F 1 ,F 2 ,…F k-n) bağımsızdır, k vektör içerir ve bu nedenle bir temel oluşturur L k. ▄ Dolayısıyla herhangi bir doğrusal uzayda çok sayıda (aslında sonsuz sayıda) taban vardır.

Vektör sistemi denir tam dolu , varsa AL sistemin vektörlerine genişletilebilir (genişlemenin benzersiz olmaması mümkündür).

Aksine, bağımsız bir sistemdeki herhangi bir vektörün genişlemesi her zaman benzersizdir (ancak her zaman mevcut değildir). Onlar.

Teorem 2 Herhangi bir vektörün doğrusal uzay bazında ayrıştırılması Her zaman vardır ve benzersizdir. Yani temel bağımsız ve eksiksiz bir sistemdir. Temeline göre vektör açılımının katsayıları  i ( e Ben) arandı koordinatlar tabandaki vektörler ( e Ben }.▄

Boş vektörün tüm koordinatları herhangi bir temelde 0'a eşittir.

2.3 Örnekler

1. Uzay R 3 – okul kursundan bilinen vektörlerin üç boyutlu uzayı – “paralelkenar kuralına göre” olağan toplama ve bir sayıyla çarpma işlemlerinin yapıldığı “yönlendirilmiş bölümler”. Standart temel üç koordinat ekseni boyunca yönlendirilmiş üç karşılıklı dik vektör oluşturur; harflerle belirtilirler Ben , J Ve k.

2. Uzay k N yüksekliği n olan sütunların boyutu n'dir. Standart temel sütunların uzayında vektörler oluştururlar - bunlar, i'inci konumun birler içerdiği ve geri kalan elemanların sıfır olduğu sütunlardır:

Aslında, herhangi bir sütunun benzersiz bir şekilde bir vektörler sistemine ayrıştırıldığını görmek kolaydır: yani, herhangi bir sütunun genişleme katsayıları, bu sütunun karşılık gelen elemanlarına basitçe eşittir.

3. Derecesi n'den büyük olmayan polinomların uzayı n+1 boyutuna sahiptir. Standart temel bu alanda:

(). Aslında, n dereceli bir polinomun tanımından, derecesi n'den yüksek olmayan herhangi bir polinomun benzersiz bir şekilde vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edildiği ve doğrusal kombinasyonun katsayılarının basitçe polinomun katsayıları olduğu açıktır (eğer k polinomunun derecesi n'den küçükse, son n-k katsayıları 0'a eşittir).
^

2.4 Doğrusal uzayların izomorfizmi

Temel içeride olsun L N . Sonra herkes AL N n sayıdan oluşan bir diziye bire bir yazışma – vektör koordinatları A temelde. Bu nedenle herkes AL N sütun uzayından bir vektör bire bir eşlenebilir k N – vektörün koordinatlarından oluşan sütun A. Temele bu şekilde tanımlanmış bir uygunlukla, standart temel k N . 4

Vektörlerin toplamının doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. L N temelde karşılık gelen koordinatların toplamına yol açar; vektörlerin toplamı anlamına gelir L N yazışmalarımıza karşılık gelen sütunların toplamına karşılık gelir k N ; Benzer bir kural bir sayıyla çarpma işleminde de geçerlidir.

İki uzayın elemanları arasında, bu uzaylarda yapılan işlemlerin korunarak bire bir eşleşmesine denir. izomorfizm . İzomorfizm, eşitlik gibi, geçişli (geçişli) bir özelliktir: eğer uzay L N izomorfik k N ve uzay k N bir uzaya izomorf M N , Daha sonra L N izomorfik M N .

Teorem 3. N boyutunda her doğrusal uzay izomorfiktir k N, bu nedenle, geçişlilik nedeniyle, n boyutlu tüm doğrusal uzaylar birbirine izomorftur. ▄

Matematik açısından izomorfik nesneler aslında yalnızca bir nesnenin farklı "enkarnasyonlarıdır" (gerçekleşmeleridir) ve belirli bir uzay için kanıtlanmış herhangi bir gerçek, birinciye izomorf olan herhangi bir başka uzay için de geçerlidir.

2.5 Alt Uzaylar

Altuzay uzay L alt küme denir M L , bir sayı ile toplama ve çarpma işlemleri kapsamında kapatılmıştır, yani. x,y

M 

Açıkça, 0 M , Eğer M - altuzay L yani sıfır vektörü herhangi bir alt uzay 5'e aittir.

Doğrusal bir uzayın her alt uzayının kendisi bir doğrusal uzaydır. Bir demet ( 0 ) bir altuzaydır (uzay tek bir elemandan (sıfır vektör) oluşuyorsa doğrusal uzayın tüm aksiyomları karşılanır) 6 .

Her doğrusal uzay iki tane içerir önemsiz alt uzaylar: uzayın kendisi ve sıfır alt uzayı ( 0 ); diğer alt uzaylara denir önemsiz değil .

İki alt uzayın kesişimi bir alt uzaydır. İki alt uzayın birleşimi genel anlamda bir alt uzay değildir; örneğin orijinden geçen iki doğrunun birleşimi farklı doğrulara ait vektörlerin toplamını içermez (böyle bir toplam çizgiler arasında yer alır) 7 .

izin ver, n L k . Daha sonra bu vektörlerin tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesi, yani; formun tüm vektörlerinin kümesi

A =  1 F 1 +  2 F 2 + … n F N

N boyutlu bir alt uzay oluşturur G {F 1 , F 2 ,…F n), buna denir doğrusal kabuk vektörler ( F 1 , F 2 ,…F N).

Teorem 4. Herhangi bir alt uzayın temeli tüm uzayın tabanına tamamlanabilir. Onlar. izin vermek M N L k alt uzay, boyutlar n – temel M N . Daha sonra L k böyle bir vektör kümesi var  L k , vektörler sistemi ( F 1 ,F 2 …F N , G 1 , G 2 , …G k-n) 8 doğrusal olarak bağımsızdır ve k eleman içerir, dolayısıyla bir temel oluşturur. ▄
^

2.6 Alt uzay örnekleri.

1. B R 3 Koordinatların orijininden geçen her düzlem iki boyutlu bir alt uzay oluşturur ve koordinatların orijininden geçen her çizgi tek boyutlu bir alt uzay oluşturur (içermeyen düzlemler ve çizgiler). 0 , alt uzay olamaz) ve diğer alt uzaylar R 3 HAYIR.

2. Sütun uzayında k 3 formun sütunları, yani Üçüncü koordinatı 0 olan sütunlar, uzaya açıkça izomorf olan bir altuzay oluşturur k 2 sütunlar, yükseklik 2.

3. Uzayda P N polinomlar, dereceler n'den büyük değil, polinomlar, dereceler 2'den büyük değil, biçim 3 boyutlu alt uzay (üç katsayıları vardır).

4. Üç boyutlu uzayda P 2 derecesi 2'den büyük olmayan polinomlar, belirli bir x 0 noktasında sıfır olan polinomlar iki boyutlu bir alt uzay oluşturur (kanıtlayın!).

5. Görev. Boşlukta k 4 bir demet M Koordinatları şu koşulu karşılayan sütunlardan oluşur: 1 2 2 + 3 =0 (*). Kanıtla M üç boyutlu alt uzay k 4 .

Çözüm. Hadi bunu kanıtlayalım M alt uzay. Gerçekten izin ver A M , B M bu da a 1 2a 2 + a 3 =0, b 1 2b 2 + b 3 =0 anlamına gelir. Ancak vektör toplama kuralına göre ( A + B) Ben= bir Ben+b Ben. Şunu takip eder: eğer vektörler için A Ve B(*) koşulu karşılanırsa, A + B bu koşul karşılanmıştır. Ayrıca bir sütun için eğer açıktır ki A(*) koşulu sağlanırsa sütun için de sağlanır A. Ve son olarak kümenin sıfır vektörü M aittir. Böylece kanıtlanmıştır ki M alt uzay. Üç boyutlu olduğunu kanıtlayalım. Herhangi bir vektörün a M (*) koşulu nedeniyle koordinatları (**) vardır. İzin vermek M 1 = , M 2 = , bir H 4 = . Vektörler sisteminin ( M 1 ,M 2 ,H 4 ) temel oluşturur M . Doğrusal bir kombinasyon yapalım 1 M 1 + 2 M 2 +H 4 = keyfi katsayılarla. Açıkçası herhangi bir vektör A itibaren M (bkz. (**)) kümesine göre ayrıştırılır ( M 1 ,M 2 , H 4 ); Bunu yapmak için, genişleme katsayıları olarak 1 = a 1, 2 = a 2, 4 = a 4 vektörünün koordinatlarını seçmek yeterlidir. Özellikle vektörlerin tek doğrusal birleşimi. M 1 ,M 2 , H 4 sıfır vektörüne eşit, sıfır katsayılı bir kombinasyondur: 1 = 0, 2 = 0, 4 = 0. Sıfır vektör açılımının benzersizliğinden şu sonuç çıkar: ( M 1 ,M 2 , H 4 ) bağımsız vektör sistemi. Ve herkesin A M sisteme göre genişletilir ( M 1 ,M 2 , H 4 ), bu sistemin tamamlandığı sonucu çıkıyor. Alt uzayda tam ve bağımsız bir sistem temel oluşturur M . Bu taban üç vektör içerdiğinden, o zaman M üç boyutlu alt uzay.