Bir fonksiyonun sürekliliği kavramı. Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta sürekliliği. Örneklerle Bir fonksiyonun sürekliliği ne anlama gelir?

Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği

f(x) fonksiyonu x0 noktasının (x0 noktası dahil) bir O(x0) komşuluğunda tanımlansın.

Bir f(x) fonksiyonu, eğer bu noktada f(x) fonksiyonunun değerine eşit limx → x0 f(x) varsa, x0 noktasında sürekli olarak adlandırılır: lim

f(x) = f(x0), (1)

onlar. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) Yu f(x) O O(f(x0)) .

Yorum. Eşitlik (1) şu şekilde yazılabilir: lim

onlar. sürekli bir fonksiyonun işareti altında sınıra ulaşılabilir.

Δx = x − x0 argümanın artışı olsun, Δy = f(x) − f(x0) fonksiyonun karşılık gelen artışı olsun.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği için gerekli ve yeterli koşul

y = f(x) fonksiyonu ancak ve ancak şu şartla x0'da süreklidir:

Yorum. Koşul (2), bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin ikinci tanımı olarak yorumlanabilir. Her iki tanım da eşdeğerdir.

f(x) fonksiyonunun yarı aralıkta tanımlı olduğunu varsayalım.

Tek taraflı bir limit limiti varsa, f(x) fonksiyonunun x0'da sürekli kaldığı söylenir.

İki sürekli fonksiyonun toplamı, çarpımı ve bölümünün sürekliliği

Teorem 1. f(x) ve g(x) fonksiyonları x0 noktasında sürekliyse, f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) bu noktada süreklidir nokta

Karmaşık bir fonksiyonun sürekliliği

Teorem 2. Eğer u(x) fonksiyonu x0 noktasında sürekli ise ve f(u) fonksiyonu karşılık gelen u0 = f(x0 noktasında sürekliyse, o zaman karmaşık f(u(x)) fonksiyonu süreklidir x0 noktasında.

Tüm temel fonksiyonlar tanım alanlarının her noktasında süreklidir.

Sürekli fonksiyonların yerel özellikleri

Teorem 3 (sürekli bir fonksiyonun sınırlılığı). Eğer f(x) fonksiyonu x0'da sürekli ise, f(x)'in sınırlı olduğu bir O(x0) komşuluğu vardır.

Kanıt, limiti olan bir fonksiyonun sınırlılığı hakkındaki ifadeden kaynaklanır.

Teorem 4 (sürekli bir fonksiyonun işaretinin kararlılığı). Eğer f(x) fonksiyonu x0 noktasında ve f(x0) ≠ 0 noktasında sürekli ise, o zaman x0 noktasının f(x) ≠ 0 olduğu bir komşuluğu vardır ve bu komşulukta f(x)'in işareti vardır. f(x0)'ın işaretiyle çakışmaktadır.

Kırılma noktalarının sınıflandırılması

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki sürekliliği için koşul (1), f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3) koşuluna eşdeğerdir

burada f(x 0 − 0) = lim

f(x) ve f(x0 + 0) = lim

f(x) - f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki tek taraflı limitleri.

Koşul (3) ihlal edilirse, x0 noktasına f(x) fonksiyonunun süreksizlik noktası denir. Koşul (3)'ün ihlalinin türüne bağlı olarak kırılma noktaları farklı niteliktedir ve aşağıdaki şekilde sınıflandırılır:

1. Eğer x0 noktasında f(x0 − 0), f(x0 + 0) ve tek taraflı limitler varsa

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0) ise x0 noktasına f(x) fonksiyonunun çıkarılabilir süreksizlik noktası denir (Şekil 1).

Yorum. x0 noktasında fonksiyon tanımlanmamış olabilir.

2. Eğer x0 noktasında f(x0 − 0), f(x0 + 0) ve tek taraflı limitler varsa

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0) ise, x0 noktasına f(x) fonksiyonunun sonlu sıçramasına sahip bir süreksizlik noktası denir (Şekil 2).

Yorum. Sonlu sıçramalı süreksizlik noktasında fonksiyonun değeri herhangi bir değer olabilir veya tanımlı olmayabilir.

Çıkarılabilir süreksizlik ve sonlu sıçrama noktalarına 1. tür süreksizlik noktaları denir. Bunların ayırt edici özelliği sonlu tek taraflı limitlerin varlığıdır f(x0 − 0) ve

3. Eğer x0 noktasında f(x0 − 0), f(x0 + 0) tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse veya mevcut değilse, o zaman
x0'a 2. tür süreksizlik noktası denir (Şekil 3).

Tek taraflı limitlerden en az biri f(x0 − 0), f(x0 + 0) sonsuza eşitse, o zaman x = x 0 düz çizgisine y = f fonksiyonunun grafiğinin dikey asimptotu denir. (X).

Tanım. Bir x0 noktasının komşuluğunda tanımlanan bir f(x) fonksiyonuna, eğer fonksiyonun limiti ve bu noktadaki değeri eşitse, x0 noktasında sürekli denir.

Aynı gerçek farklı şekilde yazılabilir:

Tanım. Eğer f(x) fonksiyonu x0 noktasının bir komşuluğunda tanımlıysa ancak x0 noktasında sürekli değilse, bu durumda buna süreksiz fonksiyon adı verilir ve x0 noktasına da süreksizlik noktası denir.

Tanım. Herhangi bir e>0 pozitif sayısı için, herhangi bir x için koşulu sağlayacak şekilde bir D>0 sayısı varsa, f(x) fonksiyonunun x0 noktasında sürekli olduğu söylenir.

eşitsizlik doğrudur.

Tanım. Eğer fonksiyonun x0 noktasındaki artışı sonsuz küçük bir değer ise, f(x) fonksiyonuna x = x0 noktasında sürekli denir.

f(x) = f(x0) + a(x)

burada a(x), x®x0'da sonsuz küçüktür.

Sürekli fonksiyonların özellikleri.

1) x0 noktasında sürekli olan fonksiyonların toplamı, farkı ve çarpımı, x0 noktasında sürekli olan bir fonksiyondur.

2) İki sürekli fonksiyonun bölümü, x0 noktasında g(x) sıfıra eşit olmadığı sürece sürekli bir fonksiyondur.

3) Sürekli fonksiyonların süperpozisyonu sürekli bir fonksiyondur.

Bu özellik şu şekilde yazılabilir:

Eğer u = f(x), v = g(x) x = x0 noktasında sürekli fonksiyonlarsa, v = g(f(x)) fonksiyonu da bu noktada sürekli bir fonksiyondur.

Yukarıdaki özelliklerin geçerliliği limit teoremleri kullanılarak kolayca kanıtlanabilir.

Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri.

Özellik 1: (Weierstrass'ın ilk teoremi (Weierstrass Karl (1815-1897) - Alman matematikçi)). Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır; –M £ f(x) £ M koşulu segmentte karşılanmıştır.

Bu özelliğin ispatı, x0 noktasında sürekli olan bir fonksiyonun belirli bir komşuluk sınırında olması ve bir doğru parçasının x0 noktasına kadar “daralmış” sonsuz sayıda parçaya bölünmesine dayanır. ise x0 noktasının belirli bir komşuluğu oluşturulur.

Özellik 2: Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon, en büyük ve en küçük değerlerini alır.

Onlar. f(x1) = m, f(x2) = M olacak şekilde x1 ve x2 değerleri vardır ve

Fonksiyonun bir parça üzerinde birkaç kez alabileceği en büyük ve en küçük değerleri (örneğin f(x) = sinx) not edelim.

Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri arasındaki farka, fonksiyonun aralıktaki salınımı denir.

Özellik 3: (İkinci Bolzano-Cauchy teoremi). Aralıkta sürekli olan bir fonksiyon, bu aralıkta iki keyfi değer arasındaki tüm değerleri alır.

Özellik 4: Eğer f(x) fonksiyonu x = x0 noktasında sürekliyse, o zaman x0 noktasının, fonksiyonun işaretini koruduğu bir komşuluğu vardır.

Özellik 5: (Bolzano'nun birinci teoremi (1781-1848) – Cauchy). Bir f(x) fonksiyonu bir doğru parçası üzerinde sürekliyse ve parçanın uçlarında zıt işaretli değerlere sahipse, bu parçanın içinde f(x) = 0 olan bir nokta vardır.

Onlar. eğer işaret(f(a)) ¹ işaret(f(b)) ise $ x0: f(x0) = 0.

Tanım. Herhangi bir e>0 için, herhangi bir x1Î ve x2Î noktası için D>0 mevcutsa, f(x) fonksiyonunun aralıkta düzgün sürekli olduğu söylenir;

ïx2 – x1ï< D

ïf(x2) – f(x1)ï eşitsizliği doğrudur< e

Düzgün süreklilik ile "sıradan" süreklilik arasındaki fark, herhangi bir e için x'ten bağımsız olarak kendi D'sinin bulunması ve "sıradan" süreklilik ile D'nin e ve x'e bağlı olmasıdır.

Özellik 6: Cantor Teoremi (Georg Cantor (1845-1918) - Alman matematikçi). Bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyon, onun üzerinde düzgün süreklidir.

(Bu özellik yalnızca bölümler için geçerlidir; aralıklar ve yarım aralıklar için geçerli değildir.)

Sürekliliğin tanımı

Bir f(x) fonksiyonuna bir a noktasında sürekli denir, eğer: f () pp

1) f(x) fonksiyonu a noktasında tanımlıdır,

2) x→a şeklinde sonlu bir limiti vardır 2) x→a şeklinde sonlu bir limiti vardır,

3) bu limit fonksiyonun bu noktadaki değerine eşittir:

Aralıktaki süreklilik

f (x) pp ru ise, bir f(x) fonksiyonunun X aralığında sürekli olduğu söylenir.

Bu aralığın her noktasında süreklidir.

İfade. Tüm temel fonksiyonlar süreklidir

Tanımlarının alanları.

Sınırlı işlev

Bir fonksiyonun bir aralıkla sınırlı olduğu söylenirse

öyle bir M sayısı vardır ki her x ∈ için

eşitsizlik:| f(x)| ≤ M.

Weierstrass'ın iki teoremi

Weierstrass'ın ilk teoremi. Eğer f (x r r r r f f (

doğru parçası üzerinde sürekli ise bu parça üzerinde sınırlıdır

Weierstrass'ın ikinci teoremi. Eğer f(x) fonksiyonu

segment üzerinde sürekli ise bu segmente ulaşır

m'nin en küçük değeri ve M'nin en büyük değeri.

Bolzano-Cauchy teoremi

Eğer f(x) fonksiyonu f f () pp p üzerindeki değer parçası üzerinde sürekli ise

bu parçanın uçlarında f(a) ve f(b) zıt işaretlere sahiptir,

Doğru parçasının içinde f (c) = 0 olacak şekilde bir c∈ (a,b) noktası vardır. ur p () f ()

Heine'ye göre sürekliliğin tanımı

Gerçek bir değişkenin \(f\left(x \right)\) fonksiyonunun şu şekilde olduğu söylenir: sürekli herhangi bir dizi için \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)gerçek sayılar kümesi) noktasında \(\left\( ((x_n)) \right\ )\ ), öyle ki \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] ilişkisi \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n) ) \right) = f\left(a \right).\] Pratikte, \(f\left(x \right)\) fonksiyonunun sürekliliği için aşağıdaki \(3\) koşullarını kullanmak uygundur. \(x = a\) noktasında (aynı anda yürütülmesi gereken):

1. \(f\left(x \right)\) fonksiyonu \(x = a\) noktasında tanımlanır;
2. Limit \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) mevcuttur;
3. \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\) eşitliği geçerlidir.

Cauchy sürekliliğinin tanımı (gösterim \(\varepsilon - \delta\))

Gerçek sayılar kümesini \(\mathbb(R)\) gerçek sayıların başka bir alt kümesi \(B\) ile eşleştiren bir \(f\left(x \right)\) fonksiyonunu düşünün. \(f\left(x \right)\) fonksiyonunun olduğu söyleniyor sürekli \(a \in \mathbb(R)\) noktasında, eğer herhangi bir sayı için \(\varepsilon > 0\) bir sayı \(\delta > 0\) varsa, öyle ki tüm \(x \in \ için) mathbb (R)\), \[\left| ilişkisini karşılıyor (x - a) \sağ| Sürekliliğin argüman ve fonksiyon artışları cinsinden tanımı

Sürekliliğin tanımı aynı zamanda argüman ve fonksiyon artışları kullanılarak da formüle edilebilir. \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ise fonksiyon \(x = a\) noktasında süreklidir. ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] burada \(\Delta x = x - a\).

Bir fonksiyonun sürekliliğine ilişkin yukarıdaki tanımlar reel sayılar kümesinde eşdeğerdir.

İşlev belirli bir aralıkta sürekli , eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise.

Süreklilik teoremleri

Teorem 1.
\(f\left(x \right)\) fonksiyonu \(x = a\) noktasında sürekli olsun ve \(C\) bir sabit olsun. O halde \(Cf\left(x \right)\) fonksiyonu \(x = a\) için de süreklidir.

Teorem 2.
\((f\left(x \right))\) ve \((g\left(x \right))\), \(x = a\ noktasında sürekli olan iki fonksiyon verildiğinde). O halde bu fonksiyonların toplamı \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) da \(x = a\) noktasında süreklidir.

Teorem 3.
İki fonksiyonun \((f\left(x \right))\) ve \((g\left(x \right))\) \(x = a\) noktasında sürekli olduğunu varsayalım. O halde bu fonksiyonların çarpımı \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) \(x = a\) noktasında da süreklidir.

Teorem 4.
\((f\left(x \right))\) ve \((g\left(x \right))\), \(x = a\ için sürekli) iki fonksiyonu verildiğinde. O halde bu fonksiyonların oranı \(\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize\) \(x = a\ için de süreklidir. ) tabi olarak \((g\left(a \right)) \ne 0\).

Teorem 5.
\((f\left(x \right))\) fonksiyonunun \(x = a\) noktasında türevlenebilir olduğunu varsayalım. O halde \((f\left(x \right))\) fonksiyonu bu noktada süreklidir (yani türevlenebilirlik, fonksiyonun bu noktada sürekliliğini ima eder; bunun tersi doğru değildir).

Teorem 6 (Sınır değer teoremi).
Eğer bir \((f\left(x \right))\) fonksiyonu kapalı ve sınırlı bir \(\left[ (a,b) \right]\) aralığında sürekli ise, o zaman bu fonksiyonun üstünden ve altından sınırlıdır aralık. Başka bir deyişle, \(\left[ (a,b) \right]\) aralığındaki tüm \(x\) için \ olacak şekilde \(m\) ve \(M\) sayıları vardır (Şekil 1) .

Şekil 1		İncir. 2

Teorem 7 (Ara değer teoremi).
\((f\left(x \right))\) fonksiyonunun kapalı ve sınırlı bir aralıkta \(\left[ (a,b) \right]\) sürekli olmasını sağlayın. O halde, eğer \(c\), \((f\left(a \right))\)'den büyük ve \((f\left(b \right))\)'den küçük bir sayıysa, o zaman bir sayı vardır \(( x_0)\), öyle ki \ Bu teorem Şekil 2'de gösterilmektedir.

Temel fonksiyonların sürekliliği

Tüm temel işlevler tanım alanlarının herhangi bir noktasında süreklidirler.

Fonksiyon çağrılır temel sınırlı sayıda kompozisyon ve kombinasyondan oluşturulmuşsa
(\(4\) işlemlerini kullanarak - toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) . Bir demet temel temel işlevler içerir:

Tanım. y = f(x) fonksiyonu x0 noktasında ve onun bazı komşuluklarında tanımlansın. y = f(x) fonksiyonu çağrılır x0 noktasında sürekli, Eğer:

1. var
2. Bu limit fonksiyonun x0 noktasındaki değerine eşittir:

Limit tanımlanırken f(x)'in x0 noktasında tanımlanamayacağı, bu noktada tanımlı olması durumunda f(x0) değerinin limitin belirlenmesine hiçbir şekilde katılmayacağı vurgulandı. Sürekliliği belirlerken f(x0)'ın var olması esastır ve bu değerin lim f(x)'e eşit olması gerekir.

Tanım. y = f(x) fonksiyonu x0 noktasında ve onun bazı komşuluklarında tanımlansın. Tüm ε>0 için, x0 noktasının δ-komşuluğundaki tüm x'ler için pozitif bir δ sayısı varsa, f(x) fonksiyonuna x0 noktasında sürekli denir (yani |x-x0|
Burada limit değerinin f(x0)'a eşit olması gerektiği dikkate alınır, bu nedenle limit tanımıyla karşılaştırıldığında 0 komşuluğunun delinme durumu ortadan kaldırılır.
Artımlar açısından bir tanım daha (bir öncekine eşdeğer) verelim. Δх = x - x0 olarak gösterelim; bu değere argümanın artışı adını vereceğiz. x->x0 olduğundan Δx->0 olur, yani Δx - b.m. (sonsuz) miktar. Δу = f(x)-f(x0) olarak gösterelim, |Δу| olduğundan bu değere fonksiyonun artışı adını vereceğiz. (yeterince küçük |Δх| için) rastgele bir ε>0 sayısından küçük olmalıdır, bu durumda Δу- aynı zamanda b.m'dir. bu nedenle değer

Tanım. y = f(x) fonksiyonu x0 noktasında ve onun bazı komşuluklarında tanımlansın. f(x) fonksiyonu çağrılır x0 noktasında sürekli, eğer argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık geliyorsa.

Tanım. x0 noktasında sürekli olmayan f(x) fonksiyonu, süreksiz denir Bu noktada.

Tanım. Bir f(x) fonksiyonu, bir X kümesinin her noktasında sürekli ise bu fonksiyona sürekli denir.

Bir toplamın, çarpımın ve bölümün sürekliliği üzerine teorem

Sürekli bir fonksiyonun işareti altında limite geçiş teoremi

Sürekli fonksiyonların süperpozisyonunun sürekliliğine ilişkin teorem

f(x) fonksiyonu bir aralıkta tanımlı olsun ve bu aralıkta monoton olsun. O halde f(x) bu doğru parçası üzerinde yalnızca birinci türden süreksizlik noktalarına sahip olabilir.

Ara değer teoremi. f(x) fonksiyonu bir doğru parçası üzerinde sürekliyse ve a ve b iki noktasında (a, b'den küçüktür) eşit olmayan değerler alıyorsa A = f(a) ≠ B = f(b), o zaman herhangi bir sayı için C A ile B arasında, fonksiyonun değerinin C'ye eşit olduğu bir c ∈ noktası vardır: f(c) = C.

Sürekli bir fonksiyonun bir aralıkta sınırlılığı üzerine teorem. Bir f(x) fonksiyonu bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta sınırlıdır.

Minimum ve maksimum değerlere ulaşma teoremi. f(x) fonksiyonu bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta alt ve üst sınırlarına ulaşır.

Ters fonksiyonun sürekliliğine ilişkin teorem. y=f(x) fonksiyonu sürekli ve [a,b] aralığında kesin olarak artan (azalan) olsun. Daha sonra parça üzerinde yine monoton olarak artan (azalan) ve sürekli olan bir ters fonksiyon x = g(y) vardır.

Tek değişkenli sürekli bir fonksiyonun temel teoremlerinin tanımları ve formülasyonları ve özellikleri verilmiştir. Bir noktada, bir doğru parçası üzerinde sürekli bir fonksiyonun özellikleri, karmaşık bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği, süreksizlik noktalarının sınıflandırılması dikkate alınır. Ters fonksiyona ilişkin tanım ve teoremler verilmiştir. Temel fonksiyonların özellikleri özetlenmiştir.

İçerik

Süreklilik kavramını şu şekilde formüle edebiliriz: artışlar açısından. Bunu yapmak için, x değişkeninin o noktadaki artışı adı verilen yeni bir değişken tanıtıyoruz. O zaman fonksiyon şu noktada süreklidir:
.
Yeni bir fonksiyon tanıtalım:
.
Onu aradılar fonksiyon artışı noktada . O zaman fonksiyon şu noktada süreklidir:
.

Sağda sürekliliğin tanımı (solda)
Fonksiyon f (X) isminde sağda (solda) x noktasında sürekli 0 , eğer bu noktanın sağ taraftaki (sol taraftaki) bir komşuluğunda tanımlanmışsa ve x noktasındaki sağ (sol) limit ise 0 x'teki fonksiyon değerine eşit 0 :
.

Sürekli bir fonksiyonun sınırlılığı üzerine teorem
f fonksiyonu olsun (X) x noktasında süreklidir 0 . Sonra bir mahalle U var (x0), işlevin sınırlı olduğu.

Sürekli bir fonksiyonun işaretinin korunmasına ilişkin teorem
Fonksiyon bir noktada sürekli olsun. Ve bu noktada pozitif (negatif) bir değere sahip olsun:
.
Daha sonra fonksiyonun pozitif (negatif) bir değere sahip olduğu noktanın bir komşuluğu vardır:
.

Sürekli fonksiyonların aritmetik özellikleri
Fonksiyonlar ve noktasında sürekli olsun.
O halde fonksiyonlar, ve noktasında süreklidir.
Eğer ise fonksiyon o noktada süreklidir.

Sol-sağ süreklilik özelliği
Bir fonksiyon bir noktada süreklidir ancak ve ancak sağda ve solda süreklidir.

Özelliklerin ispatları “Bir noktada sürekli olan fonksiyonların özellikleri” sayfasında verilmiştir.

Karmaşık bir fonksiyonun sürekliliği

Karmaşık bir fonksiyon için süreklilik teoremi
Fonksiyon bir noktada sürekli olsun. Fonksiyonun bu noktada sürekli olmasına izin verin.
O halde karmaşık fonksiyon bu noktada süreklidir.

Karmaşık bir fonksiyonun limiti

Bir fonksiyonun sürekli fonksiyonunun limiti üzerine teorem
Fonksiyonun 'da bir limiti olsun ve bu şuna eşit olsun:
.
İşte t noktası 0 sonlu veya sonsuz uzaklıkta olabilir: .
Fonksiyonun bu noktada sürekli olmasına izin verin.
O zaman karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve şuna eşittir:
.

Karmaşık bir fonksiyonun sınırına ilişkin teorem
Fonksiyonun bir limiti olsun ve bir noktanın delinmiş komşuluğunu bir noktanın delinmiş komşuluğuna eşleyin. Fonksiyon bu komşuluk üzerinde tanımlansın ve üzerinde bir limit olsun.
İşte son veya sonsuz uzaklıktaki noktalar: . Mahalleler ve bunlara karşılık gelen sınırlar iki taraflı veya tek taraflı olabilir.
O zaman karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve şuna eşittir:
.

Kırılma noktaları

Kırılma noktasının belirlenmesi
Fonksiyonun noktanın bazı delinmiş komşuluklarında tanımlandığını varsayalım. Nokta denir fonksiyon kırılma noktası iki koşuldan biri karşılanırsa:
1) 'de tanımlanmamış;
2) 'da tanımlıdır, ancak bu noktada değildir.

1. tür süreksizlik noktasının belirlenmesi
Nokta denir birinci türden süreksizlik noktası if bir kırılma noktasıdır ve solda ve sağda sonlu tek taraflı limitler vardır:
.

Fonksiyon atlamanın tanımı
Atlama Δ işlevi bir noktada sağdaki ve soldaki sınırlar arasındaki farktır
.

Kırılma noktasının belirlenmesi
Nokta denir çıkarılabilir kırılma noktası eğer bir sınır varsa
,
ancak noktadaki fonksiyon ya tanımlı değil ya da sınır değerine eşit değil: .

Dolayısıyla çıkarılabilir süreksizlik noktası, fonksiyonun sıçramasının sıfıra eşit olduğu 1. tür süreksizlik noktasıdır.

2. tür süreksizlik noktasının belirlenmesi
Nokta denir ikinci türün süreksizlik noktası 1. türden bir süreksizlik noktası değilse. Yani, en az bir tek taraflı limit yoksa veya bir noktada en az bir tek taraflı limit sonsuza eşittir.

Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri

Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun tanımı
Bir fonksiyon, açık aralığın (at) tüm noktalarında ve sırasıyla a ve b noktalarında sürekli ise, bir (at) aralığında sürekli olarak adlandırılır.

Weierstrass'ın bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun sınırlılığına ilişkin ilk teoremi
Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta sınırlıdır.

Maksimumun (minimum) ulaşılabilirliğinin belirlenmesi
Bir fonksiyon, eğer bir argüman varsa, kümedeki maksimum (minimum) değerine ulaşır.
hepsi için .

Üst (alt) yüzün ulaşılabilirliğinin belirlenmesi
Bir fonksiyon, eğer bir argüman varsa, kümedeki üst (alt) sınırına ulaşır.
.

Weierstrass'ın sürekli bir fonksiyonun maksimum ve minimumuna ilişkin ikinci teoremi
Bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyon, onun üzerinde üst ve alt sınırlarına ulaşır veya aynı şekilde, doğru parçası üzerinde maksimum ve minimum değerlerine ulaşır.

Bolzano-Cauchy ara değer teoremi
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin. Ve C'nin, segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerleri arasında yer alan rastgele bir sayı olmasına izin verin: ve. O zaman bir nokta var
.

Sonuç 1
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin. Ve segmentin uçlarındaki fonksiyon değerlerinin farklı işaretlere sahip olmasına izin verin: veya . Sonra fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu bir nokta vardır:
.

Sonuç 2
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin. Bırak gitsin . Daha sonra fonksiyon, tüm değerlerin aralığını ve yalnızca bu değerlerden alır:
.

Ters fonksiyonlar

Ters fonksiyonun tanımı
Bir fonksiyonun X tanım alanına ve Y değerlerine sahip olmasına izin verin. Ve şu özelliğe sahip olsun:
hepsi için .
O zaman Y kümesindeki herhangi bir öğe için X kümesinin yalnızca bir öğesi ilişkilendirilebilir. Bu yazışma, adı verilen bir işlevi tanımlar. ters fonksiyonİle . Ters fonksiyon şu şekilde gösterilir:
.

Tanımdan şu sonuç çıkıyor
;
hepsi için ;
hepsi için .

Doğrudan ve ters fonksiyonların karşılıklı monotonluğuna ilişkin Lemma
Eğer bir fonksiyon kesin olarak artıyorsa (azalansa), o zaman yine kesin olarak artan (azalan) bir ters fonksiyon vardır.

Doğrudan ve ters fonksiyonların grafiklerinin simetrisinin özelliği
Doğrudan ve ters fonksiyonların grafikleri düz çizgiye göre simetriktir.

Bir aralıkta ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliğine ilişkin teorem
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli ve kesinlikle artan (azalan) olmasına izin verin. Daha sonra ters fonksiyon tanımlanır ve kesinlikle artan (azalan) segment üzerinde süreklidir.

Artan bir fonksiyon için. Azaltmak için - .

Bir aralıkta ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliğine ilişkin teorem
Fonksiyonun açık sonlu veya sonsuz bir aralıkta sürekli ve kesinlikle artan (azalan) olmasına izin verin. Daha sonra ters fonksiyon tanımlanır ve aralıkta süreklidir, bu kesinlikle artar (azalır).

Artan bir fonksiyon için.
Azaltmak için: .

Benzer şekilde ters fonksiyonun yarı aralıkta varlığı ve sürekliliğine ilişkin teoremi de formüle edebiliriz.

Temel fonksiyonların özellikleri ve sürekliliği

Temel fonksiyonlar ve bunların tersi, tanım alanlarında süreklidir. Aşağıda karşılık gelen teoremlerin formülasyonlarını sunuyoruz ve kanıtlarına bağlantılar sağlıyoruz.

Üstel fonksiyon

Üstel fonksiyon f (x) = balta, a tabanlı > 0 dizinin limiti
,
x'e yönelen rastgele bir rasyonel sayılar dizisi nerede:
.

Teorem. Üstel Fonksiyonun Özellikleri
Üstel fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(S.0) tanımlanmış, için, herkes için;
(S.1) bir ≠ için 1 birçok anlamı vardır;
(S.2) kesinlikle artar, kesinlikle azalır, sabittir;
(S.3) ;
(S.3*) ;
(S.4) ;
(S.5) ;
(S.6) ;
(S.7) ;
(S.8) herkes için sürekli;
(S.9);
.

Logaritma

Logaritmik fonksiyon veya logaritma, y = günlük balta, a tabanlı a tabanlı üstel fonksiyonun tersidir.

Teorem. Logaritmanın özellikleri
a tabanlı logaritmik fonksiyon, y = x'i günlüğe kaydet, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(L.1) argümanın pozitif değerleri için ve için tanımlanmış ve sürekli;
(L.2) birçok anlamı vardır;
(L.3) kesinlikle artar, kesinlikle azalır;
(L.4);
;
(L.5) ;
(L.6);
(L.7);
(L.8);
(L.9).

Üs ve doğal logaritma

Üstel fonksiyon ve logaritmanın tanımlarında kuvvetin tabanı veya logaritmanın tabanı olarak adlandırılan bir sabit ortaya çıkar. Matematiksel analizde, çoğu durumda, e sayısı temel olarak kullanılırsa daha basit hesaplamalar elde edilir:
.
e tabanına sahip bir üstel fonksiyona üs: denir ve e tabanına sahip bir logaritmaya doğal logaritma: denir.

Üssün özellikleri ve doğal logaritmanın özellikleri sayfalarda sunulmaktadır.
"Üs, e üzeri x'in kuvveti",
"Doğal logaritma, ln x fonksiyonu"

Güç fonksiyonu

p üssüyle kuvvet fonksiyonu f fonksiyonu (x) = x p x noktasındaki değeri, p noktasındaki x tabanlı üstel fonksiyonun değerine eşittir.
Ayrıca, f (0) = 0 p = 0 p için > 0 .

Burada argümanın negatif olmayan değerleri için y = x p kuvvet fonksiyonunun özelliklerini ele alacağız. Rasyonel rasyonellerde tek m için kuvvet fonksiyonu negatif x için de tanımlanır. Bu durumda özellikleri çift veya tek kullanılarak elde edilebilir.
Bu durumlar “Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafikleri” sayfasında ayrıntılı olarak tartışılmış ve gösterilmiştir.

Teorem. Güç fonksiyonunun özellikleri (x ≥ 0)
p üssüne sahip bir kuvvet fonksiyonu, y = x p, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(C.1) sette tanımlanmış ve sürekli
,
"de.

Trigonometrik fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonların sürekliliği üzerine teorem
Trigonometrik fonksiyonlar: sinüs ( günah x), kosinüs ( çünkü x), teğet ( tgx) ve kotanjant ( ctgx

Ters trigonometrik fonksiyonların sürekliliğine ilişkin teorem
Ters trigonometrik fonksiyonlar: arksinüs ( ark sin x), ark kosinüs ( arkcos x), arktanjant ( arktan x) ve ark teğet ( arkctg x), tanım alanlarında süreklidir.

Referanslar:
O.I. Besov. Matematiksel analiz üzerine dersler. Bölüm 1. Moskova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.

Ayrıca bakınız:

Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği.

Bir noktanın komşuluğunda tanımlanan fonksiyona ne ad verilir? bir noktada sürekli fonksiyonun limiti ile bu noktadaki değeri eşitse, yani.

Aynı gerçek farklı şekilde yazılabilir:

Bir fonksiyon bir noktanın bazı komşuluklarında tanımlıysa ancak o noktada sürekli değilse fonksiyon olarak adlandırılır. patlayıcı fonksiyondur ve nokta kırılma noktasıdır.

Sürekli fonksiyon örneği:

0 x 0 -D x 0 x 0 +D x

Süreksiz fonksiyon örneği:

Herhangi bir pozitif sayı için koşulu karşılayan herhangi bir sayı için eşitsizlik doğruysa, bir fonksiyona bir noktada sürekli denir.

Fonksiyon çağrılır sürekli fonksiyonun noktadaki artışı sonsuz küçük bir değerse, noktada.

nerede sonsuz küçük .

Sürekli fonksiyonların özellikleri.

1) bir noktada sürekli olan fonksiyonların toplamı, farkı ve çarpımı bir noktada sürekli olan bir fonksiyondur;

2) iki sürekli fonksiyonun bölümü, noktasında sıfıra eşit olmaması koşuluyla sürekli bir fonksiyondur;

3) sürekli fonksiyonların süperpozisyonu – sürekli bir fonksiyon vardır.

Bu özellik şu şekilde yazılabilir:

noktasında sürekli fonksiyonlar varsa, bu durumda fonksiyon bu noktada da sürekli bir fonksiyondur.

Yukarıdaki özelliklerin geçerliliği kolaylıkla kanıtlanabilir,

limit teoremlerini kullanma.

Bazı temel fonksiyonların sürekliliği.

1. Fonksiyon, tanım alanının tamamında sürekli bir fonksiyondur.

2. Rasyonel fonksiyon, paydanın sıfır olduğu değerler dışındaki tüm değerler için süreklidir. Dolayısıyla bu tür bir fonksiyon tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

3. Trigonometrik fonksiyonlar ve tanım alanları içinde süreklidirler.

Fonksiyon için özellik 3'ü kanıtlayalım.

Fonksiyonun artışını veya dönüşümden sonrasını yazalım:

Aslında, iki fonksiyonun çarpımı için bir sınır vardır ve . Bu durumda kosinüs fonksiyonu, için sınırlı bir fonksiyondur ve bu yana sinüs fonksiyonunun limiti ise sonsuz küçüktür.

Dolayısıyla sınırlı bir fonksiyonun ve sonsuz küçük bir fonksiyonun çarpımı vardır, dolayısıyla bu çarpım, yani. fonksiyon sonsuz küçüktür. Yukarıda tartışılan tanımlara uygun olarak bir fonksiyon, tanım alanındaki herhangi bir değer için sürekli bir fonksiyondur, çünkü bu noktadaki artışı sonsuz küçük bir değerdir.

Kırılma noktaları ve sınıflandırılması.

Bu noktanın olası istisnası dışında, noktanın komşuluğunda sürekli olan bir fonksiyonu ele alalım. Bir fonksiyonun kırılma noktasının tanımından, eğer fonksiyon bu noktada tanımlanmamışsa veya bu noktada sürekli değilse bir kırılma noktasının var olduğu sonucu çıkar.

Bir fonksiyonun sürekliliğinin tek taraflı olabileceği de unutulmamalıdır. Bunu şu şekilde açıklayalım.

Eğer limit tek taraflıysa (yukarıya bakın), o zaman fonksiyonun sağ sürekli olduğu söylenir.

Nokta denir kırılma noktası Bir noktada tanımlı değilse veya o noktada sürekli değilse fonksiyon.

Nokta denir 1. tür süreksizlik noktası, eğer bu noktada fonksiyonun sonlu fakat eşit olmayan sol ve sağ limitleri varsa:

Bu tanımın koşullarını sağlamak için fonksiyonun noktada tanımlanmış olmasına gerek yoktur, solunda ve sağında tanımlanmış olması yeterlidir.

Tanımdan, 1. türden bir süreksizlik noktasında bir fonksiyonun yalnızca sonlu bir sıçramaya sahip olabileceği sonucuna varabiliriz. Bazı özel durumlarda 1. tür süreksizlik noktasına da bazen denir. çıkarılabilir kırılma noktası, ancak aşağıda bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

Nokta denir 2. tür süreksizlik noktası, eğer bu noktada fonksiyon tek taraflı limitlerden en az birine sahip değilse veya bunlardan en az biri sonsuzsa.

örnek 1 . Dirichlet işlevi (Dirichlet Peter Gustav (1805-1859) - Alman matematikçi, St. Petersburg Bilimler Akademisi'nin ilgili üyesi 1837)

x 0 noktasında sürekli değildir.

Örnek 2 . Fonksiyonun bu noktada 2. türden bir süreksizlik noktası vardır, çünkü .

Örnek 3 .

Fonksiyon bu noktada tanımlı değildir ancak sonlu bir limiti vardır, yani. Bir noktada fonksiyon 1. türden bir süreksizlik noktasına sahiptir. Bu çıkarılabilir bir kırılma noktasıdır, çünkü işlevi tanımlarsanız:

Bu fonksiyonun grafiği:

Örnek 4 .

Bu işlev aynı zamanda işaretiyle de belirtilir. Fonksiyon bu noktada tanımlanmamıştır. Çünkü Fonksiyonun sol ve sağ limitleri farklı ise süreksizlik noktası 1. türdendir. Fonksiyonu noktaya koyarak genişletirsek sağda sürekli olur, solda koyarsak fonksiyon sürekli olur, 1 veya –1 dışında herhangi bir sayıya eşit koyarsak, o zaman fonksiyon ne solda ne de sağda sürekli olacaktır, ancak her durumda yine de bu noktada 1. tür bir süreksizliğe sahip olacaktır. Bu örnekte 1. türdeki süreksizlik noktası kaldırılamaz.

Dolayısıyla 1. türden bir süreksizlik noktasının kaldırılabilmesi için sağ ve soldaki tek taraflı limitlerin sonlu ve eşit olması, fonksiyonun bu noktada tanımsız olması gerekir.

2.2. Bir fonksiyonun aralık ve parça üzerinde sürekliliği.

Fonksiyon çağrılır bir aralıkta sürekli (bölüm) aralığın (bölüm) herhangi bir noktasında sürekli ise.

Bu durumda fonksiyonun parça veya aralığın uçlarında sürekliliğine gerek yoktur; parça veya aralığın uçlarında yalnızca tek taraflı süreklilik gerekir.

Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri.

Özellik 1. (Weierstrass'ın ilk teoremi (Carl Weierstrass (1815-1897) - Alman matematikçi)). Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır; segmentte aşağıdaki koşul sağlanır:

Bu özelliğin kanıtı, noktada sürekli olan bir fonksiyonun, onun bazı komşuluklarında sınırlı olduğu gerçeğine dayanmaktadır ve eğer parçayı, noktaya kadar "daralmış" sonsuz sayıda parçaya bölerseniz, o zaman bir noktanın belli bir komşuluğu oluşur.

Özellik 2. Segment üzerinde sürekli olan bir fonksiyon, üzerindeki en büyük ve en küçük değerleri alır.

Onlar. böyle değerler var ve , , ve:

Not edelim. fonksiyonun bir segment üzerinde birkaç kez alabileceği bu en büyük ve en küçük değerler (örneğin – ).

Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki farka denir. tereddüt bir segmentte çalışır.

Özellik 3. (İkinci Bolzano-Cauchy teoremi). Aralıkta sürekli olan bir fonksiyon, bu aralıkta iki keyfi değer arasındaki tüm değerleri alır.

Özellik 4. Bir fonksiyon bir noktada sürekli ise, o zaman fonksiyonun işaretini koruduğu noktanın bir komşuluğu vardır.

Özellik 5. (Bolzano'nun ilk teoremi (1781-1848) - Cauchy). Bir fonksiyon bir doğru parçası üzerinde sürekli ise ve parçanın uçlarında zıt işaretli değerlere sahipse, o zaman bu parçanın içinde, burada bir nokta vardır. ve sıfıra yakın.

bir noktada fonksiyon süreklidir 1. türden süreksizlik noktasında