Düzlemde koordinat sistemlerinin dönüşümü. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminin düzlemde dönüşümü. I. Privalov "Analitik geometri"

Düzlemde iki rastgele Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi verilsin. Birincisi O'nun başlangıcı ve temel vektörler tarafından belirlenir. Ben J , ikincisi – merkez HAKKINDA' ve temel vektörleri Ben ’ J ’ .

Birinci koordinat sistemine göre bir M noktasının xy koordinatlarını ifade etme hedefini şu şekilde belirleyelim: X’ Ve sen’ – ikinci sisteme göre aynı noktanın koordinatları.

dikkat et ki

O’ noktasının birinci sisteme göre koordinatlarını a ve b ile gösterelim:

Vektörleri genişletelim Ben ’ Ve J ’ temelde Ben J :

(*)

Ayrıca elimizde:
. Burada vektörlerin tabana göre açılımını tanıtalım Ben ’ J ’ :

buradan

Şu sonuca varabiliriz: Düzlemdeki iki rastgele Kartezyen sistem ne olursa olsun, düzlemdeki herhangi bir noktanın birinci sisteme göre koordinatları, aynı noktanın ikinci sisteme göre koordinatlarının doğrusal fonksiyonlarıdır.

İlk önce denklemleri (*) skaler olarak çarpalım Ben , sonra J :

HAKKINDA vektörler arasındaki açı  ile gösterilir Ben Ve Ben ’ . Koordinat sistemi Ben J sistemle birleştirilebilir Ben ’ J ’ paralel öteleme ve ardından bir  açısı boyunca döndürme ile. Ancak burada bir yay seçeneği de mümkündür: temel vektörler arasındaki açı Ben Ben ’ ayrıca  ve temel vektörler arasındaki açı J ’ J ’  - 'ye eşittir. Bu sistemler paralel öteleme ve döndürme ile birleştirilemez. Eksenin yönünü de değiştirmek gerekir en tam tersine.

Formül (**)'den ilk durumda şunu elde ederiz:

İkinci durumda

Dönüşüm formülleri şunlardır:

İkinci durumu dikkate almayacağız. Her iki sistemin de doğru olduğunu kabul edelim.

Onlar. Sonuç: İki doğru koordinat sistemi ne olursa olsun, birincisi ikinciyle paralel öteleme ve ardından orijin etrafında belirli bir açıyla dönme yoluyla birleştirilebilir .

Paralel transfer formülleri:

Eksen döndürme formülleri:

Ters dönüşümler:

Kartezyen dikdörtgen koordinatların uzayda dönüşümü.

Uzayda da benzer şekilde akıl yürüterek şunları yazabiliriz:

(***)

Ve koordinatlar için şunu elde edin:

(****)

Dolayısıyla, uzaydaki iki rastgele koordinat sistemi ne olursa olsun, bir noktanın birinci sisteme göre x y z koordinatları, koordinatların doğrusal fonksiyonlarıdır X’ sen’ z’ ikinci koordinat sistemine göre aynı nokta.

Eşitliklerin her birinin (***) skaler olarak çarpılması Ben ’ J ’ k ’ şunu elde ederiz:

İÇİNDE Dönüşüm formüllerinin (****) geometrik anlamını açıklayalım. Bunu yapmak için her iki sistemin de ortak bir başlangıca sahip olduğunu varsayalım: A = B = C = 0 .

İkinci sistemin eksenlerinin birinciye göre konumunu tam olarak karakterize eden üç açıyı dikkate alalım.

İlk açı, xOy ve x'Oy' düzlemlerinin kesişimi olan x ekseni ve u ekseni tarafından oluşturulur. Açının yönü x ekseninden y eksenine en kısa dönüştür. Açıyı  ile gösterelim. İkinci açı  Oz ve Oz eksenleri arasındaki  değerini aşmayan açıdır. Son olarak üçüncü açı , u ekseni ile Ox' arasındaki açıdır ve u ekseninden Ox' noktasından Oy' noktasına en kısa dönüş yönünde ölçülür. Bu açılara Euler açıları denir.

Birinci sistemin ikinciye dönüşümü, art arda üç rotasyonla temsil edilebilir: Oz eksenine göre bir  açısıyla; Ox'un eksenine göre  açısına göre; ve Oz eksenine göre  açısıyla.

 ij sayıları Euler açıları cinsinden ifade edilebilir. Bu formülleri zahmetli olduğu için yazmayacağız.

Dönüşümün kendisi paralel ötelemenin ve Euler açıları boyunca ardışık üç dönmenin süperpozisyonudur.

Tüm bu argümanlar, her iki sistemin de solcu olduğu veya farklı yönelimlere sahip olduğu durumlar için yapılabilir.

Eğer iki keyfi sistemimiz varsa, o zaman genel olarak konuşursak, bunları paralel öteleme ve uzayda belirli bir eksen etrafında bir dönüş yoluyla birleştirebiliriz. Onu aramayacağız.

1) Düzlemdeki bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminden aynı oryantasyona ve aynı orijine sahip başka bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemine geçiş.

Düzlemde iki Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminin tanıtıldığını varsayalım. xOy ve ortak bir kökene sahip HAKKINDA aynı yönelime sahip (Şekil 145). Eksenlerin birim vektörlerini gösterelim Ah Ve kuruluş birimi sırasıyla, boyunca ve , ve eksenlerin ve boyunca ve . Son olarak eksenden olan açı olsun Ah eksene. İzin vermek X Ve en– keyfi bir noktanın koordinatları M sistemde xOy, ve ve aynı noktanın koordinatlarıdır M sistem içinde.

Eksenden gelen açı nedeniyle Ah vektörün koordinatları eşittir

Eksenden açı Ah vektöre eşittir; dolayısıyla vektörün koordinatları eşittir.

Formüller (3) § 97 şu şekli alır:

Bir Kartezyenden geçiş matrisi xOy Dikdörtgen koordinat sisteminden aynı oryantasyona sahip başka bir dikdörtgen sisteme şu formdadır:

Her sütunda bulunan elemanların karelerinin toplamı 1'e eşitse ve farklı sütunlardaki karşılık gelen elemanların çarpımlarının toplamı sıfıra eşitse, matris ortogonal olarak adlandırılır. Eğer

Böylece, bir dikdörtgen koordinat sisteminden aynı oryantasyona sahip başka bir dikdörtgen sisteme geçiş matrisi (2) diktir. Ayrıca bu matrisin determinantının +1 olduğunu unutmayın:

Tersine, determinantı +1'e eşit olan bir ortogonal matris (3) verilirse ve düzlemde bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi tanıtılırsa xOy, o zaman ilişkiler (4) nedeniyle vektörler hem birimdir hem de karşılıklı olarak diktir, dolayısıyla sistemdeki vektörün koordinatları xOy ve eşittir, burada vektörden vektöre olan açıdır ve vektör birim olduğundan ve vektörü , ile döndürerek elde ettiğimiz için, o zaman , veya .

İkinci olasılık hariçtir, çünkü eğer sahip olsaydık, o zaman bize verilirdi.

Bunun anlamı ve matris A benziyor

onlar. bir dikdörtgen koordinat sisteminden geçiş matrisidir xOy aynı oryantasyona ve açıya sahip başka bir dikdörtgen sisteme.

2. Düzlemdeki bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminden zıt yönelimli ve aynı kökene sahip başka bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemine geçiş.

Düzlemde iki Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi tanıtılsın xOy ve ortak bir kökene sahip HAKKINDA, ancak ters yönde olduğundan eksenden olan açıyı gösterelim Ah eksene doğru (düzlemin yönü sistem tarafından ayarlanır) xOy).

Eksenden gelen açı nedeniyle Ah vektöre eşittir, bu durumda vektörün koordinatları eşittir:

Artık vektörden vektöre olan açı eşittir (Şekil 146), yani eksenden olan açı Ah vektöre eşittir (açılara ilişkin Chasles teoremine göre) ve dolayısıyla vektörün koordinatları eşittir:

Ve formüller (3) § 97 şu şekli alır:

Geçiş Matrisi

diktir ancak determinantı –1'dir. (7)

Tersine, determinantı -1'e eşit olan herhangi bir ortogonal matris, düzlemdeki bir dikdörtgen koordinat sisteminin aynı orijinli ancak zıt yönelimli başka bir dikdörtgen sisteme dönüştürülmesini belirtir. Yani iki Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi varsa xOy ve ortak bir başlangıca sahipsek, o zaman

Nerede X, en– sistemdeki herhangi bir noktanın koordinatları xOy; ve sistemdeki aynı noktanın koordinatlarıdır ve

ortogonal matris.

Eğer geri dön

keyfi ortogonal matris, ardından ilişkiler

Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminin Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemine dönüşümünü ifade eder sistem aynı kökene sahip; - sistemdeki koordinatlar xOy eksenin pozitif yönünü veren bir birim vektör; - sistemdeki koordinatlar xOy eksenin pozitif yönünü veren birim vektör.

koordinat sistemleri xOy ve aynı yönelime sahiptirler ve bu durumda tam tersidir.

3. Düzlemdeki bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminin başka bir dikdörtgen sisteme genel dönüşümü.

Bu paragrafın 1) ve 2) noktalarına ve ayrıca § 96'ya dayanarak, düzlemde dikdörtgen koordinat sistemlerinin kullanılması durumunda şu sonuca varıyoruz: xOy ve ardından koordinatlar X Ve en keyfi nokta M sistemdeki uçaklar xOy aynı noktanın koordinatları ile M sistemde ilişkilerle bağlanır - sistemdeki koordinat sisteminin kökeninin koordinatları xOy.

Eski ve yeni koordinatlara dikkat edin X, en ve Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminin genel dönüşümü altındaki vektörler ilişkilerle ilişkilidir.

sistemlerin olması durumunda xOy ve aynı yönelime ve ilişkilere sahip

bu sistemlerin zıt yönelime sahip olması durumunda veya formda

ortogonal matris. (10) ve (11) dönüşümlerine dik denir.

Konu 5. Doğrusal dönüşümler.

Koordinat sistemisayıları kullanarak bir noktanın bazı geometrik şekillere göre konumunu kesin olarak belirlemeye olanak sağlayan bir yöntemdir. Örnekler arasında düz bir çizgi üzerindeki bir koordinat sistemi (bir düzlemde ve uzayda sırasıyla bir koordinat ekseni ve dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemleri) yer alır.

Düzlemdeki bir xy koordinat sisteminden başka bir sisteme geçelim. Bu iki sistemdeki aynı noktanın Kartezyen koordinatlarının birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu bulalım.

Önce düşünelim paralel aktarım dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi xy, yani yeni sistemin eksenlerinin eski sistemin karşılık gelen x ve y eksenlerine paralel olması ve onlarla aynı yönlere sahip olması durumu.

Xy sistemindeki M (x; y) ve (a; b) noktalarının koordinatları biliniyorsa, o zaman (Şekil 15) sistemdeki M noktasının koordinatları vardır: .

ρ uzunluğundaki OM segmentinin ve ekseni ile bir açı oluşturmasına izin verin. Daha sonra (Şekil 16) OM segmenti x ekseni ile bir açı oluşturur ve xy sistemindeki M noktasının koordinatları eşittir , .

Sistemde M noktasının koordinatlarının ve'ye eşit olduğunu düşünürsek, şunu elde ederiz:

“Saat yönünde” bir açıyla döndüğümüzde sırasıyla şunu elde ederiz:

Sorun 0.54. 0 /'nin orijini (3; -4) noktasında bulunan ve eksenleri eski koordinat sisteminin eksenlerine paralel olan yeni x / y / koordinat sistemindeki M(-3; 7) noktasının koordinatlarını belirleyin. koordinat sistemi ve onlarla aynı yönlere sahiptir.

Çözüm. M ve O / noktalarının bilinen koordinatlarını formüllere koyalım: x / = x-a, y / = y-b.
Şunu elde ederiz: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Cevap: M / (-6; 11).

§2. Doğrusal dönüşüm kavramı, matrisi.

Eğer X kümesinin her bir x elemanı, bir f kuralına göre, Y kümesinin bir ve yalnızca bir y elemanına karşılık geliyorsa, o zaman verilenin şöyle olduğunu söyleriz: görüntülemek X kümesinin Y kümesindeki f'si ve X kümesine denir tanım alanı ekran f . Özellikle x 0 Î X öğesi y 0 Î Y öğesine karşılık geliyorsa, y 0 = f (x 0) yazın. Bu durumda y 0 elemanı çağrılır. yol eleman x 0 ve eleman x 0 - prototip 0'daki eleman. Y kümesinin tüm görüntüleri içeren Y 0 alt kümesine denir. anlamlar kümesi f.gösterge

Bir f eşlemesinde, X kümesinin farklı elemanları Y kümesinin farklı elemanlarına karşılık geliyorsa, o zaman f eşlemesi çağrılır. geri dönüşümlü.

Eğer Y 0 = Y ise, f eşlemesine X kümesinin eşlemesi denir. Açık setY.

Bir X kümesinin bir Y kümesine ters çevrilebilir eşlenmesine denir bire bir.

Bir kümeyi bir kümeye eşleme kavramının özel durumları kavramdır sayısal fonksiyon ve konsept geometrik haritalama.

Bir X kümesinin her bir elemanına f eşlemesi, aynı X kümesinin tek bir elemanını ilişkilendiriyorsa, böyle bir eşleme denir. dönüşüm X'i ayarlar.

L n doğrusal uzayının n boyutlu vektörlerinin bir kümesi verilsin.

N boyutlu bir doğrusal uzay L n'nin f dönüşümüne denir doğrusal eğer dönüşüm

L n'den herhangi bir vektör ve herhangi bir α ve β gerçek sayısı için. Başka bir deyişle, vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu, görüntülerinin doğrusal bir kombinasyonuna dönüşüyorsa, bu dönüşüme doğrusal denir. aynısıyla katsayılar.

Bir vektör belirli bir temelde verilmişse ve f dönüşümü doğrusal ise, o zaman tanım gereği temel vektörlerin görüntüleri nerededir.

Bu nedenle doğrusal dönüşüm tamamen tanımlanmış, söz konusu doğrusal uzayın temel vektörlerinin görüntüleri verilirse:

(12)

Matris burada k'inci sütun vektörün koordinat sütunudur temelde denir matris doğrusal dönüşüm f bu temelde.

Det L determinantına f dönüşümünün determinantı adı verilir ve Rg L'ye f doğrusal dönüşümünün rütbesi denir.

Doğrusal bir dönüşümün matrisi tekil değilse, dönüşümün kendisi de tekil değildir. L n uzayını bire bir kendine dönüştürür, yani. L n'den gelen her vektör, kendine özgü vektörünün görüntüsüdür.

Doğrusal dönüşümün matrisi tekil ise dönüşümün kendisi de tekildir. L n doğrusal uzayını onun bir kısmına dönüştürür.

Teorem.L matrisli f doğrusal dönüşümünün vektöre uygulanmasının bir sonucu olarak bir vektör olduğu ortaya çıktı öyle ki .

Parantez içinde yazılan sayılar vektörün esasa göre koordinatlarıdır:

(13)

Matris çarpım işleminin tanımı gereği sistem (13) bir matris ile değiştirilebilir.

eşitlik Kanıtlanması gereken şey buydu.

Örneklerdoğrusal dönüşümler.

1. Xy düzleminde x ekseni boyunca k 1 kez ve y ekseni boyunca k 2 kez gerilme matris tarafından belirlenir ve koordinat dönüşüm formülleri şu şekildedir: x / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. Xy düzlemindeki y eksenine göre ayna yansıması matris tarafından belirlenir ve koordinat dönüşüm formülleri şu şekildedir: x / = -x, y / = y.

Birinci koordinat sistemine göre bir M noktasının xy koordinatlarını ifade etme hedefini şu şekilde belirleyelim: X’ Ve sen’ – ikinci sisteme göre aynı noktanın koordinatları.

dikkat et ki

O’ noktasının birinci sisteme göre koordinatlarını a ve b ile gösterelim:

Vektörleri genişletelim Ben ’ Ve J ’ temelde Ben J :

(*)

Ayrıca elimizde:
. Burada vektörlerin tabana göre açılımını tanıtalım Ben ’ J ’ :

buradan

İlk önce denklemleri (*) skaler olarak çarpalım Ben , sonra J :

Vektörler arasındaki açıyı  ile gösterelim Ben Ve Ben ’ . Koordinat sistemi Ben J sistemle birleştirilebilir Ben ’ J ’ paralel öteleme ve ardından bir  açısı boyunca döndürme ile. Ancak burada bir yay seçeneği de mümkündür: temel vektörler arasındaki açı Ben Ben ’ ayrıca  ve temel vektörler arasındaki açı J ’ J ’  - 'ye eşittir. Bu sistemler paralel öteleme ve döndürme ile birleştirilemez. Eksenin yönünü de değiştirmek gerekir en tam tersine.

Formül (**)'den ilk durumda şunu elde ederiz:

İkinci durumda

Dönüşüm formülleri şunlardır:

İkinci durumu dikkate almayacağız. Her iki sistemin de doğru olduğunu kabul edelim.

Onlar. Sonuç: İki doğru koordinat sistemi ne olursa olsun, birincisi ikinciyle paralel öteleme ve ardından orijin etrafında belirli bir açıyla dönme yoluyla birleştirilebilir .

Paralel transfer formülleri:

Eksen döndürme formülleri:

Ters dönüşümler:

Kartezyen dikdörtgen koordinatların uzayda dönüşümü.

Uzayda da benzer şekilde akıl yürüterek şunları yazabiliriz:

(***)

Ve koordinatlar için şunu elde edin:

(****)

Eşitliklerin her birinin (***) skaler olarak çarpılması Ben ’ J ’ k ’ şunu elde ederiz:

İÇİNDE Dönüşüm formüllerinin (****) geometrik anlamını açıklayalım. Bunu yapmak için her iki sistemin de ortak bir başlangıca sahip olduğunu varsayalım: A = B = C = 0 .

İkinci sistemin eksenlerinin birinciye göre konumunu tam olarak karakterize eden üç açıyı dikkate alalım.

 ij sayıları Euler açıları cinsinden ifade edilebilir. Bu formülleri zahmetli olduğu için yazmayacağız.

Dönüşümün kendisi paralel ötelemenin ve Euler açıları boyunca ardışık üç dönmenin süperpozisyonudur.

Tüm bu argümanlar, her iki sistemin de solcu olduğu veya farklı yönelimlere sahip olduğu durumlar için yapılabilir.

Eğer iki keyfi sistemimiz varsa, o zaman genel olarak konuşursak, bunları paralel öteleme ve uzayda belirli bir eksen etrafında bir dönüş yoluyla birleştirebiliriz. Onu aramayacağız.

Bölüm 1. Ekleme. Kartezyen dikdörtgen koordinatların düzlemde ve uzayda dönüşümü. Uçakta ve uzayda özel koordinat sistemleri.

Bir düzlemde ve uzayda koordinat sistemleri oluşturma kuralları Bölüm 1'in ana bölümünde tartışılmıştır. Dikdörtgen koordinat sistemlerini kullanmanın rahatlığı not edilmiştir. Analitik geometri araçlarının pratik kullanımında, sıklıkla benimsenen koordinat sisteminin dönüştürülmesine ihtiyaç duyulur. Bu genellikle kolaylık göz önünde bulundurularak belirlenir: geometrik görüntüler basitleştirilir, hesaplamalarda kullanılan analitik modeller ve cebirsel ifadeler daha net hale gelir.

Özel koordinat sistemlerinin yapısı ve kullanımı: kutupsal, silindirik ve küresel, çözülen problemin geometrik anlamına göre belirlenir. Özel koordinat sistemleri kullanılarak yapılan modelleme, pratik problemlerin çözümünde analitik modellerin geliştirilmesini ve kullanılmasını sıklıkla kolaylaştırır.

Bölüm 1'in Ekinde elde edilen sonuçlar, çoğu matematik ve fizik olmak üzere doğrusal cebirde kullanılacaktır.

Kartezyen dikdörtgen koordinatların düzlemde ve uzayda dönüşümü.

Bir düzlemde ve uzayda bir koordinat sistemi oluşturma problemi göz önüne alındığında, koordinat sisteminin bir noktada kesişen sayısal eksenlerden oluştuğuna dikkat çekilmiştir: düzlemde iki eksen, uzayda üç eksen gereklidir. Vektörlerin analitik modellerinin oluşturulması, vektör işleminin skaler çarpımının tanıtılması ve geometrik içerikli problemlerin çözümü ile bağlantılı olarak, dikdörtgen koordinat sistemlerinin kullanımının en çok tercih edildiği gösterilmiştir.

Belirli bir koordinat sistemini soyut olarak dönüştürme sorununu ele alırsak, genel durumda, eksenleri keyfi olarak yeniden adlandırma hakkı ile belirli bir alanda koordinat eksenlerinin keyfi hareketine izin vermek mümkün olacaktır.

Birincil konseptten başlayacağız referans sistemleri fizikte kabul edilir. Cisimlerin hareketi gözlemlenerek izole edilmiş bir cismin hareketinin kendi başına belirlenemeyeceği keşfedildi. Hareketin gözlemlendiğine göre en az bir vücuda daha sahip olmanız, yani onda bir değişiklik olması gerekir. akraba hükümler. Analitik modelleri, yasaları ve hareketi elde etmek için, bu ikinci cisimle bir referans sistemi olarak bir koordinat sistemi ilişkilendirildi ve bu koordinat sistemi şu şekildedir: sağlam !

Katı bir cismin uzayda bir noktadan diğerine keyfi hareketi iki bağımsız hareketle temsil edilebildiğinden: öteleme ve dönme, koordinat sistemini dönüştürme seçenekleri iki hareketle sınırlıydı:

1). Paralel aktarım: Yalnızca bir noktayı takip ederiz; nokta.

2). Koordinat sistemi eksenlerinin bir noktaya göre dönüşü: katı bir cisim olarak.

Düzlemde Kartezyen Dikdörtgen Koordinatları Dönüştürme.

Düzlemde koordinat sistemlerimiz olsun: , ve . Koordinat sistemi sistemin paralel ötelenmesiyle elde edilir. Koordinat sistemi, sistemin bir açıyla döndürülmesiyle elde edilir ve pozitif dönme yönü, eksenin saat yönünün tersine dönmesi olarak alınır.

Kabul edilen koordinat sistemleri için temel vektörleri belirleyelim. Sistem, sistemin paralel aktarımıyla elde edildiğinden, bu sistemlerin her ikisi için de temel vektörleri kabul ediyoruz: , ve birim vektörler ve koordinat eksenleri , yönünde çakışan sırasıyla. Sistem için temel vektörler olarak eksenlerle çakışan birim vektörleri alacağız.

Bir koordinat sistemi verilsin ve onun içinde bir nokta = tanımlansın. Dönüşümden önce çakışan koordinat sistemlerine sahip olduğumuzu varsayacağız ve . Vektör tarafından tanımlanan koordinat sistemine paralel öteleme uygulayalım. Bir noktanın koordinat dönüşümünü tanımlamak gerekir. Vektör eşitliğini kullanalım: = + veya:

Paralel ötelemenin dönüşümünü temel cebirde bilinen bir örnekle açıklayalım.

Örnek D–1 : Parabolün denklemi verilmiştir: = = . Bu parabolün denklemini en basit haline indirgeyin.

Çözüm:

1). Tekniği kullanalım tam bir kareyi vurgulama : = , kolaylıkla şu şekilde temsil edilebilir: –3 = .

2). Koordinat dönüşümünü uygulayalım - paralel aktarım := . Bundan sonra parabolün denklemi şu şekli alır: . Cebirdeki bu dönüşüm şu şekilde tanımlanır: parabol = en basit parabolün 2 birim sağa ve 3 birim yukarı kaydırılmasıyla elde edilir.

Cevap: Bir parabolün en basit şekli: .

Bir koordinat sistemi verilsin ve onun içinde bir nokta = tanımlansın. Dönüşümden önce çakışan koordinat sistemlerine sahip olduğumuzu varsayacağız ve . Koordinat sistemine bir dönme dönüşümü uygulayalım, böylece orijinal konumuna göre, yani sisteme göre, bir açıyla döndürülmüş olur. = noktasının koordinat dönüşümünü tanımlamak gerekir. Vektörü koordinat sistemlerinde yazalım ve : = . (2) =1. İkinci dereceden çizgiler teorisinden elipsin en basit (kanonik!) denkleminin elde edildiği sonucu çıkar.