Malzemelerin düzlem gerilmeli mukavemet durumu. stresli ve deforme olmuş durum. Dikdörtgen kirişin burulması
Elastikiyet teorisinin temelleri
ders 4
Elastisite teorisinin düzlem problemi
slayt 2
Esneklik teorisinde, pratik uygulamalar anlamında önemli olan ve aynı zamanda çözümün matematiksel yönünün önemli ölçüde basitleştirilmesine izin veren geniş bir problem sınıfı vardır. Basitleştirme, bu problemlerde cismin koordinat eksenlerinden birinin, örneğin z ekseninin atılabilmesi ve tüm fenomenlerin, yüklü cismin aynı x0y koordinat düzleminde meydana geldiği kabul edilebilmesi gerçeğinde yatmaktadır. Bu durumda, gerilimler, gerinimler ve yer değiştirmeler iki koordinatın - x ve y - fonksiyonları olacaktır.
İki koordinatta ele alınan bir probleme denir. elastisite teorisinin düzlem problemi.
" terimi altında elastisite teorisinin düzlem problemi» fiziksel olarak farklı iki problemi birleştirerek çok benzer matematiksel ilişkilere yol açar:
1) düzlem deforme durumu sorunu (düzlem deformasyonu);
2) düzlem stres durumu sorunu.
Bu problemler çoğunlukla, incelenen gövdelerin bir geometrik boyutu ile diğer iki boyutu arasındaki önemli bir farkla karakterize edilir: ilk durumda büyük bir uzunluk ve ikinci durumda küçük bir kalınlık.
Düzlem deformasyonu
Vücudun tüm noktalarının yer değiştirmeleri bir düzlemde sadece iki yönde gerçekleşebiliyorsa ve bu düzlemin normal koordinatına bağlı değilse, deformasyon düz olarak adlandırılır, yani.
u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4.1)
Düzlem deformasyonu, z eksenine paralel bir eksene sahip uzun prizmatik veya silindirik gövdelerde meydana gelir, bu eksen boyunca yanal yüzeye bir yük etki eder, bu eksene dik ve büyüklüğü değişmez.
Düzlem deformasyonunun bir örneği, uzun düz bir barajda ve bir yeraltı tünelinin uzun bir kemerinde meydana gelen gerilme-şekil değiştirme durumudur (Şekil 4.1).
Şekil - 4.1. Baraj gövdesinde ve yeraltı tünelinin tonozunda düzlemsel deformasyon meydana gelir.
slayt 3
Yer değiştirme vektörünün (4.1) bileşenlerini Cauchy formülleri (2.14), (2.15) ile değiştirerek şunu elde ederiz:
(4.2)
z ekseni yönünde doğrusal deformasyonların olmaması, σ z normal gerilmelerinin ortaya çıkmasına neden olur. ε z deformasyonu için Hooke kanunu formülünden (3.2) şu sonuç çıkar:
σ z geriliminin ifadesi buradan elde edilir:
(4.3)
Bu oranı Hooke yasasının ilk iki formülünde yerine koyarsak şunu buluruz:
(4.4)
slayt 4
(4.2) - (4.4) ve (3.2) formüllerinin analizinden de şu sonuç çıkmaktadır:
Böylece, düzlem deformasyonu durumunda üç boyutlu elastisite teorisinin temel denklemleri büyük ölçüde basitleştirilmiştir.
Üç Navier diferansiyel denge denkleminden (2.2) sadece iki denklem kalır:
(4.5)
ve üçüncüsü bir kimliğe dönüşür.
Kosinüs yönü yan yüzeyde her yerde olduğu için n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, yüzeydeki (2.4) üç koşuldan sadece iki denklem kalır:
(4.6)
burada l, m dış normalin yön kosinüsleridir v kontur yüzeyine;
X, Y, X v, Y v sırasıyla x ve y eksenlerindeki vücut kuvvetlerinin bileşenleri ve dış yüzey yüklerinin yoğunluğudur.
slayt 5
Altı Cauchy denklemi (2.14), (2.15) üçe indirgenmiştir:
(4.7)
Altı Saint-Venant deformasyon süreklilik denkleminden (2.17), (2.18), bir denklem kalır:
(4.8)
ve geri kalanlar kimliklere dönüşür.
Hooke yasasının (3.2) altı formülünden (4.2), (4.4) dikkate alındığında, üç formül kalır:
Bu ilişkilerde, esneklik teorisinde geleneksel olan kayıt türü için yeni elastik sabitler tanıtılır:
slayt 6
Düzlem stres durumu
Aynı prizmatik gövdenin uzunluğu diğer iki boyuta kıyasla küçük olduğunda bir düzlem stres durumu oluşur. Bu durumda kalınlık denir. Vücuttaki gerilmeler xOy koordinat düzleminde yalnızca iki yönde etki eder ve z koordinatına bağlı değildir. Böyle bir gövdenin bir örneği, yan yüzey (kaburga) boyunca yüklenen ve plakanın düzlemine paralel kuvvetlerle yüklenen ve kalınlığı boyunca düzgün bir şekilde dağılan h kalınlığında ince bir plakadır (Şekil 4.2).
Şekil 4.2 - İnce levha ve ona uygulanan yükler
Bu durumda, düzlem şekil değiştirme problemindekine benzer basitleştirmeler de mümkündür. Plakanın her iki düzlemindeki stres tensörü bileşenleri σ z , τ xz , τ yz sıfıra eşittir. Plaka ince olduğu için plaka içinde de sıfıra eşit olduklarını varsayabiliriz. O zaman stres durumu yalnızca z koordinatına bağlı olmayan, yani plakanın kalınlığı üzerinde değişmeyen, sadece x ve y'nin fonksiyonları olan σ x , σ y , τ xy bileşenleri tarafından belirlenecektir.
Böylece, ince bir plakada aşağıdaki stres durumu oluşur:
Slayt 7
Gerilimler açısından, düzlem gerilim durumu, düzlem geriliminden duruma göre farklılık gösterir.
Ek olarak, Hooke yasasının (3.2) formülünden, (4.10) dikkate alındığında, lineer deformasyon ε z için sıfıra eşit olmadığını elde ederiz:
Sonuç olarak, yer değiştirmeler olacağından plakanın tabanları kavisli olacaktır. 
z ekseni boyunca.
Bu varsayımlar altında, temel düzlem şekil değiştirme denklemleri: diferansiyel denge denklemleri (4.5), yüzey koşulları (4.6), Cauchy denklemleri (4.7) ve gerinim süreklilik denklemleri (4.8), düzlem gerilme probleminde aynı formu korur.
Hooke yasasının formülleri aşağıdaki formu alacaktır:
Formüller (4.11), Hooke yasasının formüllerinden (4.9) sadece elastik sabitlerin değerleri ile düzlem deformasyonu için farklıdır: E ve E 1 , v Ve v 1 .
Slayt 8
Hooke yasası tersten şu şekilde yazılabilir:
(4.12)
Böylece, bu iki problemi (düzlem deformasyonu ve düzlem stres durumu) çözerken, aynı denklemler kullanılabilir ve problemler elastisite teorisinin tek bir düzlem probleminde birleştirilebilir.
Elastisite teorisinin düzlem probleminde sekiz bilinmeyen vardır:
yer değiştirme vektörü u ve v'nin iki bileşenidir;
– stres tensörünün üç bileşeni σ x , σ y , τ xy ;
gerinim tensörünün üç bileşenidir ε x , ε y , γ xy .
Problemi çözmek için sekiz denklem kullanılır:
– iki diferansiyel denge denklemi (4.5);
– üç Cauchy denklemi (4.7);
Hooke yasasının (4.9) veya (4.11) üç formülüdür.
Ek olarak, elde edilen gerinimler, gerinim süreklilik denklemine (4.8) ve iç gerilmeler ile dış yüzey yükünün X yoğunlukları arasındaki denge koşullarına (4.6) uymalıdır. v, Y v.
Gerilmiş ve deforme olmuş durum
Üç tür stres durumu vardır:
1) doğrusal stres durumu - bir yönde gerilim (sıkıştırma);
2) düzlem stres durumu - iki yönde gerginlik (sıkıştırma);
3) hacimsel stres durumu - karşılıklı olarak üç dik yönde gerginlik (sıkıştırma).
Sonsuz küçük bir paralelyüzlü (küp) düşünün. Yüzlerinde normal s ve teğetsel gerilmeler olabilir. "Küpün" konumu değiştirildiğinde, voltajlar değişir. Kayma gerilmelerinin olmadığı bir konum bulabilirsiniz, bkz. şek.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif" align="left" width="337" height="217 src="> Basit bir paralelyüz keselim (Şekil a) eğik kesit. sadece bir düzlem.Bir temel üçgen prizmayı ele alıyoruz (Şekil b).Eğimli alanın konumu, a açısı ile belirlenir.X ekseninden dönüş saat yönünün tersine ise (bkz. Şekil b), o zaman a>0.
Normal gerilimler, yönlerinin eksenine karşılık gelen bir indekse sahiptir. kesme gerilmeleri, genelde, iki indekse sahiptir: ilki siteye normalin yönüne, ikincisi stresin yönüne karşılık gelir (ne yazık ki, işaretlerde bir değişikliğe yol açan başka atamalar ve farklı bir koordinat ekseni seçimi vardır) bazı formüller).
Normal gerilme, çekme ise pozitiftir, eğer elemanın dikkate alınan kısmını iç nokta etrafında saat yönünde döndürme eğilimindeyse kesme gerilmesi pozitiftir. pp (bazı ders kitaplarında ve üniversitelerde kesme gerilimi için bunun tersi kabul edilir).
Eğimli bir platform üzerindeki gerilmeler:
Kesme gerilmelerinin eşleşme yasası: sahaya teğetsel bir gerilme etki ediyorsa, o zaman sahaya dik olan yere büyüklükte eşit ve işarette zıt bir teğetsel gerilme etki eder. (txz=-tzx)
Stres durumu teorisinde iki ana görev vardır.
Doğrudan sorun . Bilinen asal gerilmelere dayanarak: s1= smax, s2= smin, ana sitelere (a) belirli bir açıda eğimli bir yer için normal ve kesme gerilmelerini belirlemek gerekir:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif" width="219" height="33"> 
veya 
.
Dikey bir platform için:
.
Buradan, sa + sb = s1 + s2'nin, bu alanların eğimine göre değişmezin (bağımsız) karşılıklı olarak dik iki alanı üzerindeki normal gerilmelerin toplamı olduğu görülebilir.
Lineer stres durumunda olduğu gibi, maksimum kesme gerilmeleri a=±45o'da meydana gelir, yani..gif" align="left" width="240" height="227">.gif" width="154" height= "55 src=">.gif" align="left" width="253" height="176 src=">Ana gerilimlerden birinin negatif olduğu ortaya çıkarsa, her ikisi de negatifse, bunlar s1, s3 olarak gösterilmelidir. , sonra s2, s3.
Hacim stres durumu
Bilinen asal gerilmeler s1, s2, s3 olan herhangi bir bölgedeki gerilmeler:
burada a1, a2, a3, incelenen alanın normali ile asal gerilmelerin yönleri arasındaki açılardır.
Maksimum kesme gerilimi: 
.
Ana gerilme s2'ye paralel ve ana gerilmeler s1 ve s3'e 45o'lik bir açıyla eğimli bir platform üzerinde hareket eder.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif" width="171" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif" width="115" height="48 src="> (bazen ana kesme gerilmeleri olarak adlandırılır).
Düzlem gerilim durumu, üç boyutlu olanın özel bir durumudur ve ayrıca üç Mohr dairesi ile temsil edilebilirken, ana gerilimlerden biri 0'a eşit olmalıdır. Düzlem gerilim durumunda olduğu gibi, kayma gerilimleri için, eşleştirme yasası: karşılıklı olarak dik alanlar boyunca, bu alanların kesişme çizgisine dik olan kayma gerilmelerinin bileşenleri, büyüklük olarak eşit ve yön olarak zıttır.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif" width="166" height="51 src=">;
Oktahedral normal gerilim, üç ana gerilimin ortalamasına eşittir.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif" width="199" height="50">, Oktahedral kesme gerilmesi, ana kesme gerilmelerinin geometrik toplamı ile orantılıdır. stres yoğunluğu:
DIV_ADBLOCK135">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif" width="177" height="49"> 
Hacimdeki değişiklik asal gerilmeler arasındaki orana bağlı değildir, asal gerilmelerin toplamına bağlıdır. Yani, yüzlerine aynı ortalama gerilmeler uygulanırsa, bir temel küp hacimde aynı değişikliği alacaktır: 
, sonra 
, burada K= - yığın modülü. Malzemesi Poisson oranı m = 0,5 olan (örneğin kauçuk) bir cisim deforme olduğunda, cismin hacmi değişmez.
Potansiyel gerinim enerjisi
Basit gerilim (sıkıştırma) ile potansiyel enerji U=https://pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif" width="95" height="47 src=">.gif" width ="234 "height="50 kaynak="> veya
Birim hacim başına biriken toplam gerinim enerjisinin iki kısımdan oluştuğu düşünülebilir: 1) Hacimdeki bir değişiklik nedeniyle biriken enerji uo (yani, küpün tüm boyutlarında kübik şekli değiştirmeden aynı değişiklik) ve 2) Küpün şeklini değiştirmekle ilişkili uf enerjisi (yani, küpü paralelyüz haline getirmek için harcanan enerji). u = uo + uf.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif" width="389" height="50 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif" width="160" height="84 src=">. Koordinat sistemini döndürdüğünüzde tensör katsayıları değişir, tensörün kendisi kalır devamlı.
Üç stres durumu değişmezi:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif" width="249" height="48"> 
ea - bağıl gerinim, ga - kayma açısı.
Aynı benzetme toplu durum için de geçerlidir. Bu nedenle, deforme olmuş durumun değişmezlerine sahibiz:
J1 = eski + ey + ez;
J2= exey +eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif height="140 src="> - gerinim tensörü.
ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx, deforme olmuş durumun bileşenleridir.
Ana gerin e1, e2, e3 yönleriyle çakışan eksenler için, gerinim tensörü şu şekli alır: 
.
güç teorileri
Genel durumda, bir yapısal elemanın tehlikeli gerilim durumu, üç ana gerilim (s1,s2,s3) arasındaki orana bağlıdır. Yani, kesinlikle konuşmak gerekirse, her oran için gerçekçi olmayan sınırlayıcı stresin büyüklüğünü deneysel olarak belirlemek gerekir. Bu nedenle, çekme-sıkıştırma geriliminden herhangi bir gerilim durumunun tehlike derecesini değerlendirmeyi mümkün kılacak mukavemeti hesaplamak için bu tür yöntemler benimsenmiştir. Bunlara kuvvet teorileri (sınır stres durumları teorileri) denir.
1. kuvvet teorisi(en büyük normal gerilimler teorisi): sınırlayıcı gerilim durumunun başlamasının nedeni, en büyük normal gerilimlerdir. smax= s1£ [s]. Ana dezavantaj: diğer iki ana stres dikkate alınmaz. Sadece çok kırılgan malzemeleri (cam, alçıtaşı) gererken deneyimle onaylanır. Şu anda, pratik olarak kullanılmamaktadır.
2. kuvvet teorisi(en büyük nispi deformasyonlar teorisi): limit stres durumunun başlamasının nedeni en büyük uzamadır. emax= e1£ [e]..gif" width="63 height=47" height="47">, mukavemet durumu: sequiIII= s1 - s3£ [s]. Ana dezavantajı, dikkate almamasıdır. s2'nin etkisi.
Düzlem stres durumunda: sequivIII= 
£[s]. sy=0 için şunu elde ederiz 
Plastik malzemeler için yaygın olarak kullanılır.
4. kuvvet teorisi(enerji teorisi): limit stres durumunun başlamasının nedeni, şekil değişikliğinin spesifik potansiyel enerjisinin değeridir. uf£..gif" width="367" height="55 src=">..gif" width="166" height="57">. İzin verilen çekme ve basma gerilmelerinin aynı olmadığı (dökme demir) kırılgan malzemelerin hesaplanmasında kullanılır.
Plastik malzemeler için = Mohr teorisi 3. teoriye dönüşür.
Mohr Çemberi (stres çemberi). Çemberin noktalarının koordinatları, farklı bölgelerdeki normal ve kesme gerilmelerine karşılık gelir. Işını s ekseninden C merkezinden 2a açısıyla erteliyoruz (a> 0, sonra saat yönünün tersine sayfa), D noktasını buluyoruz,
koordinatları: sa, ta. Hem doğrudan hem de ters problemleri grafiksel olarak çözebilirsiniz.
saf vardiya
https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif" width="48 height=47" height="47">, burada Q, yüze etki eden kuvvettir, F yüz alanıdır sadece kesme gerilmelerinin etkili olduğu, saf kesme alanları olarak adlandırılır.Onlar üzerindeki kesme gerilmeleri en büyüktür.Saf kesme, karşılıklı olarak iki dik yönde meydana gelen eşzamanlı sıkıştırma ve gerilim olarak temsil edilebilir.Yani, bu özel bir durumdur. asal gerilmelerin: s1= - s3 = t, s2= 0 olduğu bir düzlem gerilme durumu. Ana alanlar, saf kayma alanlarıyla 45°'lik bir açı yapar.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif" width="16" height="48 src="> - göreceli kayma veya kesme açısı.
Kesmede Hooke yasası : g = t/G veya t = G×g.
G- kayma modülü veya ikinci tür [MPa] elastisite modülü - kesme deformasyonlarına direnme yeteneğini karakterize eden bir malzeme sabiti. (E - elastisite modülü, m - Poisson oranı).
Kesmedeki potansiyel enerji: 
.
Kesme gerilmesinin özgül potansiyel enerjisi: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif" width="63" height="53">.
Saf kesmede tüm potansiyel enerji sadece şekil değişikliğine harcanır, kesme deformasyonu sırasında hacimdeki değişiklik sıfırdır.
Saf kaymada Mohr çemberi.
burulma
https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif" align="left" width="175" height="125 src=">Sadece bir torkun olduğu bu deformasyon türü - Mk Dış moment yönünde Mk torkunun işaretini belirlemek uygundur. Kesitin yanından bakıldığında dış moment saat yönünün tersine yönlendirilirse, Mk> 0 (ters bir kural da vardır). burulma, bir bölüm diğerine göre döner bükülme açısı- J. Bir yuvarlak çubuk (şaft) büküldüğünde, saf bir kayma gerilimi durumu ortaya çıkar (normal gerilimler yoktur), sadece teğetsel gerilimler ortaya çıkar. Düzlem bölümlerinin bükülmeden önce düz kaldığı ve büküldükten sonra - düzlem bölümleri yasası. Kesit noktalarındaki kayma gerilmeleri, noktaların eksenden uzaklığı ile orantılı olarak değişir. ..gif" width="103" height="57 src="> - bağıl büküm açısı..gif" width="127 height=57" height="57">, [t] =, plastik malzeme için, tlim kayma akma dayanımı tm olarak alınır, gevrek malzeme için, tv nihai dayanımdır, [n] katsayı burulma sertliği koşulu: qmax£[q] – izin verilen burulma açısı.
Dikdörtgen kirişin burulması
https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif" width="46" height="46">Dikdörtgen bir bölümün kayma gerilimi diyagramları.
; , Jk ve Wk - şartlı olarak atalet momenti ve burulma sırasında direnç momenti olarak adlandırılır. wk=ahb2,
Jk= bhb3, Maksimum kesme gerilmeleri tmax uzun kenarın ortasında olacak, gerilmeler kısa kenarın ortasında olacak: t= g×tmax, katsayılar: a, b, g h oranına bağlı olarak referans kitaplarında verilmiştir. /b (örneğin, h/b= 2, a=0.246, b=0.229, g=0.795 olduğunda.
bükülmek
https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif" width="270" height="45">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif" width="71" height="53">, r - nötr katmanın eğrilik yarıçapı, y - bir fiberden diğerine olan mesafe nötr katman. Bükmede Hooke Yasası: , nereden (Navier formülü): , Jx - bükülme momenti düzlemine dik ana merkezi eksene göre bölümün atalet momenti, EJx - bükülme sertliği, https://pandia.ru/text/78/374 /images/image091_15.gif" width="126" height="54">, Jx/ymax=Bükmede Wx kesit modülü, .
https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif" width="103 height=54" height="54">, burada Sx(y), nötr eksenine göre statik momenttir alanın nötr eksenden "y" uzaklıkta bulunan katmanın altında veya üstünde bulunan kısmı; Jx - atalet momenti Toplam nötr eksene göre enine kesit, b(y), kesme gerilmelerinin belirlendiği tabakadaki kesitin genişliğidir.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif" width="89" height="49 src=">, F=b×h, dairesel bölüm için:, F=p×R2 , herhangi bir şekle sahip bir bölüm için,
k- bölümün şekline bağlı katsayı (dikdörtgen: k= 1.5; daire - k= 1.33).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif" align="left" width="244" height="85 src=">Atılan parçanın hareketi dahili kuvvet faktörleriyle değiştirilir M ve Q, denge denklemlerinden belirlenir. Bazı üniversitelerde, M>0 momenti belirlenir, yani, momentlerin diyagramı gerilmiş lifler üzerine kuruludur. Q= 0 olduğunda, diyagramın bir ekstremumuna sahibiz. anlar. M arasındaki diferansiyel bağımlılıklar,QVeQ: https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif" width="187" height="54">.
eğilme mukavemeti hesabı
:
kirişin farklı noktalarıyla ilgili iki dayanım koşulu: a) normal gerilmelerle 
, (C'den en uzak noktalar); b) b'ye göre kontrol edilen kesme gerilmeleri https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif "width="96" height="51"> ile). kirişlerin hem normal hem de büyük teğetsel gerilmelerin bulunduğu bölümleridir.Bu noktalar için izin verilenleri aşmaması gereken eşdeğer gerilmeler bulunur.Mukavemet koşulları çeşitli mukavemet teorilerine göre kontrol edilir.
ben-ben: 
; II-I: (Poisson oranı m=0.3 ile); - nadiren kullanılmış.
III-I: 
, IV-I: 
,
Mohr teorisi: , (izin verilen çekme geriliminin ¹ - sıkıştırma olduğu dökme demir için kullanılır).
Bükme sırasında kirişlerde yer değiştirmelerin belirlenmesi
https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif" width="104" height="52 src=">, burada r(x), eğik eksenin eğrilik yarıçapıdır. x bölümündeki kiriş, M (x) - aynı bölümdeki eğilme momenti, EJ - kirişin sertliği Daha yüksek matematikten bilinir: - x ekseni ile eğri eksene teğet arasındaki açının tanjantı. Bu değer çok küçüktür (kiriş sapmaları küçüktür) Þ karesi ihmal edilir ve kesitin dönme açısı teğete eşittir. yaklaşık eğri kiriş ekseni için diferansiyel denklem: 
. Y ekseni yukarıyı gösteriyorsa (+) işareti vardır. Bazı üniversitelerde y ekseni Þ(-) aşağı iner. diff..gif" width="226" height="50 src="> entegrasyonu - şunu elde ederiz sapma seviyesi. Entegrasyon sabitleri C ve D, kirişi sabitleme yöntemlerine bağlı olan sınır koşullarından bulunur.
a" orijinden, 1'e eşit olan (x - a) 0 faktörü ile çarpılır. Herhangi bir yayılı yük kirişin ucuna kadar uzatılır ve bunu telafi etmek için ters yönde bir yük uygulanır. .
EJ= M(x) = RA×x – https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif" width="79 height=49" height="49"> - P(x - a – b); entegre ediyoruz:
EJ = EJq0 + RA× – – M(x – a) + – P;
EJy =EJy0 + EJq0x + RA× – – M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif" width="93" height="51 src=">.
Başlangıç parametreleri, orijinde sahip olduğumuz parametrelerdir, yani şekil için: M0=0, Q0=RA, sapma y0=0, dönme açısı q0~0. q0 ikinci denklemdeki ikameden doğru desteği sabitlemek için koşulları buluyoruz: x=a+b+c; y(x)=0.
Bükmede diferansiyel bağımlılıklar :
; 
; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif" width="56" height="48 src=">.
Hayali yük yöntemiyle yer değiştirmelerin tanımı. Denklemleri eşleştirme:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif" align="left" width="203" height="120 src="> ve bir benzetmemiz var, Þ sapmaların tanımı hayali bir kirişteki bazı hayali (koşullu) yükten gelen momentlerin tanımına indirgenebilir: EJ'ye bölündükten sonra hayali bir yükten gelen moment Mf, belirli bir kirişte belirli bir yükten sapma "y" ye eşittir. verilen bir kirişteki dönme açısının, hayali bir kirişteki hayali enine kuvvete sayısal olarak eşit olduğunu elde ederiz. Bu durumda, iki kirişin sınır koşullarında tam bir analoji olmalıdır. Verilen her kiriş kendi başına karşılık gelir. hayali ışın.
Hayali kirişlerin sabitlenmesi, kirişin uçlarında ve destekler üzerinde, belirli bir kirişte "y" ve "q" ile hayali bir kirişte Mf ve Qf arasında tam bir yazışma olması koşulundan seçilir. Hem gerçek hem de hayali kirişlerdeki momentlerin diyagramları, gerilmiş fiberin yanından inşa edilirse (yani, pozitif moment ortaya çıkar), o zaman verilen kirişteki sapma çizgileri, aşağıdaki momentlerin diyagramı ile çakışır. hayali ışın.
Statik olarak belirsiz kirişler.
Katı bir cismin denge denklemlerinden reaksiyonları belirlenemeyen sistemlere statik olarak belirsiz denir. Bu tür sistemlerde denge için gerekli olandan daha fazla bağ vardır. Kirişin statik belirsizlik derecesi(ara menteşeleri olmayan - sürekli kirişler) fazla (fazladan) dış bağlantı sayısına (üçten fazla) eşittir.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif" width="21" height="25 src=">.gif" width="20" height="25 src=">. gif" genişlik="39" yükseklik="51 kaynak="> + C;
EJy = RВ×https://pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif" width="40" height="49 src="> + С×х + D..gif" width=" 39" yükseklik="49 src=">+ MA=0; RA ve MA'dır.
ekstra "sabitleme" denir ana sistem. "Ekstra" bilinmeyen için, reaksiyonlardan herhangi birini alabilirsiniz. Verilen yükleri ana sisteme uyguladıktan sonra, verilen kiriş ile ana olanın çakışmasını sağlayan bir koşul ekliyoruz - yer değiştirme uyumluluk denklemi. Şekil için: yB=0, yani B = 0 noktasındaki sapma. Bu denklemin çözümü farklı şekillerde mümkündür.
Yer değiştirmeleri karşılaştırmanın yolu
.
B noktasının sapması (Şekil) ana sistemde belirli bir yükün (q) etkisi altında belirlenir: yВq = "ekstra" bilinmeyen RB ve RB'nin hareketinden sapma bulunur: 
. Yer değiştirme uyumluluğu denkleminde değiştirin: yB= yВq += 0, yani += 0, buradan RB=https://pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif" align="left" width =" 371" yükseklik="300 kaynak="> Üç moment teoremi
. Hesaplamada kullanılır sürekli kirişler- Biri sabit, geri kalanı hareketli olan birçok destek üzerindeki kirişler. Statik olarak belirsiz bir kirişten statik olarak belirli bir temel sisteme geçmek için, ekstra desteklerin üzerine menteşeler yerleştirilir. Ekstra bilinmeyenler: ekstra destekler üzerinde açıklıkların uçlarına uygulanan Mn momentleri.
Belirli bir yükten her kiriş açıklığı için, her bir açıklığı iki destek üzerindeki basit bir kiriş olarak kabul ederek moment grafikleri oluşturulur. Her ara destek için "n" derlenir üç momentin denklemi:
wn, wn+1 – çizim alanları, an – sol diyagramın ağırlık merkezinden sol desteğe olan mesafe, bn+1 – sağ diyagramın ağırlık merkezinden sağ desteğe olan mesafe. Moment denklemlerinin sayısı, ara desteklerin sayısına eşittir. Ortak çözümleri, bilinmeyen destek anlarını bulmayı mümkün kılar. Destek momentleri bilinerek, bireysel açıklıklar dikkate alınır ve statik denklemlerden bilinmeyen destek reaksiyonları bulunur. Yalnızca iki açıklık varsa, o zaman sol ve sağ anlar bilinir, çünkü bunlar ya verilen anlar ya da sıfıra eşittir. Sonuç olarak, bir bilinmeyen М1 ile bir denklem elde ederiz.
Yer değiştirmeleri belirlemek için genel yöntemler
m" , genelleştirilmiş "n" kuvvetinin etkisinin neden olduğu. Birkaç kuvvet faktörünün neden olduğu toplam yer değiştirme: DР = DРP + DРQ + DРM. Tek bir kuvvet veya tek bir momentin neden olduğu yer değiştirmeler: d - özgül yer değiştirme. Tek bir kuvvet P=1 bir dP yer değiştirmesine neden olduysa, o zaman P kuvvetinin neden olduğu toplam yer değiştirme: DP=P×dP olacaktır. Sisteme etki eden kuvvet faktörleri X1, X2, X3 vb. olarak belirlenmişse, her birinin yönündeki hareket:
burada Х1d11=+D11; X2d12=+D12; Хidmi=+Dmi. Spesifik yer değiştirmelerin boyutu: 
, J - joule, işin boyutu 1J = 1Nm'dir.
Elastik bir sisteme etki eden dış kuvvetlerin işi: 
.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif" width="307" height="57">,
k - Kesit alanı üzerindeki kayma gerilmelerinin eşit olmayan dağılımını dikkate alan katsayı, bölümün şekline bağlıdır.
Enerjinin korunumu yasasına göre: potansiyel enerji U=A.
D 
11 - yönde hareket. P1 kuvvetinin etkisinden P1 kuvveti;
D12 - yönde hareket. P1 kuvveti, P2 kuvvetinin etkisinden;
D21 - yönde hareket. P1 kuvvetinin etkisinden P2 kuvveti;
D22 - yönde hareket. P2 kuvvetinin etkisinden P2 kuvveti.
А12=Р1×D12, birinci durumun Р1 kuvvetinin, ikinci durumun Р2 kuvvetinin neden olduğu yönündeki hareket üzerindeki işidir. Benzer şekilde: A21=P2×D21, ikinci durumun P2 kuvvetinin, birinci durumun P1 kuvvetinin neden olduğu yönündeki hareket üzerindeki işidir. A12=A21. Herhangi bir sayıdaki kuvvet ve moment için aynı sonuç elde edilir. İş karşılıklılık teoremi: Р1×D12=Р2×D21.
Birinci halin kuvvetlerinin, ikinci halin kuvvetlerinin neden olduğu kendi yönlerindeki yer değiştirmeler üzerindeki işi, ikinci halin kuvvetlerinin, birinci halin kuvvetlerinin sebep olduğu kendi yönlerindeki yer değiştirmeler üzerindeki işine eşittir. .
teorem yer değiştirmelerin karşılıklılığı üzerine (Maxwell teoremi) P1=1 ve P2=1 ise, o zaman P1d12=P2d21, yani d12=d21, genel olarak dmn=dnm.
Bir elastik sistemin iki birim durumu için, ikinci birim kuvvetin neden olduğu birinci birim kuvvet yönündeki hareket, birinci kuvvetin neden olduğu ikinci birim kuvvet yönündeki harekete eşittir.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif" width="104" height="27 src="> bir birim kuvvetin eyleminden; 4) bulunan ifadeler Mohr integraline göre ve verilen integrale göre elde edilen Dmn>0 ise, yer değiştirme birim kuvvetin seçilen yönü ile çakışıyorsa,<0, то противоположно.
Düz tasarım için:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif" width="155" height="58">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif" width="81 height=43" height="43"> belirli bir yükten gelen diyagramın keyfi bir şekle sahip olduğu durum için ve tek bir yükten - doğrusal, Vereshchagin tarafından önerilen grafik-analitik yöntemle uygun bir şekilde belirlenir. 
, W, Мр diyagramının harici bir yükten alanıdır, yc, Мр diyagramının ağırlık merkezi altındaki bir birim yükten diyagramın koordinatıdır. Diyagramların çarpımının sonucu, ilk diyagramın alanının ağırlık merkezi altında alınan, diğer diyagramın koordinatına göre diyagramlardan birinin alanının ürününe eşittir. Ordinat düz bir çizgi diyagramından alınmalıdır. Her iki diyagram da doğrusal ise, ordinat herhangi birinden alınabilir.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif" width="119" height="50 src=">. Bu formül, her biri düz bir çizgiye sahip olması gereken bölümlerle hesaplanır. kırıksız diyagram.Mp karmaşık diyagramı, ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirlemenin daha kolay olduğu basit geometrik şekillere bölünmüştür.Yamuk gibi görünen iki diyagramı çarparken, formülü kullanmak uygundur: 
. Aynı formül, karşılık gelen ordinat = 0'ı değiştirirsek, üçgen diyagramlar için de uygundur.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif" width="71" height="48"> (şek. 
, xC=L/2).
kör "düzgün dağılmış bir yük ile gömme, =3L/4 olan içbükey ikinci dereceden bir parabolümüz var. Diyagramın bir üçgenin alanı ile dışbükey ikinci dereceden bir parabolün alanı arasındaki farkla temsil edilmesi durumunda da elde edilebilir: 
. "Eksik" alan negatif olarak kabul edilir.
Castigliano teoremi.
- genelleştirilmiş kuvvetin uygulama noktasının etki yönünde yer değiştirmesi, potansiyel enerjinin bu kuvvete göre kısmi türevine eşittir. Eksenel ve enine kuvvetlerin hareket üzerindeki etkisini ihmal ederek, potansiyel enerjiye sahibiz: 
, nerede 
.
Statik olarak belirsiz sistemler- elemanlarındaki kuvvet faktörleri yalnızca katı bir cismin denge denklemlerinden belirlenemeyen sistemler. Bu tür sistemlerde bağ sayısı denge için gerekenden fazladır. Statik belirsizlik derecesi: S = 3n - m, n - yapıdaki kapalı döngülerin sayısı, m - tekli menteşelerin sayısı (iki çubuğu birbirine bağlayan menteşe bir, üç çubuğu birbirine bağlayan - iki vb.). kuvvet yöntemi kuvvet faktörleri bilinmeyen olarak alınır. Hesaplama sırası: 1) statik derecesini ayarlayın. tanımlanamazlık; 2) gereksiz bağlantıları kaldırarak, orijinal sistem statik olarak belirlenmiş bir sistemle değiştirilir - ana sistem (bu tür birkaç sistem olabilir, ancak gereksiz bağlantıları kaldırırken yapının geometrik değişmezliği ihlal edilmemelidir); 3) ana sistem verilen kuvvetler ve gereksiz bilinmeyenlerle yüklüdür; 4) Bilinmeyen kuvvetler, orijinal ve ana sistemlerin deformasyonları farklı olmayacak şekilde seçilmelidir. Yani, reddedilen bağların tepkileri, yönlerindeki yer değiştirmelerin = 0 olduğu değerlere sahip olmalıdır. Kuvvet yönteminin kanonik denklemleri:
Bu denklemler, statik açmanıza izin veren ek ur-suşlarıdır. tanımlanamazlık. ur-s sayısı = atılan bağlantıların sayısı, yani sistemin belirsizlik derecesi.
dik, k yönünde hareket eden bir birim kuvvetin neden olduğu i yönündeki harekettir. dii - ana, dik - yan hareketler. Karşılıklılık teoremine göre: dik=dki. dip - belirli bir yükün (yük elemanları) hareketinden kaynaklanan i-inci bağlantı yönünde hareket. Kanonik denklemlere dahil edilen yer değiştirmeler, uygun bir şekilde Mohr yöntemi ile belirlenir.
Bunun için ana sisteme X1=1, X2=1, Xn=1, dış yük tekli yükler uygulanarak eğilme momentlerinin eğrileri çizilir. Mohr integrali aşağıdakileri bulmak için kullanılır: 
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
.
M üzerindeki çizgi, bu iç kuvvetlerin bir birim kuvvetin etkisinden kaynaklandığını gösterir.
Doğrusal elemanlardan oluşan sistemler için, Vereshchagin yöntemini kullanarak diyagramları çoğaltmak uygundur. 
; 
vb. WP, harici bir yükten gelen Mp diyagramının alanıdır, yСр, Мр diyagramının ağırlık merkezi altındaki tek bir yükten diyagramın koordinatıdır, W1, bir M1 diyagramının alanıdır. tek yük. Diyagramların çarpımının sonucu, ilk diyagramın alanının ağırlık merkezi altında alınan, diğer diyagramın koordinatına göre diyagramlardan birinin alanının ürününe eşittir.
Düz kavisli çubukların (çubuklar) hesaplanması
Eğri kirişler arasında kancalar, zincir baklaları, kemerler vb. bulunur. Sınırlamalar: enine kesit bir simetri eksenine sahiptir, kiriş ekseni düz bir eğridir, yük aynı düzlemde hareket eder. Küçük eğrilik çubukları var: h / R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,
rН nötr katmanın yarıçapıdır, e=R – rН, R, bölümün ağırlık merkezlerinin bulunduğu katmanın yarıçapıdır. Eğri kirişin nötr ekseni, C bölümünün ağırlık merkezinden geçmez. Her zaman eğrilik merkezine, bölümün ağırlık merkezinden daha yakın bulunur. , r=rH – y. Nötr katmanın yarıçapını bilerek, nötr katmandan ağırlık merkezine "e" mesafesini belirleyebilirsiniz. h yüksekliğinde, dış yarıçapı R2 ve iç yarıçapı R1 olan bir dikdörtgen kesit için: ; farklı bölümler için formüller referans literatüründe verilmiştir. h/R için<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.
Kesitteki normal gerilmeler hiperbolik yasaya göre dağıtılır (kesitin dış kenarında daha az, iç kenarda daha fazla). Normal bir N kuvvetinin etkisi altında: 
(burada rN, yalnızca M momentinin etkisi altında olacak olan nötr katmanın yarıçapıdır, yani N = 0'da, ancak gerçekte, uzunlamasına bir kuvvetin varlığında bu katman artık nötr değildir). Güç durumu: 
, eğilme ve çekme-sıkıştırmadan kaynaklanan toplam gerilmelerin en büyük olacağı uç noktalar göz önüne alındığında, yani y= – h2 veya y= h1. Yer değiştirmeler uygun bir şekilde Mohr yöntemiyle belirlenir.
Sıkıştırılmış çubukların kararlılığı. boyuna bükülme
Çubuğun tahribatı sadece mukavemet kırılacağı için değil, aynı zamanda çubuğun istenen şekli korumaması nedeniyle de meydana gelebilir. Örneğin, ince bir cetvelin boyuna sıkıştırması altında bükülmesi. Merkezi olarak sıkıştırılmış bir çubuğun doğrusal bir denge formunun stabilite kaybına denir. burkulma. elastik denge sürekli, eğer deforme olmuş cisim, denge durumundan küçük bir sapma ile orijinal durumuna dönme eğilimindeyse ve dış etki kaldırıldığında ona geri dönerse. Fazlası stabilite kaybına neden olan yüke denir. kritik yük Rcr (kritik kuvvet). İzin verilen yük [P]=Pkr/nу, nу – normatif kararlılık faktörü..gif" width="111" height="51 src=">.gif" width="115 height=54" height="54"> - formül, menteşeli uçlu bir çubuk için kritik kuvvetin değerini verir. Çeşitli sabitlemelerle: 
, m uzunluk azaltma faktörüdür.
Çubuğun her iki ucunun menteşeli bağlantısı ile m=1; kapalı uçlu bir çubuk için m=0.5; bir ucu kapalı ve diğer ucu serbest olan bir çubuk için m=2; bir ucu sabit ve diğer ucu menteşeli bir çubuk için, m=0.7.
Kritik basınç gerilimi.: 
, – çubuk esnekliği, 
çubuğun enine kesit alanının en küçük ana atalet yarıçapıdır. Bu formüller yalnızca skr £ spts gerilimleri orantılılık sınırı olduğunda, yani Hooke yasasının uygulanabilirlik sınırları içinde olduğunda geçerlidir. Euler formülü, çubuk esnek olduğunda geçerlidir: 
, örneğin, çelik St3 (C235) için lkr "100. l durumu için
l için yeterince kısa çubuklar
(Fnet = Fgross-Fweak - Fweak bölümündeki deliklerin alanını dikkate alarak zayıflamış bölümün alanı, örneğin perçinlerden). \u003d scr / nу, nу - standart katsayı. istikrar marjı. İzin verilen gerilim, dayanım hesaplamalarında kullanılan ana izin verilen gerilim [s] cinsinden ifade edilir: =j×[s], j - izin verilen stres azaltma faktörü sıkıştırılmış çubuklar için (burkulma katsayısı). J değerleri Tabloda verilmiştir. ders kitaplarında ve çubuğun malzemesine ve esnekliğine bağlıdır (örneğin, çelik St3 için l=120 j=0.45'te).
Gerekli kesit alanının tasarım hesabında ilk adımda j1 = 0,5–0,6 alınır; bulmak: 
. Ayrıca, Fgross'u bilerek, bölümü seçin, Jmin, imin ve l'yi belirleyin, Tabloya göre ayarlayın. gerçek j1I, j1'den önemli ölçüde farklıysa, hesaplama j2= (j1+j1I)/2 ortalaması ile tekrarlanır. İkinci denemenin bir sonucu olarak, önceki değerle karşılaştırılan j2I bulunur ve bu şekilde, yeterince yakın bir eşleşme elde edilene kadar devam eder. Genellikle 2-3 deneme sürer..
Arasındaki ilişki eksenleri döndürürken atalet momentleri:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif" width="17" height="47 src=">(Jx - Jy)sin2a + Jxycos2a ;
A>0 açısı, eski koordinat sisteminden yenisine geçiş saat yönünün tersine gerçekleşirse. s. Jy1 + Jx1= Jy + Jx
Atalet momentlerinin aşırı (maksimum ve minimum) değerlerine denir ana eylemsizlik momentleri. Eksenel atalet momentlerinin aşırı değerlere sahip olduğu eksenlere denir. ana eylemsizlik eksenleri. Ana eylemsizlik eksenleri karşılıklı olarak diktir. Ana eksenler hakkında merkezkaç atalet momentleri \u003d 0, yani, ana atalet eksenleri, merkezkaç atalet momentinin \u003d 0 olduğu eksenlerdir. Eksenlerden biri veya her ikisi de simetri ekseniyle çakışırsa, o zaman onlar müdür. Ana eksenlerin konumunu tanımlayan açı: 
, eğer a0>0 Þ ise eksenler saat yönünün tersine döndürülür. p. Maksimum ekseni, atalet momentinin daha büyük bir değere sahip olduğu eksenlerle her zaman daha küçük bir açı yapar. Ağırlık merkezinden geçen asal eksenlere denir. atalet ana merkezi eksenleri. Bu eksenlere göre eylemsizlik momentleri: 
Jmax + Jmin = Jx + Jy. Ana atalet eksenleri etrafındaki merkezkaç atalet momenti 0'dır. Ana atalet momentleri biliniyorsa, döndürülmüş eksenlere geçiş için formüller şunlardır:
Jx1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1=(Jmax - Jmin)sin2a;
Kesitin geometrik özelliklerini hesaplamanın nihai amacı, ana merkezi atalet momentlerini ve ana merkezi atalet eksenlerinin konumunu belirlemektir. 
eylemsizlik yarıçapı- https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif" width="85" height="32 src=">. İkiden fazla simetri eksenine sahip bölümler için (örneğin: daire, kare, halka, vb.) tüm merkezi eksenlere göre eksenel atalet momentleri birbirine eşittir, Jxy=0, atalet elipsi bir atalet çemberine dönüşür.
s- normal voltaj[Pa], 1Pa (paskal) = 1 N/m2,
106Pa = 1 MPa (megapaskal) = 1 N/mm2
N - boyuna (normal) kuvvet [N] (newton); F - kesit alanı [m2]
e - bağıl deformasyon [boyutsuz değer];
DL - boyuna deformasyon [m] (mutlak uzama), L - çubuk uzunluğu [m].
Hooke yasası - s = E×e
E - çekme modülü (1. türün elastisite modülü veya Young modülü) [MPa]. Çelik için E = 2×105MPa = 2×106 kg/cm2 ("eski" birim sisteminde).
(E ne kadar fazla olursa malzeme o kadar az uzayabilir)
; - Hook kanunu
EF - gerilimde (sıkıştırma) çubuk sertliği.
Çubuk gerildiğinde, "incelir", genişliği - a enine deformasyonla azalır - Da.
Göreceli enine deformasyon.
 |
Malzemelerin temel mekanik özellikleri
sp - orantılılık sınırı, st - akma dayanımı, sВ- güç sınırı veya geçici direnç, sk kopma anındaki voltajdır.
Dökme demir gibi kırılgan malzemeler düşük uzamalarda kırılır ve bir akma platosuna sahip değildir, sıkıştırmaya gerilmeden daha iyi direnç gösterir.
izin verilen voltaj https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif" align="left" width="173" height="264"> eğim boyunca gerilmeler:
Doğrudan görev………………………………………………..3
Ters problem……………………………………………………3
Hacim stres durumu……………………………4
Oktahedral site boyunca gerilmeler…………………..5
Hacimsel gerilme durumundaki deformasyonlar.
Genelleştirilmiş Hooke Yasası ……………………………………………6
Potansiyel gerinim enerjisi…………………………7
Kuvvet teorileri…………………………………………………………………9
Mohr kuvvet teorisi ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………
Mohr Çemberi …………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………
Net vardiya…………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………
Kesmede Hooke yasası……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………
Burulma……………………………………………………..13
Dikdörtgen bir çubuğun burulması……………………….14
Eğilme………………………………………………………………………
Zhuravsky formülü…………………………………………………………………16
Eğilme mukavemeti hesabı………………………………………………………………………………18
Eğilme sırasında kirişlerdeki yer değiştirmelerin belirlenmesi……………19
Bükmede diferansiyel bağımlılıklar……………….20
Yer değiştirme uyumluluk denklemi……………………..22
Yer değiştirmeleri karşılaştırma yolu……………………………..22
Üç-moment teoremi………………………………………..22
Yer değiştirmeleri belirlemek için genel yöntemler………………….24
İş karşılıklılık teoremi (Betley teoremi)……………….25
Yer değiştirmelerin karşılıklılığı üzerine teorem (Maxwell teoremi). 26
Mohr integralinin Vereshchagin yöntemiyle hesaplanması……….27
Castigliano teoremi…………………………………………..28
Statik olarak belirsiz sistemler…………………………..29
Düz kavisli çubukların (çubuklar) hesaplanması………………...31
Sıkıştırılmış çubukların kararlılığı. Boyuna bükülme………33
Düz bölümlerin geometrik özellikleri…………36
Kesitin eylemsizlik momentleri……………………………………..37
Bölümün merkezkaç atalet momenti …………………..37
Basit şekil bölümlerinin eylemsizlik momentleri………………..38
Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri……..39
Dönerken atalet momentleri arasındaki ilişki
eksenler…………………………………………………………40
Direnç anları…………………………………….42
Gerilim ve sıkıştırma……………………………………………………43
Malzemelerin temel mekanik özellikleri…….45
iki eksenli veya düz tüm noktalarında ana streslerden birinin sıfıra eşit olduğu vücudun böyle bir stres durumu olarak adlandırılır. Gövdenin yan yüzeyine eksene dik bir dış kuvvetler sistemi uygulanırsa, prizmatik veya silindirik bir gövdede (Şekil 17.1) gevşek ve yüksüz uçlara sahip bir düzlem stres durumunun meydana geldiği gösterilebilir. Öz ve bağlı olarak değişen z ikinci dereceden yasaya göre, ortalama bölüme göre simetriktir. Görünüşe göre vücudun tüm kesitlerinde
ve voltaj bir x, bir y, x bağlı olarak değişir z ayrıca, ikinci dereceden yasaya göre, ortalama kesite göre simetriktir. Bu varsayımların tanıtılması, probleme (17.13) ve esneklik teorisinin tüm denklemlerini karşılayan bir çözüm elde etmeyi mümkün kılar.
İlginç olan, gerilimlerin değişkene bağlı olmadığı özel durumdur. z'-
Böyle bir stres durumu, yalnızca uzunluk boyunca eşit olarak dağılmış bir yükün etkisi altında mümkündür. Hooke yasasının (16.3) formüllerinden, e x, e y, e z , y deformasyonlarının aynı zamanda z, ve deformasyonlar y ve y zx(17.13) dikkate alındığında sıfıra eşittir. Bu durumda deformasyon süreklilik denklemlerinin (16.4), (16.5) dördüncü ve beşincisi aynı şekilde sağlanır ve ikinci, üçüncü ve altıncı denklemler şu şekli alır:
Bu denklemleri entegre ederek ve Hooke yasasının (16.3) üçüncü formülünü az = 0, alırız
Santimetre.: Timoshenko S.P., Goodyear J. Elastikiyet teorisi. Moskova: Nauka, 1975.
Bu nedenle, gövdenin uzunluğu boyunca sabit bir yüzey yükü ile yüklenen serbest uçları olan prizmatik veya silindirik bir gövdede bir düzlem gerilim durumu, yalnızca belirli bir durumda, gerilimlerin toplamı olduğunda mümkündür. bir x + bir y değişkenlere bağlı olarak değişir x ve de doğrusal veya sabit.
Gövdenin uç düzlemleri arasındaki mesafe (Şekil 7.1) bölümlerin boyutlarına kıyasla küçükse, o zaman dış kontur boyunca yüklenen ince bir plaka (Şekil 17.5) ve kuvvetler göreli olarak simetrik olarak dağıtılmış durumdayız. ikinci dereceden bir yasaya göre plakanın orta düzlemi. Plaka kalınlığından H küçükse, küçük bir hatayla, stres plakasının medyan düzlem yüklemesine göre herhangi bir simetrik için varsayılabilir. bir x, bir v , txv kalınlığı boyunca düzgün bir şekilde dağılmıştır.
Bu durumda gerilmeler kalınlık üzerinden ortalama değerleri olarak anlaşılmalıdır, örneğin
Ayrıca, (17.14) varsayımı getirildiğinde, sıfır gerilme koşulunun (17.13) olduğuna da dikkat edilmelidir.
(17.13) ve (17.14) varsayımlarına sahip ince bir levhanın stres durumunun dikkate alınan durumu genellikle denir. genelleştirilmiş düzlem stres durumu.
Bu durum için elastisite teorisinin temel denklemlerini ele alalım.
(17.13) dikkate alınarak, Hooke yasasının (16.3) formülleri şeklinde yazılabilir.
Karşılık gelen ters ilişkiler forma sahiptir
Formüller (17.17) ve (17.18), Hooke yasasının (17.7) ve (17.9) formüllerinden düzlem deformasyonu için sadece elastik modül yerine ikincisinde farklıdır. E ve Poisson oranı v, indirgenmiş miktarları içerir E ( ve sanal gerçeklik
Denge denklemleri, Cauchy bağıntıları, gerinim süreklilik denklemi ve statik sınır koşulları, düzlem gerinim için karşılık gelen denklemlerden (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) farklı değildir.
Düzlem deformasyonu ve genelleştirilmiş düzlem stres durumu esasen aynı denklemlerle tanımlanır. Tek fark, Hooke yasasının formüllerindeki esneklik sabitlerinin değerlerindedir. Bu nedenle, her iki görev de ortak bir adla birleştirilir: elastisite teorisinin düzlem problemi.
Düzlem probleminin tam denklem sistemi, iki denge denkleminden (17.10), üç geometrik Cauchy bağıntısından (17.3) ve Hooke yasasının (17.7) veya (17.17) üç formülünden oluşur. Sekiz bilinmeyen fonksiyon içerirler: üç voltaj bir x, bir y, x xy,üç suş e x, e y, y xy ve iki hareket Ve Ve Ve.
Problemi çözerken yer değiştirmelerin belirlenmesi gerekmiyorsa, bilinmeyen sayısı altıya düşürülür. Bunları belirlemek için altı denklem vardır: iki denge denklemi, Hooke yasasının üç formülü ve deformasyonların sürekliliği denklemi (17.11).
Ele alınan iki tip düzlem problemi arasındaki temel fark aşağıdaki gibidir. Düzlem deformasyonu için ? z = 0,oz * 0 ve değer c z o x io gerilmeleri belirlendikten sonra formül (17.6) ile bulunabilir. Genelleştirilmiş bir düzlem stres durumu için bir z = 0, ? z Ф 0 ve çarpıtma ? z gerilmeler cinsinden ifade edilebilir o x ve kuruluş birimi(17.16) formülüne göre. hareketli w Cauchy denkleminin integrali alınarak bulunabilir.
DEFORME DURUMLAR ("DÜZ SORUN")
Düzlem gerilimi ve düzlem gerinim durumları aşağıdaki özelliklerle karakterize edilir.
1. Tüm gerilim bileşenleri, tüm bileşenler için ortak olan koordinatlardan birine bağlı değildir ve değiştiğinde sabit kalır.
2. Bu koordinatın eksenine dik düzlemlerde:
a) kesme gerilimi bileşenleri sıfıra eşittir;
b) normal gerilim ya sıfıra (düzlem gerilim durumu) ya da diğer iki normal gerilimin toplamının yarısına (düzlem gerinme durumu) eşittir.
Daha önce bahsedilen ekseni, y eksenini ele alalım. Yukarıdakilerden bu eksenin ana eksen olacağı açıktır, yani 2. indeks ile de gösterilebilir. Ayrıca, , ve y'ye bağlı değildir; aynı zamanda, ve , ve dolayısıyla ve ve sıfıra eşittir.
Bir düzlem gerilme durumu için = 0. Bir düzlem deforme durumu için (bir düzlem deforme durumunun bu özelliği aşağıda kanıtlanacaktır).
Düzlem gerilimi ve düzlem gerinim durumları arasındaki önemli fark her zaman hesaba katılmalıdır.
İlkinde, üçüncü eksen yönünde normal gerilme yoktur, ancak deformasyon vardır, ikincisinde normal gerilme vardır, ancak deformasyon yoktur.
Bir düzlem stres durumu, örneğin, levhanın düzlemine paralel konturuna uygulanan ve kalınlığı boyunca eşit olarak dağıtılan kuvvetlerin etkisine maruz kalan bir levhada olabilir (Şekil 3.16). Bu durumda levha kalınlığındaki değişiklik önemli değildir ve kalınlığı bir bütün olarak alınabilir. Yeterli doğrulukla, sac malzemeden silindirik bir kütük çizilirken flanşın stres durumu düz olarak kabul edilebilir.
Gövde uzunluğu boyunca değişmeyen ve jeneratörlere dik yönlendirilen kuvvetlerle yüklüyse, uçlarından uzak, büyük uzunluktaki silindirik veya prizmatik bir gövdenin bölümleri için bir düzlem deforme durumu kabul edilebilir. Örneğin, düz deforme olmuş bir durumda, uzunluk boyunca deformasyon ihmal edilebildiği zaman, bir kirişin kalınlık yönünde yığılmaya maruz kaldığı düşünülebilir.
Bir düzlem problemi için tüm gerilim durumu denklemleri büyük ölçüde basitleştirilmiştir ve değişken sayısı azaltılmıştır.
Düzlem problemi için denklemler, kütle gerilme durumu için daha önce türetilenlerden, aşağıdakiler dikkate alınarak kolaylıkla elde edilebilir: 
\u003d 0 ve \u003d 0 alıyor, çünkü eğimli alanlar yalnızca y eksenine paralel olarak kabul edilmelidir, yani düzlem stres durumunda gerilmelerden arınmış veya düzlem deforme durumunda deformasyonlardan arınmış alanlara normal (Şekil 3.17). ).
İncelenen durumda
Normal ile eğimli alan arasındaki açıyı (bkz. Şekil 3.17) eksen (veya stres durumu ana eksenler 1 ve 2'de verilmişse eksen) arasındaki açıyı ifade ederek , nereden alırız .
Yukarıdakileri göz önünde bulundurarak, hacimsel gerilme durumu için karşılık gelen (3.10) ve (3.11) ifadelerinde doğrudan ikameler yaparak, eğimli alandaki normal ve kayma gerilmelerini elde ederiz (bakınız Şekil 3.17).
Şekil 3.15. Düzlem gerilme durumu (a), eğimli bir platform üzerindeki gerilme (b)
normal voltaj
kesme gerilimi
. (3.41)
(3.41) ifadesinden günah 2 \u003d 1'de, yani \u003d 45 °'de bir maksimuma sahip olduğunu görmek kolaydır:
. (3.42)
Asal gerilmelerin büyüklüğü, elde ettiğimiz denklem (3.13) kullanılarak isteğe bağlı eksenlerdeki bileşenler cinsinden ifade edilebilir.
. (3.43)
Bu durumda, bir düzlem stres durumu için = 0; düz gergin durum için
Ana eksenlerdeki stres durumunu bilerek, herhangi bir keyfi koordinat eksenine geçiş yapmak kolaydır (Şekil 3.18). Yeni koordinat ekseni x eksenle bir açı yapsın, sonra onu eğimli alana normal kabul ederek, denklem (3.40)'a göre ikincisi için varız.
ancak eksen için voltaj voltajdır, dolayısıyla
bu ifade aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:
(3.44)
Yeni eksen, eksen 1'e bir açıyla (+90°) eğilecektir; bu nedenle, önceki denklemi ( + 90°) ile değiştirerek, şunu elde ederiz:
Gerilimi (3.41) ifadesinden belirleriz:
. (3.46)
Ortalama voltajın gösterilmesi, yani
, (3.47)
ve (3.42) denklemini dikkate alarak, gerilim bileşenlerini açının bir fonksiyonu olarak ifade eden dönüşüm formüllerini elde ederiz:
(3.48)
Mohr diyagramını oluştururken, y eksenine (yani eksen 2) paralel alanları göz önünde bulundurduğumuz için, kosinüs yönünün her zaman sıfır olduğunu, yani açı = 90 ° olduğunu dikkate alıyoruz. Bu nedenle, karşılık gelen tüm değerler ve = 0 ile değiştirilirken denklem (3.36 b) ile tanımlanan daire üzerinde yer alacaktır, yani:
, (3.49)
veya (3.47) ve (3.42) ifadelerini dikkate alarak
. (3.49a)
Bu daire Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.19 ve bir Mohr diyagramıdır. Daire üzerinde bulunan bazı P noktasının koordinatları karşılık gelen değerleri belirler ve P noktasını nokta ile birleştirelim.Segmentlerin 0 2 P = ;
Рр= , Ор= ve sonuç olarak günah 
= 
.
Elde edilen ifadeleri (3.48) denklemleriyle karşılaştırarak, şunu belirleyebiliriz.
P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.
Böylece, açı tarafından belirlenen eğik alanın konumunu bilerek, bu alana etki eden ve gerilmelerin değerleri bulunabilir.
Şekil3.17. Mohr diyagramı
,
daha sonra OP segmenti toplam stres S'yi ifade eder.
Eğimli yüzünde gerilimler dikkate alınan bir gerilimli cismin bir elemanı, ana gerilim eksene paralel olacak şekilde çizilirse, bu eğimli yüze çizilen normal N ve dolayısıyla gerilimin yönü, СР segmentine paralel olacaktır.
P0 2 çizgisini daire ile kesişmeye devam ederek, P "noktasında ikinci değer çiftini alıyoruz ve " = + 90 ° olan başka bir eğimli alan için, yani birinciye dik alan için , normalin yönü ile ". N ve N normallerinin yönleri sırasıyla yeni eksenlerin yönleri olarak alınabilir: ve , ve gerilmeler ve " - sırasıyla koordinat gerilmeleri için ve. Böylece, (3.44) - (3.46) formüllerini kullanmadan keyfi eksenlerdeki gerilme durumunu belirleyin.
Ters problemi çözmek zor değil: karşılıklı olarak dik iki alanda verilen gerilmeler için ve , t "(burada t" = t) ana gerilmeleri bulun.
Koordinat eksenlerini n ve çiziyoruz (Şekil 3.19). P ve P "noktalarını, verilen gerilmelere karşılık gelen koordinatlarla çiziyoruz ve ,. PP segmentinin eksenle kesişimi, PP "= 2 31 çaplı Mohr dairesinin 0 2 merkezini belirleyecektir. Ayrıca, eğer N, N" (veya aynı şey, , ) eksenlerini oluşturuyoruz ve şekli döndürüyoruz, böylece bu eksenlerin yönleri gerilme yönlerine paralel olacak ve verilen cismin dikkate alınan noktasında, sonra eksenlerin yönleri ve diyagram ana eksen 1 ve 2'nin yönüne paralel olacaktır.
Bir düzlem problemi için diferansiyel denge denklemini, y'ye göre tüm türevlerin sıfıra eşit olduğunu ve ayrıca sıfıra eşit olduğunu dikkate alarak denklemlerden (3.38) elde ederiz:
(3.50)
Düz problemlerle ilgili bazı problemleri çözerken bazen dikdörtgen koordinatlar yerine kutupsal koordinatları kullanmak, bir noktanın konumunu yarıçap vektörü ve kutup açısı, yani yarıçap vektörünün eksenle yaptığı açı ile belirlemek uygun olur.
Kutupsal koordinatlardaki denge koşulları, silindirik koordinatlardaki aynı koşullardan eşitleme ile kolayca elde edilebilir.
Ve türevlerin eşit olduğu göz önüne alındığında
(3.51)
Düzlem probleminin özel bir durumu, gerilimlerin koordinata da bağlı olmamasıdır (gerilme dağılımı eksen etrafında simetriktir). Bu durumda, ve gerilmelere göre türevler ortadan kalkar ve denge koşulları bir diferansiyel denklem ile belirlenir.
. (3.52)
Burada da streslerin esas olduğu açıktır.
Böyle bir stres durumu, silindirik kaba basmadan çekme sırasında yuvarlak bir kütüğün flanşı için alınabilir.
Stres durumunun türü
Deforme olabilen cismin herhangi bir noktasındaki gerilim durumu, ana eksenlerin üç ana normal gerilimi ve yönleri ile karakterize edilir.
Üç ana gerilim durumu türü vardır: üç ana gerilimin hepsinin sıfıra eşit olmadığı hacim (üç eksenli), ana gerilimlerden birinin sıfır olduğu düz (çift eksenli) ve yalnızca lineer (tek eksenli). bir ana gerilim sıfırdan farklıdır.
Tüm normal stresler aynı işarete sahipse, stres durumu aynı adla ve farklı işaretli stresler için - zıt olarak adlandırılır.
Böylece dokuz tür stres durumu vardır: dört hacimsel, üç düz ve iki doğrusal (Şekil 3.18).
Deforme olabilen cismin herhangi bir noktasında ana eksenlerin yönleri ve ana normal gerilmelerin büyüklüğü değişmeden kaldığında, stres durumu homojen olarak adlandırılır.
Gerilme durumunun türü, metalin çökmeden plastik olarak deforme olma yeteneğini ve belirli bir değerde bir deformasyon elde etmek için uygulanması gereken dış kuvvet miktarını etkiler.
Bu nedenle, örneğin, aynı hacimsel gerilim durumundaki koşullar altında deformasyon, diğer her şey eşitken, zıt gerilim durumundan daha fazla çaba gerektirir.
sınav soruları
1. Voltaj nedir? Bir noktanın, bir bütün olarak vücudun stres durumunu karakterize eden nedir?
2. Stres tensör bileşenlerinin gösteriminde indeksler neyi ifade ediyor?
3. Gerilim tensörü bileşenleri için işaret kuralını verin.
4. Eğimli platformlardaki gerilmeler için Cauchy'nin formüllerini yazın. Vardıkları sonucun temeli nedir?
5. Stres tensörü nedir? Gerilme tensörünün bileşenleri nelerdir?
6. Gerilme tensörünün özvektörleri ve öz değerlerine ne ad verilir?
7. Temel stresler nelerdir? Kaç?
8. Ana normal gerilimlere endeks atama kuralını verin.
9. Ana normal gerilmelerin ve gerilme tensörünün ana eksenlerinin fiziksel bir yorumunu verin.
10. OMD - haddeleme, çekme, preslemenin ana işlemleri için ana normal gerilmelerin diyagramlarını gösterin.
11. Gerilim tensörü değişmezleri nelerdir? Kaç?
12. Birinci gerilim tensörü değişmezinin mekanik anlamı nedir?
13. Kesme gerilmelerinin yoğunluğuna ne denir?
14..Ana kesme gerilmeleri nelerdir? Platformlarını bulun
15.. Deforme olabilen cismin bir noktasında ana kesme gerilmelerinin kaç alanı gösterilebilir?
16. Etki ettiği bölgedeki normal gerilme olan maksimum kesme gerilmesi nedir?
17. Eksimetrik gerilim durumu nedir? Örnekler ver.
18. Ana OMD işlemleri için ana normal gerilimlerin diyagramlarını gösterin - haddeleme, çekme, presleme.
19. Bir düzlem gerilmeli ve düzlem deforme olma durumu arasında ortak olan nedir ve aralarındaki fark nedir? Basit bir kayma bu durumlardan hangisini ifade eder?
20. Ana koordinat sisteminde bildiğiniz stres teorisi formüllerini verin.
21. Gerilim elipsoidi nedir? Denklemini not edin ve yapım sırasını belirtin. Hidrostatik basınç, düzlem ve doğrusal gerilim durumları için gerilim elipsoidinin formu nedir?
22. Ana normal gerilmeleri bulmak için bir denklem ve ana eksenleri bulmak için üç denklem sistemi yazın. Ta.
23..Küresel tensör ve gerilim saptırıcı nedir? Gerilim saptırıcının ikinci ve üçüncü değişmezlerini hesaplamak için hangi nicelikler kullanılır?
24. Gerilim tensörünün ve gerilim saptırıcının ana koordinat sistemlerinin çakıştığını gösterin.
25. Gerilme yoğunluğu ve kesme gerilmesi yoğunluğu neden dikkate alınmaktadır? Fiziksel anlamlarını açıklar ve geometrik yorumlar yapar.
26. Mohr diyagramı nedir? Ana dairelerin yarıçapları nelerdir?
27. Ortalama voltaj değiştiğinde Mohr diyagramı nasıl değişecek?
28. Oktahedral gerilmeler nelerdir?
29. Gerilim durumundaki bir cismin bir noktasından kaç tane karakteristik alan çizilebilir?
30. Dikdörtgen koordinatlarda, silindirik ve küresel koordinatlarda hacimsel gerilim durumu için denge koşulları.
31. Düzlem problemi için denge denklemleri.
KAYNAKÇA
1. Ilyushin A. A. Plastisite. Bölüm I.M.-L., GTI, 1948. 346 s. (33)
2. I. M. Pavlov, “Plastiklik teorisindeki tensör temsillerinin fiziksel doğası üzerine,” Izvestiya vuzov. Demirli metalurji”, 1965, No. 6, s. 100–104.
3. V. V. Sokolovsky, Plastisite Teorisi. M., Yüksek Okul, 1969. 608 s. (91)
4. M. V. Storozhev ve E. A. Popov, Metal basınç tedavisi teorisi. M., "Mühendislik", 1971. 323 s. (99)
5. S.P. Timoshenko, Esneklik Teorisi. Gostekhizdat, 1934. 451 s. (104)
6. Shofman L. A. Damgalama ve presleme işleminin hesaplanmasının temelleri. Maşgiz, 1961. (68)
Uygulamalar için önemli olan ve örneğin düzlemde gerçekleşen bir düzlem gerilme durumu durumunu ele alalım. Öz. Bu durumda stres tensörü şu şekildedir:
Geometrik çizim Şekil 1'de gösterilmiştir. Aynı zamanda siteler x= const, karşılık gelen sıfır ana gerilime sahip anaparalardır. Gerilme tensörü değişmezleri , ve karakteristik denklem formu alır
Bu denklemin kökleri
|
Köklerin numaralandırılması durum için yapılır 
Şekil 1.İlk düzlem stres durumu. 
İncir. 2. Ana gerilmelerin konumu
Rastgele bir site, Şekil 1'de bir açı ile karakterize edilir. 1, vektör ise P bileşenleri vardır: , , nx \u003d 0. Eğimli bir sahadaki normal ve kesme gerilmeleri, açı cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir:
Denklem (4)'ün en küçük pozitif kökü ile gösterilecektir. tg'den beri( x) noktalı periyodik bir fonksiyonsa, açıları oluşturan karşılıklı olarak dik iki yönümüz olur ve 
aks ile kuruluş birimi. Bu yönler karşılıklı olarak dik ana alanlara karşılık gelir (Şekil 2).
(2) ilişkisini türevi sıfıra göre türevlendirir ve sıfıra eşitlersek, o zaman asal gerilmelerin aşırı olduğunu kanıtlayan (4) denklemine ulaşırız.
Aşırı kayma gerilmesi olan alanların yönelimini bulmak için, ifadenin türevini sıfıra eşitleriz.
nereden alıyoruz
|
(4) ve (5) bağıntılarını karşılaştırarak, şunu buluruz:
Bu eşitlik, açılar ve açılara göre farklılık gösteriyorsa mümkündür. Sonuç olarak, aşırı kayma gerilmeleri olan alanların yönleri, ana alanların yönlerinden bir açıyla farklılık gösterir (Şekil 3).
Şekil 3. Aşırı kesme gerilimi
Aşırı kayma gerilmelerinin değerleri, formüller kullanılarak (3) ilişkisine (5) yerleştirildikten sonra elde edilir.
.
Bazı dönüşümlerden sonra,
Bu ifadeyi daha önce elde edilen asal gerilmelerin (2.21) değerleriyle karşılaştırarak, aşırı kayma gerilmelerini asal gerilmeler cinsinden ifade ederiz.
(2)'ye benzer bir ikame,
Elde edilen ilişkiler, bir düzlem gerilme durumu durumunda yapıların yön yönelimli bir dayanım analizi yapmamızı sağlar.
GERİLİM TENSÖRÜ
İlk önce düzlem deformasyon durumunu ele alalım (Şekil 4). Düz eleman olsun MNPQ düzlem içinde hareket eder ve deforme olur (şekil ve boyut değiştirir). Elemanın deformasyon öncesi ve sonrası noktalarının koordinatları şekilde işaretlenmiştir.
Şekil 4. Düz deformasyon.
Tanım olarak, bir noktada bağıl lineer gerinim m eksen yönünde Ah eşittir
Şek. 4 takip
Verilen MN=dx, alırız
Küçük deformasyonlar söz konusu olduğunda, , , ikinci dereceden terimleri ihmal edebiliriz. Yaklaşık oranı dikkate alarak
adil x<<1, окончательно для малой деформации получим
Açısal deformasyon, açıların toplamı ve (4) olarak tanımlanır. Küçük deformasyonlar durumunda
Sahip olduğumuz açısal deformasyon için
Genel üç boyutlu deformasyon durumunda benzer hesaplamalar yaparak, dokuz ilişkimiz var.
Bu tensör, katının deforme durumunu tamamen belirler. Gerilme tensörü ile aynı özelliklere sahiptir. Simetri özelliği, doğrudan açısal deformasyonların tanımından gelir. Ana değerler ve ana yönler ile açısal gerilmelerin uç değerleri ve bunlara karşılık gelen yönler, stres tensörü ile aynı yöntemlerle bulunur.
Gerinim tensörü değişmezleri benzer formüllerle tanımlanır ve küçük gerilim tensörünün ilk değişmezi açık bir fiziksel anlama sahiptir. Deformasyondan önce hacmi eşittir dV 0 =dxdydz. Hacmi değil şekli değiştiren kesme deformasyonlarını ihmal edersek, deformasyondan sonra nervürler boyutlara sahip olacaktır.
(Şekil 4) ve hacmi eşit olacaktır
Göreceli hacim değişikliği
küçük deformasyonlar içinde olacak
hangi birinci değişmez tanımı ile örtüşmektedir. Açıkçası, hacimdeki değişiklik, koordinat sisteminin seçimine bağlı olmayan fiziksel bir niceliktir.
Gerilim tensörü gibi, gerinim tensörü de küresel bir tensör ve bir saptırıcıya ayrılabilir. Bu durumda, saptırıcının ilk değişmezi sıfıra eşittir, yani. saptırıcı, hacmini değiştirmeden vücudun deformasyonunu karakterize eder.
