Bir fonksiyonun türevi. Türev fonksiyonu f x örnekleriyle ayrıntılı teori

Tanımı takip ederseniz, bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının limitidir. sen argüman artışına Δ X:

Her şey açık görünüyor. Ancak fonksiyonun türevini hesaplamak için bu formülü kullanmayı deneyin. F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X günah X. Her şeyi tanımı gereği yaparsanız, birkaç sayfalık hesaplamalardan sonra uykuya dalacaksınız. Bu nedenle daha basit ve etkili yollar var.

Başlangıç ​​olarak, tüm fonksiyon çeşitliliğinden, temel fonksiyonlar olarak adlandırılanları ayırt edebildiğimizi not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tablolaştırılan nispeten basit ifadelerdir. Bu tür fonksiyonların türevleriyle birlikte hatırlanması oldukça kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenenlerin tamamıdır. Bu fonksiyonların türevlerinin ezbere bilinmesi gerekir. Üstelik bunları ezberlemek hiç de zor değil; bu yüzden temel düzeydedirler.

Yani, temel fonksiyonların türevleri:

İsim	İşlev	Türev
Devamlı	F(X) = C, C ∈ R	0 (evet, sıfır!)
Rasyonel üslü kuvvet	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinüs	F(X) = günah X	çünkü X
Kosinüs	F(X) = çünkü X	−günah X(eksi sinüs)
Teğet	F(X) = tg X	1/çünkü 2 X
Kotanjant	F(X) = ctg X	− 1/günah 2 X
Doğal logaritma	F(X) = günlük X	1/X
Keyfi logaritma	F(X) = günlük A X	1/(X içinde A)
Üstel fonksiyon	F(X) = e X	e X(hiçbirşey değişmedi)

Bir temel fonksiyon keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni fonksiyonun türevi de kolaylıkla hesaplanır:

(C · F)’ = C · F ’.

Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası yapılabilir. Artık özellikle temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre farklılaştırılmış yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacak. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplam ve farkın türevi

Fonksiyonlar verilsin F(X) Ve G(X), türevleri tarafımızca bilinmektedir. Örneğin yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Daha sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Yani iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla şart olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Açıkça söylemek gerekirse cebirde “çıkarma” kavramı yoktur. “Negatif unsur” diye bir kavram var. Bu nedenle fark F − G toplam olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

F(X) = X 2 + günah x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

İşlev F(X) iki temel fonksiyonun toplamıdır, dolayısıyla:

F ’(X) = (X 2 + günah X)’ = (X 2)’ + (günah X)’ = 2X+ çünkü x;

İşlev için de benzer şekilde mantık yürütüyoruz G(X). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Cevap:
F ’(X) = 2X+ çünkü x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Ürünün türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir; pek çok kişi bir toplamın türevinin türevlerin toplamına eşit olması durumunda çarpımın türevinin alınacağına inanır. çarpmak">türevlerin çarpımına eşittir. Ama canınız cehenneme! Bir çarpımın türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Formül basit ama sıklıkla unutuluyor. Ve sadece okul çocukları değil, öğrenciler de. Sonuç yanlış çözülmüş problemlerdir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = X 3 çünkü x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

İşlev F(X) iki temel fonksiyonun ürünüdür, dolayısıyla her şey basittir:

F ’(X) = (X 3 çünkü X)’ = (X 3) çünkü X + X 3 (çünkü X)’ = 3X 2 çünkü X + X 3 (− günah X) = X 2 (3cos X − X günah X)

İşlev G(X) ilk çarpan biraz daha karmaşıktır ancak genel şema değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(X) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Cevap:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X günah X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Lütfen son adımda türevin çarpanlara ayrıldığını unutmayın. Resmi olarak bunun yapılmasına gerek yoktur, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, fonksiyonu incelemek için hesaplanır. Bu, türevin ayrıca sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin belirleneceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, bir ifadenin çarpanlara ayrılması daha iyidir.

İki fonksiyon varsa F(X) Ve G(X), Ve G(X) ≠ 0 ilgilendiğimiz kümede yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(X) = F(X)/G(X). Böyle bir fonksiyonun türevini de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Ve bunun gibi! Bu en karmaşık formüllerden biridir; şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle spesifik örneklerle incelemek daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonları içerir, bu nedenle ihtiyacımız olan tek şey bölümün türevinin formülüdür:

Geleneğe göre, payı çarpanlara ayıralım - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyonun mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül olması gerekmez. Örneğin fonksiyonu almanız yeterli F(X) = günah X ve değişkeni değiştirin X diyelim ki X 2 + ln X. Bu işe yarayacak F(X) = günah ( X 2 + ln X) - bu karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kuralları kullanarak onu bulmak mümkün olmayacak.

Ne yapmalıyım? Bu gibi durumlarda, karmaşık bir fonksiyonun türevi için bir değişkeni ve formülü değiştirmek yardımcı olur:

F ’(X) = F ’(T) · T', Eğer Xşununla değiştirilir: T(X).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasındaki durum, bölümün türevinden daha da üzücüdür. Bu nedenle, bunu belirli örneklerle ve her adımın ayrıntılı bir açıklamasıyla açıklamak daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = günah ( X 2 + ln X)

Fonksiyonda ise şunu unutmayın F(X) ifade 2 yerine X+3 kolay olacak X sonra temel bir fonksiyon elde ederiz F(X) = e X. Bu nedenle bir değişiklik yapıyoruz: 2 olsun X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Aşağıdaki formülü kullanarak karmaşık bir fonksiyonun türevini ararız:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz: T = 2X+ 3. Şunu elde ederiz:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Şimdi fonksiyona bakalım G(X). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor X 2 + ln X = T. Sahibiz:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (günah T)’ · T' = çünkü T · T ’

Ters değiştirme: T = X 2 + ln X. Daha sonra:

G ’(X) = çünkü ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = çünkü ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Bu kadar! Son ifadeden de anlaşılacağı üzere bütün sorun türev toplamının hesaplanmasına indirgenmiştir.

Cevap:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) çünkü ( X 2 + ln X).

Derslerimde sıklıkla "türev" terimi yerine "asal" kelimesini kullanıyorum. Örneğin, toplamın vuruşu vuruşların toplamına eşittir. Bu daha açık mı? Tamam bu harika.

Dolayısıyla türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre aynı vuruşlardan kurtulmak anlamına gelir. Son bir örnek olarak rasyonel üslü türev gücüne dönelim:

(X N)’ = N · X N − 1

Çok az kişi bunu rolde biliyor N kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök X 0,5. Ya kökün altında süslü bir şey varsa? Sonuç yine karmaşık bir işlev olacaktır - bu tür yapıları testlerde ve sınavlarda vermeyi severler.

Görev. Fonksiyonun türevini bulun:

Öncelikle kökü rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Şimdi bir değişiklik yapıyoruz: izin ver X 2 + 8X − 7 = T. Türevi aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Ters değiştirme işlemini yapalım: T = X 2 + 8X− 7. Elimizde:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Son olarak köklere dönelim:

Türev

Bir matematiksel fonksiyonun türevini hesaplamak (farklılaşma), yüksek matematik çözerken çok yaygın bir problemdir. Basit (temel) matematiksel fonksiyonlar için bu oldukça basit bir konudur, çünkü temel fonksiyonların türev tabloları uzun süredir derlenmiştir ve kolayca erişilebilir durumdadır. Ancak karmaşık bir matematiksel fonksiyonun türevini bulmak basit bir iş değildir ve çoğu zaman ciddi çaba ve zaman gerektirir.

Türevi çevrimiçi bulun

Çevrimiçi hizmetimiz, anlamsız uzun hesaplamalardan kurtulmanızı sağlar ve türevi çevrimiçi bul bir anda. Ayrıca web sitesinde yer alan hizmetimizi kullanarak www.site, hesaplayabilirsin çevrimiçi türev hem temel bir fonksiyondan hem de analitik çözümü olmayan çok karmaşık bir fonksiyondan. Sitemizin diğerlerine kıyasla ana avantajları şunlardır: 1) Türevi hesaplamak için matematiksel bir fonksiyon girme yöntemine ilişkin katı gereklilikler yoktur (örneğin, sinüs x fonksiyonunu girerken bunu sin x veya sin olarak girebilirsiniz) (x) veya sin[x], vb. d.); 2) çevrimiçi türev hesaplaması modda anında gerçekleşir çevrimiçi ve kesinlikle ücretsiz; 3) bir fonksiyonun türevini bulmanızı sağlarız herhangi bir sipariş Türevin sırasını değiştirmek çok kolay ve anlaşılır; 4) hemen hemen her matematiksel fonksiyonun türevini çevrimiçi olarak bulmanızı sağlıyoruz, hatta diğer hizmetler tarafından çözülemeyen çok karmaşık olanları bile. Verilen yanıt her zaman doğrudur ve hata içeremez.

Sunucumuzu kullanmak, 1) türevin sizin için çevrimiçi olarak hesaplanmasını sağlayarak hata veya yazım hatası yapabileceğiniz zaman alıcı ve yorucu hesaplamaları ortadan kaldırır; 2) bir matematiksel fonksiyonun türevini kendiniz hesaplarsanız, o zaman size elde edilen sonucu hizmetimizin hesaplamalarıyla karşılaştırma ve çözümün doğru olduğundan emin olma veya ortaya çıkan bir hatayı bulma fırsatı sunarız; 3) İstenilen fonksiyonu bulmanın genellikle zaman aldığı basit fonksiyonların türev tablolarını kullanmak yerine hizmetimizi kullanın.

Tek yapmanız gereken türevi çevrimiçi bul- hizmetimizi kullanmaktır

(\large\bf Bir fonksiyonun türevi)

İşlevi düşünün y=f(x), aralıkta belirtilen (a, b). İzin vermek X- aralığın herhangi bir sabit noktası (a, b), A Δx- değeri sağlayacak şekilde rastgele bir sayı x+Δx aynı zamanda aralığa aittir (a, b). Bu numara Δx argüman artışı denir.

Tanım. Fonksiyon artışı y=f(x) noktada X argüman artışına karşılık gelen Δx, numarayı arayalım

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Buna inanıyoruz Δx ≠ 0. Belirli bir sabit noktada düşünün X bu noktadaki fonksiyon artışının karşılık gelen argüman artışına oranı Δx

Bu ilişkiye fark ilişkisi adını vereceğiz. Değerden beri X sabit olduğunu düşünüyoruz, fark oranı argümanın bir fonksiyonudur Δx. Bu fonksiyon tüm argüman değerleri için tanımlanmıştır Δx, noktanın yeterince küçük bir mahallesine ait Δx=0, noktanın kendisi hariç Δx=0. Dolayısıyla, belirtilen fonksiyonun bir limitinin varlığı sorusunu dikkate alma hakkına sahibiz. Δx → 0.

Tanım. Bir fonksiyonun türevi y=f(x) belirli bir sabit noktada X limit denir Δx → 0 fark oranı, yani

Bu sınırın mevcut olması şartıyla.

Tanım. y'(x) veya f'(x).

Türevin geometrik anlamı: Bir fonksiyonun türevi f(x) Bu noktada X eksenler arasındaki açının tanjantına eşit Öküz ve bu fonksiyonun grafiğine karşılık gelen noktada bir teğet:

f'(x 0) = \tgα.

Türevin mekanik anlamı: Yolun zamana göre türevi noktanın doğrusal hareket hızına eşittir:

Bir doğruya teğet denklemi y=f(x) noktada M 0 (x 0, y 0) formu alır

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Bir eğrinin belirli bir noktasındaki normali, aynı noktadaki teğete diktir. Eğer f'(x 0)≠ 0, daha sonra doğrunun normalinin denklemi y=f(x) noktada M 0 (x 0, y 0)şu şekilde yazılmıştır:

Bir fonksiyonun türevlenebilirliği kavramı

Fonksiyona izin ver y=f(x) belirli bir aralıkta tanımlanmış (a, b), X- bu aralıktan bazı sabit argüman değerleri, Δx- argümanın değerini sağlayacak şekilde argümanda yapılan herhangi bir artış x+Δx ∈ (a, b).

Tanım. İşlev y=f(x) Belirli bir noktada türevlenebilir denir X eğer artış varsa Δy bu fonksiyon şu noktada X argüman artışına karşılık gelen Δxşeklinde temsil edilebilir

Δy = Bir Δx +αΔx,

Nerede A- bağımsız bir sayı Δx, A α - argüman işlevi Δx, bu da sonsuz küçük Δx→ 0.

İki sonsuz küçük fonksiyonun çarpımı olduğundan αΔx daha yüksek bir mertebeden sonsuz küçük bir değerdir Δx(3 sonsuz küçük fonksiyonun özelliği), o zaman şunu yazabiliriz:

Δy = Bir Δx +o(Δx).

Teorem. Fonksiyonun gerçekleşebilmesi için y=f(x) belirli bir noktada türevlenebilirdi X Bu noktada sonlu türevinin olması gerekli ve yeterlidir. burada A=f′(x), yani

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Türevi bulma işlemine genellikle farklılaşma adı verilir.

Teorem. Eğer fonksiyon y=f(x) X ise bu noktada süreklidir.

Yorum. Fonksiyonun sürekliliğinden y=f(x) Bu noktada X genel olarak konuşursak, fonksiyonun türevlenebilirliği takip etmez f(x) Bu noktada. Örneğin, fonksiyon y=|x|- bir noktada sürekli x=0, ancak türevi yoktur.

Diferansiyel fonksiyon kavramı

Tanım. Fonksiyon diferansiyeli y=f(x) bu fonksiyonun türevi ile bağımsız değişkenin artışının çarpımına denir X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

İşlev için y=x aldık dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, yani dx=Δx- bağımsız bir değişkenin diferansiyeli bu değişkenin artışına eşittir.

Böylece yazabiliriz

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferansiyel ölmek ve artırma Δy işlevler y=f(x) Bu noktada X, her ikisi de aynı bağımsız değişken artışına karşılık gelir Δx genel anlamda birbirine eşit değildir.

Diferansiyelin geometrik anlamı: Bir fonksiyonun diferansiyeli, argüman artırıldığında bu fonksiyonun grafiğine teğetinin ordinatındaki artışa eşittir Δx.

Farklılaşma kuralları

Teorem. Eğer fonksiyonların her biri sen(x) Ve v(x) belirli bir noktada türevlenebilir X, daha sonra bu fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü (şu şartla bölüm) v(x)≠ 0) bu noktada da türevlenebilirdir ve formüller şunları sağlar:

Karmaşık işlevi düşünün y=f(φ(x))≡ F(x), Nerede y=f(u), u=φ(x). Bu durumda sen isminde ara argüman, X - bağımsız değişken.

Teorem. Eğer y=f(u) Ve u=φ(x) argümanlarının türevlenebilir fonksiyonlarıdır, o zaman karmaşık bir fonksiyonun türevidir y=f(φ(x)) vardır ve ara argümana göre bu fonksiyonun çarpımına ve bağımsız değişkene göre ara argümanın türevine eşittir, yani.

Yorum. Üç fonksiyonun süperpozisyonu olan karmaşık bir fonksiyon için y=F(f(φ(x))), farklılaşma kuralı şu şekildedir:

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

işlevler nerede v=φ(x), u=f(v) Ve y=F(u)- argümanlarının türevlenebilir fonksiyonları.

Teorem. Fonksiyona izin ver y=f(x) artar (veya azalır) ve noktanın bazı mahallelerinde süreklidir x 0. Ayrıca bu fonksiyonun belirtilen noktada türevlenebilir olmasına izin verin. x 0 ve bu noktadaki türevi f'(x 0) ≠ 0. Daha sonra karşılık gelen noktanın bazı mahallelerinde y 0 =f(x 0) tersi şu şekilde tanımlanır: y=f(x) işlev x=f -1 (y) ve belirtilen ters fonksiyon karşılık gelen noktada türevlenebilir y 0 =f(x 0) ve bu noktadaki türevi için sen formül geçerlidir

Türev tablosu

Birinci diferansiyelin formunun değişmezliği

Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyelini ele alalım. Eğer y=f(x), x=φ(t)- argümanlarının fonksiyonları türevlenebilirse, fonksiyonun türevi y=f(φ(t)) formülle ifade edilir

y' t = y' x x' t.

A-tarikatı dy=y' t dt, sonra elde ederiz

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y' x dx.

Yani kanıtladık

Bir fonksiyonun birinci diferansiyel formunun değişmezliği özelliği: argümanın olduğu gibi X bağımsız bir değişkendir ve argümanın X kendisi yeni değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonudur, diferansiyel ölmek işlevler y=f(x) bu fonksiyonun türevinin argümanın diferansiyeli ile çarpımına eşittir dx.

Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalarda uygulanması

Diferansiyelin olduğunu gösterdik. ölmek işlevler y=f(x) genel olarak konuşursak, artışa eşit değildir Δy bu fonksiyon. Bununla birlikte, daha yüksek bir küçüklük derecesine sahip sonsuz küçük bir fonksiyona kadar Δx yaklaşık eşitlik geçerlidir

Δy ≈ dy.

Oran, bu eşitliğin eşitliğinin bağıl hatası olarak adlandırılır. Çünkü Δy-dy=o(Δx), bu eşitliğin göreceli hatası azaldıkça istenildiği kadar küçük olur |Δх|.

Hesaba katıldığında Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, alıyoruz f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx veya

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Bu yaklaşık eşitlik hataya izin verir o(Δx) işlevi değiştir f(x) noktanın küçük bir mahallesinde X(yani küçük değerler için Δx) argümanın doğrusal fonksiyonu Δx, sağ tarafta duruyor.

Yüksek dereceli türevler

Tanım. Bir fonksiyonun ikinci türevi (veya ikinci dereceden türevi) y=f(x) birinci türevinin türevi denir.

Bir fonksiyonun ikinci türevinin gösterimi y=f(x):

İkinci türevin mekanik anlamı. Eğer fonksiyon y=f(x) maddi bir noktanın düz bir çizgideki hareket yasasını, ardından ikinci türevi açıklar f″(x) Hareket eden bir noktanın o andaki ivmesine eşit X.

Üçüncü ve dördüncü türevler de benzer şekilde belirlenir.

Tanım. N türev (veya türev N-inci sıra) işlevler y=f(x) bunun türevi denir n-1 inci türevi:

y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.

Tanımlar: y", ve IV, ve V vesaire.

Bir fonksiyonun türevini bulma işlemine denir farklılaşma. Türevin matematiksel analiz sırasında bir takım problemlerde bulunması gerekir. Örneğin, bir fonksiyon grafiğinin uç noktalarını ve dönüm noktalarını bulurken.

Nasıl bulunur?

Bir fonksiyonun türevini bulmak için temel fonksiyonların türev tablosunu bilmeniz ve temel türev alma kurallarını uygulamanız gerekir:

1. Sabitin türev işaretinin ötesine taşınması: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Fonksiyonların toplamının/farkının türevi: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. İki fonksiyonun çarpımının türevi: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Bir kesrin türevi: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Karmaşık bir fonksiyonun türevi: $$ (f(g(x))))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Çözüm örnekleri

örnek 1

$ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ fonksiyonunun türevini bulun

Çözüm

Fonksiyonların toplamı/farkının türevi, türevlerin toplamı/farkına eşittir: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ $ (x^p)" = px^(p-1) $ kuvvet fonksiyonunun türevi kuralını kullanarak şunu elde ederiz: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Ayrıca bir sabitin türevinin sıfıra eşit olduğu da dikkate alınmıştır. Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır!

Cevap

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Türev hesaplama- diferansiyel hesaptaki en önemli işlemlerden biri. Aşağıda basit fonksiyonların türevlerini bulmak için bir tablo bulunmaktadır. Daha karmaşık türev kuralları için diğer derslere bakın:

• Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri tablosu

Verilen formülleri referans değerleri olarak kullanın. Diferansiyel denklemlerin ve problemlerin çözümünde yardımcı olacaklardır. Resimde, basit fonksiyonların türevleri tablosunda, kullanımı anlaşılır bir biçimde bir türev bulmanın ana durumlarının bir "kopya kağıdı" vardır, yanında her durum için açıklamalar vardır.

Basit fonksiyonların türevleri

1. Bir sayının türevi sıfırdır
с' = 0
Örnek:
5' = 0

Açıklama:
Türev, bir fonksiyonun argümanı değiştiğinde değerinin değişme hızını gösterir. Sayı hiçbir koşulda hiçbir şekilde değişmediğinden değişim oranı her zaman sıfırdır.

2. Bir değişkenin türevi bire eşit
x' = 1

Açıklama:
(x) argümanının her bir artışıyla, fonksiyonun değeri (hesaplamanın sonucu) aynı miktarda artar. Dolayısıyla y = x fonksiyonunun değerindeki değişim oranı, argümanın değerindeki değişim oranına tam olarak eşittir.

3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
сx` = с
Örnek:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Açıklama:
Bu durumda, fonksiyon argümanı her değiştiğinde ( X) değeri (y) artar İle bir kere. Böylece, argümanın değişim hızına göre fonksiyon değerinin değişim hızı, değere tam olarak eşittir. İle.

Buradan şu sonuç çıkıyor
(cx + b)" = c
yani y=kx+b doğrusal fonksiyonunun diferansiyeli (k) doğrusunun eğimine eşittir.

4. Bir değişkenin modulo türevi bu değişkenin modülüne oranına eşit
|x|"= x / |x| x ≠ 0 olması şartıyla
Açıklama:
Bir değişkenin türevi (bkz. formül 2) birliğe eşit olduğundan, modülün türevi yalnızca fonksiyonun değişim hızının değerinin başlangıç ​​noktasından geçerken tersine değişmesi bakımından farklılık gösterir (bir grafik çizmeyi deneyin) y = |x| fonksiyonunun değerini bulun ve kendiniz görün. Bu tam olarak hangi değerdir ve x / |x| ifadesini döndürür.< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - bir. Yani, x değişkeninin negatif değerleri için, argümandaki her artışla birlikte, fonksiyonun değeri tam olarak aynı değerde azalır ve pozitif değerler için tam tersine artar, ancak tamamen aynı değerde .

5. Bir değişkenin bir kuvvete göre türevi bu gücün bir sayısının çarpımına ve bir birim azaltılmış güce bağlı bir değişkene eşittir
(x c)"= cx c-1, x c ve cx c-1'in tanımlı olması ve c ≠ 0 olması şartıyla
Örnek:
(x 2)" = 2x
(x3)" = 3x2
Formülü hatırlamak için:
Değişkenin derecesini bir faktör olarak aşağı taşıyın ve ardından derecenin kendisini bir azaltın. Örneğin, x 2 için - ikisi x'in önündeydi ve sonra azaltılmış güç (2-1 = 1) bize basitçe 2x'i verdi. Aynı şey x 3 için de oldu - üçlüyü "aşağı doğru hareket ettiriyoruz", onu bir azaltıyoruz ve küp yerine bir karemiz var, yani 3x 2. Biraz "bilim dışı" ama hatırlaması çok kolay.

6.Bir kesrin türevi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Örnek:
Bir kesir negatif bir kuvvete yükselen bir şekilde temsil edilebildiğinden
(1/x)" = (x -1)" ise türev tablosunun 5. kuralındaki formülü uygulayabilirsiniz.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Bir kesrin türevi keyfi derece değişkeniyle paydada
(1/xc)" = - c / x c+1
Örnek:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Kökün türevi(değişkenin karekök altındaki türevi)
(√x)" = 1 / (2√x) veya 1/2 x -1/2
Örnek:
(√x)" = (x 1/2)", kural 5'teki formülü uygulayabileceğiniz anlamına gelir
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Keyfi bir derecenin kökü altındaki bir değişkenin türevi
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)