Şekil fonksiyonun ters türevini göstermektedir

Merhaba arkadaşlar! Bu yazıda antiderivatiflerin görevlerine bakacağız. Bu görevler matematikte Birleşik Devlet Sınavına dahildir. Cebir dersinde bölümlerin - farklılaşma ve entegrasyon - oldukça geniş olmasına ve anlayışa yönelik sorumlu bir yaklaşım gerektirmesine rağmen, matematikte açık görevler bankasına dahil edilen görevlerin kendileri Birleşik'te son derece basit olacaktır. Devlet Sınavı ve bir veya iki adımda çözülebilir.

Antiderivatifin özünü ve özellikle integralin geometrik anlamını tam olarak anlamak önemlidir. Teorik temelleri kısaca ele alalım.

İntegralin geometrik anlamı

İntegral hakkında kısaca şunu söyleyebiliriz: İntegral alandır.

Tanım: Parça üzerinde tanımlanan pozitif bir f fonksiyonunun koordinat düzleminde grafiği verilsin. Bir alt grafik (veya eğrisel yamuk), bir f fonksiyonunun grafiği, x = a ve x = b çizgileri ve x ekseni ile sınırlanan bir şekildir.

Tanım: Sonlu bir parça üzerinde tanımlı pozitif bir f fonksiyonu verilsin. Bir f fonksiyonunun bir segment üzerindeki integrali, alt grafiğinin alanıdır.

Daha önce de söylediğimiz gibi F'(x) = f(x).Ne sonuca varabiliriz?

Basit. Bu grafikte F′(x) = 0 olan kaç nokta olduğunu belirlememiz gerekiyor. Fonksiyonun grafiğine teğetinin x eksenine paralel olduğu noktalarda bunu biliyoruz. Bu noktaları [–2;4] aralığında gösterelim:

Bunlar belirli bir F(x) fonksiyonunun uç noktalarıdır. On tane var.

Cevap: 10

323078. Şekil belirli bir y = f(x) fonksiyonunun (ortak başlangıç ​​noktasına sahip iki ışın) grafiğini göstermektedir. Şekli kullanarak F(8) – F(2)'yi hesaplayın; burada F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir.

Newton-Leibniz teoremini tekrar yazalım:F belirli bir fonksiyon olsun, F onun keyfi antitürevi olsun. Daha sonra

Ve bu, daha önce de söylediğimiz gibi, fonksiyonun alt grafiğinin alanıdır.

Böylece sorun yamuğun alanını bulmakta ortaya çıkıyor (2'den 8'e kadar aralık):

Hücrelere göre hesaplamak zor değil. 7 elde ederiz. Şekil x ekseninin üzerinde (veya y ekseninin pozitif yarı düzleminde) bulunduğundan işaret pozitiftir.

Bu durumda bile şunu söyleyebiliriz: Antiderivatiflerin noktalardaki değerlerindeki fark, şeklin alanıdır.

Cevap: 7

323079. Şekil belirli bir y = f(x) fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 fonksiyonu, y = f (x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Taralı şeklin alanını bulun.

İntegralin geometrik anlamı hakkında daha önce söylendiği gibi, bu, f (x) fonksiyonunun grafiği, x = a ve x = b düz çizgileri ve öküz ekseni ile sınırlı olan şeklin alanıdır.

Teorem (Newton-Leibniz):

Bu nedenle görev, belirli bir fonksiyonun –11 ila –9 aralığındaki belirli integralinin hesaplanmasına gelir veya başka bir deyişle, belirtilen noktalarda hesaplanan antiderivatiflerin değerlerindeki farkı bulmamız gerekir:

Cevap: 6

323080. Şekilde bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir.

F(x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 fonksiyonu f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Taralı şeklin alanını bulun.

Teorem (Newton-Leibniz):

Sorun, belirli bir fonksiyonun belirli integralinin –10 ila –8 aralığında hesaplanmasıyla ilgilidir:

Cevap: 4

Bu soruna siteden başka bir çözüm.

Türev ve türev kuralları da . Sadece bu tür görevleri çözmek için değil, bunları bilmek de gereklidir.

Ayrıca web sitesindeki yardım bilgilerine de bakabilirsiniz.

Kısa bir video izleyin, bu “The Blind Side” filminden bir alıntıdır. Eğitimle ilgili, merhametle ilgili, sözde “rastgele” karşılaşmaların hayatımızdaki önemini anlatan bir film diyebiliriz... Ama bu sözler yeterli olmayacak, filmin kendisini izlemenizi tavsiye ederim, şiddetle tavsiye ederim.

Sana başarılar diliyorum!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

İş türü: 7
Konu: Fonksiyonun terstürevi

Durum

Şekilde y=f(x) fonksiyonunun (üç düz parçadan oluşan kesikli bir çizgi) grafiği gösterilmektedir. Şekli kullanarak F(9)-F(5)'i hesaplayın; burada F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir.

Çözümü göster

Çözüm

Newton-Leibniz formülüne göre F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri olmak üzere F(9)-F(5) farkı, sınırlı eğrisel yamuğun alanına eşittir. y=f(x) fonksiyonunun grafiğinden, y=0, x=9 ve x=5 düz çizgileriyle. Grafikten, belirtilen kavisli yamuğun tabanları 4 ve 3'e eşit ve yüksekliği 3 olan bir yamuk olduğunu belirliyoruz.

Alanı eşittir \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Cevap

İş türü: 7
Konu: Fonksiyonun terstürevi

Durum

Şekilde (-5; 5) aralığında tanımlanan bazı f(x) fonksiyonlarının ters türevlerinden biri olan y=F(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Şekli kullanarak f(x)=0 denkleminin [-3; 4].

Çözümü göster

Çözüm

Bir antiderivatifin tanımına göre eşitlik şu şekildedir: F"(x)=f(x). Dolayısıyla f(x)=0 denklemi F"(x)=0 olarak yazılabilir. Şekil y=F(x) fonksiyonunun grafiğini gösterdiği için [-3; 4], burada F(x) fonksiyonunun türevi sıfıra eşittir. Bunların F(x) grafiğinin uç noktalarının (maksimum veya minimum) apsisleri olacağı şekilden açıkça görülmektedir. Belirtilen aralıkta tam olarak 7 tane var (dört minimum puan ve üç maksimum puan).

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

İş türü: 7
Konu: Fonksiyonun terstürevi

Durum

Şekilde y=f(x) fonksiyonunun (üç düz parçadan oluşan kesikli bir çizgi) grafiği gösterilmektedir. Şekli kullanarak F(5)-F(0)'ı hesaplayın; burada F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir.

Çözümü göster

Çözüm

Newton-Leibniz formülüne göre, F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri olmak üzere F(5)-F(0) farkı, sınırlı eğrisel yamuğun alanına eşittir. y=f(x) fonksiyonunun grafiğinden, y=0, x=5 ve x=0 düz çizgileriyle. Grafikten, belirtilen kavisli yamuğun tabanları 5 ve 3'e eşit ve yüksekliği 3 olan bir yamuk olduğunu belirliyoruz.

Alanı eşittir \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

İş türü: 7
Konu: Fonksiyonun terstürevi

Durum

Şekilde (-5; 4) aralığında tanımlanan bazı f(x) fonksiyonlarının ters türevlerinden biri olan y=F(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Şekli kullanarak f(x) = 0 denkleminin (-3; 3) parçasındaki çözüm sayısını belirleyin.

Çözümü göster

Çözüm

Bir antiderivatifin tanımına göre eşitlik şu şekildedir: F"(x)=f(x). Dolayısıyla f(x)=0 denklemi F"(x)=0 olarak yazılabilir. Şekil y=F(x) fonksiyonunun grafiğini gösterdiği için [-3; 3], burada F(x) fonksiyonunun türevi sıfıra eşittir.

Bunların F(x) grafiğinin uç noktalarının (maksimum veya minimum) apsisleri olacağı şekilden açıkça görülmektedir. Belirtilen aralıkta tam olarak 5 tane var (iki minimum puan ve üç maksimum puan).

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

İş türü: 7
Konu: Fonksiyonun terstürevi

Durum

Şekilde bir y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. F(x)=-x^3+4,5x^2-7 fonksiyonu, f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir.

Gölgeli şeklin alanını bulun.

Çözümü göster

Çözüm

Gölgeli şekil, y=f(x) fonksiyonunun grafiği, y=0, x=1 ve x=3 düz çizgileriyle yukarıdan sınırlanan eğrisel bir yamuktur. Newton-Leibniz formülüne göre S alanı, F(3)-F(1) farkına eşittir; burada F(x), koşulda belirtilen f(x) fonksiyonunun ters türevidir. Bu yüzden S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

İş türü: 7
Konu: Fonksiyonun terstürevi

Durum

Şekilde bir y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. F(x)=x^3+6x^2+13x-5 fonksiyonu, f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Taralı şeklin alanını bulun.

Türevin işareti ile fonksiyonun monotonluğunun doğası arasındaki bağlantıyı gösterme.

Lütfen aşağıdaki hususlara son derece dikkat edin. Bakın size verilenin programı! Fonksiyon veya türevi

Türevin bir grafiği verilirse o zaman sadece fonksiyon işaretleri ve sıfırlarla ilgileneceğiz. Prensip olarak herhangi bir “tepe” veya “oyuk”la ilgilenmiyoruz!

Görev 1.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin negatif olduğu tamsayı noktalarının sayısını belirleyin.

Çözüm:

Şekilde azalan fonksiyon alanları renkli olarak vurgulanmıştır:

Fonksiyonun bu azalan bölgeleri 4 tam sayı değeri içerir.

Görev 2.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun grafiğine teğetinin doğruya paralel veya çakıştığı noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Bir fonksiyonun grafiğinin teğeti düz bir çizgiyle paralel olduğunda (veya çakıştığında) (veya bu aynı şeydir), eğim sıfıra eşitse tanjantın açısal bir katsayısı vardır.

Bu da teğetin eksene paralel olduğu anlamına gelir, çünkü eğim, teğetin eksene olan eğim açısının teğetidir.

Bu nedenle grafikte uç noktalar (maksimum ve minimum noktalar) buluyoruz - bu noktalarda grafiğe teğet fonksiyonlar eksene paralel olacaktır.

Böyle 4 nokta var.

Görev 3.

Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Fonksiyonun grafiğine teğetinin doğruya paralel veya çakıştığı noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Bir fonksiyonun grafiğinin teğeti eğimi olan bir doğruya paralel (veya çakıştığı) için, teğetin de bir eğimi vardır.

Bu da temas noktalarında olduğu anlamına gelir.

Bu nedenle, grafikte kaç noktanın koordinatına eşit olduğuna bakıyoruz.

Gördüğünüz gibi dört nokta var.

Görev 4.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Türev ekstremum noktalarda sıfıra eşittir. Bunlardan 4 tanesine sahibiz:

Görev 5.

Şekilde bir fonksiyonun grafiği ve x eksenindeki on bir nokta gösterilmektedir:. Bu noktalardan kaç tanesinde fonksiyonun türevi negatiftir?

Çözüm:

Azalan fonksiyon aralıklarında türevi negatif değerler alır. Ve fonksiyon noktalarda azalır. Böyle 4 nokta var.

Görev 6.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun ekstremum noktalarının toplamını bulun.

Çözüm:

Ekstrem noktalar– bunlar maksimum puanlar (-3, -1, 1) ve minimum puanlardır (-2, 0, 3).

Ekstrem noktaların toplamı: -3-1+1-2+0+3=-2.

Görev 7.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklara dahil olan tamsayı noktalarının toplamını belirtiniz.

Çözüm:

Şekil, fonksiyonun türevinin negatif olmadığı aralıkları vurgulamaktadır.

Küçük artan aralıkta tamsayı noktaları yoktur; artan aralıkta dört tamsayı değeri vardır: , ve .

Toplamları:

Görev 8.

Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Fonksiyonun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Çözüm:

Şekilde türevi pozitif olan tüm aralıklar renkli olarak vurgulanmıştır, bu da fonksiyonun kendisinin bu aralıklarda arttığı anlamına gelir.

En büyüğünün uzunluğu 6'dır.

Görev 9.

Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Segmentin hangi noktasında en büyük değeri alıyor?

Çözüm:

Grafiğin ilgilendiğimiz segment üzerinde nasıl davrandığını görelim türevin yalnızca işareti .

Bu segmentteki grafik eksenin altında olduğundan türevin işareti eksidir.

Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. \(F(x)=\frac(2)(3)x^3-20x^2+201x-\frac(5)(9)\) fonksiyonu, \(f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir )\). Taralı şeklin alanını bulun.

Cevap:

Görev No.: 323383. Prototip Numarası:
Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Fonksiyon \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5 )\), \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Taralı şeklin alanını bulun.

Cevap:

Görev No.: 323385. Prototip Numarası:
Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) fonksiyonu aşağıdakilerden biridir \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevleri. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap:

Görev No.: 323387. Prototip Numarası:
Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) fonksiyonu aşağıdakilerden biridir \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevleri. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap:

Görev No.: 323389. Prototip Numarası:
Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Fonksiyon \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2 )\), \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap:

Görev No.: 323391. Prototip Numarası:
Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) fonksiyonu aşağıdakilerden biridir \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevleri. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap:

Görev No.: 323393. Prototip Numarası:
Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Fonksiyon \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2 )\), \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap:

Görev No.: 323395. Prototip Numarası:
Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) fonksiyonu, \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap:

Görev No.: 323397. Prototip Numarası:
Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) fonksiyonu aşağıdakilerden biridir \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevleri. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap:

Görev No.: 323399. Prototip Numarası:
Şekilde bir \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Fonksiyon \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3 )\), \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap:

Sayfaya git: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 1 28 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 6 17 7 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 5 226 22 7 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 4 275 276 27 7 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 3 324 325 326 32 7 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 2 373 374 375 376 7 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412