Matematiksel beklenti örnekleri. Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımıdır. Forex'te matematiksel beklentiyi kullanmak
Matematiksel beklenti (ortalama değer) rastgele değişken Ayrık bir olasılık uzayında verilen X'e, eğer seri mutlak yakınsaksa m =M[X]=∑x i p i sayısı denir.
Hizmetin amacı. Çevrimiçi hizmeti kullanma hesaplanır beklenen değer, varyans ve standart sapma(Örneğe bakın). Ek olarak F(X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri
- Sabit bir değerin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M[C]=C, C – sabit;
- M=C M[X]
- Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M=M[X]+M[Y]
- Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M=M[X] M[Y], eğer X ve Y bağımsızsa.
Dispersiyon özellikleri
- Sabit bir değerin varyansı sıfırdır: D(c)=0.
- Sabit faktör, dağılım işaretinin altından karesi alınarak çıkarılabilir: D(k*X)= k 2 D(X).
- X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı ise: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Aşağıdaki hesaplama formülü dağılım için geçerlidir:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Dağılımın özelliklerine göre: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma
Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri yeniden numaralandırılabilir doğal sayılar; Her değere sıfır olmayan bir olasılık atayın.- Çiftleri birer birer çarpıyoruz: x i x p i .
- Her x i p i çiftinin çarpımını ekleyin.
Örneğin, n = 4 için: m = ∑x ben p ben = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Örnek No.1.
| x ben | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| ben | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematiksel beklentiyi m = ∑x i p ben formülünü kullanarak buluyoruz.
Beklenti M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Varyansı d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 formülünü kullanarak buluyoruz.
Varyans D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart sapma σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Örnek No.2. Ayrık bir rastgele değişken aşağıdaki dağılım serisine sahiptir:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Çözüm. a'nın değeri şu ilişkiden bulunur: Σp i = 1
Σp ben = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 veya 0,24=3 a , buradan a = 0,08
Örnek No. 3. Varyansı biliniyorsa, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirleyin ve x 1
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96
Çözüm.
Burada d(x) varyansını bulmak için bir formül oluşturmanız gerekir:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
burada beklenti m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Verilerimiz için
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
veya -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Buna göre denklemin köklerini bulmamız gerekiyor ve bunlardan iki tane olacak.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 koşulunu sağlayanı seçin
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
x1 =6; x2 =9; x3 =12; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
Çözüm:
6.1.2 Matematiksel beklentinin özellikleri
1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir.
2. Sabit faktör matematiksel beklentinin işareti olarak çıkarılabilir. 
3. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.
Bu özellik rastgele sayıda rastgele değişken için doğrudur.
4. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
Bu özellik aynı zamanda rastgele sayıdaki rastgele değişkenler için de geçerlidir.
Örnek: M(X) = 5, BENİM)= 2. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun Z, eğer biliniyorsa, matematiksel beklentinin özelliklerini uygulamak Z=2X+3Y.
Çözüm: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) Toplamın matematiksel beklentisi matematiksel beklentilerin toplamına eşittir
2) Matematiksel beklenti işaretinden sabit faktör çıkarılabilir
n bağımsız deneme yapılsın, A olayının gerçekleşme olasılığı p'ye eşit olsun. O halde aşağıdaki teorem geçerlidir:
Teorem. A olayının n bağımsız denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi M(X), deneme sayısı ile olayın her denemede meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir.
6.1.3 Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı
Matematiksel beklenti rastgele bir süreci tam olarak karakterize edemez. Matematiksel beklentiye ek olarak, rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentiden sapmasını karakterize eden bir değerin girilmesi gerekir.
Bu sapma, rastgele değişken ile onun matematiksel beklentisi arasındaki farka eşittir. Bu durumda sapmanın matematiksel beklentisi sıfırdır. Bu, bazı olası sapmaların pozitif, diğerlerinin negatif olması ve bunların karşılıklı olarak iptal edilmesi sonucunda sıfır elde edilmesiyle açıklanmaktadır.
Dispersiyon (saçılma) Ayrık bir rastgele değişkenin değeri, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir.
Uygulamada, varyansın hesaplanmasına yönelik bu yöntem elverişsizdir, çünkü çok sayıda rastgele değişken değeri için hantal hesaplamalara yol açar.
Bu nedenle başka bir yöntem kullanılır.
Teorem. Varyans, X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin matematiksel beklentisi ile matematiksel beklentisinin karesi arasındaki farka eşittir..
Kanıt. Matematiksel beklenti M(X) ve matematiksel beklenti M2(X)'in karesinin sabit nicelikler olduğu gerçeğini dikkate alarak şunu yazabiliriz:
Örnek. Dağılım yasasıyla verilen ayrık bir rastgele değişkenin varyansını bulun.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Çözüm: .
6.1.4 Dağılım özellikleri
1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır. .
2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir. 
.
3. İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir. .
4. İki bağımsız rastgele değişken arasındaki farkın varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir. .
Teorem. Her birinde olayın meydana gelme olasılığı p'nin sabit olduğu n bağımsız denemede A olayının meydana gelme sayısının varyansı, deneme sayısının meydana gelme ve gerçekleşmeme olasılıkları ile çarpımına eşittir. olayın her denemede meydana gelmesi.
Örnek: DSV X'in varyansını bulun - eğer olayın bu denemelerde meydana gelme olasılığı aynıysa ve M(X) = 1,2 olduğu biliniyorsa, A olayının 2 bağımsız denemede meydana gelme sayısı.
Bölüm 6.1.2'deki teoremi uygulayalım:
M(X) = np
M(X) = 1,2; N= 2. Hadi bulalım P:
1,2 = 2∙P
P = 1,2/2
Q = 1 – P = 1 – 0,6 = 0,4
Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı bulalım:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Ayrık bir rastgele değişkenin standart sapması
Standart sapma Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir.
(25)
Teorem. Sonlu sayıda karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının standart sapması, bu değişkenlerin standart sapmalarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
6.1.6 Ayrık bir rastgele değişkenin modu ve medyanı
Moda M o DSV bir rastgele değişkenin en olası değerine denir (yani en yüksek olasılığa sahip olan değer)
Medyan M e DSV dağılım serisini ikiye bölen bir rastgele değişkenin değeridir. Rastgele bir değişkenin değer sayısı çift ise medyan, iki ortalama değerin aritmetik ortalaması olarak bulunur.
Örnek: DSV'nin modunu ve medyanını bulun X:
| X | ||||
| P | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Ben = = 5,5
İlerlemek
1. Bu çalışmanın teorik kısmına (dersler, ders kitabı) aşina olun.
2. Görevi kendi sürümünüze göre tamamlayın.
3. Çalışma hakkında bir rapor hazırlayın.
4. İşinizi koruyun.
2. İşin amacı.
3. İşin ilerlemesi.
4. Kendi seçeneğinizi çözmek.
6.4 Bağımsız çalışmaya yönelik görev seçenekleri
Seçenek 1
1. DSV X'in dağılım yasasıyla verilen matematiksel beklentisini, dağılımını, standart sapmasını, modunu ve medyanını bulun.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. X ve Y'nin matematiksel beklentileri biliniyorsa, Z rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. DSV X'in varyansını bulun - eğer bu denemelerdeki olayların meydana gelme olasılıkları aynıysa ve M (X) = 1 olduğu biliniyorsa, A olayının iki bağımsız denemede meydana gelme sayısı.
4. Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin bir listesi verilmiştir X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5 olup, bu değerin ve karesinin matematiksel beklentileri de bilinmektedir: , . Olası değerlerine karşılık gelen olasılıkları bulun ve DSV dağıtım yasasını çizin.
Seçenek No.2
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. X ve Y'nin matematiksel beklentileri biliniyorsa, Z rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. DSV X'in varyansını bulun - eğer bu denemelerdeki olayların meydana gelme olasılıkları aynıysa ve M (X) = 0,9 olduğu biliniyorsa, A olayının üç bağımsız denemede meydana gelme sayısı.
4. Ayrık bir rastgele değişken X'in olası değerlerinin bir listesi verilmiştir: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10 olup, bu değerin ve karesinin matematiksel beklentileri de bilinmektedir: , . Olası değerlerine karşılık gelen olasılıkları bulun ve DSV dağıtım yasasını çizin.
Seçenek #3
1. DSV X'in dağılım yasasıyla verilen matematiksel beklentisini, dağılımını ve standart sapmasını bulun.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. X ve Y'nin matematiksel beklentileri biliniyorsa, Z rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. DSV X'in varyansını bulun - eğer bu denemelerdeki olayların meydana gelme olasılıkları aynıysa ve M (x) = 1,2 olduğu biliniyorsa, A olayının dört bağımsız denemede meydana gelme sayısı.
– 10 yeni doğan bebekteki erkek çocukların sayısı.
Bu sayının önceden bilinmediği kesinlikle açıktır ve doğacak sonraki on çocuk şunları içerebilir:
Veya çocuklar - bir ve tek listelenen seçeneklerden.
Ve formda kalmak için biraz beden eğitimi:
– uzun atlama mesafesi (bazı birimlerde).
Bunu bir spor ustası bile tahmin edemez :)
Ancak hipotezleriniz?
2) Sürekli rastgele değişken – kabul eder Tüm bazı sonlu veya sonsuz aralıktaki sayısal değerler.
Not : DSV ve NSV kısaltmaları eğitim literatüründe popülerdir
İlk önce ayrık rastgele değişkeni analiz edelim, sonra - sürekli.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
- Bu yazışma bu miktarın olası değerleri ile olasılıkları arasında. Çoğu zaman yasa bir tabloda yazılır: 
Terim oldukça sık karşımıza çıkıyor sıra
dağıtım, ancak bazı durumlarda kulağa belirsiz geliyor ve bu yüzden "yasaya" bağlı kalacağım.
Ve şimdi çok önemli bir nokta: rastgele değişkenden beri mutlaka kabul edecek değerlerden biri, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grup ve bunların meydana gelme olasılıklarının toplamı bire eşittir:
veya kısaltılmış olarak yazılırsa:
Örneğin, bir zarın üzerine atılan noktaların olasılık dağılımı yasası aşağıdaki biçimdedir: 
Yorum yok.
Ayrık bir rastgele değişkenin yalnızca "iyi" tam sayı değerleri alabileceği izlenimine kapılmış olabilirsiniz. Bu yanılsamayı ortadan kaldıralım; her şey olabilirler:
örnek 1
Bazı oyunlarda aşağıdaki kazanan dağıtım yasası bulunur: 
...muhtemelen uzun zamandır bu tür görevlerin hayalini kuruyordunuz :) Size bir sır vereceğim; ben de. Özellikle çalışmayı bitirdikten sonra alan teorisi.
Çözüm: Bir rastgele değişken üç değerden yalnızca birini alabildiğinden, karşılık gelen olaylar oluşur tam grup Bu, olasılıklarının toplamının bire eşit olduğu anlamına gelir: 
“Partizanı” ifşa etmek: 
– dolayısıyla konvansiyonel birimleri kazanma olasılığı 0,4'tür.
Kontrol: Emin olmamız gereken şey buydu.
Cevap:
Kendi başınıza bir dağıtım kanunu hazırlamanız gerekmesi alışılmadık bir durum değildir. Bunun için kullanıyorlar olasılığın klasik tanımı, olay olasılıkları için çarpma/toplama teoremleri ve diğer cipsler tervera:
Örnek 2
Kutuda 12'si kazanan, 2'si her biri 1000 ruble ve geri kalanı - her biri 100 ruble olmak üzere 50 piyango bileti bulunuyor. Rastgele bir değişkenin dağıtımı için bir yasa hazırlayın - eğer kutudan rastgele bir bilet çekilirse kazancın büyüklüğü.
Çözüm: fark ettiğiniz gibi, rastgele bir değişkenin değerleri genellikle artan sırada. Bu nedenle en küçük kazançlarla yani ruble ile başlıyoruz.
Toplamda bu tür 50 bilet var - 12 = 38 ve buna göre klasik çözünürlüklü:
– rastgele çekilen bir biletin kaybetme olasılığı.
Diğer durumlarda her şey basittir. Ruble kazanma olasılığı:
Kontrol edin: – ve bu, bu tür görevlerin özellikle keyifli bir anıdır!
Cevap: Kazançların dağıtımında arzu edilen yasa: 
Aşağıdaki görev kendi başınıza çözmeniz içindir:
Örnek 3
Atıcının hedefi vurma olasılığı . Rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası hazırlayın - 2 atıştan sonraki isabet sayısı.
...onu özlediğini biliyordum :) Hatırlayalım çarpma ve toplama teoremleri. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Dağıtım kanunu tamamen bir rastgele değişkeni tanımlar, ancak pratikte bunun yalnızca bir kısmını bilmek faydalı olabilir (ve bazen daha faydalı olabilir) sayısal özellikler .
Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi
Basit bir ifadeyle bu ortalama beklenen değer Test birçok kez tekrarlandığında. Rastgele değişkenin olasılıklı değerler almasına izin verin 
sırasıyla. O zaman bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna eşittir: ürünlerin toplamı tüm değerleri karşılık gelen olasılıklara göre:
veya çöktü: 
Örneğin, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, yani bir zarın üzerine atılan puan sayısını hesaplayalım:
Şimdi varsayımsal oyunumuzu hatırlayalım: 
Şu soru ortaya çıkıyor: Bu oyunu oynamak hiç karlı mı? ...kimlerin izlenimi var? Yani bunu “hazırlıksız” söyleyemezsiniz! Ancak bu soru matematiksel beklentinin hesaplanmasıyla kolaylıkla cevaplanabilir: ağırlıklı ortalama kazanma olasılığına göre:
Dolayısıyla bu oyunun matematiksel beklentisi kaybetmek.
Gösterimlerinize güvenmeyin; sayılara güvenin!
Evet burada 10 hatta 20-30 kez üst üste kazanabilirsiniz ama uzun vadede kaçınılmaz bir yıkım bizi bekliyor. Ve sana bu tür oyunlar oynamanı tavsiye etmem :) Peki, belki sadece eğlence için.
Yukarıdakilerin hepsinden, matematiksel beklentinin artık RASTGELE bir değer olmadığı sonucu çıkmaktadır.
Bağımsız araştırma için yaratıcı görev:
Örnek 4
Bay X, Avrupa ruletini aşağıdaki sistemi kullanarak oynuyor: "kırmızı" üzerine sürekli olarak 100 ruble bahis oynuyor. Rastgele bir değişkenin kazançlarının dağılım yasasını çizin. Kazançların matematiksel beklentisini hesaplayın ve bunu en yakın kopeğe yuvarlayın. Kaç tane ortalama Oyuncu bahis oynadığı her yüz için kaybeder mi?
Referans : Avrupa ruletinde 18 kırmızı, 18 siyah ve 1 yeşil sektör (“sıfır”) bulunur. Eğer “kırmızı” görünürse, oyuncuya bahsin iki katı ödeme yapılır, aksi halde bahis kumarhanenin gelirine gider.
Kendi olasılık tablolarınızı oluşturabileceğiniz başka birçok rulet sistemi de vardır. Ancak herhangi bir dağıtım kanununa veya tablosuna ihtiyacımız olmadığında durum böyledir çünkü oyuncunun matematiksel beklentisinin tamamen aynı olacağı kesin olarak tespit edilmiştir. Sistemden sisteme değişen tek şey
Dağıtım yasası rastgele değişkeni tam olarak karakterize eder. Ancak çoğu zaman dağıtım kanunu bilinmez ve kişinin kendisini daha az bilgiyle sınırlaması gerekir. Bazen bir rastgele değişkeni toplamda tanımlayan sayıları kullanmak daha da karlı olabilir; bu tür sayılara denir. sayısal özellikler rastgele değişken. Önemli sayısal özelliklerden biri matematiksel beklentidir.
Aşağıda gösterileceği gibi matematiksel beklenti yaklaşık olarak rastgele değişkenin ortalama değerine eşittir. Birçok problemi çözmek için matematiksel beklentiyi bilmek yeterlidir. Örneğin, ilk atıcının attığı sayının matematiksel beklentisinin ikinci atıcıdan daha büyük olduğu biliniyorsa, bu durumda ilk atıcı ortalama olarak ikinciden daha fazla puan alır ve dolayısıyla daha iyi atış yapar. ikincisinden daha.
Tanım4.1: Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
Rastgele değişken olsun X yalnızca değer alabilir x 1, x 2, … x n olasılıkları sırasıyla eşit olan p 1, p 2, … p n. Daha sonra matematiksel beklenti M(X) rastgele değişken X eşitlikle belirlenir
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Ayrık bir rastgele değişken ise X sayılabilir bir dizi olası değeri alır, ardından
,
Üstelik eşitliğin sağ tarafındaki serinin mutlak yakınsaması durumunda matematiksel beklenti mevcuttur.
Örnek. Bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisini bulun A bir denemede olayın olasılığı A eşittir P.
Çözüm: Rastgele değer X– olayın gerçekleşme sayısı A Bernoulli dağılımı var, yani
Böylece, Bir olayın bir denemede meydana gelme sayısına ilişkin matematiksel beklenti, bu olayın olasılığına eşittir.
Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı
Üretilsin N rastgele değişkenin kullanıldığı testler X kabul edilmiş m 1çarpı değer x 1, m2çarpı değer x 2 ,…, mkçarpı değer xk, Ve m 1 + m 2 + …+ m k = n. Daha sonra alınan tüm değerlerin toplamı X, eşittir x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Rastgele değişken tarafından alınan tüm değerlerin aritmetik ortalaması,
Davranış ben/n- göreceli frekans ben değerler x ben Olayın meydana gelme olasılığına yaklaşık olarak eşit ben, Nerede , Bu yüzden
Elde edilen sonucun olasılıksal anlamı şu şekildedir: matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir(ne kadar doğru olursa, test sayısı da o kadar fazla olur) rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması.
Matematiksel beklentinin özellikleri
Özellik1:Sabit bir değerin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir
Özellik2:Sabit faktör matematiksel beklentinin işaretinin ötesine alınabilir
Tanım4.2: İki rastgele değişken arandı bağımsız Bunlardan birinin dağıtım yasası, diğer miktarın hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse. Aksi takdirde rastgele değişkenler bağımlıdır.
Tanım4.3: Birkaç rastgele değişken isminde karşılıklı bağımsız Herhangi bir sayıdaki dağıtım yasaları, diğer miktarların hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse.
Özellik3:İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.
Sonuçlar:Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.
Özellik4:İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
Sonuçlar:Birkaç rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
Örnek. Binom rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini hesaplayalım X - olayın meydana geldiği tarih A V N deneyler.
Çözüm: Toplam sayısı X olayın meydana gelişleri A bu denemelerde olayın bireysel denemelerde meydana gelme sayısının toplamıdır. Rastgele değişkenleri tanıtalım X ben– olayın meydana gelme sayısı Ben matematiksel beklentiye sahip Bernoulli rastgele değişkenleri olan th testi, burada . Matematiksel beklentinin özelliği gereği elimizde
Böylece, n ve p parametreleriyle bir binom dağılımının matematiksel beklentisi np çarpımına eşittir.
Örnek. Silahla ateş ederken hedefi vurma olasılığı p = 0,6. 10 atış yapıldığında toplam isabet sayısının matematiksel beklentisini bulun.
Çözüm: Her atıştaki isabet diğer atışların sonuçlarına bağlı değildir, bu nedenle göz önünde bulundurulan olaylar bağımsızdır ve sonuç olarak istenen matematiksel beklenti
Ayrıca kendi başınıza çözebileceğiniz, cevaplarını görebileceğiniz problemler de olacaktır.
Beklenti ve varyans, bir rastgele değişkenin en yaygın kullanılan sayısal özellikleridir. Dağıtımın en önemli özelliklerini karakterize ederler: konumu ve saçılma derecesi. Beklenen değere genellikle basitçe ortalama denir. rastgele değişken. Rastgele bir değişkenin dağılımı - dağılımın karakteristiği, rastgele bir değişkenin yayılması matematiksel beklentisi hakkında.
Pek çok pratik problemde, bir rastgele değişkenin tam ve ayrıntılı bir özelliği (dağılım yasası) ya elde edilemez ya da hiç ihtiyaç duyulmaz. Bu durumlarda, sayısal özellikler kullanılarak rastgele bir değişkenin yaklaşık tanımıyla sınırlandırılır.
Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi
Gelelim matematiksel beklenti kavramına. Bir maddenin kütlesinin x eksenindeki noktalar arasında dağıtılmasına izin verin X1 , X 2 , ..., X N. Ayrıca her maddi noktanın karşılık gelen bir kütlesi vardır; P1 , P 2 , ..., P N. Kütleleri dikkate alınarak tüm malzeme noktaları sisteminin konumunu karakterize eden apsis ekseni üzerinde bir nokta seçilmesi gerekir. Maddi noktalar sisteminin kütle merkezini böyle bir nokta olarak almak doğaldır. Bu rastgele değişkenin ağırlıklı ortalamasıdır X, her noktanın apsisinin bulunduğu XBen karşılık gelen olasılığa eşit bir “ağırlık” ile girer. Bu şekilde elde edilen rastgele değişkenin ortalama değeri X matematiksel beklenti denir.
Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerinin çarpımlarının ve bu değerlerin olasılıklarının toplamıdır:
Örnek 1. Kazan-kazan piyangosu düzenlendi. 400'ü 10 ruble olmak üzere 1000 kazanç var. Her biri 300-20 ruble. Her biri 200 - 100 ruble. ve her biri 100 - 200 ruble. Bir bilet alan birinin ortalama kazancı nedir?
Çözüm. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 ruble olan toplam kazanç miktarını 1000'e (toplam kazanç miktarı) bölersek ortalama kazancı buluruz. Sonra 50000/1000 = 50 ruble elde ederiz. Ancak ortalama kazancı hesaplamak için kullanılan ifade aşağıdaki biçimde sunulabilir:
Öte yandan bu koşullarda kazanma büyüklüğü 10, 20, 100 ve 200 ruble değerlerini alabilen rastgele bir değişkendir. sırasıyla 0,4'e eşit olasılıklarla; 0,3; 0,2; 0.1. Bu nedenle beklenen ortalama kazanç, kazanç büyüklüğünün ve bunları alma olasılığının çarpımlarının toplamına eşittir.
Örnek 2. Yayıncı yeni bir kitap yayınlamaya karar verdi. Kitabı 280 rubleye satmayı planlıyor; bunun 200'ünü, 50'sini kitapçıdan ve 30'unu da yazardan alacak. Tablo, bir kitabın basım maliyetleri ve kitabın belirli sayıda nüshasının satılma olasılığı hakkında bilgi sağlar.
Yayıncının beklenen kârını bulun.
Çözüm. Rastgele değişken "kar", satışlardan elde edilen gelir ile maliyetlerin maliyeti arasındaki farka eşittir. Örneğin bir kitabın 500 nüshası satılırsa satıştan elde edilen gelir 200 * 500 = 100.000, basım maliyeti ise 225.000 ruble olur. Böylece yayıncı 125.000 ruble zararla karşı karşıya kalıyor. Aşağıdaki tablo, rastgele değişken - kârın beklenen değerlerini özetlemektedir:
| Sayı | Kâr XBen | Olasılık PBen | XBen P Ben |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Toplam: | 1,00 | 25000 |
Böylece yayıncının kârının matematiksel beklentisini elde ederiz:
.
Örnek 3. Tek atışta vurma ihtimali P= 0,2. Vuruş sayısının 5'e eşit olduğuna dair matematiksel bir beklenti sağlayan mermi tüketimini belirleyin.
Çözüm. Şu ana kadar kullandığımız aynı matematiksel beklenti formülünden, X- kabuk tüketimi:
.
Örnek 4. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini belirleme X Her atışta bir vuruş olasılığı varsa, üç atıştaki vuruş sayısı P = 0,4 .
İpucu: rastgele değişken değerlerinin olasılığını bulun Bernoulli'nin formülü .
Matematiksel beklentinin özellikleri
Matematiksel beklentinin özelliklerini ele alalım.
Mülk 1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi bu sabite eşittir:
Mülk 2. Sabit faktör matematiksel beklenti işaretinden çıkarılabilir:
Mülk 3. Rastgele değişkenlerin toplamının (farkının) matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına (farkına) eşittir:
Mülk 4. Rastgele değişkenlerin bir ürününün matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:
Mülk 5. Bir rastgele değişkenin tüm değerleri ise X aynı sayıda azalma (artış) İLE, o zaman matematiksel beklentisi aynı sayı kadar azalacaktır (artacaktır):
Kendinizi yalnızca matematiksel beklentilerle sınırlayamadığınızda
Çoğu durumda, yalnızca matematiksel beklenti bir rastgele değişkeni yeterince karakterize edemez.
Rastgele değişkenler olsun X Ve e aşağıdaki dağıtım yasalarıyla verilmektedir:
| Anlam X | Olasılık |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Anlam e | Olasılık |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Bu miktarların matematiksel beklentileri aynıdır - sıfıra eşittir:
Ancak bunların dağılım şekilleri farklıdır. Rastgele değer X yalnızca matematiksel beklentiden çok az farklı olan değerleri alabilir ve rastgele değişken e matematiksel beklentiden önemli ölçüde sapan değerler alabilir. Benzer bir örnek: Ortalama ücret, yüksek ve düşük ücretli çalışanların payını değerlendirmeyi mümkün kılmıyor. Başka bir deyişle, matematiksel beklentiden, en azından ortalama olarak, ondan ne tür sapmaların mümkün olduğuna karar verilemez. Bunu yapmak için rastgele değişkenin varyansını bulmanız gerekir.
Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı
Varyans Ayrık rassal değişken X matematiksel beklentiden sapmanın karesinin matematiksel beklentisi denir:
Rastgele bir değişkenin standart sapması X varyansının karekökünün aritmetik değeri denir:
.
Örnek 5. Rastgele değişkenlerin varyanslarını ve standart sapmalarını hesaplama X Ve e dağıtım yasaları yukarıdaki tablolarda verilmiştir.
Çözüm. Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri X Ve e yukarıda da görüldüğü gibi sıfıra eşittir. Dispersiyon formülüne göre e(X)=e(sen)=0 şunu elde ederiz:
Daha sonra rastgele değişkenlerin standart sapmaları X Ve e makyaj yapmak
.
Böylece aynı matematiksel beklentilerle rastgele değişkenin varyansı Xçok küçük ama rastgele bir değişken e- önemli. Bu, dağılımlarındaki farklılıkların bir sonucudur.
Örnek 6. Yatırımcının 4 adet alternatif yatırım projesi bulunmaktadır. Tablo, bu projelerde beklenen karı karşılık gelen olasılıkla özetlemektedir.
| 1. Proje | Proje 2 | Proje 3 | Proje 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Her alternatif için matematiksel beklentiyi, varyansı ve standart sapmayı bulun.
Çözüm. 3. alternatif için bu değerlerin nasıl hesaplandığını gösterelim:
Tablo, tüm alternatifler için bulunan değerleri özetlemektedir.
Tüm alternatifler aynı matematiksel beklentilere sahiptir. Bu, uzun vadede herkesin aynı gelire sahip olduğu anlamına gelir. Standart sapma bir risk ölçüsü olarak yorumlanabilir; ne kadar yüksek olursa, yatırımın riski de o kadar büyük olur. Fazla risk istemeyen bir yatırımcı, standart sapması en küçük (0) olduğu için proje 1'i seçecektir. Eğer yatırımcı kısa vadede risk ve yüksek getiriyi tercih ediyorsa, standart sapması en büyük olan projeyi (Proje 4) seçecektir.
Dispersiyon özellikleri
Dispersiyonun özelliklerini sunalım.
Mülk 1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır:
Mülk 2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:
.
Mülk 3. Rastgele bir değişkenin varyansı, bu değerin karesinin matematiksel beklentisine eşittir; bu değerden, değerin kendisinin matematiksel beklentisinin karesi çıkarılır:
,
Nerede 
.
Mülk 4. Rastgele değişkenlerin toplamının (farkının) varyansı, varyanslarının toplamına (farkına) eşittir:
Örnek 7. Ayrık bir rastgele değişkenin olduğu bilinmektedir. X yalnızca iki değer alır: −3 ve 7. Ayrıca matematiksel beklenti de bilinmektedir: e(X) = 4 . Ayrık bir rastgele değişkenin varyansını bulun.
Çözüm. ile belirtelim P rastgele bir değişkenin değer alma olasılığı X1 = −3 . O zaman değerin olasılığı X2 = 7 1 olacak – P. Matematiksel beklentinin denklemini çıkaralım:
e(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,
olasılıkları nereden alıyoruz: P= 0,3 ve 1 − P = 0,7 .
Rastgele bir değişkenin dağılım yasası:
| X | −3 | 7 |
| P | 0,3 | 0,7 |
Bu rastgele değişkenin varyansını, dağılımın 3. özelliğindeki formülü kullanarak hesaplıyoruz:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini kendiniz bulun ve ardından çözüme bakın.
Örnek 8. Ayrık rassal değişken X yalnızca iki değer alır. 0,4 olasılıkla 3 değerinden büyük olanı kabul eder. Ayrıca rastgele değişkenin varyansı da bilinmektedir. D(X) = 6 . Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun.
Örnek 9. Torbada 6 beyaz ve 4 siyah top vardır. Torbadan 3 top çekiliyor. Çekilen toplar arasındaki beyaz topların sayısı ayrık bir rastgele değişkendir X. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Rastgele değer X 0, 1, 2, 3 değerlerini alabilir. Karşılık gelen olasılıklar şu şekilde hesaplanabilir: olasılık çarpım kuralı. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Dolayısıyla bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Belirli bir rastgele değişkenin varyansı:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Sürekli rastgele değişkenin beklentisi ve varyansı
Sürekli bir rastgele değişken için, matematiksel beklentinin mekanik yorumu aynı anlamı koruyacaktır: x ekseni üzerinde yoğunlukla sürekli olarak dağıtılan birim kütlenin kütle merkezi F(X). Fonksiyon argümanı olan ayrık bir rastgele değişkenden farklı olarak XBen aniden değişir; sürekli bir rastgele değişken için argüman sürekli olarak değişir. Ancak sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi aynı zamanda ortalama değeriyle de ilgilidir.
Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulmak için belirli integralleri bulmanız gerekir. . Sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluk fonksiyonu verilirse, o zaman doğrudan integrale girer. Bir olasılık dağılım fonksiyonu verilirse, bunun farklılığını alarak yoğunluk fonksiyonunu bulmanız gerekir.
Sürekli bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin aritmetik ortalamasına denir. matematiksel beklenti veya ile gösterilir.
