Yamukların somun ai ile çözümü. Yamuğun alanı nasıl bulunur: formüller ve örnekler. İsteğe bağlı bir yamuğun alanı
İyi günler sevgili dostlar! Bugünkü konumuz - yamuk geometri problemlerini çözme. Sorunları analiz etmeye başlamadan önce yamuğun ne olduğunu ve hangi unsurlara sahip olduğunu hatırlayalım.
Yamuk, iki tarafı paralel, diğer ikisi paralel olmayan dışbükey bir dörtgendir.
Paralel olan kenarlara taban, paralel olmayan kenarlara ise kenar denir.
Trapezler dikdörtgen, ikizkenar ve basittir.
Dikdörtgen yamukların 2 dik açısı vardır.
İkizkenar yamuklarda, ikizkenar üçgenlerde olduğu gibi, tabanlardaki açılar eşittir ve kenarlar da eşittir.
Yamuk var yan tarafların orta noktalarını birleştiren orta çizgi.
Ve şimdi görevler.
İkizkenar yamuğun dar açısı 60°'dir. BC = AD - AB tabanının olduğunu kanıtlayın.
Kanıt. BM ve CN yüksekliklerini yamuğun köşelerinden AD alt tabanına kadar indirelim.
İki dik üçgen ABM ve DCN'nin yanı sıra bir BCNM dikdörtgeni elde ediyoruz.
Dik üçgenlerde bir açı 60° olduğundan ikincisi, Bir üçgenin iç açılarının toplamına ilişkin teoremin sonucuna göre, 30°'ye eşittir.
Ve bunu biliyoruz 30° açının karşısındaki bacak hipotenüsün yarısına eşittir. Onlar. AM=s/2.
Aynı durum dik üçgen için de geçerlidir - ND = c/2.
Alt tabanın, AM=ND=c/2 olmak üzere AM, MN, ND olmak üzere üç parçanın toplamı olarak temsil edilebileceği ortaya çıktı.
MN=BC veya üst taban.
Buradan MN=BC=AD - AM - ND = AD - c/2 - c/2 = AD - AB yazabilirsiniz.
Üst tabanın alt taban ile yan arasındaki farka eşit olduğunu kanıtladık.
Yamuğun tabanları AD ve BC'ye eşittir. Yamuğun köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren KP doğru parçasının uzunluğunu bulun.
Çözüm: Thales teoremine göre KP segmenti yamuğun orta çizgisi olan daha büyük bir MN segmentine aittir.
Yamuğun orta çizgisi, bildiğimiz gibi, yamuğun tabanları toplamının yarısına eşit veya (AD+BC)/2.
Aynı zamanda ACD üçgeni ve onun orta çizgisi KN'yi dikkate aldığımızda KN=AD/2 olduğunu anlayabiliriz.
Başka bir BCD üçgenine ve onun orta çizgisi PN'ye baktığımızda PN=BC/2 olduğunu görebiliriz.
Dolayısıyla KP=KN-PN = AD/2 - BC/2 = (AD-BC)/2.
Bir yamuğun köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının bu yamuğun tabanlarının yarı farkına eşit olduğunu kanıtladık..
Görev 3. Küçük tabanın C ucundan çizilen CK yüksekliği, büyük tabanı aralarındaki fark 8 cm olan AK ve KD parçalarına bölüyorsa, ikizkenar yamuğun daha küçük BC tabanını bulun.
Çözüm: Ek bir yapı yapalım. VM'nin yüksekliğini belirleyelim.
ABM ve DCK üçgenlerini düşünün. Hipotenüs ve kenar uzunlukları eşittir— AB=CD, ikizkenar yamuğun kenarları gibi.
Trapez yükseklikleri de BM ve CK iki paralel çizgi arasında bulunan diklere eşit.
Bu nedenle AM=KD'dir. AK ile KD arasındaki farkın AK ile AM arasındaki farka eşit olduğu ortaya çıktı.
Ve bu MK segmenti. Ancak BCKM bir dikdörtgen olduğundan MK, BC'ye eşittir.
Dolayısıyla yamuğun küçük tabanı 8 cm'dir.
Görev 4. Orta çizgisi köşegenlerle 3 eşit parçaya bölünen bir yamuğun tabanlarının oranını bulun.
Çözüm: MN olduğundan yamuğun orta çizgisi, daha sonra tabanlara paraleldir ve kenarları ikiye böler.
Thales teoremine göre MN aynı zamanda AC ve BD kenarlarını da ikiye böler.
ABC üçgenine baktığınızda, içindeki MO'nun orta çizgi olduğunu görebilirsiniz. A üçgenin orta çizgisi tabana paralel ve yarısına eşittir. Onlar. MO=X ise BC=2X olur.
ACD üçgeninden ON - orta çizgiye sahibiz.
Ayrıca tabana paralel ve yarısına eşittir.
Ancak OP+PN= X+X=2X olduğuna göre AD=4X olur.
Yamuğun üst tabanının 2X, alt tabanının ise 4X olduğu ortaya çıktı.
Cevap: Yamuk tabanlarının oranı 1:2'dir.
Bu yazıda yamuk ile ilgili problemlerden bir seçki daha sizin için yapıldı. Koşullar bir şekilde orta hattıyla bağlantılı. Görev türleri, tipik görevlerin açık bir bankasından alınır. Dilerseniz teorik bilgilerinizi tazeleyebilirsiniz. Blog, koşulları ile ilgili olan görevleri zaten tartıştı. Kısaca orta çizgi hakkında:
Yamuğun orta çizgisi, yan tarafların orta noktalarını birleştirir. Tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir.
Sorunları çözmeden önce teorik bir örneğe bakalım.
Bir ABCD yamuğu verildiğinde. Orta çizgiyle kesişen AC köşegeni K noktasını, BD köşegeni L noktasını oluşturur. KL doğru parçasının tabanlar farkının yarısına eşit olduğunu kanıtlayın.
Öncelikle yamuğun orta çizgisinin, uçları tabanları üzerinde bulunan herhangi bir parçayı ikiye böldüğü gerçeğine dikkat edelim. Bu sonuç kendini göstermektedir. Tabanların iki noktasını birbirine bağlayan bir parça düşünün; bu yamuğu diğer iki parçaya bölecektir. Yamuğun tabanlarına paralel olan ve kenarın ortasından geçen bir doğru parçasının diğer kenarın ortasından geçeceği ortaya çıkıyor.
Bu aynı zamanda Thales teoremine dayanmaktadır:
İki çizgiden birine birkaç eşit parça art arda yerleştirilirse ve ikinci çizgiyle kesişen uçları boyunca paralel çizgiler çizilirse, ikinci çizgide eşit parçalar kesilecektir.
Yani bu durumda K AC'nin ortası, L ise BD'nin ortasıdır. Dolayısıyla EK ABC üçgeninin orta çizgisidir, LF ise DCB üçgeninin orta çizgisidir. Üçgenin orta çizgisinin özelliğine göre:
Artık KL segmentini bazlar cinsinden ifade edebiliriz:
Kanıtlanmış!
Bu örnek bir nedenle verilmiştir. Bağımsız çözüme yönelik görevlerde tam da böyle bir görev vardır. Ancak köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının orta çizgide olduğunu söylemez. Görevleri ele alalım:
27819. Tabanları 30 ve 16 ise yamuğun orta çizgisini bulun.
Aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz:
27820. Yamuğun orta çizgisi 28, küçük tabanı ise 18'dir. Yamuğun büyük tabanını bulun.
Daha büyük tabanı ifade edelim:
Böylece:
27836. Geniş bir açının tepe noktasından ikizkenar yamuğun daha büyük tabanına bırakılan bir dik, onu 10 ve 4 uzunluklu parçalara ayırır. Bu yamuğun orta çizgisini bulun.
Orta çizgiyi bulmak için tabanları bilmeniz gerekir. AB tabanını bulmak kolaydır: 10+4=14. DC'yi bulalım.
İkinci dik DF'yi oluşturalım:
AF, FE ve EB segmentleri sırasıyla 4, 6 ve 4'e eşit olacaktır. Neden?
Bir ikizkenar yamukta, daha büyük tabana indirilen dikmeler onu üç parçaya ayırır. Bunlardan kesilen dik üçgenlerin ayakları olan ikisi birbirine eşittir. Üçüncü bölüm daha küçük tabana eşittir, çünkü belirtilen yükseklikleri oluştururken bir dikdörtgen oluşur ve dikdörtgenin karşıt kenarları eşittir. Bu görevde:
Böylece DC=6 olur. Hesaplıyoruz:
27839. Yamuğun tabanları 2:3 oranındadır ve orta çizgi 5'tir. Daha küçük tabanı bulun.
Orantılılık katsayısı x'i tanıtalım. O halde AB=3x, DC=2x. Yazabiliriz:
Bu nedenle küçük taban 2∙2=4'tür.
27840. İkizkenar yamuğun çevresi 80'dir, orta çizgisi yan tarafa eşittir. Yamuğun kenarını bulun.
Koşula göre şunu yazabiliriz:
Orta çizgiyi x değeriyle gösterirsek şunu elde ederiz:
İkinci denklem şu şekilde yazılabilir:
27841. Yamuğun orta çizgisi 7'dir ve tabanlarından biri diğerinden 4 büyüktür. Yamuğun büyük tabanını bulun.
Küçük tabanı (DC) x olarak gösterelim, büyük olan (AB) x+4'e eşit olacaktır. Bunu yazabiliriz
Küçük tabanın erken beş olduğunu bulduk, bu da büyük olanın 9'a eşit olduğu anlamına geliyor.
27842. Yamuğun orta çizgisi 12'dir. Köşegenlerden biri onu iki parçaya ayırır, aralarındaki fark 2'dir. Yamuğun daha büyük tabanını bulun.
EO segmentini hesaplarsak yamuğun daha büyük tabanını kolaylıkla bulabiliriz. ADB üçgeninin orta çizgisidir ve AB=2∙EO'dur.
Bizim neyimiz var? Orta çizginin 12'ye, EO ve ОF doğru parçaları arasındaki farkın ise 2'ye eşit olduğu söylenir. İki denklem yazıp sistemi çözebiliriz:
Bu durumda hesaplama yapmadan bir çift sayı seçebileceğiniz açıktır, bunlar 5 ve 7'dir. Ancak yine de sistemi çözelim:
Yani EO=12–5=7. Böylece büyük taban AB=2∙EO=14'e eşittir.
27844. İkizkenar yamukta köşegenler diktir. Yamuğun yüksekliği 12'dir. Orta çizgisini bulun.
Bir ikizkenar yamukta köşegenlerin kesişme noktasından çizilen yüksekliğin simetri ekseni üzerinde yer aldığını ve yamuğu iki eşit dikdörtgen yamuğa böldüğünü, yani bu yüksekliğin tabanlarının ikiye bölündüğünü hemen belirtelim.
Görünüşe göre orta çizgiyi hesaplamak için nedenler bulmamız gerekiyor. Burada küçük bir çıkmaz ortaya çıkıyor... Bu durumda yüksekliği bilerek tabanları nasıl hesaplayabiliriz? Mümkün değil! Sabit yükseklikte ve köşegenleri 90 derecelik bir açıyla kesişen bu tür pek çok yamuk oluşturabilirsiniz. Ne yapmalıyım?
Yamuğun orta çizgisi formülüne bakın. Sonuçta nedenlerin kendisini bilmemize gerek yok; bunların toplamını (veya yarısını) bilmek yeterlidir. Bunu yapabiliriz.
Köşegenler dik açıyla kesiştiğinden, EF yüksekliğinde ikizkenar dik üçgenler oluşturulur:
Yukarıdakilerden FO=DF=FC ve OE=AE=EB olduğu sonucu çıkar. Şimdi DF ve AE doğru parçaları aracılığıyla ifade edilen yüksekliğin neye eşit olduğunu yazalım:
Yani orta çizgi 12'dir.
*Genel olarak bu, anladığınız gibi zihinsel hesaplamayla ilgili bir sorundur. Ancak sağlanan ayrıntılı açıklamanın gerekli olduğundan eminim. Ve böylece... Şekle baktığınızda (inşaat sırasında köşegenler arasındaki açıya dikkat edilmesi şartıyla) FO=DF=FC ve OE=AE=EB eşitliği hemen gözünüze çarpıyor.
Prototipler aynı zamanda trapezoidli görev türlerini de içerir. Kare şeklinde bir kağıt üzerine inşa edilmiştir ve orta çizgiyi bulmanız gerekir; hücrenin kenarı genellikle 1'e eşittir, ancak farklı bir değer de olabilir.
27848. Yamuğun orta çizgisini bulun ABCD kare hücrelerin kenarları 1'e eşitse.
Çok basit, bazları hücrelere göre hesaplıyoruz ve şu formülü kullanıyoruz: (2+4)/2=3
Bazlar hücre ızgarasına açılı olarak inşa edilmişse iki yol vardır. Örneğin!
Matematikte Birleşik Devlet Sınavına girmeye hazırlanan tüm mezunların “Serbest yamuk” konusunda hafızalarını tazelemeleri faydalı olacaktır. Yıllar süren uygulamaların gösterdiği gibi, bu bölümdeki planimetrik problemler birçok lise öğrencisi için bazı zorluklara neden olmaktadır. Aynı zamanda sertifikasyon testinin hem temel hem de profil seviyelerini geçerken “Serbest yamuk” konusundaki Birleşik Devlet Sınavı problemlerinin çözülmesi gerekmektedir. Bu nedenle tüm mezunların bu tür alıştırmalarla baş edebilmesi gerekir.
Sınava nasıl hazırlanılır?
Planimetrik problemlerin çoğu klasik yapılarla çözülür. Birleşik Devlet Sınavı probleminde, örneğin şekilde gösterilen yamuğun alanını bulmanız gerekiyorsa, çizimde bilinen tüm parametreleri işaretlemeye değer. Daha sonra bunlarla ilgili ana teoremleri hatırlayın. Bunları uygulayarak doğru cevabı bulabileceksiniz.
Sınava hazırlığınızı gerçekten etkili kılmak için Shkolkovo eğitim portalına bakın. Burada “Serbest trapez veya Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmenize yardımcı olacak konulardaki tüm temel materyalleri bulacaksınız. Şekil, formül ve teoremlerin temel özellikleri “Teorik Bilgiler” bölümünde toplanmıştır.
Mezunlar ayrıca matematik portalımız üzerinden problem çözme becerilerini geliştirebilecekler. “Katalog” bölümü, farklı zorluk seviyelerindeki ilgili alıştırmaların geniş bir seçkisini sunar. Uzmanlarımız görev listesini düzenli olarak günceller ve tamamlar.
Moskova ve diğer şehirlerden gelen öğrenciler egzersizleri sürekli olarak çevrimiçi olarak gerçekleştirebilirler. Gerekirse herhangi bir görev "Favoriler" bölümüne kaydedilebilir ve daha sonra öğretmenle tartışmak üzere buraya geri döndürülebilir.
Yamuk problemlerinin nasıl çözüleceğini anlamak için üç temel çözümü hatırlamakta fayda var.
I. İki yükseklik çizin.
Ia. BCKF dörtgeni bir dikdörtgendir (tüm açıları dik olduğundan). Bu nedenle FK=BC.
AD=AF+FK+KD, dolayısıyla AD=AF+BC+KD.
ABF ve DCK üçgenleri dik üçgenlerdir.
(Başka bir seçenek dikkate alınmalıdır:
Ib.
Bu durumda AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)
ic. Yamuk ikizkenar ise, sorunun çözümü basitleştirilmiştir:
Bu durumda, ABF ve DCK dik üçgenleri örneğin kenar ve hipotenüs boyunca eşittir (koşullara göre AB=CD, yamuğun yüksekliği olarak BF=CK). Üçgenlerin eşitliğinden karşılık gelen kenarların eşit olduğu sonucu çıkar:
AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2.
II. Kenara paralel düz bir çizgi çizin.
IIa. BM∥CD. BC∥ AD olduğundan (bir yamuğun tabanları gibi), BCDM bir paralelkenardır. Bu nedenle MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.
IIb.Özellikle ikizkenar yamuk için
BM∥CD. CD=AB olduğuna göre BM=AB olur. Yani, bir ikizkenar üçgen ABM ve bir paralelkenar BCDM elde ediyoruz.
III. Kenarlara devam edin ve bir üçgen elde edin.
AB ve CD doğruları P noktasında kesişiyor.
APD ve BPC üçgenleri iki açıdan benzerdir (P açısı ortaktır, ∠ PAD= ∠ PBC, BC∥ AD'ye ve AP kesenine karşılık gelir).
Bu nedenle kenarları orantılıdır:
Yamuk problemlerini çözmeye yönelik bu üç yaklaşım ana yaklaşımlardır. Bunların dışında daha birçok yol var. Bazıları bu sitede incelenmektedir. Örneğin köşegenleri birbirine dik olan bir yamuk ile problemlerin nasıl çözüleceği.
