Sinüs kosinüs teğet kotanjant trigonometri değerleri tablosu
0, 30, 45, 60, 90, ... derecelik açılar için temel trigonometrik fonksiyonlar tablosu
$\sin$, $\cos$, $\tan$ ve $\cot$ fonksiyonlarının trigonometrik tanımlarından, $0$ ve $90$ derece açıları için değerlerini bulabilirsiniz:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ tanımlanmadı;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ tanımlı değil.
Bir okul geometri dersinde dik üçgenler incelenirken $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ ve $90°$ açılarının trigonometrik fonksiyonları bulunur.
Belirtilen açılar için sırasıyla derece ve radyan cinsinden trigonometrik fonksiyonların değerleri bulundu ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ ezberleme ve kullanım kolaylığı için pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) adlı bir tabloya girilir. trigonometrik tablo, trigonometrik fonksiyonların temel değerleri tablosu ve benzeri.
İndirgeme formülleri kullanıldığında, trigonometrik tablo 360$°$'lık bir açıya ve buna göre $2\pi$ radyana kadar genişletilebilir:
Trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliklerini kullanarak, bilinenden 360°$ kadar farklı olacak her açı hesaplanıp bir tabloya kaydedilebilir. Örneğin, $0°$ açısı için trigonometrik fonksiyon, $0°+360°$ açısı için, $0°+2 \cdot 360°$ açısı için ve $0°+3 \cdot 360°$ açısı için aynı değere sahip olacaktır. ve benzeri.
Trigonometrik bir tablo kullanarak birim çemberin tüm açılarının değerlerini belirleyebilirsiniz.
Bir okul geometri dersinde, trigonometrik problemleri çözme kolaylığı için trigonometrik bir tabloda toplanan trigonometrik fonksiyonların temel değerlerini ezberlemeniz beklenir.
Bir tablo kullanma
Tabloda gerekli trigonometrik fonksiyonu ve bu fonksiyonun hesaplanması gereken açı veya radyan değerini bulmanız yeterlidir. Satırın fonksiyonla ve sütunun değerle kesiştiği noktada, verilen argümanın trigonometrik fonksiyonunun istenen değerini elde ederiz.
Şekilde $\frac(1)(2)$'a eşit olan $\cos60°$ değerini nasıl bulacağınızı görebilirsiniz.
Genişletilmiş trigonometrik tablo aynı şekilde kullanılır. Bunu kullanmanın avantajı, daha önce de belirtildiği gibi, hemen hemen her açının trigonometrik fonksiyonunun hesaplanmasıdır. Örneğin, $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 değerini kolayca bulabilirsiniz. °$:
Temel trigonometrik fonksiyonların Bradis tabloları
Derece tamsayı değeri ve dakika tamsayı değeri için kesinlikle herhangi bir açı değerinin trigonometrik fonksiyonunu hesaplama yeteneği Bradis tablolarının kullanılmasıyla sağlanır. Örneğin, $\cos34°7"$ değerini bulun. Tablolar 2 bölüme ayrılmıştır: $\sin$ ve $\cos$ değerleri tablosu ve $ değerleri tablosu \tan$ ve $\cot$.
Bradis tabloları, trigonometrik fonksiyonların yaklaşık değerlerini 4 ondalık basamağa kadar doğrulukla elde etmeyi mümkün kılar.
Bradis tablolarını kullanma
Sinüsler için Bradis tablolarını kullanarak $\sin17°42"$'ı buluruz. Bunu yapmak için sinüs ve kosinüs tablosunun sol sütununda derece değerini - $17°$ ve üst satırda buluruz. dakikaların değerini buluyoruz - $42"$. Kesişmelerinde istenen değeri elde ederiz:
$\sin17°42"=0,304$.
$\sin17°44"$ değerini bulmak için tablonun sağ tarafındaki düzeltmeyi kullanmanız gerekir. Bu durumda tablodaki $42"$ değerine $2 düzeltmesini eklemeniz gerekir. "$, bu da $0,0006$'a eşittir. Şunu elde ederiz:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
$\sin17°47"$ değerini bulmak için tablonun sağ tarafındaki düzeltmeyi de kullanırız, ancak bu durumda $\sin17°48"$ değerini temel alır ve $1"$ düzeltmesini çıkarırız :
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Kosinüsleri hesaplarken de benzer işlemler yapıyoruz ancak tablonun sağ sütununda derecelere, alt sütununda ise dakikalara bakıyoruz. Örneğin, $\cos20°=0,9397$.
$90°$'a kadar olan teğet değerler ve küçük açı kotanjantları için herhangi bir düzeltme yoktur. Örneğin, tabloya göre $4.967$'a eşit olan $\tan 78°37"$'ı bulalım.
Sinüs (sin), kosinüs (cos), teğet (tg), kotanjant (ctg) değer tabloları, hem teorik hem de uygulamalı birçok problemi çözmeye yardımcı olan güçlü ve kullanışlı bir araçtır. Bu makalede 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 derecelik (0, π 6, π 3, π) açılar için temel trigonometrik fonksiyonların (sinüsler, kosinüsler, teğetler ve kotanjantlar) tablosunu sunacağız 2,... , 2 π radyan). Sinüsler ve kosinüsler, teğetler ve kotanjantlar için ayrı Bradis tabloları da gösterilecek ve bunların temel trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için nasıl kullanılacağı açıklanacak.
0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 derece açılar için temel trigonometrik fonksiyonlar tablosu
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından yola çıkarak bu fonksiyonların 0 ve 90 derecelik açılar için değerlerini bulabilirsiniz.
sin 0 = 0, cos 0 = 1, tg 0 = 0, sıfır kotanjant tanımlı değil,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, doksan derecenin tanjantı tanımlanmamıştır.
Geometri dersinde sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri, açıları 30, 60 ve 90 derece ve ayrıca 45, 45 ve 90 derece olan bir dik üçgenin kenarlarının oranı olarak tanımlanır.
Dik üçgende dar açı için trigonometrik fonksiyonları tanımlama
Sinüs- karşı tarafın hipotenüse oranı.
Kosinüs- bitişik bacağın hipotenüse oranı.
Teğet- karşı tarafın bitişik tarafa oranı.
Kotanjant- Bitişik tarafın karşı tarafa oranı.
Tanımlara uygun olarak fonksiyonların değerleri bulunur:
sin 30 ° = 1 2 , çünkü 30 ° = 3 2 , tg 30 ° = 3 3 , c tg 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , çünkü 45 ° = 2 2 , tg 45 ° = 1 , c tg 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
Bu değerleri bir tabloya koyalım ve buna sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın temel değerlerinin tablosu diyelim.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
günah α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
çünkü α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
tgα | 0 | 3 3 | 1 | 3 | tanımsız |
c t g α | tanımsız | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π4 | π3 | π2 |
Trigonometrik fonksiyonların önemli özelliklerinden biri periyodikliktir. Bu özelliğe dayanarak bu tablo indirgeme formülleri kullanılarak genişletilebilir. Aşağıda 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 derece (0, π 6, π 3) açıları için ana trigonometrik fonksiyonların değerlerinin genişletilmiş bir tablosunu sunuyoruz. , π 2, ... , 2 π radyan).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
günah α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
çünkü α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
tgα | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π4 | π3 | π2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın periyodikliği, bu tabloyu isteğe bağlı olarak büyük açı değerlerine genişletmenize olanak tanır. Tabloda toplanan değerler en çok problem çözerken kullanılır, bu nedenle bunların ezberlenmesi önerilir.
Trigonometrik fonksiyonların temel değerleri tablosu nasıl kullanılır?
Sinüsler, kosinüsler, teğetler ve kotanjantların değer tablosunu kullanma ilkesi sezgisel düzeyde açıktır. Bir satır ile bir sütunun kesişimi, belirli bir açı için fonksiyonun değerini verir.
Örnek. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu nasıl kullanılır?
Sin 7 π 6'nın neye eşit olduğunu bulmamız gerekiyor
Tabloda son hücre değeri 7 π 6 radyan, yani 210 derece olan bir sütun buluyoruz. Daha sonra sinüs değerlerinin sunulduğu tablonun terimini seçiyoruz. Satır ve sütunun kesişiminde istenen değeri buluruz:
günah 7 π 6 = - 1 2
Bradis masaları
Bradis tablosu sinüs, kosinüs, tanjant veya kotanjant değerini bilgisayar teknolojisi kullanmadan 4 ondalık basamak hassasiyetiyle hesaplamanıza olanak tanır. Bu bir tür mühendislik hesap makinesinin yerine geçer.
Referans
Vladimir Modestovich Bradis (1890 - 1975) - Sovyet matematikçi-öğretmen, 1954'ten beri SSCB Pedagoji Bilimleri Akademisi'nin ilgili üyesi. Bradis tarafından geliştirilen dört basamaklı logaritma ve doğal trigonometrik büyüklük tabloları ilk olarak 1921'de yayınlandı.
Öncelikle sinüs ve kosinüsler için Bradis tablosunu sunuyoruz. Tamsayı derece ve dakika içeren açılar için bu fonksiyonların yaklaşık değerlerini oldukça doğru bir şekilde hesaplamanıza olanak tanır. Tablonun en soldaki sütunu dereceleri, üst satırı ise dakikaları temsil eder. Bradis tablosunun tüm açı değerlerinin altı dakikanın katları olduğuna dikkat edin.
Sinüs ve kosinüsler için Bradis tablosu
günah | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | çünkü | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
günah | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | çünkü | 1" | 2" | 3" |
Tabloda gösterilmeyen açıların sinüs ve kosinüs değerlerini bulmak için düzeltmelerin kullanılması gerekir.
Şimdi teğetler ve kotanjantlar için Bradis tablosunu sunuyoruz. 0 ila 76 derece arasındaki açıların teğet değerlerini ve 14 ila 90 derece arasındaki açıların kotanjantlarını içerir.
Teğet ve kotanjant için Bradis tablosu
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Bradis tabloları nasıl kullanılır?
Sinüsler ve kosinüsler için Bradis tablosunu düşünün. Sinüslerle ilgili her şey üstte ve soldadır. Kosinüslere ihtiyacımız varsa tablonun alt sağ tarafına bakın.
Bir açının sinüs değerlerini bulmak için, en soldaki hücrede gerekli derece sayısını içeren satır ile üst hücrede gerekli dakika sayısını içeren sütunun kesişimini bulmanız gerekir.
Tam açı değeri Bradis tablosunda yoksa düzeltmelere başvuruyoruz. Tablonun en sağ sütunlarında bir, iki ve üç dakikalık düzeltmeler verilmiştir. Tabloda olmayan bir açının sinüs değerini bulmak için ona en yakın değeri buluruz. Bundan sonra açılar arasındaki farka karşılık gelen düzeltmeyi ekler veya çıkarırız.
90 dereceden büyük bir açının sinüsünü arıyorsak, önce indirgeme formüllerini, sonra da Bradis tablosunu kullanmamız gerekir.
Örnek. Bradis tablosu nasıl kullanılır?
Diyelim ki 17 ° 44" açısının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Tabloyu kullanarak 17 ° 42 " sinüsünün neye eşit olduğunu buluyoruz ve değerine iki dakikalık bir düzeltme ekliyoruz:
17°44" - 17°42" = 2" (gerekli düzeltme) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046
Kosinüsler, teğetler ve kotanjantlarla çalışma prensibi benzerdir. Ancak değişikliklerin işaretini hatırlamak önemlidir.
Önemli!
Sinüslerin değerlerini hesaplarken düzeltmenin pozitif bir işareti vardır ve kosinüsleri hesaplarken düzeltmenin negatif bir işaretle alınması gerekir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Makalede neye benzediğini tam olarak anlayacağız trigonometrik değerler tablosu, sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Trigonometrik fonksiyonların temel anlamını 0,30,45,60,90,...,360 derecelik açılardan ele alalım. Ve trigonometrik fonksiyonların değerlerinin hesaplanmasında bu tabloların nasıl kullanılacağını görelim.
İlk önce şuna bakalım kosinüs, sinüs, tanjant ve kotanjant tablosu 0, 30, 45, 60, 90,... derecelik bir açıdan. Bu büyüklüklerin tanımı, 0 ve 90 derecelik açıların fonksiyonlarının değerini belirlememizi sağlar:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, 0 0'dan kotanjant tanımsız olacaktır
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, 90 0'dan teğet belirsiz olacaktır
Açıları 30 ile 90 derece arasında olan dik üçgenleri alırsanız. Şunu elde ederiz:
günah 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
günah 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, bebek karyolası 60 0 = √3/3
Elde edilen tüm değerleri formda temsil edelim trigonometrik tablo:
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu!
İndirgeme formülünü kullanırsak tablomuz artacak ve 360 dereceye kadar olan açılar için değerler eklenecektir. Şöyle görünecek:
Ayrıca periyodiklik özelliklerine bağlı olarak açıları 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z ile değiştirirsek tablo büyütülebilir; burada z bir tam sayıdır. Bu tabloda tek bir çemberdeki noktalara karşılık gelen tüm açıların değerini hesaplamak mümkündür.
Tablonun bir çözümde nasıl kullanılacağına bakalım.
Her şey çok basit. Çünkü ihtiyacımız olan değer, ihtiyacımız olan hücrelerin kesişme noktasında yatıyor. Örneğin, 60 derecelik bir açının cos değerini alın, tabloda şöyle görünecektir:
Trigonometrik fonksiyonların ana değerlerinin son tablosunda da aynı şekilde ilerliyoruz. Ancak bu tabloda 1020 derecelik açıdan tanjantın ne kadar olduğunu bulmak mümkün, = -√3 1020 0 = 300 0 +360 0 *2'yi kontrol edelim. Tabloyu kullanarak bulalım.
Daha fazla arama için dakika hassasiyetinde trigonometrik açı değerleri kullanılır. Bunların nasıl kullanılacağına ilişkin ayrıntılı talimatlar sayfada yer almaktadır.
Bradi'nin masası. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant için.
Bradis tabloları, kosinüs ve sinüs, teğet ve kotanjant tablolarından oluşan birkaç parçaya bölünmüştür - bunlar iki parçaya bölünmüştür (90 dereceye kadar açıların tg'si ve küçük açıların ctg'si).
Sinüs ve kosinüs
0 0'dan başlayıp 76 0 ile biten açının tg'si, 14 0'dan başlayıp 90 0 ile biten açının ctg'si.
90 0'a kadar tg ve küçük açılardan ctg.
Bradis tablolarını problem çözmede nasıl kullanabileceğimizi bulalım.
Tanımlama günahını (sol kenardaki sütunda tanımlama) 42 dakika (atama üst satırda) bulalım. Kesişim yoluyla atamayı ararız, bu = 0,3040.
Dakika değerleri altı dakikalık aralıklarla belirtilir, ihtiyacımız olan değer tam olarak bu aralığın içine düşerse ne yapmalıyız. 44 dakika alalım ama tabloda sadece 42 var. 42'yi baz alıyoruz ve sağ taraftaki ek sütunları kullanarak 2. değişikliği alıp 0,3040 + 0,0006'yı ekliyoruz ve 0,3046 elde ediyoruz.
Günah 47 dakika ile 48 dakikayı esas alıyoruz ve bundan 1 düzeltme çıkarıyoruz yani 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Cos'u hesaplarken sin'e benzer şekilde çalışıyoruz, sadece tablonun en alt sırasını baz alıyoruz. Örneğin cos 20 0 = 0,9397
90 0'a kadar olan tg açısı ve küçük açılı cot değerleri doğrudur ve bunlarda herhangi bir düzeltme yoktur. Örneğin, tg 78 0 37dk = 4,967'yi bulun
ve ctg 20 0 13 dk = 25,83
Temel trigonometrik tablolara baktık. Bu bilgilerin sizin için son derece yararlı olduğunu umuyoruz. Tablolarla ilgili sorularınız varsa yorumlara yazmayı unutmayın!
Not: Duvar tamponları - duvarları korumak için tampon paneli (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)
Basitçe söylemek gerekirse bunlar, özel bir tarife göre suda pişirilen sebzelerdir. İki başlangıç bileşenini (sebze salatası ve su) ve bitmiş sonucu - pancar çorbasını ele alacağım. Geometrik olarak bir tarafı marulu, diğer tarafı suyu temsil eden bir dikdörtgen gibi düşünülebilir. Bu iki tarafın toplamı pancar çorbasını gösterecektir. Böyle bir "pancar çorbası" dikdörtgeninin köşegeni ve alanı tamamen matematiksel kavramlardır ve asla pancar çorbası tariflerinde kullanılmaz.
Marul ve su matematiksel açıdan nasıl pancar çorbasına dönüşür? İki doğru parçasının toplamı nasıl trigonometri olabilir? Bunu anlamak için doğrusal açısal fonksiyonlara ihtiyacımız var.
Matematik ders kitaplarında doğrusal açısal fonksiyonlar hakkında hiçbir şey bulamazsınız. Ama onlar olmadan matematik olamaz. Doğa kanunları gibi matematik kanunları da onların varlığını bilsek de bilmesek de işlerler.
Doğrusal açısal fonksiyonlar toplama yasalarıdır. Cebirin nasıl geometriye, geometrinin de trigonometriye dönüştüğünü görün.
Doğrusal açısal fonksiyonlar olmadan yapmak mümkün mü? Bu mümkün çünkü matematikçiler hâlâ onlarsız da idare edebiliyorlar. Matematikçilerin püf noktası, bize her zaman yalnızca kendilerinin nasıl çözeceklerini bildikleri problemleri anlatmaları ve çözemedikleri problemler hakkında asla konuşmamalarıdır. Bakmak. Toplamanın ve bir terimin sonucunu biliyorsak, diğer terimi bulmak için çıkarma işlemini kullanırız. Tüm. Diğer sorunları bilmiyoruz ve bunları nasıl çözeceğimizi de bilmiyoruz. Yalnızca toplama işleminin sonucunu biliyorsak ve her iki terimi de bilmiyorsak ne yapmalıyız? Bu durumda toplama işleminin sonucunun doğrusal açısal fonksiyonlar kullanılarak iki terime ayrıştırılması gerekir. Daha sonra bir terimin ne olabileceğini seçiyoruz ve doğrusal açısal fonksiyonlar ikinci terimin ne olması gerektiğini gösteriyor, böylece toplama işleminin sonucu tam olarak ihtiyacımız olan şey oluyor. Bu tür terim çiftlerinden sonsuz sayıda olabilir. Günlük yaşamda toplamı ayrıştırmadan gayet iyi geçiniyoruz; çıkarma bizim için yeterli. Ancak doğa kanunları üzerine yapılan bilimsel araştırmalarda, bir toplamı bileşenlerine ayırmak çok yararlı olabilir.
Matematikçilerin bahsetmekten hoşlanmadığı bir başka toplama kanunu (hilelerinden bir diğeri), terimlerin aynı ölçü birimlerine sahip olmasını gerektirir. Salata, su ve pancar çorbası için bunlar ağırlık, hacim, değer veya ölçü birimi olabilir.
Şekil matematik için iki seviyeli farkı göstermektedir. Birinci düzey, belirtilen sayılar alanındaki farklılıklardır. A, B, C. Matematikçilerin yaptığı da budur. İkinci düzey, köşeli parantez içinde gösterilen ve harfle gösterilen ölçü birimleri alanındaki farklılıklardır. sen. Fizikçilerin yaptığı da budur. Üçüncü seviyeyi, yani tanımlanan nesnelerin alanındaki farklılıkları anlayabiliriz. Farklı nesneler aynı sayıda aynı ölçü birimine sahip olabilir. Bunun ne kadar önemli olduğunu pancar çorbası trigonometrisi örneğinde görebiliriz. Farklı nesneler için aynı birim tanımına alt simgeler eklersek, belirli bir nesneyi tam olarak hangi matematiksel niceliğin tanımladığını ve bunun zaman içinde veya eylemlerimiz nedeniyle nasıl değiştiğini söyleyebiliriz. Mektup K Suyu harfle belirteceğim S Salatayı bir harfle belirleyeceğim B- borsch. Pancar çorbası için doğrusal açısal fonksiyonlar böyle görünecek.
Suyun bir kısmını ve salatanın bir kısmını alırsak, hepsi birlikte bir porsiyon pancar çorbasına dönüşecektir. Burada pancar çorbasına biraz ara vermenizi ve uzak çocukluğunuzu hatırlamanızı öneririm. Tavşanlarla ördekleri bir araya getirmenin bize nasıl öğretildiğini hatırlıyor musun? Kaç hayvan olacağını bulmak gerekiyordu. O zaman bize ne yapmamız öğretildi? Ölçü birimlerini sayılardan ayırmamız ve sayıları toplamamız öğretildi. Evet, herhangi bir sayı başka bir sayıya eklenebilir. Bu, modern matematiğin otizmine giden doğrudan bir yoldur - bunu anlaşılmaz bir şekilde, neden, anlaşılmaz bir şekilde yapıyoruz ve bunun gerçeklikle nasıl ilişkili olduğunu çok az anlıyoruz, üç fark seviyesi nedeniyle, matematikçiler yalnızca bir tanesiyle çalışırlar. Bir ölçü biriminden diğerine nasıl geçileceğini öğrenmek daha doğru olacaktır.
Tavşanlar, ördekler ve küçük hayvanlar parça parça sayılabilir. Farklı nesneler için ortak bir ölçü birimi, onları bir araya toplamamıza olanak tanır. Bu sorunun çocuk versiyonu. Yetişkinler için de benzer bir soruna bakalım. Tavşanları ve parayı eklediğinizde ne elde edersiniz? Burada iki çözüm sunabiliriz.
İlk seçenek. Tavşanların piyasa değerini belirliyoruz ve bunu mevcut para miktarına ekliyoruz. Servetimizin toplam değerini parasal olarak aldık.
İkinci seçenek. Elimizdeki banknot sayısına tavşan sayısını da ekleyebilirsiniz. Taşınır malların miktarını parça halinde alacağız.
Gördüğünüz gibi aynı toplama kanunu farklı sonuçlar elde etmenize olanak sağlıyor. Her şey tam olarak ne bilmek istediğimize bağlı.
Ama hadi pancar çorbamıza geri dönelim. Artık doğrusal açısal fonksiyonların farklı açı değerleri için ne olacağını görebiliriz.
Açı sıfırdır. Salatamız var ama suyumuz yok. Pancar çorbası pişiremiyoruz. Pancar çorbası miktarı da sıfırdır. Bu, sıfır pancar çorbasının sıfır suya eşit olduğu anlamına gelmez. Sıfır salata ile sıfır pancar çorbası olabilir (dik açı).
Şahsen benim için bu, şu gerçeğin ana matematiksel kanıtıdır. Sıfır, eklendiğinde sayıyı değiştirmez. Bunun nedeni, yalnızca bir terim varsa ve ikinci terim eksikse toplamanın kendisinin imkansız olmasıdır. Bunu istediğiniz gibi hissedebilirsiniz, ancak unutmayın - sıfırla yapılan tüm matematiksel işlemler matematikçiler tarafından icat edilmiştir, bu yüzden mantığınızı bir kenara bırakın ve matematikçiler tarafından icat edilen tanımları aptalca tıkıştırın: "sıfıra bölmek imkansızdır", "herhangi bir sayının çarpımı" sıfır sıfıra eşittir”, “delme noktası sıfırın ötesinde” ve diğer saçmalıklar. Sıfırın bir sayı olmadığını bir kez hatırlamak yeterlidir ve bir daha asla sıfırın doğal sayı olup olmadığı sorusuyla karşılaşmazsınız çünkü böyle bir soru tüm anlamını yitirir: Sayı olmayan bir şey nasıl sayı olarak kabul edilebilir? ? Bu, görünmez bir rengin hangi renk olarak sınıflandırılması gerektiğini sormak gibidir. Bir sayıya sıfır eklemek, orada olmayan boyayla resim yapmakla aynı şeydir. Kuru bir fırça salladık ve herkese “boyama yaptık” dedik. Ama biraz dalıyorum.
Açı sıfırdan büyük ama kırk beş dereceden az. Çok fazla marulumuz var ama yeterli suyumuz yok. Sonuç olarak kalın pancar çorbası elde edeceğiz.
Açı kırk beş derecedir. Eşit miktarda su ve salatamız var. Bu mükemmel pancar çorbası (affet beni şefler, bu sadece matematik).
Açı kırk beş dereceden büyük, ancak doksan dereceden azdır. Bol suyumuz ve az salatamız var. Sıvı pancar çorbası alacaksınız.
Sağ açı. Bizim suyumuz var. Bir zamanlar salatayı işaretleyen çizginin açısını ölçmeye devam ettiğimizde, salatadan geriye kalan tek şey anılardır. Pancar çorbası pişiremiyoruz. Pancar çorbası miktarı sıfırdır. Bu durumda tutun ve elinizde su varken için)))
Burada. Bunun gibi bir şey. Burada fazlasıyla uygun olacak başka hikayeler anlatabilirim.
İki arkadaşın ortak bir işte hisseleri vardı. Birini öldürdükten sonra her şey diğerine gitti.
Gezegenimizde matematiğin ortaya çıkışı.
Bütün bu hikayeler matematik dilinde doğrusal açısal fonksiyonlar kullanılarak anlatılıyor. Başka bir zaman size bu fonksiyonların matematiğin yapısındaki gerçek yerini göstereceğim. Bu arada pancar çorbası trigonometrisine dönelim ve projeksiyonları ele alalım.
26 Ekim 2019 Cumartesi
7 Ağustos 2019 Çarşamba
Konuşmayı sonlandırırken sonsuz bir kümeyi düşünmemiz gerekiyor. Mesele şu ki, "sonsuzluk" kavramı, bir boa yılanının bir tavşanı etkilemesi gibi matematikçileri de etkiliyor. Sonsuzluğun titreten dehşeti matematikçileri sağduyudan yoksun bırakıyor. İşte bir örnek:
Orijinal kaynak bulunur. Alfa gerçek sayı anlamına gelir. Yukarıdaki ifadelerde yer alan eşittir işareti, sonsuza bir sayı veya sonsuz eklediğinizde hiçbir şeyin değişmeyeceğini, sonucun aynı sonsuz olacağını belirtir. Örnek olarak sonsuz doğal sayılar kümesini alırsak, dikkate alınan örnekler şu şekilde temsil edilebilir:
Matematikçiler haklı olduklarını açıkça kanıtlamak için birçok farklı yöntem geliştirdiler. Şahsen ben tüm bu yöntemlere teflerle dans eden şamanlar gibi bakıyorum. Esasen, bunların hepsi ya bazı odaların boş olması ve yeni misafirlerin taşınması ya da bazı ziyaretçilerin misafirlere yer açmak için koridora atılması (çok insani bir şekilde) gerçeğine dayanıyor. Bu tür kararlara ilişkin görüşlerimi Sarışın hakkında fantastik bir hikaye şeklinde sundum. Benim mantığım neye dayanıyor? Sonsuz sayıda ziyaretçinin yerini değiştirmek sonsuz miktarda zaman alır. İlk odayı bir misafir için boşalttıktan sonra, ziyaretçilerden biri, zamanın sonuna kadar her zaman koridor boyunca kendi odasından diğerine yürüyecektir. Zaman faktörü elbette aptalca göz ardı edilebilir ama bu “hiçbir kanun aptallar için yazılmaz” kategorisinde olacaktır. Her şey ne yaptığımıza bağlı: gerçekliği matematiksel teorilere göre ayarlamak veya tam tersi.
“Sonsuz otel” nedir? Sonsuz otel, kaç oda dolu olursa olsun her zaman herhangi bir sayıda boş yatağa sahip olan bir oteldir. Sonsuz "ziyaretçi" koridorundaki tüm odalar doluysa, "misafir" odalarının bulunduğu başka bir sonsuz koridor daha vardır. Bu tür koridorlardan sonsuz sayıda olacak. Üstelik “sonsuz otel”, sonsuz sayıda Tanrının yarattığı sonsuz sayıda evrende, sonsuz sayıda gezegende, sonsuz sayıda binada, sonsuz sayıda kata sahiptir. Matematikçiler sıradan günlük problemlerden uzaklaşamazlar: Her zaman tek bir Tanrı-Allah-Buda vardır, tek bir otel vardır, tek bir koridor vardır. Yani matematikçiler otel odalarının seri numaralarıyla hokkabazlık yaparak bizi "imkansızı itmenin" mümkün olduğuna ikna etmeye çalışıyorlar.
Akıl yürütmemin mantığını size sonsuz doğal sayılar kümesi örneğini kullanarak göstereceğim. Öncelikle çok basit bir soruyu yanıtlamanız gerekiyor: Kaç tane doğal sayı kümesi var - bir mi yoksa daha fazla mı? Sayıları kendimiz icat ettiğimiz için bu sorunun doğru bir cevabı yok; doğada sayılar yoktur. Evet, Doğa sayma konusunda harikadır ama bunun için bizim bilmediğimiz diğer matematiksel araçları kullanır. Doğanın ne düşündüğünü başka zaman anlatacağım. Sayıları icat ettiğimizden beri, kaç tane doğal sayı kümesinin olacağına kendimiz karar vereceğiz. Gerçek bilim adamlarına yakışır şekilde her iki seçeneği de ele alalım.
Seçenek bir. Rafta sakin bir şekilde duran tek bir doğal sayı dizisi "bize verilsin". Bu seti raftan alıyoruz. İşte bu, rafta başka doğal sayı kalmadı ve onları alacak yer yok. Zaten elimizde olduğundan bu sete bir tane ekleyemiyoruz. Ya gerçekten istersen? Sorun değil. Almış olduğumuz setten bir adet alıp rafa geri koyabiliriz. Bundan sonra raftan bir tane alıp elimizde kalanlara ekleyebiliriz. Sonuç olarak yine sonsuz bir doğal sayılar kümesi elde edeceğiz. Tüm manipülasyonlarımızı şu şekilde yazabilirsiniz:
Eylemleri cebirsel gösterimde ve küme teorisi gösteriminde, kümenin elemanlarının ayrıntılı bir listesiyle birlikte yazdım. Alt simge, tek ve tek bir doğal sayı kümesine sahip olduğumuzu gösterir. Doğal sayılar kümesinin ancak ondan bir çıkarılıp aynı birim eklenirse değişmeden kalacağı ortaya çıktı.
İkinci Seçenek. Rafımızda birçok farklı sonsuz doğal sayı kümesi var. Pratik olarak ayırt edilemez olmalarına rağmen - FARKLI olduğunu vurguluyorum. Bu setlerden birini alalım. Daha sonra başka bir doğal sayı kümesinden birini alıp daha önce almış olduğumuz kümeye ekliyoruz. İki doğal sayı kümesini bile toplayabiliriz. Elde ettiğimiz şey bu:
"Bir" ve "iki" alt simgeleri bu elemanların farklı kümelere ait olduğunu gösterir. Evet sonsuz bir kümeye bir eklerseniz sonuç yine sonsuz küme olur ama orijinal kümeyle aynı olmaz. Bir sonsuz kümeye başka bir sonsuz küme eklerseniz sonuç, ilk iki kümenin elemanlarından oluşan yeni bir sonsuz küme olur.
Doğal sayılar kümesi sayma için, cetvelin ölçme için kullanılmasıyla aynı şekilde kullanılır. Şimdi cetvele bir santimetre eklediğinizi hayal edin. Bu orijinaline eşit olmayan farklı bir çizgi olacaktır.
Benim mantığımı kabul edebilir veya kabul etmeyebilirsiniz; bu sizin kendi işinizdir. Ancak eğer matematik problemleriyle karşılaşırsanız, nesiller boyu matematikçilerin izlediği yanlış akıl yürütme yolunu takip edip etmediğinizi düşünün. Sonuçta, matematik çalışmak her şeyden önce içimizde istikrarlı bir düşünce stereotipi oluşturur ve ancak o zaman zihinsel yeteneklerimize katkıda bulunur (veya tam tersine bizi özgür düşünceden mahrum bırakır).
pozg.ru
4 Ağustos 2019 Pazar
Hakkında bir makalenin ekini bitiriyordum ve Wikipedia'da şu harika metni gördüm:
Şöyle okuyoruz: "... Babil matematiğinin zengin teorik temeli bütünsel bir karaktere sahip değildi ve ortak bir sistem ve kanıt tabanından yoksun bir dizi farklı tekniğe indirgenmişti."
Vay! Ne kadar akıllıyız ve başkalarının eksikliklerini ne kadar iyi görebiliyoruz. Modern matematiğe aynı bağlamda bakmak bizim için zor mu? Yukarıdaki metni biraz değiştirerek, kişisel olarak aşağıdakileri elde ettim:
Modern matematiğin zengin teorik temeli bütünsel değildir ve ortak bir sistem ve kanıt tabanından yoksun, birbirinden farklı bölümlere indirgenmiştir.
Sözlerimi doğrulamak için fazla uzağa gitmeyeceğim; matematiğin diğer birçok dalının dilinden ve kurallarından farklı bir dili ve kuralları var. Matematiğin farklı dallarındaki aynı isimler farklı anlamlara gelebilir. Bir dizi yayını modern matematiğin en bariz hatalarına adamak istiyorum. Yakında görüşürüz.
3 Ağustos 2019 Cumartesi
Bir küme alt kümelere nasıl bölünür? Bunu yapmak için seçilen setin bazı öğelerinde mevcut olan yeni bir ölçü birimi girmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım.
Bolluğumuz olsun A dört kişiden oluşuyor. Bu set “kişiler” esas alınarak oluşturulmuştur. Bu setin elemanlarını harfle gösterelim. A numaralı alt simge, bu setteki her kişinin seri numarasını gösterecektir. Yeni bir ölçü birimi olan "cinsiyet"i tanıtalım ve bunu harfle belirtelim B. Cinsel özellikler tüm insanlarda doğal olduğundan, kümenin her bir öğesini çarpıyoruz A cinsiyete dayalı B. “İnsanlar” grubumuzun artık “cinsiyet özelliklerine sahip insanlar” kümesi haline geldiğine dikkat edin. Bundan sonra cinsel özellikleri erkeklere ayırabiliriz. BM ve kadınların siyah kadın cinsel özellikler. Şimdi matematiksel bir filtre uygulayabiliriz: Hangisi olursa olsun bu cinsel özelliklerden birini seçiyoruz: erkek ya da kadın. Bir kişide varsa onu bir ile çarparız, eğer böyle bir işaret yoksa sıfırla çarparız. Ve sonra normal okul matematiğini kullanıyoruz. Bak ne oldu.
Çarpma, azaltma ve yeniden düzenlemeden sonra iki alt küme elde ettik: Erkeklerin alt kümesi BM ve kadınların bir alt kümesi siyah. Matematikçiler küme teorisini pratikte uygularken yaklaşık olarak aynı şekilde mantık yürütürler. Ancak bize ayrıntıları söylemiyorlar, ancak bize nihai sonucu veriyorlar: "birçok insan, erkeklerden ve kadınlardan oluşan bir alt gruptan oluşuyor." Doğal olarak aklınıza şu soru gelebilir: Yukarıda özetlenen dönüşümlerde matematik ne kadar doğru uygulandı? Sizi temin ederim ki aslında her şey doğru yapıldı; aritmetiğin, Boole cebirinin ve matematiğin diğer dallarının matematiksel temellerini bilmek yeterlidir. Ne olduğunu? Başka bir zaman sana bundan bahsedeceğim.
Süper kümelere gelince, bu iki kümenin elemanlarında bulunan ölçü birimini seçerek iki kümeyi tek bir süper kümede birleştirebilirsiniz.
Gördüğünüz gibi ölçü birimleri ve sıradan matematik, küme teorisini geçmişin kalıntısı haline getiriyor. Küme teorisinde her şeyin yolunda olmadığının bir işareti, matematikçilerin küme teorisi için kendi dillerini ve gösterimlerini geliştirmiş olmalarıdır. Matematikçiler bir zamanlar şamanların yaptığı gibi hareket ediyorlardı. Yalnızca şamanlar "bilgilerini" nasıl "doğru" şekilde uygulayacaklarını bilirler. Bize bu “bilgiyi” öğretiyorlar.
Sonuç olarak size matematikçilerin nasıl manipüle ettiğini göstermek istiyorum.
7 Ocak 2019 Pazartesi
MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea'lı Zenon, en ünlüsü "Aşil ve Kaplumbağa" aporia'sı olan ünlü aporialarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:
Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Bu süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz, düşüncenin ataleti nedeniyle, karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak, “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Fakat bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun, uzayın farklı noktalarında her an hareketsiz olduğunu, bunun aslında bir hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçekliğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.
Size süreci bir örnekle göstereceğim. "Sivilce içindeki kırmızı katı" seçiyoruz - bu bizim "bütünümüz". Aynı zamanda bunların fiyonklu olduğunu ve fiyonksuz olduğunu da görüyoruz. Bundan sonra “bütünün” bir kısmını seçip “yaylı” bir set oluşturuyoruz. Şamanlar, yerleşik teorilerini gerçekliğe bağlayarak yiyeceklerini bu şekilde elde ederler.
Şimdi küçük bir numara yapalım. “Fiyonklu sivilceli katı”yı alalım ve bu “bütünleri” kırmızı unsurları seçerek renklerine göre birleştirelim. Bir sürü "kırmızı"mız var. Şimdi son soru: Sonuçta ortaya çıkan “fiyonklu” ve “kırmızı” kümeler aynı küme mi, yoksa iki farklı küme mi? Bunun cevabını yalnızca şamanlar biliyor. Daha doğrusu kendileri hiçbir şey bilmiyorlar ama dedikleri gibi öyle olacak.
Bu basit örnek, konu gerçekliğe geldiğinde küme teorisinin tamamen işe yaramaz olduğunu gösteriyor. İşin sırrı nedir? "Sivilce ve fiyonklu kırmızı katı" bir set oluşturduk. Oluşum dört farklı ölçü biriminde gerçekleşti: renk (kırmızı), sağlamlık (katı), pürüzlülük (sivilceli), dekorasyon (yaylı). Yalnızca bir dizi ölçü birimi, gerçek nesneleri matematik dilinde yeterince tanımlamamıza izin verir.. Görünüşe göre bu.
Farklı endekslere sahip "a" harfi, farklı ölçü birimlerini gösterir. Başlangıç aşamasında “bütün”ün ayırt edildiği ölçü birimleri parantez içinde vurgulanmıştır. Setin oluşturulduğu ölçü birimi parantezlerden çıkarılır. Son satır nihai sonucu gösterir - kümenin bir öğesi. Gördüğünüz gibi, bir küme oluşturmak için ölçü birimlerini kullanırsak sonuç, eylemlerimizin sırasına bağlı değildir. Ve bu matematiktir, şamanların teflerle dansı değil. Şamanlar, ölçüm birimlerinin onların "bilimsel" cephaneliğinin bir parçası olmaması nedeniyle bunun "açık" olduğunu savunarak "sezgisel olarak" aynı sonuca varabilirler.
Ölçü birimlerini kullanarak bir seti bölmek veya birkaç seti tek bir süper sette birleştirmek çok kolaydır. Bu sürecin cebirine daha yakından bakalım.
Bu makale şunları içerir: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tabloları. İlk olarak, trigonometrik fonksiyonların temel değerlerinin bir tablosunu, yani 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 derecelik açıların sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosunu sunacağız ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radyan). Bundan sonra V. M. Bradis'in sinüs ve kosinüs tablosunun yanı sıra teğet ve kotanjant tablosunu vereceğiz ve trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulurken bu tabloların nasıl kullanılacağını göstereceğiz.
Sayfada gezinme.
0, 30, 45, 60, 90, ... derecelik açılar için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu
Kaynakça.
- Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: - ISBN 5-09-002727-7.
- Bashmakov M. I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
- Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları: Genel eğitim için. ders kitabı kuruluşlar. - 2. baskı. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: hasta. ISBN 5-7107-2667-2