Paralelkenarın alanı köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir. Paralelkenarın alanı. Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
Teorem 1. Bir yamuğun alanı, tabanlarının toplamının yarısı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir:
Teorem 2. Bir yamuğun köşegenleri, onu ikisi benzer ve diğer ikisi aynı alana sahip dört üçgene böler:
Teorem 3. Paralelkenarın alanı, tabanın çarpımına ve belirli bir taban tarafından indirilen yüksekliğe veya iki tarafın çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir: 
Teorem 4. Paralelkenarda köşegenlerin karelerinin toplamı, kenarlarının karelerinin toplamına eşittir: 
Teorem 5. Rastgele bir dışbükey dörtgen alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir:
Teorem 6. Bir daire etrafında çevrelenen bir dörtgenin alanı, bu dörtgenin yarı çevresinin ve verilen dairenin yarıçapının çarpımına eşittir: 
Teorem 7. Köşeleri keyfi bir dışbükey dörtgenin kenarlarının orta noktaları olan bir dörtgen, alanı orijinal dörtgenin alanının yarısına eşit olan bir paralelkenardır:
Teorem 8. Dışbükey bir dörtgenin karşılıklı dik köşegenleri varsa, bu dörtgenin karşıt kenarlarının karelerinin toplamı eşittir:
AB2 + CD2 = BC2 + AD2.
Makale "DKROST" şirketinin desteğiyle yayınlandı. Çocuk kaydırakları, evler, kum havuzları ve çok daha fazlası - çocuk oyun alanlarının toptan ve perakende üretimi ve satışı. En düşük fiyatlar, indirimler, kısa üretim süreleri, uzman ziyareti ve danışmanlık, kalite garantisi. http://dkrost.ru/ adresinde bulunan web sitesinde şirket hakkında daha fazla bilgi edinebilir, ürün kataloğunu, fiyatları ve kişileri görüntüleyebilirsiniz.
Bazı teoremlerin kanıtları
Teorem 2'nin Kanıtı. ABCD verilen bir yamuk olsun, tabanları AD ve BC olsun, O bu yamuğun AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktası olsun. AOB ve COD üçgenlerinin aynı alana sahip olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, BP ve CQ dikmelerini B ve C noktalarından AD çizgisine indirin. O halde ABD üçgeninin alanı
Ve ACD üçgeninin alanı 
BP = CQ olduğuna göre S∆ABD = S∆ACD. Ancak AOB üçgeninin alanı ABD ve AOD üçgenlerinin alanları arasındaki farktır ve COD üçgeninin alanı ACD ve AOD üçgenlerinin alanları arasındaki farktır. Dolayısıyla kanıtlanması gerektiği gibi AOB ve COD üçgenlerinin alanları eşittir.
Teorem 4'ün Kanıtı. ABCD bir paralelkenar olsun, AB = CD = A, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Kosinüs teoremini ABD üçgenine uygulayalım:
Şimdi kosinüs teoremini ACD üçgenine uyguladığımızda şunu elde ederiz:
Ortaya çıkan eşitlikleri terim terim topladığımızda şunu elde ederiz: 
Q.E.D.
Teorem 5'in İspatı. ABCD keyfi bir dışbükey dörtgen olsun, E köşegenlerinin kesişme noktası olsun, AE = A, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Sahibiz:
Q.E.D.
Teorem 6'nın Kanıtı. ABCD, bir daire etrafında çevrelenmiş rastgele bir dörtgen olsun; O bu dairenin merkezi olsun, OK, OL, OM ve ON, O noktasından sırasıyla AB, BC, CD ve AD doğrularına çizilen dikmeler olsun. Sahibiz: 
burada r dairenin yarıçapıdır ve p ABCD dörtgeninin yarı çevresidir.
Teorem 7'nin Kanıtı. ABCD keyfi bir dışbükey dörtgen olsun; K, L, M ve N sırasıyla AB, BC, CD ve AD kenarlarının orta noktaları olsun. KL, ABC üçgeninin orta çizgisi olduğundan, KL doğrusu AC doğrusuna paraleldir ve benzer şekilde MN doğrusu da AC doğrusuna paraleldir ve dolayısıyla KLMN bir paralelkenardır. KBL üçgenini düşünün. Alanı ABC üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. MDN üçgeninin alanı aynı zamanda ACD üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Buradan,
Aynı şekilde, 
Bu demektir
bunu nereden takip ediyor 
Teorem 8'in Kanıtı. ABCD, köşegenleri karşılıklı olarak dik olan keyfi bir dışbükey dörtgen olsun, E köşegenlerinin kesişme noktası olsun,
AE = A, BE = b, CE = c, DE = d. Pisagor teoremini ABE ve CDE üçgenlerine uygulayalım:
AB2 = AE2 + BE2 = A 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
buradan,
AB2 + CD2 = A 2 + b2 + c2 + d2 .
Şimdi Pisagor teoremini ADE ve BCE üçgenlerine uygulayarak şunu elde ederiz:
AD2 = AE2 + DE2 = A 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
bunu nereden takip ediyor
AD2 + BC2 = A 2 + b2 + c2 + d2 .
Bu, AB2 + CD2 = AD2 + BC2 anlamına gelir ve bunun kanıtlanması gerekir.
Sorun çözümleri
Sorun 1. Çemberin etrafında taban açıları α ve β olan bir yamuk tanımlanmaktadır. Yamuğun alanının dairenin alanına oranını bulun.
Çözüm. ABCD belirli bir yamuk, AB ve CD tabanları, DK ve CM ise C ve D noktalarından AB doğrusuna çizilen dikmeler olsun. Gerekli oran dairenin yarıçapına bağlı değildir. Bu nedenle yarıçapın 1 olduğunu varsayacağız. O halde dairenin alanı π'ye eşitse yamuğun alanını bulalım. ADK üçgeni dik açılı olduğundan
Benzer şekilde, BCM dik üçgeninden şunu buluyoruz: Belirli bir yamuğa bir daire yazılabileceğinden, karşıt kenarların toplamları eşittir:
AB + CD = AD + BC,
nereden bulacağız?
Yani yamuğun alanı
ve gerekli oran eşittir 
Cevap: 
Sorun 2. Dışbükey bir ABCD dörtgeninde A açısı 90°'ye eşittir ve C açısı 90°'yi aşmaz. B ve D köşelerinden BE ve DF dikmeleri AC köşegenine bırakılıyor. AE = CF olduğu bilinmektedir. C açısının dik olduğunu kanıtlayın.
Kanıt. A açısı 90° olduğundan,
ve C açısı 90°'yi geçmiyorsa, E ve F noktaları AC köşegeni üzerinde yer alır. Genelliği kaybetmeden, AE'nin olduğunu varsayabiliriz.< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. α + β + γ + δ = π olduğunu kanıtlamamız bizim için yeterli. Çünkü
Kanıtlanması gereken şeyi nereden alıyoruz?
Sorun 3. Bir daire etrafında çevrelenen ikizkenar yamuğun çevresi p'ye eşittir. Yamuğun tabanındaki dar açının α'ya eşit olduğu biliniyorsa bu dairenin yarıçapını bulun.
Çözüm. ABCD, AD ve BC tabanlı belirli bir ikizkenar yamuk olsun; BH, B köşesinden bırakılan bu yamuğun yüksekliği olsun.
Belirli bir yamuğun içine bir daire yazılabildiğine göre, o zaman 
Buradan,
ABH dik üçgeninden şunu buluruz:
Cevap:
Sorun 4. Tabanları AD ve BC olan bir ABCD yamuğu veriliyor. AC ve BD köşegenleri O noktasında kesişir ve AB ve CD çizgileri K noktasında kesişir. KO çizgisi BC ve AD kenarlarını sırasıyla M ve N noktalarında keser ve BAD açısı 30°'dir. ABMN ve NMCD yamuklarına bir daire yazılabildiği bilinmektedir. BKC üçgeninin ve ABCD yamuğunun alanlarının oranını bulun.
Çözüm. Bilindiği gibi, keyfi bir yamuk için, köşegenlerin kesişme noktasını ve yan tarafların uzantılarının kesişme noktasını birleştiren düz bir çizgi, tabanların her birini ikiye böler. Yani BM = MC ve AN = ND. Ayrıca, yamuk ABMN ve NMCD'ye bir daire yazılabildiğinden, o zaman
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Buradan AB = CD çıkar, yani ABCD yamuğu ikizkenardır. Gerekli alan oranı ölçeğe bağlı değildir, dolayısıyla KN = x, KM = 1 olduğunu varsayabiliriz. AKN ve BKM dik üçgenlerinden şunu elde ederiz: Yukarıda kullanılan ilişkiyi tekrar yazarsak
BM + AN = AB + MN ⇔
Oranı hesaplamamız gerekiyor:
Burada AKD ve BKC üçgenlerinin alanlarının KN ve KM kenarlarının kareleri yani x2 ile ilişkili olduğu gerçeğini kullandık.
Cevap:
Görev 5. Dışbükey bir ABCD dörtgeninde E, F, H, G noktaları sırasıyla AB, BC, CD, DA kenarlarının orta noktalarıdır ve O, EH ve FG doğru parçalarının kesişme noktasıdır. EH = olduğu biliniyor A, FG = b, Dörtgenin köşegenlerinin uzunluklarını bulun.
Çözüm. Rastgele bir dörtgenin kenarlarının orta noktalarını seri olarak bağlarsanız bir paralelkenar elde ettiğiniz bilinmektedir. Bizim durumumuzda EFHG bir paralelkenardır ve O köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Daha sonra
Kosinüs teoremini FOH üçgenine uygulayalım:
FH, BCD üçgeninin orta çizgisi olduğundan, o zaman
Benzer şekilde kosinüs teoremini EFO üçgenine uygulayarak şunu elde ederiz:
Cevap:
Görev 6. Bir yamuğun yan kenarları 3 ve 5'tir. Bir yamuğun içine bir dairenin yazılabildiği bilinmektedir. Bir yamuğun orta çizgisi onu iki parçaya böler, alanlarının oranı yamuğun tabanlarını bulun.
Çözüm. ABCD verilen bir yamuk olsun, yan kenarları AB = 3 ve CD = 5 olsun, K ve M noktaları sırasıyla AB ve CD kenarlarının orta noktaları olsun. Kesinlik için AD > BC olsun, o zaman yamuk AKMD'nin alanı yamuk KBCM'nin alanından daha büyük olacaktır. KM, ABCD yamuğunun orta çizgisi olduğundan, AKMD ve KBCM yamuklarının yükseklikleri eşittir. Bir yamuğun alanı tabanların ve yüksekliğin toplamının yarısının çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki eşitlik doğrudur:
Ayrıca, ABCD yamuğuna bir daire yazılabileceği için AD + BC = AB + CD = 8 olur. O zaman ABCD yamuğunun orta çizgisi olarak KM = 4 olur. BC = x olsun, sonra AD = 8 – x olsun. Sahibiz: 
Yani BC = 1 ve AD = 7.
Cevap: 1 ve 7.
Sorun 7. ABCD yamuğunun AB tabanı CD tabanının iki katı, AD kenarının iki katı uzunluğundadır. AC köşegeninin uzunluğu A, ve BC kenarının uzunluğu b'ye eşittir. Yamuğun alanını bulun.
Çözüm. Yamuğun yan kenarlarının uzantılarının kesişme noktası E olsun ve CD = x, bu durumda AD = x, AB = 2x olsun. CD doğru parçası AB doğru parçasına paraleldir ve uzunluğunun yarısı kadardır, bu da CD'nin ABE üçgeninin orta çizgisi olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla CE = BC = b ve DE = AD = x, dolayısıyla AE = 2x. Yani, ABE üçgeni ikizkenardır (AB = AE) ve AC onun medyanıdır. Dolayısıyla AC aynı zamanda bu üçgenin yüksekliğidir, yani
DEC üçgeni AEB üçgenine benzerlik katsayısı ile benzer olduğundan
Cevap:
Sorun 8. ABCD yamuğunun köşegenleri E noktasında kesişir. Yamuğun tabanlarının uzunlukları AB = 30, DC = 24, kenarları AD = 3 ve DAB açısı 60° ise BCE üçgeninin alanını bulun.
Çözüm. DH yamuğun yüksekliği olsun. ADH üçgeninden bunu buluyoruz 
C köşesinden bırakılan ABC üçgeninin yüksekliği yamuğun DH yüksekliğine eşit olduğundan: 
Cevap:
Sorun 9. Bir yamukta orta çizgi 4'tür ve tabanlardan birindeki açılar 40° ve 50°'dir. Tabanların orta noktalarını birleştiren doğru parçası 1'e eşitse yamuğun tabanlarını bulun.
Çözüm. ABCD belirli bir yamuk olsun, tabanları AB ve CD olsun (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. DA ve CB kenarlarını E noktasındaki kesişime kadar uzatın. ∠EAB = 50° olan ABE üçgenini düşünün. ∠EBA = 40°,
dolayısıyla ∠AEB = 90°. Bu üçgenin dik açının tepesinden çizilen ortanca EM'si hipotenüsün yarısına eşittir: EM = AM. EM = x olsun, sonra AM = x, DN = 4 – x olsun. Dolayısıyla problemin durumuna göre MN = 1,
EN = x + 1. AEM ve DEN üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz:
Bu AB = 3 ve CD = 5 anlamına gelir.
Cevap: 3 ve 5.
Sorun 10. Dışbükey ABCD dörtgeni, merkezi O noktasında olan bir daire etrafında AO = OC = 1, BO = OD = 2 ile çevrelenmiştir. ABCD dörtgeninin çevresini bulun.
Çözüm. Kenarları AB, BC, CD, DA olan çemberin sırasıyla K, L, M, N teğet noktaları olsun ve çemberin yarıçapı r olsun. Bir daireye teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa dik olduğundan AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO üçgenleri dikdörtgendir. Pisagor teoremini bu üçgenlere uygulayarak şunu elde ederiz:
Dolayısıyla AB = BC = CD = DA yani ABCD bir eşkenar dörtgendir. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine diktir ve kesişme noktaları yazılı dairenin merkezidir. Buradan eşkenar dörtgenin kenarlarının eşit olduğunu ve dolayısıyla eşkenar dörtgenin çevresinin eşit olduğunu kolayca bulabiliriz.
Cevap:
Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
S-1. ABCD eşkenar yamuğunu r yarıçaplı bir çember çevreliyor. Bu çemberin yamuğun kenarlarına teğet noktaları E ve K olsun. AB tabanı ile yamuğun AD kenarı arasındaki açı 60°'dir. EK'nin AB'ye paralel olduğunu kanıtlayın ve ABEK yamuğunun alanını bulun.
S-2. Bir yamukta köşegenler 3 ve 5'tir ve tabanların orta noktalarını birleştiren segment 2'dir. Yamuğun alanını bulun.
S-3. ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6 ise bir ABCD dörtgeni etrafında bir daire tanımlamak mümkün müdür?
S-4. ABCD yamuğunda (AB tabandır), DAB, BCD, ADC, ABD ve ADB açılarının değerleri aritmetik bir ilerleme oluşturur (yazıldıkları sıraya göre). Yamuğun yüksekliği h ise, C köşesinden BD köşegenine kadar olan mesafeyi bulun.
S-5.İçine bir dairenin yazılı olduğu ve çevresinde dairenin çevrelendiği bir ikizkenar yamuk verilmiştir. Bir yamuğun yüksekliğinin çevrelenen dairenin yarıçapına oranı yamuğun açılarını bulun.
S-6. ABCD dikdörtgeninin alanı 48 ve köşegen uzunluğu 10'dur. Dikdörtgenin bulunduğu düzlemde OB = OD = 13 olacak şekilde bir O noktası seçilir. O noktasından tepe noktasına olan mesafeyi bulun. ondan en uzak olan dikdörtgenin.
S-7. ABCD paralelkenarının çevresi 26'dır. ABC açısı 120°'dir. BCD üçgeninde yazılı dairenin yarıçapı AD > AB olduğu biliniyorsa paralelkenarın kenar uzunluklarını bulunuz.
S-8. ABCD dörtgeni, merkezi O noktasında olan bir dairenin içine yazılmıştır. OA yarıçapı OB yarıçapına diktir ve OC yarıçapı OD yarıçapına diktir. C noktasından AD doğrusuna bırakılan dikmenin uzunluğu 9'a eşittir. BC doğru parçasının uzunluğu AD doğru parçasının uzunluğunun yarısı kadardır. AOB üçgeninin alanını bulun.
S-9. Dışbükey bir ABCD dörtgeninde, A ve C köşeleri karşılıklıdır ve AB kenarının uzunluğu 3'tür. ABC açısı, BCD açısına eşittir, dörtgenin alanının olduğunu biliyorsanız, AD kenarının uzunluğunu bulun. eşittir 
S-10. Dışbükey bir ABCD dörtgeninde AC ve BD köşegenleri çizilmiştir. biliniyor ki
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90° olup, ABD üçgeninin açıortay kesişme noktası ile ACD üçgeninin açıortay kesişme noktası arasındaki mesafe BC kenarının uzunluğunu bulunuz.
S-11. AB, AD ve BC kenarları eşit olan dışbükey ABCD dörtgeninin köşegenlerinin kesişme noktası M olsun. DM = MC olduğu biliniyorsa CMD açısını bulun.
ve ∠CAB ≠ ∠DBA.
S-12. ABCD dörtgeninde ∠A = 74°, ∠D = 120° olduğunu biliyoruz. B ve C açılarının ortaortayları arasındaki açıyı bulun.
S-13. Bir ABCD dörtgenine bir daire yazılabilir. Köşegenlerinin kesişme noktası K olsun. AB > BC > KC olduğu ve BKC üçgeninin çevresinin ve alanının sırasıyla 14 ve 7 olduğu biliniyor. DC'yi bulun.
S-14. Bir daire etrafında çevrelenen bir yamukta BC AD, AB = CD, ∠BAD = olduğu bilinmektedir.
= 45°. ABCD yamuğunun alanı 10 ise AB'yi bulun.
S-15. AB ve CD tabanlı ABCD yamuğunda şunu biliyoruz: 
∠CAB = 2∠DBA. Yamuğun alanını bulun.
S-16. ABCD paralelkenarında AC = olduğu bilinmektedir. A, ∠CAB = 60°. Paralelkenarın alanını bulun.
S-17. ABCD dörtgeninde AC ve BD köşegenleri K noktasında kesişir. L ve M noktaları sırasıyla BC ve AD kenarlarının orta noktalarıdır. LM doğru parçası K noktasını içerir. ABCD dörtgeni içine bir daire yazılabilecek şekildedir. AB = 3 ve LK: KM = 1: 3 ise bu dairenin yarıçapını bulun.
S-18. Dışbükey bir ABCD dörtgeninde AC ve BD köşegenleri çizilmiştir. Bu durumda ∠BAC =
= ∠BDC ve BDC üçgeninin çevrelediği dairenin alanı şuna eşittir:
a) ABC üçgeninin çevrelediği dairenin yarıçapını bulun.
b) BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90° olduğunu bilerek ABCD dörtgeninin alanını bulun.
Not. Bu, geometri problemleri içeren bir dersin parçasıdır (paralelkenar bölümü). Burada olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Problem çözümlerinde karekök çıkarma eylemini belirtmek için √ veya sqrt() sembolü kullanılır ve radikal ifade parantez içinde gösterilir.
Teorik materyal
Paralelkenarın alanını bulma formüllerinin açıklamaları:
- Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğu ile o kenarın yüksekliğinin çarpımına eşittir
- Paralelkenarın alanı, bitişik iki kenarın çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.
- Paralelkenarın alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.
Paralelkenarın alanını bulma problemleri
Görev.Paralelkenarda kısa yükseklik ve kısa kenar sırasıyla 9 cm ve kökü 82'dir.Büyük köşegen 15 cm'dir.Paralelkenarın alanını bulun.
Çözüm.
ABCD paralelkenarının B noktasından daha büyük AD tabanına indirilen daha küçük yüksekliğini BK olarak gösterelim.
Daha küçük bir yükseklik, daha küçük bir kenar ve daha büyük bir taban parçasından oluşan bir ABK dik üçgeninin bacağının değerini bulalım. Pisagor teoremine göre:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
BC paralelkenarının üst tabanını uzatalım ve AN yüksekliğini alt tabanından ona indirelim. AN = BK, ANBK dikdörtgeninin kenarlarıdır. Ortaya çıkan ANC dik üçgeninin NC kenarını bulalım.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12
Şimdi ABCD paralelkenarının daha büyük BC tabanını bulalım.
BC = NC - NB
Dikdörtgenin kenarları olarak NB = AK olduğunu dikkate alalım, o zaman
BC = 12 - 1 = 11
Paralelkenarın alanı tabanın çarpımına ve bu tabanın yüksekliğine eşittir.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Cevap: 99 cm2 .
Görev
ABCD paralelkenarında BO dikmesi AC köşegeninin üzerine bırakılıyor. AO=8, OC=6 ve BO=4 ise paralelkenarın alanını bulun.
Çözüm.
AC köşegenine bir dik DK daha bırakalım.
Buna göre AOB ve DKC, COB ve AKD üçgenleri ikili olarak eşittir. Kenarlardan biri paralelkenarın karşı tarafıdır, açılardan biri köşegene dik olduğu için düz bir çizgidir ve geri kalan açılardan biri paralelkenarın ve kesenin paralel kenarları için uzanan bir iç haçtır. diyagonal.
Böylece paralelkenarın alanı belirtilen üçgenlerin alanına eşittir. Yani
Paralel = 2S AOB +2S BOC
Dik üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısına eşittir. Nerede
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm2
Cevap: 56 cm2 .
Bu konuyla ilgili problemleri çözerken, Temel özellikler paralelkenar ve karşılık gelen formüller için aşağıdakileri hatırlayabilir ve uygulayabilirsiniz:
- Paralelkenarın bir iç açısının açıortayı, bu açıdan bir ikizkenar üçgeni keser
- Paralelkenarın kenarlarından birine bitişik iç açıların açıortayları karşılıklı olarak diktir
- Paralelkenarın karşılıklı iç köşelerinden gelen açıortaylar birbirine paraleldir veya aynı doğru üzerinde yer alır.
- Paralelkenarın köşegenlerinin karelerinin toplamı, kenarlarının karelerinin toplamına eşittir
- Paralelkenarın alanı köşegenlerin çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir
Bu özelliklerin kullanıldığı problemleri ele alalım.
Görev 1.
ABCD paralelkenarının C açısının açıortayı, AD kenarını M noktasında ve AB kenarının A noktasının ötesindeki devamını E noktasında keser. AE = 4, DM = 3 ise paralelkenarın çevresini bulun.
Çözüm.
1. Üçgen CMD ikizkenardır. (Özellik 1). Bu nedenle CD = MD = 3 cm'dir.
2. EAM Üçgeni ikizkenardır.
Bu nedenle AE = AM = 4 cm'dir.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Çevre ABCD = 20 cm.
Cevap. 20 santimetre.
Görev 2.
Köşegenler dışbükey bir ABCD dörtgeninde çizilmiştir. ABD, ACD, BCD üçgenlerinin alanlarının eşit olduğu bilinmektedir. Bu dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayın.
Çözüm.
1. BE ABD üçgeninin yüksekliği, CF ACD üçgeninin yüksekliği olsun. Problemin koşullarına göre üçgenlerin alanları eşit olduğundan ve ortak AD tabanına sahip olduklarından bu üçgenlerin yükseklikleri eşittir. BE = CF.
2. BE, CF AD'ye diktir. B ve C noktaları AD düz çizgisine göre aynı tarafta bulunur. BE = CF. Bu nedenle BC düz çizgisi || MS. (*)
3. AL, ACD üçgeninin yüksekliği, BK ise BCD üçgeninin yüksekliği olsun. Problemin koşullarına göre üçgenlerin alanları eşit olduğundan ve ortak CD tabanına sahip olduklarından bu üçgenlerin yükseklikleri de eşittir. AL = BK.
4. AL ve BK CD'ye diktir. B ve A noktaları CD düz çizgisine göre aynı tarafta bulunur. AL = BK. Bu nedenle AB düz çizgisi || CD (**)
5. (*), (**) koşullarından ABCD'nin bir paralelkenar olduğu sonucu çıkar.
Cevap. Kanıtlanmış. ABCD bir paralelkenardır.
Görev 3.
ABCD paralelkenarının BC ve CD kenarlarında sırasıyla M ve H noktaları işaretlenir, böylece BM ve HD parçaları O noktasında kesişir;<ВМD = 95 о,
Çözüm.
1. DOM üçgeninde<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Bir dik üçgende DHC Daha sonra<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ama CD = AB. O halde AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Cevap: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = Görev 4. Uzunluğu 4√6 olan bir paralelkenarın köşegenlerinden biri tabanla 60°, ikinci köşegen ise aynı tabanla 45° açı yapar. İkinci köşegeni bulun. Çözüm.
1.AO = 2√6. 2. Sinüs teoremini AOD üçgenine uyguluyoruz. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Cevap: 12.
Görev 5. Kenarları 5√2 ve 7√2 olan bir paralelkenar için köşegenler arasındaki küçük açı, paralelkenarın küçük açısına eşittir. Köşegenlerin uzunluklarının toplamını bulun. Çözüm.
Paralelkenarın köşegenleri d 1, d 2 olsun ve köşegenler ile paralelkenarın küçük açısı arasındaki açı φ'ye eşit olsun. 1. İki farklı sayalım S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f veya eşitliğini elde ederiz. 2 · 5√2 · 7√2 = d1d2; 2. Paralelkenarın kenarları ve köşegenleri arasındaki ilişkiyi kullanarak eşitliği yazıyoruz (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Bir sistem oluşturalım: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Sistemin ikinci denklemini 2 ile çarpıp birinciye ekleyelim. (d 1 + d 2) 2 = 576 elde ederiz. Dolayısıyla Id 1 + d 2 I = 24. d 1, d 2 paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları olduğundan d 1 + d 2 = 24 olur. Cevap: 24.
Görev 6. Paralelkenarın kenarları 4 ve 6'dır. Köşegenler arasındaki dar açı 45 derecedir. Paralelkenarın alanını bulun. Çözüm.
1. AOB üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak paralelkenarın kenarı ile köşegenler arasındaki ilişkiyi yazıyoruz. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · çünkü AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Benzer şekilde AOD üçgeni için de bağıntıyı yazıyoruz. Bunu dikkate alalım<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 denklemini elde ederiz. 3. Bir sistemimiz var Birinciyi ikinci denklemden çıkararak 2d 1 · d 2 √2 = 80 elde ederiz veya d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Not: Bu ve önceki problemde, alanı hesaplamak için köşegenlerin çarpımına ihtiyacımız olduğunu öngörerek sistemi tamamen çözmeye gerek yoktur. Cevap: 10. Görev 7. Paralelkenarın alanı 96, kenarları 8 ve 15'tir. Küçük köşegenin karesini bulun. Çözüm.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Formülde bir değişiklik yapalım. 96 = 8 · 15 · sin ВAD elde ederiz. Dolayısıyla günah ВAD = 4/5. 2. Çünkü VAD'ı bulalım. günah 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. Problemin koşullarına göre küçük köşegenin uzunluğunu buluyoruz. ВАD açısı dar ise ВD köşegeni daha küçük olacaktır. O zaman VAD = 3/5 olduğundan. 3. ABD üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak BD köşegeninin karesini buluyoruz. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · çünkü ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Cevap: 145.
Hala sorularınız mı var? Bir geometri problemini nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz? blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir. Paralelkenarın alanı için formül Paralelkenarın alanı, kenarının ve o kenarın yüksekliğinin çarpımına eşittir. Paralelkenar bir dikdörtgen ise, eşitlik dikdörtgenin alanı teoremi tarafından karşılanır. Daha sonra paralelkenarın açılarının doğru olmadığını varsayacağız. $\angle BAD$, $ABCD$ ve $AD > AB$ paralelkenarında bir dar açı olsun. Aksi halde köşeleri yeniden adlandıracağız. O halde $B$ köşesinden $AD$ doğrusuna kadar olan $BH$ yüksekliği $AD$ tarafına düşer, çünkü $AH$ kenarı $AB$ hipotenüsünden ve $AB'den daha kısadır.< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. $ABCD$ paralelkenarının alanı ile $HBCK$ dikdörtgeninin alanını karşılaştıralım. Paralelkenarın alanı $\triangle ABH$ alanından daha büyük, ancak $\triangle DCK$ alanından daha küçüktür. Bu üçgenler eşit olduğundan alanları da eşittir. Bu, bir paralelkenarın alanının, kenar uzunlukları ve paralelkenarın yüksekliği olan bir dikdörtgenin alanına eşit olduğu anlamına gelir. Kenarları ve sinüsü kullanarak paralelkenarın alanı için formül Paralelkenarın alanı, bitişik kenarların çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. $AB$ kenarına bırakılan $ABCD$ paralelkenarının yüksekliği, $BC$ doğru parçası ile $\angle ABC$ açısının sinüsünün çarpımına eşittir. Geriye önceki ifadeyi uygulamak kalıyor. Köşegenleri kullanarak paralelkenarın alanı için formül Paralelkenarın alanı köşegenlerin çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. $ABCD$ paralelkenarının köşegenlerinin $O$ noktasında $\alpha$ açısıyla kesişmesine izin verin. Daha sonra paralelkenar özelliğine göre $AO=OC$ ve $BO=OD$. Toplamı $180^\circ$ olan açıların sinüsleri eşittir, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Bu, köşegenlerin kesişimindeki açıların sinüslerinin $\sin \alpha$'a eşit olduğu anlamına gelir. $S_(ABCD)=S_(\üçgen AOB) + S_(\üçgen BOC) + S_(\üçgen COD) + S_(\üçgen AOD)$ alan ölçümü aksiyomuna göre. Bu üçgenler ve açılar için köşegenler kesiştiğinde $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ üçgen alanı formülünü uyguluyoruz. Her birinin kenarları köşegenlerin yarısına eşittir ve sinüsler de eşittir. Bu nedenle, dört üçgenin hepsinin alanları şuna eşittir: $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Yukarıdakilerin hepsini özetlersek, şunu elde ederiz: $S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$ Bu konuyla ilgili problemleri çözerken, Temel özellikler paralelkenar ve karşılık gelen formüller için aşağıdakileri hatırlayabilir ve uygulayabilirsiniz: Bu özelliklerin kullanıldığı problemleri ele alalım. Görev 1. ABCD paralelkenarının C açısının açıortayı, AD kenarını M noktasında ve AB kenarının A noktasının ötesindeki devamını E noktasında keser. AE = 4, DM = 3 ise paralelkenarın çevresini bulun. Çözüm.
1. Üçgen CMD ikizkenardır. (Özellik 1). Bu nedenle CD = MD = 3 cm'dir. 2. EAM Üçgeni ikizkenardır. 3. AD = AM + MD = 7 cm. 4. Çevre ABCD = 20 cm. Cevap. 20 santimetre.
Görev 2. Köşegenler dışbükey bir ABCD dörtgeninde çizilmiştir. ABD, ACD, BCD üçgenlerinin alanlarının eşit olduğu bilinmektedir. Bu dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayın. Çözüm.
1. BE ABD üçgeninin yüksekliği, CF ACD üçgeninin yüksekliği olsun. Problemin koşullarına göre üçgenlerin alanları eşit olduğundan ve ortak AD tabanına sahip olduklarından bu üçgenlerin yükseklikleri eşittir. BE = CF. 2. BE, CF AD'ye diktir. B ve C noktaları AD düz çizgisine göre aynı tarafta bulunur. BE = CF. Bu nedenle BC düz çizgisi || MS. (*) 3. AL, ACD üçgeninin yüksekliği, BK ise BCD üçgeninin yüksekliği olsun. Problemin koşullarına göre üçgenlerin alanları eşit olduğundan ve ortak CD tabanına sahip olduklarından bu üçgenlerin yükseklikleri de eşittir. AL = BK. 4. AL ve BK CD'ye diktir. B ve A noktaları CD düz çizgisine göre aynı tarafta bulunur. AL = BK. Bu nedenle AB düz çizgisi || CD (**) 5. (*), (**) koşullarından ABCD'nin bir paralelkenar olduğu sonucu çıkar. Cevap. Kanıtlanmış. ABCD bir paralelkenardır.
Görev 3. ABCD paralelkenarının BC ve CD kenarlarında sırasıyla M ve H noktaları işaretlenir, böylece BM ve HD parçaları O noktasında kesişir;<ВМD = 95 о, 1. DOM üçgeninde<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о. 2. Bir dik üçgende DHC Daha sonra<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ama CD = AB. O halde AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Cevap: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = Görev 4. Uzunluğu 4√6 olan bir paralelkenarın köşegenlerinden biri tabanla 60°, ikinci köşegen ise aynı tabanla 45° açı yapar. İkinci köşegeni bulun. Çözüm.
1.AO = 2√6. 2. Sinüs teoremini AOD üçgenine uyguluyoruz. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Cevap: 12.
Görev 5. Kenarları 5√2 ve 7√2 olan bir paralelkenar için köşegenler arasındaki küçük açı, paralelkenarın küçük açısına eşittir. Köşegenlerin uzunluklarının toplamını bulun. Çözüm.
Paralelkenarın köşegenleri d 1, d 2 olsun ve köşegenler ile paralelkenarın küçük açısı arasındaki açı φ'ye eşit olsun. 1. İki farklı sayalım S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f veya eşitliğini elde ederiz. 2 · 5√2 · 7√2 = d1d2; 2. Paralelkenarın kenarları ve köşegenleri arasındaki ilişkiyi kullanarak eşitliği yazıyoruz (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Bir sistem oluşturalım: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Sistemin ikinci denklemini 2 ile çarpıp birinciye ekleyelim. (d 1 + d 2) 2 = 576 elde ederiz. Dolayısıyla Id 1 + d 2 I = 24. d 1, d 2 paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları olduğundan d 1 + d 2 = 24 olur. Cevap: 24.
Görev 6. Paralelkenarın kenarları 4 ve 6'dır. Köşegenler arasındaki dar açı 45 derecedir. Paralelkenarın alanını bulun. Çözüm.
1. AOB üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak paralelkenarın kenarı ile köşegenler arasındaki ilişkiyi yazıyoruz. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · çünkü AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Benzer şekilde AOD üçgeni için de bağıntıyı yazıyoruz. Bunu dikkate alalım<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 denklemini elde ederiz. 3. Bir sistemimiz var Birinciyi ikinci denklemden çıkararak 2d 1 · d 2 √2 = 80 elde ederiz veya d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Not: Bu ve önceki problemde, alanı hesaplamak için köşegenlerin çarpımına ihtiyacımız olduğunu öngörerek sistemi tamamen çözmeye gerek yoktur. Cevap: 10. Görev 7. Paralelkenarın alanı 96, kenarları 8 ve 15'tir. Küçük köşegenin karesini bulun. Çözüm.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Formülde bir değişiklik yapalım. 96 = 8 · 15 · sin ВAD elde ederiz. Dolayısıyla günah ВAD = 4/5. 2. Çünkü VAD'ı bulalım. günah 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. Problemin koşullarına göre küçük köşegenin uzunluğunu buluyoruz. ВАD açısı dar ise ВD köşegeni daha küçük olacaktır. O zaman VAD = 3/5 olduğundan. 3. ABD üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak BD köşegeninin karesini buluyoruz. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · çünkü ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Cevap: 145.
Hala sorularınız mı var? Bir geometri problemini nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz? web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
(
(Çünkü bir dik üçgende 30°'lik açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir).
alanıdır.
(d1 + d2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!
Kanıt
Kanıt
Kanıt
Bu nedenle AE = AM = 4 cm'dir.Çözüm.
(
(Çünkü bir dik üçgende 30°'lik açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir).alanıdır.
(d1 + d2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
