Як порахувати скалярний твір модулів векторів. Скалярний добуток векторів. Довжина вектора. Скалярний твір в координатах

лекція: Координати вектора; скалярний добуток векторів; кут між векторами

координати вектора

Отже, як уже говорилося раніше, вектора - це спрямований відрізок, у якого є власна початок і кінець. Якщо початок і кінець представлені деякими точками, значить на площині або в просторі у них є свої координати.

Якщо ж у кожної точки є свої координати, то ми можемо отримати і координати цілого вектора.

Припустимо, ми маємо деякий вектор, у якого початок і кінець вектора мають такі позначення і координати: A (A x; Ay) і B (B x; By)

Щоб отримати координати даного вектора, необхідно з координат кінця вектора відняти відповідні координати початку:

Для визначення координати вектора в просторі слід скористатися наступною формулою:

Скалярний добуток векторів

Існує два способи визначення поняття скалярного твори:

• Геометричний спосіб. Згідно з ним, скалярний добуток дорівнює добутку величин даних модулів на косинус кута між ними.

• Алгебраїчний сенс. З точки зору алгебри, скалярний добуток двох вектором - це якась величина, яка виходить в результаті суми добутків відповідних векторів.

Якщо вектори задані в просторі, то слід скористатися аналогічною формулою:

властивості:

• Якщо помножити два однакових вектора скалярно, то їх скалярний добуток буде не негативним:

• Якщо ж скалярний добуток двох однакових векторів вийшло рівним нулю, то ці вектори вважаються нульовими:

• Якщо деякий вектор помножити на себе ж, то скалярний добуток вийде рівним квадрату його модуля:

• Скалярний твір має комунікативне властивість, тобто від перестановки векторів скалярний твір не зміниться:

• Скалярний твір ненульових векторів може дорівнювати нулю тільки в тому випадку, якщо вектора перпендикулярні один одному:

• Для скалярного твори векторів справедливий переместітельний закон у випадку з множенням одного з векторів на число:

• При скалярному творі так само можна використовувати дистрибутивное властивість множення:

Кут між векторами

У випадку плоскої задачі скалярний добуток векторів a \u003d (a x; a y) і b \u003d (b x; b y) можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b \u003d a x · b x + a y · b y

Формула скалярного твори векторів для просторових задач

У разі просторової задачі скалярний добуток векторів a \u003d (a x; a y; a z) і b \u003d (b x; b y; b z) можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b \u003d a x · b x + a y · b y + a z · b z

Формула скалярного твори n -мірних векторів

У разі n-мірного простору скалярний добуток векторів a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) і b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b \u003d a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + ... + a n · b n

Властивості скалярного добутку векторів

1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нуля:

2. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

4. Операція скалярного множення комунікативна:

5. Якщо скалярний добуток двох не нульовий векторів дорівнює нулю, то ці вектора ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b \u003d 0<=> a ┴ b

6. (αa) · b \u003d α (a · b)

7. Операція скалярного множення дистрибутивну:

(A + b) · c \u003d a · c + b · c

Приклади завдань на обчислення скалярного твори векторів

Приклади обчислення скалярного твори векторів для плоских задач

Знайти скалярний добуток векторів a \u003d (1; 2) і b \u003d (4; 8).

Рішення: a · b \u003d 1 · 4 + 2 · 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

Знайти скалярний добуток векторів a і b, якщо їх довжини | a | \u003d 3, | b | \u003d 6, а кут між векторами дорівнює 60˚.

Рішення: a · b \u003d | a | · | B | cos α \u003d 3 · 6 · cos 60˚ \u003d 9.

Знайти скалярний добуток векторів p \u003d a + 3b і q \u003d 5a - 3 b, якщо їх довжини | a | \u003d 3, | b | \u003d 2, а кут між векторами a і b дорівнює 60˚.

Рішення:

p · q \u003d (a + 3b) · (5a - 3b) \u003d 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b \u003d

5 | a | 2 + 12 a · b - 9 | b | 2 \u003d 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Приклад обчислення скалярного твори векторів для просторових задач

Знайти скалярний добуток векторів a \u003d (1; 2; -5) і b \u003d (4; 8; 1).

Рішення: a · b \u003d 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

Приклад обчислення скалярного твори для n -мірних векторів

Знайти скалярний добуток векторів a \u003d (1; 2; -5; 2) і b \u003d (4; 8; 1; -2).

Рішення: a · b \u003d 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

13. Векторним твором векторів і вектора називається третій вектор , Який визначається наступним чином:

2) перпендикулярно, перпендикулярно. (1 "")

3) вектори орієнтовані також, як і базис всього простору (позитивно або негативно).

Позначають:.

Фізичний сенс векторного твору

- момент сили відносно точки О; - радіус - вектор точки прикладання сили, тоді

причому, якщо перенести в точку О, то трійка, повинна бути орієнтована як вектора базису.

визначення 1

Скалярний добуток векторів називають число, що дорівнює добутку дин цих векторів на косинус кута між ними.

Позначення твори векторів a → і b → має вигляд a →, b →. Перетворимо в формулу:

a →, b → \u003d a → · b → · cos a →, b → ^. a → і b → позначають довжини векторів, a →, b → ^ - позначення кута між заданими векторами. Якщо хоч один вектор нульової, тобто має значення 0, то і результат буде дорівнює нулю, a →, b → \u003d 0

При множенні вектора самого на себе, отримаємо квадрат його дини:

a →, b → \u003d a → · b → · cos a →, a → ^ \u003d a → 2 · cos 0 \u003d a → 2

визначення 2

Скалярне множення вектора самого на себе називають скалярним квадратом.

Обчислюється за формулою:

a →, b → \u003d a → · b → · cos a →, b → ^.

Запис a →, b → \u003d a → · b → · cos a →, b → ^ \u003d a → · npa → b → \u003d b → · npb → a → показує, що npb → a → - це числова проекція a → на b →, npa → a → - проекція b → на a → соостветсвенно.

Сформулюємо визначення твори для двох векторів:

Скалярний добуток двох векторів a → на b → називають твір довжини вектора a → на проекцію b → на напрям a → або твір довжини b → на проекцію a → відповідно.

Скалярний твір в координатах

Обчислення скалярного твори можна робити через координати векторів в заданій площині або в просторі.

Скаларное твір двох векторів на площині, в тривимірному простарнстве називають суму координат заданих векторів a → і b →.

При обчисленні на площині скаларного твори заданих векторів a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) в декартовій системі використовують:

a →, b → \u003d a x · b x + a y · b y,

для тривимірного простору може бути застосовано вираз:

a →, b → \u003d a x · b x + a y · b y + a z · b z.

Фактично це є третім визначенням скалярного твори.

Доведемо це.

доказ 1

Для доказу використовуємо a →, b → \u003d a → · b → · cos a →, b → ^ \u003d ax · bx + ay · by для векторів a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) на декартовій системі.

Слід відкласти вектори

O A → \u003d a → \u003d a x, a y і O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

Тоді довжина вектора A B → дорівнюватиме A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y).

Розглянемо трикутник O A B.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) вірно, виходячи з теореми косинусів.

За умовою видно, що O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, значить, формулу знаходження кута між векторами запишемо інакше

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a →, b → ^).

Тоді з першого визначення випливає, що b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 · (a →, b →), значить (a →, b →) \u003d 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Застосувавши формулу обчислення довжини векторів, отримаємо:
a →, b → \u003d 1 2 · ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 · (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax · bx + ay · by

Доведемо рівності:

(A →, b →) \u003d a → · b → · cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x · b x + a y · b y + a z · b z

- відповідно для векторів тривимірного простору.

Скалярний добуток векторів з координатами говорить про те, що скалярний квадрат вектора дорівнює сумі квадратів його координат в просторі і на площині відповідно. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) і (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Скалярний твір і його властивості

Існують властивості скалярного твори, які застосовні для a →, b → і c →:

1. коммутативность (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. дистрибутивность (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. сочетательное властивість (λ · a →, b →) \u003d λ · (a →, b →), (a →, λ · b →) \u003d λ · (a →, b →), λ - будь-яке число;
4. скалярний квадрат завжди більше нуля (a →, a →) ≥ 0, де (a →, a →) \u003d 0 в тому випадку, коли a → нульовий.

приклад 1

Властивості можна пояснити завдяки визначенню скалярного твори на площині і властивостями при додаванні і множенні дійсних чисел.

Довести властивість коммутативности (a →, b →) \u003d (b →, a →). З визначення маємо, що (a →, b →) \u003d a y · b y + a y · b y і (b →, a →) \u003d b x · a x + b y · a y.

По властивості коммутативности рівності a x · b x \u003d b x · a x і a y · b y \u003d b y · a y вірні, значить a x · b x + a y · b y \u003d b x · a x + b y · a y.

Звідси випливає, що (a →, b →) \u003d (b →, a →). Що і потрібно було довести.

Дистрибутивність справедлива для будь-яких чисел:

(A (1) → + a (2) → +... + A (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. . . + (A (n) →, b →)

і (a →, b (1) → + b (2) → +... + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . . . + (A →, b → (n)),

звідси маємо

(A (1) → + a (2) → +... + A (n) →, b (1) → + b (2) → +... + B (m) →) \u003d \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. . . + (A (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. . . + (A (2) →, b (m) →) +. . . + + (A (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. . . + (A (n) →, b (m) →)

Скалярний твір з прикладами і рішеннями

Будь-яке завдання такого плану вирішується із застосуванням властивостей і формул, що стосуються скалярного твори:

1. (A →, b →) \u003d a → · b → · cos (a →, b → ^);
2. (A →, b →) \u003d a → · n p a → b → \u003d b → · n p b → a →;
3. (A →, b →) \u003d a x · b x + a y · b y або (a →, b →) \u003d a x · b x + a y · b y + a z · b z;
4. (A →, a →) \u003d a → 2.

Розглянемо деякі приклади вирішення.

приклад 2

Довжина a → дорівнює 3, довжина b → дорівнює 7. Знайти скалярний добуток, якщо кут має 60 градусів.

Рішення

За умовою маємо всі дані, тому обчислюємо за формулою:

(A →, b →) \u003d a → · b → · cos (a →, b → ^) \u003d 3 · 7 · cos 60 ° \u003d 3 · 7 · 1 2 \u003d 21 2

Відповідь: (a →, b →) \u003d 21 2.

приклад 3

Задані вектори a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). Чому дорівнює скалярною твір.

Рішення

В даному прикладі розглядається формула обчислення за координатами, так як вони задані в умові завдання:

(A →, b →) \u003d ax · bx + ay · by + az · bz \u003d \u003d 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 \u200b\u200b+ 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Відповідь: (a →, b →) \u003d - 9

приклад 4

Знайти скалярний добуток A B → і A C →. На координатної площині задані точки A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Рішення

Для початку обчислюються координати векторів, так як за умовою дано координати точок:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Підставивши в формулу з використанням координат, отримаємо:

(A B →, A C →) \u003d 4 · 0 + 7 · 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Відповідь: (A B →, A C →) \u003d 28.

приклад 5

Задані вектори a → \u003d 7 · m → + 3 · n → і b → \u003d 5 · m → + 8 · n →, знайти їх добуток. m → дорівнює 3 і n → дорівнює 2 одиницям, вони перпендикулярні.

Рішення

(A →, b →) \u003d (7 · m → + 3 · n →, 5 · m → + 8 · n →). Застосувавши властивість дистрибутивности, отримаємо:

(7 · m → + 3 · n →, 5 · m → + 8 · n →) \u003d \u003d (7 · m →, 5 · m →) + (7 · m →, 8 · n →) + (3 · n →, 5 · m →) + (3 · n →, 8 · n →)

Виносимо коефіцієнт за знак твори і отримаємо:

(7 · m →, 5 · m →) + (7 · m →, 8 · n →) + (3 · n →, 5 · m →) + (3 · n →, 8 · n →) \u003d \u003d 7 · 5 · (m →, m →) + 7 · 8 · (m →, n →) + 3 · 5 · (n →, m →) + 3 · 8 · (n →, n →) \u003d \u003d 35 · (m →, m →) + 56 · (m →, n →) + 15 · (n →, m →) + 24 · (n →, n →)

По властивості коммутативности перетворимо:

35 · (m →, m →) + 56 · (m →, n →) + 15 · (n →, m →) + 24 · (n →, n →) \u003d \u003d 35 · (m →, m →) + 56 · (m →, n →) + 15 · (m →, n →) + 24 · (n →, n →) \u003d \u003d 35 · (m →, m →) + 71 · (m →, n → ) + 24 · (n →, n →)

В результаті отримаємо:

(A →, b →) \u003d 35 · (m →, m →) + 71 · (m →, n →) + 24 · (n →, n →).

Тепер застосуємо формулу для скалярного твори з заданим за умовою кутом:

(A →, b →) \u003d 35 · (m →, m →) + 71 · (m →, n →) + 24 · (n →, n →) \u003d \u003d 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m →, n → ^) + 24 · n → 2 \u003d \u003d 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 \u003d 411.

Відповідь: (a →, b →) \u003d 411

Якщо є числова проекція.

приклад 6

Знайти скалярний добуток a → і b →. Вектор a → має координати a → \u003d (9, 3, - 3), проекція b → з координатами (- 3, - 1, 1).

Рішення

За умовою вектори a → і проекція b → протилежно спрямовані, тому що a → \u003d посилання - 1 3 · n p a → b → →, значить проекція b → відповідає довжині n p a → b → →, при чому зі знаком «-»:

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Підставивши в формулу, отримаємо вираз:

(A →, b →) \u003d a → · n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) \u003d - 33.

Відповідь: (a →, b →) \u003d - 33.

Завдання при відомому скалярном творі, де необхідно відшукати довжину вектора або числову проекцію.

приклад 7

Яке значення має прийняти λ при заданому скалярном творі a → \u003d (1, 0, λ + 1) і b → \u003d (λ, 1, λ) буде рівним -1.

Рішення

З формули видно, що необхідно знайти суму творів координат:

(A →, b →) \u003d 1 · λ + 0 · 1 + (λ + 1) · λ \u003d λ 2 + 2 · λ.

У дано маємо (a →, b →) \u003d - 1.

Щоб знайти λ, обчислюємо рівняння:

λ 2 + 2 · λ \u003d - 1, звідси λ \u003d - 1.

Відповідь: λ \u003d - 1.

Фізичний сенс скалярного твори

Механіка розглядає додаток скалярного твори.

При роботі А з постійною силою F → переміщується тіло з точки M в N можна знайти твір довжин векторів F → і M N → з косинусом кута між ними, значить робота дорівнює добутку векторів сили і переміщення:

A \u003d (F →, M N →).

приклад 8

Переміщення матеріальної точки на 3 метри під дією сили рівної 5 Ньтона направлено під кутом 45 градусів щодо осі. Знайти A.

Рішення

Так як робота - це твір вектора сили на переміщення, значить, виходячи з умови F → \u200b\u200b\u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 °, отримаємо A \u003d (F →, S →) \u003d F → · S → · cos (F →, S → ^) \u003d 5 · 3 · cos (45 °) \u003d 15 2 + 2.

Відповідь: A \u003d 15 2 + 2.

приклад 9

Матеріальна точка, переміщаючись з M (2, - 1, - 3) в N (5, 3 λ - 2, 4) під силою F → \u003d (3, 1, 2), зробила робота рівну 13 Дж. Обчислити довжину переміщення.

Рішення

При заданих координатах вектора M N → маємо M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7).

За формулою знаходження роботи з векторами F → \u200b\u200b\u003d (3, 1, 2) і MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) отримаємо A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 · 3 + 1 · (3 λ - 1) + 2 · 7 \u003d 22 + 3 λ.

За умовою дано, що A \u003d 13 Д ж, значить 22 + 3 λ \u003d 13. Звідси випливає λ \u003d - 3, значить і M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

Щоб знайти довжину переміщення M N →, застосуємо формулу і підставимо значення:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 +7 2 \u003d 158.

Відповідь: 158.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Кут між векторами

Розглянемо два даних вектора $ \\ overrightarrow (a) $ і $ \\ overrightarrow (b) $. Відкладемо від довільно обраної точки $ O $ вектори $ \\ overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (OA) $ і $ \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (OB) $, тоді кут $ AOB $ називається кутом між векторами $ \\ overrightarrow ( a) $ і $ \\ overrightarrow (b) $ (рис. 1).

Малюнок 1.

Відзначимо тут, що якщо вектори $ \\ overrightarrow (a) $ і $ \\ overrightarrow (b) $ сонаправлени або один з них є нульовим вектором, тоді кут між векторами дорівнює $ 0 ^ 0 $.

Позначення: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) $

Поняття скалярного твори векторів

Математично це визначення можна записати в такий спосіб:

Скалярний твір може дорівнювати нулю в двох випадках:

Якщо один з векторів буде нульовим вектором (Так як тоді його довжина дорівнює нулю).

Якщо вектори будуть взаємно перпендикулярні (тобто $ cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

Відзначимо також, що скалярний твір більше нуля, якщо кут між цими векторами гострий (так як $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)\u003e 0 $), і менше нуля, якщо кут між цими векторами тупий (так як $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)

З поняттям скалярного твори пов'язано поняття скалярного квадрата.

визначення 2

Скалярним квадратом вектора $ \\ overrightarrow (a) $ називається скалярний твір цього вектора самого на себе.

Отримуємо, що скалярний квадрат дорівнює

\\ [\\ Overrightarrow (a) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a ) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d (\\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right |) ^ 2 \\]

Обчислення скалярного твори за координатами векторів

Крім стандартного способу знаходження значення скалярного твори, який випливає з визначення, існує ще один спосіб.

Розглянемо його.

Нехай вектори $ \\ overrightarrow (a) $ і $ \\ overrightarrow (b) $ мають координати $ \\ left (a_1, b_1 \\ right) $ і $ \\ left (a_2, b_2 \\ right) $, відповідно.

теорема 1

Скалярний добуток векторів $ \\ overrightarrow (a) $ і $ \\ overrightarrow (b) $ дорівнює сумі добутків відповідних координат.

Математично це можна записати в такий спосіб

\\ [\\ Overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

Доведення.

Теорема доведена.

Ця теорема має кілька наслідків:

Слідство 1: Вектори $ \\ overrightarrow (a) $ і $ \\ overrightarrow (b) $ перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $

Слідство 2: Косинус кута між векторами дорівнює $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

Властивості скалярного добутку векторів

Для будь-яких трьох векторів і дійсного числа $ k $ справедливо:

$ (\\ Overrightarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

Дана властивість випливає з визначення скалярного квадрата (визначення 2).

Переместітельний закон: $ \\ Overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

Дана властивість випливає з визначення скалярного твори (визначення 1).

Розподільчий закон:

$ \\ Left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) $. \\ End (enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\\ [\\ Left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ left (a_1 + a_2 \\ right) a_3 + \\ left (b_1 + b_2 \\ right) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) \\]

Сполучний закон: $ \\ Left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. \\ End (enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\\ [\\ Left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ left (a_1a_2 + b_1b_2 \\ right) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) \\]

Приклад завдання на обчислення скалярного твори векторів

приклад 1

Знайти скалярний добуток векторів $ \\ overrightarrow (a) $ і $ \\ overrightarrow (b) $, якщо $ \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ і $ \\ left | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d 2 $, а кут між ними дорівнює $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

Рішення.

Використовуючи визначення 1, отримуємо

Для $ (30) ^ 0: $

\\ [\\ Overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((30) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

Для $ (45) ^ 0: $

\\ [\\ Overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((45) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

Для $ (90) ^ 0: $

\\ [\\ Overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((90) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

Для $ (135) ^ 0: $

\\ [\\ Overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((135) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ left (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ Схожі статті