Матриці за методом Гаусса. Метод Гаусса для чайників: приклади рішень. Завдання на використання правила Гаусса

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь, яку необхідно вирішити (знайти такі значення невідомих хi, що звертають кожне рівняння системи в рівність).

Ми знаємо, що система лінійних алгебраїчних рівнянь може:

1) Не мати рішень (бути несумісною).
2) Мати нескінченно багато рішень.
3) Мати єдине рішення.

Як ми пам'ятаємо, правило Крамера та матричний методнепрігодни в тих випадках, коли система має нескінченно багато рішень або несумісна. метод Гаусса – найбільш потужний і універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь, Котрий в кожному випадкуприведе нас до відповіді! Сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково. Якщо в методах Крамера і матричному необхідні знання визначників, то для застосування методу Гаусса необхідно знання тільки арифметичних дій, що робить його доступним навіть для школярів початкових класів.

Перетворення розширеної матриці ( це матриця системи - матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, плюс стовпець вільних членів)системи лінійних алгебраїчних рівнянь в методі Гаусса:

1) з трокі матриці можна, можливо переставлятимісцями.

2) якщо в матриці з'явилися (або є) пропорційні (як окремий випадок - однакові) рядки, то слід видалити з матриці всі ці рядки крім однієї.

3) якщо в матриці в ході перетворень з'явилася нульова рядок, то її також слід видалити.

4) її рядок можна помножити (поділити)на будь-яке число, відмінне від нуля.

5) до рядка матриці можна додати інший рядок, помножену на число, Відмінне від нуля.

У методі Гаусса елементарні перетворення не змінюють рішення системи рівнянь.

Метод Гаусса складається з двох етапів:

1. «Прямий хід» - за допомогою елементарних перетворень привести розширену матрицю системи лінійних алгебраїчних рівнянь до «трикутному» ступенчатому увазі: елементи розширеної матриці, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю (хід «зверху-вниз»). Наприклад, до такого виду:

Для цього слід виконати такі дії:

1) Нехай ми розглядаємо перше рівняння системи лінійних алгебраїчних рівнянь і коефіцієнт при х 1 дорівнює К. Друге, третє і т.д. рівняння перетворимо наступним чином: кожне рівняння (коефіцієнти при невідомих, включаючи вільні члени) ділимо на коефіцієнт при невідомому х 1, що стоїть в кожному рівнянні, і множимо на К. Після цього з другого рівняння (коефіцієнти при невідомих і вільні члени) віднімаємо перше. Отримуємо при х 1 у другому рівнянні коефіцієнт 0. З третього перетвореного рівняння віднімаємо перше рівняння, так до тих пір, поки всі рівняння, крім першого, при невідомому х 1 цієї статті не будуть мати коефіцієнт 0.

2) Переходимо до наступного рівняння. Нехай це буде друге рівняння і коефіцієнт при х 2 дорівнює М. З усіма «нижчими» рівняннями чинимо так, як описано вище. Таким чином, «під» невідомої х 2 у всіх рівняннях будуть нулі.

3) Переходимо до наступного рівняння і так до тих пора, поки не залишиться одна остання невідома і перетворений вільний член.

1. «Зворотний хід» методу Гаусса - отримання рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (хід «знизу-вгору»). З останнього «нижнього» рівняння отримуємо одне перше рішення - невідому х n. Для цього вирішуємо елементарне рівняння А * х n \u003d В. У прикладі, наведеному вище, х 3 \u003d 4. Підставляємо знайдене значення в «верхнє» наступне рівняння і вирішуємо його щодо наступної невідомою. Наприклад, х 2 - 4 \u003d 1, тобто х 2 \u003d 5. І так до тих пір, поки не знайдемо всі невідомі.

Приклад.

Вирішимо систему лінійних рівнянь методом Гаусса, як радять деякі автори:

Запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень наведемо її до східчастого увазі:

Дивимося на ліву верхню "сходинку". Там у нас повинна бути одиниця. Проблема полягає в тому, що в першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У таких випадках одиницю потрібно організувати за допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити декількома способами. Зробимо так:
1 крок . До першої рядку додаємо другий рядок, помножену на -1. Тобто, подумки помножили другий рядок на -1 і виконали складання першої та другої рядки, при цьому другий рядок у нас не змінилася.

Тепер зліва вгорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додаткову дію: помножити перший рядок на -1 (змінити у неї знак).

2 крок . До другої рядку додали перший рядок, помножену на 5. До третьому рядку додали перший рядок, помножену на 3.

3 крок . Перший рядок помножили на -1, в принципі, це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другій «сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

4 крок . До третьому рядку додали другий рядок, помножену на 2.

5 крок . Третій рядок розділили на 3.

Ознакою, який свідчить про помилку в обчисленнях (рідше - про друкарську помилку), є «погана» нижня рядок. Тобто, якби у нас внизу вийшло щось на кшталт (0 0 11 | 23), і, відповідно, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що допущена помилка в ході елементарних перетворень.

Виконуємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто вже не переписують саму систему, а рівняння «беруть прямо з наведеної матриці». Зворотний хід, нагадую, працює «від низу до верху». В даному прикладі вийшов подарунок:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, отже x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

відповідь: X 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Вирішимо цю ж систему за запропонованим алгоритмом. отримуємо

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Розділимо друге рівняння на 5, а третє - на 3. Отримаємо:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножимо друге і третє рівняння на 4, отримаємо:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Віднімемо від другого і третього рівнянь перше рівняння, маємо:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Розділимо третє рівняння на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножимо третє рівняння на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Віднімемо з третього рівняння друге, одержимо «ступінчасту» розширену матрицю:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким чином, так як в процесі обчислень накопичувалася погрішність, отримуємо х 3 \u003d 0,96 або приблизно 1.

х 2 \u003d 3 і х 1 \u003d -1.

Вирішуючи таким чином, Ви ніколи не заплутаєтеся в обчисленнях і не дивлячись на погрішності обчислень, отримаєте результат.

Такий спосіб вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь легко програмуємо і не враховує специфічні особливості коефіцієнтів при невідомих, адже на практиці (в економічних і технічних розрахунках) приходиться мати справу саме з нецілі коефіцієнтами.

Бажаю успіхів! До зустрічі на заняттях! Репетитор.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь, яку необхідно вирішити (знайти такі значення невідомих хi, що звертають кожне рівняння системи в рівність).

Ми знаємо, що система лінійних алгебраїчних рівнянь може:

1) Не мати рішень (бути несумісною).
2) Мати нескінченно багато рішень.
3) Мати єдине рішення.

Як ми пам'ятаємо, правило Крамера та матричний методнепрігодни в тих випадках, коли система має нескінченно багато рішень або несумісна. метод Гаусса – найбільш потужний і універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь, Котрий в кожному випадкуприведе нас до відповіді! Сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково. Якщо в методах Крамера і матричному необхідні знання визначників, то для застосування методу Гаусса необхідно знання тільки арифметичних дій, що робить його доступним навіть для школярів початкових класів.

Перетворення розширеної матриці ( це матриця системи - матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, плюс стовпець вільних членів)системи лінійних алгебраїчних рівнянь в методі Гаусса:

1) з трокі матриці можна, можливо переставлятимісцями.

2) якщо в матриці з'явилися (або є) пропорційні (як окремий випадок - однакові) рядки, то слід видалити з матриці всі ці рядки крім однієї.

3) якщо в матриці в ході перетворень з'явилася нульова рядок, то її також слід видалити.

4) її рядок можна помножити (поділити)на будь-яке число, відмінне від нуля.

5) до рядка матриці можна додати інший рядок, помножену на число, Відмінне від нуля.

У методі Гаусса елементарні перетворення не змінюють рішення системи рівнянь.

Метод Гаусса складається з двох етапів:

1. «Прямий хід» - за допомогою елементарних перетворень привести розширену матрицю системи лінійних алгебраїчних рівнянь до «трикутному» ступенчатому увазі: елементи розширеної матриці, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю (хід «зверху-вниз»). Наприклад, до такого виду:

Для цього слід виконати такі дії:

1) Нехай ми розглядаємо перше рівняння системи лінійних алгебраїчних рівнянь і коефіцієнт при х 1 дорівнює К. Друге, третє і т.д. рівняння перетворимо наступним чином: кожне рівняння (коефіцієнти при невідомих, включаючи вільні члени) ділимо на коефіцієнт при невідомому х 1, що стоїть в кожному рівнянні, і множимо на К. Після цього з другого рівняння (коефіцієнти при невідомих і вільні члени) віднімаємо перше. Отримуємо при х 1 у другому рівнянні коефіцієнт 0. З третього перетвореного рівняння віднімаємо перше рівняння, так до тих пір, поки всі рівняння, крім першого, при невідомому х 1 цієї статті не будуть мати коефіцієнт 0.

2) Переходимо до наступного рівняння. Нехай це буде друге рівняння і коефіцієнт при х 2 дорівнює М. З усіма «нижчими» рівняннями чинимо так, як описано вище. Таким чином, «під» невідомої х 2 у всіх рівняннях будуть нулі.

3) Переходимо до наступного рівняння і так до тих пора, поки не залишиться одна остання невідома і перетворений вільний член.

1. «Зворотний хід» методу Гаусса - отримання рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (хід «знизу-вгору»). З останнього «нижнього» рівняння отримуємо одне перше рішення - невідому х n. Для цього вирішуємо елементарне рівняння А * х n \u003d В. У прикладі, наведеному вище, х 3 \u003d 4. Підставляємо знайдене значення в «верхнє» наступне рівняння і вирішуємо його щодо наступної невідомою. Наприклад, х 2 - 4 \u003d 1, тобто х 2 \u003d 5. І так до тих пір, поки не знайдемо всі невідомі.

Приклад.

Вирішимо систему лінійних рівнянь методом Гаусса, як радять деякі автори:

Запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень наведемо її до східчастого увазі:

Дивимося на ліву верхню "сходинку". Там у нас повинна бути одиниця. Проблема полягає в тому, що в першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У таких випадках одиницю потрібно організувати за допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити декількома способами. Зробимо так:
1 крок . До першої рядку додаємо другий рядок, помножену на -1. Тобто, подумки помножили другий рядок на -1 і виконали складання першої та другої рядки, при цьому другий рядок у нас не змінилася.

Тепер зліва вгорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додаткову дію: помножити перший рядок на -1 (змінити у неї знак).

2 крок . До другої рядку додали перший рядок, помножену на 5. До третьому рядку додали перший рядок, помножену на 3.

3 крок . Перший рядок помножили на -1, в принципі, це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другій «сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

4 крок . До третьому рядку додали другий рядок, помножену на 2.

5 крок . Третій рядок розділили на 3.

Ознакою, який свідчить про помилку в обчисленнях (рідше - про друкарську помилку), є «погана» нижня рядок. Тобто, якби у нас внизу вийшло щось на кшталт (0 0 11 | 23), і, відповідно, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що допущена помилка в ході елементарних перетворень.

Виконуємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто вже не переписують саму систему, а рівняння «беруть прямо з наведеної матриці». Зворотний хід, нагадую, працює «від низу до верху». В даному прикладі вийшов подарунок:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, отже x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

відповідь: X 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Вирішимо цю ж систему за запропонованим алгоритмом. отримуємо

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Розділимо друге рівняння на 5, а третє - на 3. Отримаємо:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножимо друге і третє рівняння на 4, отримаємо:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Віднімемо від другого і третього рівнянь перше рівняння, маємо:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Розділимо третє рівняння на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножимо третє рівняння на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Віднімемо з третього рівняння друге, одержимо «ступінчасту» розширену матрицю:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким чином, так як в процесі обчислень накопичувалася погрішність, отримуємо х 3 \u003d 0,96 або приблизно 1.

х 2 \u003d 3 і х 1 \u003d -1.

Вирішуючи таким чином, Ви ніколи не заплутаєтеся в обчисленнях і не дивлячись на погрішності обчислень, отримаєте результат.

Такий спосіб вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь легко програмуємо і не враховує специфічні особливості коефіцієнтів при невідомих, адже на практиці (в економічних і технічних розрахунках) приходиться мати справу саме з нецілі коефіцієнтами.

Бажаю успіхів! До зустрічі на заняттях! Репетитор Дмитро Айстраханов.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь з n невідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусса складається в послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2з усіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n. Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гаусса з останнього рівняння знаходиться x n, За допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1, І так далі, з першого рівняння знаходиться x 1. Процес обчислення невідомих змінних при русі від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Будемо вважати, що, так як ми завжди можемо цього досягти перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо найперше, помножене на, до третього рівняння додамо найперше, помножене на, і так далі, до n-омурівняння додамо найперше, помножене на. Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де, а.

До такого ж результату ми б прийшли, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили в усі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена з усіх рівнянь, починаючи з другого.

Для цього до третього рівняння системи додамо Друге, помножене на, до четвертого рівняння додамо Друге, помножене на, і так далі, до n-омурівняння додамо Друге, помножене на. Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де, а. Таким чином, змінна x 2 виключена з усіх рівнянь, починаючи з третього.

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса поки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гаусса: обчислюємо x n з останнього рівняння як, за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.

Приклад.

Вирішіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса. .

відповідь:

x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

КОСТРОМСЬКИЙ ФІЛІЯ ВІЙСЬКОВОГО УНІВЕРСИТЕТУ РХБ ЗАХИСТУ

Кафедра «Автоматизації управління військами»

Тільки для викладачів

"Затверджую"

Начальник кафедри № 9

полковник ЯКОВЛЄВ А.Б.

«____» ______________ 2004 р

доцент СМИРНОВА А.І.

"МАТРИЦІ. Метод Гаусса"

Лекція № 2/3

Обговорено на засіданні кафедри № 9

«____» ___________ 2003р.

Протокол № ___________

Кострома, 2003

Cодержание

Вступ

1. Дії над матрицями.

2. Рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

висновок

література

1. В.Є. Шнейдер та ін., Короткий курс вищої математики, том I, гл.2, §6, 7.

2. В.С. Щипачов, Вища математика, гл. 10, § 1, 7.

ВСТУП

На лекції розглядається поняття матриці, дії над над матрицями, а також метод Гаусса для вирішення систем лінійних рівнянь. Для окремого випадку, так званих квадратних матриць, можна обчислювати визначники, поняття про яких розглянуто на попередній лекції. Метод Гаусса є більш загальним, ніж розглянутий раніше метод Крамера рішення лінійних систем. Розбираються на лекції питання використовуються в різних розділах математики і в прикладних питаннях.

1-ий навчальний питання ДІЇ НАД МАТРИЦЯМИ

ВИЗНАЧЕННЯ 1. Прямокутна таблиця зm, n чисел, що міститьm - рядків іn - стовпців, виду:

називається матрицею розміру m ´ n

Числа, з яких складена матриця, називаються елементами матриці.

положення елемента а i j в матриці характеризуються подвійним індексом:

перший i - номер строки;

другий j - номер стовпця, на перетині яких стоїть елемент.

Скорочено матриці позначають великими літерами: А, В, С ...

Коротко можна записувати так:

ВИЗНАЧЕННЯ 2.Матриця, у якої число рядків дорівнює числу стовпців, тобтоm = n , називається квадратної.

Число рядків (стовпців) квадратної матриці називається порядком матриці.

ПРИКЛАД.

ЗАУВАЖЕННЯ 1. Ми будемо розглядати матриці, елементами яких є числа. В математиці і її додатках зустрічаються матриці, елементами яких є інші об'єкти, наприклад, функції, вектори.

ЗАУВАЖЕННЯ 2. Матриця - спеціальне математичне поняття. За допомогою матриць зручно записувати різні перетворення, лінійні системи і т.д., тому матриці часто зустрічаються в математичної і технічної літератури.

ВИЗНАЧЕННЯ 3.матриця розміру1 ' n, Що складається з одного рядка, називається матрицею - рядком.

Матриця розміру т'1 , Що складається з одного стовпця, називається матрицею - стовпцем.

ВИЗНАЧЕННЯ 4. нульовий матрицею називають матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю.

Розглянемо квадратну матрицю порядку n:

побічна діагональ

головна діагональ

Діагональ квадратної матриці, що йде від верхнього лівого елемента таблиці до правого нижнього, називається головною діагоналлю матриці (На головній діагоналі стоять елементи виду а i i).

Діагональ, що йде від правого верхнього елемента до лівого нижнього, називається побічної діагоналлю матриці.

Розглянемо деякі приватні види квадратних матриць.

1) Квадратна матриця називається діагональної, Якщо всі елементи, які не стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю.

2) Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничної. позначається:

3) Квадратна матриця називається трикутної, якщо всі елементи, розташовані по одну сторону від головної діагоналі, дорівнюють нулю:

верхня нижня

трикутна матриця трикутна матриця

Для квадратної матриці вводиться поняття: визначник матриці. Це визначник, складений з елементів матриці. позначається:

Ясно, що визначник одиничної матриці дорівнює 1: ½ Е½ \u003d 1

ЗАУВАЖЕННЯ. Неквадратні матриця визначника не має.

Якщо визначник квадратичної матриці відмінний від нуля, то матриця називається невироджених, Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця називається виродження.

ВИЗНАЧЕННЯ 5. Матриця, отримана з даної заміною її рядків стовпцями з тими ж номерами, називається транспонованою до даної.

Матрицю, транспоновану до А, позначають А Т.

ПРИКЛАД.

3 3 2

ВИЗНАЧЕННЯ.Дві матриці одного і того ж розміру називаються рівними, якщо рівні всі їх відповідні елементи .

Розглянемо дії над матрицями.

ДОДАВАННЯ матриць.

Операція складання вводиться тільки для матриць однакового розміру.

ВИЗНАЧЕННЯ 7. Сумою двох матриць А \u003d (а i j ) І В \u003d ( b i j ) Однакового розміру називається матриця С \u003d (з i j) того ж розміру, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів доданків матриць, тобто з i j \u003d a i j + b i j

Позначається сума матриць А + В.

ПРИКЛАД.

Множення матриць НА ДІЙСНЕ ЧИСЛО

ВИЗНАЧЕННЯ 8.Щоб помножити матрицю на числоk, Треба помножити на це число кожний елемент матриці:

якщо А \u003d(а i j ), то k · A= (k · a i j )

ПРИКЛАД.

Властивості СКЛАДАННЯ матриць І МНОЖЕННЯ НА ЧИСЛО

1. переместительности властивість: А + В \u003d В + А

2. сполучна властивості: (А + В) + С \u003d А + (В + С)

3. Розподільна властивість: k · (A + B) = k A + k B, де k – число

Множення матриць

матрицю Аназвемо з о г л а с о в а н н о й з матрицею В, Якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В, Тобто для узгоджених матриць матриця А має розмір m ´ n , матриця В має розмір n ´ k . Квадратні матриці узгоджені, якщо вони одного порядку.

ВИЗНАЧЕННЯ 9.Твором матриці А розміруm ´ n на матрицю В розміруn ´ k називається матриця С розміруm ´ k, Елемент якої а i j , Розташований вi -му рядку іj - ом стовпці, дорівнює сумі добутків елементівi - го рядка матриці А на відповідні елементиj - стовпці матриці В, тобто

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +……+ a i n b n j

позначимо: С \u003d А· В.

то

твір В´ А не має сенсу, тому що матриці

не узгоджені.

ЗАУВАЖЕННЯ 1. Якщо А´ В має сенс, то В´ А може не мати сенсу.

ЗАУВАЖЕННЯ 2. Якщо має сенс А´ В і В´ А, То, взагалі кажучи

А´ В ¹ В´ А, Тобто множення матриць не володіє переместітельним законом.

ЗАУВАЖЕННЯ 3. Якщо А- квадратна матриця і Е- одинична матриця того ж порядку, то А´ Е= Е´ А \u003d А.

Звідси випливає, що одинична матриця при множенні грає роль одиниці.

Приклади. Знайти, якщо можна, А´ В і В´ А.

Рішення: Квадратні матриці одного і того ж другого порядку узгоджені в томи іншому порядку, тому А´ В і В´ А існують.