Усі формули на тему скалярний добуток векторів. Як знайти скалярне твір векторів. Визначення скалярного твору векторів через координати

Скалярний добутоквекторів (далі у тексті СП). Дорогі друзі! До складу іспиту з математики входить група завдань рішення векторів. Деякі завдання ми вже розглянули. Можете подивитися їх у категорії «Вектори». У цілому нині, теорія векторів нескладна, головне послідовно її вивчити. Обчислення та дії з векторами у шкільному курсі математики прості, формули не складні. Загляньте в . У цій статті ми розберемо завдання на СП векторів (входять до ЄДІ). Тепер «занурення» у теорію:

Ч щоб знайти координати вектора, потрібно від координат його кінця віднятивідповідні координати його початку

І ще:

*Довжина вектора (модуль) визначається наступним чином:

Дані формули необхідно запам'ятати!

Покажемо кут між векторами:

Зрозуміло, що він може змінюватись у межах від 0 до 180 0(або радіанах від 0 до Пі).

Можемо зробити деякі висновки про знак скалярного твору. Довжини векторів мають позитивне значення, очевидно. Отже знак скалярного твору залежить від значення косинуса кута між векторами.

Можливі випадки:

1. Якщо кут між векторами гострий (від 0 до 90 0), то косинус кута матиме позитивне значення.

2. Якщо кут між векторами тупий (від 90 0 до 180 0), то косинус кута матиме негативне значення.

*При нулі градусів, тобто коли вектори мають однаковий напрямок, косинус дорівнює одиниці і відповідно результат буде позитивним.

При 180 про, тобто коли вектори мають протилежні напрямки, косинус дорівнює мінус одиниці,і, відповідно, результат буде негативним.

Тепер ВАЖЛИВИЙ МОМЕНТ!

При 90 про, тобто коли вектори перпендикулярні один одному, косинус дорівнює нулю, отже, і СП дорівнює нулю. Цей факт (наслідок, висновок) використовується при вирішенні багатьох завдань, де йдеться про взаємне розташуваннявекторів, у тому числі і в завданнях, що входять у відкритий банк завдань з математики.

Сформулюємо твердження: скалярний добуток дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли дані вектори лежать на перпендикулярних прямих.

Отже, формули СП векторів:

Якщо відомі координати векторів або координати точок їх початків і кінців, то завжди зможемо знайти кут між векторами:

Розглянемо завдання:

27724 Знайдіть скалярний добуток векторів a та b .

Скалярний добуток векторів ми можемо знайти за однією з двох формул:

Кут між векторами невідомий, але ми легко можемо знайти координати векторів і далі скористатися першою формулою. Оскільки початки обох векторів збігаються з початком координат, то координати даних векторів дорівнюють координатам їх кінців, тобто

Як знайти координати вектора викладено у .

Обчислюємо:

Відповідь: 40

Знайдемо координати векторів та скористаємося формулою:

Щоб знайти координати вектора необхідно від координат кінця вектора відняти відповідні координати його початку, отже

Обчислюємо скалярний твір:

Відповідь: 40

Знайдіть кут між векторами a та b . Відповідь дайте у градусах.

Нехай координати векторів мають вигляд:

Для знаходження кута між векторами використовуємо формулу скалярного добутку векторів:

Косинус кута між векторами:

Отже:

Координати даних векторів дорівнюють:

Підставимо їх у формулу:

Кут між векторами дорівнює 45 градусів.

Відповідь: 45

У разі плоскої задачі скалярний добуток векторів a = (a x ; a y ) і b = (b x ; b y ) можна знайти скориставшись такою формулою:

a · b = a x · b x + a y · b y

Формула скалярного твору векторів для просторових завдань

У разі просторового завдання скалярний добуток векторів a = (a x ; a y ; a z ) і b = (b x ; b y ; b z ) можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a x · b x + a y · b y + a z · b z

Формула скалярного твору n-мірних векторів

У разі n-вимірного простору скалярний добуток векторів a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) і b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + ... + a n · b n

Властивості скалярного твору векторів

1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більший або дорівнює нулю:

2. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a = 0<=>a = 0

3. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

4. Операція скалярного множення комунікативна:

5. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операція скалярного множення дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Приклади завдань обчислення скалярного твору векторів

Приклади обчислення скалярного добутку векторів для плоских завдань

Знайти скалярний добуток векторів a = (1; 2) та b = (4; 8).

Рішення: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Знайти скалярний добуток векторів a та b, якщо їх довжини |a| = 3, | b | = 6, а кут між векторами дорівнює 60?.

Рішення: a · b = | a | · | b | cos α = 3 · 6 · cos 60 = 9.

Знайти скалярний добуток векторів p = a + 3b і q = 5a - 3b, якщо їх довжини | = 3, | b | = 2, а кут між векторами a і b дорівнює 60?.

Рішення:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 | b | 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60 - 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Приклад обчислення скалярного твору векторів для просторових завдань

Знайти скалярний добуток векторів a = (1; 2; -5) та b = (4; 8; 1).

Рішення: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Приклад обчислення скалярного твору для n-вимірних векторів

Знайти скалярний добуток векторів a = (1; 2; -5; 2) та b = (4; 8; 1; -2).

Рішення: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Векторним твором векторів та вектора називається третій вектор , Який визначається наступним чином:

2) перпендикулярно, перпендикулярно. (1"")

3) вектори орієнтовані так само, як і базис всього простору (позитивно чи негативно).

Позначають: .

Фізичний зміствекторного твору

― момент сили щодо точки О; ― радіус ― вектор точки докладання сили, тоді

причому, якщо перенести в точку О, то трійка повинна бути орієнтована як вектора базису.

1. Визначення та найпростіші властивості. Візьмемо ненульові вектори а та b і відкладемо їх від довільної точки О: ОА = а та ОВ = b. Величина кута АОВ називається кутом між векторами а та b і позначається (a, b). Якщо ж хоча б один із двох векторів – нульовий, то кут між ними за визначенням вважається прямим. Зауважимо, що за визначенням кут між векторами не менше 0 і не більше . При цьому кут між двома ненульовими векторами дорівнює 0 і тоді, коли ці вектори сонаправлены і дорівнює тоді й лише тоді, коли вони протилежно спрямовані.

Перевіримо, що кут між векторами залежить від вибору точки О. Це очевидно, якщо вектори колінеарні. В іншому випадку відкладемо від довільної точки О 1 вектори Про 1 А 1 = а та О 1 У 1 = b і зауважимо, що трикутники АОВ та А 1 Про 1 У 1 рівні за трьома сторонами, бо |ОА| = |Про 1 А 1 | = | а |, | ОВ | = |Про 1 У 1 | = | b |, | АВ | = | 1 У 1 | = | b-а |. Тому кути АОВ та А 1 Про 1 У 1 рівні.

Тепер ми можемо дати основне у цьому параграфі

(5.1) Визначення. Скалярним твором двох векторів а та b (позначається ab) називається число 6 , що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між векторами. Коротше:

ab = |a||b|cos (a, b).

Операція знаходження скалярного твору називається скалярним множенням векторів. Скалярний добуток аа вектора називається скалярним квадратом цього вектора і позначається а 2 .

(5.2) Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

 Якщо |а|  0, то (a, a) = 0, звідки а 2 = | а | | а | cos0 = | a | 2 . Якщо ж а = 0, то а 2 = | а | 2 = 0. 

(5.3) Нерівність Коші. Модуль скалярного твору двох векторів вбирається у твори модулів сомножителей: |ab| |a||b|. При цьому рівність досягається тоді і тільки тоді, коли вектори а і колінеарні b.

 За визначенням | ab | = | | a | | b | cos (a, b) | = |a||b||cos (a, b) |  |a||b. Цим доведено саму нерівність Коші. Тепер зауважимо. що для ненульових векторів а і b рівність у ньому досягається і тоді, коли |cos (a, b) | = 1, тобто. при (a, b) = 0 або (a, b) =  . Останнє рівнозначно тому, що вектори і b сонаправлены чи протилежно спрямовані, тобто. колінеарні. Якщо ж хоча б із векторів а і b – нульової, всі вони коллинеарны і |ab| = |a||b| = 0. 

2. Основні властивості скалярного множення. До них відносять такі:

(СУ1) ab = ba (комутативність);

(СУ2) (ха) b = х (ab) (асоціативність);

(СУ3) а(b+c) = ab + ac (дистрибутивність).

Комутативність тут очевидна, бо ab =  bа. Асоціативність при х = 0 також очевидна. Якщо х > 0, то

(ха)b = | ха | | b | cos (хa,b) = |х||а||b|cos (хa,b) = х|а||b|cos (a, b) = х(ab),

бо (Хa, b) = (a, b) (із співспрямованості векторів ха та а – рис.21). Якщо ж х< 0, то

(ха)b = |х||а||b|cos (хa,b) = -х|а||b|(-cos (a, b)) = х|а||b|cos (a, b) = х(ab),

бо (Хa, b) = –  (a, b) (з протилежної спрямованості векторів ха та а – рис.22). Таким чином, асоціативність також доведена.

Довести дистрибутивність складніше. Для цього нам буде потрібна така

(5.4) Лемма. Нехай а – ненульовий вектор, паралельний прямий l а b – довільний вектор. Тоді ортогональна проекціяbвектора b на пряму l дорівнює
.



Якщо b = 0, тоb" = 0 і ab = 0, отже у разі лема правильна. Надалі вважатимемо, що вектор b" ненульової. У цьому випадку від довільної точки Про пряму l відкладемо вектори ОА = а та ОВ = b, а також опустимо перпендикуляр BB" з точки на пряму l. За визначеннямOB" = b"і (a, b) =  АОВ. Позначимо АОВ через і доведемо лему окремо для кожного з наступних трьох випадків:

1)  <  /2. Тоді вектори а та співспрямовані (рис.23) та

b" = =
=
.

2)  >  /2. Тоді вектори а таbпротилежно спрямовані (рис.24) і

b" = – = –
= .

3)  =  /2. Тодіb" = 0 та ab = 0, звідкиb" =
= 0. 

Тепер доведемо дистрибутивність (СУ3). Вона очевидна, якщо вектор а – нульовий. Нехай а  0. Тоді проведемо пряму l || а, і позначимо черезb"іcортогональні проекції на неї векторів b і с, а черезd- ортогональну проекцію на неї вектора d = b + c. По теоремі 3.5d" = b"+ c". Застосовуючи до останньої рівності лему 5.4, отримуємо рівність
=
. Скалярно помноживши його на а, знаходимо, що 2 =
, звідки ad = ab+ac, що потрібно було довести.

Доведені нами властивості скалярного множення векторів аналогічні відповідним властивостям множення чисел. Не всі властивості множення чисел переносяться на скалярне множення векторів. Ось типові приклади:

) Якщо ab = 0, то це не означає, що а = 0 або b = 0. Приклад: два ненульові вектори, що утворюють прямий кут.

2) Якщо ab = ac, це не означає, що b = с, навіть якщо вектор а – ненульовий. Приклад: b і с – два різні вектори однакової довжини, що утворюють із вектором а рівні кути (рис. 25).

3) Невірно, що завжди а(bc) = (ab)c: хоча б тому, що справедливість такої рівності при bc, ab 0 спричиняє колінеарність векторів а і с.

3. Ортогональність векторів. Два вектори називаються ортогональними, якщо кут між ними – прямий. Ортогональність векторів позначається значком .

Коли ми визначали кут між векторами, то домовилися вважати кут між нульовим вектором та будь-яким іншим вектором прямим. Тому нульовий вектор ортогональний будь-кому. Ця угода дозволяє довести такий

(5.5) Ознака ортогональності двох векторів. Два вектори ортогональні тоді і лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює 0.

 Нехай а та b – довільні вектори. Якщо хоча б один із них – нульовий, то вони ортогональні, а їх скалярний твір дорівнює 0. Таким чином, у цьому випадку теорема вірна. Допустимо тепер, що обидва дані вектора – ненульові. За визначенням ab = | a | | b | cos (a, b). Оскільки, за нашим припущенням числа |a| та |b| не дорівнюють 0, то ab = 0 cos (a, b) = 0  (a, b) = /2, що потрібно було довести.

Рівність ab = 0 часто сприймають визначення ортогональності векторів.

(5.6) Слідство. Якщо вектор а ортогональний кожному з векторів 1 , …, а п , то він ортогональний і будь-якої їхньої лінійної комбінації.

 Досить зауважити, що з рівності аа 1 = … = аа п = 0 слідує рівність а(х 1 а 1 + … +х п а п ) = х 1 (аа 1 ) + … + х п (аа п ) = 0. 

Зі слідства 5.6 легко виводиться шкільна ознака перпендикулярності прямої та площини. Справді, нехай деяка пряма MN перпендикулярна двом прямим АВ і АС, що перетинаються. Тоді вектор MN ортогональний векторам АВ та АС. Візьмемо у площині АВС будь-яку пряму DE. Вектор DE компланарен неколлінеарним векторам АВ та АС, і тому розкладається за ними. Але тоді він теж ортогональний вектор MN, тобто прямі MN і DE перпендикулярні. Виходить, що пряма MN перпендикулярна до будь-якої прямої з площини АВС, що і потрібно довести.

4. Ортонормовані базиси. (5.7) Визначення. Базис векторного простору називається ортонормованим, якщо, по-перше, всі його вектори мають одиничну довжину і, по-друге, будь-які його вектори ортогональні.

Вектори ортонормованого базису у тривимірному просторі зазвичай позначають літерами i, j та k, а на векторній площині – літерами i та j. Враховуючи ознаку ортогональності двох векторів та рівність скалярного квадрата вектора квадрату його довжини, умови ортонормованості базису (i,j,k) простору V 3 можна записати так:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ik = jk = 0,

а базису (i,j) векторної площини – так:

(5.9) i 2 = j 2 = 1, ij = 0.

Нехай вектори а та b мають в ортонормованому базисі (i,j,k) простору V 3 координати (а 1 , а 2 , а 3 ) та (b 1 b 2 , b 3 ) відповідно. Тодіab = (а 1 i+а 2 j+а 3 k)(b) 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 i 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 . Так виходить формула для скалярного добутку векторів 1 ,а 2 ,а 3 ) та b(b 1 ,b 2 ,b 3 ), заданих своїми координатами в ортонормованому базисі простору V 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .

Для векторів а(а) 1 ,а 2 ) та b(b 1 , b 2 ), заданих своїми координатами в ортонормованому базисі на векторній площині, вона має вигляд

(5.11) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 .

Підставимо у формулу (5.10) b = a. Вийде, що в ортонормованому базисі 2 = а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 . Оскільки а 2 = | а | 2 , Виходить така формула для знаходження довжини вектора а(а 1 ,а 2 ,а 3 ), заданого своїми координатами в ортонормованому базисі простору V 3 :

(5.12) | | =
.

На векторній площині вона в силу (5.11) набуває вигляду

(5.13) | | =
.

Підставляючи у формулу (5.10) b = i, b = j, b = k, отримуємо ще три корисні рівності:

(5.14) ai = a 1 , aj = а 2 , ak = а 3 .

Простота координатних формул для знаходження скалярного добутку векторів та довжини вектора становить головну перевагу ортонормованих базисів. Для неортонормованих базисів ці формули, власне кажучи, неправильні, та його застосування у разі є грубої помилкою.

5. Напрямні косинуси. Візьмемо в ортонормованому базисі (i,j,k) простору V 3 вектор а(а) 1 ,а 2 ,а 3 ). Тодіai = | a | | i | cos (a, i) = | a | cos (a, i).З іншого боку, ai = a 1 за формулою 5.14. Виходить що

(5.15) а 1 = | a | cos (a, i).

і, аналогічно,

а 2 = | a | cos (a, j), а 3 = | a | cos (a, k).

Якщо вектор а – одиничний, ці три рівності набувають особливо простого вигляду:

(5.16) а 1 = cos (a,i),а 2 = cos (a, j),а 3 = cos (a, k).

Косинуси кутів, утворених вектором із векторами ортонормованого базису, називаються напрямними косинусами цього вектора в даному базисі. Як показують формули 5.16, координати одиничного вектора в ортонормованому базисі дорівнюють його напрямним косинусам.

З 5.15 випливає, що а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = | а | 2 (cos 2  (a,i)+cos 2  (a,j) +cos 2  (a, k)). З іншого боку, а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = | а | 2 . Виходить що

(5.17) сума квадратів напрямних косінусів ненульового вектора дорівнює 1.

Цей факт корисний для вирішення деяких завдань.

(5.18) Завдання. Діагональ прямокутного паралелепіпеда утворює з двома його ребрами, що виходять з тієї ж вершини, кути по 60 . Який кут вона утворює з третім ребром, що виходить з цієї вершини?

 Розглянемо ортонормований базис простору V 3 вектори якого зображені ребрами паралелепіпеда, що виходять з даної вершини. Оскільки вектор діагоналі утворює із двома векторами цього базису кути по 60 , квадрати двох з трьох його напрямних косінусів рівні cos 2 60  = 1/4. Тому квадрат третього косинуса дорівнює 1/2, а сам цей косинус дорівнює 1/
. Значить, кут, що шукається, дорівнює 45 . 

Кут між векторами

Розглянемо два дані вектора $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$. Відкладемо від довільно обраної точки $O$ вектори $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ і $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, тоді кут $AOB$ називається кутом між векторами $\overrightarrow( a)$ і $\overrightarrow(b)$ (рис. 1).

Малюнок 1.

Зазначимо тут, що якщо вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ співспрямовані або один із них є нульовим вектором, тоді кут між векторами дорівнює $0^0$.

Позначення: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Поняття скалярного твору векторів

Математично це визначення можна записати так:

Скалярний твір може дорівнювати нулю у двох випадках:

Якщо один із векторів буде нульовим вектором (Оскільки тоді його довжина дорівнює нулю).

Якщо вектори взаємно перпендикулярні (тобто $cos(90)^0=0$).

Відзначимо також, що скалярний добуток більший за нуль, якщо кут між цими векторами гострий (бо $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), і менше нуля, якщо кут між цими векторами тупий (бо $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

З поняттям скалярного добутку пов'язане поняття скалярного квадрата.

Визначення 2

Скалярним квадратом вектора $\overrightarrow(a)$ називається скалярний добуток цього вектора самого на себе.

Виходить, що скалярний квадрат дорівнює

Обчислення скалярного твору за координатами векторів

Крім стандартного способу знаходження значення скалярного твору, який випливає із визначення, існує ще один спосіб.

Розглянемо його.

Нехай вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ мають координати $\left(a_1,b_1\right)$ і $\left(a_2,b_2\right)$, відповідно.

Теорема 1

Скалярний добуток векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ дорівнює сумі творів відповідних координат.

Математично це можна записати в такий спосіб

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Доведення.

Теорему доведено.

Ця теорема має кілька наслідків:

Наслідок 1: Вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли $a_1a_2+b_1b_2=0$

Наслідок 2: Косинус кута між векторами дорівнює $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Властивості скалярного твору векторів

Для будь-яких трьох векторів і дійсного числа $k$ справедливо:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Ця властивість випливає з визначення скалярного квадрата (визначення 2).

Переміщувальний закон:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Ця властивість випливає з визначення скалярного твору (визначення 1).

Розподільний закон:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Сполучний закон:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Приклад завдання обчислення скалярного твору векторів

Приклад 1

Знайти скалярний добуток векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$, якщо $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ і $\left|\overrightarrow(b)\right|= 2$, а кут між ними дорівнює $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Рішення.

Використовуючи визначення 1, отримуємо

Для $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Для $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Для $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Для $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ right)=-3\sqrt(2)\]

Якщо в задачі і довжини векторів, і кут між ними подано "на блюдечку з блакитною облямівкою", то умова задачі та її вирішення виглядають так:

приклад 1.Дано вектори. Знайти скалярний добуток векторів, якщо їх довжини та кут між ними представлені такими значеннями:

Справедливе та інше визначення, повністю рівносильне визначенню 1.

Визначення 2. Скалярним твором векторів називається число (скаляр), рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, що визначається першим із зазначених векторів. Формула згідно з визначенням 2:

Завдання із застосуванням цієї формули вирішимо після наступного важливого теоретичного пункту.

Визначення скалярного твору векторів через координати

Те саме число можна отримати, якщо вектори, що перемножуються, задані своїми координатами.

Визначення 3.Скалярний добуток векторів - це число, що дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат.

На площині

Якщо два вектори та на площині визначені своїми двома декартовими прямокутними координатами

то скалярний добуток цих векторів дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат:

приклад 2.Знайти чисельну величину векторної проекції на вісь, паралельну вектору .

Рішення. Знаходимо скалярне твір векторів, складаючи попарні твори їх координат:

Тепер нам потрібно прирівняти отриманий скалярний добуток до довжини вектора на проекцію вектора на вісь, паралельну вектору (відповідно до формули ).

Знаходимо довжину вектора як квадратний коріньіз суми квадратів його координат:

Складаємо рівняння та вирішуємо його:

Відповідь. Чисельна величина, що шукається, дорівнює мінус 8.

В просторі

Якщо два вектори та у просторі визначені своїми трьома декартовими прямокутними координатами

то скалярний добуток цих векторів також дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат, лише координат вже три:

Завдання перебування скалярного твору розглянутим способом - після розбору властивостей скалярного произведения. Тому що в задачі потрібно визначити, який кут утворюють вектори, що перемножуються.

Властивості скалярного твору векторів

Алгебраїчні властивості

1. (переміщувальна властивість: від зміни місцями векторів, що перемножуються, величина їх скалярного твору не змінюється).

2. (сполучна щодо числового множника властивість: скалярний добуток вектора, помноженого на деякий множник, та іншого вектора, дорівнює скалярному добутку цих векторів, помноженому на той самий множник).

3. (розподільна щодо суми векторів властивість: скалярний добуток суми двох векторів на третій вектор дорівнює сумі скалярних творів першого вектора на третій вектор і другого вектора на третій вектор).

4. (скалярний квадрат вектор більше нуля), якщо - ненульовий вектор, і якщо - нульовий вектор.

Геометричні властивості

У визначеннях досліджуваної операції ми вже стосувалися поняття кута між двома векторами. Настав час уточнити це поняття.

На малюнку вище видно два вектори, які наведені до загального початку. І перше, на що потрібно звернути увагу: між цими векторами існують два кути. φ 1 і φ 2 . Який із цих кутів фігурує у визначеннях та властивостях скалярного твору векторів? Сума розглянутих кутів дорівнює 2 π і тому косинуси цих кутів рівні. У визначення скалярного твору входить лише косинус кута, а чи не значення його висловлювання. Але у властивостях розглядається лише один кут. І це той із двох кутів, який не перевищує π , тобто 180 градусів. На малюнку цей кут позначений як φ 1 .

1. Два вектори називають ортогональними і кут між цими векторами - прямий (90 градусів або π /2), якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю :

Ортогональністю у векторній алгебрі називається перпендикулярність двох векторів.

2. Два ненульові вектори складають гострий кут (від 0 до 90 градусів, або, що те саме - менше π скалярний твір позитивно .

3. Два ненульові вектори складають тупий кут (від 90 до 180 градусів, або, що те саме - більше π /2 ) тоді й тільки тоді, коли їх скалярний твір негативно .

приклад 3.У координатах дано вектори:

Обчислити скалярні добутки всіх пар даних векторів. Який кут (гострий, прямий, тупий) утворюють ці пари векторів?

Рішення. Обчислюватимемо шляхом складання творів відповідних координат.

Отримали негативне число, тому вектори утворюють тупий кут.

Отримали позитивну кількість, тому вектори утворюють гострий кут.

Отримали нуль, тому вектори утворюють прямий кут.

Отримали позитивну кількість, тому вектори утворюють гострий кут.

Для самоперевірки можна використовувати онлайн калькулятор Скалярне твір векторів і косинус кута між ними .

приклад 4.Дані довжини двох векторів та кут між ними:

Визначити, при якому значенні числа вектори та ортогональні (перпендикулярні).

Рішення. Перемножимо вектори за правилом множення багаточленів:

Тепер обчислимо кожне доданок:

Складемо рівняння (рівність добутку нулю), наведемо подібні члени і розв'яжемо рівняння:

Відповідь: ми отримали значення λ = 1,8 при якому вектори ортогональні.

Приклад 5.Довести, що вектор ортогональний (перпендикулярний) вектор

Рішення. Щоб перевірити ортогональність, перемножимо вектори і як багаточлени, підставляючи замість його вираз, дане за умови завдання:

Для цього потрібно кожен член (доданок) першого багаточлена помножити на кожен член другого та отримані твори скласти:

В отриманому результаті дріб за рахунок скорочується. Виходить наступний результат:

Висновок: в результаті множення набули нуль, отже, ортогональність (перпендикулярність) векторів доведена.

Вирішити завдання самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 6.Дані довжини векторів і , a кут між цими векторами дорівнює π /4. Визначити, за якого значення μ вектори та взаємно перпендикулярні.

Матричне уявлення скалярного твору векторів та добуток n-мірних векторів

Іноді виграшним для наочності є уявлення двох векторів, що перемножуються, у вигляді матриць. Тоді перший вектор представлений у вигляді матриці-рядка, а другий - у вигляді матриці-стовпця:

Тоді скалярний добуток векторів буде твором цих матриць :

Результат той самий, як і отриманий способом, який ми вже розглянули. Отримали одне однину, і добуток матриці-рядки на матрицю-стовпець також є одним одниною.

У матричній формі зручно представляти добуток абстрактних n-мірних векторів. Так, добуток двох чотиривимірних векторів буде добутком матриці-рядка з чотирма елементами на матрицю-стовпець також з чотирма елементами, добуток двох п'ятивимірних векторів - добутком матриці-рядка з п'ятьма елементами на матрицю-стовпець також з п'ятьма елементами і так далі.

Приклад 7.Знайти скалярні твори пар векторів

використовуючи матричну виставу.

Рішення. Перша пара векторів. Представляємо перший вектор у вигляді матриці-рядка, а другий - у вигляді матриці-стовпця. Знаходимо скалярний добуток цих векторів як добуток матриці-рядка на матрицю-стовпець:

Аналогічно представляємо другу пару та знаходимо:

Як бачимо, результати вийшли ті ж, що й у тих самих пар з прикладу 2.

Кут між двома векторами

Висновок формули косинуса кута між двома векторами дуже гарний і короткий.

Щоб висловити скалярний твір векторів

(1)

в координатної форми, попередньо знайдемо скалярні твори ортів. Скалярне твір вектора на себе за визначенням:

Те, що записано у формулі вище, означає: скалярний добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату його довжини. Косинус нуля дорівнює одиниці, тому квадрат кожного орта дорівнюватиме одиниці: