Обчислити зворотну матрицю. Алгоритм обчислення зворотної матриці за допомогою алгебраїчних доповнень: метод приєднаної (союзної) матриці. Матричний метод в економічному аналізі

Матрична алгебра - Зворотній матриця

зворотна матриця

зворотною матрицею називається матриця, яка при множенні як справа, так і зліва на дану матрицю дає одиничну матрицю.
Позначимо зворотну матрицю до матриці А через, тоді як визначено отримаємо:

де Е - одинична матриця.
квадратна матриця називається неособенной (невироджених), Якщо її визначник не дорівнює нулю. В іншому випадку вона називається особливою (виродження) або сингулярной.

Має місце теорема: всяка неособлива матриця має обернену матрицю.

Операція знаходження оберненої матриці називається зверненням матриці. Розглянемо алгоритм звернення матриці. Нехай дана неособлива матриця n-го порядку:

де Δ \u003d det A ≠ 0.

Алгебраїчним доповненням елементаматриці n -го порядку А називається взятий з певним знаком визначник матриці ( n -1) -го порядку, отриманої викреслюванням i-ої рядки і j-го стовпця матриці А:

Складемо так звану приєднану матрицю:

де- алгебраїчні доповнення відповідних елементовматріци А.
Зауважимо, що алгебраїчні доповнення елементів рядків матриці А розміщуються у шпальтах матриці Ã , Тобто одночасно проводиться транспонування матриці.
Розділивши всі елементи матриці Ã на Δ - величину визначника матриці А, Отримаємо в результаті зворотний матрицю:

Відзначимо ряд особливих властивостей зворотної матриці:
1) для даної матриці А її зворотна матриця є єдиною;
2) якщо існує зворотна матриця, то права зворотна і ліва зворотна матриці збігаються з нею;
3) особлива (вироджена) квадратна матриця не має зворотної матриці.

Основні властивості оберненої матриці:
1) визначник оберненої матриці та визначник вихідної матриці є зворотними величинами;
2) зворотна матриця твори квадратних матриць дорівнює проізведеніюобратних матриць сомножителей, взятому в зворотному порядку:

3) транспонована зворотна матриця дорівнює зворотної матриці від даної транспонованою матриці:

П р и м і р. Обчислити матрицю, зворотну даної.

Для будь-якої невиродженої матриці А існує і притому єдина матриця A -1 така, що

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

де E - одинична матриця тих же порядків, що і А. Матриця A -1 називається оберненою до матриці A.

Якщо хтось забув, в одиничної матриці, крім діагоналі, заповненої одиницями, всі інші позиції заповнені нулями, приклад одиничної матриці:

Знаходження оберненої матриці методом приєднаної матриці

Зворотній матриця визначається формулою:

де A ij - елементів a ij.

Тобто для обчислення зворотної матриці, потрібно обчислити визначник цієї матриці. Потім знайти алгебраїчні доповнення для всіх її елементів і скласти з них нову матрицю. Далі потрібно транспортувати цю матрицю. І кожен елемент нової матриці поділити на визначник вихідної матриці.

Розглянемо кілька прикладів.

Знайти A -1 для матриці

Р і ш е н і е. Знайдемо A -1 методом приєднаної матриці. Маємо det A \u003d 2. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці A. В даному випадку алгебраїчними доповненнями елементів матриці будуть відповідні елементи самої матриці, взяті зі знаком відповідно до формули

Маємо A 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. Утворити приєднану матрицю

Транспортуємо матрицю A *:

Знаходимо обернену матрицю за формулою:

отримуємо:

Методом приєднаної матриці знайти A -1, якщо

Р і ш е н і е. Перш за все обчислюємо визначитеся даної матриці, щоб переконатися в існуванні оберненої матриці. маємо

Тут ми додали до елементів другого рядка елементи третього рядка, помножені попередньо на (-1), а потім розкрили визначник по другому рядку. Так як визначитеся даної матриці відмінний від нуля, то обернена до неї матриця існує. Для побудови приєднаної матриці знаходимо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці. маємо

Відповідно до формули

транспортуємо матрицю A *:

Тоді за формулою

Знаходження оберненої матриці методом елементарних перетворень

Крім методу знаходження зворотної матриці, що випливає з формули (метод приєднаної матриці), існує метод знаходження зворотної матриці, званий методом елементарних перетворень.

Елементарні перетворення матриці

Елементарними перетвореннями матриці називаються такі перетворення:

1) перестановка рядків (стовпців);

2) множення рядка (стовпчика) на число, відмінне від нуля;

3) додаток до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), попередньо помножених на деяке число.

Для знаходження матриці A -1 побудуємо прямокутну матрицю В \u003d (А | Е) порядків (n; 2n), приписуючи до матриці А справа одиничну матрицю Е через роздільну лінію:

Розглянемо приклад.

Методом елементарних перетворень знайти A -1, якщо

Р і ш е н і е. Утворити матрицю B:

Позначимо рядки матриці B через α 1, α 2, α 3. Зробимо над рядками матриці B наступні перетворення.

Визначення 1: матриця називається вироджених, якщо її визначник дорівнює нулю.

Визначення 2: матриця називається невироджених, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Матриця "A" називається зворотною матрицею, Якщо виконується умова A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (одиничної матриці).

Квадратна матриця оборотна тільки в тому випадку, коли вона є невироджених.

Схема обчислення зворотної матриці:

1) Обчислити визначник матриці "A", якщо ∆ A \u003d 0, то зворотної матриці не існує.

2) Знайти всі алгебраїчні доповнення матриці "A".

3) Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень (Aij)

4) Транспонувати матрицю з алгебраїчних доповнень (Aij) T

5) Помножити транспоновану матрицю на число, протилежне определителю даної матриці.

6) Виконати перевірку:

На перший погляд може здатися, що це складно, але насправді все дуже просто. Всі рішення засновані на простих арифметичних діях, головне при вирішенні не плутатися зі знаками "-" і "+", і не втрачати їх.

А тепер давайте разом з Вами вирішимо практичне завдання, обчисливши зворотну матрицю.

Завдання: знайти зворотну матрицю "A", представлену на зображенні нижче:

Вирішуємо все в точності так, як це зазначено в план-схемою обчислення зворотної матриці.

1. Перше, що потрібно зробити, це знайти визначник матриці "A":

пояснення:

Ми спростили наш визначник, скориставшись його основними функціями. По-перше, ми додали до 2 і 3 рядку елементи першого рядка, помножені на одне число.

По-друге, ми поміняли 2 і 3 стовпець визначника, і по його властивостями поміняли знак перед ним.

По-третє, ми винесли загальний множник (-1) другого рядка, тим самим, знову поміняв знак, і він став позитивним. Також ми спростили 3 рядок також, як на самому початку прикладу.

У нас вийшла трикутний визначник, у якого елементи нижче діагоналі рівні нулю, і по 7 властивості він дорівнює добутку елементів діагоналі. У підсумку ми отримали ∆ A \u003d 26, отже зворотна матриця існує.

А11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

А12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

А13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

А21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

А22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

А23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

А31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

А32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

А33 \u003d 1 + (1 + 6) \u003d 7

3. Наступний крок - складання матриці з вийшов доповнень:

5. Множимо цю матрицю на число, протилежне определителю, тобто на 1/26:

6. Ну а тепер нам просто потрібно виконати перевірку:

В ході перевірки ми отримали одиничну матрицю, отже, рішення було виконано абсолютно вірно.

2 спосіб обчислення зворотної матриці.

1. Елементарне перетворення матриць

2. Зворотній матриця через елементарний перетворювач.

Елементарне перетворення матриць включає:

1. Множення рядка на число, не рівне нулю.

2. Додаток до будь-якому рядку інший рядки, помноженої на число.

3. Зміна місцями рядків матриці.

4. Застосовуючи ланцюжок елементарних перетворень, отримуємо іншу матрицю.

А -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2. A -1 * A \u003d E

Розглянемо це на практичному прикладі з дійсними числами.

завдання: Знайти обернену матрицю.

Рішення:

Виконаємо перевірку:

Невелике роз'яснення щодо вирішення:

Спершу ми переставили 1 і 2 рядок матриці, потім помножили перший рядок на (-1).

Після цього помножили перший рядок на (-2) і склали з другим рядком матриці. Після чого помножили 2 рядок на 1/4.

Заключним етапом перетворень стало множення другого рядка на 2 і додатком з першої. В результаті зліва у нас вийшла одинична матриця, отже, зворотна матриця - це матриця справа.

Після перевірки ми переконалися у правильності рішення.

Як ви бачите, обчислення оберненої матриці - це дуже просто.

Наприкінці даної лекції хотілося б також приділити трохи часу властивостями такої матриці.

Алгебраїчних доповнень і мінору

Нехай маємо визначник третього порядку: .

мінором, Відповідним даному елементу a ij визначника третього порядку, називається визначник другого порядку, отриманий з даного викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент, тобто i-ої рядки і j-го стовпчика. Мінори відповідні даному елементу a ij будемо позначати M ij.

наприклад, мінор M 12, Відповідним елементу a 12, Буде визначник , Який виходить викреслюванням з даного визначника 1-ої рядки і 2-го стовпця.

Таким чином, формула, яка визначає визначник третього порядку, показує, що цей визначник дорівнює сумі добутків елементів 1-ої рядка на відповідні їм мінори; при цьому мінор, відповідний елементу a 12, Береться зі знаком "-", тобто можна записати, що

.

(1)

Аналогічно можна ввести визначення миноров для визначників другого порядку і вищих порядків.

Введемо ще одне поняття.

алгебраїчним доповненнямелемента a ij визначника називається його мінор M ij, Помножений на (-1) i + j.

Алгебраїчне доповнення елемента a ij позначається A ij.

З визначення отримуємо, що зв'язок між алгебраїчним доповненням елемента і його мінор виражається рівністю A ij \u003d (-1) i + j M ij.

наприклад,

Приклад. Дан визначник. знайти A 13, A 21, A 32.

Легко бачити, що використовуючи алгебраїчні доповнення елементів, формулу (1) можна записати у вигляді:

Аналогічно цій формулі можна отримати розкладання визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця.

Наприклад, розкладання визначника за елементами 2-ий рядки можна отримати наступним чином. Відповідно до властивості 2 визначника маємо:

Розкладемо отриманий визначник за елементами 1-ої рядка.

.

(2)

Звідси тому визначники другого порядку у формулі (2) є мінори елементів a 21, a 22, a 23. Таким чином,, тобто ми отримали розкладання визначника за елементами 2-ий рядки.

Аналогічно можна отримати розкладання визначника за елементами третього рядка. Використовуючи властивість 1 визначників (про транспонировании), можна показати, що аналогічні розкладання справедливі і при розкладанні за елементами стовпців.

Таким чином, справедлива наступна теорема.

Теорема (про розкладанні визначника по заданому рядку або стовпцю). Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якої його рядки (чи шпальти) на їх алгебраїчні доповнення.

Все вищесказане справедливо і для визначників будь-якого вищого порядку.

Приклади.

ЗВОРОТНА МАТРИЦЯ

Поняття оберненої матриці вводиться тільки для квадратних матриць.

якщо A - квадратна матриця, то зворотного для неї матрицею називається матриця, що позначається A -1 і яка задовольнить умові. (Це визначення вводиться за аналогією з множенням чисел)

У даній статті ми розповімо про матричний метод розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, знайдемо його визначення і наведемо приклади розв'язання.

визначення 1

Метод оберненої матриці - це метод, який використовується при вирішенні СЛАР в тому випадку, якщо число невідомих дорівнює числу рівнянь.

приклад 1

Знайти рішення системи n лінійних рівнянь з n невідомими:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + A 1 n x n \u003d b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. . . + A n n x n \u003d b n

Матричний вигляд записи : А × X \u003d B

де А \u003d а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матриця системи.

X \u003d x 1 x 2 ⋮ x n - стовпець невідомих,

B \u003d b 1 b 2 ⋮ b n - стовпець вільних коефіцієнтів.

З рівняння, яке ми отримали, необхідно висловити X. Для цього потрібно помножити обидві частини матричного рівняння зліва на A - 1:

A - 1 × A × X \u003d A - 1 × B.

Так як А - 1 × А \u003d Е, то Е × X \u003d А - 1 × В або X \u003d А - 1 × В.

зауваження

Зворотній матриця до матриці А має право на існування тільки, якщо виконується умова d e t A н е р а в е н н у л ю. Тому при вирішенні СЛАР методом зворотної матриці, в першу чергу знаходиться d e t А.

У тому випадку, якщо d e t A н е р а в е н н у л ю, у системи є тільки один варіант рішення: за допомогою методу оберненої матриці. Якщо d e t А \u003d 0, то систему можна вирішити даним методом.

Приклад рішення системи лінійних рівнянь за допомогою методу оберненої матриці

приклад 2

Вирішуємо СЛАР методом зворотної матриці:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 \u003d 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 \u003d 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 \u003d 2

Як вирішити?

• Записуємо систему у вигляді матричного рівняння А X \u003d B, де

А \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Висловлюємо з цього рівняння X:

• Знаходимо визначник матриці А:

det A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t А чи не дорівнює 0, отже для цієї системи підходить метод розв'язання оберненої матрицею.

• Знаходимо обернену матрицю А - 1 за допомогою союзної матриці. Обчислюємо алгебраїчні доповнення А i j до відповідних елементів матриці А:

А 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 +5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

А 12 \u003d (- 1) 1 +2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

А 13 \u003d (- 1) 1 +3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

А 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 +5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

А 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

А 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

А 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

А 32 \u003d (- 1) 3 + 2 + 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

А 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Записуємо союзну матрицю А *, яка складена з алгебраїчних доповнень матриці А:

А * \u003d - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Записуємо зворотну матрицю згідно з формулою:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: А - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Множимо зворотну матрицю А - 1 на стовпець вільних членів В і отримуємо рішення системи:

X \u003d A - 1 × B \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 +3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

відповідь : X 1 \u003d - 1; x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter