Корінь квадратний з числа у ступені. Розмноження коренів: методи та застосування. Основне правило множення

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n / b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.

Щоб успішно використовувати практично операцію вилучення кореня, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції.
Усі властивості формулюються і доводяться лише для невід'ємних значень змінних, які під знаками коренів.

Теорема 1. Корінь n-го ступеня (n=2, 3, 4,...) з добутку двох невід'ємних чіпсел дорівнює добутку коріння n-го ступеня з цих чисел:

Примітка:

1. Теорема 1 залишається справедливою і для випадку, коли підкорене вираз є твір більш ніж двох невід'ємних чисел.

Теорема 2.Якщо, і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Коротка(хоча й неточне) формулювання, яке зручніше використовувати на практиці: корінь із дробу дорівнює дробу від коріння.

Теорема 1 дозволяє нам перемножувати т тільки коріння однакового ступеня , тобто. лише коріння з однаковим показником.

Теорема 3.Якщо ,k - натуральне число і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб звести корінь у натуральний ступінь, достатньо звести в цей ступінь підкорене вираз.
Це - наслідок теореми 1. Справді, наприклад, для к = 3 отримуємо: Так само можна міркувати у разі будь-якого іншого натурального значення показника до.

Теорема 4.Якщо ,k, n - натуральні числа, більші за 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб витягти корінь з кореня, достатньо перемножити показники коріння.
Наприклад,

Будьте уважні!Ми дізналися, що над корінням можна здійснювати чотири операції: множення, розподіл, зведення в ступінь та вилучення кореня (з кореня). А як же справа зі складанням і відніманням коренів? Ніяк.
Наприклад, замість не можна написати Справді, Але ж очевидно, що

Теорема 5. Якщо показники кореня і підкореного виразу помножити чи розділити одне і те натуральне число, то значення кореня зміниться, тобто.

Приклади вирішення завдань

приклад 1.Обчислити

Рішення.Скориставшись першою властивістю коріння (теорема 1), отримаємо:

приклад 2.Обчислити
Рішення.Обернемо змішане число в неправильний дріб.
Маємо Скориставшись другою властивістю коренів ( теорема 2 ), отримаємо:

приклад 3.Обчислити:

Рішення.Будь-яка формула в алгебрі, як вам добре відомо, використовується не лише «зліва направо», а й «справа наліво». Так, перша властивість коренів означає, що можна уявити у вигляді і, навпаки, можна замінити виразом . Те саме стосується і другої властивості коренів. Враховуючи це, виконаємо обчислення.

Ірраціональні висловлювання та їх перетворення

Минулого разу ми згадали (або дізналися – кому як), що ж таке , навчилися видобувати таке коріння, розібрали по гвинтиках основні властивості коренів і вирішували нескладні приклади з корінням.

Цей урок буде продовженням попереднього і буде присвячений перетворенням різних виразів, що містять всілякі коріння. Такі вирази називаються ірраціональними. Тут з'являться і вирази з літерами, і додаткові умови, і звільнення від ірраціональності в дробах, і деякі просунуті прийоми в роботі з корінням. Ті прийоми, які розглядатимуться в даному уроці, стануть гарною базою для вирішення завдань ЄДІ (і не тільки) практично будь-якого рівня складності. Отже, давайте приступимо.

Насамперед я продублюю тут основні формули та властивості коренів. Щоб не скакати із теми в тему. Ось вони:

при

Формули ці треба обов'язково знати та вміти застосовувати. Причому обидві сторони – як зліва направо, і справа наліво. Саме на них і ґрунтується вирішення більшості завдань із корінням будь-якого ступеня складності. Почнемо поки що з найпростішого - з прямого застосування формул або їх комбінацій.

Просте застосування формул

У цій частині розглядатимуться прості та нешкідливі приклади – без літер, додаткових умов та інших хитрощів. Однак у них, зазвичай, є варіанти. І чим навороченіший приклад, тим більше таких варіантів. І у недосвідченого учня постає головна проблема – з чого починати? Відповідь тут проста – не знаєш, що потрібно - роби що можна. Аби ваші дії йшли у мирі та злагоді з правилами математики і не суперечили їм.) Наприклад, таке завдання:

Обчислити:

Навіть у такому простенькому прикладі можливі кілька шляхів відповіді.

Перший – просто перемножити коріння за першою властивістю та витягти корінь з результату:

Другий варіант такий: не чіпаємо, працюємо з . Виносимо множник з-під знаку кореня, а далі – за першою властивістю. Ось так:

Вирішувати можна як найбільше подобається. У кожному з варіантів відповідь виходить одна – вісімка. Мені, наприклад, простіше перемножити 4 і 128 і отримати 512, а з цього числа добре витягується кубічний корінь. Якщо хтось не пам'ятає, що 512 – це 8 у кубі, то не біда: можна записати 512 як 2 9 (перші 10 ступенів двійки, я сподіваюся, пам'ятаєте?) і за формулою кореня зі ступеня:

Інший приклад.

Обчислити: .

Якщо працювати за першою якістю (все загнати під один корінь), то вийде величезне число, з якого корінь потім витягувати - теж не цукор. Та й не факт, що він витягнеться рівно.) Тому тут корисно в числі винести множники з-під кореня. Причому винести максимум:

І тепер все налагодилося:

Залишилося вісімку та двійку записати під одним коренем (за першою властивістю) і – готова справа. :)

Додамо тепер трохи дробів.

Обчислити:

Приклад дуже примітивний, але й у ньому є варіанти. Можна за допомогою винесення множника перетворити чисельник і скоротити зі знаменником:

А можна відразу скористатися формулою поділу коріння:

Як бачимо, і так, і сяк – всяко правильно.) Якщо не спіткнутися на півдорозі і не помилитися. Хоча десь тут помилятися…

Розберемо тепер останній приклад із домашнього завдання минулого уроку:

Спростити:

Цілком немислимий набір коренів, та ще й вкладених. Як бути? Головне – не боятися! Тут ми насамперед помічаємо під корінням числа 2, 4 та 32 – ступеня двійки. Перше що потрібно зробити – привести всі числа до двійок: все-таки чим більше однакових чисел у прикладі і менше різних, тим простіше.) Почнемо окремо з першого множника:

Число можна спростити, скоротивши двійку під коренем з четвіркою у показнику кореня:

Тепер, згідно з коренем з твору:

.

У числі виносимо двійку за знак кореня:

А з виразом розправляємося за формулою кореня з кореня:

Отже, перший множник запишеться так:

Вкладене коріння зникло, числа стали меншими, що вже тішить. Ось тільки коріння різне, але поки що так і залишимо. Треба буде – перетворимо на однакові. Беремося за другий множник.)

Другий множник перетворюємо аналогічно, за формулою кореня з добутку та кореня з кореня. Де треба – скорочуємо показники за п'ятою формулою:

Вставляємо все у вихідний приклад і отримуємо:

Отримали твір цілої купи зовсім різних коренів. Непогано було б привести їх до одного показника, а там – видно буде. Що ж, це цілком можливо. Найбільший з показників коренів дорівнює 12, а решта – 2, 3, 4, 6 – дільники числа 12. Тому будемо наводити все коріння за п'ятою властивістю до одного показника – до 12:

Вважаємо та отримуємо:

Красивого числа не отримали, та й гаразд. Нас просили спроститивираз, а не порахувати. Спростили? Звичайно! А вид відповіді (ціле число чи ні) тут уже не відіграє жодної ролі.

Трохи складання/віднімання та формул скороченого множення

На жаль, загальних формул для додавання та віднімання коренівв математиці немає. Однак, у завданнях часто-густо зустрічаються ці дії з корінням. Тут необхідно розуміти, що будь-яке коріння – це точно такі ж математичні значки, як і літери в алгебрі.) І до коренів застосовні ті самі прийоми і правила, що і до літер – розкриття дужок, приведення подібних, формули скороченого множення і т.д. п.

Наприклад, кожному ясно, що . Так само однаковікоріння можна цілком спокійно між собою складати/віднімати:

Якщо коріння різні, то шукаємо спосіб зробити їх однаковими – внесенням/винесенням множника або ж за п'ятою властивістю. Якщо ну ніяк не спрощується, то, можливо, перетворення хитріші.

Дивимось перший приклад.

Визначити значення висловлювання: .

Усі три корені хоч і кубічні, але з різнихчисел. Чисто не витягуються і між собою складаються/віднімаються. Отже, застосування загальних формул тут не котить. Як бути? А винесемо множники в кожному корені. (Гірше в будь-якому випадку не буде.) Тим більше, що інших варіантів, власне, і немає:

Стало бути, .

Ось і все рішення. Тут ми від різних коренів перейшли до однакових за допомогою винесення множника з-під кореня. А потім просто привели подібні.) Вирішуємо далі.

Знайти значення виразу:

З корінням з сімнадцяти точно нічого не вдієш. Працюємо за першою властивістю – робимо з добутку двох коренів один корінь:

А тепер придивимося уважніше. Що у нас під великим кубічним коренем? Різниця ква. Ну, звичайно! Різниця квадратів:

Тепер залишилося лише витягти корінь: .

Обчислити:

Тут доведеться проявити математичну кмітливість.) Думаємо приблизно так: «Так, у прикладі витвір коріння. Під одним коренем різницю, а під іншим – сума. Дуже схоже на формулу різниці квадратів. Але… Коріння – різні! Перший квадратний, а другий – четвертого ступеня… Добре зробити їх однаковими. За п'ятою властивістю можна легко з квадратного кореня зробити корінь четвертого ступеня. Для цього досить підкорене вираження звести до квадрата.»

Якщо ви мислили приблизно так само, то ви - на півдорозі до успіху. Абсолютно вірно! Перетворимо перший множник на корінь четвертого ступеня. Ось так:

Тепер, нічого не вдієш, але доведеться згадати формулу квадрата різниці. Тільки у застосуванні до коріння. Ну і що? Чим коріння гірше за інші числа чи вирази?! Зводимо:

«Хм, ну звели і що? Хрін редьки не солодший. Стоп! А якщо винести четвірку під коренем? Тоді випливе те саме вираз, що й під другим коренем, тільки з мінусом, а саме цього ми й добиваємося!»

Правильно! Виносимо четвірку:

.

А тепер – справа техніки:

Ось так розплутуються складні приклади.) Тепер настав час потренуватися з дробами.

Обчислити:

Зрозуміло, що треба перетворювати чисельник. Як? За формулою квадрата суми, очевидно. У нас ще є варіанти хіба? :) Зводимо в квадрат, виносимо множники, скорочуємо показники (де треба):

ВО як! Отримали точно знаменник нашого дробу.) Значить, весь дріб, очевидно, дорівнює одиниці:

Ще приклад. Тільки тепер на іншу формулу скороченого множення.)

Обчислити:

Зрозуміло, що квадрат різниці треба застосовувати. Виписуємо знаменник окремо та – поїхали!

Виносимо множники з-під коріння:

Отже,

Тепер все погане чудово скорочується і виходить:

Що ж, піднімаємось на наступний рівень. :)

Літери та додаткові умови

Літерні вирази з корінням – штука хитріша, ніж числові вирази, і є невичерпним джерелом прикрих і дуже грубих помилок. Перекриємо це джерело.) Помилки випливають через те, що часто таких завданнях фігурують негативні числа і висловлювання. Вони або дано нам прямо в завданні, або сховані в літерах та додаткових умовах. А нам у процесі роботи з корінням постійно треба пам'ятати, що в корінні парного ступеняяк під самим коренем, так і в результаті вилучення кореня має бути невід'ємний вираз. Ключовою формулою задач цього пункту буде четверта формула:

З корінням непарного ступеня питань ніяких - там завжди все витягується з плюсом, що з мінусом. І мінус, якщо що, виноситься вперед. Будемо відразу розбиратися з корінням парнихстепеней.) Наприклад, таке коротеньке завдання.

Спростити: , якщо .

Здавалося б, просто. Вийде просто ікс.) Але навіщо тоді додаткова умова? У разі корисно прикинути на числах. Чисто для себе.) Якщо, то ікс - свідомо негативне число. Мінус три, наприклад. Або мінус сорок. Нехай. Чи можна мінус три звести в четвертий ступінь? Звичайно! Вийде 81. Чи можна з 81 витягти корінь четвертого ступеня? А чому ні? Можна, можливо! Вийде трійка. Тепер проаналізуємо весь наш ланцюжок:

Що ми бачимо? На вході було негативне число, але в виході – вже позитивне. Було мінус три, стало плюс три. Повертаємось до літер. Поза всякими сумнівами, по модулю це буде точно ікс, але тільки сам ікс у нас з мінусом (за умовою!), а результат вилучення (через арифметичний корінь!) має бути з плюсом. Як отримати плюс? Дуже просто! Для цього достатньо перед свідомо негативним числом поставити мінус.) І правильне рішення виглядає так:

До речі, якби ми скористалися формулою , то, згадавши визначення модуля, одразу отримали б правильну відповідь. Оскільки

|х| = -x при x<0.

Винести множник за знак кореня: , де .

Перший погляд – на підкорене вираз. Тут все ОК. За будь-якого розкладу воно буде невід'ємним. Починаємо отримувати. За формулою кореня з твору витягаємо корінь з кожного множника:

Звідки взялися модулі, пояснювати, думаю, вже не треба.) А тепер аналізуємо кожен із модулів.

Множник | a | так і залишаємо без змін: у нас немає жодної умови на буквуa. Ми не знаємо, позитивна вона чи негативна. Наступний модуль |b 2 | можна сміливо опустити: у будь-якому випадку виразb 2 невід'ємно. А ось щодо |з 3 | - Тут уже завдання.) Якщо, то й з 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть з мінусом: | з 3 | = - з 3 . Разом вірне рішення буде таке:

А тепер – зворотне завдання. Не найпростіша, одразу попереджаю!

Внести множник під знак кореня: .

Якщо ви одразу запишете рішення ось так

то ви потрапили у пастку. Це неправильне рішення! У чому ж справа?

Давайте вдивимося у вираз під коренем. Під корінням четвертого ступеня, як ми знаємо, має бути невід'ємневираз. Інакше корінь сенсу немає.) Тому це, своєю чергою, означає, що й, отже, також непозитивно: .

І помилка тут полягає в тому, що ми вносимо під корінь непозитивнечисло: четвертий ступінь перетворює його на невід'ємнеі виходить невірний результат - ліворуч свідомий мінус, а справа вже плюс. А вносити під корінь парноїступеня ми маємо право тільки невід'ємнічисла чи вирази. А мінус, якщо є, залишати перед коренем.) Як нам виділити невід'ємний множник у числізнаючи, що воно саме стопудово негативне? Та так само! Поставити мінус.) А щоб нічого не змінилося, компенсувати його ще одним мінусом. Ось так:

І тепер уже невід'ємнечисло (-b) спокійно вносимо під корінь за всіма правилами:

Цей приклад наочно показує, що, на відміну інших розділів математики, у коренях правильна відповідь які завжди випливає автоматично з формул. Необхідно подумати і особисто прийняти правильне рішення.) Особливо слід бути уважнішими зі знаками в ірраціональних рівняннях та нерівностях.

Розбираємося з наступним важливим прийомом у роботі з корінням – рятуванням від ірраціональності.

Позбавлення ірраціональності в дробах

Якщо у виразі є коріння, то, нагадаю, такий вираз називається виразом з ірраціональністю. У деяких випадках буває корисно цієї самої ірраціональності (тобто коренів) позбутися. Як можна ліквідувати коріння? Корінь у нас зникає при зведенні в ступінь. З показником або рівним показником кореня, або кратним йому. Але, якщо ми зведемо корінь у ступінь (тобто помножимо корінь сам на себе потрібне число разів), то вираз від цього зміниться. Негаразд.) Однак у математиці бувають теми, де множення цілком безболісно. У дробах, наприклад. Згідно з основною властивістю дробу, якщо чисельник і знаменник помножити (розділити) на те саме число, то значення дробу не зміниться.

Припустимо, нам дано такий дріб:

Чи можна позбутися кореня у знаменнику? Можна, можливо! Для цього корінь треба звести у куб. Чого нам не вистачає у знаменнику для повного куба? Нам бракує множника, тобто.. Ось і домножуємо чисельник і знаменник дробу на

Корінь у знаменнику зник. Але… він з'явився у чисельнику. Нічого не вдієш, така доля.) Нам це вже не важливо: нас просили знаменник від коріння звільнити. Звільнили? Безумовно.)

До речі, ті, хто вже в ладах із тригонометрією, можливо, звертали увагу на те, що в деяких підручниках та таблицях, наприклад, позначають по-різному: десь, а десь. Питання – що правильно? Відповідь: все правильно!) Якщо здогадатися, що– це просто результат звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу. :)

Навіщо нам звільнятися від ірраціональності у дробах? Яка різниця – у чисельнику корінь сидить чи у знаменнику? Калькулятор все одно все порахує.) Ну, для тих, хто не розлучається з калькулятором, різниці дійсно практично ніякої ... Але, навіть рахуючи на калькуляторі, можна звернути увагу на те, що ділитина цілечисло завжди зручніше і швидше, ніж на ірраціональне. А вже про поділ у стовпчик взагалі замовчу.)

Наступний приклад лише підтвердить мої слова.

Як тут ліквідувати квадратний корінь у знаменнику? Якщо чисельник і знаменник помножити на вираз , то знаменнику вийде квадрат суми. Сума квадратів першого і другого чисел дадуть нам просто числа без будь-яких коренів, що дуже тішить. Однак... спливе подвоєний твірпершого числа на друге, де корінь із трьох все одно залишиться. Чи не канає. Як бути? Згадати іншу чудову формулу скороченого множення! Де ніяких подвоєних творів, а лише квадрати:

Такий вираз, який при домноженні якоїсь суми (або різниці) виводить на різницю квадратівще називають сполученим виразом. У нашому прикладі сполученим виразом слугуватиме різниця. Ось і примножуємо на цю різницю чисельник і знаменник:

Що тут можна сказати? В результаті наших маніпуляцій не те що корінь із знаменника зник – взагалі дріб зник! :) Навіть з калькулятором відібрати корінь із трьох від трійки простіше, ніж вважати дріб з коренем у знаменнику. Ще приклад.

Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу:

Як тут викручуватись? Формули скороченого множення з квадратами відразу не котять - не вийде повної ліквідації коренів через те, що корінь у нас цього разу не квадратний, а кубічний. Потрібно, щоб корінь якось звівся в куб. Отже, застосовувати треба якусь із формул із кубами. Який? Давайте подумаємо. У знаменнику - сума. Як нам досягти зведення кореня в куб? Примножити на неповний квадрат різниці! Значить, будемо застосовувати формулу суми кубів. Ось цю:

В якості aу нас трійка, а як b- Корінь кубічний з п'яти:

І знову дріб зник.) Такі ситуації, коли при звільненні від ірраціональності у знаменнику дробу у нас разом із корінням повністю зникає сам дріб, зустрічаються дуже часто. Як вам ось такий приклад!

Обчислити:

Спробуйте просто скласти ці три дроби! Без помилок! :) Один спільний знаменник чого вартий. А що, якщо спробувати звільнитися від ірраціональності у знаменнику кожного дробу? Що ж, пробуємо:

Ух ти як цікаво! Усі дроби зникли! Цілком. І тепер приклад вирішується на два рахунки:

Просто та елегантно. І без довгих та стомливих обчислень. :)

Саме тому операцію звільнення від ірраціональності у дробах треба вміти робити. У подібних наворочених прикладах тільки вона і рятує, так.) Зрозуміло, уважність ніхто не скасовував. Бувають завдання, де просять позбавитися ірраціональності в чисельник. Ці завдання нічим від розглянутих не відрізняються, тільки від коріння очищається чисельник.)

Більш складні приклади

Залишилося розглянути деякі спеціальні прийоми у роботі з корінням і потренуватися розплутувати не найпростіші приклади. І тоді отриманої інформації вже буде достатньо для вирішення завдань із корінням будь-якого рівня складності. Отже – вперед.) Для початку розберемося, що робити з вкладеним корінням, коли формула кореня з кореня не працює. Наприклад, ось такий приклад.

Обчислити:

Корінь під коренем… До того ж під корінням сума чи різниця. Отже, формула кореня з кореня (з перемноженням показників) тут не діє. Значить, треба щось робити з підкореними виразами: у нас просто немає інших варіантів У таких прикладах найчастіше під великим коренем зашифровано повний квадратякоїсь суми. Або різниці. А корінь із квадрата вже чудово витягується! І тепер наше завдання – його розшифрувати.) Таке розшифрування красиво робиться через систему рівнянь. Зараз все самі побачите.)

Отже, під першим корінням у нас такий вираз:

А раптом не вгадали? Перевіримо! Зводимо до квадрата за формулою квадрата суми:

Але… Звідки я взяв цей вислів? З неба?

Ні.) Ми його трохи нижче матимемо чесно. Просто за цим виразом я показую, як саме упорядники завдань шифрують такі квадрати. :) Що таке 54? Це сума квадратів першого та другого чисел. До того ж, зверніть увагу, вже без коріння! А корінь залишається в подвоєному творі, яке в нашому випадку рівне . Тому розплутування таких прикладів починається з пошуку подвоєного твору. Якщо розплутувати звичайним підбором. І, до речі, про знаки. Тут все просто. Якщо перед подвоєним плюс, то квадрат суми. Якщо мінус, то різниці.) У нас плюс – значить, квадрат суми.) А тепер – обіцяний аналітичний спосіб розшифрування. Через систему.)

Отже, у нас під корінням явно тусується вираз (a+b) 2, і наше завдання – знайти aі b. У нашому випадку сума квадратів дає 54. Ось і пишемо:

Тепер подвоєний твір. Воно у нас. Так і записуємо:

Отримали таку систему:

Вирішуємо простим способом підстановки. Виражаємо з другого рівняння, наприклад, і підставляємо перше:

Розв'яжемо перше рівняння:

Отримали біквадратнерівняння щодоa . Вважаємо дискримінант:

Значить,

Набули аж чотири можливі значенняa. Не лякаємось. Зараз ми все зайве відсіємо.) Якщо ми зараз для кожного із чотирьох знайдених значень порахуємо відповідні значення, то отримаємо чотири рішення нашої системи. Ось вони:

І тут питання – а яке рішення нам підходить? Давайте подумаємо. Негативні рішення можна відразу відкинути: при зведенні в квадрат мінуси «згорять», і все підкорене вираз загалом не зміниться. Залишаються перші два варіанти. Вибрати їх можна цілком довільно: від перестановки доданків сума все одно не змінюється.) Нехай, наприклад, , а .

Разом отримали під корінням квадрат ось такої суми:

Все чітко.)

Я не дарма так детально описую перебіг рішення. Щоб було зрозуміло, як відбувається розшифрування. Але є одна проблемка. Аналітичний спосіб розшифровки хоч і надійний, але дуже довгий і громіздкий: доводиться вирішувати біквадратне рівняння, отримувати чотири рішення системи і потім ще думати, які з них вибрати... Клопітно? Згоден, клопітно. Цей спосіб безвідмовно працює у більшості подібних прикладів. Однак дуже часто можна здорово скоротити собі роботу і знайти обидва числа творчо. Підбором.) Так-так! Зараз, на прикладі другого доданку (другого кореня), я покажу більш легкий та швидкий спосіб виділення повного квадрата під коренем.

Отже, тепер у нас такий корінь: .

Розмірковуємо так: «Під корінням – швидше за все, зашифрований повний квадрат. Раз перед подвоєним мінус – значить, квадрат різниці. Сума квадратів першого та другого чисел дає нам число 54. Але які це квадрати? 1 та 53? 49 та 5 ? Дуже багато варіантів ... Ні, краще почати розплутувати з подвоєного твору. Нашіможна розписати як. Раз твір подвоєне, то двійку відразу відкидаємо. Тоді кандидатами на роль a і b залишаються 7 і . А раптом, це 14 і/2 ? Не виключено. Але починаємо завжди з простого!»Отже, нехай, а. Перевіримо їх на суму квадратів:

Вийшло! Отже, наш підкорений вираз – це насправді квадрат різниці:

Ось такий спосіб-лайт, щоб не зв'язуватися з системою. Не завжди працює, але у багатьох таких прикладах його цілком достатньо. Отже, під корінням – повні квадрати. Залишилося тільки правильно витягти коріння, та дорахувати приклад:

А тепер розберемо ще більш нестандартне завдання на корені.)

Доведіть, що число A- ціле, якщо .

Прямо нічого не витягується, коріння вкладене, та ще й різних ступенів... Кошмар! Проте, завдання має сенс.) Отже, ключ до його вирішення є.) А ключ тут такий. Розглянемо нашу рівність

як рівняння щодо A. Так Так! Добре було б позбутися коріння. Коріння у нас кубічні, тому зведемо обидві частини рівності в куб. За формулою куба суми:

Куби та коріння кубічні один одного компенсують, а під кожним великим коренем забираємо одну дужку у квадрата і згортаємо твір різниці та суми у різниця квадратів:

Окремо порахуємо різницю квадратів під корінням:

На початку уроку ми повторимо основні властивості квадратного коріння, а потім розглянемо кілька складних прикладів на спрощення виразів, що містять квадратне коріння.

Тема:Функція. Властивості квадратного кореня

Урок:Перетворення та спрощення складніших виразів з корінням

1. Повторення властивостей квадратного коріння

Коротко повторимо теорію і нагадаємо основні властивості квадратного коріння.

Властивості квадратного коріння:

1. , отже, ;

3. ;

4. .

2. Приклади на спрощення виразів із корінням

Перейдемо до прикладів використання цих властивостей.

Приклад 1. Спростити вираз .

Рішення. Для спрощення число 120 необхідно розкласти на прості множники:

Квадрат суми розкриємо за відповідною формулою:

Приклад 2. Спростити вираз .

Рішення. Врахуємо, що даний вираз має сенс не при всіх можливих значеннях змінної, тому що в даному виразі присутні квадратне коріння і дроби, що призводить до звуження області допустимих значень. ОДЗ: ().

Наведемо вираз у дужках до спільного знаменника і розпишемо чисельник останнього дробу як різницю квадратів:

При.

Відповідь. при.

Приклад 3. Спростити вираз .

Рішення. Видно, що друга дужка чисельника має незручний вигляд і потребує спрощення, спробуємо розкласти її на множники за допомогою методу угруповання.

Для можливості виносити загальний множник ми спростили коріння шляхом їхнього розкладання на множники. Підставимо отриманий вираз у вихідний дріб:

Після скорочення дробу застосовуємо формулу різниці квадратів.

3. Приклад на порятунок від ірраціональності

Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності (коренів) у знаменнику: а); б).

Рішення. а) Для того щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику, застосовується стандартний метод домноження і чисельника і знаменника дробу на пов'язаний до знаменника множник (таке ж вираз, але зі зворотним знаком). Це робиться для доповнення знаменника дробу до різниці квадратів, що дозволяє позбавитися коріння в знаменнику. Виконаємо цей прийом у нашому випадку:

б) виконаємо аналогічні дії:

відповідь.; .

4. Приклад на доказ і виділення повного квадрата в складному радикалі

Приклад 5. Доведіть рівність .

Доведення. Скористаємося визначенням квадратного кореня, з якого випливає, що квадрат правого виразу має дорівнювати підкореному виразу:

. Розкриємо дужки за формулою квадрата суми:

, Здобули правильну рівність.

Доведено.

Приклад 6. Спростити вираз.

Рішення. Зазначений вираз прийнято називати складним радикалом (корінь під коренем). У цьому прикладі необхідно здогадатися виділити повний квадрат із підкореного виразу. Для цього зауважимо, що з двох доданків є претендентом на роль подвоєного твору у формулі квадрата різниці (різниці, тому що є мінус). Розпишемо його у вигляді такого твору: , тоді роль одного з доданків повного квадрата претендує , але в роль другого - 1.

Підставимо цей вислів під корінь.

До появи калькуляторів студенти та викладачі обчислювали квадратне коріння вручну. Існує кілька способів обчислення квадратного кореня числа вручну. Деякі з них пропонують лише приблизне рішення, інші дають точну відповідь.

Кроки

Розкладання на прості множники

Розкладіть підкорене число на множники, які є квадратними числами.Залежно від підкореного числа, ви отримаєте приблизну чи точну відповідь. Квадратні числа - числа, з яких можна витягти цілий квадратний корінь. Множники – числа, які за перемноженні дають вихідне число. Наприклад, множниками числа 8 є 2 і 4, оскільки 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 є квадратними числами, оскільки √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратні множники – це множники які є квадратними числами. Спочатку спробуйте розкласти підкорене число на квадратні множники.

• Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 400 (вручну). Спочатку спробуйте розкласти 400 на квадратні множники. 400 разів 100, тобто ділиться на 25 - це квадратне число. Розділивши 400 на 25, ви отримаєте 16. Число 16 є квадратним числом. Таким чином, 400 можна розкласти на квадратні множники 25 та 16, тобто 25 х 16 = 400.
• Записати це можна так: √400 = √(25 х 16).

1. Квадратний корінь із твору деяких членів дорівнює добутку квадратного коріння з кожного члена, тобто √(а х b) = √a x √b. Скористайтеся цим правилом та вийміть квадратний корінь з кожного квадратного множника та перемножте отримані результати, щоб знайти відповідь.

   • У нашому прикладі вийміть корінь із 25 та з 16.
     • √(25 х 16)
     • √25 х √16
     • 5 х 4 = 20

2. Якщо підкорене число не розкладається на два квадратні множники (а так відбувається в більшості випадків), ви не зможете знайти точну відповідь у вигляді цілого числа. Але ви можете спростити завдання, розклавши підкорене число на квадратний множник та звичайний множник (число, з якого цілий квадратний корінь витягти не можна). Потім ви витягнете квадратний корінь із квадратного множника і витягуватимете корінь зі звичайного множника.

   • Наприклад, обчисліть квадратний корінь із числа 147. Число 147 не можна розкласти на два квадратні множники, але його можна розкласти на наступні множники: 49 і 3. Розв'яжіть задачу таким чином:
     • = √(49 х 3)
     • = √49 х √3
     • = 7√3

3. Якщо необхідно, оцініть значення кореня.Тепер можна оцінити значення кореня (знайти приблизне значення), порівнявши його зі значеннями коренів квадратних чисел, що знаходяться найближче (з обох сторін на числовій прямій) до підкореного числа. Ви отримаєте значення кореня у вигляді десяткового дробу, який необхідно помножити на число, що стоїть за знаком кореня.

   • Повернемося до нашого прикладу. Підкорене число 3. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 1 (√1 = 1) та 4 (√4 = 2). Таким чином, значення √3 розташоване між 1 і 2. Так як значення √3, ймовірно, ближче до 2, ніж до 1, то наша оцінка: √3 = 1,7. Помножуємо це значення на число біля знака кореня: 7 х 1,7 = 11,9. Якщо ви зробите розрахунки на калькуляторі, то отримаєте 12,13, що досить близько до нашої відповіді.
     • Цей метод також працює з великими числами. Наприклад, розглянемо √35. Підкорене число 35. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 25 (25 = 5) і 36 (36 = 6). Таким чином, значення √35 розташоване між 5 і 6. Так як значення √35 набагато ближче до 6, ніж до 5 (бо 35 всього на 1 менше 36), то можна заявити, що √35 трохи менше 6. Перевірка на калькуляторі дає нам відповідь 5,92 - ми мали рацію.

4. Ще один спосіб - розкладіть підкорене число на прості множники . Прості множники – числа, які діляться лише з 1 і себе. Запишіть прості множники до ряду і знайдіть пари однакових множників. Такі множники можна винести за знак кореня.

   • Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 45. Розкладаємо підкорене число на прості множники: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким чином, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можна винести за знак кореня: √45 = 3√5. Тепер можна оцінити √5.
   • Розглянемо інший приклад: √88.
     • = √(2 х 44)
     • = √ (2 х 4 х 11)
     • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Ви отримали три множники 2; Візьміть пару з них і винесіть за знак кореня.
     • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Тепер можна оцінити √2 та √11 та знайти приблизну відповідь.

   Обчислення квадратного кореня вручну

   За допомогою поділу в стовпчик

   1. Цей метод включає процес, аналогічний поділу в стовпчик, і дає точну відповідь.Спочатку проведіть вертикальну лінію, що ділить лист на дві половини, а потім праворуч і трохи нижче верхнього краю листа до вертикальної лінії намалюйте горизонтальну лінію. Тепер поділіть підкорене число на пари чисел, починаючи з дробової частини після коми. Так, число 79520789182,47897 записується як "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Наприклад обчислимо квадратний корінь числа 780,14. Намалюйте дві лінії (як показано на малюнку) і зліва зверху напишіть це число у вигляді "7 80, 14". Це нормально, що перша цифра зліва є непарною цифрою. Відповідь (корінь з цього числа) записуватимете праворуч зверху.

   2. Для першої зліва пари чисел (або одного числа) знайдіть найбільше ціле число n, квадрат якого менший або дорівнює парі чисел (або одного числа), що розглядається. Іншими словами, знайдіть квадратне число, яке розташоване найближче до першої зліва пари чисел (або одного числа), але менше її, і вийміть квадратний корінь із цього квадратного числа; ви отримаєте число n. Напишіть знайдене n зверху праворуч, а квадрат n запишіть знизу праворуч.

      • У нашому випадку, першим зліва числом буде число 7. Далі, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Відніміть квадрат числа n, яке ви щойно знайшли, з першої зліва пари чисел (або одного числа).Результат обчислення запишіть під віднімається (квадратом числа n).

      • У нашому прикладі відніміть 4 з 7 і отримайте 3.

   4. Знесіть другу пару чисел і запишіть її біля значення, отриманого на попередньому кроці.Потім подвайте число зверху праворуч і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".

      • У прикладі другий парою чисел є " 80 " . Запишіть "80" після 3. Потім подвоєне число зверху праворуч дає 4. Запишіть "4_×_=" знизу праворуч.

   5. Заповніть прочерки праворуч.

      • У нашому випадку, якщо замість прочерків поставити число 8, то 48 х 8 = 384, що більше за 380. Тому 8 - занадто велике число, а ось 7 підійде. Напишіть 7 замість прочерків і отримайте: 47 х 7 = 329. Запишіть 7 зверху праворуч - це друга цифра в квадратному корені числа 780,14.

   6. Відніміть отримане число з поточного числа зліва.Запишіть результат з попереднього кроку під поточним числом зліва, знайдіть різницю та запишіть її під віднімається.

      • У нашому прикладі відніміть 329 з 380, що дорівнює 51.

   7. Повторіть крок 4.Якщо парою чисел, що зноситься, є дробова частина вихідного числа, то поставте роздільник (кому) цілою і дробовою частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Зліва знесіть наступну пару чисел. Подвійте число зверху праворуч та запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".

      • У нашому прикладі наступною парою чисел, що зноситься, буде дробова частина числа 780.14, тому поставте роздільник цілої і дробової частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Знесіть 14 і запишіть знизу ліворуч. Подвоєним числом зверху праворуч (27) буде 54, тому напишіть "54_×_=" знизу праворуч.

   8. Повторіть кроки 5 та 6.Знайдіть таке найбільше число на місце прочерків праворуч (замість прочерків потрібно підставити одне й те саме число), щоб результат множення був меншим або дорівнює поточному числу зліва.

      • У прикладі 549 x 9 = 4941, що менше поточного числа зліва (5114). Напишіть 9 зверху праворуч та відніміть результат множення з поточного числа зліва: 5114 - 4941 = 173.

   9. Якщо для квадратного кореня вам необхідно знайти більше знаків після коми, напишіть пару нулів у поточного числа зліва і повторюйте кроки 4, 5 і 6. Повторюйте кроки, доки не отримаєте потрібну вам точність відповіді (число знаків після коми).

   Розуміння процесу

   Для засвоєння даного методу уявіть число, квадратний корінь якого необхідно знайти, як площа квадрата S. У цьому випадку ви шукатимете довжину сторони L такого квадрата. Обчислюємо таке значення L, у якому L² = S.

   Введіть літеру для кожної цифри у відповіді.Позначимо через A першу цифру значення L (потрібний квадратний корінь). B буде другою цифрою, C - третьою тощо.

   Введіть літеру для кожної пари перших цифр.Позначимо через Sa першу пару цифр у значенні S, через S b - другу пару цифр і так далі.

   Уясніть зв'язок даного методу з розподілом у стовпчик.Як і в операції поділу, де щоразу нас цікавить лише одна наступна цифра діленого числа, при обчисленні квадратного кореня ми послідовно працюємо з кількома цифрами (для отримання однієї наступної цифри у значенні квадратного кореня).

   1. Розглянемо першу пару цифр Sa числа S (Sa = 7 у прикладі) і знайдемо її квадратний корінь.У цьому випадку першою цифрою A значення квадратного кореня, що шукається, буде така цифра, квадрат якої менший або дорівнює S a (тобто шукаємо таке A, при якому виконується нерівність A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Припустимо, що потрібно розділити 88 962 на 7; тут перший крок буде аналогічним: розглядаємо першу цифру діленого числа 88962 (8) і підбираємо таке найбільше число, яке при множенні на 7 дає значення менше або дорівнює 8. Тобто, шукаємо таке число d, при якому вірна нерівність: 7×d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.