Як вирішувати складні приклади з корінням. Як вирішувати приклади з корінням. Чому підкорені вирази мають бути невід'ємними

факт 1.
\(\bullet\) Візьмемо деяке невід'ємне число \(a\) (тобто \(a\geqslant 0\)). Тоді (арифметичним) квадратним коренемз числа \(a\) називається таке невід'ємне число \(b\), при зведенні якого в квадрат ми отримаємо число \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(те саме, що )\quad a=b^2\]З визначення випливає, що \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ці обмеження є важливою умовою існування квадратного кореня і слід їх запам'ятати!
Згадаймо, що будь-яке число при зведенні квадрата дає невід'ємний результат. Тобто \(100^2=10000\geqslant 0\) і \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
\(\bullet\) Чому дорівнює \(\sqrt(25)\)? Ми знаємо, що \(5^2=25\) і \((-5)^2=25\). Так як за визначенням ми повинні знайти невід'ємне число, то \(-5\) не підходить, отже, \(\sqrt(25)=5\) (оскільки \(25=5^2\)).
Знаходження значення \(\sqrt a\) називається вилученням квадратного кореня з числа \(a\) , а число \(a\) називається підкореним виразом.
\(\bullet\) Виходячи з визначення, виразу \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) і т.п. немає сенсу.

факт 2.
Для швидких обчислень корисно буде вивчити таблицю квадратів натуральних чисел від (1) до (20): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\hline \end(array)\]

факт 3.
Які дії можна виконувати з квадратним корінням?
\(\bullet\) Сума чи різниця квадратного коріння НЕ РІВНА квадратному кореню із суми чи різниці, тобто \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Таким чином, якщо вам потрібно обчислити, наприклад, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , то спочатку ви повинні знайти значення \(\sqrt(25)\) і \(\sqrt(49)\ ), а потім їх скласти. Отже, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Якщо значення \(\sqrt a\) або \(\sqrt b\) при додаванні \(\sqrt a+\sqrt b\) знайти не вдається, то такий вираз далі не перетворюється і залишається таким, як є. Наприклад, у сумі \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) ми можемо знайти \(\sqrt(49)\) - це \(7\) , а от \(\sqrt 2\) ніяк перетворити не можна, тому \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Далі цей вислів, на жаль, спростити неможливо\(\bullet\) Твір/приватне квадратного коріння дорівнює квадратному кореню з твору/приватного, тобто \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(і)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (за умови, що обидві частини рівностей мають сенс)
Приклад: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Користуючись цими властивостями, зручно знаходити квадратне коріння з великих чисел шляхом розкладання їх на множники.
Розглянемо приклад. Знайдемо \(\sqrt(44100)\). Так як \ (44100: 100 = 441 \), то (44100 = 100 \ cdot 441 \). За ознакою ділимості число \(441\) ділиться на \(9\) (оскільки сума його цифр дорівнює 9 і ділиться на 9), отже, \(441:9=49\) , тобто \(441=9\) cdot 49) .
Таким чином, ми отримали: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Розглянемо ще один приклад: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 = \ dfrac (56) 3 \]
\(\bullet\) Покажемо, як вносити числа під знак квадратного кореня на прикладі виразу \(5\sqrt2\) (скорочений запис від виразу \(5\cdot \sqrt2\)). Оскільки \(5=\sqrt(25)\) , то \ Зауважимо також, що, наприклад,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) (sqrt a + sqrt a = 2 sqrt a) .

Чому так? Пояснимо з прикладу 1). Як ви вже зрозуміли, якось перетворити число (sqrt2) ми не можемо. Припустимо, що \(\sqrt2\) - це деяке число \(a\). Відповідно, вираз \(\sqrt2+3\sqrt2\) є не що інше, як \(a+3a\) (одне число \(a\) плюс ще три таких же числа \(a\) ). А ми знаємо, що це дорівнює чотирьом таким числам \(a\), тобто \(4\sqrt2\).

факт 4.
\(\bullet\) Часто кажуть "не можна витягти корінь", коли не вдається позбутися знака \(\sqrt() \ \) кореня (радикала) при знаходженні значення якогось числа. Наприклад, витягти корінь у складі \(16\) можна, тому що \(16=4^2\) , тому \(\sqrt(16)=4\) . А ось витягти корінь із числа \(3\), тобто знайти \(\sqrt3\), не можна, тому що немає такого числа, яке в квадраті дасть \(3\).
Такі числа (або вирази з такими числами) є ірраціональними. Наприклад, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)і т.п. є ірраціональними.
Також ірраціональними є числа \(\pi\) (число "пі", приблизно рівне \(3,14\) ), \(e\) (це число називають числом Ейлера, приблизно воно дорівнює \(2,7\) ) і т.д.
\(\bullet\) Звертаємо вашу увагу на те, що будь-яке число буде або раціональним, або ірраціональним. А разом усі раціональні та всі ірраціональні числа утворюють безліч, що називається безліччю дійсних (речових) чисел.Позначається це безліч буквою \(\mathbb(R)\).
Отже, всі числа, які ми знаємо, називаються речовими числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль речового числа \(a\) – це невід'ємне число \(|a|\) , що дорівнює відстані від точки \(a\) до \(0\) на речовій прямій. Наприклад, \(|3|\) і \(|-3|\) дорівнюють 3, тому що відстані від точок \(3\) і \(-3\) до \(0\) однакові і рівні \(3 \).
\(\bullet\) Якщо \(a\) – невід'ємне число, то \(|a|=a\) .
Приклад: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Якщо \(a\) – від'ємне число, то \(|a|=-a\) .
Приклад: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Кажуть, що у негативних чисел модуль "з'їдає" мінус, а позитивні числа, а також число (0), модуль залишає без змін.
АЛЕтаке правило годиться лише для чисел. Якщо у вас під знаком модуля знаходиться невідома \(x\) (або якась інша невідома), наприклад, \(|x|\) , про яку ми не знаємо, чи позитивна вона, дорівнює нулю або негативна, то позбутися модуля ми не можемо. І тут цей вислів таким і залишається: \(|x|\) . \(\bullet\) Мають місце такі формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( за умови ) a\geqslant 0\]Дуже часто допускається така помилка: кажуть, що \(sqrt(a^2)\) і \((sqrt a)^2\) - одне і те ж. Це вірно тільки в тому випадку, коли (a) - позитивне число або нуль. А ось якщо \(a\) - негативне число, то це не так. Достатньо розглянути такий приклад. Візьмемо замість \(a\) число \(-1\). Тоді \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , а ось вираз \((\sqrt(-1))^2\) взагалі не існує (адже не можна під знак кореня поміщати негативні числа!).
Тому звертаємо вашу увагу, що \(\sqrt(a^2)\) не дорівнює \((\sqrt a)^2\) !Приклад: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Оскільки \(\sqrt(a^2)=|a|\) , то \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (вираз \(2n\) позначає парне число)
Тобто при витягуванні кореня з числа, що знаходиться певною мірою, цей ступінь зменшується вдвічі.
Приклад:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (зауважимо, що якщо модуль не поставити, то вийде, що корінь з числа дорівнює \(-25\); але ми пам'ятаємо , Що за визначенням кореня такого бути не може: у нас завжди при вилученні кореня має виходити позитивне число або нуль)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (оскільки будь-яке число парною мірою неотрицательно)

Факт 6.
Як порівняти два квадратні корені?
\(\bullet\) Для квадратного коріння вірно: якщо \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПриклад:
1) порівняємо \(\sqrt(50)\) і \(6\sqrt2\) . Для початку перетворимо другий вираз у \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Таким чином, оскільки \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Між якими цілими числами знаходиться (sqrt (50))?
Оскільки \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Порівняємо \(\sqrt 2-1\) і \(0,5\). Припустимо, що \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додамо одиницю до обох частин))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ big| \ ^2 \quad\text((зведемо обидві частини в квадрат))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\]Бачимо, що ми здобули неправильну нерівність. Отже, наше припущення було невірним і (sqrt 2-1<0,5\) .
Зауважимо, що додавання деякого числа до обох частин нерівності впливає з його знак. Множення/поділ обох частин нерівності на позитивне число також не впливає на його знак, а множення/розподіл на негативне число змінює знак нерівності на протилежний!
Зводити обидві частини рівняння/нерівності в квадрат можна ТІЛЬКИ ТОДІ, коли обидві частини невід'ємні. Наприклад, у нерівності з попереднього прикладу зводити обидві частини квадрат можна, в нерівності \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Слід запам'ятати, що \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ \sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\]Знання приблизного значення цих чисел допоможе вам порівняти чисел! \(\bullet\) Для того, щоб витягти корінь (якщо він витягується) з якогось великого числа, якого немає в таблиці квадратів, потрібно спочатку визначити, між якими “сотнями” воно знаходиться, потім – між якими “десятками”, а потім уже визначити останню цифру цього числа. Покажемо, як це працює на прикладі.
Візьмемо \(\sqrt(28224)\). Ми знаємо, що \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) і т.д. Зауважимо, що \(28224\) знаходиться між \(10\,000\) та \(40\,000\) . Отже, \(\sqrt(28224)\) знаходиться між \(100\) і \(200\) .
Тепер визначимо, між якими “десятками” знаходиться наше число (тобто, наприклад, між (120) і (130)). Також із таблиці квадратів знаємо, що \(11^2=121\) , \(12^2=144\) і т.д., тоді \(110^2=12100\) , \(120^2=14400) \) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \). Таким чином, ми бачимо, що \(28224\) знаходиться між \(160^2\) і \(170^2\). Отже, число (sqrt (28224)) знаходиться між (160) і (170).
Спробуймо визначити останню цифру. Згадаймо, які однозначні числа при зведенні в квадрат дають на кінці (4)? Це \(2^2\) і \(8^2\). Отже, \(\sqrt(28224)\) буде закінчуватися або на 2, або на 8. Перевіримо це. Знайдемо \(162^2\) і \(168^2\):
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \) .
Отже, (sqrt (28224) = 168) . Вуаль!

Для того, щоб гідно вирішити ЄДІ з математики, насамперед необхідно вивчити теоретичний матеріал, який знайомить із численними теоремами, формулами, алгоритмами тощо. На перший погляд може здатися, що це досить просто. Однак знайти джерело, в якому теорія для ЄДІ з математики викладена легко і зрозуміло для учнів з будь-яким рівнем підготовки, - завдання досить складне. Шкільні підручники неможливо завжди тримати під рукою. А знайти основні формули для ЄДІ з математики непросто буває навіть в Інтернеті.

Чому так важливо вивчати теорію з математики не лише для тих, хто здає ЄДІ?

1. Тому що це розширює кругозір. Вивчення теоретичного матеріалу з математики корисно всім, хто хоче отримати відповіді широке коло питань, що з пізнанням навколишнього світу. Все у природі впорядковане і має чітку логіку. Саме це і відбивається у науці, через яку можна зрозуміти світ.
2. Тому що це розвиває інтелект. Вивчаючи довідкові матеріали для ЄДІ з математики, а також вирішуючи різноманітні завдання, людина вчиться логічно мислити та розмірковувати, грамотно та чітко формулювати думки. У нього виробляється здатність аналізувати, узагальнювати, робити висновки.

Пропонуємо вам особисто оцінити всі переваги нашого підходу до систематизації та викладу навчальних матеріалів.

Операції зі ступенями та корінням. Ступінь із негативним ,

нульовим та дробовим показником. Про висловлювання, які не мають сенсу.

Операції зі ступенями.

1. При множенні ступенів з однаковою основою їх показники складаються:

a m · a n = a m + n.

2. При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються .

3. Ступінь добутку двох або кількох співмножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. Ступінь відношення (дробі) дорівнює відношенню ступенів ділимого (числителя) та дільника (знаменника):

(a/b ) n = a n / b n.

5. При зведенні ступеня до ступеня їх показники перемножуються:

(a m ) n = a m n .

Всі наведені вище формули читаються і виконуються в обох напрямках зліва направо і навпаки.

П р і м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операції з корінням. У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь(підкорене вираз позитивно).

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює твору коріння з цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню коріння ділимого та дільника:

3. При зведенні кореня до ступеня достатньо звести в цей ступінь підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в m раз і одночасно звести в m -у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в m раз і одночасно витягти корінь m -ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня незміниться:

Розширення поняття ступеня. Досі ми розглядали ступені лише з натуральним показником;але дії зі ступенями та корінням можуть призводити також до негативним, нульовимі дробовимпоказниками. Всі ці показники ступенів потребують додаткового визначення.

Ступінь із негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величинінегативного показника:

Тепер формула a m: a n= a m - n може бути використана не тільки приmбільше, ніж n, але і при mменшим, ніж n .

Примірник. a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Якщо ми хочемо, щоб формулаa m : a n= a m - nбула справедлива заm = n, нам потрібне визначення нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.

Приміри. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне числоа в ступінь m/n , потрібно витягти корінь n – ступеня з m -ой ступеня цього числаа:

Про висловлювання, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.будь-яке число.

Справді, якщо припустити, що це вираз дорівнює деякому числу x, то згідно з визначенням операції поділу маємо: 0 = 0 · x. Але ця рівність має місце при будь-якому числі x, що й потрібно було довести.

Випадок 3.

0 0 - будь-яке число.

Справді,

Розв'язання. Розглянемо три основні випадки:

1) x = 0 – це значення не задовольняє даному рівнянню

(Чому?).

2) при x> 0 отримуємо: x/x = 1, тобто. 1 = 1, звідки слід,

що x- Будь-яке число; але беручи до уваги, що в

нашому випадку x> 0 , відповіддю єx > 0 ;

3) при x < 0 получаем: – x/x= 1, тобто . -1 = 1, отже,

І тут немає рішення.

Таким чином, x > 0.

На початку уроку ми повторимо основні властивості квадратного коріння, а потім розглянемо кілька складних прикладів на спрощення виразів, що містять квадратне коріння.

Тема:Функція. Властивості квадратного кореня

Урок:Перетворення та спрощення складніших виразів з корінням

1. Повторення властивостей квадратного коріння

Коротко повторимо теорію і нагадаємо основні властивості квадратного коріння.

Властивості квадратного коріння:

1. , отже, ;

3. ;

4. .

2. Приклади на спрощення виразів із корінням

Перейдемо до прикладів використання цих властивостей.

Приклад 1. Спростити вираз .

Рішення. Для спрощення число 120 необхідно розкласти на прості множники:

Квадрат суми розкриємо за відповідною формулою:

Приклад 2. Спростити вираз .

Рішення. Врахуємо, що даний вираз має сенс не при всіх можливих значеннях змінної, тому що в даному виразі присутні квадратне коріння і дроби, що призводить до звуження області допустимих значень. ОДЗ: ().

Наведемо вираз у дужках до спільного знаменника і розпишемо чисельник останнього дробу як різницю квадратів:

При.

Відповідь. при.

Приклад 3. Спростити вираз .

Рішення. Видно, що друга дужка чисельника має незручний вигляд і потребує спрощення, спробуємо розкласти її на множники за допомогою методу угруповання.

Для можливості виносити загальний множник ми спростили коріння шляхом їхнього розкладання на множники. Підставимо отриманий вираз у вихідний дріб:

Після скорочення дробу застосовуємо формулу різниці квадратів.

3. Приклад на порятунок від ірраціональності

Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності (коренів) у знаменнику: а); б).

Рішення. а) Для того щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику, застосовується стандартний метод домноження і чисельника і знаменника дробу на пов'язаний до знаменника множник (таке ж вираз, але зі зворотним знаком). Це робиться для доповнення знаменника дробу до різниці квадратів, що дозволяє позбавитися коріння в знаменнику. Виконаємо цей прийом у нашому випадку:

б) виконаємо аналогічні дії:

відповідь.; .

4. Приклад на доказ і виділення повного квадрата в складному радикалі

Приклад 5. Доведіть рівність .

Доведення. Скористаємося визначенням квадратного кореня, з якого випливає, що квадрат правого виразу має дорівнювати підкореному виразу:

. Розкриємо дужки за формулою квадрата суми:

, Здобули правильну рівність.

Доведено.

Приклад 6. Спростити вираз.

Рішення. Зазначений вираз прийнято називати складним радикалом (корінь під коренем). У цьому прикладі необхідно здогадатися виділити повний квадрат із підкореного виразу. Для цього зауважимо, що з двох доданків є претендентом на роль подвоєного твору у формулі квадрата різниці (різниці, тому що є мінус). Розпишемо його у вигляді такого твору: , тоді роль одного з доданків повного квадрата претендує , але в роль другого - 1.

Підставимо цей вислів під корінь.

Ця стаття є сукупністю детальної інформації, що стосується теми якості коренів. Розглядаючи тему, ми почнемо з властивостей, вивчимо всі формулювання та наведемо докази. Для закріплення теми ми розглянемо властивості n-го ступеня.

Властивості коренів

Ми поговоримо про властивості.

1. Властивість помножених чисел aі b, яке представляється як рівність a · b = a · b. Його можна представити у вигляді множників, позитивних або рівних нулю a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k;
2. з частки a: b =   a: b , a ≥ 0 , b > 0 , він також може записуватися в такому вигляді a b = a b ;
3. Властивість зі ступеня числа aз парним показником a 2 · m = a m за будь-якого числа aнаприклад, властивість із квадрата числа a 2 = a .

У будь-якому з представлених рівнянь можна поміняти частини до і після знака тире місцями, наприклад, рівність a · b = a · b трансформується як a · b = a · b . Властивості для рівності часто використовуються для спрощення складних рівнянь.

Доказ перших властивостей ґрунтується на визначенні квадратного кореня та властивостях ступенів з натуральним показником. Щоб обґрунтувати третю властивість, необхідно звернутися до визначення модуля числа.

Насамперед, необхідно довести властивості квадратного кореня a · b = a · b. Згідно з визначенням, необхідно розглянути, що a · b - число, позитивне або рівне нулю, яке дорівнює a · bпри зведенні у квадрат. Значення виразу a · b позитивно чи дорівнює нулю як добуток невід'ємних чисел. Властивість ступеня помножених чисел дозволяє уявити рівність у вигляді (a · b) 2 = a 2 · b 2 . За визначенням квадратного кореня a 2 = a і b 2 = b, то a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

Аналогічним способом можна довести, що з твору kмножників a 1 , a 2 , … , a kдорівнюватиме добутку квадратного коріння з цих множників. Справді, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · ak .

З цієї рівності випливає, що a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Розглянемо кілька прикладів закріплення теми.

Приклад 1

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 і 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 (1) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0, 2 (1) .

Необхідно довести властивість арифметичного квадратного кореня із частки: a: b = a: b , a ≥ 0 , b > 0 . Властивість дозволяє записати рівність a: b 2 = a 2: b 2 а 2: b 2 = a: b при цьому a: b є позитивним числом або дорівнює нулю. Цей вираз і стане доказом.

Наприклад, 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 і 3 0, 121 = 3 0, 121 .

Розглянемо властивість квадратного кореня із квадрата числа. Його можна записати у вигляді рівності як a 2 = a Щоб довести цю властивість, необхідно докладно розглянути кілька рівностей при a ≥ 0і при a< 0 .

Вочевидь, що з a ≥ 0 справедлива рівність a 2 = a . При a< 0 буде вірна рівність a 2 = - a. Насправді, у цьому випадку − a > 0та (− a) 2 = a 2 . Можна зробити висновок, a 2 = a , a 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 2

5 2 = 5 = 5 і - 0,36 2 = -0, 36 = 0,36.

Доведена властивість допоможе дати обґрунтування a 2 · m = a m, де a- дійсне, а m-натуральне число. Дійсно, властивість зведення ступеня дозволяє замінити ступінь a 2 · mвиразом (a m) 2тоді a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Приклад 3

3 8 = 3 4 = 3 4 і (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Властивості кореня n-ого ступеня

Для початку необхідно розглянути основні властивості коренів n-ого ступеня:

1. Властивість із твору чисел aі b, які позитивні або рівні нулю, можна виразити як рівність a · b n = a n · b n , дана властивість справедлива для твору kчисел a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n;
2. з дробового числа має властивість a b n = a n b n , де a- будь-яке дійсне число, яке позитивно або дорівнює нулю, а b- Позитивне дійсне число;
3. За будь-якого aта парних показниках n = 2 · mсправедливо a 2 · m 2 · m = a, а при непарних n = 2 · m − 1виконується рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Властивість вилучення з a m n = a n · m, де a- будь-яке число, позитивне або рівне нулю, nі m- Натуральні числа, ця властивість також може бути представлена ​​у вигляді. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · N k;
5. Для будь-якого невід'ємного a і довільних nі m, які є натуральними, також можна визначити справедливу рівність a m n · m = a n;
6. Властивість ступеня nзі ступеня числа a, яке позитивно або дорівнює нулю, в натуральному ступені m, що визначається рівністю a m n = a n m;
7. Властивість порівняння, які мають однакові показники: для будь-яких позитивних чисел aі bтаких, що a< b , виконується нерівність a n< b n ;
8. Властивість порівняння, які мають однакові числа під коренем: якщо mі n –натуральні числа, що m > n, тоді при 0 < a < 1 справедлива нерівність a m > a n , а при a > 1виконується a m< a n .

Рівності, наведені вище, є справедливими, якщо частини до і після знака і поміняти місцями. Вони можуть бути використані й у такому вигляді. Це часто застосовується під час спрощення або перетворення виразів.

Доказ наведених вище властивостей кореня ґрунтується на визначенні, властивостях ступеня та визначенні модуля числа. Ці властивості необхідно довести. Але все гаразд.

1. Насамперед доведемо властивості кореня n-ого ступеня з твору a · b n = a n · b n . Для aі b , якіє позитивними або рівними нулю , значення a n · b n також позитивно чи дорівнює нулю, оскільки є наслідком множення невід'ємних чисел. Властивість твору в натуральній мірі дозволяє записати рівність a n · b n n = a n n · b n n . За визначенням кореня n-ой ступеня a n n = a і b n n = b, отже, a n · b n n = a · b . Отримана рівність – саме те, що потрібно було довести.

Аналогічно доводиться це властивість добутку kмножників: для невід'ємних чисел a 1 , a 2 , … , a n виконується a 1 n · a 2 n · … · ak n ≥ 0 .

Наведемо приклади використання властивості кореня n-ой ступеня з твору: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 і 8, 3 4 · 17, (21) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8, 3 · 17, (21) · 3 · 5 7 4 .

1. Доведемо властивість кореня з частки a b n = a n b n . При a ≥ 0і b > 0виконується умова a n b n ≥ 0, а a n b n n = a n n b n n = a b .

Покажемо приклади:

Приклад 4

8 27 3 = 8 3 27 3 і 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Для наступного кроку необхідно довести властивості n-ого ступеня з числа ступеня n. Представимо це у вигляді рівності a 2 · m 2 · m = a та a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a для будь-якого дійсного aта натурального m. При a ≥ 0отримуємо a = a і a 2 · m = a 2 · m , що доводить рівність a 2 · m 2 · m = a, а рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a очевидно. При a< 0 отримуємо відповідно a = - a і a 2 · m = (- a) 2 · m = a 2 · m. Остання трансформація числа справедлива згідно з якістю ступеня. Саме це доводить рівність a 2 · m 2 · m = a , а a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a буде справедливо, оскільки за непарною мірою розглядається - c 2 · m - 1 = - c 2 · m - 1 для будь-якого числа c,позитивного чи рівного нулю.

Для того щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька прикладів з використанням властивості:

Приклад 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 і (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Доведемо таку рівність a m n = a n · m. Для цього необхідно поміняти числа до знака і після нього місцями a n · m = a m n . Це означатиме правильний запис. Для a,яке є позитивним або одно нулю , виду a m n є числом позитивним або рівним нулю. Звернемося до якості зведення ступеня до ступеня та визначення. З їхньою допомогою можна перетворити рівності як a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Цим доведено аналізовану властивість кореня з кореня.

Аналогічно доводяться інші властивості. Справді, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · N k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · N k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · N k = . . . = a n k n k = a.

Наприклад, 7 3 5 = 7 5 · 3 та 0, 0009 6 = 0, 0009 2 · 2 · 6 = 0, 0009 24 .

1. Доведемо таку властивість a m n · m = a n . Для цього необхідно показати, що a n - Число, позитивне або рівне нулю. При зведенні в ступінь n · m дорівнює a m. Якщо число aє позитивним або рівним нулю, то n-ого ступеня з числа aє числом позитивним або рівним нулю.

Щоб закріпити отримані знання, розглянемо кілька прикладів

1. Доведемо таку властивість – властивість кореня зі ступеня виду amn = anm. Очевидно, що при a ≥ 0ступінь an є невід'ємним числом. Більше того, її n-а ступінь дорівнює a mдійсно, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Цим і доведено аналізовану властивість ступеня.

Наприклад, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Необхідний доказ, що для будь-яких позитивних чисел aі b виконано умову a< b . Розглянемо нерівність a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Отже, a n< b n при a< b .

Для прикладу наведемо 12 4< 15 2 3 4 .

1. Розглянемо властивість кореня n-ого ступеня. Необхідно спершу розглянути першу частину нерівності. При m > nі 0 < a < 1 справедливо a m > a n. Припустимо, що a m ≤ a n . Властивості дозволять спростити вираз до a n m · n ≤ a m m · n . Тоді, згідно з властивостями ступеня з натуральним показником, виконується нерівність a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n , тобто, a n ≤ a m. Отримане значення при m > nі 0 < a < 1 не відповідає властивостям, наведеним вище.

У такий же спосіб можна довести, що при m > nі a > 1справедлива умова a m< a n .

Щоб закріпити наведені властивості, розглянемо кілька конкретних прикладів. Розглянемо нерівності, використовуючи певні числа.

Приклад 6

0 , 7 3 > 0 , 7 5 та 12 > 12 7 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Досить часто при вирішенні завдань ми стикаємося з великими числами, з яких треба витягти квадратний корінь. Багато учнів вирішують, що це помилка, і починають вирішувати весь приклад. У жодному разі не можна так чинити! На те є дві причини:

1. Коріння з великих чисел справді зустрічається у завданнях. Особливо у текстових;
2. Існує алгоритм, за допомогою якого це коріння вважається майже усно.

Цей алгоритм ми сьогодні розглянемо. Можливо, якісь речі здадуться вам незрозумілими. Але якщо ви уважно поставитеся до цього уроку, то отримаєте потужну зброю проти квадратного коріння.

Отже, алгоритм:

1. Обмежити корінь, що шукається, зверху і знизу числами, кратними 10. Таким чином, ми скоротимо діапазон пошуку до 10 чисел;
2. З цих 10 чисел відсіяти ті, які точно не можуть бути корінням. В результаті залишаться 1-2 числа;
3. Звести ці 1-2 числа у квадрат. Те з них, квадрат якого дорівнює вихідному числу, і буде коренем.

Перш ніж застосовувати цей алгоритм працює на практиці, погляньмо на кожен окремий крок.

Обмеження коріння

Насамперед треба з'ясувати, між якими числами розташоване наше коріння. Дуже бажано, щоб числа були кратні десяти:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Отримаємо ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Що нам дають ці цифри? Все просто: ми маємо кордони. Візьмемо, наприклад, число 1296. Воно лежить між 900 і 1600. Отже, його корінь може бути менше 30 і більше 40:

[Підпис до малюнка]

Те саме — з будь-яким іншим числом, з якого можна знайти квадратний корінь. Наприклад, 3364:

[Підпис до малюнка]

Таким чином, замість незрозумілого числа ми отримуємо цілком конкретний діапазон, де лежить вихідний корінь. Щоб ще більше звузити область пошуку, переходимо до другого кроку.

Відсів свідомо зайвих чисел

Отже, ми маємо 10 чисел — кандидатів на корінь. Ми отримали їх дуже швидко, без складних роздумів та множень у стовпчик. Час рухатися далі.

Не повірите, але зараз ми скоротимо кількість чисел-кандидатів до двох — і знову без складних обчислень! Достатньо знати спеціальне правило. Ось воно:

Остання цифра квадрата залежить лише від останньої цифри вихідного числа.

Інакше кажучи, досить поглянути на останню цифру квадрата — і ми одразу зрозуміємо, на що закінчується вихідне число.

Існує лише 10 цифр, які можуть стояти на останньому місці. Спробуємо з'ясувати, на що вони перетворюються при зведенні на квадрат. Погляньте на таблицю:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ця таблиця - ще один крок на шляху до обчислення кореня. Як бачите, цифри у другому рядку виявилися симетричними щодо п'ятірки. Наприклад:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Як бачите, остання цифра обох випадках однакова. А це означає, що, наприклад, корінь із 3364 обов'язково закінчується на 2 або на 8. З іншого боку, ми пам'ятаємо обмеження з попереднього пункту. Отримуємо:

[Підпис до малюнка]

Червоні квадрати показують, що ми поки що не знаємо цієї цифри. Але корінь лежить у межах від 50 до 60, на якому є тільки два числа, що закінчуються на 2 і 8:

[Підпис до малюнка]

От і все! З усіх можливих коренів ми залишили лише два варіанти! І це у найважчому випадку, адже остання цифра може бути 5 чи 0. І тоді залишиться єдиний кандидат у корені!

Фінальні обчислення

Отже, у нас залишилося 2 числа-кандидати. Як дізнатися, яке з них є коренем? Відповідь очевидна: звести обидва числа у квадрат. Те, що у квадраті дасть вихідне число, і буде коренем.

Наприклад, для числа 3364 ми знайшли два числа-кандидати: 52 та 58. Зведемо їх у квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

От і все! Вийшло, що корінь дорівнює 58! При цьому, щоб спростити обчислення, я скористався формулою квадратів суми та різниці. Завдяки чому навіть не довелося множити числа у стовпчик! Це ще один рівень оптимізації обчислень, але, зрозуміло, не обов'язковий:)

Приклади обчислення коренів

Теорія – це, звичайно, добре. Але перевіримо її на практиці.

[Підпис до малюнка]

Для початку з'ясуємо, між якими числами лежить число 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Тепер дивимось на останню цифру. Вона дорівнює 6. Коли це відбувається? Тільки якщо корінь закінчується на 4 або 6. Отримуємо два числа:

Залишилося звести кожне число квадрат і порівняти з вихідним:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Чудово! Перший квадрат виявився дорівнює вихідному числу. Значить, це є корінь.

Завдання. Обчисліть квадратний корінь:

[Підпис до малюнка]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Дивимося на останню цифру:

1369 → 9;
33; 37.

Зводимо у квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Ось і відповідь: 37.

Завдання. Обчисліть квадратний корінь:

[Підпис до малюнка]

Обмежуємо число:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Дивимося на останню цифру:

2704 → 4;
52; 58.

Зводимо у квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Отримали відповідь: 52. Друге число зводити до квадрата вже не потрібно.

Завдання. Обчисліть квадратний корінь:

[Підпис до малюнка]

Обмежуємо число:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Дивимося на останню цифру:

4225 → 5;
65.

Як бачимо, після другого кроку залишився лише один варіант: 65. Це і шуканий корінь. Але давайте таки зведемо його в квадрат і перевіримо:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записуємо відповідь.

Висновок

На жаль, не краще. Давайте розберемося у причинах. Їх дві:

• На будь-якому нормальному іспиті з математики, чи то ГІА чи ЄДІ, користуватися калькуляторами заборонено. І за пронесений до класу калькулятор можуть запросто вигнати з іспиту.
• Не уподібнюйтесь тупим американцям. Які не те що коріння - вони два простих числа скласти не можуть. А побачивши дробів вони взагалі починається істерика.