Що таке привести до спільного знаменника. Приведення дробів до спільного знаменника. Завантажити відеоурок «Приведення дробів до спільного знаменника»

У дробів бувають різні чи однакові знаменники. Одинаковий знаменник чи інакше називають спільний знаменнику дробу. Приклад загального знаменника:

\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)

Приклад різних знаменників у дробів:

\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)

Як привести до спільного знаменника дробу?

У першому дробі знаменник дорівнює 3, у другому дорівнює 13. Потрібно знайти таке число, щоб ділилося на 3 і на 13. Це число 39.

Перший дріб потрібно помножити на додатковий множник 13. Щоб дріб не змінився множимо обов'язково і чисельник на 13 і знаменник.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)

Другий дріб множимо на додатковий множник 3.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)

Ми привели до спільного знаменника дробу:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

Найменший загальний знаменник.

Розглянемо ще приклад:

Наведемо дроби \(\frac(5)(8)\) і \(\frac(7)(12)\) до спільного знаменника.

Загальний знаменник для чисел 8 і 12 може бути числа 24, 48, 96, 120, ..., прийнято вибирати найменший спільний знаменнику разі це число 24.

Найменший спільний знаменник- Це найменше число, на яке ділитися знаменник першого і другого дробу.

Як знайти найменший спільний знаменник?
Методом перебору чисел, на яке ділиться знаменник першого та другого дробу та вибрати з них найменше.

Нам потрібно дріб із знаменником 8 помножити на 3, а дріб із знаменником 12 помножити на 2.

\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\end(align)\)

Якщо у вас відразу не вдасться привести дробу до найменшого спільного знаменника в цьому нічого страшного немає, надалі вирішуючи приклад вам може бути отримана відповідь

Загальний знаменник можна знайти для будь-яких двох дробів це може бути добуток знаменників цих дробів.

Наприклад:
Приведіть дроби \(\frac(1)(4)\) і \(\frac(9)(16)\) до найменшого спільного знаменника.

Найпростіший спосіб знайти спільний знаменник – це витвір знаменників 4⋅16=64. Число 64 це найменший загальний знаменник. За завданням потрібно знайти найменший загальний знаменник. Тож шукаємо далі. Нам потрібно число, яке ділитися і на 4, і на 16, це число 16. Приведемо до спільного знаменника дробу, помножимо дріб із знаменником 4 на 4, а дріб із знаменником 16 на одиницю. Отримаємо:

\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4) )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9) (16) \ \ \ (end (align) \)

Матеріал цієї статті пояснює, як знайти найменший спільний знаменникі як привести дроби до спільного знаменника. Спочатку дано визначення спільного знаменника дробів та найменшого спільного знаменника, а також показано, як знайти спільний знаменник дробів. Далі наведено правило приведення дробів до спільного знаменника та розглянуто приклади застосування цього правила. На закінчення розібрано приклади приведення трьох і більшої кількості дробів до спільного знаменника.

Навігація на сторінці.

Що називають приведенням дробів до спільного знаменника?

Тепер ми можемо сказати, що таке приведення дробів до спільного знаменника. Приведення дробів до спільного знаменника– це множення чисельників та знаменників даних дробів на такі додаткові множники, що в результаті виходять дроби з однаковими знаменниками.

Загальний знаменник, визначення, приклади

Тепер настав час дати визначення спільного знаменника дробів.

Іншими словами, загальним знаменником деякого набору звичайних дробів є будь-яке натуральне число, яке ділиться на всі знаменники цих дробів.

З озвученого визначення випливає, що даний набір дробів має нескінченно багато спільних знаменників, оскільки існує безліч спільних кратних всіх знаменників вихідного набору дробів.

Визначення спільного знаменника дробів дозволяє знаходити спільні знаменники цих дробів. Нехай, наприклад, дано дроби 1/4 і 5/6 їх знаменники рівні 4 і 6 відповідно. Позитивними загальними кратними чисел 4 та 6 є числа 12, 24, 36, 48, … Будь-яке з цих чисел є спільним знаменником дробів 1/4 та 5/6.

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення наступного прикладу.

приклад.

Чи можна дроби 2/3, 23/6 та 7/12 привести до спільного знаменника 150?

Рішення.

Для відповіді на поставлене запитання нам потрібно з'ясувати, чи є число 150 загальним кратним знаменників 3 , 6 та 12 . Для цього перевіримо, чи ділиться 150 націло на кожне з цих чисел (при необхідності дивіться правила та приклади поділу натуральних чисел, а також правила та приклади поділу натуральних чисел із залишком): 150:3=50, 150:6=25, 150: 12 = 12 (зуп. 6) .

Отже, 150 не ділиться націло на 12, отже, 150 не є загальним кратним чисел 3, 6 та 12 . Отже, число 150 може бути загальним знаменником вихідних дробів.

Відповідь:

Не можна.

Найменший спільний знаменник, як його знайти?

У багатьох чисел, що є загальними знаменниками даних дробів, існує найменше натуральне число , яке називають найменшим загальним знаменником. Сформулюємо визначення найменшого спільного знаменника цих дробів.

Визначення.

Найменший спільний знаменник– це найменше, зі всіх спільних знаменників цих дробів.

Залишилося розібратися із питанням, як знайти найменший спільний дільник.

Оскільки є найменшим позитивним загальним дільником даного набору чисел, то НОК знаменників даних дробів є найменшим загальним знаменником даних дробів.

Таким чином, знаходження найменшого спільного знаменника дробів зводиться до знаменників цих дробів. Розберемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть найменший загальний знаменник дробів 3/10 та 277/28.

Рішення.

Знаменники даних дробів дорівнюють 10 і 28 . Найменший загальний знаменник, що шукається, знаходиться як НОК чисел 10 і 28 . У нашому випадку легко : оскільки 10 = 2 · 5, а 28 = 2 · 2 · 7 , то НОК (15, 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140 .

Відповідь:

140 .

Як привести дроби до спільного знаменника? Правило, приклади, рішення

Зазвичай прості дроби призводять до найменшого спільного знаменника. Зараз ми запишемо правило, яке пояснює, як привести дроби до найменшого спільного знаменника.

Правило приведення дробів до найменшого спільного знаменникаскладається з трьох кроків:

• По-перше, є найменший загальний знаменник дробів.
• По-друге, кожному дробу обчислюється додатковий множник, навіщо найменший загальний знаменник ділиться на знаменник кожної дроби.
• По-третє, чисельник та знаменник кожного дробу множиться на його додатковий множник.

Застосуємо озвучене правило для вирішення наступного прикладу.

приклад.

Приведіть дроби 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника.

Рішення.

Виконаємо всі кроки алгоритму приведення дробів до найменшого спільного знаменника.

Спочатку знаходимо найменший загальний знаменник, який дорівнює найменшому загальному кратному чисел 14 та 18 . Оскільки 14=2·7 і 18=2·3·3 , то НОК(14, 18)=2·3·3·7=126 .

Тепер обчислюємо додаткові множники, за допомогою яких дроби 5/14 та 7/18 будуть приведені до знаменника 126 . Для дробу 5/14 додатковий множник дорівнює 126:14=9, а для дробу 7/18 додатковий множник дорівнює 126:18=7.

Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів 5/14 та 7/18 на додаткові множники 9 та 7 відповідно. Маємо і .

Отже, приведення дробів 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника завершено. У результаті вийшли дроби 45/126 та 49/126.

Спочатку я хотів включити методи приведення до спільного знаменника до параграфу «Складання та віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її така велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Отже, нехай ми маємо два дроби з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоби знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яка, нагадаю, звучить так:

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються – цей процес називається приведенням до спільного знаменника. А числа, які «вирівнюють» знаменники, називаються додатковими множниками.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

1. Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
2. Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
3. Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Є багато способів знайти числа, при множенні на які знаменники дробів стануть рівними. Ми розглянемо лише три з них – у порядку зростання складності та, у певному сенсі, ефективності.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і найнадійніший спосіб, який гарантовано вирівнює знаменники. Діятимемо «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другий – на знаменник першого. У результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Так, так усе просто. Якщо ви тільки починаєте вивчати дроби, краще працюйте саме цим методом - так ви застрахуєте себе від багатьох помилок і гарантовано отримаєте результат.

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Цей прийом допомагає набагато скоротити обчислення, але, на жаль, він застосовується досить рідко. Метод полягає в наступному:

1. Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
2. Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
3. При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Оскільки в обох випадках один знаменник ділиться без залишку на інший, застосовуємо метод спільних множників. Маємо:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

До речі, дроби у цьому прикладі я взяв не випадково. Якщо цікаво, спробуйте порахувати їх методом «хрест-навхрест». Після скорочення відповіді вийдуть такими самими, але роботи буде набагато більше.

У цьому полягає сила методу спільних дільників, але, повторюся, застосовувати його можна лише тому випадку, коли з знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Метод найменшого загального кратного

Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, ми, по суті, намагаємося знайти таке число, яке ділиться на кожен із знаменників. Потім наводимо до цього знаменники обох дробів.

Таких чисел дуже багато, і найменше їх зовсім не обов'язково дорівнюватиме прямому твору знаменників вихідних дробів, як це передбачається в методі «хрест-навхрест».

Наприклад, для знаменників 8 та 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Це число набагато менше від твору 8 · 12 = 96 .

Найменше число, яке ділиться кожен із знаменників, називається їх найменшим загальним кратним (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a і b позначається НОК (a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24 .

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3 . Численні 2 і 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 - загальний. Тому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Численні 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 - загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

1. Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
2. З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-навхрест». Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Не думайте, що таких складних дробів у прикладах не буде. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання – не межа!

Єдина проблема - як знайти цей НОК. Іноді все знаходиться за кілька секунд, буквально «на око», але загалом це складне обчислювальне завдання, яке потребує окремого розгляду. Тут ми цього не стосуватимемо.

• Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками
• Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками
• Поняття про НОК
• Приведення дробів до одного знаменника
• Як скласти ціле число та дріб

1 Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Щоб скласти змішані дроби, треба окремо скласти цілі частини, а потім скласти їх дробові частини, і записати результат змішаним дробом,

Приклад 1:

Приклад 2:

Якщо при складанні дробових частин вийшов неправильний дріб, виділяємо з нього цілу частину і додаємо її до цілої частини, наприклад:

2 Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як зазначено на початку цієї статті. Загальний знаменник кількох дробів — НОК (найменше загальне кратне). Для чисельника кожного з дробів знаходяться додаткові множники за допомогою поділу НОК на знаменник цього дробу. Ми розглянемо приклад пізніше, після того, як розберемося, що таке НОК.

3 Найменше загальне кратне (НОК)

Найменше загальне кратне двох чисел (НОК) - це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо під час роботи з великими числами, доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:

Щоб знайти НОК кількох чисел, потрібно:

1. Розкласти ці числа на прості множники
2. Взяти найбільше розкладання, і записати ці числа у вигляді твору
3. Виділити в інших розкладах числа, які не зустрічаються у найбільшому розкладанні (або зустрічаються в ньому менше разів), і додати їх до твору.
4. Перемножити всі числа у творі, це буде НОК.

Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 та 21:

4 Приведення дробів до одного знаменника

Повернемося до складання дробів із різними знаменниками.

Коли ми наводимо дроби до однакового знаменника, що дорівнює НОК обох знаменників, ми повинні помножити чисельники цих дробів на додаткові множники. Знайти їх можна, розділивши НОК на знаменник відповідного дробу, наприклад:

Таким чином, щоб привести дроби до одного показника, потрібно спочатку знайти НОК (тобто найменше число, яке ділиться на обидва знаменники) знаменників цих дробів, потім поставити додаткові множники до чисельників дробів. Знайти їх можна, розділивши спільний знаменник (НОК) на знаменник відповідного дробу. Потім потрібно помножити чисельник кожного дробу додатковий множник, а знаменником поставити НОК.

5 Як скласти ціле число та дріб

Для того, щоб скласти ціле число і дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішаний дріб, наприклад:

Якщо ми складаємо ціле число та змішаний дріб, ми додаємо це число до цілої частини дробу, наприклад:

Тренажер 1

Складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Ліміт часу: 0

Навігація (тільки номери завдань)

0 із 20 завдань закінчено

Інформація

У цьому вся тесті перевіряється вміння складати дроби з однаковими знаменниками. При цьому потрібно дотримуватися двох правил:

• Якщо в результаті виходить неправильний дріб, потрібно перевести його в змішане число.
• Якщо дріб можна скоротити, обов'язково скоротите його, інакше буде зараховано неправильну відповідь.

Ви вже проходили тест раніше. Ви не можете запустити його знову.

Тест завантажується...

Ви повинні увійти або зареєструватися, щоб почати тест.

Ви повинні закінчити наступні тести, щоб почати це:

Результати

Правильних відповідей: 0 з 20

Ваш час:

Час вийшов

Ви набрали 0 з 0 балів (0 )

1. З відповіддю
2. З позначкою про перегляд