Сума медіан трикутника. Медіана. Детальна теорія з прикладами. Основні елементи трикутника abc

Містить цей відрізок. Точка перетину медіани зі стороною трикутника називається основою медіани.

Можна також запровадити поняття зовнішньої медіанитрикутник.

Енциклопедичний YouTube

1 / 3

✪ МЕДІАНИ бісектриси та ВИСОТИ трикутника - 7 клас

✪ Медіана трикутника. Побудова. Властивості.

✪ бісектриса, медіана, висота трикутника. Геометрія 7 клас

Субтитри

Властивості

Основна властивість

Всі три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається центроїдом або центром тяжкості трикутника, і діляться цією точкою на дві частини відносно 2:1, рахуючи від вершини.

Властивості медіан рівнобедреного трикутника

У рівнобедреному трикутнику дві медіани, проведені до рівних сторін трикутника, рівні, а третя медіана одночасно є бісектрисою і висотою .
Правильне і зворотне: якщо в трикутнику дві медіани рівні, то трикутник - рівнобедрений, а третя медіана одночасно є бісектрисою та висотою кута при своїй вершині.
У рівностороннього трикутника всі три медіани рівні.

Властивості основ медіан

Теорема Ейлера для кола дев'яти точок: основи трьох висот довільного трикутника, середини трьох його сторін ( підстави його медіан) і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, всі лежать на одному колі (так званому кола дев'яти точок).
Відрізок, проведений через основидвох будь-яких медіан трикутника, є його середньою лінією. Середня лінія трикутника завжди паралельна тій стороні трикутника, з якою вона не має спільних точок.
- Слідство (теорема-Фалеса про паралельнихвідрізках). Середня лінія трикутника дорівнює половині довжини тієї сторони трикутника, якою вона паралельна.

Інші властивості

Якщо трикутник різнобічний (нерівносторонній), то його бісектриса, проведена з будь-якої вершини, лежить між медіаною і висотою, проведеними з тієї ж вершини.
Медіана розбиває трикутник на два рівновеликі (за площею) трикутники.
Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників.
З відрізків, що утворюють медіани, можна скласти трикутник, площа якого дорівнюватиме 3/4 від усього трикутника. Довжини медіан задовольняють нерівності трикутника.
У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини з прямим кутом, дорівнює половині гіпотенузи.
Більшій стороні трикутника відповідає менша медіана.
Відрізок прямий, симетричний або ізогонально, сполученийвнутрішньої медіани щодо внутрішньої бісектриси, називається симедіаною трикутника. Три симедіанипроходять через одну точку - точку Лемуана.
Медіана кута трикутника ізотомічно, пов'язанасамій собі.

Основні співвідношення

Зокрема, сума квадратів медіан довільного трикутника становить 3/4 від суми квадратів його сторін: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

Назад, можна виразити довжину довільної сторони трикутника через медіани:

a = 2 3 2 (m b 2 + m c 2) − ma 2 (\displaystyle a=(\frac (2)(3))(\sqrt (2(m_(b)^(2)+m_(c)^) (2))-m_(a)^(2)))), де m a , m b , m c (\displaystyle m_(a),m_(b),m_(c))медіани до відповідних сторін трикутника, a, b, c (\displaystyle a, b, c)- Сторони трикутника.

Властивості хорд

1. Діаметр (радіус), перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду і обидві дуги, що нею стягуються навпіл. Вірна і зворотна теорема: якщо діаметр (радіус) ділить навпіл хорду, він перпендикулярний цій хорді.

2. Дуги, укладені між паралельними хордами, рівні.

3. Якщо дві хорди кола, ABі CDперетинаються у точці M, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди: AM MB = CM MD.

Властивості кола

1. Пряма може мати з колом загальних точок; мати з колом одну загальну точку ( дотична); мати з нею дві спільні точки ( січуча).

2. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і до того ж лише одну.

3. Точка торкання двох кіл лежить на лінії, що з'єднує їх центри.

Теорема про дотичну та січну

Якщо з точки, що лежить поза коло, проведено дотичну та січні, то квадрат довжини дотичної дорівнює добутку січеної на її зовнішню частину: MC 2 = MA MB.

Теорема про січучих

Якщо з точки, що лежить поза коло, проведено дві січучі, то добуток однієї січе на її зовнішню частину дорівнює твору іншої січе на її зовнішню частину. MA MB = MC MD.

Кути в колі

Центральнимкутом у колі називається плоский кут з вершиною у її центрі.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним кутом.

Будь-які дві точки кола поділяють її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугоюкола. Мірою дуги може бути міра відповідного їй центрального кута.

Дуга називається півколо,якщо відрізок, що з'єднує кінці, є діаметром.

Властивості кутів, пов'язаних з колом

1. Вписаний кут або дорівнює половині відповідного йому центрального кута, або доповнює половину цього кута до 180 °.

2. Кути, вписані в одне коло і спираються на ту саму дугу, рівні.

3. Вписаний кут, що спирається на діаметр, дорівнює 90 °.

5. Кут, утворений дотичною до кола та січної, проведеної через точку торкання, дорівнює половині дуги, укладеної між його сторонами.

Довжини та площі

1. Довжина кола Cрадіусу Rобчислюється за такою формулою: C = 2 R.

2. Площа Sкола радіусу Rобчислюється за такою формулою: S = R 2.

3. Довжина дуги кола Lрадіусу Rз центральним кутом, виміряним у радіанах, обчислюється за формулою: L = R .

4. Площа Sсектора радіусу Rз центральним кутом у радіан обчислюється за формулою: S = R 2 .

Вписані та описані кола

Окружність та трикутник

· Центр вписаного кола - точка перетину бісектрис трикутника, її радіус rобчислюється за такою формулою:

r =, де S- площа трикутника, а - напівпериметр;

· Центр описаного кола - точка перетину серединних перпендикулярів, її радіус R обчислюється за формулою:

R = , R =;

· Центр описаної біля прямокутного трикутника кола лежить на середині гіпотенузи;

· Центр описаного та вписаного кіл трикутника збігаються тільки в тому випадку, коли цей трикутник - правильний.

Коло та чотирикутники

· У опуклого чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 °:

180 °;

у чотирикутник можна вписати коло тоді і лише тоді, коли в нього рівні суми протилежних сторін a + c = b + d;

навколо паралелограма можна описати коло тоді й лише тоді, коли він є прямокутником;

· біля трапеції можна описати коло тоді й лише тоді, коли ця трапеція - рівнобедрена; центр кола лежить на перетині осі симетрії трапеції із серединним перпендикуляром до бокової сторони;

· У паралелограм можна вписати коло тоді і лише тоді, коли він є ромбом.

Трикутники

Властивості медіан трикутника

1. Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.

2. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіннятрикутник.

3. Весь трикутник поділяється своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.

Властивості бісектрис трикутника

1. Бісектриса кута – це геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін цього кута.

2. Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам: .

3. Точка перетину бісектрис трикутника є центром кола, вписаного в цей трикутник.

Властивості висот трикутника

1. У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібні до вихідного.

2. У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники.

Медіаною називається відрізок, проведений з вершини трикутника на середину протилежної сторони, тобто ділить її точкою перетину навпіл. Крапка, в якій медіана перетинає протилежну вершині, з якої вона виходить, бік, називається основою. Через одну точку, яку називають точкою перетину, проходить кожна медіана трикутника. Формула довжини її може виражатися кількома способами.

Формули для вираження довжини медіани

Найчастіше в задачах геометрії учням доводиться мати справу з таким відрізком, як медіана трикутника. Формула її довжини виражається через сторони:

де a, b та c - сторони. Причому є стороною, на яку медіана опускається. Таким чином виглядає найпростіша формула. Медіани трикутника іноді потрібно проводити для допоміжних розрахунків. Є й інші формули.

Якщо при розрахунку відомі дві сторони трикутника і певний кут α, що знаходиться між ними, довжина медіани трикутника, опущеної до третьої сторони, буде виражатися так.

Основні властивості

Усі медіани мають одну загальну точку перетину O і нею ж діляться щодо два до одного, якщо вести відлік від вершини. Така точка називається центру тяжкості трикутника.
Медіана поділяє трикутник на два інших площі яких рівні. Такі трикутники називаються рівновеликими.
Якщо провести всі медіани, то трикутник буде поділено на 6 рівновеликих фігур, які також будуть трикутниками.
Якщо в трикутнику всі три сторони рівні, то в ньому кожна з медіан буде також висотою і бісектрисою, тобто перпендикулярна тій стороні, до якої вона проведена, і поділяє кут, з якого вона виходить.
У рівнобедреному трикутнику медіана, опущена з вершини, що знаходиться навпроти сторони, що не дорівнює жодній іншій, буде також висотою та бісектрисою. Медіани, опущені інших вершин, рівні. Це також є необхідною та достатньою умовою рівнобедреності.
Якщо трикутник є основою правильної піраміди, то висота, опущена на цю основу, проектується в точку перетину всіх медіан.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена до найбільшої сторони, дорівнює половині її довжини.
Нехай O – точка перетину медіан трикутника. Формула, наведена нижче, буде вірною для будь-якої точки M.

Ще однією властивістю має медіана трикутника. Формула квадрата її довжини через квадрати сторін представлена нижче.

Властивості сторін, до яких проведено медіану

Якщо з'єднати будь-які дві точки перетину медіан зі сторонами, на які вони опущені, то отриманий відрізок буде середньою лінією трикутника і складатиме одну другу від сторони трикутника, з якої вона не має спільних точок.
Основи висот і медіан у трикутнику, а також середини відрізків, що з'єднують вершини трикутника з точкою перетину висот, лежать на одному колі.

На закінчення логічно сказати, що одним із найважливіших відрізків є саме медіана трикутника. Формула її може використовуватися при знаходженні довжин інших сторін.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Медіана – це один із унікальних відрізків трикутника. Медіана має ряд властивостей корисних вирішення завдань, а точка перетину медіан ще більше розширює список цих властивостей. Про точку перетину медіан та її властивості і йтиметься сьогодні.

Медіана

Медіана – це відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою відрізка протилежної сторони. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається точкою перетину медіан.

Медіани, на відміну від висот, завжди лежать усередині трикутника. Це логічно, адже відрізок медіани з'єднує вершину та середину сторони. А середина сторони завжди лежить усередині трикутника.

Мал. 1. Медіани у тупокутному трикутнику.

Якщо з'єднати дві підстави медіан відрізком, то вийде середня лінія трикутника. Три середні лінії трикутника утворюють трикутник, подібний до початкового з коефіцієнтом подібності 1:2

Є ще одна цікава властивість медіан, яка дозволить не заплутатися при побудові золотого перерізу трикутника. Медіана в трикутнику завжди розташовується між висотою та бісектрисою.

Мал. 2. Золотий переріз довільного трикутника.

Наведемо також формулу обчислення довжини медіани по трьох сторонах. Ця формула часто використовується під час вирішення завдань, тому її бажано запам'ятати.

$$m_c=((\sqrt(2a^2+2b^2-c^2))\over(2))$$

Найчастіше учням простіше запам'ятати словесне формулювання, а не заучувати формулу. Щоб знайти медіану по трьох сторонах, потрібно взяти корінь із сум подвоєних квадратів сторін мінус квадрат сторони, до якої проведено медіану. Отриманий корінь потрібно розділити навпіл.

Точка перетину медіан

Точка перетину медіан є однією з 3 чудових точок трикутника, які становлять золотий переріз трикутника.

Точка перетину медіан трикутника має ряд властивостей, корисних під час вирішення завдань:

Медіана точкою перетину ділиться на відрізки з коефіцієнтом пропорційності 1:2 від вершини.
Три медіани, проведені у трикутнику, ділять його на 6 рівновеликих трикутників. Рівновеликими називають трикутники з рівною площею. Самі собою ці постаті мають мало спільного, але чисельна характеристика площі вони збігається.
Точка перетину медіан у трикутнику називається центроїдом і є центром тяжкості трикутника.

Точка перетину медіан єдина із золотого перерізу трикутника, має реальний фізичний зміст. Якщо з картону вирізати трикутник, тонким олівцем провести в ньому медіани, точка їх перетину буде центром тяжкості плоскої фігури.

Мал. 3. Центр тяжкості трикутника.

Це означає, що якщо встановити голку в цю точку, то фігура триматиметься на ній без проколу виключно за рахунок рівноваги.

Що ми дізналися?

Ми навели формулу обчислення медіани з трьох сторін трикутника. Навели кілька властивостей точки перетину медіан у трикутнику. Поговорили про реальне фізичне значення центроїду трикутника.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.1. Усього отримано оцінок: 255.