- § 23 Хвильові (польові) властивості частинок. Скачати книгу "Загальна та неорганічна хімія" (5.36Mb) Припущення про хвильовий характер руху частинок
Недоліки теорії Бора вказували на необхідність перегляду основ квантової теорії та уявлень про природу мікрочастинок (електронів, протонів тощо). Виникло питання про те, наскільки вичерпним є уявлення електрона у вигляді малої механічної частинки, що характеризується певними координатами та певною швидкістю.
Ми вже знаємо, що у оптичних явищах спостерігається своєрідний дуалізм. Поряд із явищами дифракції, інтерференції (хвильовими явищами) спостерігаються і явища, що характеризують корпускулярну природу світла (фотоефект, ефект Комптону).
У 1924 р. Луї де Бройль висунув гіпотезу, що дуалізм не є особливістю лише оптичних явищ ,а має універсальний характер. Частинки речовини також мають хвильові властивості .
«В оптиці, – писав Луї де Бройль, – протягом століття надто нехтували корпускулярним способом розгляду порівняно з хвильовим; чи не робилася в теорії речовини зворотна помилка? Припускаючи, що частинки речовини поряд з корпускулярними властивостями мають також і хвильові, де Бройль переніс на випадок частинок речовини ті самі правила переходу від картини до іншої, які справедливі у разі світла.
Якщо фотон має енергію і імпульс , те й частка (наприклад електрон), що рухається з деякою швидкістю, має хвильові властивості, тобто. рух частки можна як рух хвилі.
Згідно з квантовою механікою, вільний рух частинки з масою mі імпульсом (де - швидкість частки) можна представити як плоску монохроматичну хвилю ( хвилю де Бройля) із довжиною хвилі
| (3.1.1) |
що поширюється в тому ж напрямку (наприклад у напрямку осі х), у якому рухається частка (рис. 3.1).
Залежність хвильової функції від координати хдається формулою
| , | (3.1.2) |
де – хвильове число ,а хвильовий вектор спрямований у бік поширення хвилі або вздовж руху частки:
| . | (3.1.3) |
Таким чином, хвильовий вектор монохроматичної хвилі, пов'язаної з вільно рухомою мікрочастинкою, пропорційний її імпульсу або обернено пропорційний довжині хвилі.
Оскільки кінетична енергія порівняно повільно рухається частки , то довжину хвилі можна виразити і через енергію:
| . | (3.1.4) |
При взаємодії частки із деяким об'єктом – із кристалом, молекулою тощо. – її енергія змінюється: до неї додається потенційна енергія цієї взаємодії, що призводить до зміни руху частки. Відповідно, змінюється характер поширення пов'язаної з часткою хвилі, причому це відбувається згідно з принципами, загальним для всіх хвильових явищ. Тому основні геометричні закономірності дифракції часток нічим не відрізняються від закономірностей дифракції будь-яких хвиль. Загальною умовою дифракції хвиль будь-якої природи є сумісність довжини хвилі, що падає λ з відстанню d між розсіюючими центрами: .
Гіпотеза Луї де Бройля була революційною, навіть у тому революційного у науці часу. Однак, вона незабаром була підтверджена багатьма експериментами.
До початку XX століття в оптиці були відомі як явища, що підтверджують наявність хвильових властивостей у світла (інтерференція, поляризація, дифракція та ін.), Так і явища, що знайшли пояснення з позицій корпускулярної теорії (фотоефект, ефект Комптон та ін). На початку XX століття для частинок речовини було виявлено ряд ефектів, зовні подібних до оптичних явищ, характерних для хвиль. Так, у 1921 році Рамзауер при дослідженні розсіювання електронів на атомах аргону виявив, що при зменшенні енергії електрона від кількох десятків електрон-вольт ефективний переріз пружного розсіювання електронів на аргоні зростає (рисунок 4.1).
Але за енергії електрона ~16 эВ ефективне переріз досягає максимуму і за подальшому зменшенні енергії електрона зменшується. При енергії електрона ~ 1 еВ стає близьким до нуля, потім починає знову збільшуватися.
Таким чином, поблизу ~ 1 еВ електрони як би не випробовують з атомами аргону зіткнень і пролітають через газ без розсіювання. Така сама поведінка характерна і для перерізу розсіювання електронів на інших атомах інертних газів, а також на молекулах (останнє виявлено Таунсендом). Цей ефект аналогічний утворенню плям Пуассона при дифракції світла на малому екрані.
Інший цікавий ефект – селективне відображення електронів від поверхні металів; воно вивчалося в 1927 американськими фізиками Девіссоном і Джермером, а також незалежно від них англійським фізикомДж. П. Томсон.
Паралельний пучок моноенергетичних електронів з електронно-променевої трубки (рисунок 4.2) направляли на пластину нікелю. Відбиті електрони вловлювалися колектором, з'єднаним із гальванометром. Колектор встановлюється під будь-яким кутом щодо падаючого пучка (але в одній площині з ним).
В результаті дослідів Девіссона-Джермера показано, що кутовий розподіл розсіяних електронів має такий самий характер, як і розподіл рентгенівських променів, розсіяних кристалом (рис. 4.3). Під час вивчення дифракції рентгенівських променів на кристалах було встановлено, що розподіл дифракційних максимумів описується формулою
де - постійна кристалічна решітка, - порядок дифракції, - довжина хвилі рентгенівського випромінювання.
У разі розсіювання нейтронів на важкому ядрі також виникало типово дифракційний розподіл розсіяних нейтронів, аналогічний спостережуваному в оптиці при дифракції світла на поглинаючому диску або кульці.
Французький вчений Луї де Бройль у 1924 році висловив ідею про те, що частинки речовини мають і корпускулярні, і хвильові властивості. При цьому він припустив, що частинці, що вільно рухається з постійною швидкістю, відповідає плоска монохроматична хвиля
де і - її частота та хвильовий вектор.
Хвиля (4.2) поширюється у бік руху частки (). Такі хвилі отримали назву фазових хвиль, хвиль речовиниабо хвиль де Бройля.
Ідея де Бройля полягала в тому, щоб розширити аналогію між оптикою та механікою, а хвильову оптику зіставити з хвильовою механікою, намагаючись застосувати останню до внутрішньоатомних явищ. Спроба приписати електрону, і взагалі всім частинкам, подібно до фотонів, двоїсту природу, наділити їх хвильовими та корпускулярними властивостями, пов'язаними між собою квантом дії, - таке завдання представлялося вкрай необхідною та плідною. ”…Необхідно створити нову механіку хвильового характеру, яка буде стосуватися старої механіки як хвильова оптика до геометричної оптики”, - писав де Бройль у книзі «Революція у фізиці».
Частка маси, що рухається зі швидкістю, має енергію
та імпульс
а стан руху частки характеризується чотиривимірним вектором енергії-імпульсу ().
З іншого боку, у хвильовій картині ми використовуємо поняття частоти та хвильового числа (або довжини хвилі), а відповідним плоским хвилі 4-вектором є ().
Так як обидва наведені описи є різними аспектами одного і того ж фізичного об'єкта, то між ними має існувати однозначний зв'язок; релятивістськи інваріантним співвідношенням між 4-векторами є
Вирази (4.6) називаються формулами де Бройля. Довжина хвилі де Бройля визначається таким чином формулою
(Тут). Саме ця довжина хвилі повинна фігурувати у формулах при хвильовому описі ефекту Рамзауера – Таунсенда та дослідів Девіссона – Джермера.
Для електронів, прискорених електричним полемз різницею потенціалів, довжина хвилі де Бройля нм; при кВ = 0,0122 нм. Для молекули водню з енергією Дж (при = 300 К) = 0,1 нм, що з порядку величини збігається з довжиною хвилі рентгенівського випромінювання.
З урахуванням (4.6) формулу (4.2) можна записати як плоскої хвилі
відповідної частки, що має імпульс та енергію.
Хвилі де Бройля характеризуються фазовою та груповою швидкостями. Фазова швидкістьвизначається з умови сталості фази хвилі (4.8) та для релятивістської частки дорівнює
тобто вона завжди більша за швидкість світла. Групова швидкістьхвиль де Бройля дорівнює швидкості руху частки:
З (4.9) і (4.10) випливає зв'язок між фазовою та груповою швидкостями хвиль де Бройля:
Який же фізичний сенс хвиль де Бройля і який їхній зв'язок з частинками речовини?
В рамках хвильового опису руху частинки значну гносеологічну складність подано питання про її просторову локалізацію. Хвилі де Бройля (4.2), (4.8) заповнюють весь простір і є необмежений час. Властивості цих хвиль завжди і скрізь однакові: постійні їх амплітуда і частота, незмінні відстані між хвильовими поверхнями та ін. З іншого боку, мікрочастинки зберігають свої корпускулярні властивості, тобто мають певну масу, локалізовану в певній області простору. Для того, щоб вийти з положення, частинки стали представляти не монохроматичними хвилями де Бройля, а наборами хвиль з близькими частотами (хвильовими числами) - хвильовими пакетами:
при цьому амплітуди відмінні від нуля лише хвиль з хвильовими векторами, укладеними в інтервалі (). Оскільки групова швидкість хвильового пакета дорівнює швидкості руху частинки, було запропоновано представити частинку у вигляді хвильового пакета. Але ця ідея неспроможна з таких причин. Частка є стабільною освітою і в процесі свого руху як така не змінюється. Такими ж властивостями повинен мати і хвильовий пакет, який претендує представляти частинку. Тому потрібно вимагати, щоб з часом хвильовий пакет зберігав свою просторову форму або щонайменше свою ширину. Проте оскільки фазова швидкість залежить від імпульсу частинки, то (навіть у вакуумі!) повинна існувати дисперсія хвиль де Бройля. В результаті фазові співвідношення між хвилями пакета порушуються і пакет розпливається. Отже, частка, що надається таким пакетом, повинна бути нестабільною. Цей висновок суперечить досвіду.
Далі було висунуто протилежне припущення: частки первинні, а хвилі представляють їх утворення, тобто виникають, подібно до звуку в середовищі, що складається з частинок. Але таке середовище має бути досить щільним, адже про хвилі в середовищі часток має сенс говорити лише тоді, коли середня відстань між частинками дуже мала в порівнянні з довжиною хвилі. На експериментах, у яких виявляються хвильові властивості мікрочастинок, це виконується. Але навіть якщо подолати цю скруту, то все одно вказана думка повинна бути відкинута. Насправді вона означає, що хвильові властивості притаманні системам багатьох частинок, а не окремим частинкам. Тим часом хвильові властивості частинок не зникають і за малих інтенсивностей падаючих пучків. У дослідах Бібермана, Сушкіна і Фабриканта, проведених в 1949 році, застосовувалися настільки слабкі пучки електронів, що середній проміжок часу між двома послідовними проходженнями електрона через дифракційну систему (кристал) було в 30000 (!) разів більше часу, що витрачається одним електроном на проходження всього приладу. За таких умов взаємодія між електронами, звичайно, не відігравала жодної ролі. Тим не менш, при досить тривалій експозиції на фотоплівці, поміщеній за кристалом, виникала дифракційна картина, нічим не відрізняється від картини, що отримується при короткій експозиції з пучками електронів, інтенсивність яких була в 10 7 разів більша. Важливо лише, щоб у обох випадках загальна кількість електронів, які потрапляють на фотопластинку, було однаковим. Це показує, що й окремі частинки мають хвильові властивості. Експеримент показує, що одна частка дифракційної картини не дає, кожен окремий електрон викликає почорніння фотопластинки на невеликій ділянці. Всю дифракційну картину можна отримати лише завдяки попаданню на платівку великої кількості частинок.
Електрон у розглянутому досвіді повністю зберігає цілісність (заряд, масу та інші характеристики). У цьому вся виявляються його корпускулярні властивості. У той же час є прояв і хвильових властивостей. Електрон ніколи не потрапляє на ту ділянку фотопластинки, де має бути мінімум дифракційної картини. Він може бути лише поблизу положення дифракційних максимумів. При цьому не можна заздалегідь вказати, в якому напрямі полетить ця конкретна частка.
Уявлення у тому, що у поведінці мікрооб'єктів виявляються як корпускулярні, і хвильові властивості, закріплено терміні «корпускулярно-хвильовий дуалізм»і є основою квантової теорії, де і отримав природне тлумачення.
Борн запропонував наступну загальноприйняту тепер інтерпретацію результатів описаних дослідів: ймовірність влучення електрона в деяку точку на фотопластинці пропорційна інтенсивності відповідної хвилі де Бройля, тобто квадрату амплітуди хвильового поля в даному місці екрана. Таким чином, запропоновано імовірнісно-статистичне тлумаченняприроди хвиль, пов'язаних з мікрочастинками: закономірність розподілу мікрочастинок у просторі можна встановити лише для великої кількості частинок; для однієї частинки можна визначити тільки можливість попадання в певну область.
Після знайомства з корпускулярно-хвильовим дуалізмом частинок ясно, що для опису механічного стану мікрочастинок непридатні методи, що використовуються в класичній фізиці. У квантовій механіці для опису стану необхідно використовувати нові специфічні засоби. Найважливішим із них є поняття про хвильової функції, або функції стану (-функції).
Функція стану є математичний образ хвильового поля, яке слід пов'язувати з кожною частинкою. Так, функцією стану вільної частки є плоска монохроматична хвиля де Бройля (4.2) або (4.8). Для частки, схильної до зовнішнього впливу (наприклад, для електрона в полі ядра), це хвильове поле може мати дуже складний вигляд, і воно змінюється з часом. Хвильова функція залежить від параметрів мікрочастинки та від тих фізичних умов, у яких частка знаходиться.
Далі ми побачимо, що через хвильову функцію досягається найповніший опис механічного стану мікрооб'єкта, який тільки можливий у мікросвіті. Знаючи функцію хвиль, можна передбачити, які значення всіх вимірюваних величин можуть спостерігатися на досвіді і з якою ймовірністю. Функція стану несе всю інформацію про рух та квантові властивості частинок, тому говорять про завдання з її допомогою квантового стану.
Відповідно до статистичної інтерпретації хвиль де Бройля, ймовірність локалізації частинки визначається інтенсивністю хвилі де Бройля, так що ймовірність виявлення частки в малому обсязі на околиці точки в момент часу дорівнює
З урахуванням комплексності функції маємо:
Для плоскої хвилі де Бройля (4.2)
тобто можна знайти вільну частинку в будь-якому місці простору.
Величину
називають щільністю імовірності.Імовірність знайти частинку в момент часу в кінцевому обсязі, згідно з теоремою складання ймовірностей, дорівнює
Якщо (4.16) зробити інтегрування в нескінченних межах, то буде отримана повна ймовірність виявлення частки в момент часу де-небудь у просторі. Це - ймовірність достовірної події, тому
Умова (4.17) називається умовою нормування, а -функцію, яка задовольняє йому, - нормованою.
Підкреслимо ще раз, що для частки, що рухається в силовому полі, як виступає функція складнішого виду, ніж плоска хвиля де Бройля (4.2).
Оскільки -функція комплексна, її можна у вигляді
де - модуль -функції, а - фазовий множник, у якому - будь-яке речове число. Зі спільного розгляду цього виразу і (4.13) ясно, що нормована хвильова функція визначена неоднозначно, а лише з точністю до постійного множника. Зазначена неоднозначність важлива і може бути усунена; однак вона несуттєва, тому що не відбивається на жодних фізичних результатах. Справді, множення функції експоненту змінює фазу комплексної функції, але з її модуль, визначальний ймовірність отримання експерименті тієї чи іншої значення фізичної величини.
Хвильову функцію частинки, що рухається в потенційному полі, можна уявити хвильовим пакетом. Якщо під час руху частинки вздовж осі довжина хвильового пакета дорівнює, то хвильові числа, необхідних його утворення, що неспроможні займати скільки завгодно вузький інтервал. Мінімальна ширина інтервалу повинна задовольняти співвідношення або, після множення,
Аналогічні співвідношення виконуються і для хвильових пакетів, що розповсюджуються вздовж осей і:
Співвідношення (4.18), (4.19) називають співвідношенням невизначеностей Гейзенберга(або принципом невизначеності). Відповідно до цього фундаментального стану квантової теорії, будь-яка фізична система не може перебувати в станах, в яких координати її центру інерції та імпульс одночасно набувають цілком певних, точних значень.
Співвідношення, аналогічні записаним, повинні виконуватися для будь-якої пари про канонічно сполучених величин. Постійна Планка, що міститься у співвідношеннях невизначеностей, встановлює межу в точності одночасного вимірювання таких величин. При цьому невизначеність у вимірах пов'язана не з недосконалістю експериментальної техніки, а з об'єктивними (хвильовими) властивостями частинок матерії.
Іншим важливим моментому розгляді станів мікрочастинок є вплив приладу на мікрооб'єкт. Будь-який процес виміру призводить до зміни фізичних параметрів стану мікросистеми; нижня межа цієї зміни встановлюється також співвідношенням невизначеностей.
Зважаючи на дещицю порівняно з макроскопічними величинами тієї ж розмірності дії співвідношення невизначеностей, істотні в основному для явищ атомних і менших масштабів і не виявляються в дослідах з макроскопічними тілами.
Співвідношення невизначеностей, вперше отримані в 1927 німецьким фізиком В. Гейзенбергом, стали важливим етапом у з'ясуванні закономірностей внутрішньоатомних явищ і побудові квантової механіки.
Як випливає зі статистичної інтерпретації сенсу хвильової функції, частка може бути з певною ймовірністю виявлена в будь-якій точці простору, в якій хвильова функція відмінна від нуля. Тому результати експериментів з вимірювання, наприклад, координати мають імовірнісний характер. Це означає, що з проведенні серії однакових експериментів над однаковими системами (тобто при відтворенні однакових фізичних умов) виходять щоразу різні результати. Однак деякі значення будуть більш ймовірними, ніж інші, і з'являтимуться частіше. Найчастіше будуть виходити значення координати, які близькі до значення, що визначає положення максимуму хвильової функції. Якщо максимум виражений чітко (хвильова функція є вузьким хвильовим пакетом), то частка в основному знаходиться поблизу цього максимуму. Проте деякий розкид у значеннях координати (невизначеність порядку півширини максимуму) є неминучим. Те саме стосується і вимірювання імпульсу.
В атомних системах величина по порядку величини дорівнює площі орбіти, за якою, відповідно до теорії Бора-Зоммерфельда, рухається частка у фазовій площині. У цьому вся можна переконатися, висловлюючи площу орбіти через фазовий інтеграл. При цьому вийде, що квантове число (дивись лекцію 3) задовольняє умову
На відміну від теорії Бору, де має місце рівність (тут - швидкість електрона на першій борівській орбіті в атомі водню, - швидкість світла у вакуумі,), у розглянутому випадку в стаціонарних станах середній імпульс визначається розмірами системи в координатному просторі, а відношення становить лише по порядку величини. Таким чином, застосовуючи координати та імпульс для опису мікроскопічних систем, необхідно в інтерпретацію цих понять запровадити квантові поправки. Такою поправкою є співвідношення невизначеностей.
Дещо інший сенс має співвідношення невизначеностей для енергії та часу:
Якщо система перебуває у стаціонарному стані, то із співвідношення невизначеностей випливає, що енергію системи навіть у цьому стані можна виміряти лише з точністю, яка не перевищує, де - тривалість процесу вимірювання. Співвідношення (4.20) справедливе також, якщо розуміти невизначеність значення енергії нестаціонарного стану замкнутої системи, а під - характерний час, протягом якого істотно змінюються середні значення фізичних величин у цій системі.
Співвідношення невизначеності (4.20) призводить до важливих висновків щодо збуджених станів атомів, молекул, ядер. Такі стани нестабільні, і з співвідношення невизначеностей випливає, що енергії збуджених рівнів не можуть бути суворо визначеними, тобто енергетичні рівні мають деяку природною шириною, де – час життя збудженого стану. Іншим прикладом є альфа-розпад радіоактивного ядра. Енергетичний розкид часток, що випускаються, пов'язаний з часом життя такого ядра співвідношенням.
Для нормального стану атома, а енергія має певне значення, тобто. Для нестабільної частки с, і про певне значення її енергії говорити не доводиться. Якщо час життя атома у збудженому стані прийняти рівним с, то ширина енергетичного рівня ~10 -26 Дж і ширина спектральної лінії, що виникає при переході атома в нормальний стан ~10 8 Гц.
Зі співвідношень невизначеностей випливає висновок у тому, що у квантової механіці втрачає сенс розподіл повної енергії на кінетичну і потенційну. Справді, одне з них залежить від імпульсів, іншу - від координат. Ці ж змінні що неспроможні одночасно мати певні значення. Енергія повинна визначатися та вимірюватися лише як повна енергія, без поділу на кінетичну та потенційну.
Світло має як хвильові, так і корпускулярні властивості. Хвильові властивостівиявляються під час поширення світла (інтерференція, дифракція). Корпускулярні властивості виявляються при взаємодії світла з речовиною (фотоефект, випромінювання та поглинання світла атомами).
Властивості фотона як частинки (енергія Е та імпульс p) пов'язані з його хвильовими властивостями (частотою ν та довжиною хвилі λ) співвідношеннями
; , (19)
де h = 6,63 10 -34 Дж - постійна Планка.
Намагаючись подолати труднощі борівської моделі атома, французький фізик Луї де Бройль в 1924 р. висунув гіпотезу, що поєднання хвильових і корпускулярних властивостей властиве як світлу, а й будь-якому матеріальному тілу. Тобто частинки речовини (наприклад, електрони) мають хвильові властивості. висловив припущення, Згідно з де Бройлем кожному тілу масою m, що рухається зі швидкістю υ, відповідає хвильовий процес з довжиною хвилі
Найбільш яскраво хвильові властивості виявляються у мікрооб'єктів (елементарних частинок). Внаслідок малої маси довжина хвилі де Бройля виявляється порівнянною з міжатомною відстанню у кристалах. У цих умовах при взаємодії пучка частинок із кристалічними ґратами виникають дифракційні явища. Електронам з енергією 150 еВвідповідає довжина хвилі λ»10 -10 м. Такого ж порядку є міжатомні відстані в кристалах. Якщо пучок таких електронів направити на кристал, то вони розсіюватимуться за законами дифракції. Зафіксована на фотоплівці дифракційна картина (електронограма) містить інформацію про будову тривимірних кристалічних ґрат.
Рисунок 6 Ілюстрація хвильових властивостей речовини
Для ілюстрації хвильових властивостей частинок часто використовують уявний експеримент – проходження пучка електронів (або інших частинок) через щілину шириною Δх. З точки зору хвильової теорії після дифракції на щілини пучок буде розширюватися з кутовою розбіжністю θ»λ/Δх. З корпускулярної погляду розширення пучка після проходження щілини пояснюється появою в частинок деякого поперечного імпульсу. Розкид значень цього поперечного імпульсу ("невизначеність") є
(21)
Співвідношення (22)
зветься співвідношення невизначеностей. Це співвідношення корпускулярному мові відбиває наявність хвильових властивостей у частинок.
Експеримент з проходження пучка електронів через дві близько розташовані щілини може бути ще яскравішою ілюстрацією хвильових властивостей частинок. Цей експеримент є аналогом оптичного інтерференційного досвіду Юнга.
4. 10 Квантова модель атомаЕкспериментальні факти (дифракція електронів, ефект Комптону, фотоефект та багато інших) і теоретичні моделі, на кшталт борівської моделі атома, свідчать, що закони класичної фізики стають незастосовними для опису поведінки атомів і молекул та їх взаємодії зі світлом. Протягом десятиліття між 1920-м та 1930-м гг. низка видатних фізиків ХХ ст. (де Бройль, Гейзенберг, Борн, Шредінгер, Бор, Паулі та ін.) займався побудовою теорії, яка б адекватно описати явища мікросвіту. В результаті народилася квантова механіка, що стала основою всіх сучасних теорій будови речовини, можна сказати, основою (разом із теорією відносності) фізики ХХ ст.
Закони квантової механіки застосовні в мікросвіті, в той же час ми є макроскопічними об'єктами і живемо в макросвіті, що керується зовсім іншими, класичними законами. Тому не дивно, що багато положень квантової механіки не можуть бути перевірені нами безпосередньо і сприймаються як дивні, неможливі, незвичні. Тим не менш, квантова механіка є, напевно, найбільш підтвердженою на досвіді теорією, оскільки наслідки розрахунків, виконаних за законами цієї теорії, використовуються практично у всьому, що нас оточує, і стали частиною людської цивілізації (досить згадати про ті напівпровідникові елементи, робота яких зараз дозволяють читачеві бачити текст на екрані монітора, покриття якого, до речі, також розраховане за допомогою квантової механіки).
На жаль, використовуваний квантової механікою математичний апарат досить складний і ідеї квантової механіки може бути викладені лише словесно і тому недостатньо переконливо. З огляду на це зауваження спробуємо дати хоч якесь уявлення про ці ідеї.
Основним поняттям квантової механіки є поняття квантового стану якогось мікрооб'єкта, або мікросистеми (це може бути окрема частка, атом, молекула, сукупність атомів тощо).
Квантова модель атомавідрізняється від планетарної насамперед тим, що у ній електрон немає точно певної координати і швидкості, тому безглуздо говорити про траєкторії його руху. Можна визначити (і намалювати) лише межі його переважного руху (орбіталі).
Стан якогось мікрооб'єкта, або мікросистеми (це може бути окрема частка, атом, молекула, сукупність атомів тощо) може бути охарактеризовано завданням квантових чисел: значень енергії, імпульсу, моменту імпульсу, проекції цього моменту імпульсу на якусь вісь, заряду тощо.
РІВНЯННЯ ШРЕДИНГЕРАдля руху електрона у кулонівському полі ядра атома водню використовується для аналізу квантової моделі атома. В результаті розв'язання цього рівняння виходить хвильова функція, яка залежить не тільки від координати та часу t, але і від 4-х параметрів, що мають дискретний набір значень і називають квантовими числами. Вони мають назви: головне, азимутальне, магнітне та магнітне спинове.
Головне квантове число nможе набувати цілочисельних значень 1, 2, ... . Воно визначає величину енергії електрона в атомі
Де Е i – енергія іонізації атома водню (13,6 еВ).
АЗІМУТАЛЬНЕ (ОРБІТАЛЬНЕ) квантове число l
визначає модуль моменту імпульсу електрона при його орбітальному русі 
(24)
де s - спинове квантове число, яке у кожної частки має лише одне значення. Наприклад, для електрона s = (аналогічно для протона і нейтрона). Для фотона s=1.
Вироджениминазиваються стани електрона з однаковою енергією.
Кратність виродженнядорівнює кількості станів з тією самою енергією.
КОРОТКАзапис стану електрона в атомі: ЦИФРА, що дорівнює головному квантовому числу, і буква, що визначає азимутальне квантове число:
Таблиця 1 Короткий запис стану електрона в атомі
Гіпотеза де Бройля. Хвилі де Бройля.
Як було сказано раніше, світло (і взагалі випромінювання) має двоїсту природу: в одних явищах (інтерференція, дифракція та ін.) світло поводиться як хвилі, в інших явищах з не меншою переконливістю – як частинки. Це спонукало де-Бройля (1923 р.) висловити ідею у тому, що матеріальні частки мають і хвильовими властивостями, тобто. поширити подібний корпускулярно-хвильовий дуалізм на частинки з масою спокою, відмінною від нуля.
Якщо з такою часткою пов'язана якась хвиля, очікується, що вона поширюється у напрямку швидкості υ частки. Про природу цієї хвилі нічого певного де Бройлем не було висловлено. Не будемо і ми поки що з'ясовувати їхню природу, хоча відразу ж підкреслимо, що ці хвилі не електромагнітні. Вони мають, як побачимо далі, специфічну природу, на яку немає аналога у класичній фізиці.
Отже, де Бройль висловив гіпотезу, що співвідношення для імпульсу p=ћω/c, Що стосується фотонів, має універсальний характер, тобто частинкам можна зіставити хвилю, довжина якої
Ця формула отримала назву формули де Бройля, а λ – дебройлівської довжини хвилічастинки з імпульсом р.
Де-Бройль також припустив, що пучок частинок, що падають на подвійну щілину, має за ними інтерферувати.
Другим, незалежним від формули (3.13.1) співвідношенням є зв'язок між енергією. Ечастинки та частотою ω дебройлівської хвилі:
В принципі, енергія Езавжди визначена з точністю до додання довільної постійної (на відміну від Δ Е), отже, частота є принципово неспостережуваною величиною (на відміну від дебройлівської довжини хвилі).
З частотою і хвильовим числом kпов'язані дві швидкості - фазова υ ф та групова u:
(3.13.3)
Помноживши чисельник і знаменник обох виразів на ћ з урахуванням (3.13.1) та (3.13.2), отримаємо, обмежившись розглядом лише нерелятивістського випадку, тобто. гадаючи E = p 2 /2m(кінетична енергія):
(3.13.4)
Звідси видно, що групова швидкість дорівнює швидкості частки, тобто є величиною, що принципово спостерігається, на відміну від υ ф ‑ через неоднозначність Е.
З першої формули (3.13.4) випливає, що фазова швидкість дебройлівських хвиль
(3.13.5)
тобто залежить від частоти ω, а значить дебройлівські хвилі мають дисперсієюнавіть у вакуумі. Далі буде показано, що відповідно до сучасної фізичної інтерпретацією фазова швидкість дебройлівських хвиль має суто символічне значення, оскільки ця інтерпретація відносить їх до принципово неспостережуваних величин. Втім, сказане видно й одразу, бо Ев (3.13.5) визначено, як мовилося раніше, з точністю до збільшення довільної постійної.
Встановлення того факту, що згідно (3.13.4) групова швидкість дебройлівських хвиль дорівнює швидкості частки, зіграло свого часу важливу рольу розвитку важливих основ квантової фізики, насамперед у фізичної інтерпретації дебройлівських хвиль. Спочатку була спроба розглядати частки як хвильові пакети дуже малої протяжності і таким чином вирішити парадокс двоїстості властивостей частинок. Однак подібна інтерпретація виявилася помилковою, оскільки всі складові пакети гармонійні хвилі поширюються з різними фазовими швидкостями. За наявності великої дисперсії, властивої дебройлівським хвиль навіть у вакуумі, хвильовий пакет «розпливається». Для часток із масою порядку маси електрона пакет розпливається практично миттєво, тоді як частка є стабільним утворенням.
Таким чином, уявлення частинки у вигляді хвильового пакета виявилося неспроможним. Проблема двоїстості властивостей частинок вимагала іншого підходи до свого рішення.
Повернемося до гіпотези де Бройля. З'ясуємо, у яких явищах можуть виявитися хвильові властивості частинок, якщо вони, ці властивості дійсно існують. Ми знаємо, що незалежно від фізичної природи хвиль – це інтерференція та дифракція. Безпосередньо спостерігається в них є довжина хвилі. В усіх випадках дебройлівська довжина хвилі визначається формулою (3.13.1). Проведемо за допомогою неї деякі оцінки.
Насамперед переконаємося, що гіпотеза де-Бройля не суперечить поняттям макроскопічної фізики. Візьмемо як макроскопічний об'єкт, наприклад, порошинку, вважаючи, що її маса m= 1мг та швидкість V= 1 мкм/с. Відповідна їй дебройлівська довжина хвилі
(3.13.6)
Т. е. навіть у такого невеликого макроскопічного об'єкта як порошинка дебройлівська довжина хвилі виявляється незмірно менше розмірів самого об'єкта. У таких умовах ніякі хвильові властивості, звичайно, проявити себе не можуть в умовах доступних вимірювання розмірів.
Інша справа, наприклад, у електрона з кінетичною енергією Kта імпульсом . Його дебройлівська довжина хвилі
(3.13.7)
де Kмає бути виміряно в електрон-вольтах (еВ). При K= 150 еВ дебройлівська довжина хвилі електрона дорівнює згідно (3.13.7) λ = 0,1нм. Такий самий порядок величини має постійна кристалічна решітка. Тому, аналогічно тому, як у разі рентгенівських променів, кристалічна структура може бути відповідними ґратами для отримання дифракції дебройлівських хвиль електронів. Однак гіпотеза де-Бройля була настільки нереальною, що досить довго не піддавалася експериментальній перевірці.
Експериментально гіпотеза де-Бройля була підтверджена у дослідах Девіссона та Джермера (1927р.). Ідея їхніх дослідів полягала у наступному. Якщо пучок електронів має хвильовими властивостями, можна очікувати, навіть не знаючи механізму відображення цих хвиль, що й відбиток від кристала матиме такий самий інтерференційний характер, як і рентгенівських променів.
В одній серії дослідів Девіссона і Джермера для виявлення дифракційних максимумів (якщо такі є) вимірювалися напруга електронів, що прискорює, і одночасно положення детектора D(лічильника відбитих електронів). У досвіді використовувався монокристал нікелю (кубічної системи), сошліфований так, як показано на рис.3.13. Якщо його повернути навколо вертикальної осі в Рис.3.13.1
Положення, що відповідає малюнку, то в цьому положенні
зішліфована поверхня покрита правильними рядами атомів, перпендикулярними до площини падіння (площини малюнка), відстань між якими d= 0,215 нм. Детектор переміщали у площині падіння, змінюючи кут θ. При вугіллі θ = 50 0 та прискорювальній напрузі V= 54B спостерігався особливо виразний максимум відбитих рис.3.13.2.
електронів, полярна діаграма яких показала на рис.3.13.2.
Що видно із рис.3.13.3. На цьому малюнку кожна жирна точка є проекцією ланцюжка атомів, розташованих на прямій, перпендикулярній площині малюнка. Період dможе бути виміряний незалежно, наприклад, дифракції рентгенівських променів. Рис.3.13.3.
Обчислена за формулою (3.13.7) дебройлівська довжина хвилі для V= 54B дорівнює 0,167нм. Відповідна довжина хвилі, знайдена з формули (3.13.8), дорівнює 0,165нм. Збіг настільки хороший, що отриманий результат слід визнати переконливим підтвердженням гіпотези де Бройля.
Іншими дослідами, що підтверджують гіпотезу де-Бройля, були досліди Томсона та Тартаковського . У цих дослідах пучок електронів пропускався через полікристалічну фольгу (за методом Дебая щодо дифракції рентгенівського випромінювання). Як і у разі рентгенівського випромінювання, на фотопластинці, розташованій за фольгою, спостерігалася система дифракційних кілець. Подібність обох картин вражає. Підозра, що система цих кілець породжується не електронами, а вторинним рентгенівським випромінюванням, що виникає внаслідок падіння електронів на фольгу, легко розсіюється, якщо шляху розсіяних електронів створити магнітне полі (піднести постійний магніт). Воно не впливає на рентгенівське випромінювання. Така перевірка показала, що інтерференційна картина відразу ж спотворювалася. Це однозначно свідчить, що ми маємо справу саме із електронами.
Г. Томсон здійснив досліди зі швидкими електронами (десятки кеВ), П.С. Тарковський – з порівняно повільними електронами (до 1,7 кеВ).
Для успішного спостереження дифракції хвиль на кристалах необхідно, щоб довжина хвилі цих хвиль була порівнянна з відстанями між вузлами кристалічних ґрат. Тому для спостереження дифракції важких частинок необхідно користуватися частинками з досить малими швидкостями. Відповідні досліди з дифракції нейтронів і молекул при відображенні від кристалів були виконані і також повністю підтвердили гіпотезу де-Бройля у застосуванні і важких частинок.
Завдяки цьому експериментально доведено, що хвильові властивості є універсальним властивістю всіх частинок. Вони не обумовлені якимись особливостями внутрішньої будови тієї чи іншої частинки, а відображають їхній загальний закон руху.
Описані вище досліди виконувалися з використанням пучків частинок. Тому виникає природне питання: хвильові властивості, що спостерігаються, виражають властивості пучка частинок або окремих частинок?
Щоб відповісти на це питання, В. Фабрикант, Л. Біберман і Н. Сушкін здійснили в 1949 р. досліди, в яких застосовувалися настільки слабкі пучки електронів, що кожен електрон проходив через кристал свідомо поодинці, і кожен розсіяний електрон реєструвався фотопластинкою. При цьому виявилося, що окремі електрони потрапляли в різні точки фотопластинки абсолютно безладним на перший погляд (рис.3.13.4 а). Тим часом за досить тривалої експозиції на фотопластинці виникала дифракційна картина (рис.3.13.4 б), абсолютно ідентична картині дифракції від звичайного електронного пучка. Так було підтверджено, що хвильовими властивостями володіють і окремі частинки.
Таким чином, ми маємо справу з мікрооб'єктами, які мають одночасно як корпускулярні, так і хвиле-
ними властивостями. Це дозволяє нам надалі говорити
про електрони, але висновки, яких ми прийдемо, мають Рис.3.13.4.
загальний зміст і однаково застосовні до будь-яких частинок.
Парадоксальна поведінка мікрочастинок.
Розглянуті в попередньому параграфі експерименти змушують констатувати, що перед нами один із найзагадковіших парадоксів: що означає твердження «електрон - це одночасно частка та хвиля»?
Спробуємо розібратися у цьому питанні за допомогою уявного експерименту, аналогічного досвіду Юнга щодо вивчення інтерференції світла (фотонів) від двох щілин. Після проходження пучка електронів через дві щілини на екрані утворюється система максимумів і мінімумів, положення яких можна розрахувати за формулами хвильової оптики, якщо кожному електрону можна порівняти дебройлівську хвилю.
У явищі інтерференції від двох щілин таяться сама суть квантової теорії, тому приділимо цьому питанню особливу увагу.
Якщо ми маємо справу з фотонами, то парадокс (частка – хвиля) можна усунути, припустивши, що фотон через свою специфічність розщеплюється на дві частини (на щілинах), які потім інтерферують.
А електрони? Адже вони ніколи не розщеплюються - це встановлено достовірно. Електрон може пройти через щілину 1, або через щілину 2 (рис.3.13.5). Отже, розподіл на екрані Е має бути сумою розподілів 1 і 2 (рис.3.13.5 а) - воно показано пунктирною кривою. Рис.13.13.5.
Хоча логіка у цих міркуваннях бездоганна, такий розподіл не здійснюється. Натомість ми спостерігаємо зовсім інший розподіл (рис.3.13.5 б).
Чи не є ця аварія чистої логіки та здорового глузду? Адже все виглядає так, якби 100 + 100 = 0 (у точці P). Справді, коли відкрита або щілина 1 або щілина 2, то в точку P приходить, скажімо, по 100 електронів на секунду, а якщо відкриті обидві щілини, то жодного!
Більше того, якщо спочатку відкрити щілину 1, а потім поступово відкривати щілину 2, збільшуючи її ширину, то за здоровим глуздом число електронів, що приходять в точку P щомиті, має зростати від 100 до 200. Насправді ж - від 100 до нуля.
Якщо подібну процедуру повторити, реєструючи частки, наприклад, у точці O (див. рис.3.13.5 б), виникає не менш парадоксальний результат. У міру відкривання щілини 2 (при відкритій щілині 1) число частинок у точці O зростає не до 200 за секунду, як слід очікувати, а до 400!
Яквідкриття щілини 2 може вплинути на електрони, які, здавалося б, проходять через щілину 1? Т. е. справа так, що кожен електрон, проходячи через якусь щілину, «відчуває» і сусідню щілину, коригуючи свою поведінку. Або подібно до хвилі проходить відразу через обидві щілини (!?). Адже інакше інтерференційна картина не може виникнути. Спроба все ж таки визначити, через яку щілину проходить той чи інший електрон, призводить до руйнування інтерференційної картини, але це вже зовсім інше питання.
Який висновок? Єдиний спосіб «пояснення», цих парадоксальних результатів полягає у створенні математичного формалізму, сумісного з отриманими результатами і завжди правильно прогнозує явища. Причому, зрозуміло, цей формалізм може бути внутрішньо несуперечливим.
І такий формалізм було створено. Він ставить у відповідність кожній частинці деяку комплексну псі-функцію Ψ( r, t). Формально вона має властивості класичних хвиль, тому її часто називають хвильовою функцією. Поведінка вільної рівномірно рухається у певному напрямку частинки описує плоска хвиля де-Бройля
Але більш докладно про цю функцію, її фізичний сенс і рівняння, яке керує її поведінкою в просторі та часі, йтиметься в наступній лекції.
Повертаючись до поведінки електронів під час проходження через дві щілини, ми маємо визнати: той факт, що в принципі не можна відповісти на питання, через яку щілину проходить електрон(Не руйнуючи інтерференційної картини), несумісний з уявленням про траєкторію. Таким чином, електронам взагалі не можна приписати траєкторії..
Однак за певних умов, а саме коли дебройлівська довжина хвилі мікрочастинки стає дуже малою і може виявитися набагато меншою, наприклад, відстані між щілинами або атомних розмірів, поняття траєкторії знову набуває сенсу. Розглянемо це питання докладніше і сформулюємо коректніше умови, у яких можна скористатися класичної теорією.
Принцип невизначеності
У класичній фізиці вичерпне опис стану частинки визначається динамічними параметрами, такими як координати, імпульс, момент імпульсу, енергія та ін. Однак реальна поведінка мікрочастинок показує, що існує принципова межа точності, з якою подібні змінні можуть бути вказані та виміряні.
Глибокий аналіз причин існування цієї межі, яку називають принципом невизначеності, Провів В. Гейзенберг (1927р.). Кількісні співвідношення, що виражають цей принцип у конкретних випадках, називають співвідношенням невизначеностей.
Своєрідність властивостей мікрочастинок проявляється в тому, що не всім змінних виходять при вимірах певні значення.Існують пари величин, які можуть бути одночасно визначені точно.
Найважливішими є два співвідношення невизначеностей.
Перше обмежує точності одночасного вимірювання координат і відповідних проекцій імпульсу частинки. Для проекції, наприклад, на вісь хвоно виглядає так:
Друге співвідношення встановлює невизначеність вимірювання енергії, Δ E, за цей проміжок часу Δ t:
Пояснимо сенс цих двох співвідношень. Перше з них стверджує, що якщо положення частинки, наприклад, по осі хвідомо з невизначеністю Δ x, то в той же момент проекцію імпульсу частинки на цю вісь можна виміряти тільки з невизначеністю Δ p= ћ/Δ x. Зауважимо, що ці обмеження не стосуються одночасного виміру координати частинки по одній осі та проекції імпульсу - по іншій: величини xі p y , yі p x і т. д. можуть одночасно мати точні значення.
Згідно з другим співвідношенням (3.13.11) для вимірювання енергії з похибкою Δ Епотрібен час, не менший, ніж Δ t=ћ /Δ E. Прикладом може бути «розмиття» енергетичних рівнів водневих систем (крім основного стану). Це з тим, що час життя переважають у всіх збуджених станах цих систем порядку 10 -8 з. Розмиття ж рівнів призводить до розширення спектральних ліній (природне розширення), яке справді спостерігається. Сказане відноситься і до будь-якої нестабільної системи. Якщо час її життя до розпаду порядку τ, то через кінцівки цього часу енергія системи має непереборну невизначеність, не меншу, ніж Δ E≈ ћ/τ.
Вкажемо ще кілька величин, які можуть бути одночасно точно визначені. Це будь-які дві проекції моменту імпульсу частки. Тому не існує стану, в якому всі три і навіть які-небудь дві з трьох проекцій моменту імпульсу мали певні значення.
Обговоримо докладніше зміст і можливості співвідношення Δ x·Δ p x ≥ ћ . Насамперед звернемо увагу на те, що воно визначає принципову межу невизначеностей Δ xта Δ p x , із якими стан частки можна характеризувати класично, тобто. координатою xта проекцією імпульсу p x. Чим точніше x, тим з меншою точністю, можна встановити p x, і навпаки.
Підкреслимо, що істинний сенс співвідношення (3.13.10) відображає той факт, що в природі об'єктивно не існує станів частинки з певними значеннями обох змінних, xі pх. Разом про те ми змушені, оскільки виміри проводяться з допомогою макроскопічних приладів, приписувати часткам не властиві їм класичні змінні. Недоліки такого підходу висловлюють співвідношення невизначеностей.
Після того, як з'ясувалась необхідність описувати поведінку частинок хвильовими функціями, співвідношення невизначеностей виникають природним чином – як математичне наслідок теорії.
Вважаючи співвідношення невизначеностей (3.13.10) універсальним, оцінимо, як воно позначилося на русі макроскопічного тіла. Візьмемо дуже маленьку кульку маси m= 1мг. Визначимо, наприклад, за допомогою мікроскопа його положення з похибкою Δ x≈ 10 -5 см (вона обумовлена роздільною здатністю мікроскопа). Тоді невизначеність швидкості кульки Δυ = Δ p/m≈ (ћ /Δ x)/m~ 10-19 см/с. Така величина недоступна жодному виміру, тому й відступ від класичного опису абсолютно несуттєво. Іншими словами, навіть для такої маленької (але макроскопічної) кульки поняття траєкторії застосовується з високим ступенем точності.
Інакше поводиться електрон в атомі. Груба оцінка показує, що невизначеність швидкості електрона, що рухається по борівській орбіті атома водню, можна порівняти з самою швидкістю: Δυ ≈ υ. При такому положенні уявлення про рух електрона за класичною орбітою втрачає будь-який сенс. І взагалі, при русі мікрочастинок у дуже малих областях простору поняття траєкторії виявляється неспроможним.
Разом про те, за певних умов рух навіть мікрочастинок може розглядатися класично, т. е. як рух траєкторією. Так відбувається, наприклад, при русі заряджених частинок електромагнітних полях(у електронно-променевих трубках, прискорювачах та ін.). Ці рухи можна розглядати класично, оскільки для них обмеження, зумовлені співвідношенням невизначеностей, знехтують малі в порівнянні з самими величинами (координатами та імпульсом).
Досвід із щілиною. Співвідношення невизначеностей (3.13.10) проявляє себе за будь-якої спроби точного вимірювання положення або імпульсу мікрочастинки. І щоразу ми приходимо до «невтішного» результату: уточнення положення частки призводить до збільшення невизначеності імпульсу і навпаки. Як ілюстрацію такої ситуації розглянемо наступний приклад.
Спробуємо визначити координату xвільно рухається з імпульсом pчастинки, поставивши на її шляху перпендикулярно напрямку руху екран зі щілиною шириною b(Рис.3.13.6). До проходження частки через щілину її проекція імпульсу pх має точне значення: p x = 0. Це означає, що Δ p x = 0, але
Координата xчастинки є абсолютно невизначеною згідно (3.13.10): ми не можемо сказати, Рис.3.13.6.
чи пройде дана частка через щілину.
Якщо частка пройде крізь щілину, то у площині щілини координата xбуде зареєстровано з невизначеністю Δ x ≈ b. При цьому внаслідок дифракції з найбільшою ймовірністю частка рухатиметься в межах кута 2θ, де θ - кут, що відповідає першому дифракційному мінімуму. Він визначається умовою, за якої різниця ходу хвиль від обох країв щілини дорівнюватиме λ (це доводиться в хвильовій оптиці):
Внаслідок дифракції виникає невизначеність значення pх - проекції імпульсу, розкид якого
Враховуючи що b≈ Δ хі p= 2π ћ /λ., отримаємо з двох попередніх виразів:
що узгоджується по порядку величини (3.13.10).
Таким чином, спроба визначити координату xчастки, справді, призвели до появи невизначеності Δ pу імпульсі частки.
Аналіз багатьох ситуацій, пов'язаних із вимірами, показує, що виміри в квантовій області принципово відрізняються від класичних вимірів. На відміну від останніх, у квантовій фізиці існує природна межа точності вимірів. Він у самій природі квантових об'єктів і може бути подоланий ніяким вдосконаленням приладів і методів вимірів. Співвідношення (3.13.10) та встановлює одну з таких меж. Взаємодія між мікрочастинкою та макроскопічним вимірювальним приладом не можна зробити як завгодно малим. Вимірювання, наприклад координати частинки, неминуче призводить до принципово непереборного і неконтрольованого спотворення стану мікрочастинки, а значить і до невизначеності у значенні імпульсу.
Деякі висновки.
Співвідношення невизначеностей (3.13.10) одна із фундаментальних положень квантової теорії. Одного цього співвідношення достатньо, щоб отримати низку важливих результатів, зокрема:
1. Неможливий стан, у якому частка перебувала б у стані спокою.
2. При розгляді руху квантового об'єкта необхідно у багатьох випадках відмовитися від поняття класичної траєкторії.
3. Часто втрачає сенс розподіл повної енергії Eчастинки (як квантового об'єкта) на потенційну Uта кінетичну K. Справді, перша, тобто. Uзалежить від координат, а друга - від імпульсу. Ці ж динамічні змінні що неспроможні мати одночасно певного значення.
Головна > ПрактикумХвильові властивості мікрочастинок.
Розвиток уявлень про корпускулярно-хвильові властивості матерії отримало в гіпотезі про хвильовий характер руху мікрочастинок. Луї де Бройль з ідеї симетрії в природі для частинок речовини та світла приписав будь-якій мікрочастинці якийсь внутрішній періодичний процес (1924). Об'єднавши формули E = hν і E = mc 2 він отримав співвідношення, що показує, що будь-якій частинці відповідає своя довжина хвилі: λ Б = h/mv = h/p, де p- імпульс хвилі-частки. Наприклад, для електрона, має енергію 10 эВ, довжина хвилі де Бройля становить 0,388 нм. Надалі було показано, що стан мікрочастинки у квантовій механіці може бути описаний певною комплексною хвильовою функцією координат Ψ(q), причому квадрат модуля цієї функції |Ψ| 2 визначає розподіл ймовірностей значень координат. Ця функція була введена в квантову механіку Шредінгером в 1926 р. Отже, хвиля де Бройля несе енергію, лише відображає “розподіл фаз” якогось ймовірнісного періодичного процесу у просторі. Отже, опис стану об'єктів мікросвіту носить імовірнісний характер, на відміну від об'єктів макросвіту, що описуються законами класичної механіки. У США К. Девіссон та Л. Джермер виявили явище дифракції при проходженні пучка електронів через пластинку із кристала нікелю (1927). Незалежно від них дифракцію електронів під час проходження через металеву фольгу відкрили Дж. П. Томсон в Англії та П.С. Тартаковський у СРСР. Так ідея де Бройля про хвильові властивості речовини знайшла експериментальне підтвердження. Згодом дифракційні, а отже хвильові властивості були виявлені у атомних і молекулярних пучків. Відкриття хвильових властивостей у мікрочастинок показало, що такі форми матерії, як поле (безперервне) і речовина (дискретне), які з точки зору класичної фізики, вважалися якісно різними, в певних умовах можуть виявляти властивості, притаманні і тій та іншій формі. Це свідчить про єдність цих форм матерії. Повне опис їхніх властивостей можливе лише основі протилежних, але доповнюють друг - друга уявлень.Дифракція електронів.
Для отримання спектра світлових хвиль та визначення їх довжини використовується дифракційна решітка. Вона є сукупністю великої кількості вузьких щілин, розділених непрозорими проміжками, наприклад, скляна пластинка з нанесеними на ній подряпинами (штрихами). Як і від двох щілин (дивись лаб. роботу 2), при проходженні через такі ґрати плоскої монохроматичної хвилі, кожна щілина стане джерелом вторинних когерентних хвиль, в результаті складання яких виникне інтерференційна картина. Умова виникнення максимумів інтерференції на екрані, розташованому на відстані від дифракційної решітки, визначається різницею ходу між хвилями від сусідніх щілин. Якщо в точці спостереження різниця ходу дорівнюватиме цілому числу хвиль, то відбудеться їх посилення і буде спостерігатися максиму інтерференційної картини. Відстань між максимумами для світла певної довжини хвилі визначається за формулою: h 0 = L/d. Величина d називається періодом решітки і дорівнює сумі ширини прозорого та непрозорого проміжків. Для спостереження дифракції електронів як природні дифракційні грати використовують кристали металу. Періоду d таких природних дифракційних решіток відповідає характерна відстань між атомами кристала. = Ue, де e – заряд електрона. Із формули кінетичної енергії E кін. = (m e v 2)/2 можна визначити швидкість електрона: . Знаючи масу електрона m e, можна визначити його імпульс і відповідно довжину хвилі де Бройля.
За такою ж схемою в 30-ті роки був створений електронний мікроскоп, що дає збільшення в 106 разів. У ньому замість світлових хвиль використовуються хвильові властивості пучка електронів, прискорених до великих енергій за умов глибокого вакууму. Були вивчені значно дрібніші об'єкти, ніж з допомогою світлового мікроскопа, а, по роздільної здатності поліпшення - у тисячі разів. За сприятливих умов можна сфотографувати навіть окремі великі атоми, максимально близько розташовані деталі об'єкта розміром близько 10 -10 м. Без нього навряд чи була можливість контролювати дефекти мікросхем, отримувати чисті речовини, розвивати мікроелектроніку, молекулярну біологіюі т.д.
Лабораторна робота №7. Порядок виконання роботи.
Відкрийте вікно.
А).Перемістивши двигун у правій стороні робочого вікна, задайте довільне значення прискорюючої напруги U ( поки ви не перемістите двигун, кнопки будуть неактивні!) і запишіть це значення. Натисніть кнопку Пуск. Погляньте на екрані робочого вікна, як проявляється інтерференційна картина при дифракції електронів на металевій фользі. Зверніть увагу, що попадання електронів у різні точки екрану носить випадковий характер, проте ймовірність попадання електронів у певні області екрана дорівнює нулю, а інші відмінна від нуля. Саме тому і проявляється інтерференційна картина. Дочекайтеся, поки на екрані чітко не виявляться концентричні кола інтерференційної картини та натисніть кнопку Тест. Увага! Поки інтерференційна картина не стане чіткою, кнопка Тест буде неактивна. Вона стане активною після того, як курсор миші, при наведенні на цю кнопку, змінить вигляд зі стрілки на руку! На екрані з'явиться графічне зображенняймовірності розподілу електронів по осі x, що відповідає інтерференційній картині. Перетягніть вимірювальну лінійку до області графіка. За допомогою правої кнопки миші збільште зображення графіка та визначте відстань між двома крайніми максимумами інтерференції з точністю до десятих часток міліметра. Запишіть це значення. Розділивши це значення на 4 ви отримаєте відстань h 0 між максимумами інтерференційної картини. Запишіть його. За допомогою правої кнопки миші поверніть зображення у вихідний стан. Використовуючи формули в теоретичній частині, визначте довжину хвилі де Бройля. Підставте це значення у вікно тесту та натисніть кнопку Перевірити Правильно! б).Використовуючи формули в теоретичній частині, за прискорювальною напругою знайдіть швидкість електронів і запишіть її. Підставте це значення у вікно тесту та натисніть кнопку Перевірити. Якщо розрахунки зроблено правильно, з'явиться напис Правильно!Розрахуйте імпульс електрона і за формулою де Бройля знайдіть довжину хвилі. Порівняйте набуте значення зі знайденим за інтерференційною картиною. У).Змініть напругу та натиснувши кнопку Тестповторіть пункти Аі Б. Результати проведених тестів покажіть викладачеві. За результатами вимірювань складіть таблицю:| Швидкість електрона v | Імпульс електрона p | ||||
Лабораторна робота №7. Форма звіту.
У заголовку вказуються:
НАЗВА ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Завдання. Дифракція електронів.
А).Знайдена відстань h 0 . Розрахунок довжини хвилі λ.
б).Розрахунки швидкості електрона, імпульсу та довжини хвилі.
У).Повторення пунктів Аі Б.Таблиця з результатами:
| h 0 (відстань між максимумами) | Швидкість електрона v | Імпульс електрона p | |||
г).Аналіз результатів. Відповіді на питання.
Д).Визначення довжини хвилі де Бройль для автомобіля. Відповіді на питання. Висновки.
1. У чому суть гіпотези Луї де Бройля?
2. Які експерименти підтвердили цю гіпотезу?
3. Якою є специфіка опису стану об'єктів мікросвіту на відміну від опису об'єктів макросвіту?
4. Чому відкриття хвильових властивостей у мікрочастинок, поряд з проявом корпускулярних властивостей у електромагнітних хвиль (світла) дозволило говорити про корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії? Поясніть суть цих уявлень.
5. Як залежить довжина хвилі де Бройля від маси та від швидкості мікрочастинки?
6. Чому макрооб'єкти не виявляють хвильових властивостей?
Лабораторна робота № 8. ОПИС
Дифракція фотонів. Співвідношення невизначеностей.
Робоче вікно
Вигляд робочого вікна наведено на Мал. 1.1. У робочому вікні наведено модель дифракції фотонів. У правій нижній частині вікна розташовані кнопки тесту. У вікно під клавішами тесту вводяться розраховані параметри. У верхньому положенні перемикача це невизначеність імпульсу фотона, а нижньому - твір невизначеності імпульсу на невизначеність координати x. У вікнах, розташованих нижче, фіксується кількість правильних відповідей та кількість спроб. Переміщенням двигунів можна змінювати довжину хвилі фотона та розміри щілини.
Малюнок 1.1.
Для вимірювання відстані від максимуму дифракційної картини до мінімуму використовується двигун, розташований праворуч від вікна моделі. Вимірювання проводяться для кількох значень розмірів щілини. Тестова система фіксує кількість правильно даних відповідей та загальну кількість спроб.
Лабораторна робота №8. Теорія
Співвідношення невизначеностей.
МЕТА РОБОТИ: На прикладі дифракції фотонів дати уявлення студентам про співвідношення невизначеностей. Використовуючи модель дифракції фотонів на щілини, наочно продемонструвати, що чим точніше визначена координата фотона, тим менш точно визначено значення проекції його імпульсу p x .
Співвідношення невизначеностей
У 1927 р. В.Гейзенберг відкрив так звані співвідношення невизначеностей, відповідно до яких невизначеності координат та імпульсів пов'язані між собою співвідношенням:
, де 
, hпостійна Планка. Своєрідність опису мікросвіту в тому, що добуток невизначеності (точності визначення) положення Δx і невизначеності (точності визначення) імпульсу Δp x завжди має бути рівним або більше константи, що дорівнює –. З цього випливає, що зменшення однієї з цих величин має призводити до збільшення іншої. Добре відомо, що будь-який вимір пов'язаний з певними помилками та вдосконалюючи прилади вимірювання, можна зменшувати похибки, тобто підвищувати точність виміру. Але Гейзенберг показав, що існують пов'язані (додаткові) характеристики мікрочастинки, точне одночасне вимірювання яких принципово неможливе. Тобто. невизначеність – властивість самого стану, воно не пов'язане з точністю приладу. Для інших сполучених величин – енергії E та часу tспіввідношення має вигляд: 
. Це означає, що за характерного часу еволюції системи Δ t, похибка визначення її енергії не може бути меншою ніж 
. З цього співвідношення випливає можливість виникнення з нічого, так званих, віртуальних частинок на проміжок часу менший, ніж 
та володіють енергією Δ E. При цьому закон збереження енергії не буде порушено. Тому за сучасними уявленнями вакуум це не порожнеча, у якій відсутні поля та частки, а фізична сутність, у якій постійно виникають та зникають віртуальні частки. Одним із основних принципів квантової механіки є принцип невизначеностей, відкритий Гейзенберг. Отримання інформації про одних величинах, що описують мікрооб'єкт, неминуче веде до зменшення інформації про інші величини, додаткові до перших. Прилади, що реєструють величини, пов'язані співвідношенням невизначеності, різного типу, вони є додатковими один до одного. Під виміром у квантовій механіці мається на увазі будь-який процес взаємодії між класичним і квантовими об'єктами, що відбувається крім незалежно від будь-якого спостерігача.Якщо класичної фізики вимір не обурювало сам об'єкт, то квантової механіці кожен вимір руйнує об'єкт, знищуючи його хвильову функцію. Для нового виміру об'єкт потрібно готувати заново. У зв'язку з цим М. Бор висунув принцип додатковості, Суть якого в тому, що для повного опису об'єктів мікросвіту необхідно використання двох протилежних, але доповнюють один одного уявлень. Дифракція фотонів, як ілюстрація співвідношення невизначеностей
З погляду квантової теорії світло можна як потік світлових квантів - фотонів. При дифракції монохроматичної плоскої хвилі світла на вузькій щілини, кожен фотон, що пройшов через щілину, потрапляє до певної точки на екрані (Рис 1.). Передбачити, в яку точку потрапить фотон неможливо. Однак у сукупності, потрапляючи у різні точки екрану, фотони дають дифракційну картину. Коли фотон проходить через щілину, можна говорити, що його координата x була визначена з похибкою Δx, яка дорівнює розміру щілини. Якщо фронт плоскої монохроматичної хвилі паралельний площині екрану зі щілиною, то кожен фотон має імпульс, спрямований по осі перпендикулярно до екрану. Знаючи довжину хвилі, цей імпульс можна точно визначити: p = h/λ.
Однак після проходження через щілину, напрямок імпульсу змінюється, внаслідок чого спостерігається дифракційна картина. Модуль імпульсу залишається незмінним, тому що при дифракції світла довжина хвилі не змінюється. Відхилення від початкового напрямку виникає за рахунок появи складової Δp x вздовж осі х (Рис. 1). Величину цієї складової кожного конкурентного фотона визначити неможливо, але максимальне її значення по модулю визначає ширину 2S дифракційної картини. Максимальне значення Δp x є мірою невизначеності імпульсу фотона, що виникає при визначенні його координати з похибкою Δx. Як видно з малюнка, максимальне значення Δp x дорівнює: Δp x = psinθ, . Якщо L>> s тоді можна записати: sinθ =s/ Lі Δp x = p(s/ L).
Лабораторна робота №8. Порядок виконання роботи.
Ознайомтеся із теоретичною частиною роботи.
Відкрийте вікно.А).Перемістивши двигуни з правого боку робочого вікна, задайте довільні значення довжини хвилі λ та розміру щілини Δx. Напишіть ці значення. Натисніть кнопку Тест. Використовуючи праву кнопку миші, збільште зображення дифракційної картини. За допомогою движка, що знаходиться праворуч від зображення дифракційної картини, визначте максимальну відстань s, на яку фотони відхиляються по осі x, і запишіть його. За допомогою правої кнопки миші поверніть зображення у вихідний стан. Використовуючи формули в теоретичній частині, визначте Δp x . Підставте це значення у вікно тесту та натисніть кнопку Перевірити. Якщо розрахунки зроблено правильно, з'явиться напис Правильно!б).Використовуючи знайдені значення, знайдіть добуток Δp x Δx. Підставте це значення у вікно тесту та натисніть кнопку Перевірити. Якщо розрахунки зроблено правильно, з'явиться напис Правильно!.У).Змініть розмір щілини та натиснувши кнопку Тестповторіть пункти Аі Б. Результати проведених тестів покажіть викладачеві. За результатом вимірювань складіть таблицю:| Δx (ширина щілини) | Імпульс фотона p | Δp x (розраховане) | ||||
Лабораторна робота №8. Форма звіту.
Загальні вимоги щодо оформлення.
Робота виконується на аркушах паперу формату A4 або на подвійних зошитових аркушах.
У заголовку вказуються:
Прізвище та ініціали студента, № групи
НАЗВА ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Кожне завдання лабораторної роботи оформляється як її розділ і має заголовок. У звіті по кожному завданню повинні бути надані відповіді на всі запитання і, якщо це зазначено, зроблено висновки та наведено необхідні малюнки. Результати тестових завданьобов'язково мають бути показані викладачеві. У завданнях, що включають вимірювання і розрахунки, повинні бути наведені дані вимірювань і дані проведених розрахунків.
Завдання. Співвідношення невизначеностей.
А).Значення довжини хвилі λ та розміру щілини Δx. Виміряна максимальна відстань s. Розрахунки імпульсу фотона та Δp x .
б).Розрахунки добутку Δp x Δx.
У).Повторення пунктів Аі Б.Таблиця з результатами:
| Δx (ширина щілини) | Імпульс фотона p | Δp x (розраховане) | ||||
г). Аналіз результатів. Висновки. Відповіді на питання.
Д).Відповіді на питання.
Контрольні питання для перевірки засвоєння теми лабораторної роботи:
1. Поясніть, чому із співвідношення невизначеностей випливає неможливість одночасного точного визначення сполучених величин?
2. Енергетичні спектри випромінювання пов'язані з переходом електронів з вищих енергетичних рівнів більш низькі. Цей перехід відбувається за певний проміжок часу. Чи можна точно визначити енергію випромінювання?
3. Викладіть суть принципу невизначеності.
4. Яка роль приладу у мікросвіті?
5. Зі співвідношення невизначеностей поясніть, чому при дифракції фотонів зменшення розміру щілини призводить до збільшення ширини дифракційної картини?
6. Викладіть суть принципу додатковості Бору.
7. Чим за сучасними уявленнями є вакуум?
Лабораторна робота № 9. ОПИС
Тепловий рух (1)
Робоче вікно
Вигляд робочого вікна наведено на Мал. 6.1. У лівій частині робочого вікна наведено модель теплового руху частинок обсягом, який розділений на дві частини перегородкою. За допомогою миші переміщення можна перемістити вліво (натиснувши ліву кнопку миші на її верхній частині) або видалити (клацнувши на нижній частині).
Р 
ісунок 6.1.
У правій частині робочого вікна наведено: температура (у правій та лівій частині, модельованого обсягу), миттєві швидкості частинок, а також реєструється кількість зіткнень частинок зі стінками у процесі спостереження. Кнопкою Пускзапускається рух частинок, при цьому початкові швидкості та розташування частинок задаються випадковим чином. У віконці поруч із кнопкою Пусквизначається кількість частинок. Кнопка Стопзупиняє рух. При натисканні на кнопку Продовжитирух відновлюється, та очищаються вікна реєстрації числа зіткнень зі стінками. За допомогою кнопки Нагрівможна збільшувати температуру в правій частині об'єму, що моделюється. Кнопка Вимк.відключає нагрівання. Перемикачем праворуч від кнопок керування можна встановити кілька різних режимів роботи.
Щоб відкрити вікно, натисніть на його зображення.
Лабораторна робота №9.
