Мірна куля. Багатовимірна музика сфер перельману. Деякі корисні програми з інших джерел

Якийсь час тому на сайті препринтів arXiv.org з'явилися відразу дві роботи, присвячені задачі про щільне впакування куль у просторах розмірності 8 та 24. До цього моменту аналогічні результати були відомі тільки для розмірностей 1, 2 та 3 (причому тут не все так просто але це нижче). Прорив – а йдеться про справжній революційний прорив – став можливим завдяки роботам Марини В'язовської, математика українського походження, яка зараз працює у Німеччині. Ми розповімо історію цього досягнення у десяти коротких сюжетах.

1.

У XVI столітті в Англії проживав відомий придворний діяч та поет сер Волтер Релі. Знаменитий він був, насамперед тим, що, якось, кинув перед королевою в калюжу свій дорогий плащ, щоб її Величність забруднила ніг. Але нам він цікавий не тому.

Була у сера Уолтера Релі пристрасть - дуже він любив грабувати іспанські судна та шукати Ельдорадо. І ось одного разу побачив Релі на кораблі купу складених ядер. І подумав (траплялося таке з британськими придворними), мовляв, було б непогано, якби можна було б дізнатися скільки ядер у купі, не перераховуючи їх. Користь від такого знання, особливо якщо тобі подобається грабувати іспанський флот, очевидна.

Уолтер Релі

Сам Релі був у математиці не дуже, тому він поставив це завдання своєму помічнику Томасу Герріоту. Той, у свою чергу, був у математиці сильний (Херріот, до речі, є винахідником знаків «>» та «<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

За коментарями він звернувся до відомого математика свого часу Йоганна Кеплера - тоді помічника Тихо Браге. Кеплер відповіді не дав, але завдання запам'ятав. В 1611 він опублікував невелику брошурку, в якій обговорював чотири питання: чому стільники у бджіл шестикутні, чому пелюстки квітів найчастіше групуються п'ятірками. Кеплер, ймовірно, мав на увазі тількирозоцвітих - прим. N+1), чому зерна граната мають форму додекаедрів (нехай і неправильних) і чому, нарешті, сніжинки мають форму шестикутників.

Йоганн Кеплер

Брошура призначалася в подарунок, тому була швидше філософським і розважальним чтивом, ніж справжньою науковою роботою. Відповідь на перше питання Кеплер пов'язував з двома умовами - між сотами не повинно бути прогалин, а сума площ осередків має бути мінімальною. Друге питання автор пов'язав з числами Фібоначчі, а розмова про сніжинки наштовхнула Кеплера на міркування про атомарні симетрії.

Третє ж питання породило гіпотезу про те, що гексагональна щільна упаковка(Вона на картинці нижче) є щільною (що означає це в математичному сенсі теж нижче). Зрозуміло, на Херріота Кеплер послатися не вважав за потрібне. Тому це твердження отримало назву гіпотези Кеплера. Закон Стіглера - він принцип Арнольда - у дії.

Так, через 7 років після виходу цієї брошурки серу Волтер Релі відрубали голову. Втім, із завданням про щільне пакування це ніяк не було пов'язано.

2.

За сучасними мірками завдання, яке вирішував Герріот, було нескладним. Тому розберемо її докладніше. А заразом і краще зрозуміємо, як влаштована гексагональна щільна упаковка.

Отже, головна умова, щоб купа ядер не розкотилася під час хитавиці. Отже, викладаємо ядра на палубі. У наступний ряд кладемо ядра так, щоб кулі розміщувалися у щілинах між сферами першого ряду. Якщо в першому ряду n куль, то в другому n - 1 (бо щілин між кулями на одиницю менше, ніж самих куль). Наступний ряд буде ще на одиницю меншою від ядер. І так далі, поки ми не отримаємо такий трикутник (якщо дивитися на розкладку зверху):

Ті, хто пам'ятає, що таке арифметична прогресія, легко порахують, що, якщо в першому ряду було n куль, то в такому трикутнику n(n + 1)/2 куль. Якщо дивитись зверху, то між кулями є зручні виїмки. Туди і складатимемо другий шар куль. Вийде трикутник, організований як перший, тільки у якого на одиницю менше кульок осторонь. Отже, ми поклали до купи ще n(n - 1)/2 кулі.

Продовжимо викладати шари до того часу, поки отримаємо шар однієї кулі. Отримали трикутну піраміду з ядер. Щоб дізнатися, скільки в ній всього ядер, потрібно скласти кількість ядер у кожному шарі. Якщо перший шар був зі стороною n, отримаємо n шарів, які в сумі дадуть n(n + 1)(n + 2)/6. Допитливий читач помітить, що це точно біноміальний коефіцієнт C 3 n + 2 . Цей комбінаторний збіг тут недарма, але заглиблюватися ми в нього не будемо.

До речі, крім цього завдання Герріот зміг визначити, яку приблизно частку займають ядра в досить великому контейнері, якщо набути форми останнього за куб. Виявилося, що частка становить π/(3√2) ≈ 0,74048.

3.

Що означає слово щільнау формулюванні завдання? Релі, Герріот, та й сам Кеплер не давали на це точної відповіді. Малася на увазі найміцніша в якомусь розумному розумінні. Проте для математики таке формулювання не підходить. Її треба уточнити.

Давайте спустимося на розмірність нижче і подивимося, як все влаштовано на площині. Для двовимірного випадку завдання перетворюється на таку: нехай на площині заданий нескінченний набір непересічних по внутрішній частині (але, можливо, стикаються - тобто мають спільну точку на межі) кіл. Намалюємо квадрат. Порахуємо суму площ шматків кіл, що потрапили всередину квадрата. Візьмемо відношення цієї суми до площі квадрата, і збільшуватимемо бік квадрата, дивлячись за зміною співвідношення.

Ми отримуємо функцію f(a), де a- Сторона квадрата. Якщо нам пощастило, то ця функція зі зростанням аргументу буде наближатися асимптотично до деякого числа. Це число називається щільністю цієї упаковки. Важливо, що сама функція будь-якої миті може давати значення більше щільності. Справді, якщо квадрат маленький, то повністю міститься у колі і певне відношення одно 1. Але нас цікавить щільність у середньому, тобто, кажучи неформально «для квадрата з досить великою стороною».

Серед усіх таких густин можна знайти максимальну. Саме вона, а також упаковка, що її реалізує, і називатиметься щільною.

«Щільна упаковка не обов'язково єдина (в асимптотичному сенсі). Щільніших упаковок у 3-мірному просторі - нескінченно багато, і це знав ще Кеплер,» - каже Олег Мусін із Техаського університету в Браунсвіллі.

Після того, як ми визначили поняття найміцніша упаковка, легко зрозуміти, що таке визначення легко поширити на простір довільної розмірності n. Справді, замінимо кола на кулі відповідної розмірності, тобто множини точок, відстань від яких до фіксованої (називається центром) не перевищує деякої величини, яка називається радіусом кулі. Знову розташуємо їх так, щоб будь-які два у кращому випадку стосувалися, у гіршому – взагалі не мали спільних точок. Визначимо таку ж, як і в попередньому випадку, функцію, взявши обсяг n-мірного куба та суму обсягів відповідних n-мірних куль.

4.

Отже, ми зрозуміли, що гіпотеза Кеплера - це завдання про щільне впакування тривимірних куль у тривимірному просторі. А що там із площиною (раз вже ми з неї почали)? Або навіть із прямою? З прямою все просто: куля на прямій - це відрізок. Пряму можна повністю покрити однаковими відрізками, що перетинаються по кінцях. При такому покритті функція f(a)постійна та дорівнює 1.

На площині все виявилося складніше. Отже, нехай спочатку на площині задано безліч точок. Ми говоримо, що це безліч точок утворює решітку, якщо можна знайти пару векторів v і w таких, що всі точки виходять як N * v + M * w, де N і М - цілі числа. Аналогічно решітку можна визначити в просторі скільки завгодно великої розмірності - просто знадобиться більше векторів.

Грати важливі з багатьох причин (наприклад, саме у вузлах грати воліють розташовуватися атоми, коли йдеться про тверді матеріали), але для математиків вони хороші тим, що дуже зручні для роботи. Тому з усіх упаковок окремо виділяють клас, у яких центри куль розташовуються у вузлах ґрат. Якщо обмежитися таким випадком, то на поверхні існує всього п'ять типів решіток. Щільне упаковку з них дає так, в якій точки розставлені у вершинах правильних шестикутників - як стільники бджіл або атоми графена. Цей факт був доведений Лагранжем у 1773 році. Точніше: Лагранж не цікавився щільними упаковками, а цікавився квадратичними формами. Вже в XX з'ясувалося, що з його результатів форми випливає результат про щільність упаковки для двовимірних ґрат.

«У 1831 році Людвіг Зібер написав книгу про тернарні квадратичні форми. У цій книзі була висунута гіпотеза, яка еквівалентна гіпотезі Кеплера для ґратчастих упаковок. Сам Зібер зумів довести лише слабку форму своєї гіпотези та перевірити її для великої кількості прикладів. Рецензію на цю книгу написав великий Карл Фрідріх Гаус. У цій рецензії Гаус наводить справді дивовижний доказ, що вмістився у 40 рядків. Це, як ми зараз говоримо, "олімпіадні" докази доступні для розуміння школяру старших класів. Багато математиків намагалися знайти прихований сенс у доказі Гауса, але поки що ніхто не досяг успіху», - говорить Олег Мусін.

Що буде, якщо відмовитися від умови сітківки? Тут все виявляється дещо складнішим. Першу повноцінну спробу розібратися з цим випадком зробив норвезький математик Аксель Туе. Якщо заглянути на сторінку, присвячену Туе у Вікіпедії, то нічого про щільну упаковку ми там не знайдемо. Воно і зрозуміло - Туе опублікував дві роботи, що більше нагадують есе, ніж нормальні математичні роботи, в яких, як йому здавалося, повністю вирішив завдання про щільну упаковку. Проблема була тільки в тому, що нікого, крім Туе, його міркування не переконали.

Ласло Фейєш Той

Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons

Остаточно завдання вирішив угорський математик Ласло Фейеш Тот у 1940 році. Виявилося, до речі, що розташування кіл на площині, що реалізує найбільш щільну упаковку єдино.

5.

Із завданням про щільну упаковку тісно пов'язана задача про контактне число. Давайте знову розглянемо коло на поверхні. Скільки навколо нього можна розташувати кіл такого ж радіусу, щоб усі вони стосувалися центрального? Відповідь шість. Справді, подивимося на два сусідні кола, що стикаються з нашим центральним. Подивимося відстань від центру центрального кола до центрів цих двох. Воно одно 2R, де R- Радіус кола. Відстань між центрами сусідніх кіл не перевищує 2R.Обчислюючи кут при центрі центрального кола за теоремою косінусів отримуємо, що він не менше 60 градусів. Сума всіх центральних кутів повинна давати 360 градусів, отже таких кутів може бути не більше 6. А розташування кіл із шістьма кутами ми знаємо.

Отримане число називається контактним числом площини. Аналогічне питання можна поставити для просторів будь-якої розмірності. Нехай простота рішення на площині не вводить читача в оману - задача про контактні числа якщо і простіше завдання про щільну упаковку, то не сильно. Але результатів у цьому напрямі справді отримано більше.

Для тривимірного простору контактне число стало предметом публічної суперечки між самим Ісааком Ньютоном та Джеймсом Грегорі у 1694 році. Перший вважав, що контактне число має бути 12, а друге - що 13. Штука в тому, що 12 куль навколо центрального розташувати нескладно - центри таких куль лежать у вершинах правильного ікосаедра (їх у нього якраз 12 штук). Але ці кулі не стикаються! На перший погляд здається, що їх можна посунути так, щоб пролізла ще одна, 13-та куля. Це майже правда: якщо кулі трохи розсунути, зробивши відстань між їхніми центрами та центром центрального 2R,а всього 2.06R,то 13 куль уже помістяться. Але для куль Грегорі був неправий - цей факт довели ван дер Ваарден і Шютте в 1953 році.

Для розмірності 4 це завдання було вирішено Олегом Мусіним у 2003 році. Там контактне число виявилося рівним 24.

6.

Крім цих розмірностей 1, 2, 3 та 4 контактні числа відомі ще у розмірностях 8 та 24. Чому саме ці розмірності? Справа в тому, що для них існують дуже цікаві грати, які називаються E8 і грати Ліча.

Отже, ми вже з'ясували, що таке ґрати. Важливою характеристикою ґрат для математики є її симетричність. Під симетричністю розуміється, звичайно, не суб'єктивні відчуття (та й хто цю решітку в розмірності, наприклад, чотири і представить?), а кількість різних типів рухів простору, які цю решітку переводять у себе. Пояснимо на прикладі.

Візьмемо ту саму гексагональну решітку, яка реалізує міцну упаковку на площині. Легко зрозуміти, що грати переходить у себе, якщо зрушувати їх на вектори v і w, які були у визначенні. Але, крім цього, ґрати можна крутити навколо центру шестикутника. І обертань таких цілих 6 штук: на 0, 60, 120, 180, 240, 300 градусів. Крім цього грати можна відображати симетрично щодо будь-якої осі симетрії складеного шестикутника. Невелика вправа показує, що, крім зрушень, ми отримуємо 12 перетворень. В інших ґратах таких перетворень менше, тому ми говоримо, що вони менш симетричні.

Так ось, E8 і грати Ліча - це неймовірно симетричні грати. E8 розташований у 8-мірному просторі. Ці ґрати в 1877 році вигадали російські математики Коркін і Золотарьов. Вона складається з векторів, всі координати яких цілі числа, які сума - парна. Такі грати з відрахуванням зрушень 696 729 600 перетворень. Грати Ліча існує в двадцятичотиривимірному просторі. Вона складається з векторів з цілими координатами та умовою – сума координат мінус будь-яка координата, помножена на 4, ділиться на 8. У неї просто колосальна кількість симетрій – 8 315 553 613 086 720 000 штук.

Так ось, у 8-мірному та 24-мірному просторі кулі, розташовані у вершинах цих самих грат, стосуються 240 та 19650 куль відповідно. Дивно, але це і є контактні числа (дивись пункт 5) для просторів відповідної розмірності.

7.

Тепер повернемося до тривимірної нагоди і гіпотези Кеплера (тої самої, про яку ми говорили на самому початку). Це завдання виявилося в рази складнішим за своїх попередників.

Почнемо з того, що існує безліч упаковок з тією ж щільністю, що і гексагональна щільна. Ми починали її викладати, стартуючи з куль, розкладених у вузлах гексагональної ґрат. Але можна зробити по-іншому: наприклад, на першому рівні скласти кулі квадратом, тобто так, щоб вершини куль розташовувалися у вузлах вже квадратних ґрат. У такому разі кожна куля стосується чотирьох сусідів. Другий шар, як і у випадку з гексагональною, будемо класти зверху в щілини між шарами першого шару. Така упаковка називається гранецентрованою кубічною упаковкою.Це, до речі, єдина щільна гратчаста упаковка у просторі.

На перший погляд, здається, що ця упаковка має бути гіршою, адже щілини між чотирма кулями в першому шарі сильно більші (за відчуттями), ніж щілини в щільній упаковці гексагональної. Але коли ми кладемо другий ряд, кулі - саме через те, що щілини більше - занурюються глибше. В результаті, як виявляється, щільність виявляється такою самою, як і раніше. Насправді, звичайно, трюк у тому, що така упаковка виходить, якщо на гексагональну подивитись під іншим кутом.

Виходить, що в тривимірному просторі немає таких чудових унікальних ґрат, як, наприклад, гексагональна на площині або E8 у 8-мірному просторі. На перший погляд, абсолютно незрозуміло, як шукати щільну упаковку в тривимірному просторі.

8.

Рішення гіпотези Кеплера народжувалося кілька етапів.

Спочатку Фейеш Тот, той самий угорець, який вирішив завдання про щільну упаковку не площини, висловив таку гіпотезу: для того, щоб зрозуміти, щільна упаковка чи ні, достатньо розглядати кінцеві кластери куль. Як ми з'ясували, на відміну від площини, якщо центральна куля стосується 12 сусідів, то між ними є щілини. Тому Фейеш Тот запропонував вивчати кластери, що складаються з центральної кулі, його сусідів та сусідів сусідів.

Штука в тому, що це припущення було зроблено у 60-ті роки минулого століття. А задача про мінімізацію обсягу такого кластера - це по суті нелінійне оптимізаційне завдання на функцію приблизно з 150 змінних (у кожної кулі є центр, він задається трьома координатами). Грубо кажучи, таку функцію потрібно знайти мінімум за деяких додаткових умов. З одного боку завдання стало кінцевим, але з іншого - абсолютно непідйомним з обчислювальної точки зору для людини. Але Фейеш Тот не засмутився і заявив, що дуже скоро потрібною обчислювальною потужністю будуть комп'ютери. Вони й допоможуть.

Гіпотеза Фейєша Тота дуже сподобалася математикам, і вони почали активно працювати в цьому напрямку. На початку 90-х років оцінки на максимальну щільність упаковки куль у тривимірному просторі поступово знижувалися. Ідея була в тому, що в якийсь момент оцінка виявиться рівною густини гранецентрованої кубічної упаковки і, отже, гіпотеза Кеплера буде доведена. У цей час математик Томас Хейлз опублікував перші роботи з упаковки. Для роботи він обрав об'єкт, званий зірками Делоне (на честь радянського математика Бориса Делона). Це був сміливий крок - на той час ефективність таких об'єктів для вивчення завдання упаковки була сумнівною.

Усього через 8 років наполегливої праці, 1998 року, Хейлз завершив доказ гіпотези Кеплера. Він звів доказ кінцевого комбінаторного перебору різних структур типу зірок Делоне. Для кожної такої комбінаторної структури необхідно максимізувати щільність. Так як комп'ютер працює нормально тільки з цілими числами (просто тому що в математиці числа - це найчастіше нескінченні дроби), то для кожного випадку Делоне автоматично будував наближення зверху за допомогою символьних раціональних обчислень (раціональні числа, адже якщо не переводити їх у десяткові дроби, просто пара цілих). За такого наближення він отримував оцінку на максимум щільності зверху. В результаті всі оцінки виявилися меншими за ту, яку давала гранецентрована кубічна упаковка.

Багато математиків, щоправда, збентежила ситуація, у якій для побудови наближення будувався комп'ютер. Щоб довести, що в комп'ютерній частині доказу він не має помилок, Хейлз зайнявся формалізацією та перевіркою, щоправда, теж за допомогою комп'ютера. Ця робота, над якою працювала досить велика міжнародна група, було завершено у серпні 2014 року. У підтвердження помилок знайдено був.

9.

Докази для розмірності 8 і 24 не вимагають комп'ютера і частково простіше. Якийсь час тому для оцінки максимальної щільності упаковок у цих розмірностях були отримані дуже хороші оцінки. Це зробили математики Кон та Елкієс у 2003 році. До речі, цю оцінку (її ще називають кордон Кона – Елкієса) за пару років до самих Кона та Елкієса знайшов російський математик Дмитро Горбачов із Тули. Проте, він опублікував цю роботу російською та в тульському журналі. Кон та Елкієс про цю роботу не знали, а коли їм сказали, то вони, до речі, на неї послалися.

«Кордон Кона - Елкієса з'явився на основі робіт Жан Фредеріка Дельсарта та наших чудових математиків Григорія Кабатянського та Володимира Левенштейна. Асимптотична (за розмірністю простору) оцінка щільності упаковок куль у n-мірному просторі, отримана Кабатянським та Левенштейном, „тримається“ з 1978 року. До речі, це Левенштейн та незалежно американці Одлижко та Слоен вирішили завдання контактних чисел у розмірності 8 та 24 у 1979 році. Вони безпосередньо використовували метод Дельсарта – Кабатянського – Левенштейна» – каже Олег Мусін.

Оцінки Кона та Елкієса, насправді, вірні для всіх упаковок, але у розмірності 8 і 24 вони дають дуже гарне наближення. Наприклад, отримана математиками оцінка приблизно на 0,0001 відсотка більше, ніж щільність E8 у восьмимірному просторі. Тому постало завдання покращити цю оцінку - адже рішення, здавалося б, вже поруч. Більше того, у 2012 році той самий Дмитро Горбачов подав заявку (і виграв) на грант фонду «Династія». У заявці він прямо заявляв, що планує довести густину упаковки E8 у восьмимірному просторі.

Кажуть, що на таку сміливу заяву Горбачова підштовхнув інший математик, Андрій Бондаренко, по суті - наставник, один із наукових керівників Марини В'язовської, тієї самої, яка вирішила завдання для 8-мірного простору (і у співавторстві, для 24-мірного). Саме Бондаренко вона дякує наприкінці своєї проривної роботи. Так от, у Бондаренка та Горбачова не вийшло, а у В'язовської вийшло. Чому ж?

Марина В'язовська

Humboldt University of Berlin

Оцінка Кона - Елкієса пов'язує щільність упаковки з властивістю деякої функції з відповідної множини. Грубо кажучи, за кожною такою функцією будується оцінка. Тобто основне завдання: знайти потрібну функцію, щоб та оцінка, яка виходить, виявлялася потрібною нам. Так ось, ключовим інгредієнтом у побудові В'язівської є модулярні форми. Ми згадували їх стосовно доказу Великої теореми Ферма, яку . Це досить симетричний об'єкт, який постійно виникає в різних розділах математики. Саме цей інструментарій дозволив знайти потрібну функцію.

У 24-мірному просторі оцінка була отримана тим самим способом. У цієї роботи більше авторів, але в основі лежить те саме досягнення В'язовської (нехай, звичайно, і трохи адаптоване). До речі, у роботі доведено ще один чудовий факт: грати Ліча реалізує єдину періодичну щільну упаковку. Тобто всі інші періодичні упаковки мають щільність меншу за цю. На думку Олега Мусіна, аналогічний результат для періодичних упаковок може бути вірним у розмірності 4 і 8.

10.

З точки зору додатків задача про щільну упаковку в просторах великої розмірності - це завдання насамперед про оптимальне кодування з виправленням помилок.

Уявімо, що Аліса та Боб намагаються налагодити спілкування, використовуючи радіосигнали. Аліса каже, що надсилатиме Бобу сигнал, що складається з 24 різних частот. Боб вимірятиме амплітуду кожної частоти. В результаті в нього вийде набір із 24 амплітуд. Вони, звичайно, задають крапку у 24-мірному просторі – адже їх 24 штуки. Боб і Аліса беруть, скажімо, словник Даля і надають кожному слову свій набір з 24 амплітуд. Виходить, що ми закодували слова зі словника Даля крапками 24-мірного простору.

В ідеальному світі більше нічого не потрібно. Але реальні канали передачі даних додають шумів, а значить під час розкодування Боб може отримати набір амплітуд, який не відповідає жодному слову. Але тоді він може подивитись на найближче до розшифрованого варіанта слово. Якщо таке одне, то, отже, швидше за все це і є. Щоб завжди можна було таке зробити, потрібно, щоб точки простору розташувалися якнайдалі один від одного. Тобто, наприклад, якщо рівень шуму такий, що вноситься спотворення, що зрушує результат на вектор довжини не більше одного, то дві точки коду повинні бути точно на відстані не менше двох. Тоді, навіть із спотвореннями, результат у Боба завжди буде близьким до одного єдиного слова - того, що й потрібне.

При цьому роздмухувати безліч слів теж не дуже хочеться - у нас досить обмежений діапазон, в якому ми можемо передавати інформацію. Скажімо, буде дивно (та й не дуже ефективно), якщо Аліса та Боб почнуть спілкуватися у рентгенівському діапазоні. Тому в ідеалі, відстань між сусідніми словами коду має бути точно два. А це і означає, що слова розташовуються у вершинах куль, радіусу 1, щільно упакованих у 24-мірному просторі.

Нещодавно я робив простий рейтрейсер 3-х мірних сцен. Він був написаний на JavaScript і був не дуже швидким. Заради інтересу я написав рейтрейсер на C і зробив йому режим 4-мірного рендерингу - в цьому режимі він може проектувати 4-мірну сцену на плоский екран. Під катом ви знайдете кілька відео, кілька картинок та код рейтрейсера.

Навіщо писати окрему програму для малювання 4-мірної сцени? Можна взяти звичайний рейтрейсер, підсунути йому 4D сцену і отримати цікаву картинку, однак це буде зовсім не проекцією всієї сцени на екран. Проблема в тому, що сцена має 4 виміри, а екран всього 2 і коли рейтрейсер через екран запускає промені, він охоплює лише 3-мірний підпростір і на екрані буде видно лише 3-мірний зріз 4-х мірної сцени. Проста аналогія: спробуйте спроектувати 3-мірну сцену на 1-мірний відрізок.

Виходить, що 3-мірний спостерігач з 2-мірним зором не може побачити всю 4-мірну сцену - в кращому випадку він побачить лише маленьку частину. Логічно припустити, що 4-мірну сцену зручніше розглядати 3-мірним зором: якийсь 4-мірний спостерігач дивиться на якийсь об'єкт і на його 3-мірному аналогу сітківки утворюється 3-мірна проекція. Моя програма рейтрейсить цю тривимірну проекцію. Іншими словами, мій рейтрейсер зображує те, що бачить 4-мірний спостерігач своїм 3-мірним зором.

Особливості 3-х мірного зору

Уявіть, що ви дивитеся на гурток з паперу, який прямо перед вашими очима - у цьому випадку ви побачите коло. Якщо цей кухоль покласти на стіл, то ви побачите еліпс. Якщо на цей гурток дивитися з великої відстані, він здаватиметься меншим. Аналогічно для тривимірного зору: чотиривимірна куля здаватиметься спостерігачеві тривимірним еліпсоїдом. Нижче пара прикладів. На першому обертаються 4 однакові взаємноперпендикулярні циліндри. На другому обертається каркас 4-х мірного куба.

Перейдемо до відбитків. Коли ви дивитеся на кулю з поверхнею, що відбиває (на ялинкову іграшку, наприклад), відображення ніби намальоване на поверхні сфери. Також і для 3-х мірного зору: ви дивитеся на 4-х мірну кулю і відображення намальовані на його поверхні. Тільки ось поверхня 4-мірної кулі тривимірна, тому коли ми будемо дивитися на 3-мірну проекцію кулі, відображення будуть всередині, а не на поверхні. Якщо зробити так, щоб рейстрейсер випускав промінь і знаходив найближче перетинання з 3-мірною проекцією кулі, то ми побачимо чорне коло - поверхня тривимірної проекції буде чорна (це випливає з формул Френеля). Виглядає так:

Для 3-х мірного зору це не проблема, тому що для нього видна вся ця 3-х мірна куля цілком і внутрішні точки видно також добре як і ті, що на поверхні, але мені треба якось передати цей ефект на плоскому екрані, тому я зробив додатковий режим рейтрейсера, коли він вважає, що тривимірні об'єкти ніби димчасті: промінь проходить через них і поступово втрачає енергію. Виходить так:

Теж вірно для тіней: вони падають не на поверхню, а всередину трьох мірних проекцій. Виходить так, що всередині 3-х мірної кулі – проекції 4-х мірної кулі – може бути затемнена область у вигляді проекції 4-х мірного куба, якщо цей куб відкидає тінь на кулю. Я не придумав, як цей ефект передати на плоскому екрані.

Оптимізація

Рейтрейсити 4-мірну сцену складніше ніж 3-мірну: у випадку 4D потрібно знайти кольори тривимірної області, а не плоскої. Якщо написати рейтрейсер «в лоб», його швидкість буде надто низькою. Є пара простих оптимізації, які дозволяють скоротити час рендерингу картинки 1000×1000 до кількох секунд.

Перше, що впадає у вічі при погляді такі картинки - купа чорних пікселів. Якщо зобразити область, де промінь рейтрейсера потрапляє хоч в один об'єкт, вийде так:

Видно, що приблизно 70% - чорні пікселі, і що біла область зв'язна (вона зв'язкова тому що 4-мірна сцена зв'язкова). Можна обчислювати кольори пікселів не по порядку, а вгадати один білий піксель і зробити заливку. Це дозволить рейтрейсити тільки білі пікселі + трохи чорних пікселів, які є 1-піксельною межею білої області.

Друга оптимізація виходить з того, що фігури – кулі та циліндри – опукли. Це означає, що для будь-яких двох точок у такій фігурі, що з'єднує їх відрізок, також цілком лежить усередині фігури. Якщо промінь перетинає опуклий предмет, точка A лежить всередині предмета, а точка B зовні, то залишок променя з боку B не буде перетинати предмет.

Ще кілька прикладів

Тут обертається куб навколо центру. Куля куба не стосується, але на 3-мірної проекції вони можуть перетинатися.

На цьому відео куб нерухомий, а 4-мірний спостерігач пролітає через куб. Той 3-х мірний куб що здається більше – ближче до спостерігача, а той що менше – далі.

Нижче класичне обертання у площинах осей 1-2 та 3-4. Таке обертання задається добутком двох матриць Гівенса.

Як влаштований мій рейтрейсер

Код написано на ANSI C 99. Завантажити його можна. Я перевіряв на ICC+Windows та GCC+Ubuntu.

На вхід програма приймає текстовий файл із описом сцени.

Scene = (objects = - list of objects in the scene) 0.1, 0.4, 0.7), 1), light((7, 8, 9, 10), 1), ) ) axiscylr = 0.1 - cylinder radius axiscyl1 = cylinder ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), axiscylr, матеріал = (color = (1, 0, 0)) ) axiscyl2 = cylinder ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, material = (color = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = cylinder ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), axiscylr, material = (color = (0) , 0, 1)) ) axiscyl4 = cylinder ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), axiscylr, material = (color = (1, 1, 0)) )

Після чого парсить цей опис і створює сцену у своєму внутрішньому уявленні. Залежно від розмірності простору рендерит сцену і отримує або чотиривимірну картинку як вище в прикладах, або звичайну тривимірну. Щоб перетворити 4-мірний рейтрейсер на 3-мірний треба змінити у файлі vector.h параметр vec_dim з 4 на 3. Можна його також задати в параметрах командного рядка для компілятора. Компіляція у GCC:

Cd /home/ username/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt

Тестовий запуск:

/home/ username/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp

Якщо скомпілювати рейтрейсер з vec_dim = 3, він видасть для сцени cube3d.scene звичайний куб .

Як робилося відео

Для цього я написав скрипт на Lua, який для кожного кадру обчислював матрицю обертання і дописував її до еталонної сцени.

Axes = ((0.933, 0.358, 0, 0), - axis 1 (-0.358, 0.933, 0, 0), - axis 2 (0, 0, 0.933, 0.358), - axis 3 (0, 0) , -0.358, 0.933) -- axis 4 ) scene = ( objects = ( group ( axes = axes, axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), )

Об'єкт group, крім списку об'єктів, має два параметри афінного перетворення: axes і origin. Змінюючи axes, можна обертати всі об'єкти в групі.

Потім скрипт викликав скомпільований рейтрейсер. Коли всі кадри були відрендеровані, скрипт викликав mencoder і той збирав із окремих картинок відео. Відео робилося з такою розрахунком, щоб його можна було поставити на автоповтор – тобто. кінець відео збігається з початком. Запускається скрипт так:

Luajit animate.lua

Ну і насамкінець, у цьому архіві 4 avi файлу 1000×1000. Всі вони циклічні – можна поставити на автоповтор та вийде нормальна анімація.

Теги:

рейтрейсер
чотиривимірний простір

Додати теги

Ще коли я був студентом-першокурсником у мене з одним моїм одногрупником вийшла гаряча суперечка. Він казав, що чотиривимірний куб уявити не можна ні в якому вигляді, а я запевняв, що його можна уявити досить чітко. Тоді я навіть зробив із скріпок проекцію гіперкуба на наш тривимірний простір… Але давайте про все гаразд.

Що таке гіперкуб та чотиривимірний простір

У нашому звичному просторі три виміри. З геометричної точки зору це означає, що в ньому можна вказати три взаємно-перпендикулярні прямі. Тобто для будь-якої прямої можна знайти другу, перпендикулярну першій, а для пари можна знайти третю пряму, перпендикулярну двом першим. Знайти четверту пряму, перпендикулярну до трьох наявних, вже не вдасться.

Чотиривимірний простірвідрізняється від нашого лише тим, що в ньому є ще один додатковий напрямок. Якщо у вас вже є три взаємно перпендикулярні прямі, ви можете знайти четверту, таку, що вона буде перпендикуляра всім трьом.

Гіперкубце просто куб у чотиривимірному просторі.

Чи можна уявити чотиривимірний простір та гіперкуб?

Це питання схоже на питання: «чи можна уявити Тайну Вечерю, подивившись на однойменну картину (1495-1498) Леонардо да Вінчі (1452-1519)?»

З одного боку, ви звичайно не уявите те, що бачив Ісус (він сидить обличчям до глядача), тим більше ви не відчуєте запаху саду за вікном та смаку їжі на столі, не почуєте співу птахів… Ви не отримаєте повного уявлення про те, що відбувалося в той вечір, але не можна сказати, що ви не дізнаєтеся нічого нового і що картина не становить жодного інтересу.

Аналогічна ситуація і з питанням про гіперкуб. Цілком уявити його не можна, але можна наблизитися до розуміння, який він.

Побудова гіперкубу

0-мірний куб

Почнемо з початку – з 0-мірного куба. Цей куб містить 0 взаємно перпендикулярних граней, тобто це просто точка.

1-мірний куб

В одновимірному просторі ми маємо лише один напрямок. Зсуваємо точку в цьому напрямку та отримуємо відрізок.

Це одновимірний куб.

2-мірний куб

У нас з'являється другий вимір, зсуваємо наш одномірний куб (відрізок) у напрямку другого виміру та отримуємо квадрат.

Це куб у двовимірному просторі.

3-мірний куб

З появою третього виміру чинимо аналогічно: зсуваємо квадрат і отримуємо звичайний тривимірний куб.

4-мірний куб (гіперкуб)

Тепер у нас з'явився четвертий вимір. Тобто в нашому розпорядженні є напрямок, перпендикулярний усім трьом попереднім. Скористаємося ним так само. Чотиривимірний куб виглядатиме ось так.

Звичайно, тривимірний і чотиривимірний куби не можна зобразити на двовимірній поверхні екрана. Те, що намалював я – це проекції. Про проекції ми поговоримо трохи пізніше, а поки що трохи голих фактів і цифр.

Кількість вершин, ребер, граней

Зверніть увагу, що межею гіперкуба є наш звичайний тривимірний куб. Якщо уважно подивитися на малюнок гіперкуба, то можна знайти вісім кубів.

Проекції та зір мешканця чотиривимірного простору

Декілька слів про зір

Ми живемо у тривимірному світі, але бачимо його двовимірним. Це пов'язано з тим, що сітківка наших очей розташована в площині, що має лише два виміри. Саме тому ми здатні сприймати двовимірні картини та знаходити їх схожими на реальність.

(Звичайно, завдяки акомодації, око може оцінити відстань до об'єкта, але це вже побічне явище, пов'язане з оптикою, вбудованою в наше око.)

Очі мешканця чотиривимірного простору повинні мати тривимірну сітківку. Така істота може відразу побачити тривимірну фігуру повністю: всі її грані та начинки. (Так само ми можемо побачити двомірну фігуру, всі її грані і нутрощі.)

Таким чином, за допомогою наших органів зору, ми не здатні сприйняти чотиривимірний куб так, як його сприймав би мешканець чотиривимірного простору. На жаль. Залишається тільки сподіватися уявний погляд і фантазію, які, на щастя, немає фізичних обмежень.

Проте, зображуючи гіперкуб на площині, я змушений робити його проекцію на двовимірний простір. Зважайте на цю обставину, при вивченні малюнків.

Перетину ребер

Звичайно, ребра гіперкуба не перетинаються. Перетини з'являються лише на малюнках. Втім, це не повинно викликати подиву, адже ребра звичайного куба на малюнках теж перетинаються.

Довжини ребер

Всі грані і ребра чотиривимірного куба рівні. На малюнку вони виходять не рівними лише тому, що розташовані під різними кутами напряму погляду. Однак можна розвернути гіперкуб так, що всі проекції матимуть однакову довжину.

До речі, у цьому малюнку виразно видно вісім кубів, є гранями гіперкуба.

Гіперкуб усередині порожній

У це важко повірити, але між кубами, що обмежують гіперкуб, міститься деякий простір (фрагмент чотиривимірного простору).

Щоб це краще зрозуміти, розглянемо двовимірну проекцію звичайного тривимірного куба (я спеціально зробив її дещо схематичною).

Чи можна по ній здогадатися, що всередині куба є певний простір? Так, але тільки застосувавши уяву. Око цього простору не бачить.

Це тому, що ребра, які у третьому вимірі (яке не можна зобразити на плоскому малюнку), тепер перетворилися на відрізки, що у площині малюнка. Вони більше не забезпечують обсягу.

Квадрати, що обмежують простір куба, наклалися один на одного. Але можна уявити, що у вихідній фігурі (тривимірному кубі) ці квадрати розташовувалися в різних площинах, а не один поверх іншого в одній площині, як це вийшло на малюнку.

Так само справа і з гіперкубом. Куби-грані гіперкуба насправді не накладаються, як це здається нам на проекції, а розташовуються у чотиривимірному просторі.

Розгортки

Отже, мешканець чотиривимірного простору може побачити тривимірний об'єкт одночасно з усіх боків. Чи можемо ми одночасно з усіх боків побачити тривимірний куб? Оком – ні. Але люди вигадали спосіб, як зобразити на плоскому малюнку всі грані тривимірного куба одночасно. Таке зображення називається розгорткою.

Розгортка тривимірного куба

Як утворюється розгортка тривимірного куба, всі напевно знають. Цей процес показано на анімації.

Для наочності краю граней куба зроблено напівпрозорими.

Слід зазначити, що ми здатні сприйняти цю двовимірну картинку лише завдяки уяві. Якщо розглянути фази розгортання з суто двомірної погляду, процес буде здаватися дивним і зовсім не наочним.

Він виглядає, як поступова поява спершу обрисів спотворених квадратів, а потім їхнє розповзання на свої місця з одночасним прийняттям необхідної форми.

Якщо дивитися на куб, що розгортається в напрямку однієї з його граней (з цього погляду куб виглядає як квадрат), то процес утворення розгортки ще менш наочний. Все виглядає як виповзання квадратів із початкового квадрата (не розгорнутого куба).

Але не наочнарозгортка тільки для око.

Як зрозуміти 4-х мірний простір?

Саме завдяки уяві з неї можна отримати багато інформації.

Розгортка чотиривимірного куба

Зробити анімований процес розгортання гіперкуба хоч скільки наочним просто неможливо. Але цей процес можна уявити. (Для цього треба подивитися на нього очима чотиривимірної істоти.)

Розгортка виглядає так.

Тут видно всі вісім кубів, що обмежують гіперкуб.

Одинаковими квітами пофарбовані грані, які мають поєднатися при згортанні. Сірими залишені грані для яких парних не видно. Після згортки верхня грань верхнього куба повинна поєднатися з нижньою гранню нижнього куба. (Аналогічно згортається розгортка тривимірного куба.)

Зверніть увагу, що після згортки всі грані восьми кубиків прийдуть у дотик, замкнувши гіперкуб. І нарешті, представляючи процес згортання, не забувайте, що при згортанні відбувається не накладання кубів, а обертання ними якоїсь (гіперкубічної) чотиривимірної області.

Сальвадор Далі (1904-1989) багато разів зображував розп'яття, а хрести фігурують у багатьох його картинах. На картині "Розп'яття" (1954) використовується розгортка гіперкуба.

Простір-час та евклідовий чотиривимірний простір

Сподіваюся, що вам вдалося уявити гіперкуб. Але чи вдалося вам наблизитися до розуміння, як влаштований чотиривимірний простір-час, в якому ми живемо? На жаль, не зовсім.

Тут ми говорили про евклідове чотиривимірне простір, але простір-час має зовсім інші властивості. Зокрема, при будь-яких поворотах відрізки залишаються завжди нахилені до осі часу або під кутом менше 45 градусів або під кутом більше 45 градусів.

Властивості простору часу я присвятив серію нотаток.

Тривимірність зображення

Світ тривимірний. Його зображення двовимірне. Важливим завданням живопису і тепер фотографії є передача тривимірності простору. Деякі прийоми володіли вже римляни, потім вони були забуті і почали повертатися в класичний живопис з Ренесансом.

Основний прийом створення тривимірного простору у живописі – перспектива. Залізничні рейки, віддаляючись від глядача, візуально звужуються. У живопису рейки можна фізично звузити. У фотографії перспектива виникає автоматично: камера зніме рейки такими ж завуженими, як їх бачить око. Проте не допускайте майже змикання: воно виглядатиме вже не перспективою, а дивною фігурою; між рейками, сторонами вулиці, берегами річки має зберігатись помітний просвіт.

Важливо розуміти, що лінійна перспектива є найбільш примітивним, реалістичним способом передачі світу.

Невипадково її поява пов'язані з театральними декораціями (Флоренський, “Зворотна перспектива”). Умовність, простота передачі театральної сцени невеликої глибини дуже підходить для фотографії, позбавленої різноманітності прийомів, доступних у живописі.

Існують перспективи, значно цікавіші, ніж лінійна. У роботах китайських майстрів є плаваюча перспектива, коли об'єкти зображені одночасно знизу, зверху і спереду. Вона була технічною помилкою некомпетентних художників: легендарний автор цієї техніки, Guo Xi писав, що таке відображення дозволяє усвідомити світ у його тотальності. Аналогічна техніка російського іконопису, в якому глядач може бачити обличчя та спину персонажа одночасно. Цікавим прийомом іконопису, що зустрічається також у західноєвропейських художників, була зворотна перспектива, в якій віддалені об'єкти, навпаки, більш близькі, підкреслюючи важливість. Тільки в наші дні було встановлено, що така перспектива правильна: на відміну від віддалених предметів, ближній план сприймається у зворотній перспективі (Раушенбах). Засобами фотошопу можна досягти зворотної перспективи, збільшуючи об'єкти заднього плану. Для звиклого до законів фотографії глядача виглядати таке зображення буде дивним.

Введення в кадр кута будівлі, від якої обидві сторони розходяться стіни, створює подібність ізометричної перспективи. Мозок розуміє, що стіни знаходяться під прямим кутом і розкладає решту зображення відповідно. Така перспектива динамічніша за фронтальну і природніша для ближнього плану. Просто вводіть у кадр торцеві кути предметів та близько розташованих будівель.

За рахунок розширення ізометрична перспектива мажорна, що рідко підходить для класичного портрета. Лінійна перспектива за рахунок звуження краще передає мінорні емоції.

На етапі зйомки фотографу доступний ряд інструментів, що підкреслюють перспективу. Об'єкти, що йдуть у далечінь, рівної ширини (колію, вулиця, колони, борозни) своїм звуженням і навіть просто видаленням позначають глядачеві тривимірність простору. Ефект сильніший, якщо знімати з низького ракурсу, щоб збільшити спотворення перспективи. Для пейзажної зйомки цього досить, але за невеликої глибини зображення інтер'єрної зйомки ефект малопомітний. Його можна трохи посилити в постобробці, завузівши верхню частину зображення (Transform Perspective). Втім, і у пейзажі гіпертрофована перспектива може бути цікавою.

Глибина може бути явною за змістом зображення: будинки розділені вулицею або річкою. Діагональ підкреслює тривимірність; наприклад, міст через річку.

Предмети відомого глядачеві розміру на задньому плані задають масштаб і формують перспективу. У пейзажній зйомці таким предметом може бути автомобіль, а в портретній спробуйте підігнути і підібгати під стілець ногу (від камери), щоб вона, залишаючись видимою, здавалася меншою. Можна навіть трохи зменшити цю ногу у постобробці.

Орнамент передає перспективу з допомогою візуального зменшення елементів. Наприклад, велика плитка на підлозі, лінії розмітки на дорозі.

Існує техніка гіпертрофованого переднього плану. Диспропорційно великий, створює глибину зображення. Порівнюючи масштаб переднього плану та моделі, око приходить до висновку, що модель набагато далі, ніж здається. Гіпертрофованість повинна залишатися ледь помітною, щоб зображення не сприймалося помилкою. Цей прийом підходить не тільки для пост-обробки, але й під час зйомки: спотворіть пропорції, знімаючи об'єктивом 35 або 50мм. Зйомка ширококутним об'єктивом розтягує простір, посилюючи його тривимірність з допомогою порушення пропорцій. Ефект сильніший, якщо знімати модель з близької відстані, але побоюйтеся гротескних пропорцій: лише автори релігійних зображень можуть зображати людину більше за будинки.

Відмінно працює перетин. Якщо яблуко частково закриває собою грушу, мозок не помилиться: яблуко знаходиться попереду груші. Модель, що частково закриває собою меблі, створює тим самим глибину інтер'єру.

Глибину зображення надає також чергування світлих і темних плям. Мозок знає з досвіду, що предмети, що знаходяться поруч, освітлені приблизно однаково, тому інтерпретує по-різному освітлені предмети як розташовані на різній відстані. Для такого ефекту плями чергуються в напрямку осі перспективи — вглиб зображення, а не впоперек нього. Наприклад, знімаючи модель, що лежить від камери в темному кадрі, покладіть відблиски світла біля сідниць та біля ніг. Можна освітлювати/затьмарювати області в пост-обробці.

Послідовність дедалі темніших предметів сприймається меншою. За рахунок поступового затінення об'єктів, розташованих за активною лінією, можна отримати тонке відчуття перспективи. Аналогічно, глибина передається ослабленням світла: пустіть смугу світла на меблі або на підлозі.

Тривимірне зображення можна отримати за рахунок не лише світлового, а й колірного розмаїття. Цей прийом був відомий фламандським живописцям, які мали на своїх натюрмортах яскраві кольорові плями. Червоний гранат і жовтий лимон поруч виглядатимуть тривимірно навіть за плоского фронтального освітлення. Особливо добре вони виступатимуть уперед на тлі фіолетового винограду: теплий колір на тлі холодного. Яскраві кольорові поверхні добре вириваються із темряви навіть слабким світлом, типовим для натюрморту. Контраст кольорів краще працює з основними кольорами: червоним, жовтим, синім, а чи не відтінками.

На чорному тлі жовтий колір виступає вперед, синій ховається назад. На білому тлі – навпаки. Насиченість кольору посилює цей ефект. Чому так відбувається? Жовтий колір не буває темним, тому мозок відмовляється вірити в те, що жовтий предмет може бути занурений у темне тло, не освітлений. Синій колір, навпаки, темний.

Посилення перспективи в пост-обробці зводиться до імітації атмосферного сприйняття: віддалені об'єкти здаються нам світлішими, розмитими, зі зниженим контрастом за яскравістю, насиченістю та тоном.

Крім великих відстаней, атмосферні ефекти природно виглядають у ранковому серпанку, тумані, накуреному барі. Враховуйте погоду: у хмарний день або в сутінках не може бути значної різниці між переднім та заднім планами.

Найсильніший із чинників — контраст за яскравістю. У налаштуваннях це звичайний контраст. Зменште контрастність віддалених предметів, підніміть контрастність переднього плану — і зображення стане опуклим. Мова не про контраст між переднім і заднім планами, а про контрастність заднього плану, яка повинна бути нижчою за контрастність переднього. Цей метод підходить не тільки для пейзажів та жанрової зйомки, а й студійного портрета: підніміть контраст передньої частини обличчя, зменште контраст на волоссі та вилицях, одязі. Портретні фільтри роблять щось схоже, розмиваючи шкіру моделі та залишаючи різкими очі та губи.

Коригування контрасту - найпростіший спосіб тривимірної пост-обробки зображення. На відміну від інших процесів, глядач практично не помітить змін, що дозволить зберегти максимальну природність.

На зниження розмаїття схоже розмиття, але це різні процеси. Зображення може бути низькоконтрастним, залишаючись різким. В силу обмеженої глибини різкості, розмиття віддалених предметів залишається найпопулярнішим способом передачі тривимірності на фотографії, і його легко посилити, розмивши далекий план пост-обробки. Тому на задньому плані слід мати менше деталей — мозок не очікує помітних предметів далеко. Тим часом зниження контрасту краще відповідає природному сприйняттю: віддалені гори видно низькоконтрастними, а не розмитими, тому що скануючи пейзаж, погляд постійно перефокусується, йому далека проблема глибини різкості. Розмиваючи задній план, можна заразом підняти різкість переднього. Додатково на передньому плані можна посилити лінії зображення (High Pass Filter або Clarity). Саме висока різкість переднього плану пояснює характерну опуклість зображення високоякісних об'єктивів. Обережно: заради незначного збільшення тривимірності ви можете зробити зображення надто жорстким.

Світліші об'єкти здаються більш віддаленими. Пов'язано це з тим, що в природі ми бачимо далекі об'єкти крізь товщу повітря, що розсіює світло; далекі гори здаються світлими. У пейзажній зйомці слід, тому, обережно ставитися до розташування світлих об'єктів на передньому плані.

Освітліть дальні об'єкти. Чим далі, тим більше вони зливаються з яскравістю і тоном неба. Зверніть увагу, що горизонтальні об'єкти (земля, море) краще висвітлюються, ніж вертикальні (стіни, дерева), тому не перестарайтеся з освітленням останніх. У будь-якому випадку об'єкти повинні залишатися помітно менш світлими, ніж небо.

Добре, якщо ви помітили, що освітлення це інший спосіб знизити контраст за яскравістю заднього плану. Ледве затемніть передній план для посилення ефекту опуклості.

Здавалося б, в інтер'єрі все навпаки. Якщо на вулиці око звик до того, що даль світла, то в кімнаті світло часто зосереджений на людині, а інтер'єр занурений у темряву; мозок звик до освітлення переднього плану, а чи не заднього.

На інтер'єрних зображеннях із малою глибиною сцени, на відміну від пейзажних, освітлена модель виступає із темного фону. Але є й протилежний фактор: 99% своєї еволюції, людина спостерігала перспективу на відкритій місцевості, і з появою кімнат мозок ще не встиг перебудуватись. Вермеєр волів світле тло для портретів, і вони в нього справді опуклі. Освітлення вертикального фону, що рекомендується у фотографії, не тільки відокремлює від нього модель, але й за рахунок освітлення фону надає зображенню невелику тривимірність. Тут ми стикаємося з тим, що мозок аналізує розташування об'єктів за декількома факторами, і вони можуть бути конфліктуючими.

Цікаво виглядає студійне освітлення, в якому світлові плями лежать на віддалених від камери зонах моделі. Наприклад, підсвічені ті груди, які далі від камери.

Знизьте насиченість кольору на віддалених об'єктах: через товщі повітря, що поділяє нас, далекі гори десатуровані майже до рівня монохрому і вкриті синім серпанком. Насиченість переднього плану можна збільшити.

Оскільки жовтий колір світлий, а синій і червоний темні, то колірний контраст заразом є і контрастом за яскравістю.

Десатуруючи віддалений фон, не дайте йому зникнути. Часто, навпаки, потрібно підняти насиченість далекого плану, щоб виявити його. Це важливіше за тривимірність.

Багато порад із тривимірності фотографії присвячено температурному контрасту. Насправді цей ефект дуже слабкий, легко перебивається контрастом по яскравості. До того ж, температурний контраст настирливий, впадає у вічі.

Дуже віддалені предмети здаються холоднішого кольору, тому що повітря поглинає тепле оранжеве світло. Фотографуючи модель на пляжі на тлі кораблів, розташованих біля горизонту, в пост-обробці зменште колірну температуру далекого моря і суден. Модель у червоному купальнику виступає із синього моря, а модель у жовтому світлі вуличного ліхтаря — із синюватих сутінків.

У цьому полягає роздільне тонування: модель робимо тепліше, тло холодніше. Мозок розуміє, що в одній площині різних колірних температур не буває і сприймає таке зображення тривимірним, на якому модель виступає з фону. Роздільна тонування надає глибину і пейзажам: зробіть передній план теплішим, задній холоднішим.

Важливий виняток із роздільного тонування: на сході та заході, віддалений фон зовсім не холодний, а теплий, з жовтими та червоно-оранжевими тонами. Очевидне рішення - використовувати білошкіру модель у фіолетовому купальнику - не працює, тому що захід сонця наносить теплий відтінок і на тіло моделі.

Узагальним: для надання фотографії тривимірності на основі атмосферних ефектів необхідно протиставити передній і задній плани. Основне протиставлення - за звичайним контрастом: передній план контрастний, задній - слабоконтрастний. Друге протиставлення – за різкістю: передній план різкий, задній – розмитий. Третє протиставлення - по світлі: передній план темний, задній - світлий. Четверте протиставлення – за насиченістю: кольори переднього плану насичені, заднього – десатуровані. П'яте протиставлення – за температурою: передній план теплий, задній – холодний.

Перелічені фактори нерідко різноспрямовані. Жовтий колір яскравіший за синій, а світлі предмети здаються далі темнішими. Звичайно було б очікувати, що жовтий колір відступає, а синій - наближається до глядача. Насправді навпаки: теплий колір виступає з холодного фону. Тобто колір виявляється сильнішим фактором, ніж яскравість. Що, на думку, і не дивно: жовтий і червоний добре помітні тільки поблизу, і глядач не очікує їх зустріти на великій відстані.

Підсумок: утримуйте задній план низькоконтрастним, розмитим, світлим, десатурованим, синюватим. І будьте готові до того, що глядач, який звик до гіпертрофованого 3D кінофільмів, визнає створену вами тривимірність ледь помітною або відсутньою.

У портретній зйомці краще покладатися на перевірений ефект chiaroscuro - гру світлотіні на обличчі моделі, яка зробить зображення досить опуклим. У жанровій зйомці перспектива дає найбільш помітний ефект тривимірності. У натюрморті основним фактором буде перетин предметів.

Не захоплюйтесь перспективою; вона лише фон для фронтальної площини, де тремтить ваше зображення. У сучасному живописі, далекої від реалізму, перспектива над пошані.

Завантажити книгу повністю: pdfepubazw3mobifb2lit Зміст

Важливі теми

У 1904 р. Анрі Пуанкаре припустив, що будь-який тривимірний об'єкт, який має певні властивості тривимірної сфери, можна перетворити на 3-сферу. На підтвердження цієї гіпотези пішло 99 років. (Увага! Тривимірна сфера – це не те, про що ви подумали.) Російський математик Григорій Перельман довів висловлену сто років тому гіпотезу Пуанкаре та завершив створення каталогу форм тривимірних просторів.

Пуанкаре припустив, що 3-сфера унікальна і ніяке інше компактне 3-різноманітність (некомпактні різноманіття нескінченні або мають краї. Далі розглядаються тільки компактні різноманіття) не має тих властивостей, які роблять її настільки простою. У складніших 3-ма різноманіття є межі, що постають як цегляна стіна, або множинні зв'язки між деякими областями, схожі на лісову стежку, яка то розгалужується, то знову з'єднується. Будь-який тривимірний об'єкт з властивостями 3-сфери можна перетворити на неї саму, тому для топологів він є просто її копією. Доказ Перельмана також дозволяє відповісти на третє питання та провести класифікацію всіх існуючих 3-багатоманітностей.
Вам потрібна неабияка уява, щоб уявити собі 3-сферу. На щастя, вона має багато спільного з 2-сферою, типовий приклад якої - гума круглої повітряної кульки: вона двомірна, оскільки будь-яка точка на ній задається всього двома координатами - широтою і довготою. Якщо розглянути досить маленьку її ділянку під потужною лупою, то вона здасться шматочком плоского листа. Крихітному комахі, що повзає по повітряній кульці, він здаватиметься плоскою поверхнею. Але якщо козявка досить довго рухатиметься по прямій, то зрештою повернеться до точки відправлення. Так само 3-сферу розміром з наш Всесвіт ми б сприймали як «звичайний» тривимірний простір. Пролетівши досить далеко в будь-якому напрямку, ми зрештою здійснили б «кругосвітню подорож» нею і опинилися б у вихідній точці.
Як ви вже здогадалися, n-мірна сфера називається n-сферою. Наприклад, 1-сфера всім знайома: це просто коло.

Математикам, які доводять теореми про багатовимірні простори, годі й уявляти собі об'єкт вивчення: вони поводяться з абстрактними властивостями, керуючись інтуїтивними уявленнями, заснованими на аналогіях з меншим числом вимірів (до таких аналогій потрібно ставитися з обережністю і приймати їх буквально). Ми також розглядатимемо 3-сферу, виходячи з властивостей об'єктів з меншою кількістю вимірювань.
1. Почнемо з розгляду кола та обмежує його кола. Для математиків коло – це двомірна куля, а коло – одномірна сфера. Далі, шар будь-якої розмірності - це заповнений об'єкт, що нагадує кавун, а сфера - це його поверхня, більше схожа на повітряну кульку. Окружність одномірна, тому що положення точки на ній можна задати одним числом.

2. З двох кіл ми можемо побудувати двовимірну сферу, перетворивши один з них на Північну півкулю, а інший - на Південну. Залишилося їх склеїти, і 2-сфера готова.

3. Уявімо мурахи, що повзуть з Північного полюса по великому колу, утвореному нульовим і 180-м меридіаном (ліворуч). Якщо ми відобразимо його шлях на два вихідні кола (праворуч), то побачимо, що комаха рухається прямою лінією (1) до краю північного кола (а), потім перетинає кордон, потрапляє у відповідну точку на південному колі і продовжує слідувати по прямій лінії (2 та 3). Потім мураха знову досягає краю (b), переходить його і знову опиняється на північному колі, прямуючи до вихідної точки - Північного полюса (4). Зауважте, що під час навколосвітньої подорожі по 2-сфері напрямок руху змінюється на протилежний при переході з одного кола на інший.

4. Тепер розглянемо нашу 2-сферу і об'єм (тривимірну кулю), що міститься в ній, і зробимо з ними те ж саме, що з колом і колом: візьмемо дві копії кулі і склеїмо їх межі разом. Наочно показати, як кулі спотворюються у чотирьох вимірах і перетворюються на аналог півкуль, неможливо, та й не потрібно. Досить знати, відповідні точки на поверхнях, тобто. 2-сфери, з'єднані між собою так само, як у випадку з колами. Результат з'єднання двох куль є 3-сферу - поверхня чотиривимірної кулі. (У чотирьох вимірах, де існують 3-сфера і 4-куля, поверхня об'єкта тривимірна.) Назвемо одну кулю північною півкулею, а іншу - південною. За аналогією з колами, полюси тепер знаходяться у центрах куль.

5. Уявіть, що розглянуті кулі – великі порожні області простору. Допустимо, з Північного полюса вирушає космонавт на ракеті. Згодом він досягає екватора (1), яким тепер є сфера, що оточує північну кулю. Перетинаючи її, ракета потрапляє в південну півкулю і рухається по прямій лінії через його центр – Південний полюс – до протилежного боку екватора (2 та 3). Там знову відбувається перехід у північну півкулю, і мандрівник повертається на Північний полюс, тобто. у вихідну точку (4). Такий сценарій навколосвітньої подорожі поверхнею 4-мірної кулі! Розглянута тривимірна сфера і той простір, про який йдеться в гіпотезі Пуанкаре. Можливо, наш Всесвіт є саме 3-сферою.

Міркування можна поширити на п'ять вимірів та побудувати 4-сферу, але уявити це надзвичайно складно. Якщо склеїти два n-кулі по навколишніх (n-1)-сферах, то вийде n-сфера, що обмежує (n+1)-куля.

Пройшла половина століття, перш ніж справа про гіпотезу Пуанкаре зрушила з мертвої точки. У 60-х роках. ХХ ст. математики довели аналогічні їй твердження для сфер п'яти та більше вимірів. У кожному випадку n-сфера дійсно є єдиним і найпростішим n-різноманіттям. Як не дивно, отримати результат для багатовимірних сфер виявилося легше, ніж для 3-4 сфери. Підтвердження для чотирьох вимірів виникло 1982 р. І лише вихідна гіпотеза Пуанкаре про 3-сфері залишалася непідтвердженою.
Вирішальний крок було зроблено у листопаді 2002 р., коли Григорій Перельман, математик із Санкт-Петербурзького відділення математичного інституту ім. Стеклова, надіслав статтю на сайт www.arxiv.org, де фізики та математики з усього світу обговорюють результати своєї наукової діяльності. Топологи відразу вловили зв'язок роботи російського вченого з гіпотезою Пуанкаре, хоча автор її не згадав.

Насправді, доказ Перельмана, правильність якого ще нікому не вдалося поставити під сумнів, вирішує набагато ширше коло питань, ніж власне гіпотеза Пуанкаре. Запропонована Вільямом Терстоном (William P. Thurston) з Корнеллського університету процедура геометризації дозволяє провести повну класифікацію 3-х різноманіття, в основу якої покладена 3-сфера, унікальна у своїй піднесеній простоті. Якби гіпотеза Пуанкаре була хибною, тобто. існувало б безліч просторів настільки ж простих, як сфера, то класифікація 3-різноманітностей перетворилася б на щось нескінченно складніше. Завдяки Перельману і Терстону у нас з'явився повний каталог всіх форм, що допускаються математикою, тривимірного простору, які міг би прийняти наш Всесвіт (якщо розглядати тільки простір без часу).

Щоб глибше зрозуміти гіпотезу Пуанкаре і підтвердження Перельмана, слід ближче познайомитися з топологією. У цьому розділі математики форма об'єкта не має значення, начебто він виготовлений з тесту, яке можна як завгодно розтягувати, стискати і згинати. Навіщо ж нам замислюватися про речі чи простори з уявного тесту? Справа в тому, що точна форма об'єкта – відстань між усіма його точками – відноситься до структурного рівня, який називають геометрією. Розглядаючи об'єкт із тесту, топологи виявляють його фундаментальні властивості, що не залежать від геометричної структури. Вивчення топології схоже пошук найбільш загальних рис, властивих людям, шляхом розгляду «пластилінового людини», якого можна перетворити на будь-якого конкретного індивіда.
У популярній літературі часто зустрічається побите твердження, що з погляду топології чашка нічим не відрізняється від бублика. Річ у тім, що чашку з тіста можна перетворити на бублик, просто змінюючи матеріал, тобто. нічого не сліплюючи і не проробляючи отворів. З іншого боку, щоб зробити бублик із кулі, в ньому неодмінно потрібно зробити дірку або розкотити його в циліндр і зліпити кінці, тому куля – це зовсім не бублик.
Топологів найбільше цікавлять поверхні кулі та бублика. Тому замість суцільних тіл слід уявляти повітряні кульки. Їхня топологія, як і раніше, різна, оскільки сферичну повітряну кульку неможливо перетворити на кільцеву, яка називається тором. Спочатку вчені вирішили розібратися, скільки взагалі існує об'єктів із різною топологією та як їх можна охарактеризувати. Для 2-багатоманітностей, які ми звикли називати поверхнями, відповідь витончена і проста: все визначається кількістю «дірок» або, що те саме, кількістю ручок. До кінця XIX ст. математики зрозуміли, як класифікувати поверхні, і встановили, що найпростіша їх - сфера. Звичайно, топологи почали замислюватися про тривимірні різноманіття: чи унікальна 3-сфера у своїй простоті? Вікова історія пошуків відповіді сповнена невірних кроків та помилкових доказів.
Анрі Пуанкаре впритул зайнявся цим питанням. Він був одним із двох найсильніших математиків початку XX ст. (Іншим був Давид Гільберт). Його називали останнім універсалом - він успішно працював у всіх розділах як чистої, і прикладної математики. Крім того, Пуанкаре зробив величезний внесок у розвиток небесної механіки, теорію електромагнетизму, а також у філософію науки, про яку написав кілька популярних книг.
Пуанкаре став засновником топології алгебри і, використовуючи її методи, в 1900 р. сформулював топологічну характеристику об'єкта, названу гомотопією. Щоб визначити гомотопію різноманіття, потрібно подумки занурити його замкнуту петлю. Потім слід з'ясувати, чи можна стягнути петлю в крапку, переміщуючи її всередині різноманіття. Для тора відповідь буде негативним: якщо розташувати петлю по колу тора, то стягнути їх у крапку не вдасться, т.к. заважатиме «дірка» бублика. Гомотопія – це кількість різних шляхів, які можуть перешкодити стягуванню петлі.

На n-сфері будь-яку, навіть хитромудро закручену петлю завжди можна розплутати і стягнути в крапку. (Петлі дозволяється проходити через саму себе.) Пуанкаре припускав, що 3-сфера - єдине 3-ма різноманіття, на якому в крапку можна стягнути будь-яку петлю. На жаль, він не зміг довести своє припущення, яке згодом стали називати гіпотезою Пуанкаре.

Проведений Перельманом аналіз 3-х різноманітних тісно пов'язаний з процедурою геометризації. Геометрія має справу з фактичною формою об'єктів та різноманіття, зроблених вже не з тіста, а з кераміки. Наприклад, чашка та бублик геометрично різні, оскільки їх поверхні вигнуті по-різному. Кажуть, що чашка та бублик – два приклади топологічного тора, якому надано різні геометричні форми.
Щоб зрозуміти, навіщо Перельман використовував геометризацію, розглянемо класифікацію 2-багатоманітностей. Кожній топологічній поверхні призначено унікальну геометрію, викривлення якої розподілено за різноманіттям рівномірно. Наприклад, для сфери – це ідеально сферична поверхня. Інша можлива геометрія для топологічної сфери - яйце, але його кривизна не скрізь розподілена рівномірно: гострий кінець вигнутий сильніше, ніж тупий.
2-різноманіття утворюють три геометричні типи. Сфера характеризується позитивною кривизною. Геометризований тор - плоский, йому властива нульова кривизна. Всі інші 2-ма різноманітності з двома або більше «дірками» мають негативну кривизну. Їм відповідає поверхня, схожа на сідло, яке спереду та ззаду згинається вгору, а ліворуч і праворуч – вниз. Таку геометричну класифікацію (геометризацію) 2-багатоманітностей Пуанкаре розробив разом з Паулем Кебе (Paul Koebe) та Феліксом Клейном (Felix Klein), ім'ям якого названо пляшку Клейна.

Виникає природне бажання застосувати подібний метод до 3-ма різноманіттям. Чи можна визначити для кожного з них таку унікальну конфігурацію, у якої кривизна була б рівномірно розподілена по всьому різноманіттю?
Виявилося, що 3-ма різноманітності набагато складніше своїх двовимірних побратимів і більшості з них не можна поставити у відповідність однорідну геометрію. Їх слід розділяти на частини, яким відповідає одна з восьми канонічних геометрій. Ця процедура нагадує розкладання числа на прості множники.

Яким чином можна геометризувати різноманіття і надати йому всюди рівномірне викривлення? Потрібно взяти якусь довільну геометрію з різними виступами та заглибленнями, а потім згладити всі нерівності. На початку 90-х років. ХХ ст. до аналізу 3-многообразий приступив Гамільтон, який користувався рівнянням потоку Річчі, названим так на честь математика Грегоріо Річчі-Курбастро (Gregorio Ricci-Curbastro). Воно у чомусь схоже з рівнянням теплопровідності, яке визначає теплові потоки, що протікають у нерівномірно нагрітому тілі доти, доки його температура стане скрізь однаковою. Так само рівняння потоку Річчі задає таку зміну кривизни різноманіття, що веде до вирівнювання всіх виступів і заглиблень. Наприклад, якщо почати з яйця, воно поступово стане сферичним.

Перельман додав до рівняння потоку Річчі новий член. Внесена зміна не усунула проблему особливостей, але дозволило провести набагато глибший аналіз. Російський вчений показав, що над різноманіттям у вигляді гантелі можна провести «хірургічну» операцію: відрізати тонку трубку по обидва боки від перетиску, що з'являється, і закласти відкриті трубки сферичними ковпачками, що стирчать з куль. Потім слід продовжувати зміну «прооперованого» різноманіття відповідно до рівняння потоку Річчі, а до всіх пережимів застосовувати вищеописану процедуру. Перельман також показав, що сигароподібні особливості не можуть з'являтися. Таким чином, будь-яке 3-ма різноманітність можна звести до набору частин з однорідною геометрією.
Коли потік Річчі і «хірургічну операцію» застосовують до всіх можливих 3-многообразі, будь-яке з них, якщо воно так само просте, як 3-сфера (інакше кажучи, характеризується такою ж гомотопією), обов'язково зводиться до тієї ж однорідної геометрії, що та 3-сфера. Отже, з топологічної погляду, розглянуте різноманіття є 3-сфера. Отже, 3-сфера унікальна.

Цінність статей Перельмана полягає у доказі гіпотези Пуанкаре, а й у нових методах аналізу. Вчені всього світу вже використовують у своїх роботах результати, отримані російським математиком, та застосовують розроблені ним методи в інших галузях. Виявилося, що потік Річчі пов'язаний із так званою групою перенормування, яка визначає, як змінюється сила взаємодій залежно від енергії зіткнення частинок. Наприклад, за низьких енергій сила електромагнітної взаємодії характеризується числом 0,0073 (приблизно 1/137). Однак коли два електрони стикаються лоб у лоб при швидкості, що дорівнює швидкості світла, значення цієї сили наближається до 0,0078. Математика, що описує зміну фізичних сил, дуже схожа на математику, що описує геометризацію різноманіття.
Збільшення енергії зіткнення еквівалентне вивченню сили на менших відстанях. Тому група перенормування подібна до мікроскопа зі змінним коефіцієнтом збільшення, який дозволяє досліджувати процес на різних рівнях деталізації. Так само потік Річчі є мікроскопом для розгляду різноманітностей. Виступи та поглиблення, видимі при одному збільшенні, зникають за іншого. Цілком імовірно, що у масштабах довжини Планка (близько 10 -35 м) простір, у якому живемо, виглядає як піна зі складною топологічною структурою. Крім того, рівняння загальної теорії відносності, що описують характеристики гравітації та великомасштабної структури Всесвіту, тісно пов'язані з рівнянням потоку Річчі. Хоч як це парадоксально, член, доданий Перельманом до висловлювання, яке використовував Гамільтон, виникає у теорії струн, претендує звання квантової теорії гравітації. Не виключено, що в статтях російського математика вчені знайдуть ще багато корисної інформації не тільки про абстрактні 3-ма різноманіття, але також і про простір, в якому ми живемо.