Наближені способи дослідження нелінійних систем. Аналіз нелінійних систем. Метод гармонійної лінеаризації. Використання теорії марківських процесів для аналізу нелінійних систем. Нелінійність типу реле

Система вважається нелінійною, якщо її порядок >2 (n>2).

Дослідження лінійних систем високого порядку пов'язані з подоланням значних математичних труднощів, оскільки не існує загальних методів розв'язання нелінійних рівнянь. При аналізі руху нелінійних систем застосовують методи чисельного та графічного інтегрування, які дозволяють отримувати лише одне окреме рішення.

Методи дослідження поділяються на дві групи. Перша група – це методи, засновані на пошуку точних рішень нелінійних диференціальних рівнянь. Друга група це наближені методи.

Розробка точних методів важлива як з погляду отримання безпосередніх результатів, так дослідження різних особливих режимів і форм динамічних процесів нелінійних систем, які можуть бути виявлено і проаналізовані наближеними методами. До точних методів відносяться:

1. Прямий метод Ляпунова

2. Методи фазової площини

3. Метод припасування

4. Метод точкових перетворень

5. Метод перерізів простору параметрів

6. Частотний метод визначення абсолютної стійкості

Для вирішення багатьох теоретичних та практичних завдань застосовується дискретна та аналогова обчислювальна техніка, що дозволяє використовувати методи математичного моделювання у поєднанні з напівнатурним та натурним моделюванням. І тут обчислювальна техніка стикується з реальними елементами систем управління, з усіма властивими їм нелінійностями.

До наближених відносяться аналітичні та графо-аналітичні методи, що дозволяють замінити нелінійну систему еквівалентною лінійною моделлю, з подальшим використанням для її дослідження методів лінійної теорії динамічних систем.

Існує дві групи наближених методів.

Перша група ґрунтується на припущенні про близькість досліджуваної нелінійної системи за її властивостями до лінійної. Це методи малого параметра, коли рух системи описується за допомогою статечних рядів щодо деякого малого параметра, що є в рівняннях системи, або який вводиться в ці рівні штучно.

Друга група методів спрямована на дослідження власних періодичних коливань системи. Вона ґрунтується на припущенні близькості шуканих коливань системи до гармонійних. Це методи гармонійного балансу чи гармонійної лінеалізації. При їх використанні проводиться умовна заміна нелінійного елемента, що знаходиться під дією вхідного гармонічного сигналу, еквівалентним лінійним елементам. Аналітичне обґрунтування гармонійної лінеалізації ґрунтується на принципі рівності частотних, аплітудних та фазових вихідних змінних, еквівалентного лінійного елемента та першої гармоніки вихідної змінної реального нелінійного елемента.

Найбільший ефект дає розумне поєднання наближених та точних методів.

"Теорія автоматичного керування"

"Методи дослідження нелінійних систем"

1. Метод диференціальних рівнянь

Диференціальне рівняння замкнутої нелінійної системи n-го порядку (рис. 1) можна перетворити на систему n-диференціальних рівнянь першого порядку як:

де: - Змінні, що характеризують поведінку системи (одна з них може бути регульована величина); - Нелінійні функції; u - задає вплив.

Зазвичай ці рівняння записуються в кінцевих різницях:

де - Початкові умови.

Якщо відхилення невеликі, то цю систему можна вирішувати як систему рівнянь алгебри. Рішення можна подати графічно.

2. Метод фазового простору

Розглянемо випадок, коли зовнішня дія дорівнює нулю (U = 0).

Рух системи визначається зміною її координат – у функції часу. Значення будь-якої миті часу характеризує стан (фазу) системи та визначає координати системи має n – осей і може бути представлені як координати деякої (зображуючої) точки М (рис. 2).

Фазовий простір називається простір координат системи.

Зі зміною часу t точка М рухається по траєкторії, яка називається фазовою траєкторією. Якщо змінювати початкові умови отримаємо сімейство фазових траєкторій, які називаються фазовим портретом. Фазовий портрет визначає характер перехідного процесу у нелінійній системі. Фазовий портрет має особливі точки, яких прагнуть або яких йдуть фазові траєкторії системи (їх може бути кілька).

Фазовий портрет може містити замкнуті фазові траєкторії, які називаються граничними циклами. Граничні цикли характеризують автоколивання у системі. Фазові траєкторії ніде не перетинаються, крім спеціальних точок, що характеризують рівноважні стани системи. Граничні цикли та стани рівноваги можуть бути стійкими або нестійкими.

Фазовий портрет характеризує нелінійну систему. Характерною особливістю нелінійних систем є різні типи рухів, кількох станів рівноваги, наявність граничних циклів.

p align="justify"> Метод фазового простору є фундаментальним методом дослідження нелінійних систем. Дослідити нелінійних систем на фазовій площині набагато простіше та зручніше, ніж за допомогою побудови графіків перехідних процесів у часовій області.

Геометричні побудови у просторі менш наочні, ніж побудови на площині, коли система має другий порядок, причому застосовується метод фазової площини.

Застосування методу фазової площини для лінійних систем

Проаналізуємо зв'язок між характером перехідного процесу та кривими фазових траєкторій. Фазові траєкторії можуть бути отримані шляхом інтегрування рівняння фазової траєкторії, або шляхом вирішення вихідного диференціального рівняння 2-го порядку.

Нехай задано систему (рис. 3).

Розглянемо вільний рух системи. У цьому: U(t)=0, e(t)=– x(t)

У загальному вигляді диференціальне рівняння має вигляд

де (1)

Це однорідне диференціальне рівняння 2-го порядку його характеристичне рівняння одно

. (2)

Коріння характеристичного рівняння визначаються із співвідношень

(3)

Уявимо диференціальне рівняння 2-го порядку у вигляді системи

рівнянь 1-го порядку:

(4)

де швидкість зміни регульованої величини.

У аналізованій лінійній системі змінні x і y є фазовими координатами. Фазовий портрет будуємо у просторі координат x і y, тобто. на фазовій площині.

Якщо виключимо час із рівняння (1), отримаємо рівняння інтегральних кривих або фазових траєкторій.

. (5)

Це рівняння з змінними, що розділяються.

Розглянемо кілька випадків

Файлів GB_prog.m та GB_mod.mdl, а аналіз спектрального складу періодичного режиму на виході лінійної частини – за допомогою файлів GB_prog.m та R_Fourie.mdl. Вміст файлу GB_prog.m: %Дослідження нелінійних систем методом гармонійного балансу %Використані файли: GB_prog.m, GB_mod.mdl та R_Fourie.mdl. % Використовувані позначення: НЕ – нелінійний елемент, ЛЧ – лінійна частина. %Очищення всіх...

Безінерційний у допустимому (обмеженому зверху) діапазоні частот, при виході межі якого він перетворюється на розряд інерційних. Залежно від виду характеристик розрізняють нелінійні елементи із симетричними та несиметричними характеристиками. Симетричною називається характеристика, яка залежить від напряму визначальних її величин, тобто. має симетрію щодо початку системи...

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Новосибірський державний технічний університет

Кафедра електроприводу та автоматизації промислових установок

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни «Теорія автоматичного керування»

Аналіз нелінійних систем автоматичного керування

Студент: Тишинін Ю.С.

Група Ема-71

Керівник курсової роботи

ЗАВДАННЯ НА КУРСОВУ РОБОТУ:

1. Дослідити САУ із заданою структурною схемою, видом нелінійності та числовими параметрами методом фазової площини.

1.1 Перевірити результати розрахунків за пунктом 1 структурним моделюванням.

1.2 Дослідити вплив вхідного впливу та параметрів нелінійності на динаміку системи.

2. Дослідити САУ із заданою структурною схемою, видом нелінійності та числовими параметрами методом гармонійної лінеаризації.

2.1 Перевірити результати розрахунків за пунктом 2 структурним моделюванням.

2.2 Дослідити вплив вхідного впливу та параметрів нелінійності на динаміку системи

1. Досліджуємо САУ із заданою структурною схемою, видом нелінійності та числовими параметрами методом фазової площини.

Варіант №4-1-а

Вихідні дані.

1) Структурна схема нелінійної САУ:

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Система, в якій робочі операції та операції управління виконують технічні пристрої, називається системою автоматичного керування (САУ).

Структурною схемоюназивається графічне зображення математичного опису системи.

Ланка на структурній схемі зображується у вигляді прямокутника із зазначенням зовнішніх впливів і всередині нього записується передавальна функція.

Сукупність ланок разом із лініями зв'язку, що характеризують їхню взаємодію, утворює структурну схему.

2) Параметри структурної схеми:

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Метод фазової площини

Поведінка нелінійної системи будь-якої миті часу визначається керованої змінної та її (n?1) похідної, якщо ці величини відкласти по осях координат, то отриманий n?мірное простір називатиметься фазовим простором. Стан системи у кожний момент часу визначатиметься у фазовому просторі зображувальною точкою. Під час перехідного процесу зображуюча точка переміщається у фазовому просторі. Траєкторія її руху називається фазовою траєкторією. У режимі, що зображає точка знаходиться в стані спокою і називається особливою точкою. Сукупність фазових траєкторій щодо різних початкових умов, разом із спеціальними точками і траєкторіями називається фазовим портретом системи.

При дослідженні нелінійної системи даним методом необхідно структурну схему (рис. 1.1) перетворити на вид:

Знак мінус говорить про те, що зворотний зв'язок негативний.

де X 1 і X 2 - вихідна та вхідна величини лінійної частини системи відповідно.

Знайдемо диференціальне рівняння системи:

Зробимо заміну, тоді

Вирішимо це рівняння щодо старшої похідної:

Припустимо, що:

Розділимо рівняння (1.2) на рівняння (1.1) та отримаємо нелінійне диференціальне рівняння фазової траєкторії:

де x2 = f(x1).

Якщо вирішувати це ДУ методом ізоклін, можна побудувати фазовий портрет системи для різних початкових умов.

Ізокліною називається геометричне місце точок фазової площини, які фазова траєкторія перетинає під одним і тим самим кутом.

У цьому вся методі нелінійна характеристика ділиться на лінійні ділянки й у кожного їх записується лінійне ДУ.

Для отримання рівняння ізоклин права частина рівняння (1.3) прирівнюється до постійної величини N і вирішується відносно.

Враховуючи нелінійність, отримуємо:

Задаючись значеннями N в діапазоні від до, будується сімейство ізоклін. На кожній ізоклині проводиться допоміжна пряма під кутом до осі абсцис

де m X - масштабний коефіцієнт по осі х;

m Y – масштабний коефіцієнт по осі у.

Вибираємо m X = 0,2 од/см, m Y = 40 од/см;

Кінцева формула для кута:

Розрахуємо сімейство ізоклін та кут для ділянки, розрахунок зведемо до таблиці 1:

Таблиця 1

Розрахуємо сімейство ізоклін та кут для ділянки, розрахунок зведемо до таблиці 2:

Таблиця 2

Розрахуємо сімейство ізоклін та кут для ділянки, розрахунок зведемо до таблиці 3:

Таблиця 3

Побудуємо фазову траєкторію

Для цього вибираються початкові умови на одній з ізоклін (точка А), з точки А проводяться дві прямі лінії до перетину з наступною ізокліною під кутами б 1 б 2 де б 1 б 2 ? відповідно кути першої та другої ізокліни. Відрізок, що відсікається цими лініями, ділиться навпіл. З отриманої точки, середини відрізка, знову проводяться дві лінії під кутами б 2 б 3 і знову відрізок ділиться навпіл і т.д. Отримані точки сполучаються плавною кривою.

Сімейства ізоклін будуються для кожної лінійної ділянки нелінійної характеристики та поділяються між собою лініями перемикання.

По фазовій траєкторії видно, що отримана спеціальна точка типу стійкий фокус. Можна дійти невтішного висновку, що автоколивань у системі немає, а перехідний процес стійкий.

1.1 Перевіримо результати розрахунків за допомогою структурного моделювання у програмі MathLab

Структурна схема:

Фазовий портрет:

Перехідний процес при вхідному впливі дорівнює 2:

Xвих.max = 1.6

1.2 Досліджуємо вплив вхідного впливу та параметрів нелінійності на динаміку системи

Збільшимо вхідний сигнал до 10:

Xвих.max = 14,3

Трег = 0,055

X вих. max = 103

Т рег = 0,18

Збільшимо зону чутливості до 15:

Xвих.max = 0,81

Зменшити зону чутливості до 1:

Xвих.max = 3.2

Результатами моделювання були підтверджені результати розрахунків: з малюнка 1.7 видно, що процес схожий, автоколивань у системі немає. Фазовий портрет змодельованої системи схожий із побудованим розрахунковим шляхом.

Дослідивши вплив вхідного впливу та параметрів нелінійності на динаміку системи, можна зробити висновки:

1) при збільшенні вхідного впливу збільшується рівень режиму, кількість коливань не змінюється, час регулювання збільшується.

2) при збільшенні мертвої зони рівень режиму, що встановився, збільшується, кількість коливань також залишається незмінним, час регулювання збільшується.

2. Досліджуємо САУ із заданою структурною схемою, видом нелінійності та числовими параметрами методом гармонійної лінеаризації.

Варіант №5-20-c

Вихідні дані.

1) Структурна схема:

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Розміщено на http://www.allbest.ru/

2) Значення параметрів:

3) Вид та параметри нелінійності:

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Найширше поширення на дослідження нелінійних САУ високого порядку (n > 2) отримав наближений метод гармонійної лінеаризації із застосуванням частотних уявлень, розвинених теоретично лінійних систем.

Основна ідея методу зводиться до наступного. Нехай замкнута автономна (без зовнішніх впливів) нелінійна система складається з послідовно включених нелінійного безінерційного НЗ та стійкої або нейтральної лінійної частини ЛЧ (рис 2.3 а)

u=0 x z Х=Х m sinwt z y

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Розміщено на http://www.allbest.ru/

y = Y m 1 sin (wt +)

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Для судження можливості існування моногармонических незатухающих коливань у цій системі передбачається, що у вході нелінійної ланки діє гармонійний синусоїдальний сигнал x(t) = X m sinwt (Рис. 2.3,б). При цьому сигнал на виході нелінійної ланки z(t) = z містить спектр гармонійних складових з амплітудами Z m 1 , Z m 2 , Z m 3 і т.д. та частотами w, 2w, 3w тощо. Передбачається, що цей сигнал z(t), проходячи через лінійну частину W л (jw), фільтрується нею настільки, що в сигналі на виході лінійної частини y(t) можна знехтувати всіма вищими гармоніками Y m 2 , Y m 3 і і т.д. і вважати, що

y(t)Y m 1 sin(wt +)

Останнє припущення зветься гіпотези фільтра і виконання цієї гіпотези є необхідною умовою гармонічної лінеаризації.

Умова еквівалентності схем, зображених на рис. 2.3 а і б можна сформулювати у вигляді рівності

x(t) + y(t) = 0(1)

При виконанні гіпотези фільтра y(t) = Y m 1 sin(wt +) рівняння (1) розпадається на два

Рівняння (2) і (3) звуться рівнянь гармонійного балансу; перше їх висловлює баланс амплітуд, а друге - баланс фаз гармонійних коливань.

Таким чином, для того, щоб у системі існували незатухаючі гармонічні коливання, при дотриманні гіпотези фільтра повинні виконуватися умови (2) і (3)

Скористаємося методом Гольдфарба для графоаналітичного вирішення характеристичного рівняння виду

W ЛЧ (p) W НЕ (A) +1 = 0

W ЛЧ (jw) W НЕ (A) = -1

Для наближеного визначення автоколивань будуються АФЧХ лінійної частини системи та зворотна негативна характеристика нелінійного елемента.

Для побудови АФЧХ лінійної частини перетворимо структурну схему на вигляд рис 2.4:

Внаслідок перетворення отримуємо схему рис 2.5:

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Знайдемо передатну функцію лінійної частини системи:

Позбавимося ірраціональності в знаменнику, домноживши чисельник і знаменник на пов'язане до знаменника, отримаємо:

Розіб'ємо те, що вийшло на уявну і дійсну частини:

Для побудови зворотної негативної характеристики нелінійного елемента скористаємося формулою:

Параметри нелінійності:

А – амплітуда, за умови що.

АФЧХ лінійної частини системи та зворотна негативна характеристика нелінійного елемента представлена ​​на рис. 2.6:

Для визначення стійкості автоколивань скористаємося наступним формулюванням: якщо точка, що відповідає збільшеній амплітуді в порівнянні з точкою перетину, не охоплюється частотною характеристикою лінійної частини системи, то автоколивання стійкі. Як очевидно з малюнка 2.6 рішення стійке, отже, у системі встановлюються автоколивання.

2.1 Перевіримо результати розрахунків за допомогою структурного моделювання у програмі MathLab.

Рис 2.7: Структурна схема

Перехідний процес при вхідному впливі 1 (рис 2.8):

автоматичний керування нелінійний гармонічний

Як видно з графіка, встановлюються автоколивання. Перевіримо вплив нелінійності на сталість системи.

2.2 Досліджуємо вплив вхідного впливу та параметрів нелінійності на динаміку системи.

Збільшимо вхідний сигнал до 100:

Збільшимо вхідний сигнал до 270

Зменшимо вхідний сигнал до 50:

Збільшимо насичення до 200:

Зменшити насичення до 25:

Зменшимо насичення до 10:

Результати моделювання не однозначно підтвердили результати розрахунків:

1) Автоколивання виникають у системі, а зміна насичення впливає на амплітуду коливань.

2) При збільшенні вхідного впливу змінюється величина вихідного сигналу та система прагнути стійкого стану.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛОВ:

1. Збірник завдань з теорії автоматичного регулювання та управління. За ред. В.А. Бесекерського, видання п'яте, перероблене. - М: Наука, 1978. - 512 с.

2. Теорія автоматичного керування. Ч. ІІ. Теорія нелінійних та спеціальних систем автоматичного управління. За ред. А.А.Воронова. Навч. посібник для вузів. - М: Вища. школа, 1977. – 288 с.

3. Топчеєв Ю.І. Атлас для проектування систем автоматичного регулювання: навч. допомога. ? М: Машинобудування, 1989. ? 752 с.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Нелінійні системи, що описуються нелінійними диференціальними рівняннями. Методи аналізу нелінійних систем: шматково-лінійної апроксимації, гармонійної лінеаризації, фазової площини, статистичної лінеаризації. Використання комбінації методів.

реферат, доданий 21.01.2009


Аналіз стійкості системи автоматичного керування (САУ) за критерієм Найквіста. Дослідження стійкості САУ за амплітудно-фазочастотною характеристикою АФЧХ та логарифмічними характеристиками. Інструменти управління приладової системи стеження.

курсова робота , доданий 11.11.2009


Аналіз структурної схеми заданої системи автоматичного керування. Основні умови стійкості критерію Гурвіца та Найквіста. Синтез як вибір структури та параметрів системи задоволення заздалегідь поставлених вимог. Концепція стійкості.

курсова робота , доданий 10.01.2013


Дослідження режимів системи автоматичного керування. Визначення передавальної функції замкнутої системи. Побудова логарифмічних амплітудних та фазових частотних характеристик. Синтез системи об'єкт-регулятор, розрахунок оптимальних параметрів.

курсова робота , доданий 17.06.2011


Проектування замкнутої, одномірної, стаціонарної системи автоматичного управління, що стежить, з визначенням параметрів коригувального пристрою, що забезпечує задані вимоги до якості регулювання. Аналіз системи з урахуванням нелінійності РОЗУМ.

курсова робота , доданий 18.01.2011


Структура замкнутої лінійної безперервної системи автоматичного керування. Аналіз передавальної функції системи із зворотним зв'язком. Дослідження лінійної імпульсної, лінійної безперервної та нелінійної безперервної систем автоматичного управління.

контрольна робота , доданий 16.01.2011


Рівняння зв'язків структурної схеми САУ. Аналіз лінійної безперервної системи автоматичного керування. Критерії сталості. Показники якості перехідних процесів під час моделювання на ЕОМ. Синтез послідовного коригуючого пристрою.

контрольна робота , доданий 19.01.2016


Проектування структурної схеми електромеханічного релейного слідкуючого приводу. Упорядкування диференціальних рівнянь замкнутої нелінійної системи автоматичного управління, побудова її фазового портрета. Гармонійна лінеаризація нелінійності.

курсова робота , доданий 26.02.2014


Дискретні системи автоматичного управління як системи, що містять елементи, які перетворюють безперервний сигнал дискретний. Імпульсний елемент (ІЕ), його математичний опис. Цифрова система автоматичного керування, методи її розрахунку.

реферат, доданий 18.08.2009


Виконує синтез та аналіз слідкуючої системи автоматичного управління за допомогою ЛАЧХ та ЛФЧХ. Визначення типів ланок передавальних функцій системи та стійкості граничних параметрів. Розрахунок статистичних та логарифмічних характеристик системи.

Наявність нелінійностей у системах управління призводить до опису такої системи нелінійними диференціальними рівняннями, часто досить високими порядками. Як відомо, більшість груп нелінійних рівнянь не вирішується в загальному вигляді, і можна лише говорити про окремі випадки рішення, тому при дослідженні нелінійних систем велику роль набувають різні наближені методи.

Через наближених методів дослідження нелінійних систем не можна, як правило, отримати досить повне уявлення про всі динамічні властивості системи. Проте з їхньою допомогою можна відповісти на ряд окремих суттєвих питань, таких як питання стійкості, наявності автоколивань, характеру будь-яких приватних режимів тощо.

В даний час існує велика кількість різних аналітичних та графо-аналітичних методів дослідження нелінійних систем, серед яких можна виділити методи фазової площини, припасовування, точкових перетворень, гармонійної лінеаризації, прямий метод Ляпунова, частотні методи дослідження абсолютної стійкості Попова, методи дослідження нелінійних систем на електронних моделях та ЕОМ.

Коротка характеристика деяких перерахованих методів.

Метод фазової площини є точним, але має обмежене застосування, так як практично не застосовується для систем регулювання, опис яких не можна звести до управління другого порядку.

Метод гармонійної лінеаризації належить до наближених методів, не має обмежень по порядку диференціальних рівнянь. При застосуванні цього методу передбачається, що у виході системи є гармонійні коливання, а лінійна частина системи регулювання є фільтром високих частот. У разі слабкої фільтрації сигналів лінійною частиною системи під час використання методу гармонійної лінеаризації необхідно враховувати вищі гармоніки. При цьому ускладнюється аналіз стійкості та якості процесів регулювання нелінійних систем.

Другий метод Ляпунова дозволяє отримати лише достатні умови сталості. І якщо на його основі визначено нестійкість системи регулювання, то в ряді випадків для перевірки правильності отриманого результату слід замінити функцію Ляпунова іншою і ще раз виконати аналіз стійкості. Крім того, немає загальних методів визначення функції Ляпунова, що ускладнює практичне застосування цього методу.

Критерій абсолютної стійкості дозволяє аналізувати стійкість нелінійних систем за допомогою частотних характеристик, що є великою перевагою даного методу, оскільки поєднує математичний апарат лінійних та нелінійних систем у єдине ціле. До недоліків цього методу слід віднести ускладнення розрахунків під час аналізу стійкості систем із нестійкою лінійною частиною. Тому для отримання правильного результату стійкості нелінійних систем доводиться користуватися різними методами. І лише збіг різних результатів дозволить уникнути помилкових суджень про стійкість або нестійкість проектованої системи автоматичного регулювання.

Глава7

Аналіз нелінійних систем

СУ складається з окремих функціональних елементів, для математичного опису яких використовуються типові елементарні ланки (див. Розд. 1.4). Серед типових елементарних ланок є одна безінерційна (підсилювальна) ланка. Статична характеристика такої ланки, що зв'язує вхідну xта вихідний yвеличини, лінійна: y=Kx. Реальні функціональні елементи СУ мають нелінійну статичну характеристику y=f(x). Вид нелінійної залежності f(∙) може бути різноманітним:

Функції зі змінною крутизною (функції з ефектом «насичення», тригонометричні функції та ін.);

Шматково-лінійні функції;

Релейні функції.

Найчастіше доводиться враховувати нелінійність статичної характеристики чутливого елемента СУ, тобто. нелінійність дискримінаційної характеристики. Зазвичай прагнуть забезпечити роботу СУ на лінійній ділянці дискримінаційної характеристики (якщо це дозволяє вигляд функції f(∙)) і використовують лінійну модель y=Kx. Іноді це не вдається забезпечити через великі значення динамічної та флюктуаційної складових помилки СУ, або через так звану суттєву нелінійність функції f(∙), властивої, наприклад, релейним функцій. Тоді доводиться виконувати аналіз СУ з урахуванням ланок, мають нелінійну статичну характеристику, тобто. проводити аналіз нелінійної системи.

7.1. Особливості нелінійних систем

Процеси в нелінійних системах значно різноманітніші за процеси в лінійних системах. Зазначимо деякі особливості нелінійних систем та процесів у них.

1. Не виконується принцип суперпозиції: реакція нелінійної системи не дорівнює сумі реакцій окремі впливу. Наприклад, незалежний розрахунок динамічної та флюктуаційної складових помилки стеження, виконаний для лінійних систем (див. Розд. 3), для нелінійних систем неможливий.

2. До структурної схеми нелінійної системи незастосовна властивість комутативності (не можна переставляти місцями лінійні та нелінійні ланки).

3. У нелінійних системах змінюються умови стійкості та саме поняття стійкості. Поведінка нелінійних систем, з погляду їхньої стійкості, залежить від впливу та початкових умов. Крім того, в нелінійній системі можливий новий вид процесу - автоколивання з постійними амплітудою і частотою. Такі автоколивання, залежно від їхньої амплітуди та частоти, можуть і не порушувати працездатність нелінійної СУ. Тому нелінійні системи вже не поділяються на два класи (стійкі та нестійкі), як лінійні системи, а розбиваються на більшу кількість класів.

Для нелінійних систем російський математик А.М. Ляпунов в 1892 р. ввів поняття стійкості «у малому» і «у великому»: система стійка «у малому», якщо за деякому (досить малому) відхиленні від точки стійкого рівноваги вона залишається у заданій (обмеженої) області ε, і система стійка "у великому", якщо вона залишається в області ε при будь-якому відхиленні від точки стійкої рівноваги. Зауважимо, що область можна задати як завгодно малої поблизу точки стійкої рівноваги, тому це в розд. 2 визначення стійкості лінійних систем залишається чинним і рівноцінним визначенню асимптотичної стійкості по Ляпунову. У цьому розглянуті раніше критерії стійкості лінійних систем реальних нелінійних систем слід сприймати як критерії стійкості «у малому».

4. У нелінійних системах якісно змінюються перехідні процеси. Наприклад, у разі функції f(∙) зі змінною крутизною в нелінійній системі 1-го порядку перехідний процес описується експонентою зі змінним параметром T.

5. Обмежена апертура дискримінаційної характеристики нелінійної системи є причиною виникнення зриву стеження (система стійка «у малому»). При цьому необхідний пошук сигналу та введення системи в режим стеження (поняття пошуково-стежить вимірювача дано в розд. 1.1). У системах синхронізації з періодичною дискримінаційною характеристикою можливі стрибки вихідної величини.

Наявність розглянутих особливостей нелінійних систем призводить до необхідності використання спеціальних методів аналізу таких систем. Далі розглядаються:

Метод, заснований на вирішенні нелінійного диференціального рівняння і дозволяє, зокрема, визначити помилку в режимі, а також смуги захоплення та утримання нелінійної системи ФАПЧ;

Методи гармонійної та статистичної лінеаризації, зручні при аналізі систем із суттєво нелінійним елементом;

Методи аналізу та оптимізації нелінійних систем, що базуються на результатах теорії марківських процесів.

7.2. Аналіз регулярних процесів у нелінійній системі ФАПЧ