У напрямку швидкості. Визначення прискорень точок плоскої фігури за допомогою МЦУ Способи визначення прискорень точок плоскої фігури

Розглядаючи плоский рух плоскої фігури як суму поступального руху, при якому всі точки фігури рухаються з прискоренням a A полюса A, і обертального

руху навколо цього полюса, отримуємо формулу для визначення прискорення будь-якої точки B плоскої фігури у вигляді

a B \u003d		a A +		a BA \u003d		a A + a BAв +	a BAц.
тут a						прискорення	полюса A; a		прискорення

обертального руху точки B навколо полюса A, яке як в разі обертання тіла навколо нерухомої осі векторно

складається з обертального прискорення a BA в і центро-

стрімкого прискорення a BA ц . Модулі цих прискорень визначаються за формулами

модуль кутового прискорення. Обертальний прискорення a BA в направлено перпендикулярно відрізку AB в сторону дугового стрілки ε, а доцентровийприскорення a BA ц направлено по лінії AB від точки B до полюса A (рис. 12). Модуль повного прискорення a BA точки B щодо полюса A в силу умови a BA в a BA ц обчислюється за формулою

Рис 12. Визначення прискорення точки B

з використанням полюса A.

Для знаходження прискорення a B за формулою (2.18)

рекомендується використовувати аналітичний спосіб. У цьому способі вводиться прямокутна декартова система координат (система Bxy на рис. 12) і обчислюються проекції a Bx, a By

шуканого прискорення як алгебраїчні суми проекцій прискорень, що входять в праву частину рівності (2.18):

(A в

(A ц

a cosα

ц;

(A в

(A ц

sinα

де α - кут між вектором a A

і віссю Bx. за знайденими

Викладений спосіб визначення прискорень точок плоскої фігури застосуємо для вирішення завдань, в яких задано рух полюса A і кут повороту фігури

рівняннями (2.14). Якщо залежність кута повороту від часу невідома, то для заданого положення фігури доводиться визначати миттєву кутову швидкість і миттєве кутове прискорення. Способи їх визначення розглядаються далі в прикладах виконання завдання 2.

Відзначимо також, що при визначенні прискорень точок плоскої фігури може використовуватися миттєвий центр прискорень- точка, прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулю. Однак застосування миттєвого центру прискорень пов'язане з досить трудомісткими методами знаходження його положення, тому визначення прискорень точок плоскої фігури рекомендується виконувати за формулою

2.4 Завдання 2. Визначення швидкостей і прискорень точок плоского механізму

Механізми (див. С. 5) називаються плоскими, якщо всі його точки рухаються в одній або в паралельних один одному площинах, інакше механізми називаються пространствен-

ними.

В завданні 2.1 розглядаютьсяпланетарні механізми,

в завданні 2.2 - кривошипно-Позунь механізми, а в завданні

2.3 крім названих двох типів вивчається рух механізмів інших типів. Більшість розглянутих механізмів є механізмами з одним ступенем свободи,

в яких для визначення руху всіх ланок потрібно задати закон руху однієї ланки.

завдання 2.1

У планетарному механізмі (рис. 13) кривошип 1 довжиною OA \u003d 0.8 (м) обертається навколо нерухомої осі O, перпендикулярній площині малюнка, згідно із законом

φ OA (t) \u003d 6t - 2t 2 (рад). У точці A кривошип шарнірно з'єднаний

з центром диска 2 радіусу r \u003d 0.5 (м), що знаходиться у внутрішньому зачепленні з нерухомим колесом 3, співвісним з

кривошипом OA. На диску 2 в момент часу t 1 \u003d 1 (с) задана точка B, положення якої визначається відстанню AB \u003d 0.5 (м) і кутом α \u003d 135 °. (В заданий момент часу кут α відраховується від осі Ax в напрямку проти годинникової стрілки при α\u003e 0 або в протилежному напрямку при

α < 0).

Рис 13. Планетарний механізм і спосіб завдання положення точки B.

Визначити в момент часу t 1

1) швидкість точки B двома способами: з використанням миттєвого центру швидкостей (МЦС) диска 2 і з використанням полюса A;

2) прискорення точки B з використанням полюса A.

1) Визначення швидкості точки B.

Спочатку потрібно виконати графічне зображення

механізму в обраному масштабі (наприклад, в 1 см малюнка - 0.1 м відрізка OA і радіуса r) і показати задане положення точки B (рис. 14).

Рис 14. Визначення швидкості точки B з використанням миттєвого центру швидкостей Р і полюса А.

За заданим законом обертання кривошипа ОА знайдемо швидкість центру А диска 2. Визначаємо кутову швидкість кривошипа в заданий момент часу t 1 \u003d 1 (c):

ω OA \u003d φ! OA \u003d (6 t -				6 - 4 t;	ω OA (t 1) \u003d 2 (рад / с).

Отримана величина ω OA (t 1) є позитивною, тому дугову стрілку ω OA направляємо проти годинникової стрілки, тобто в позитивному напрямку відліку кута φ.

Обчислюємо модуль швидкості

v A \u003d ω OA (t 1) OA \u003d 2 0.8 \u003d 1.6 (м / с)

і будуємо вектор швидкості v A перпендикулярно ОА в бік дугової стрілки ω OA.

дугова стрілка ω OA і вектор v A зображуються в протилежному напрямку, а для розрахунку v A використовується модуль

ω OA (t 1).

Миттєвий центр швидкостей (точка Р) диска 2 розташований в точці його сопрікостновенія з колесом 3 (див. П. 5 на с. 34). Визначимо миттєву кутову швидкість ω диска по знайденої величиною швидкості v A:

ω \u003d v A / AP \u003d v A / r \u003d 1.6 / 0.5 \u003d 3.2 (рад / c)

і зображуємо на малюнку її дугову стрілку (рис. 14).

Для визначення швидкості точки В з використанням МЦС знаходимо відстань ВР по теоремі косинусів з трикутника АВР:

BP \u003d AB2 + AP2 - 2 AB AP cos135 "\u003d

0.5 2 + 0.52 - 2 0.52 (- 2/2) ≈ 0.924 (м).

Швидкість v B дорівнює по модулю

v B \u003d ω PB \u003d 3.2 0.924 ≈ 2.956 (м / c)

і спрямована перпендикулярно відрізку РВ в сторону дугового стрілки ω.

Той же вектор v B може бути знайдений з використанням полюса А по формулі (2.15): v B \u003d v A + v BA. Перенесемо вектор v A в точку В і побудуємо вектор v BA, перпендикулярний відрізку АВ і спрямований в бік дугової стрілки ω. модуль

що кут між векторами v A і v BA дорівнює 45 °. Тоді за формулою (2.16) знаходимо

vB \u003d vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 "\u003d

1.6 2 + 1.62 + 2 1.62 (2/2) ≈ 2.956 (м / c).

На малюнку вектор v B повинен збігатися з діагоналлю паралелограма, сторонами якого є вектори v A і v BA. Це досягається побудовою векторів v A, v B і v BA в вибрана

масштабі (наприклад, 1 см на малюнку відповідає 0.5 м / с). Відзначимо, що наведені в розглянутому прикладі масштаби можна змінювати і призначати самостійно.

2). Визначення прискорення точки В.

Прискорення точки В визначимо по формулі (2.18) з використанням полюса А, прискорення якого складається векторно з дотичного і нормального прискорень:

a B \u003d a A + a BA в + a BA ц \u003d a τ A + a A n + a BA в + a BA ц.

За заданим законом обертання кривошипа ОА знайдемо його кутове прискорення:

ε OA \u003d ω! OA \u003d (6 - 4t!) \u003d - 4 (рад / с 2).

Отримана величина ε OA є негативною, тому дугову стрілку ε OA направляємо по ходу годинникової стрілки, то

є в негативному напрямку, а в подальшому розрахунку будемо брати цю величину по модулю.

Модулі дотичного і нормального прискорень полюса А в заданий момент часу t 1 знаходимо за формулами (2.11):

a τ A \u003d ε OA OA \u003d 4 0.8 \u003d 3.2 (м / c 2); a n A \u003d ω OA 2 OA \u003d 22 0.8 \u003d 3.2 (м / c 2).

Дотичне прискорення a τ A направлено перпендикулярно кривошипа ОА в бік дугової стрілки ε OA, а нормальне прискорення a A n - від туги А до точки О при будь-якому напрямку кутової швидкості кривошипа (рис. 15). Повний прискорення a A визначати не потрібно.

Рис 15. Визначення прискорення точки B з використанням полюса А.

ω \u003d v A / r \u003d ω OA (OA / r).
	за визначенням кутова	прискорення	диска (при
OA / r \u003d const) одно
ε = ω ! =	ω! OA (OA / r) \u003d ε OA (OA / r) \u003d -	4 (0.8 / 0.5) =	- 6.4 (рад / c 2).

кутову стрілку ε направляємо в протилежному напрямку до дугового стрілки ω.

Обчислимо модулі обертального і доцентровий прискорень точки В відносно полюса А за формулами

a BAв						AB \u003d	6.4 0.5 \u003d 3.2 (м / c 2);
a BAц						2 AB \u003d	3.22 0.5 \u003d 5.12 (м / c 2).

Вектор a BA в спрямований перпендикулярно відрізку АВ в сторону

дугового стрілки ε, а вектор a BA ц - від точки В до полюса А

Прискорення точки В знайдемо по його проекція на осі координатної системи Axy:

a Bx \u003d (a τ A) x +					(A An) x + (a BAв) x + (a BAц) x \u003d
	0 - a n A -			a BA в cos 45 "+			a BAц	cos 45 "\u003d
		3.2 −				/ 2 + 5.12		2 / 2 ≈	- 1.84 (м / c 2);
a By \u003d (a τ A) y +					(A An) y + (a BAв) y + (a BAц) y \u003d
		a τ A +	0 −		a BAв	cos45 "	- a BA ц cos 45 "\u003d
		3.2 −				/ 2 − 5.12		2 / 2 ≈	- 9.08 (м / c 2).
Модуль a B \u003d		a Bx2			a By2	≈ 9.27 (м / c 2).
					прискорення		a τ A,	a A n,	a BA в, a BA ц потрібно

зобразити в обраному масштабі і побудувати в цьому ж масштабі вектор a B по знайденим проекція (рис. 15).

Вихідні дані для самостійного виконання завдання 2.1 наведені в таблиці на с. 44.

				Кінематика твердого тіла
		φ OA (t), радий				α, град	t 1, c
		t2 + 3t
		8t - 3t2
		t2 - 4t
		3t - 2t2
		2t2 - t
		4t - t2
		2t2 - 6t
		2t - 3t2
		3t2 - 4t
		8t - 2t2
		4t2 - 6t
		3t - 4t2
		4t2 - 2t
		6t - t2
		2t2 - 4t
		4t - 3t2
		2t2 + t
		4t - 2t2
		3t2 - 10t
		t - 2t2
		3t2 + 2t
		6t - 3t2
		3t2 - 8t
		2t - 4t2

Визначення швидкостей точок плоскої фігури

Було відзначено, що рух плоскої фігури можна розглядати як що складається з поступального руху, при якому всі точки фігури рухаються зі швидкістюполюса А , І з обертального руху навколо цього полюса. Покажемо, що швидкість будь-якої точки Мфігури складається геометріческііз швидкостей, які точка отримує в кожному з цих рухів.

Справді, становище будь-якої точки М фігури визначається по відношенню до осей Оху радіусом-вектором(Рис.3), де - радіус-вектор полюса А , - вектор, який визначає положення точки Мщодо осей, Які прямують разом з полюсом Апоступально (рух фігури по відношенню до цих осях є обертання навколо полюса А). тоді

В отриманому рівність величинає швидкість полюса А ; величина ждорівнює швидкості , Яку точка М отримує при, Тобто щодо осей, Або, інакше кажучи, при обертанні фігури навколо полюса А. Таким чином, з попереднього рівності дійсно слід, що

швидкість , Яку точка Мотримує при обертанні фігури навколо полюса А :

де ω - кутова швидкість фігури.

Таким чином, швидкість будь-якої точки М плоскої фігури геометрично складається з швидкості якийсь інший точки А , Прийнятої за полюс, і швидкості, яку точка М отримує при обертанні фігури навколо цього полюса. Модуль і напрям швидкостізнаходяться побудовою відповідного паралелограма (рис.4).

Ріс.3Ріс.4

Теорема про проекціях швидкостей двох точок тіла

Визначення швидкостей точок плоскої фігури (або тіла, що рухається плоскопаралельному) пов'язано зазвичай з досить складними розрахунками. Однак можна отримати ряд інших, практично більш зручних і простих методів визначення швидкостей точок фігури (або тіла).

рис.5

Один з таких методів дає теорема: проекції швидкостей двох точок твердого тіла на вісь, що проходить через ці точки, рівні один одному. Розглянемо будь-які дві точки А і В плоскої фігури (або тіла). беручи точку А за полюс (рис.5), отримуємо. Звідси, проектуючи обидві частини рівності на вісь, направлену по АВ, І з огляду на, що векторперпендикулярний АВ, знаходимо

і теорема доведена.

Визначення швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центру швидкостей.

Інший простий і наочний метод визначення швидкостей точок плоскої фігури (або тіла при плоскому русі) заснований на понятті про миттєве центрі швидкостей.

Миттєвим центром швидкостей називається точка плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Легкоубедіться, що якщо фігура рухається непоступательно, То така точка в кожен момент часу t існує і притому єдина. Нехай в момент часу t точки А і В плоскої фігури мають швидкостіі , Які не паралельні один одному (рис.6). тоді точка Р, Що лежить на перетині перпендикулярів Аа до векторуі В b до вектору , І буде миттєвим центром швидкостей так як. Всамомделе, еслідопустіть, що, То по теоремі про проекціях швидкостей векторповинен бути одночасно перпендикулярний і АР (так як) і ВР (так як), що неможливо. З тієї ж теореми видно, що ніяка інша точка фігури в цей момент часу не може мати швидкість, рівну нулю.

рис.6

Якщо тепер в момент часу взяти точку Р за полюс, то швидкість точки А буде

так як . Аналогічний результат виходить для будь-якої іншої точки фігури. Отже, швидкості точок плоскої фігуриопределяются в даний момент часу так, як якщо б рух фігури було обертанням навколо миттєвого центру швидкостей. При цьому

З рівності, слід ще, щоточок плоскої фігури пропорційні їх відстаням від МЦС.

Отримані результати приводять до наступних висновків.

1. Для визначення миттєвого центру швидкостей треба знати тільки напрямки швидкостейі якихось двох точок А і В плоскої фігури (або траєкторії цих точок); миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці перетину перпендикулярів, восставленний з точок А і В до швидкостей цих точок (або до дотичним до траєкторіях).

2. Для визначення швидкості будь-якої точки плоскої фігури, треба знати модуль і напрямок швидкості якоїсь однієї точки А фігури і напрямок швидкості інший її точки В. Тоді, щоб поставити з точок А і В перпендикуляри доі , Побудуємо миттєвий центр швидкостей Р і по напрямкувизначимо напрямок повороту фігури. Після цього, знаючи, Знайдемо швидкістьбудь-якої точки М плоскої фігури. направлений векторперпендикулярно РМ в сторону повороту фігури.

3. Кутова швидкістьплоскої фігури дорівнює в кожен даний момент часу відношенню швидкості будь-якої точки фігури до її відстані від миттєвого центру швидкостей Р :

Розглянемо деякі окремі випадки визначення миттєвого центру швидкостей.

а) Якщо плоскопараллельное рух здійснюється шляхом кочення без ковзання одного циліндричного тіла по поверхні іншого нерухомого, то точка Р котиться тіла, що стосується нерухомою поверхні (рис.7), має в даний момент часу внаслідок відсутності ковзання швидкість, рівну нулю (), і, отже, є миттєвим центром швидкостей. Прикладом служить кочення колеса по рейці.

б) Якщо швидкості точок А і В плоскої фігури паралельні один одному, причому лінія АВ НЕ перпендикулярна(Рис.8, а), то миттєвий центр швидкостей лежить в нескінченності і швидкості всіх точок паралельні. При цьому з теореми про проекціях швидкостей слід, щот. е. ; аналогічний результат виходить для всіх інших точок. Отже, в даному випадку швидкості всіх точок фігури в даний момент часу дорівнюють один одному і по модулю, і по напрямку, тобто фігура має миттєве поступальний розподіл швидкостей (такий стан руху тіла називають ще миттєво поступальним). Кутова швидкістьтіла в цей момент часу, як видно дорівнює нулю.

рис.7

рис.8

в) Якщо швидкості точок А і В плоскої фігури паралельні один одному і при цьому лінія АВперпендикулярна, то миттєвий центр швидкостей Р визначається побудовою, показаним на рисунку 8, б. Справедливість побудов випливає з пропорції. У цьому випадку, на відміну від попередніх, для знаходження центру Р треба крім напрямків знати ще й модулі швидкостей.

г) Якщо відомі вектор швидкостіякий-небудь точки В фігури і її кутова швидкість, То положення миттєвого центру швидкостей Р , Лежачого на перпендикуляр до(рис.8, б), можна знайти як.

Рішення задач на визначення швидкості.

Для визначення шуканих кінематичних характеристик (кутової швидкості тіла або швидкостей його точок) треба знати модуль і напрямок швидкості якоїсь однієї точки і напрямок швидкості іншої точки перетину цього тіла. З визначення цих характеристик за даними завдання слід починати рішення.

Механізм, рух якого досліджується, треба зображати на кресленні в тому положенні, для якого потрібно визначити відповідні характеристики. При розрахунку слід пам'ятати, що поняття про миттєве центрі швидкостей має місце для даного твердого тіла. У механізмі, що складається з декількох тіл, кожне непоступательное рухається тіло має в даний момент часу свій миттєвий центр швидкостей Р і свою кутову швидкість.

Приклад 1.Тіло, імеющееформукатушкі, котиться своїм середнім циліндром по нерухомій площині так, що(См). Радіуси циліндрів:R= 4 змі r\u003d 2 см (рис.9). .

рис.9

Рішення. Определімскоростіточек А, Ві З.

Мгновеннийцентр швидкостей знаходиться в точці дотику котушки з площиною.

Скоростьполюса З .

Кутова швидкість котушки

швидкості точок А і Внаправлениперпендікулярноотрезкам прямих, що з'єднують ці точки з миттєвим центром швидкостей. Величина швидкостей:

Приклад 2. колесо радіусу R \u003d 0,6 м котиться без ковзання по прямолінійній ділянці шляху (рис.9.1); швидкість його центру З постійна і дорівнюєv c \u003d 12 м / с. Знайти кутову швидкість колеса і швидкості кінців М 1 , М 2 , M 3 , М 4 вертикального і горизонтального діаметрів колеса.

рис.9.1

Рішення. Колесо робить плоскопараллельное рух. Миттєвий центр швидкостей колеса знаходиться в точці М1 контакту з горизонтальною площиною, т. Е.

Кутова швидкість колеса

Знаходимо швидкості точок М2, M3 і М4

приклад3 . Провідне колесо автомобіля радіусу R \u003d 0,5 м котиться з ковзанням (з буксуванням) по прямолінійній ділянці шосе; швидкість його центру З постійна і дорівнюєv c = 4 м / с. Миттєвий центр швидкостей колеса знаходиться в точці Р на відстані h = 0,3 м від площини кочення. Знайти кутову швидкість колеса і швидкості точок А і В його вертикального діаметра.

ріс.9.2

Рішення. Кутова швидкість колеса

Знаходимо швидкості точок А і В

Приклад 4.Знайти кутову швидкість шатуна АВ і швидкості точок В і С кривошипно-шатунного механізму (рис.9.3, а). Дана кутова швидкість кривошипа OA і розміри: ω ОА \u003d 2 с -1, OA = АВ \u003d 0,36 м, АС\u003d 0,18 м.

а) б)

рис.9.3

Рішення. кривошип OA здійснює обертальний рух, шатун АВ - плоскопараллельное рух (рис.9.3, б).

Знаходимо швидкість точки А ланки OA

швидкість точки В направлена \u200b\u200bпо горизонталі. Знаючи напрямок швидкостей точок А і В шатуна АВ, визначаємо положення його миттєвого центру швидкостей - точку Р АВ.

Кутова швидкість ланки АВ і швидкості точок В і С:

Приклад 5. стрижень АВковзає кінцями по взаємно перпендикулярним прямим так, що при кутішвидкість (Рис.10). довжина стрижняAB \u003d l. Визначимо швидкість кінця А і кутову швидкість стержня.

рис.10

Рішення. Неважко визначити напрямок вектораскоростіточкі А , Ковзної по вертікальнойпрямой. тодізнаходиться на перетині перпендікуляровкі (рис. 10).

Кутова швидкість

швидкість точки А :

А швидкість центру стрижня З , Наприклад, направленаперпендікулярноіравна:

План швидкостей.

Нехай відомі швидкості декількох точок плоского перетину тіла (рис.11). Якщо ці швидкості відкласти в масштабі з деякою точки Про і соедінітьіхконципрямимі, то получітсякартінка, котораяназивается планом швидкостей. (На малюнку) .

рис.11

Свойстваплана швидкостей.

а) Сторони трикутників на плані швидкостей перпендикулярні відповіднимпрямим на площині тіла.

дійсно, . Але на плані швидкостей. значитьпричому перпендикулярна АВ, Тому іТочно так само і.

б) Сторониплана скоростейпропорціональни відповідним відрізкам прямих на площині тіла.

Так як, То отсюдаі слід, що сторониплана швидкостей пропорційні відрізках прямих на площині тіла.

Об'едінівобасвойства, можносделать висновок, що план швидкостей подобенсоответствующейфігуренателе і повернений щодо її на 90˚ понаправленіювращенія.Етісвойстваплана швидкостей дозволяють визначати швидкості точок тіла графічним способом.

Приклад 6. Наріс.12 вмасштабеізображёнмеханізм. Відома кутова швидкістьланки ОА.

рис.12

Рішення.Щоб побудувати план скоростейдолжнабитьізвестна скоростькакой-нібудьодной точкііхотябинаправленіе вектораскорості інший. У нашому прикладі можна визначити швидкість точки А : і направленіееёвектора.

рис.13

Відкладаємо (рис.13) з точки про в масштабівідомо направленіевектораскоростіползуна В - горизонтальне. Проводимо на плані швидкостей з точки Про прямуI за напрямком швидкості, На которойдолжнанаходітьсяточкаb, Яка визначає швидкість цієї точки В. Таккаксторонипланаскоростей перпендикулярні відповідним звеньяммеханізма, тоізточкі апроводімпрямуюперпендікулярно АВдопересеченіяс прямий I. Точка перетину визначить точкуb, А значить і швидкість точки В : . За другим властивості плану швидкостей його боку подібні звеньяммеханізма. Точка, крапка З ділить АВ навпіл, значить і з повинна ділити а b навпіл. Точка, крапка з визначить на плані швидкостей величину і напрямок швидкості(якщо з з'єднати з точкою Про).

Скоростьточкі Е равнанулю, поетомуточка е на плані скоростейсовпадает з точкою Про.

Далее.Должнобитьі . Проводимо ці прямі, находіміхточкупересеченіяd.Отрезок про d определітвекторскорості.

Приклад 7.У шарнірному четирехзвенніке ОАВС провідний кривошипOA см рівномірно обертається навколо осі Про з кутовою швидкістюω \u003d 4 с -1 і за допомогою шатуна АВ \u003d 20 см призводить в обертальний рух кривошип ВС навколо осі З (Рис.13.1, а). Визначити швидкості точок А і В, а також кутові швидкості шатуна АВі кривошипа ВС.

а) б)

рис.13.1

Рішення.швидкість точки А кривошипа OA

взявши точку А за полюс, складемо векторне рівняння

де

Графічне рішення цього рівняння дано на рис.13.1 , б (План швидкостей).

За допомогою плану швидкостей отримуємо

Кутова швидкість шатуна АВ

швидкість точки В можна знайти за допомогою теореми про проекціях швидкостей двох точок тіла на сполучає їх пряму

В і кутова швидкість кривошипа СВ

Визначення прискорень точок плоскої фігури

Покажемо, що прискорення будь-якої точки М плоскої фігури (так само, як і швидкість) складається з прискорень, які точка отримує при поступальному і обертальному рухах цієї фігури. положення точки М по відношенню до осей Про xy (См.ріс.30) визначається радіусом-вектором- кут між векторомі відрізком МА (Рис.14).

Таким чином, прискорення будь-якої точки Мплоскої фігури геометрично складається з ускореніякакой-небудь іншої точки А , Прийнятої за полюс, і прискорення, яке точка Мотримує при обертанні фігури навколо цього полюса. Модуль і напрям прискорення, знаходяться побудовою відповідного паралелограма (рис.23).

Однак обчислення і прискорення який-небудь точки А цієї фігури в даний момент; 2) траєкторія який-небудь іншої точки В фігури. У ряді випадків замість траєкторії другої точки фігури досить знати положення миттєвого центру швидкостей.

Тіло (або механізм) при вирішенні завдань треба зображати в тому положенні, для якого потрібно визначити прискорення відповідної точки. Розрахунок починається з визначення за даними завдання швидкості і прискорення точки, прийнятої за полюс.

План рішення (якщо задані швидкість і прискорення однієї точки плоскої фігури і напряму швидкості і прискорення іншої точки фігури):

1) Знаходимо миттєвий центр швидкостей, поставлю перпендикуляри до швидкостей двох точок плоскої фігури.

2) Визначаємо миттєву кутову швидкість фігури.

3) Визначаємо доцентрове прискорення точки навколо полюса, прирівнюючи нулю суму проекцій всіх доданків прискорень на вісь, перпендикулярну до відомого напрямку прискорення.

4) Знаходимо модуль обертального прискорення, прирівнюючи нулю суму проекцій всіх доданків прискорень на вісь, перпендикулярну до відомого напрямку прискорення.

5) Визначаємо миттєве кутове прискорення плоскої фігури по знайденому обертального прискорення.

6) Знаходимо прискорення точки плоскої фігури за допомогою формули розподілу прискорень.

При вирішенні завдань можна застосовувати «теорему про проекціях векторів прискорень двох точок абсолютно твердого тіла»:

«Проекції векторів прискорень двох точок абсолютно твердого тіла, яке здійснює плоскопараллельное рух, на пряму, повернену щодо прямої, що проходить через ці дві точки, в площині руху цього тіла на кутв сторону кутового прискорення, рівні ».

Цю теорему зручно застосовувати, якщо відомі прискорення тільки двох точок абсолютно твердого тіла як по модулю, так і по напрямку, відомі тільки напрями векторів прискорень інших точок цього тіла (геометричні розміри тіла не відомі), не відоміі - відповідно проекції векторів кутової швидкості і кутового ускореніяетого тіла на вісь, перпендикулярну площині руху, не відомі швидкості точок цього тіла.

Відомі ще 3 способи визначення прискорень точок плоскої фігури:

1) Метод заснований на диференціюванні двічі за часом законів плоскопараллельного руху абсолютно твердого тіла.

2) Метод заснований на використанні миттєвого центру прискорень абсолютно твердого тіла (про миттєве центрі прискорень абсолютно твердого тіла буде розказано нижче).

3) Метод заснований на використанні плану прискорень абсолютно твердого тіла.

Лекція 3. плоскопаралельному рух твердого тіла. Визначення швидкостей і прискорень.

У даній лекції розглядаються наступні питання:

1. плоскопаралельному рух твердого тіла.

2. Рівняння плоскопараллельного руху.

3. Розкладання руху на поступальний і обертальний.

4. Визначення швидкостей точок плоскої фігури.

5. Теорема про проекціях швидкостей двох точок тіла.

6. Визначення швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центру швидкостей.

7. Рішення задач на визначення швидкості.

8. План швидкостей.

9. Визначення прискорень точок плоскої фігури.

10. Рішення задач на прискорення.

11. Миттєвий центр прискорень.

Вивчення даних питань необхідно в подальшому для динаміки плоского руху твердого тіла, динаміки відносного руху матеріальної точки, для вирішення завдань в дисциплінах «Теорія машин і механізмів» і «Деталі машин».

Плоскопараллельное рух твердого тіла. Рівняння плоскопараллельного руху.

Розкладання руху на поступальний і обертальний

Плоскопаралельним (або плоским) називається такий рух твердого тіла, при, якому все його точки переміщаються паралельно деякій фіксованій площині П (Рис. 28). Плоске рух здійснюють багато частин механізмів і машин, наприклад котиться колесо на прямолінійній ділянці шляху, шатун в кривошипно-повзуни механізм і ін. Окремим випадком плоскопараллельного руху є обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.

рис.28 рис.29

Розглянемо перетин S тіла який-небудь площині Оxy, Паралельній площині П (Рис.29). При плоскопаралельному русі всі крапки тіла, що лежать на прямій ММ', Перпендикулярної течією S, Т. Е. Площині П, Рухаються тотожне.

Звідси робимо висновок, що для вивчення руху всього тіла досить вивчити, як рухається в площині Охупереріз Sцього тіла або деяка плоска фігура S. Тому в подальшому замість плоского руху тіла будемо розглядати рух плоскої фігури S в її площині, тобто в площині Оху.

положення фігури S в площині Охувизначається положенням якого-небудь проведеного на цій фігурі відрізка АВ (Рис. 28). У свою чергу положення відрізка АВ можна визначити, знаючи координати x A і y A точки А і кут, який відрізок АВ утворює з віссю х. крапку А, Обрану для визначення положення фігури S, Будемо надалі називати полюсом.

При русі фігури величини x A і y A і будуть змінюватися. Щоб знати закон руху, т. Е. Становище фігури в площині Оху в будь-який момент часу, треба знати залежності

Рівняння, що визначають закон, що відбувається руху, називаються рівняннями руху плоскої фігури в її площині. Вони ж є рівняннями плоскопараллельного руху твердого тіла.

Перші два з рівнянь руху визначають той рух, який фігура здійснювала б при \u003d const; це, очевидно, буде поступальний рух, при якому всі точки фігури рухаються так само, як полюс А. Третє рівняння визначає рух, яке фігура здійснювала б при і, тобто коли полюс Анерухомий; це буде обертання фігури навколо полюса А. Звідси можна зробити висновок, що в загальному випадку рух плоскої фігури в її площині може розглядатися як що складається з поступального руху, при якому всі точки фігури рухаються так само, як полюс А, І з обертального руху навколо цього полюса.

Основними кінематичними характеристиками розглянутого руху є швидкість і прискорення поступального руху, рівні швидкості і прискорення полюса, а також кутова швидкість і кутове прискорення обертального руху навколо полюса.

Визначення швидкостей точок плоскої фігури

Було відзначено, що рух плоскої фігури можна розглядати як що складається з поступального руху, при якому всі точки фігури рухаються зі швидкістю полюса А, І з обертального руху навколо цього полюса. Покажемо, що швидкість будь-якої точки Мфігури складається геометрично з швидкостей, які точка отримує в кожному з цих рухів.

Справді, становище будь-якої точки М фігури визначається по відношенню до осей Оху радіусом-вектором (рис.30), де - радіус-вектор полюса А, - вектор, який визначає положення точки М щодо осей, що переміщаються разом з полюсом Апоступально (рух фігури по відношенню до цих осях є обертання навколо полюса А). тоді

Покажемо, що прискорення будь-якої точки М плоскої фігури (так само, як і швидкість) складається з прискорень, які точка отримує при поступальному і обертальному рухах цієї фігури. положення точки М по відношенню до осей Оxy(См.ріс.30) визначається радіусом-вектором де. тоді

У правій частині цієї рівності перший доданок є прискорення полюса А, А другий доданок визначає прискорення, яке точка м отримує при обертанні фігури навколо полюса A. отже,

Значення, як прискорення точки обертового твердого тіла, визначається як

де і - кутова швидкість і кутове прискорення фігури, а - кут між вектором і відрізком МА (Рис.41).

Таким чином, прискорення будь-якої точки Мплоскої фігури геометрично складається з прискорення який-небудь іншої точки А, Прийнятої за полюс, і прискорення, яке точка Мотримує при обертанні фігури навколо цього полюса. Модуль і напрям прискорення, знаходяться побудовою відповідного паралелограма (рис.23).

Однак обчислення за допомогою паралелограма, зображеного на рис.23, ускладнює розрахунок, так як попередньо треба буде знаходити значення кута, а потім - кута між векторами і, Тому при вирішенні завдань зручніше вектор замінювати його дотичній і нормальної складовими і представити у вигляді

При цьому вектор направлений перпендикулярно АМ в сторону обертання, якщо воно прискорене, і проти обертання, якщо воно уповільнене; вектор завжди спрямований від точки М до полюса А(Ріс.42). чисельно ж

якщо полюс Арухається не прямолінійно, то його прискорення можна теж уявити як суму дотичній і нормальної складових, тоді

рис.41 Ріс.42

Нарешті, коли точка Мрухається криволинейно і її траєкторія відома, то можна замінити сумою.

Питання для самоперевірки

Який рух твердого тіла називається плоским? Наведіть приклади ланок механізмів, що здійснюють плоский рух.

З яких простих рухів складається плоский рух твердого тіла?

Як визначається швидкість довільної точки тіла при плоскому русі?

Який рух твердого тіла називається плоскопаралельним?

Складний рух точки

У даній лекції розглядаються наступні питання:

1. Складне рух точки.

2. Відносне, переносне і абсолютне руху.

3. Теорема додавання швидкостей.

4. Теорема додавання прискорень. Прискорення Коріоліса.

5. Складне рух твердого тіла.

6. Циліндричні зубчасті передачі.

7. Складання поступального і обертального рухів.

8. Гвинтове рух.

Вивчення даних питань необхідно в подальшому для динаміки плоского руху твердого тіла, динаміки відносного руху матеріальної точки, для вирішення завдань в дисциплінах «Теорія машин і механізмів» і «Деталі машин».

Миттєвий центр швидкостей.

Миттєвий центр швидкостей - при плоскопаралельному русі точка, що володіє наступними властивостями: а) її швидкість в даний момент часу дорівнює нулю; б) щодо неї в даний момент часу обертається тіло.

Для того, щоб визначити положення миттєвого центру швидкостей, необхідно знати напрямки швидкостей будь-яких двох різних точок тіла, швидкості яких нЕ паралельні. Тоді для визначення положення миттєвого центру швидкостей необхідно провести перпендикуляри до прямих, паралельних лінійним швидкостям обраних точок тіла. У точці перетину цих перпендикулярів і буде перебувати миттєвий центр швидкостей.

У тому випадку, якщо вектори лінійних швидкостей двох різних точок тіла паралельні один одному, і відрізок, що з'єднує ці точки, що не перпендикулярний векторах цих швидкостей, то перпендикуляри до цих векторах також паралельні. У цьому випадку говорять, що миттєвий центр швидкостей знаходиться в нескінченності, і тіло двіжетсямгновенно поступально.

Якщо відомі швидкості двох точок, і ці швидкості паралельні один одному, і крім того, зазначені точки лежать на прямій, перпендикулярній швидкостям, то становище миттєвого центру швидкостей визначається так, як показано на рис. 2.

Положення миттєвого центру швидкостей в загальному випадку нЕ збігається з положенням миттєвого центру прискорень. Однак в деяких випадках, наприклад, при чисто обертальному русі, положення цих двох точок можуть збігатися.

21.Определеніе прискорень точок тела.Метод полюса.Понятіе про миттєве центрі прискорень.

Покажемо, що прискорення будь-якої точки М плоскої фігури (так само, як і швидкість) складається з прискорень, які точка отримує при поступальному і обертальному рухах цієї фігури. положення точки М по відношенню до осей Оxy(См.ріс.30) визначається радіусом-вектором де. тоді

У правій частині цієї рівності перший доданок є прискорення полюса А, А другий доданок визначає прискорення, яке точка м отримує при обертанні фігури навколо полюса A. отже,

Значення, як прискорення точки обертового твердого тіла, визначається як

де і - кутова швидкість і кутове прискорення фігури, а - кут між вектором і відрізком МА (Рис.41).

Таким чином, прискорення будь-якої точки Мплоскої фігури геометрично складається з прискорення який-небудь іншої точки А, Прийнятої за полюс, і прискорення, яке точка Мотримує при обертанні фігури навколо цього полюса. Модуль і напрям прискорення, знаходяться побудовою відповідного паралелограма (рис.23).

Однак обчислення за допомогою паралелограма, зображеного на рис.23, ускладнює розрахунок, так як попередньо треба буде знаходити значення кута, а потім - кута між векторами і, Тому при вирішенні завдань зручніше вектор замінювати його дотичній і нормальної складовими і представити у вигляді

При цьому вектор направлений перпендикулярно АМ в сторону обертання, якщо воно прискорене, і проти обертання, якщо воно уповільнене; вектор завжди спрямований від точки М до полюса А(Ріс.42). чисельно ж

якщо полюс Арухається не прямолінійно, то його прискорення можна теж уявити як суму дотичній і нормальної складових, тоді

рис.41 Ріс.42

Нарешті, коли точка Мрухається криволинейно і її траєкторія відома, то можна замінити сумою.