Рішення х 5. Рішення лінійних рівнянь з прикладами. Як вирішувати рівняння: додаток або віднімання
для вирішення математики. швидко знайти рішення математичного рівняння в режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє розв'язати рівняння майже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричного або трансцендентного рівняння онлайн. При вивченні практично будь-якого розділу математики на різних етапах доводиться вирішувати рівняння онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт рішення рівнянь онлайн займе кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних рівнянь онлайн - це швидкість і точність його видають відповіді. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчні рівняння онлайн, тригонометричні рівняння онлайн, трансцендентні рівняння онлайн, а також рівняння з невідомими параметрами в режимі онлайн. рівняння служать потужним математичним апаратом рішення практичних завдань. C допомогою математичних рівнянь можна висловити факти і співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними і складними. невідомі величини рівнянь можна знайти, сформулювавши завдання на математичному мовою у вигляді рівнянь і вирішити отриману задачу в режимі онлайн на сайті www.сайт. Будь-яке рівняння алгебри, тригонометрическое рівняння або рівняння містять трансцендентні функції Ви легко вирішите онлайн і отримаєте точну відповідь. Вивчаючи природні науки, неминуче стикаєшся з необхідністю рішення рівнянь. При цьому відповідь повинен бути точним і отримати його необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для рішення математичних рівнянь онлайн ми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором для рішення алгебраїчних рівнянь онлайн, тригонометричних рівнянь онлайн, а також трансцендентних рівнянь онлайн або рівнянь з невідомими параметрами. Для практичних завдань по знаходженню коренів різних математичних рівнянь ресурсу www .. Вирішуючи рівняння онлайн самостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішення рівнянь на сайті www.сайт. Необхідно правильно записати рівняння і моментально отримаєте онлайн рішення, Після чого залишиться тільки порівняти відповідь з Вашим рішенням рівняння. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, досить вирішити рівняння онлайн і порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок в рішенні і вчасно скорегувати відповідь при рішенні рівнянь онлайн будь то алгебраїчне, тригонометрическое, трансцендентне або рівняння з невідомими параметрами.
Рівнянням називається рівність, в якому є невідомий член - x. Його значення і треба знайти.
Невідома величина називається коренем рівняння. Вирішити рівняння означає знайти його корінь, а для цього потрібно знати властивості рівнянь. Рівняння за 5 клас нескладні, але якщо ви навчитеся їх правильно вирішувати, у вас не буде проблем з ними і надалі.
Головне властивість рівнянь
При зміні обох частин рівняння на однакову величину воно продовжує залишатися тим же рівнянням з тим же коренем. Давайте вирішимо кілька прикладів, щоб краще зрозуміти це правило.
Як вирішувати рівняння: додаток або віднімання
Припустимо, у нас є рівняння виду:
- a + x \u003d b - тут a і b - числа, а x - невідомий член рівняння.
Якщо ми до обох частин рівняння додамо (або віднімемо з них) величину с, воно не зміниться:
- a + x + с \u003d b + з
- a + x - з \u003d b - с.
приклад 1
Скористаємося цим властивістю для вирішення рівняння:
- 37 + х \u003d 51
Віднімемо з обох частин число 37:
- 37 + х-37 \u003d 51-37
отримуємо:
- х \u003d 51-37.
Корінь рівняння х \u003d 14.
Якщо ми уважно подивимося на останнє рівняння, то побачимо, що воно таке ж, як перше. Ми просто перенесли доданок 37 з однієї частини рівняння в іншу, замінивши плюс на мінус.
Виходить, що будь-яке число можна переносити з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком.
приклад 2
- 37 + х \u003d 37 + 22
Проведемо ту саму дію, перенесемо число 37 з лівої частини рівняння в праву:
- х \u003d 37-37 + 22
Оскільки 37-37 \u003d 0, то це ми просто скорочуємо і отримуємо:
- х \u003d 22.
Однакові члени рівняння з одним знаком, що знаходяться в різних частинах рівняння, можна скорочувати (викреслювати).
Множення і ділення рівнянь
Обидві частини рівності можна також множити або ділити на одне і те ж число:
Якщо рівність а \u003d b поділити або помножити на с, воно не зміниться:
- а / с \u003d b / с,
- ас \u003d bс.
приклад 3
- 5х \u003d 20
Поділимо обидві частини рівняння на 5:
- 5х / 5 \u003d 20/5.
Оскільки 5/5 \u003d 1, то ці множник і дільник в лівій частині рівняння скорочуємо і отримуємо:
- х \u003d 20/5, х \u003d 4
приклад 4
- 5х \u003d 5а
Якщо обидві частини рівняння поділити на 5, отримаємо:
- 5х / 5 \u003d 5а / 5.
5 в чисельнику і знаменнику лівої та правої частини скорочуються, виходить х \u003d а. Значить, однакові множники в лівій і правій частині рівнянь скорочуються.
Вирішимо ще один приклад:
- 13 + 2х \u003d 21
Переносимо доданок 13 з лівої частини рівняння в праву з протилежним знаком:
- 2х \u003d 21 - 13
- 2х \u003d 8.
Ділимо обидві частини рівняння на 2, отримуємо:
- х \u003d 4.
Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок і приведення подібних членів приймає вид
aх + b \u003d 0, Де a і b довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Вчора розберемося, як ці лінійні рівняння вирішувати.
Наприклад, всі рівняння:
2х + 3 \u003d 7 - 0,5 х; 0,3х \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (х - 2) - лінійні.
Значення невідомого, що звертає рівняння в правильну рівність називається рішенням або коренем рівняння .
Наприклад, якщо в рівнянні 3х + 7 \u003d 13 замість невідомого х підставити число 2, то отримаємо вірне рівність 3 · 2 +7 \u003d 13. Значить, значення х \u003d 2 є рішення або корінь рівняння.
А значення х \u003d 3 не звертає рівняння 3х + 7 \u003d 13 в правильне рівність, так як 3 · 2 +7 ≠ 13. Значить, значення х \u003d 3 не є рішенням або коренем рівняння.
рішення будь-яких лінійних рівнянь зводиться до вирішення рівнянь виду
aх + b \u003d 0.
Перенесемо вільний член з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед b на протилежний, отримаємо
Якщо a ≠ 0, то х \u003d - b / a .
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3х + 2 \u003d 11.
Перенесемо 2 з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед 2 на протилежний, отримаємо
3х \u003d 11 - 2.
Виконаємо віднімання, тоді
3х \u003d 9.
Щоб знайти х треба розділити твір на відомий множник, тобто
х \u003d 9: 3.
Значить, значення х \u003d 3 є рішенням або коренем рівняння.
Відповідь: х \u003d 3.
Якщо а \u003d 0 і b \u003d 0, То отримаємо рівняння 0х \u003d 0. Це рівняння має нескінченно багато рішень, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b теж дорівнює 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке число.
Приклад 2.Розв'яжіть рівняння 5 (х - 3) + 2 \u003d 3 (х - 4) + 2х - 1.
Розкриємо дужки:
5х - 15 + 2 \u003d 3х - 12 + 2х - 1.
5х - 3х - 2х \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Наведемо подібні члени:
0х \u003d 0.
Відповідь: х - будь-яке число.
Якщо а \u003d 0 і b ≠ 0, То отримаємо рівняння 0х \u003d - b. Це рівняння рішень не має, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b ≠ 0.
Приклад 3.Розв'яжіть рівняння х + 8 \u003d х + 5.
Згрупуємо в лівій частині члени, що містять невідомі, а в правій - вільні члени:
х - х \u003d 5 - 8.
Наведемо подібні члени:
0х \u003d - 3.
Відповідь: немає рішень.
на малюнку 1 зображена схема рішення лінійного рівняння
Складемо загальну схему рішення рівнянь з однією змінною. Розглянемо рішення прикладу 4.
Приклад 4. Нехай треба розв'язати рівняння
1) Помножимо всі члени рівняння на найменше спільне кратне знаменників, рівне 12.
2) Після скорочення отримаємо
4 (х - 4) + 3 · 2 (х + 1) - 12 \u003d 6 · 5 (х - 3) + 24х - 2 (11х + 43)
3) Щоб відокремити члени, що містять невідомі і вільні члени, розкриємо дужки:
4х - 16 + 6х + 6 - 12 \u003d 30х - 90 + 24х - 22х - 86.
4) Згрупуємо в одній частині члени, що містять невідомі, а в іншій - вільні члени:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Наведемо подібні члени:
- 22х \u003d - 154.
6) Розділимо на - 22, Отримаємо
х \u003d 7.
Як бачимо, корінь рівняння дорівнює семи.
взагалі такі рівняння можна вирішувати за наступною схемою:
а) привести рівняння до цілого виду;
б) розкрити дужки;
в) згрупувати члени, що містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени - в інший;
г) привести подібні члени;
д) вирішити рівняння виду ах \u003d b, яке отримали після приведення подібних членів.
Однак ця схема не обов'язкова для будь-якого рівняння. При вирішенні багатьох простіших рівнянь доводиться починати не з першого, а з другого ( Приклад. 2), Третього ( Приклад. 1, 3) І навіть з п'ятого етапу, як в прикладі 5.
Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2х \u003d 1/4.
Знаходимо невідоме х \u003d 1/4: 2,
х \u003d 1/8 .
Розглянемо рішення деяких лінійних рівнянь, що зустрічаються на основному державному іспиті.
Приклад 6.Розв'яжіть рівняння 2 (х + 3) \u003d 5 - 6х.
2х + 6 \u003d 5 - 6х
2х + 6х \u003d 5 - 6
Відповідь: - 0, 125
Приклад 7.Розв'яжіть рівняння - 6 (5 - 3х) \u003d 8х - 7.
- 30 + 18х \u003d 8х - 7
18х - 8х \u003d - 7 +30
Відповідь: 2,3
Приклад 8. Розв'яжіть рівняння
3 (3х - 4) \u003d 4 · 7х + 24
9х - 12 \u003d 28х + 24
9х - 28х \u003d 24 + 12
Приклад 9.Знайдіть f (6), якщо f (x + 2) \u003d 3 7-х
Рішення
Так як треба знайти f (6), а нам відомо f (x + 2),
то х + 2 \u003d 6.
Вирішуємо лінійне рівняння х + 2 \u003d 6,
отримуємо х \u003d 6 - 2, х \u003d 4.
Якщо х \u003d 4, тоді
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27
Відповідь: 27.
Якщо у Вас залишилися питання, є бажання розібратися з рішенням рівнянь більш грунтовно, записуйтеся на мої уроки в розклад. Буду рада Вам допомогти!
Також TutorOnline радить подивитися новий відеоурок від нашого репетитора Ольги Олександрівни, який допоможе розібратися як з лінійними рівняннями, так і з іншими.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Помноживши систему нормальних рівнянь NttXt1 + Bt1 \u003d 0 на зворотну матрицю N-1
отримують:
(34)
(35)
Рішення нормальних рівнянь способом звернення.
За визначенням оберненої матриці, N-1N \u003d E. Це рівність використовується для обгрунтування способу визначення елементів оберненої матриці. Нехай t \u003d 2.
Звідси випливає:
- 1-я система вагових нормальних рівнянь.
- 2-я система вагових нормальних рівнянь.
У загальному випадку в результаті подібних дій вийде t систем вагових нормальних рівнянь по t рівнянь в кожній системі. Ці системи мають таку ж матрицю коефіцієнтів, як і основна, з невідомими δхj і відрізняються від неї тільки стовпцями вільних членів. В j-му рівнянні j-ой системи вільний член дорівнює -1, інші дорівнюють нулю. Системи вагових нормальних рівнянь вирішують паралельно з основною системою, в загальній схемі, з використанням додаткових стовпців для вільних членів цих систем (табл. 9). Для контролю обчислені значення елементів оберненої матриці Qij підставляють в сумарні рівняння, складені для вагових систем. Наприклад, для t \u003d 2 ці рівняння будуть мати вигляд:
(+ [Раb]) Q11 + (+) Q12 - 1 \u003d 0;
(+) Q21 + (+) Q22 - 1 \u003d 0.
Для попереднього контролю служать рівності Qij \u003d Qji (i ≠ j).
Елементи оберненої матриці Qij називають ваговими коефіцієнтами.
Таблиця 9
Визначення елементів оберненої матриці в схемі Гаусса
3.6. Оцінка точності за матеріалами зрівнювання
Середню квадратичну помилку функції параметрів визначають за формулою:
де
(36)
Середня квадратична помилка одиниці ваги;
(37)
Зворотна вага функції параметрів або в матричному вигляді:
(38)
Зворотна вага параметра, що дорівнює діагонального елементу оберненої матриці.
3.7. Блок-схема параметричного способу зрівнювання
1. Аналізують сукупність вимірювань yi, визначають t - число необхідних вимірів. Встановлюють систему ваг вимірів pi (i \u003d 1, 2, ..., n).
2. Вибирають незалежні параметри х1, х2, ..., ХT, число яких дорівнює t.
3. Складають параметричні рівняння зв'язку. Зрівнялися значення всіх вимірюваних величин висловлюють у вигляді функцій обраних параметрів.
4. Знаходять наближені значення параметрів х0j.
5. Параметричні рівняння зв'язку призводять до лінійного вигляду, обчислюють коефіцієнти і вільні члени параметричних рівнянь поправок.
6. Складають функцію параметрів для оцінки її точності. Вагову функцію лінеарізуют.
7. Складають нормальні рівняння, Обчислюють коефіцієнти і вільні члени нормальних рівнянь.
8. Вирішують нормальні рівняння, обчислюють поправки до наближених значень параметрів і контролюють їх.
9. Обчислюють поправки vi до результатів вимірювань, і виконують контроль νi і.
10. Обчислюють параметри, зрівнялися результати вимірювань і виконують контроль зрівнювання.
11. Обчислюють зворотні ваги параметрів і функцій параметрів.
12. Виконують оцінку точності результатів вимірювань, обчислюють середню квадратичну помилку одиниці ваги.
13. Обчислюють середні квадратичні помилки зрівняних величин.
Одним з найбільш важливих навичок при по прибутті в 5 клас є вміння вирішувати найпростіші рівняння. Так як 5 клас ще не так далекий від початкової школи, То і видів рівнянь, які може вирішувати учень не так вже й багато. Ми познайомимо Вас з усіма основними видами рівнянь, які необхідно вміти вирішувати, якщо Ви хочете вступити в фізико-математичну школу.
1 тип: "цибулинні"
Це рівняння, які майже зі ймовірністю зустрінуться Вам при по прибутті в будь-яку школу або гурток 5 класу як окреме завдання. Їх легко відрізнити від інших: у них змінна присутня тільки 1 раз. Наприклад, чи.
Вирішуються вони дуже просто: необхідно просто "дістатися" до невідомої, поступово "знімаючи" все зайве, що оточує її - наче почистити цибулину - звідси і така назва. Для вирішення досить пам'ятати кілька правил з другого класу. Перерахуємо їх все:
додавання
- слагаемое1 + слагаемое2 \u003d сума
- слагаемое1 \u003d сума - слагаемое2
- слагаемое2 \u003d сума - слагаемое1
віднімання
- зменшуване - від'ємник \u003d різниця
- зменшуване \u003d від'ємник + різницю
- від'ємник \u003d зменшуване - різниця
множення
- множітель1 * множітель2 \u003d твір
- множітель1 \u003d твір: множітель2
- множітель2 \u003d твір: множітель1
розподіл
- ділене: дільник \u003d приватна
- ділене \u003d дільник * приватна
- дільник \u003d ділене: приватна
Розберемо на прикладі, як застосовувати ці правила.
Зауважимо, що ми ділимо 
на і отримуємо. У цій ситуації ми знаємо дільник і приватне. Щоб знайти ділене, треба дільник помножити на приватне:
Ми стали трохи ближче до самого. Тепер ми бачимо, що до 
додається і виходить. Значить, щоб знайти одне з доданків, потрібно з суми відняти відомий доданок:
І ще один "шар" знятий з невідомої! Тепер ми бачимо ситуацію з відомим значенням твори () і одним відомим множником ().
Тепер ситуація "зменшуване - від'ємник \u003d різниця"
І останній крок - відомий твір () і один з множників () 
2 тип: рівняння з дужками
Рівняння даного типу найчастіше зустрічаються в задачах - саме до них зводиться 90% всіх завдань для надходження в 5 клас. На відміну від "Цибулинних рівнянь" змінна тут може зустрітися кілька разів, тому розв'язати цю проблему методами з попереднього пункту неможливо. Типові рівняння: або
Основні труднощі - це правильно розкрити дужки. Після того, як вдалося це вірно зробити, слід привести подібні доданки (числа до чисел, змінні до змінних), а після цього ми отримуємо найпростіше "Цибулинна рівняння", Яке вміємо вирішувати. Але про все по-порядку.
розкриття дужок. Ми наведемо кілька правил, якими слід користуватися в даному випадку. Але, як показує практика, вірно розкривати дужки учень починає тільки після 70-80 прорешать завдань. Основне правило таке: будь-який множник, що стоїть за дужками необхідно помножити на кожний доданок всередині дужок. А мінус, що стоїть перед дужкою, змінює знак всіх виразів, що стоять всередині. Отже, основні правила розкриття: 
приведення подібних. Тут все набагато легше: Вам необхідно шляхом перенесення доданків через знак рівності домогтися того, щоб з одного боку стояли тільки складові з невідомої, а з іншого - тільки числа. Основне правило таке: кожний доданок, переноситься через, змінює свій знак - якщо воно було з, то стане с, і навпаки. Після успішного перенесення необхідно порахувати підсумкове кількість невідомих, підсумкове число стоїть з іншого боку рівності, ніж змінні, і вирішити просте "Цибулинна рівняння".
