Trigonometrik tengsizliklar. Eng oddiy va murakkab trigonometrik tengsizliklar. Bir hil tenglamalar

Oddiy echim trigonometrik tenglamalar

Boshlash uchun eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish formulalarini eslaylik.

1. $ sinx \u003d a $

1. $ cosx \u003d a $

1. $ tgx \u003d a $

1. $ ctgx \u003d a $

Eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni yechish.

Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun avvalo tegishli tenglamani echishimiz kerak, so'ngra trigonometrik doiradan foydalanib, tengsizlikning echimini topamiz. Eng oddiy trigonometrik tengsizliklarning echimini misollar yordamida ko'rib chiqamiz.

1-misol

$ sinx \\ ge \\ frac (1) (2) $

$ Sinx \u003d \\ frac (1) (2) $ ni trigonometrik tengsizlikka echimini topaylik

\ \

1-rasm. $ Sinx \\ ge \\ frac (1) (2) $ tengsizlikni hal qilish.

Tengsizlik "kattaroq yoki unga teng" belgisiga ega bo'lganligi sababli, yechim aylananing yuqori yoyida (tenglamaning echimiga nisbatan) yotadi.

Javob: $ \\ chap [\\ frac (\\ pi) (6) +2 \\ pi n, \\ frac (5 \\ pi) (6) +2 \\ pi n \\ right] $.

2-misol

$ Cosx \u003d \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) $ trigonometrik tengsizlikka echimni toping

\ \

Yechimni trigonometrik doirada belgilaymiz

Tengsizlik "kamroq" belgisiga ega bo'lganligi sababli, echim chap tomonda joylashgan aylana yoyida (tenglamaning echimiga nisbatan) yotadi.

Javob: $ \\ chap (\\ frac (\\ pi) (6) +2 \\ pi n, \\ frac (11 \\ pi) (6) +2 \\ pi n \\ o'ng) $.

3-misol

$ tgx \\ le \\ frac (\\ sqrt (3)) (3) $

$ Tgx \u003d \\ frac (\\ sqrt (3)) (3) $ trigonometrik tengsizlik yechimini topaylik.

\ \

Bu erda bizga domen ham kerak. Biz eslab turganimizdek, $ x \\ ne \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n, n \\ Z $ da tangens funktsiyasi

Yechimni trigonometrik doirada belgilaymiz

Rasm 3. Tengsizlikni yechish $ tgx \\ le \\ frac (\\ sqrt (3)) (3) $.

Tengsizlik kam yoki teng belgiga ega bo'lganligi sababli, yechim 3-rasmda ko'k rang bilan belgilangan dumaloq yoylar ustida yotadi.

Javob: $ \\ \\ chap (- \\ frac (\\ pi) (2) +2 \\ pi n \\ o'ng., \\ Chap. \\ Frac (\\ pi) (6) +2 \\ pi n \\ o'ng] \\ chashka \\ chap (\\ frac (\\ pi) (2) +2 \\ pi n, \\ o'ng. \\ chap. \\ frac (7 \\ pi) (6) +2 \\ pi n \\ o'ng] $

4-misol

$ Ctgx \u003d \\ sqrt (3) $ ni trigonometrik tengsizlikka echimini toping

\ \

Bu erda bizga domen ham kerak. Biz eslaganimizdek, tangens funktsiyasi $ x \\ ne \\ pi n, n \\ in Z $ da

Yechimni trigonometrik doirada belgilaymiz

Rasm 4. Tengsizlikni yechish $ ctgx \\ le \\ sqrt (3) $.

Tengsizlik "kattaroq" belgisiga ega bo'lganligi sababli, yechim 4-rasmda ko'k rang bilan belgilangan dumaloq yoylar ustida yotadi.

Javob: $ \\ \\ chap (2 \\ pi n, \\ frac (\\ pi) (6) +2 \\ pi n \\ o'ng) \\ chashka \\ chap (\\ pi +2 \\ pi n, \\ frac (7 \\ pi) ( 6) +2 \\ pi n \\ o'ng) $

"Trigonometrik tengsizliklarni yechish" algebra loyihasi 10 "B" sinf o'quvchisi Kazachkova Yuliya tomonidan yakunlandi. Ilmiy rahbar: matematik o'qituvchi Kochakova N.N.

Maqsad "Trigonometrik tengsizliklarni hal qilish" mavzusidagi materialni birlashtirish va talabalarni bo'lajak imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun eslatma yaratish.

Maqsadlar Ushbu mavzu bo'yicha materiallarni umumlashtirish. Olingan ma'lumotlarni tartibga soling. Ushbu mavzuni imtihonda ko'rib chiqing.

Men tanlagan mavzuning dolzarbligi shundaki, "Trigonometrik tengsizliklarni hal qilish" mavzusidagi topshiriqlar imtihon topshiriqlariga kiritilgan.

Trigonometrik tengsizliklar Tengsizlik bu belgilardan biri yordamida ikkita sonni yoki iboralarni bog'laydigan munosabatlardir: (kattaroq); ≥ (katta yoki teng). Trigonometrik tengsizlik bu trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tengsizlikdir.

Trigonometrik tengsizliklar Trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tengsizliklarni yechish, qoida tariqasida, eng sodda tengsizliklarni hal qilish uchun kamayadi: sin x\u003e a, sin x a, cos x a, tg x a, ctg x

Trigonometrik tengsizliklarni yechish algoritmi Berilgan trigonometrik funktsiyaga mos keladigan o'qda ushbu funktsiyaning berilgan son qiymatini belgilang. Belgilangan nuqta orqali birlik doirasini kesishgan holda to'g'ri chiziq torting. Qattiq yoki qat'iy bo'lmagan tengsizlik belgisini hisobga olgan holda chiziq va aylananing kesishish nuqtalarini tanlang. Tengsizlikka echimlar joylashgan aylananing yoyini tanlang. Dumaloq yoyning boshlanish va tugash nuqtalarida burchaklarning qiymatlarini aniqlang. Berilgan trigonometrik funktsiyaning davriyligini hisobga olgan holda tengsizlikka echimni yozing.

Sinx\u003e a trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun formulalar; x (arcsin a + 2πn; π- arsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arktan a + πn; + πn). tgx a; x (πn; arktan + πn). ctgx

Sinx\u003e a asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik echimi

Sinx asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi

Cosx\u003e a asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik echimi

Cosx asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik echimi

Tgx\u003e a asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik echimi

Tgx asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik echimi

Ctgx\u003e a asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik echimi

Ctgx asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik echimi

Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari Trigonometrik tengsizliklarni sonlar doirasi yordamida yechish; Funktsiya grafigi yordamida trigonometrik tengsizliklarni yeching. :

Raqamlar aylanasi yordamida trigonometrik tengsizliklarni echish 1-misol. :: Javob:

Raqamlar aylanasi yordamida trigonometrik tengsizliklarni echish 1-misol: Javob:

Funktsiya grafigi yordamida trigonometrik tengsizliklarni echish. Masalan: Javob:

Ishning natijasi sifatida "Trigonometrik tengsizliklarni hal qilish" mavzusida bilimlarimni mustahkamladim. Ushbu mavzu bo'yicha olingan ma'lumotni idrok qilish qulayligi uchun tizimlashtirildi: trigonometrik tengsizliklarni echish uchun algoritm olingan; hal qilishning ikki yo'li ko'rsatilgan; echimlarning namunalarini ko'rsatdi. :

Ishning natijasi Bundan tashqari, tayyor mahsulot sifatida mening loyiham "algebradan imtihonga tayyorgarlik ko'rayotgan talabalar uchun eslatma" bilan to'ldiriladi. Microsoft Office Word hujjati (2). docx:

Foydalanilgan adabiyotlar Algebra darsligi 10-sinf uchun "Algebra va tahlilning boshlanishi" A. N. Kolmogorov tomonidan tahrirlangan http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http: // www.calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

Tengsizliklar a b b shaklidagi munosabatlardir, bu erda a va b - kamida bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifodalar. Tengsizliklar qat'iy bo'lishi mumkin - ‹,› va qat'iy bo'lmaganlar - ≥, ≤.

Trigonometrik tengsizliklar bu shaklning ifodalari: F (x) ›a, F (x)‹ a, F (x) ≤ a, F (x) ≥ a, bunda F (x) bitta yoki bir nechta trigonometrik funktsiyalar bilan ifodalanadi.

Eng oddiy trigonometrik tengsizlikka misol: sin x ‹1/2. Bunday muammolarni grafik ravishda echishga qaror qilindi, buning uchun ikkita usul ishlab chiqilgan.

1-usul - funktsiyani chizish orqali tengsizliklarni hal qiling

Sin x ‹1/2 tengsizlik shartlariga javob beradigan oraliqni topish uchun siz quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:

1. Koordinata o'qiga sinusoid y \u003d sin x tuzing.
2. Xuddi shu o'qda tengsizlikning raqamli argumentining grafigini, ya'ni OY ordenining ½ nuqtasidan o'tadigan chiziqni chizamiz.
3. Ikkala grafikning kesishish nuqtalarini belgilang.
4. Masalaning echimi bo'lgan segmentni soya qiling.

Agar ifodada kuchli belgilar mavjud bo'lsa, kesishish nuqtalari hal qilinmaydi. Sinusoidning eng kichik musbat davri 2π bo'lganligi sababli javobni quyidagicha yozamiz:

Agar ifoda alomatlari qat'iy bo'lmasa, unda eritmalar oralig'i kvadrat qavs ichida -. Muammoning javobi boshqa tengsizlik sifatida ham yozilishi mumkin:

2-usul - birlik aylanasi yordamida trigonometrik tengsizliklarni yeching

Shunga o'xshash muammolarni trigonometrik aylana yordamida osongina echish mumkin. Javoblarni topish algoritmi juda oddiy:

1. Birinchidan, birlik doirasini chizish.
2. Keyin aylana yoyidagi tengsizlikning o'ng tomonidagi argumentning kamon funktsiyasining qiymatini ta'kidlash kerak.
3. Abtsissa o'qiga (OX) parallel ravishda kamon funktsiyasi qiymatidan o'tadigan to'g'ri chiziq chizish kerak.
4. Shundan so'ng, faqat trigonometrik tengsizlikka echimlar to'plami bo'lgan aylananing yoyini tanlash qoladi.
5. Javobni kerakli shaklda yozing.

Sin x tenglik misoli yordamida yechish bosqichlarini tahlil qilaylik sin x\u003e 1/2. A va ints nuqtalari aylana - qiymatlar bilan belgilanadi

A va above dan yuqori joylashgan yoy nuqtalari berilgan tengsizlikni hal qilish uchun vaqtdir.

Agar siz cos uchun misolni hal qilishingiz kerak bo'lsa, unda javoblar yoyi OY emas, balki OX o'qiga nosimmetrik joylashadi. Sin va cos uchun echimlar oralig'i orasidagi farqni ko'rib chiqish uchun quyidagi diagrammalarni matnda ishlatishingiz mumkin.

Tangens va kotangens tengsizliklari uchun grafik echimlar sinus va kosinusdan farq qiladi. Bu funktsiyalarning xususiyatlariga bog'liq.

Ark tangensi va yoy kotangensi trigonometrik doiraga bog'laydigan chiziqlar bo'lib, ikkala funktsiya uchun minimal musbat davr π dir. Ikkinchi usulni tez va to'g'ri ishlatish uchun siz sin, cos, tg va ctg qiymatlari qaysi o'qga chizilganligini eslab qolishingiz kerak.

Tanglangan tangens OY o'qiga parallel ishlaydi. Agar siz arktan a qiymatini birlik doirasiga qo'ysangiz, unda ikkinchi zarur nuqta diagonal chorakda joylashgan bo'ladi. Burchaklar

Grafik moyil bo'lgan, ammo hech qachon etib bormaganligi sababli funktsiyaning uzilish nuqtalari.

Kotangent holatida, tangens OX o'qiga parallel ishlaydi va funktsiya π va 2π nuqtalarida uziladi.

Murakkab trigonometrik tengsizliklar

Agar tengsizlik funktsiyasining argumenti nafaqat o'zgaruvchi bilan, balki noma'lumni o'z ichiga olgan butun ibora bilan ifodalangan bo'lsa, unda biz allaqachon murakkab tengsizlik haqida gapiramiz. Uni hal qilish jarayoni va tartibi yuqorida tavsiflangan usullardan biroz farq qiladi. Aytaylik, quyidagi tengsizlikka yechim topish kerak:

Grafik yechim x ning ixtiyoriy tanlangan qiymatlari uchun y \u003d sin x oddiy sinusoidning qurilishini ta'minlaydi. Grafikaning langar nuqtalari uchun koordinatalari bo'lgan jadvalni hisoblaylik:

Natijada yoqimli egri bo'lishi kerak.

Yechimni topish oson bo'lishi uchun murakkab funktsiya argumentini almashtiring

Ikkala grafikning kesishishi, tengsizlik sharti qanoatlantirilgan kerakli qiymatlar maydonini aniqlashga imkon beradi.

Topilgan segment t o'zgaruvchisi uchun echimdir:

Biroq, vazifaning maqsadi noma'lum x ning barcha mumkin bo'lgan variantlarini topishdir:

Ikkala tengsizlikni hal qilish juda oddiy, siz tenglamaning ekstremal qismlariga π / 3 ga o'tishingiz va kerakli hisoblarni bajarishingiz kerak:

Vazifaga javob bering qat'iy tengsizlik oralig'i kabi bo'lar edi:

Bu kabi vazifalar talabalarga trigonometrik funktsiyalarni bajarishda tajriba va chaqqonlikni talab qiladi. Tayyorgarlik jarayonida o'quv vazifalari qanchalik ko'p hal qilinsa, talaba USE test savoliga oson va tez javob topadi.

TRIGONOMETRIK NAZORATLARINI OChISh USULLARI

Muhimligi. Tarixan trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar maktab kursida alohida o'rin tutgan. Aytishimiz mumkinki, trigonometriya maktab kursining va umuman barcha matematik fanning muhim qismlaridan biridir.

Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar o'rta maktab matematikasi jarayonida o'quv materialining mazmunida ham, uni o'rganish jarayonida shakllantirilishi mumkin bo'lgan va zarur bo'lgan nazariy va amaliy tabiatning ko'plab muammolarini hal qilish uchun qo'llaniladigan o'quv va kognitiv faoliyat uslublarida markaziy o'rinlardan birini egallaydi. ...

Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarning echimi trigonometriya bo'yicha barcha o'quv materiallari bilan bog'liq talabalarning bilimlarini tizimlashtirish uchun zarur shart-sharoitlarni yaratadi (masalan, trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlari, trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish usullari va boshqalar) va o'rganilayotgan material bilan algebra (tenglamalar, tenglamalarning tengligi, tengsizliklar, bir xil o'zgarishlar algebraik iboralar va boshqalar).

Boshqacha qilib aytganda, trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni echish usullarini ko'rib chiqish ushbu ko'nikmalarni yangi tarkibga o'tkazish turini nazarda tutadi.

Nazariyaning ahamiyati va uning ko'plab qo'llanmalari tanlangan mavzuning dolzarbligini tasdiqlaydi. Bu o'z navbatida kurs ishining maqsadlari, vazifalari va tadqiqot mavzularini aniqlashga imkon beradi.

Tadqiqot maqsadi: trigonometrik tengsizliklarning mavjud turlarini, ularni hal qilishning asosiy va maxsus usullarini umumlashtirish, maktab o'quvchilari tomonidan trigonometrik tengsizliklarni echish uchun muammolar majmuasini tanlash.

Tadqiqot maqsadi:

1. Tadqiqot mavzusi bo'yicha mavjud adabiyotlar tahlili asosida materialni tizimlashtirish.

2. "Trigonometrik tengsizliklar" mavzusini mustahkamlash uchun zarur bo'lgan vazifalar to'plamini bering.

Tadqiqot ob'ekti Maktab matematikasi kursidagi trigonometrik tengsizliklar.

O'rganish mavzusi: trigonometrik tengsizliklarning turlari va ularni hal qilish usullari.

Nazariy ahamiyati bu materialni tartibga solishdir.

Amaliy ahamiyati: nazariy bilimlarni muammolarni echishda qo'llash; trigonometrik tengsizliklarni hal qilishda tez-tez uchraydigan asosiy usullarni tahlil qilish.

Tadqiqot usullari : ilmiy adabiyotlarni tahlil qilish, olingan bilimlarni sintez qilish va umumlashtirish, muammolarni tahlil qilish, tengsizliklarni hal qilishning maqbul usullarini izlash.

§1. Trigonometrik tengsizliklarning turlari va ularni hal qilishning asosiy usullari

1.1. Eng oddiy trigonometrik tengsizliklar

Ikki trigonometrik iboralarbelgi bilan bog'langan yoki\u003e trigonometrik tengsizlik deyiladi.

Trigonometrik tengsizlikni hal etish tengsizlikka qo'shilgan noma'lumlarning qiymatlar to'plamini topishni anglatadi, bu tengsizlik qanoatlantiriladi.

Trigonometrik tengsizliklarning asosiy qismi ularni eng sodda echimlarga qaytarish yo'li bilan hal qilinadi:

Bu o'zgaruvchini almashtirish faktoring usuli bo'lishi mumkin (
,
va hokazo), unda avval odatdagi tengsizlik hal qilinadi, so'ngra shaklning tengsizligi
va boshqalar.

Eng oddiy tengsizlikni ikki yo'l bilan hal qilish mumkin: birlik doirasi yoki grafik yordamida.

Bo'lsinf (x)  - asosiy trigonometrik funktsiyalardan biri. Tengsizlikni hal qilish uchun
uning echimini bir davrda topish kifoya qiladi, ya'ni. uzunligi funktsiya davriga teng bo'lgan har qanday segmentdaf  x  ... Keyin asl tengsizlikning yechimi hamma topiladix , shuningdek funktsional davrlarning har qanday butun sonida topilganidan farq qiladigan qiymatlar. Bunday holda, grafik usuldan foydalanish qulay.

Tengsizliklarni echish uchun algoritmga misol keltiramiz
(
) va
.

Tengsizlikni hal qilish algoritmi
(
).

1. Sonning sinusini aniqlangx jihoz aylanasida.

3. Ordinat o'qida nuqtani koordinata bilan belgilanga .

4. Ushbu nuqta orqali OX o'qiga parallel ravishda to'g'ri chiziq chizing va uning kesishish nuqtalarini aylana bilan belgilang.

5. Aylananing yoyini tanlang, ularning barcha nuqtalari orordinatadan kama .

6. Aylanib o'tish yo'nalishini (soat yo'nalishiga teskari) ko'rsating va intervalli oxiriga funktsiya davri qo'shilib, javob yozing.2πn ,
.

Tengsizlikni hal qilish algoritmi
.

1. Sonning tangensi ta'rifini yozingx jihoz aylanasida.

2. Birlik doirasini chizish.

3. Tangenslar chizig'ini chizib, ustiga bir nuqta belgilanga .

4. Ushbu nuqtani kelib chiqishi bilan bog'lang va natijada olingan chiziq segmentining birlik aylanasi bilan kesishish nuqtasini belgilang.

5. Aylananing yoyini tanlang, uning barcha nuqtalari pastroq bo'lgan tangens chizig'ida ordinatasi bora .

6. Orqaga o'tish yo'nalishini belgilang va davrni qo'shib, funktsiyaning hajmini hisobga olgan holda javob yozingπn ,
(yozuvdagi chapdagi raqam har doim o'ngdagi raqamdan kam).

Eng sodda tenglamalar va echimlarning grafikali talqini Ilovada keltirilgan (1 va 2-ilovalar).

1-misol. Tengsizlikni hal qiling
.

Birlik doirasiga to'g'ri chiziq torting
aylanani A va B nuqtalarda kesishadi.

Barcha qadriyatlary ko'proq NM oralig'ida , AMB yoyining barcha nuqtalari ushbu tengsizlikni qondiradi. Aylanishning barcha burchaklarida katta lekin kichikroq ,
dan katta qiymatlarni oladi (lekin bittadan ko'p emas).

1-rasm

Shunday qilib, tengsizlikning yechimi intervaldagi barcha qiymatlar bo'ladi
, ya’ni
... Ushbu tengsizlikning barcha echimlarini olish uchun ushbu oraliqning oxiriga qo'shish kifoya
qayerda
, ya’ni
,
. E'tibor bering, qadriyatlar
va
tenglamaning ildizlari
,

o'sha.
;
.

Javob:
,
.

1.2. Grafik usul

Amalda, trigonometrik tengsizliklarni hal qilishning grafik usuli ko'pincha foydalidir. Keling, tengsizlik misolidan foydalanib, usulning mohiyatini ko'rib chiqaylik
:

1. Agar argument murakkab bo'lsa (boshqasidan tashqari)x ), keyin uni almashtiramizt .

2. Biz bitta koordinata tekisligida quramiztOy funktsiya grafigi
va
.

3. Biz bundaylarni topamizgrafiklarning kesishgan ikkita qo'shni nuqtasiorasidasinusoid joylashganyuqori To'g'riga
... Ushbu nuqtalarning abssissalarini toping.

4. Dalil uchun juft tengsizlikni yozingt kosinus davrini hisobga olgan holda (t topilgan abcissalar orasida bo'ladi).

5. Orqaga almashtirishni amalga oshiring (asl dalilga qayting) va qiymatni bildiringx juft tengsizlikdan javobni sonli interval shaklida yozamiz.

2-misol. Tengsizlikni hal qiling:.

Tengsizliklarni grafik usul yordamida echishda funktsiyalar grafigini iloji boricha aniqroq chizish kerak. Biz tengsizlikni shaklga o'zgartiramiz:

Bitta koordinata tizimida funktsiyalar grafigini tuzamiz
va
(2-rasm).

2-rasm

Funktsiya grafigi bir nuqtada kesishadiVA koordinatalari bilan
;
... Orasida
grafik nuqtalari
grafik nuqtalari ostida
... Va qachon
funktsiya qiymatlari bir xil. shuning uchun
da
.

Javob:
.

1.3. Algebraik usul

Ko'pincha asl trigonometrik tengsizlikni tanlangan almashtirish yordamida algebraik (ratsional yoki irratsional) tengsizlikka kamaytirish mumkin. Ushbu usul tengsizlikni o'zgartirishni, almashtirishni yoki o'zgaruvchini o'zgartirishni o'z ichiga oladi.

Keling, ushbu usulni qo'llashning aniq misollarini ko'rib chiqaylik.

3-misol. Eng oddiy shaklga qisqartirish
.

(3-rasm)

3-rasm

,
.

Javob:
,

4-misol. Tengsizlikni hal qiling:

ODZ:
,
.

Formuladan foydalanish:
,

tengsizlikni quyidagi shaklda yozamiz:
.

Yoki faraz qiling
oddiy o'zgarishlardan keyin biz olamiz

,

,

.

Oxirgi tengsizlikni intervallar yordamida hal qilib, biz quyidagilarga erishamiz:

4-rasm

navbati bilan
... Keyin sek. 4 quyidagi
qayerda
.

5-rasm

Javob:
,
.

1.4. Aralashtirish usuli

Interval usuli yordamida trigonometrik tengsizliklarni yechishning umumiy sxemasi:

Yordamida trigonometrik formulalar omil omil.

Funktsiyaning sinish nuqtalari va nollarini toping, ularni aylanaga qo'ying.

Har qanday nuqtaga e'tibor beringTO (lekin ilgari topilmagan) va ishning belgisini toping. Agar mahsulot ijobiy bo'lsa, unda burchakka mos keladigan nur ustiga birlik doirasining orqasida nuqta qo'ying. Aks holda, nuqtani doira ichiga qo'ying.

Agar nuqta bir necha marta takrorlansa, biz uni ko'payish nuqtasi deb ataymiz, agar toq sonni, toq sonni ko'payish nuqtasini aytsak. Arklarni quyidagicha chizing: nuqtadan boshlangTO , agar toq ko'paytmaning keyingi nuqtasi bo'lsa, u holda bu kamon aylana bilan kesishadi, agar hatto ko'payish nuqtasi bo'lsa, u kesishmaydi.

Aylana tashqarisidagi Arklar musbat kenglikdir; doira ichida salbiy bo'shliqlar mavjud.

5-misol. Tengsizlikni hal qiling

,
.

Birinchi seriyaning ochkolari:
.

Ikkinchi seriyaning ochkolari:
.

Har bir nuqta toq marta, ya'ni toq ko'payishning barcha nuqtalari uchraydi.

Keling, mahsulotning belgisini bilib olaylik
:. Birlik doirasidagi barcha nuqtalarni belgilaymiz (6-rasm):

Anjir. 6

Javob:
,
;
,
;
,
.

6-misol ... Tengsizlikni hal qiling.

Qaror:

Ifodaning nollarini toping .

Qabul qilingaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Birlik doirasida, qator qiymatlarix 1 nuqta bilan ifodalangan
... Seriyalarx 2 ball beradi
... Serialdanx 3 biz ikkita ochko olamiz
... Va nihoyat, bir qatorx 4 ochkolarni ifodalaydi
... Biz ushbu fikrlarning barchasini birlik aylanasida chizamiz, ularning har birining yonidagi qavslarda uning ko'payishini ko'rsatamiz.

Endi raqamga ruxsat bering teng bo'ladi. Belgi bilan taxmin qilamiz:

Shunday qilib, nuqtaA burchakni tashkil etuvchi nurni tanlash kerak nur bilanOh jihoz doirasidan tashqarida. (E'tibor bering, yordamchi nurHAQIDA A rasmda tasvirlashning umuman keragi yo'q. NuqtaA taxminan tanlanadi.)

Endi nuqtadanA biz belgilangan barcha nuqtalarga ketma-ket to'lqinli doimiy chiziqni tortamiz. Bundan tashqari, nuqtalarda
bizning chiziqimiz bir sohadan boshqasiga o'tadi: agar u birlik doirasidan tashqarida bo'lsa, u holda uning ichida bo'ladi. Nuqtaga kelish , chiziq ichki mintaqaga qaytadi, chunki bu nuqtaning ko'paytmasi tengdir. Xuddi shunday nuqtada (hatto ko'paytmali bo'lsa ham) chiziq tashqi mintaqaga burilishi kerak. Shunday qilib, rasmda ko'rsatilgan ma'lum bir rasmni tortdik. 7. Bu birlik doirasida kerakli maydonlarni tanlashga yordam beradi. Ular "+" belgisi bilan belgilanadi.

7-rasm

Yakuniy javob:

Eslatma. Agar to'lqinli chiziq birlik doirasidagi barcha nuqtalarni aylanib o'tib, nuqtaga qaytarilmasaA , "noqonuniy" joyda aylanani kesib o'tmaslik, bu yechimda xato bo'lganligini anglatadi, ya'ni toq sonli ildizlar etishmayotgan edi.

Javob bering: .

§2. Trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun muammolar majmuasi

Talabalarni trigonometrik tengsizliklarni hal qilish ko'nikmalarini shakllantirish jarayonida 3 bosqichni ham ajratish mumkin.

1.reparativ,

2. eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni hal qilish ko'nikmalarini shakllantirish;

3. boshqa turdagi trigonometrik tengsizliklarni kiritish.

Tayyorgarlik bosqichining maqsadi talabalarning tengsizliklarni hal qilish uchun trigonometrik aylana yoki grafikadan foydalanish qobiliyatini shakllantirishdir, xususan:

Shaklning eng sodda tengsizliklarini hal qilish qobiliyati
,
,
,
, sinus va kosinus funktsiyalarining xususiyatlaridan foydalanish;

Raqamlar aylana yoylari yoki funktsiyalar grafigi yoylari uchun ikki xil tengsizliklarni tuzish qobiliyati;

Trigonometrik ifodalarning turli xil o'zgarishlarini amalga oshirish qobiliyati.

Ushbu bosqichni o'quvchilarni trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlari to'g'risida bilimlarini tizimlashtirish jarayonida amalga oshirish tavsiya etiladi. Asosiy vosita talabalarga taqdim etiladigan va o'qituvchining rahbarligi ostida yoki mustaqil ravishda bajariladigan vazifalar, shuningdek trigonometrik tenglamalarni yechishda to'plangan ko'nikmalar bo'lishi mumkin.

Mana, bunday vazifalarga misollar:

1 ... Birlik doirasidagi nuqtani belgilang , agar a

.

2. Koordinata tekisligining qaysi choragida nuqta , agar a teng ravishda:

3. Trigonometrik doirada nuqtalarni belgilang , agar:

4. Ifodani trigonometrik funktsiyalarga kamaytirishMen chorak.

va)
, b)
, ichida)

5. Ark berilgan.M - o'rtadaMen-chorak,R - o'rtadaIIchorak. O'zgaruvchi qiymatni cheklasht uchun: (er-xotin tengsizlikni hosil qiling) a) boshq MP; b) RM yoylari.

6. Grafikning tanlangan bo'limlari uchun ikki tengsizlikni yozing:

Anjir. 1

7. Tengsizliklarni yeching
,
,
,
.

8. Ifodani o'zgartiring .

Trigonometrik tengsizliklarni hal qilishni o'rganishning ikkinchi bosqichida talabalar faoliyatini tashkil etish metodologiyasiga tegishli quyidagi tavsiyalar berilishi mumkin. Bunday holda, siz o'quvchilar allaqachon eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish jarayonida hosil bo'lgan trigonometrik aylana yoki grafik bilan ishlash qobiliyatlariga e'tibor qaratishingiz kerak.

Birinchidan, masalan, shakl tengsizligiga murojaat qilib, eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni echishning umumiy texnikasini olish maqsadga muvofiqligini asoslash mumkin.
. Tayyorgarlik bosqichida olingan bilim va ko'nikmalardan foydalangan holda talabalar taklif qilingan tengsizlikni formaga keltiradilar
, ammo, chunki olingan tengsizlikka echimlar to'plamini topish qiyin bo'lishi mumkin sinus funktsiyasining xususiyatlaridan foydalanib, uni hal qilib bo'lmaydi. Ushbu qiyinchilikni tegishli rasmga murojaat qilish orqali oldini olish mumkin (tenglamani grafik ravishda echish yoki birlik doirasini ishlatish).

Ikkinchidan, o'qituvchi o'quvchilarning e'tiborini topshiriqni bajarishning turli usullariga qaratishi, tengsizliklarni grafik shaklida ham, trigonometrik doiradan foydalanishda ham tegishli misol keltirishi kerak.

Tengsizlikni hal qilish uchun bunday variantlarni ko'rib chiqing
.

1. Tengsizlikni birlik aylanasi yordamida hal qilish.

Trigonometrik tengsizliklarni echish bo'yicha birinchi darsda biz o'quvchilarga bosqichma-bosqich taqdimotda tengsizlikni hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha asosiy ko'nikmalarni aks ettiruvchi batafsil echim algoritmini taklif qilamiz.

1-qadam. Birlik doirasini chizamiz, nuqtani ordinata o'qiga belgilaymiz va u orqali abscissa o'qiga parallel ravishda to'g'ri chiziq torting. Ushbu chiziq birlik doirasini ikki nuqtada kesadi. Ushbu fikrlarning har biri sinus raqamlarini bildiradi .

2-qadam. Ushbu chiziq aylanani ikkita yoyga ajratdi. Sinusdan kattaroq raqamlarni tasvirlaydigan birini tanlaymiz ... Tabiiyki, bu yoy chizilgan chiziq ustida joylashgan.

Anjir. 2

3-qadam.Belgilangan yoyning uchidan birini tanlaylik. Birlik doirasining ushbu nuqtasi bilan ifodalangan raqamlardan birini yozamiz .

4-qadam. Belgilangan yoyning ikkinchi uchiga mos keladigan raqamni tanlash uchun, biz ushbu kamon bo'ylab, nomlangan uchidan ikkinchisiga "yuramiz". Shu bilan birga, biz soat yo'nalishi bo'yicha teskari yo'nalishda harakat qilganda, biz o'tadigan raqamlar ko'payishini eslaymiz (qarama-qarshi yo'nalishda harakatlanganda raqamlar kamayadi). Belgilangan yoyning ikkinchi uchiga birlik aylanasida tasvirlangan raqamni yozamiz .

Shunday qilib, biz tengsizlikni ko'rmoqdamiz
tengsizlik bo'lgan raqamlarni qondiring
... Sinus funktsiyasining bir xil davrida joylashgan sonlar tengsizligini hal qildik. Shu sababli, tengsizlikning barcha echimlari formada yozilishi mumkin

Talabalardan chizmani diqqat bilan ko'rib chiqishni va nima uchun barcha tengsizlikni echimini tushunishni so'rash kerak
sifatida yozilishi mumkin
,
.

Anjir. 3

Talabalar diqqatini kosinus funktsiyasi uchun tengsizliklarni echishda ordinat o'qiga parallel ravishda to'g'ri chiziq chizishimizga qaratamiz.

Tengsizlikni hal qilishning grafik usuli.

Biz sxemalarni tuzamiz
va
inobatga olgan holda
.

Anjir. 4

Keyin tenglamani yozamiz
va uning echimi
,
,
formulalar yordamida topildi
,
,
.

(Beribn 0, 1, 2 qiymatlari, tenglamaning uchta ildizini topamiz). Qiymatlar
grafiklarning kesishish nuqtalarining ketma-ket uchta abscissasidir
va
... Shubhasiz, har doim intervalda
tengsizlik tutadi
va intervalda
- tengsizlik
... Birinchi holat bizni qiziqtiradi, so'ngra bu oraliq oxiriga sinus davrining ko'pini qo'shsak, tengsizlikka echim topamiz
sifatida:
,
.

Anjir. beshta

Xulosa qiling. Tengsizlikni hal qilish uchun
, tegishli tenglamani tuzish va uni echish kerak. Olingan formuladan ildizlarni toping va , va tengsizlikka javobni quyidagi shaklda yozing: ,
.

Uchinchidan, mos keladigan trigonometrik tengsizlikning ildizlari to'plami to'g'risidagi haqiqat uni grafik echishda aniq tasdiqlangan.

Anjir. 6

Talabalarga tengsizlikning yechimi bo'lgan pastadir trigonometrik funktsiya davriga teng bo'lgan vaqt oralig'idan keyin takrorlanishini namoyish etish kerak. Sinus funktsiyasining grafigi uchun shunga o'xshash rasmni ham ko'rib chiqishingiz mumkin.

To'rtinchidan, trigonometrik funktsiyalarning yig'indisini (farqini) mahsulotga aylantirish usullarini yangilash bo'yicha ishlarni olib borish, o'quvchilar e'tiborini trigonometrik tengsizliklarni hal qilishda ushbu usullarning roliga jalb qilish tavsiya etiladi.

Bunday ish o'quvchilar tomonidan o'qituvchi tomonidan qo'yilgan vazifalarni mustaqil ravishda bajarish orqali tashkil qilinishi mumkin, ular orasida quyidagilarni ta'kidlaymiz:

Beshinchidan, o'quvchilar har bir sodda trigonometrik tengsizlikni echishni grafik yoki trigonometrik aylana yordamida tasvirlashlari kerak. Uning maqsadga muvofiqligiga, xususan aylanadan foydalanishga e'tibor qaratish juda muhim, chunki trigonometrik tengsizliklarni echishda tegishli rasm ushbu tengsizlikka echimlar to'plamini tuzatish uchun juda qulay vosita bo'lib xizmat qiladi.

Talabalarni quyidagi sxema bo'yicha eng sodda bo'lmagan trigonometrik tengsizliklarni echish usullari bilan tanishtirish tavsiya etiladi: ma'lum bir trigonometrik tengsizlikka murojaat qilib, echim texnikasini mustaqil ravishda bir xil turdagi tengsizlikka mustaqil topshirish uchun trigonometrik tenglama qo'shma izlanishiga (o'qituvchi - talabalarga) murojaat qilish.

Talabalarning trigonometriya haqidagi bilimlarini tizimlashtirish uchun siz bunday tengsizliklarni aniq tanlashingizni tavsiya qilamiz, ularning echimi uni amalga oshirish jarayonida amalga oshirilishi mumkin bo'lgan turli xil o'zgarishlarni talab qiladi va talabalarning e'tiborini ularning xususiyatlariga qaratadi.

Bunday samarasiz tengsizliklar uchun biz, masalan, quyidagilarni taklif qilishimiz mumkin.

Xulosa qilib, biz trigonometrik tengsizliklarni hal qilish uchun bir qator muammolarga misol keltiramiz.

1. Tengsizliklarni yeching:

2. Tengsizliklarni yeching: 3. Tengsizliklarning barcha echimlarini toping: 4. Tengsizliklarning barcha echimlarini toping:

va)
shartni qondirish
;

b)
shartni qondirish
.

5. Tengsizliklarning barcha echimlarini toping:

va) ;

b) ;

ichida)
;

d)
;

e)
.

6. Tengsizliklarni yeching:

va) ;

b) ;

ichida);

d)
;

e);

e);

g)
.

7. Tengsizliklarni yeching:

va)
;

b) ;

ichida);

d).

8. Tengsizliklarni yeching:

va) ;

b) ;

ichida);

d)
;

e)
;

e);

g)
;

h).

Matematikani puxta o'rgangan o'quvchilarga 6 va 7-topshiriqlarni, 8-topshiriqni matematikani chuqur o'rgangan o'quvchilarga taklif qilish tavsiya etiladi.

§3. Trigonometrik tengsizliklarni echishning maxsus usullari

Trigonometrik tenglamalarni yechishning maxsus usullari - ya'ni faqat trigonometrik tenglamalarni echishda ishlatilishi mumkin bo'lgan usullar. Ushbu usullar trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlaridan foydalanishga, shuningdek turli xil trigonometrik formulalar va identifikatorlardan foydalanishga asoslangan.

3.1. Sektor usuli

Trigonometrik tengsizliklarni hal qilish uchun sektor usulini ko'rib chiqing. Shakl tengsizliklarini yechish

qayerdaP ( x ) vaQ ( x ) - ratsional tengsizliklar echimiga o'xshash ratsional trigonometrik funktsiyalar (sinuslar, kosinalar, tangentslar va kotangentslar ularga ratsional ravishda kiritilgan). Ratsional tengsizliklar son o'qi bo'yicha intervallar usuli bilan echish qulay. Ratsional trigonometrik tengsizliklarni yechishda uning analogi trigonometrik doiradagi sektorlar usuli hisoblanadisinx vacosx (
) yoki trigonometrik yarim doira uchuntgx vactgx (
).

Intervallar usulida har bir chiziqli omil va shaklning denominatori
raqamli o'qida nuqta bor , va ushbu nuqtadan o'tayotganda
o'zgartirish belgisi. Sektor usulida shaklning har bir omili
qayerda
- vazifalardan birisinx yokicosx va
, trigonometrik doirada ikkita burchakka to'g'ri keladi va
aylanani ikki sektorga ajratuvchi. O'tayotganda va funktsiyasi
o'zgartirish belgisi.

Quyidagilarni eslang:

a) shaklning omillari
va
qayerda
, belgini barcha qadriyatlar uchun saqlab qo'ying ... Hisoblagich va maxrajning bunday omillari tashlanadi, o'zgaradi (agar bo'lsa)
) har bir bunday tengsizlik belgisini teskari tomonga tushiring.

b) shaklning omillari
va
ham olib tashlanadi. Bundan tashqari, agar bu taniqli omillar bo'lsa, unda tengsizliklar ekvivalent tenglamalar tizimiga qo'shiladi
va
... Agar bu hisoblagichning omillari bo'lsa, unda cheklovlarning ekvivalent tizimida ular tengsizlikka to'g'ri keladi
va
qat'iy boshlang'ich tengsizlik va tenglik holatida
va
bo'shashgan boshlang'ich tengsizlik holatida. Ko'paytirgichni tashlayotganda
yoki
tengsizlik belgisi bekor qilinadi.

1-misol. Tengsizliklarni yeching: a)
, b)
. bizda funktsiya mavjud, b). Bizdagi tengsizlikni hal qiling,

3.2. Konsentrik aylana usuli

Ushbu usul ratsional tengsizliklarni echishda parallel son o'qlari usuliga o'xshashdir.

Tengsizliklar tizimining misolini ko'rib chiqing.

5-misol. Eng oddiy trigonometrik tengsizliklar tizimini yeching

Birinchidan, har bir tengsizlikni alohida hal qilaylik (5-rasm). Rasmning yuqori o'ng burchagida biz qaysi argument uchun trigonometrik doira ko'rib chiqilishini ko'rsatamiz.

5-rasm

Keyinchalik, argument uchun konsentrik doiralar tizimini quramizx ... Biz birinchi tengsizlikning yechimi bo'yicha doira chizamiz va uni soya qilamiz, keyin kattaroq radiusli doira chizamiz va ikkinchisining echimi bo'yicha soya qilamiz, so'ngra uchinchi tengsizlik uchun taglik va taglik doirasini chizamiz. Tizim markazidan nurlarni yoylarning uchlari orqali tortamiz, shunda ular barcha doiralarni kesishadi. Biz tayanch doirada eritma hosil qilamiz (6-rasm).

6-rasm

Javob:
,
.

Xulosa

Kurs ishining barcha vazifalari bajarildi. Nazariy materiallar tizimlashtirilgan: trigonometrik tengsizliklarning asosiy turlari va ularni hal qilishning asosiy usullari (grafik, algebraik, intervallar usuli, sektorlar va konsentrik doiralar usuli) berilgan. Har bir usul uchun tengsizlikni hal qilish misoli keltirildi. Nazariy qism amaliy qism bilan davom ettirildi. U trigonometrik tengsizliklarni hal qilish uchun bir qator vazifalarni o'z ichiga oladi.

Ushbu kurs ishi talabalar tomonidan mustaqil ishlash uchun ishlatilishi mumkin. Maktab o'quvchilari ushbu mavzuni o'zlashtirish darajasini nazorat qilishlari, turli murakkablikdagi vazifalarni bajarishda mashq qilishlari mumkin.

Ushbu masala bo'yicha tegishli adabiyotlar orqali ish olib borganimizda, maktab algebra kursida trigonometrik tengsizliklarni hal qilish qobiliyati va ko'nikmalari va tahlil qilish tamoyillari juda muhim, ularning rivojlanishi matematik o'qituvchidan katta kuch talab qiladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Shuning uchun ushbu ish matematika o'qituvchilari uchun foydali bo'ladi, chunki bu o'quvchilarga "Trigonometrik tengsizliklar" mavzusida mashg'ulotlarni samarali tashkil etish imkonini beradi.

O'qishni yakuniy malakaviy ishgacha kengaytirish orqali davom ettirish mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati

Bogomolov, N.V. Matematikada muammolar to'plami [Matn] / N.V. Bogomolov. - M .: Bustard, 2009 .-- 206 p.

Vygodskiy, M. Ya. Boshlang'ich matematikadan darslik [Matn] / M.Ya. Vygodskiy. - M .: Bustard, 2006 .-- 509 p.

Jurbenko, L.N. Misollar va topshiriqlardagi matematika [Matn] / L.N. Jurbenko. - M .: Infra-M, 2009 .-- 373 p.

Ivanov, O. A. Maktab o'quvchilari, talabalar va o'qituvchilar uchun boshlang'ich matematika [Matn] / O.A. Ivanov. - M .: MTsNMO, 2009 .-- 384 p.

Karp, A.P. Algebra bo'yicha topshiriqlar va 11-sinfda yakuniy takrorlash va sertifikatlashni tashkil qilish uchun tahlil boshlanishi [Matn] / A.P. Karp. - M .: Ta'lim, 2005 .-- 79 b.

Kulanin, E. D. Matematikada 3000 ta raqobat muammosi [Matn] / E.D. Kulanin. - M .: Ayris-press, 2007 .-- 624 p.

Leybson, K.L. Matematikadan amaliy topshiriqlar to'plami [Matn] / K.L. Leybson. - M .: Bustard, 2010 .-- 182 p.

Lokot, V.V. Parametrlar bilan vazifalar va ularni echish. Trigonometriya: tenglamalar, tengsizliklar, tizimlar. 10-sinf [Matn] / V.V. Tirsak. - M .: ARKTI, 2008 .-- 64 b.

Manova, A.N. Matematika. Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun ekspress o'qituvchi: darslik. qo'llanma [Matn] / A.N. Manova. - Rostov-Donu: Feniks, 2012 .-- 541 p.

Mordkovich, A.G. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-11 sinflar. Ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik [Matn] / A.G. Mordkovich. - M .: Ayris-press, 2009 .-- 201 b.

Novikov, A.I. Trigonometrik funktsiyalar, tenglamalar va tengsizliklar [Matn] / A.I. Novikov. - M .: FIZMATLIT, 2010 .-- 260 b.

Oganesyan, V.A. O'rta maktabda matematikani o'qitish metodikasi: Umumiy metodika. Darslik. talabalar uchun o'quv qo'llanma. - mat. yuz ped in-tov. [Matn] / V.A. Ovannisyan - M .: Ta'lim, 2006 .-- 368 p.

Olexnik, S.N. Tenglamalar va tengsizliklar. Nostandart echim usullari [Matn] / S.N. Olexnik. - M .: Factorial nashriyot uyi, 1997 .-- 219 b.

Sevryukov, P.F. Trigonometrik, eksponensial va logarifmik tenglamalar va tengsizliklar [Matn] / P.F. Sevryukov. - M .: Xalq ta'limi, 2008 .-- 352 p.

Sergeev, I.N. Yagona davlat imtihoni: matematikada 1000 ta javob va echimlar. C guruhining barcha vazifalari [Matn] / IN. Sergeev. - M .: Tekshiruv, 2012 .-- 301 p.

Sobolev, A.B. Boshlang'ich matematika [Matn] / A.B. Sobolev. - Ekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2005 .-- 81 p.

Fenko, L.M. Tengsizliklarni yechishda intervallar usuli va funktsiyalarni o'rganish [Matn] / L.M. Fenko. - M .: Bustard, 2005 .-- 124 b.

Fridman, L.M. Matematikada o'qitish usullarining nazariy asoslari [Matn] / L.M. Fridman. - M .: "LIBROKOM" kitob uyi, 2009. - 248 b.

1-ilova

Eng sodda tengsizliklarning echimlarini grafik izohlash

Anjir. 1

Anjir. 2

3-rasm

4-rasm

5-rasm

6-rasm

7-rasm

8-rasm

2-ilova

Eng sodda tengsizliklarni echish

Amaliy mashg'ulotda biz "Trigonometriya" mavzusidan asosiy vazifalarni takrorlaymiz, kuchaytirilgan murakkablikdagi vazifalarni qo'shimcha ravishda tahlil qilamiz va turli trigonometrik tengsizliklarni va ularning tizimlarini echish misollarini ko'rib chiqamiz.

Ushbu dars sizga B5, B7, C1 va C3 vazifalari turlaridan biriga tayyorgarlik ko'rishga yordam beradi.

Keling, "Trigonometriya" mavzusida muhokama qilgan va bir nechta nostandart vazifalarni hal qiladigan asosiy vazifalarni takrorlashni boshlaylik.

Muammo raqami 1... Burchaklarni radian va darajalarga o'zgartiring: a); b).

a) darajalarni radianga o'tkazish uchun formuladan foydalanamiz

Belgilangan qiymatni unga almashtiramiz.

b) Radianlarni darajaga o'tkazish formulasini qo'llang

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz .

Javob bering. va); b).

Muammo raqami 2... Hisoblang: a); b).

a) Burchak jadvaldan ancha uzoq bo'lganligi sababli, sinus davrini ajratib, uni kamaytiramiz. Chunki burchak radian bilan ko'rsatilgan, keyin davr deb hisoblanadi.

b) Bunday holda, vaziyat o'xshash. Burchak darajalarda ko'rsatilganligi sababli, u holda valentlik davri deb hisoblanadi.

Olingan burchak, davrdan kamroq bo'lsa ham, kattaroqdir, bu endi stolning asosiy emas, balki kengaytirilgan qismiga ishora qiladi. Trig funktsiya qiymatlarining kengaytirilgan jadvalini eslab, bizning xotiramizni yana bir bor mashq qilmaslik uchun, biz tangents davrini yana ayiramiz:

Biz tangens funktsiyasining g'alatiligini ishlatdik.

Javob bering. a) 1; b).

Muammo raqami 3... Hisoblang , agar a.

Biz butun iborani tangenslarga keltiramiz va kasrning sonini va maxrajini ajratamiz. Shu bilan birga, biz bundan qo'rqishimiz mumkin emas, chunki bu holda, tangens qiymati mavjud bo'lmaydi.

Muammo raqami 4... Ifodani soddalashtiring.

Belgilangan iboralar quyma formulalar yordamida o'zgartiriladi. Ular shunchaki darajalar yordamida odatiy bo'lmagan holda yozilgan. Birinchi ibora odatda raqamdir. O'z navbatida barcha trigger funktsiyalarini soddalashtiramiz:

Chunki , keyin funktsiya o'zgaradi, ya'ni. kotangensga tushadi va burchak ikkinchi chorakka tushadi, bunda asl tangens salbiy belgiga ega.

Oldingi iboradagi kabi bir xil sabablarga ko'ra, funktsiya, ya'ni koeffitsientga o'zgartirildi, ya'ni. kotangensda va burchak birinchi chorakka tushadi, bunda asl tangens ijobiy belgiga ega.

Keling, hamma narsani soddalashtirilgan iboraga almashtiraylik:

5-sonli muammo... Ifodani soddalashtiring.

Keling, mos keladigan formulaga binoan qo'shaloq burchakning tangensini yozamiz va ifodani soddalashtiramiz:

Oxirgi identifikatsiya kosinani universal almashtirish formulalaridan biridir.

6-sonli muammo... Hisoblang.

Asosiysi, standart xato qilmaslik va ifoda teng deb javob bermaslik. Arktangentning asosiy xususiyatidan foydalana olmaysiz, agar uning yonida ikkitadan ko'paytirgich bo'lsa. Undan xalos bo'lish uchun oddiy dalil sifatida muomala qilayotganda, ifodani ikki tomonlama burchakning tangensi formulasi bo'yicha yozamiz.

Endi siz arktangentning asosiy xususiyatidan foydalanishingiz mumkin, shuni esda tutingki, uning sonli natijalarida hech qanday cheklovlar yo'q.

Muammo raqami 7... Tenglamani yeching.

Nolga teng keladigan kasr tenglamasini yechishda har doim nol nolga teng ekanligi ko'rsatiladi, ammo denominator unday emas, chunki Nolga bo'lolmaysiz.

Birinchi tenglama - bu trigonometrik aylana yordamida echilishi mumkin bo'lgan eng oddiy tenglamaning maxsus holati. Ushbu echimni o'zingiz o'ylab ko'ring. Ikkinchi tengsizlik tangens ildizlari uchun umumiy formulaga muvofiq eng sodda tenglama sifatida echiladi, ammo belgi teng bo'lmaganda.

Ko'rinib turibdiki, bitta ildiz ildizlari bir xil shakldagi tenglamani qondirmaydigan boshqa ildizlar oilasini o'z ichiga olmaydi. Bular ildizlari yo'q.

Javob bering. Ildiz yo'q.

Muammo raqami 8... Tenglamani yeching.

Darhol, biz umumiy omilni olib tashlashingiz mumkinligini ta'kidlaymiz:

Bir necha omillarning mahsuloti nolga teng bo'lganda, tenglama standart shakllardan biriga tushirildi. Biz allaqachon bilamizki, bu holatda ulardan biri nol, boshqasi yoki uchinchisi. Buni tenglamalar to'plami shaklida yozaylik:

Dastlabki ikkita tenglama - bu eng sodda holatlar, biz shu kabi tenglamalarni ko'p marta uchratganmiz, shuning uchun biz ularning echimlarini darhol ko'rsatamiz. Uchinchi tenglama ikki burchakli sinus formulasidan foydalanib bitta funktsiyaga qisqartiriladi.

Keling, oxirgi tenglamani alohida echamiz:

Ushbu tenglamaning ildizi yo'q, chunki sinus qiymati chegaradan tashqariga chiqolmaydi .

Shunday qilib, echim faqat ildizlarning dastlabki ikkita oilasi bo'lib, ularni bitta guruhga birlashtirish mumkin, ularni trigonometrik doirada osongina ko'rsatish mumkin:

Bu hamma yarmining oilasi, ya'ni.

Trigonometrik tengsizliklarni hal qilishga o'tamiz. Birinchidan, biz umumiy echimlar uchun formuladan foydalanmasdan, ammo trigonometrik doiradan foydalanib, misolni echishga yondashuvni tahlil qilamiz.

Muammo raqami 9... Tengsizlikni hal qiling.

Trigonometrik doirada sinus qiymatiga teng bo'lgan yordamchi chiziqni chizib, tengsizlikni qondiradigan burchaklarning oralig'ini ko'rsating.

Olingan burchaklar oralig'ini qanday aniq ko'rsatishni tushunish juda muhim, ya'ni. uning boshlanishi va oxiri nima. Agar biz soat sohasi farqli ravishda harakat qilsak, bo'shliqning boshlanishi biz bo'shliqning eng boshida kiradigan nuqtaga mos keladigan burchak bo'ladi. Bizning holatda, bu chap tomonda joylashgan nuqta, chunki soat yo'nalishi bo'yicha teskari tomon harakatlanib, to'g'ri nuqtadan o'tamiz, aksincha, kerakli burchaklarni qoldiramiz. Shuning uchun o'ngdagi nuqta bo'shliqning oxiriga to'g'ri keladi.

Endi tengsizlikni yechish intervalimiz boshlanishi va oxiri burchaklarining qiymatlarini tushunish kerak. Oddiy xato - bu darhol to'g'ri nuqta burchakka, chapga to'g'ri kelishini ko'rsatish va javob berish. Bu to'g'ri emas! E'tibor bering, biz hozirgina aylananing yuqori qismiga to'g'ri keladigan bo'shliqni aniqladik, garchi biz pastki qismga qiziqsak, boshqacha qilib aytganda, biz kerakli echimlar oralig'ining boshi va oxirini aralashtirib yubordik.

To'g'ri burchakning burchagidan boshlanib, chap burchakning burchagida tugash uchun birinchi belgilangan burchak ikkinchi darajadan past bo'lishi kerak. Buning uchun biz to'g'ri yo'nalishning burchagini manfiy yo'nalishda o'lchashimiz kerak bo'ladi, ya'ni. soat yo'nalishi bo'yicha aylantiring va u teng bo'ladi. Keyin, undan soat yo'nalishi bo'yicha musbat yo'nalishda boshlab, chap nuqtadan keyin o'ng tomonga o'tamiz va u uchun burchak qiymatini olamiz. Endi burchaklar oralig'ining boshlanishi oxiriga qaraganda kamroq, va biz vaqtni hisobga olmasdan echimlar oralig'ini yozishimiz mumkin:

Bunday intervallar cheksiz ko'p sonli aylanishlardan keyin takrorlanishini hisobga olsak, sinus davrini hisobga olgan holda umumiy echimni olamiz:

Tengsizlikning qat'iyligi tufayli biz qavslarni joylashtiramiz va oraliqning oxiriga to'g'ri keladigan doiradagi nuqtalarni aniqlaymiz.

Ushbu javobni biz ma'ruzada berilgan umumiy echim formulasi bilan taqqoslang.

Javob bering. .

Ushbu usul eng oddiy trigonequalalliklarning umumiy echimlari uchun formulalar qaerdan kelganligini tushunish uchun yaxshi. Bundan tashqari, juda dangasa bo'lganlar uchun bu barcha noqulay formulalarni o'rganish foydali bo'ladi. Biroq, usulning o'zi ham oson emas, qaysi yondashuv siz uchun eng qulay ekanligini tanlang.

Trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun yordamchi chiziq birlik aylanasi yordamida ko'rsatilgan usulga o'xshash tarzda qurilgan funktsiyalar grafigini ham ishlatishingiz mumkin. Agar siz qiziqsangiz, ushbu yondashuvni o'zingiz aniqlashga harakat qiling. Keyingi holatda biz eng sodda trigonometrik tengsizliklarni echishda umumiy formulalardan foydalanamiz.

Muammo raqami 10... Tengsizlikni hal qiling.

Tengsizlik qat'iy emasligini hisobga olib, umumiy echim uchun formuladan foydalanamiz:

Bizning holatimizda:

Javob bering.

Muammo raqami 11... Tengsizlikni hal qiling.

Tegishli qat'iy tengsizlik uchun umumiy yechim formulasidan foydalanaylik:

Javob bering. .

Muammo raqami 12... Tengsizliklarni yeching: a); b).

Ushbu tengsizliklarda formulalarni umumiy echimlar uchun ishlatishga shoshilmaslik kerak trigonometrik doira, sinus va kosinus qiymatlari diapazoni haqida eslash kifoya.

a) beri , keyin tengsizlik ma'nosiz bo'ladi. Shuning uchun echimlar yo'q.

b) Chunki shunga o'xshab, har qanday argument sinusi har doim shartda ko'rsatilgan tengsizlikni qondiradi. Demak, argumentning barcha haqiqiy qiymatlari tengsizlikni qondiradi.

Javob bering. a) echimlar yo'q; b).

13-topshiriq... Tengsizlikni hal qiling .