Trigonometrik tenglamalar ifodalarining qiymatini toping. "Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish" darsi

Bo'limlar: Matematika

Sinf: 11

1-dars

Mavzu: 11-sinf (imtihonga tayyorgarlik)

Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish.

Oddiy echim trigonometrik tenglamalar... (2 soat)

Maqsadlar:

• Talabalarning trigonometriya formulalaridan foydalanish va eng oddiy trigonometrik tenglamalarni echish bilan bog'liq bilim va ko'nikmalarini tizimlashtirish, umumlashtirish, kengaytirish.

Dars jihozlari:

Dars tarkibi:

1. Tashkiliy moment
2. Noutbuklarda sinov. Natijalarni muhokama qilish.
3. Trigonometrik iboralarni soddalashtirish
4. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish
5. Mustaqil ish.
6. Dars xulosasi. Uy vazifasini tushuntirish.

1. Tashkiliy moment. (2 daqiqa.)

O'qituvchi tinglovchilar bilan salomlashadi, dars mavzusini e'lon qiladi, trigonometriya formulalarini takrorlash bo'yicha oldingi topshiriqni eslatadi va o'quvchilarni testga tayyorlaydi.

2. Sinov. (15min + 3min munozara)

Maqsad - bilimlarni sinash trigonometrik formulalar va ularni qo'llash qobiliyati. Har bir talaba o'z stolida sinov versiyasi bo'lgan noutbukga ega.

Har qanday variant bo'lishi mumkin, men ulardan birini misol qilib keltiraman:

I variant.

Ifodalarni soddalashtiring:

a) asosiy trigonometrik o'ziga xosliklar

1.sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) qo'shimcha formulalar

3.sin5x - sin3x;

v) mahsulotni summaga aylantirish

6.2sin8y qulay;

d) ikki burchakli formulalar

7.2sin5x cos5x;

e) yarim burchakli formulalar

f) uch burchakli formulalar

g) universal almashtirish

h) darajani pasaytirish

16.cos 2 (3x / 7);

Noutbukdagi o'quvchilar javoblarini har bir formulaga qarama-qarshi ko'rishadi.

Ish darhol kompyuter tomonidan tekshiriladi. Natijalar katta ekranda hamma ko'rishi mumkin.

Shuningdek, ish tugagandan so'ng to'g'ri javoblar o'quvchilarning noutbuklarida ko'rsatiladi. Har bir talaba xato qaerda bo'lganligini va qanday formulalarni takrorlash kerakligini ko'radi.

3. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish. (25 min.)

Maqsad asosiy trigonometriya formulalarini ko'rib chiqish, qo'llash va birlashtirish. Imtihondan B7 muammolarini hal qilish.

Ushbu bosqichda sinfni kuchli (guruh bilan mustaqil ishlash) va o'qituvchi bilan ishlaydigan zaif o'quvchilar guruhlariga bo'lish tavsiya etiladi.

Kuchli o'quvchilar uchun topshiriq (oldindan bosma shaklda tayyorlangan). Asosiy e'tibor USE 2011 ga binoan qisqartirish va ikki tomonlama burchak formulalariga qaratiladi.

Ifodalarni soddalashtiring (kuchli o'quvchilar uchun):

Bunga parallel ravishda, o'qituvchi zaif talabalar bilan ishlaydi, ekranda talabalarning diktasi ostida vazifalarni muhokama qiladi va hal qiladi.

Hisoblang:

5) sin (270º - a) + cos (270º + a)

6)

Soddalashtiring:

Bu kuchli guruh ishining natijalarini muhokama qilish uchun navbat edi.

Ekranda javoblar paydo bo'ladi, shuningdek, videokamera yordamida 5 xil talabalarning asarlari namoyish etiladi (har biri uchun bitta vazifa).

Zaif guruh echimning holati va usulini ko'radi. Munozara va tahlillar davom etmoqda. Texnik vositalardan foydalanish bilan bu juda tez sodir bo'ladi.

4. Eng sodda trigonometrik tenglamalarni yechish. (30 daqiqa.)

Maqsad eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechimini takrorlash, tizimlashtirish va umumlashtirish, ularning ildizlarini qayd etish. B3 muammosini hal qilish.

Har qanday trigonometrik tenglama, uni qanday hal qilishimizdan qat'i nazar, eng oddiyiga olib keladi.

Topshiriqni bajarayotganda o'quvchilar maxsus holatlar tenglamalari va umumiy shakllarning ildizlarini yozib olishga va oxirgi tenglamadagi ildizlarni tanlashga jalb qilishlari kerak.

Tenglamalarni yeching:

Bunga javoban eng kichik musbat ildizni yozing.

5. Mustaqil ish (10 min.)

Maqsad - olingan ko'nikmalarni sinab ko'rish, muammolar, xatolar va ularni bartaraf etish usullarini aniqlash.

Talaba tanlovi bo'yicha turli darajadagi ishlar taklif etiladi.

"3" varianti

1) ifoda qiymatini toping

2) 1 - sin 2 3a - cos 2 3a ifodasini soddalashtiring

3) tenglamani yeching

"4" varianti

1) ifoda qiymatini toping

2) tenglamani yeching Javobda eng kichik musbat ildizni yozing.

"5" varianti

1) agar bo'lsa, tgani toping

2) tenglamaning ildizini toping Javobingizda eng kichik musbat ildizni yozing.

6. Darsning qisqacha mazmuni (5 min.)

O'qituvchi darsning takrorlangan va konsolidatsiyalangan trigonometrik formulalarini, eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishini xulosa qiladi.

Keyingi darsda uy vazifasini topshirish (oldindan bosma shaklda tayyorlanadi).

Tenglamalarni yeching:

9)

10) Javobingizda eng kichik musbat ildizni ko'rsating.

2-sessiya

Mavzu: 11-sinf (imtihonga tayyorgarlik)

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari. Ildizlarni tanlash. (2 soat)

Maqsadlar:

• Har xil turdagi trigonometrik tenglamalarni yechish bo'yicha bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish.
• O'quvchilarning matematik tafakkurini rivojlantirish, kuzatish, taqqoslash, umumlashtirish, tasniflash qobiliyatini rivojlantirish.
• O'quvchilarni aqliy faoliyat jarayonida qiyinchiliklarni engib o'tishga, o'z-o'zini boshqarishga, o'z faoliyatlarini introspektsiyasiga undash.

Dars jihozlari: KRMu, har bir talaba uchun noutbuklar.

Dars tarkibi:

1. Tashkiliy moment
2. Munozara d / h va samot. oxirgi darsning asarlari
3. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini takrorlash.
4. Trigonometrik tenglamalarni yechish
5. Trigonometrik tenglamalarda ildizlarni tanlash.
6. Mustaqil ish.
7. Dars xulosasi. Uy vazifasi.

1. Tashkiliy vaqt (2 min.)

O'qituvchi tinglovchilar bilan salomlashadi, dars mavzusi va ish rejasini e'lon qiladi.

2. a) Uy vazifalarini ko'rib chiqish (5 min.)

Maqsad - bajarilishini tekshirish. Videokamera yordamida bitta ish ekranda ko'rsatiladi, qolganlari tanlab o'qituvchining tekshiruvi uchun yig'iladi.

b) Mustaqil ishni tahlil qilish (3 min.)

Maqsad - xatolarni tahlil qilish, ularni bartaraf etish usullarini ko'rsatish.

Ekranda, javoblar va echimlar, talabalar o'z ishlariga oldindan tayinlangan. Tahlil tezda rivojlanmoqda.

3. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini takrorlash (5 min.)

Maqsad trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini eslab qolishdir.

Talabalardan trigonometrik tenglamalarni yechishda qanday usullarni bilishlarini so'rang. Asosiy (tez-tez ishlatiladigan) usullar mavjudligini ta'kidlang:

• o'zgaruvchan almashtirish,
• omilizatsiya,
• bir hil tenglamalar,

va qo'llaniladigan usullar mavjud:

• summani mahsulotga va mahsulotni summaga aylantirish formulalari bo'yicha,
• darajani pasaytirish formulalari bo'yicha,
• universal trigonometrik almashtirish
• yordamchi burchakni joriy etish,
• ba'zi trigonometrik funktsiya bo'yicha ko'paytirish.

Shuni ham yodda tutish kerakki, bitta tenglamani turli yo'llar bilan echish mumkin.

4. Trigonometrik tenglamalarni yechish (30 min.)

Maqsad - ushbu mavzu bo'yicha bilim va ko'nikmalarni umumlashtirish va birlashtirish, imtihondan C1 qaroriga tayyorlanish.

Talabalar bilan birgalikda har bir usul uchun tenglamalarni echishni maqsadga muvofiq deb bilaman.

Talaba qarorni talab qiladi, o'qituvchi planshetga yozadi, butun jarayon ekranda namoyish etiladi. Bu sizga ilgari qoplangan materialni tez va samarali ravishda eslab qolish imkonini beradi.

Tenglamalarni yeching:

1) 6cos 2 x + 5sinx o'zgaruvchisining o'zgarishi - 7 \u003d 0

2) 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0 faktoring

3) bir hil tenglamalar sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) summani cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x) mahsulotiga aylantirish

5) mahsulotni 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0 summasiga aylantirish

6) quvvatni pasaytirish sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) universal trigonometrik almashtirish sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Ushbu tenglamani echishda shuni ta'kidlash kerakki, ushbu usuldan foydalanish aniqlanish sohasini torayishiga olib keladi, chunki sinus va kosinus tg (x / 2) bilan almashtiriladi. Shuning uchun, javob yozishdan oldin, π + 2πn, n Z to'plamdagi raqamlar ushbu tenglamaning otlari yoki yo'qligini tekshirish kerak.

8) sin3sinx + cosx - √2 \u003d 0 yordamchi burchakni kiritish

9) ba'zi bir trigonometrik funktsiya yordamida ko'paytirish cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Trigonometrik tenglamalar ildizlarini tanlash (20 min.)

Oliy o'quv yurtlariga kirishda shiddatli raqobat sharoitida imtihonning birinchi qismini hal qilish etarli emasligi sababli, ko'pchilik talabalar ikkinchi qismning vazifalariga (C1, C2, C3) e'tibor berishlari kerak.

Shuning uchun darsning ushbu bosqichining maqsadi ilgari o'rganilgan materialni esga olish, 2011 yilda Yagona davlat imtihonidan C1 muammosini hal qilishga tayyorgarlik ko'rish.

Javob yozishda siz ildizlarni tanlashingiz kerak bo'lgan trigonometrik tenglamalar mavjud. Bu ba'zi bir cheklovlar bilan bog'liq, masalan: kasrning mohiyati nolga teng emas, tekis ildiz ostidagi ifoda manfiy emas, logarifm belgisi ostida ifoda ijobiy va hk.

Bunday tenglamalar kattalashgan murakkablik tenglamalari sifatida ko'rib chiqiladi va imtihon versiyasida ikkinchi qism, ya'ni C1.

Tenglamani yeching:

Agar bo'lsa, kasr nolga teng birlik doirasidan foydalanib, biz ildizlarni tanlaymiz (1-rasmga qarang)

1-rasm.

biz x \u003d π + 2πn, n Z ni olamiz

Javob: π + 2πn, n Z

Ekranda ildizlarning tanlovi aylanada rangli tasvirda ko'rsatilgan.

Kamida omillar nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi va kamon o'z ma'nosini yo'qotmaydi. Keyin

Birlik doirasi yordamida ildizlarni tanlang (2-rasmga qarang).

"Trigonometrik iboralarni soddalashtirish" video darsi asosiy trigonometrik identifikatorlardan foydalangan holda o'quvchilarni trigonometrik muammolarni echish ko'nikmalarini rivojlantirishga qaratilgan. Video darsida trigonometrik identifikatsiya turlari, ulardan foydalanishda muammolarni echish misollari ko'rib chiqiladi. Vizual vositadan foydalangan holda, o'qituvchiga dars maqsadlariga erishish osonroq bo'ladi. Ma'lumotning yorqin namoyishi muhim fikrlarni eslab qolishga yordam beradi. Animatsiya effektlari va dublyajlardan foydalanish materialni tushuntirish bosqichida o'qituvchini butunlay almashtirishga imkon beradi. Shunday qilib, matematik darslarda ushbu vizual vositadan foydalangan holda o'qituvchi dars samaradorligini oshirishi mumkin.

Video darsining boshida uning mavzusi e'lon qilinadi. Keyin ilgari o'rganilgan trigonometrik o'ziga xosliklar esga olinadi. Ekranda sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, kϵZ uchun t ≠ π / 2 + πk, ctg t \u003d cos t / sin t, t ≠ πk uchun amal qiladi kϵZ, tg t · ctg t \u003d 1, t ≠ πk / 2 uchun, bu erda kϵZ asosiy trigonometrik o'ziga xoslik deb ataladi. Ta'kidlanishicha, bu o'xshashliklar ko'pincha tenglikni isbotlash yoki iborani soddalashtirish zarur bo'lganda muammolarni hal qilishda ishlatiladi.

Bundan tashqari, ushbu o'ziga xosliklarni muammolarni hal qilishda qo'llash misollari ko'rib chiqiladi. Birinchidan, iboralarni soddalashtirish uchun muammolar echimini ko'rib chiqish taklif etiladi. 1-misolda cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t ifodalarini soddalashtirish kerak. Namunani echish uchun birinchi navbatda cos 2 t umumiy omilni qavslardan tashqarida joylashtiring. Qavslardagi bunday o'zgarish natijasida 1- cos 2 t ifodasi olinadi, uning qiymati trigonometriyaning asosiy o'ziga xos xususiyati sin 2 t ga teng. Ifodani o'zgartirgandan so'ng, yana bir keng tarqalgan omil - gunoh 2 t qavslantirilishi mumkin, shundan keyin ibora sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) ga aylanadi. Xuddi shu asosiy identifikatsiyadan biz qavs ichidagi ifoda qiymatini 1 ga tenglashtiramiz, soddalashtirish natijasida biz cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t \u003d sin 2 t.

2-misolda narx / (1-sint) + narx / (1+ sint) ifoda ham soddalashtirilishi kerak. Ifoda qiymati ikkala kasrning ham hisoblash moslamalarida bo'lgani uchun uni umumiy omil sifatida ajratish mumkin. Keyin qavslardagi kasrlar (1-sint) (1+ sint) ko'paytirish yo'li bilan umumiy denominatorga tushiriladi. Bunday atamalarni keltirgandan keyin hisoblagichda 2 qoladi, 1 denominatorda - sin 2 t. Ekranning o'ng tomonida sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 asosiy trigonometrik identifikatsiya eslatiladi. Undan foydalanib, cos 2 t kasrning maxrajini topamiz. Parchani qisqartirgandan so'ng, biz xarajat / (1-sint) + xarajat / (1+ sint) \u003d 2 / xarajatning soddalashtirilgan shaklini olamiz.

Bundan tashqari, trigonometriyaning asosiy identifikatorlari to'g'risida olingan bilimlardan foydalangan holda, shaxsni tasdiqlovchi hujjatlar misollari ko'rib chiqiladi. 3-misolda kimligini isbotlash kerak (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t \u003d sin 2 t. Ekranning o'ng tomonida isbotlash uchun zarur bo'lgan uchta identifikatsiya ko'rsatiladi - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t va tg t \u003d sin t / cos t cheklovlar bilan. Shaxsiylikni isbotlash uchun avval qavslar kengaytiriladi, shundan keyin asosiyning ifodasini aks ettiradigan mahsulot hosil bo'ladi trigonometrik identifikatsiya tg t ctg t \u003d 1. Keyin, identifikatsiyaga ko'ra, kotangentning ta'rifidan ctg 2 t aylanadi. O'zgarishlar natijasida 1-cos 2 t ifodasi olinadi. Asosiy identifikatordan foydalanib, biz ifodaning ma'nosini topamiz. Shunday qilib (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t \u003d sin 2 t ekanligi isbotlandi.

4-misolda tg t + ctg t \u003d 6 bo'lsa, tg 2 t + ctg 2 t ifoda qiymatini topish kerak. Ifodani hisoblash uchun avval tenglikning o'ng va chap tomonlari (tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2 kvadratga bo'linadi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ekranning o'ng tomoniga o'xshaydi. Ifodaning chap tomonidagi qavslarni ochgandan so'ng, tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t yig'indisi hosil bo'ladi, bunda trgonometrik identifikatorlardan birini tg t · ctg t \u003d 1 qo'llanilishi mumkin, uning shakli ekranning o'ng tomonida eslatiladi. Transformatsiyadan so'ng tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34 tenglik olinadi. Tenglikning chap tomoni muammoning shartiga to'g'ri keladi, shuning uchun javob 34. Muammo hal qilindi.

"Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish" video darsi an'anaviy maktab matematikasi darslarida foydalanish uchun tavsiya etiladi. Shuningdek, material masofaviy o'qishni amalga oshiradigan o'qituvchi uchun foydali bo'ladi. Trigonometrik muammolarni hal qilish ko'nikmalarini rivojlantirish uchun.

TEXT KODI:

"Trigonometrik iboralarni soddalashtirish."

Tenglik

1) sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 (sinus kvadrat te va kosus kvadrat te te teng biriga teng)

2) tgt \u003d, t ≠ + πk uchun, kϵZ (tangent te pi pi bilan pi ga ko'p emas, kaosin te ga kosinos teosiga teng bo'lsa, ka z ga tegishli bo'ladi)

3) ctgt \u003d, t ≠ πk uchun, kϵZ (kotangent te te kosinos te sine te ga teng bo'lsa, te cho'qqiga teng emas, ka zetga tegishli).

4) t t, kϵZ uchun tgt ∙ ctgt \u003d 1 (tangent te va kotangent te hosilasi tengdir, agar te cho'qqiga teng bo'lmasa, ikkiga bo'linadi, ka z ga tegishli bo'ladi).

asosiy trigonometrik identifikatorlar deyiladi.

Ular ko'pincha trigonometrik iboralarni soddalashtirish va isbotlash uchun ishlatiladi.

Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish uchun ushbu formulalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqaylik.

MISOL 1: Ifodani soddalashtiring: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (bu to'rtinchi darajali kosine te va to'rtinchi darajali sine te manfiy kosinus kvadratidir).

Qaror. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2) t) \u003d sin 2 t 1 \u003d sin 2 t

(biz koinot kvadratining umumiy koeffitsientini olamiz, Qavslar ichida birlik va kosinus kvadratining orasidagi farqni topamiz, bu birinchi identifikatsiyaga binoan sine te kvadratiga tengdir. Biz kosinus kvadrat te va to'rtinchi darajali teosus teoremasining sinuslarining tebranishlarini olamiz. Qavslar ichida, Qavslar ichida kosinus va sinuslarning kvadratlari yig'indisi olinadi, bu asosiy trigonometrik identifikatsiya bo'yicha 1 ga teng. Natijada biz sinus teoremasining kvadratini olamiz).

MISOL 2: iborani soddalashtiring: +.

(ba ifoda - bu birinchi kosinaviy teoratorda bir minus sin te te bo'lgan ikkita kasrning yig'indisi, denosinatorda ikkinchi kosinaning teatrida, ikkinchi birlik plyus sinus te).

(Keling, kosinusning umumiy omilini qavslardan olamiz va Qavslar ichida uni bitta minus sine te va bir plyus sine te hosilasi bo'lgan umumiy denominatorga keltiramiz.

Hisoblagichda biz olamiz: bitta ortiqcha sine te va bitta minus sine te, biz shunga o'xshashlarni beramiz, hisoblagich o'xshashlardan keyin ikkitaga teng.

Mahsulotda siz qisqartirilgan ko'payish formulasini qo'llashingiz mumkin (kvadratlar farqi) va asosiy trigonometrik identifikatsiyaga ko'ra, birlik va kvadrat tenglamasi orasidagi farqni olishingiz mumkin.

kosinus te ning kvadratiga teng. Kosine te tomonidan bekor qilinganidan so'ng biz oxirgi javobni olamiz: ikkiga kosine te ga bo'lingan).

Ushbu formulalarni trigonometrik ifodalarni isbotlashda qo'llash misollarini ko'rib chiqamiz.

MISOL 3. Shaxsiyatni isbotlang (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (tangent te va sine te kvadratlari va kotangent te kvadratining tengligi sine te kvadratiga teng).

Dalillar.

Keling, tenglikning chap tomonini o'zgartiraylik:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ \u003d 1 - cos 2 t \u003d sin 2 t

(Qavslarni ochaylik. Oldindan olingan munosabatlardan tanangent te va kotangent te kvadratlarining mahsuloti 1 ga teng ekanligi esga olinadi. Kotangent te kosinus teosining sine te ga nisbati tengdir, ya'ni kotangentning maydoni kosinus tee va sinus teorining kvadratining nisbati.

Kvadrat tee ni sinus bilan qisqartirgandan so'ng, biz kvadrat kvadrat teine \u200b\u200bteng bo'lgan kvadrat teosining kosinasi orasidagi farqni olamiz). Q.E.D.

MISOL 4 tgt + ctgt \u003d 6 bo'lsa tg 2 t + ctg 2 t ifoda qiymatini toping.

(Tangent te va kotangent te kvadratlarining yig'indisi, agar tangens va kotangent yig'indisi oltitaga teng bo'lsa).

Qaror. (tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

Keling, asl tenglikning ikkala tomonini tenglashtiraylik:

(tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2 (tangent te va kotangent te yig'indilarining kvadrat soni oltita kvadratdir). Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulani eslang: Ikki miqdor yig'indisining kvadrat birinchi kvadratning kvadratiga teng, birinchisidan ikkinchi mahsulotga ikkinchi va ikkinchi sonning kvadratiga teng. (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36 (tangens kvadrat te plus tangent te ning qo'shaloq mahsuloti va cotangent te plus cotangent to'rtburchaklar kvadratining o'ttiz oltitasiga to'g'ri keladi). ...

Tangens te va kotangent te hosilasi bitta ga teng bo'lganligi uchun tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (tangent te va kotangent te kvadratlarining yig'indisi o'ttiz oltitaga teng),

IN bir xil o'zgarishlar trigonometrik iboralar quyidagi algebraik usullardan foydalanish mumkin: bir xil atamalarni qo'shish va ayirish; umumiy omilni qavslardan olish; bir xil miqdorda ko'paytirish va bo'lish; qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash; to'liq kvadratni tanlash; kvadrat trinomialni faktorizatsiya qilish; o'zgarishlarni soddalashtirish uchun yangi o'zgaruvchilarni kiritish.

Fraksiyalarni o'z ichiga olgan trigonometrik ifodalarni aylantirishda siz nisbatlar, fraktsiyalarni kamaytirish yoki fraktsiyalarni umumiy denominatorga o'zgartirish xususiyatlaridan foydalanishingiz mumkin. Bundan tashqari, fraktsiyaning butun sonini tanlashda foydalanishingiz mumkin, fraktsiyaning hisoblagichi va aniqlovchisini bir xil miqdorga ko'paytirasiz va agar iloji bo'lsa, hisoblagich yoki denominatorning bir xilligini hisobga olasiz. Agar kerak bo'lsa, siz bir nechta oddiy kasrlarning yig'indisi yoki farqi sifatida kasrni ifodalashingiz mumkin.

Bundan tashqari, trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish uchun barcha zarur usullarni qo'llagan holda, o'zgartirilgan iboralarning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini doimo hisobga olish kerak.

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol.

Hisoblang A \u003d (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π / 2) +
+ sin (3π / 2 - x) sin (2x -5π / 2)) 2

Qaror.

Bu qisqartirish formulalaridan kelib chiqadi:

sin (2x - π) \u003d -x 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π / 2) \u003d -s 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Dalillar va asosiy trigonometrik identifikatsiyani qo'shish formulalari asosida biz qayerdan olamiz

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d sin 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Javob: 1.

2-misol.

M \u003d cos a + cos (a + β) cos γ + cos β - sin (a + β) sin γ + cos γ mahsulotini aylantiring.

Qaror.

Argumentlarni qo'shish formulalaridan va trigonometrik funktsiyalar yig'indisini mos keladigan guruhlashdan keyin mahsulotga o'zgartirish formulalaridan bizda

M \u003d (cos (a + β) cos γ - sin (a + β) sin γ) + cos a + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos a + cos (a + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (a + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (a + (β + γ) / 2))) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + a + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (a + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) cos ((a + β) / 2) cos ((a + γ) / 2).

Javob: M \u003d 4cos ((a + β) / 2) cos ((a + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

3-misol.

A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ifodasi R ning barcha x-lariga to'g'ri kelishini ko'rsating. va bir xil ma'no. Ushbu qiymatni toping.

Qaror.

Ushbu muammoni hal qilishning ikki yo'li mavjud. Birinchi usulni qo'llaymiz, to'liq kvadratni tanlaymiz va tegishli asosiy trigonometrik formulalarni qo'llaymiz

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Muammoni ikkinchi usulda yechishda, A ni R dan x ning funktsiyasi sifatida ko'rib chiqing va uning hosilasini hisoblang. O'zgarishlardan keyin biz olamiz

A´ \u003d -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) \u003d

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) \u003d

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 \u003d sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Demak, vaqt oralig'ida farqlanadigan funktsiyaning doimiyligi mezoniga ko'ra biz shunday xulosaga kelamiz.

A (x) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Javob: x € R uchun A \u003d 3/4.

Trigonometrik identifikatsiyani isbotlashning asosiy usullari:

va) tegishli o'zgartirishlar bilan shaxsning chap tomonini o'ngga kamaytirish;
b) shaxsning o'ng tomonini chap tomonga qisqartirish;
ichida) identifikatorning o'ng va chap tomonlarini xuddi shu turga qisqartirish;
d) isbotlanayotgan shaxsning chap va o'ng tomonlari o'rtasidagi farqni nolga kamaytirish.

4-misol.

Cos 3x \u003d -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) ekanligini tekshiring.

Qaror.

Ushbu identifikatorning o'ng tomonini tegishli trigonometrik formulalar bo'yicha o'zgartirish, bizda

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Shaxsning o'ng tomoni chap tomonga qisqartirildi.

5-misol.

Sin 2 a + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos a cos β cos γ \u003d 2 bo'lsa, a, β, γ ba'zi uchburchaklar ichki burchaklari ekanligini isbotlang.

Qaror.

A, β, some ba'zi uchburchaklar ichki burchaklari ekanligini hisobga olsak, biz buni olamiz

a + β + γ \u003d π va shuning uchun γ \u003d π - a - β.

sin 2 a + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos a cos β cos γ \u003d

Sin 2 a + sin 2 β + sin 2 (π - a - β) - 2cos a cos β cos (π - a - β) \u003d

Sin 2 a + sin 2 β + sin 2 (a + β) + (cos (a + β) + cos (a - β) (cos (a + β) \u003d

Sin 2 a + sin 2 β + (sin 2 (a + β) + cos 2 (a + β)) + cos (a - β) (cos (a + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2a) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2a + cos 2β) \u003d 2.

Asl tenglik isbotlangan.

6-misol.

Uchburchakning a, a, les burchaklaridan biri 60 ° ga teng bo'lishini isbotlash uchun sin 3 a + sin 3β + sin 3γ \u003d 0 bo'lishi kerak va etarli.

Qaror.

Ushbu muammoning holati zarurat va etarliligini tasdiqlashni talab qiladi.

Birinchidan, biz isbotlaymiz zarurat.

Buni ko'rsatish mumkin

sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Demak, cos (3/2 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0 ekanligini hisobga olib, a, β yoki γ burchaklardan biri 60 ° ga teng bo'lsa, u holda

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0, shuning uchun sin 3a + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Endi isbotlaylik moslik belgilangan shart.

Agar sin 3a + sin 3β + sin 3γ \u003d 0 bo'lsa, unda cos (3a / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0, shuning uchun

yoki cos (3α / 2) \u003d 0, yoki cos (3β / 2) \u003d 0, yoki cos (3γ / 2) \u003d 0.

Shunday qilib,

yoki 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, ya'ni. a \u003d π / 3 + 2πk / 3,

yoki 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, ya'ni. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

yoki 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

o'sha. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, bu erda k ϵ Z.

A, β, γ uchburchakning burchaklari bo'lgani uchun bizda bor

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Shuning uchun, a \u003d π / 3 + 2πk / 3 yoki β \u003d π / 3 + 2πk / 3 yoki

ϵ \u003d of / 3 + 2πk / 3 barcha kϵZ ning faqat k \u003d 0 to'g'ri keladi.

Bundan kelib chiqadiki, a \u003d π / 3 \u003d 60 ° yoki β \u003d π / 3 \u003d 60 °, yoki γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Bayonot isbotlangan.

Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik iboralarni qanday soddalashtirishga ishonchingiz komilmi?
Repetitordan yordam olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

saytda, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan manba ko'rsatilishi shart.

Bo'limlar: Matematika

Sinf: 11

1-dars

Mavzu: 11-sinf (imtihonga tayyorgarlik)

Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish. (2 soat)

Maqsadlar:

• Talabalarning trigonometriya formulalaridan foydalanish va eng oddiy trigonometrik tenglamalarni echish bilan bog'liq bilim va ko'nikmalarini tizimlashtirish, umumlashtirish, kengaytirish.

Dars jihozlari:

Dars tarkibi:

1. Tashkiliy moment
2. Noutbuklarda sinov. Natijalarni muhokama qilish.
3. Trigonometrik iboralarni soddalashtirish
4. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish
5. Mustaqil ish.
6. Dars xulosasi. Uy vazifasini tushuntirish.

1. Tashkiliy moment. (2 daqiqa.)

O'qituvchi tinglovchilar bilan salomlashadi, dars mavzusini e'lon qiladi, trigonometriya formulalarini takrorlash bo'yicha oldingi topshiriqni eslatadi va o'quvchilarni testga tayyorlaydi.

2. Sinov. (15min + 3min munozara)

Maqsad trigonometrik formulalar to'g'risidagi bilimlarni va ularni qo'llash qobiliyatini sinab ko'rishdir. Har bir talaba o'z stolida sinov versiyasi bo'lgan noutbukga ega.

Har qanday variant bo'lishi mumkin, men ulardan birini misol qilib keltiraman:

I variant.

Ifodalarni soddalashtiring:

a) asosiy trigonometrik o'ziga xosliklar

1.sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) qo'shimcha formulalar

3.sin5x - sin3x;

v) mahsulotni summaga aylantirish

6.2sin8y qulay;

d) ikki burchakli formulalar

7.2sin5x cos5x;

e) yarim burchakli formulalar

f) uch burchakli formulalar

g) universal almashtirish

h) darajani pasaytirish

16.cos 2 (3x / 7);

Noutbukdagi o'quvchilar javoblarini har bir formulaga qarama-qarshi ko'rishadi.

Ish darhol kompyuter tomonidan tekshiriladi. Natijalar katta ekranda hamma ko'rishi mumkin.

Shuningdek, ish tugagandan so'ng to'g'ri javoblar o'quvchilarning noutbuklarida ko'rsatiladi. Har bir talaba xato qaerda bo'lganligini va qanday formulalarni takrorlash kerakligini ko'radi.

3. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish. (25 min.)

Maqsad asosiy trigonometriya formulalarini ko'rib chiqish, qo'llash va birlashtirish. Imtihondan B7 muammolarini hal qilish.

Ushbu bosqichda sinfni kuchli (guruh bilan mustaqil ishlash) va o'qituvchi bilan ishlaydigan zaif o'quvchilar guruhlariga bo'lish tavsiya etiladi.

Kuchli o'quvchilar uchun topshiriq (oldindan bosma shaklda tayyorlangan). Asosiy e'tibor USE 2011 ga binoan qisqartirish va ikki tomonlama burchak formulalariga qaratiladi.

Ifodalarni soddalashtiring (kuchli o'quvchilar uchun):

Bunga parallel ravishda, o'qituvchi zaif talabalar bilan ishlaydi, ekranda talabalarning diktasi ostida vazifalarni muhokama qiladi va hal qiladi.

Hisoblang:

5) sin (270º - a) + cos (270º + a)

6)

Soddalashtiring:

Bu kuchli guruh ishining natijalarini muhokama qilish uchun navbat edi.

Ekranda javoblar paydo bo'ladi, shuningdek, videokamera yordamida 5 xil talabalarning asarlari namoyish etiladi (har biri uchun bitta vazifa).

Zaif guruh echimning holati va usulini ko'radi. Munozara va tahlillar davom etmoqda. Texnik vositalardan foydalanish bilan bu juda tez sodir bo'ladi.

4. Eng sodda trigonometrik tenglamalarni yechish. (30 daqiqa.)

Maqsad eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechimini takrorlash, tizimlashtirish va umumlashtirish, ularning ildizlarini qayd etish. B3 muammosini hal qilish.

Har qanday trigonometrik tenglama, uni qanday hal qilishimizdan qat'i nazar, eng oddiyiga olib keladi.

Topshiriqni bajarayotganda o'quvchilar maxsus holatlar tenglamalari va umumiy shakllarning ildizlarini yozib olishga va oxirgi tenglamadagi ildizlarni tanlashga jalb qilishlari kerak.

Tenglamalarni yeching:

Bunga javoban eng kichik musbat ildizni yozing.

5. Mustaqil ish (10 min.)

Maqsad - olingan ko'nikmalarni sinab ko'rish, muammolar, xatolar va ularni bartaraf etish usullarini aniqlash.

Talaba tanlovi bo'yicha turli darajadagi ishlar taklif etiladi.

"3" varianti

1) ifoda qiymatini toping

2) 1 - sin 2 3a - cos 2 3a ifodasini soddalashtiring

3) tenglamani yeching

"4" varianti

1) ifoda qiymatini toping

2) tenglamani yeching Javobda eng kichik musbat ildizni yozing.

"5" varianti

1) agar bo'lsa, tgani toping

2) tenglamaning ildizini toping Javobingizda eng kichik musbat ildizni yozing.

6. Darsning qisqacha mazmuni (5 min.)

O'qituvchi darsning takrorlangan va konsolidatsiyalangan trigonometrik formulalarini, eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishini xulosa qiladi.

Keyingi darsda uy vazifasini topshirish (oldindan bosma shaklda tayyorlanadi).

Tenglamalarni yeching:

9)

10) Javobingizda eng kichik musbat ildizni ko'rsating.

2-sessiya

Mavzu: 11-sinf (imtihonga tayyorgarlik)

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari. Ildizlarni tanlash. (2 soat)

Maqsadlar:

• Har xil turdagi trigonometrik tenglamalarni yechish bo'yicha bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish.
• O'quvchilarning matematik tafakkurini rivojlantirish, kuzatish, taqqoslash, umumlashtirish, tasniflash qobiliyatini rivojlantirish.
• O'quvchilarni aqliy faoliyat jarayonida qiyinchiliklarni engib o'tishga, o'z-o'zini boshqarishga, o'z faoliyatlarini introspektsiyasiga undash.

Dars jihozlari: KRMu, har bir talaba uchun noutbuklar.

Dars tarkibi:

1. Tashkiliy moment
2. Munozara d / h va samot. oxirgi darsning asarlari
3. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini takrorlash.
4. Trigonometrik tenglamalarni yechish
5. Trigonometrik tenglamalarda ildizlarni tanlash.
6. Mustaqil ish.
7. Dars xulosasi. Uy vazifasi.

1. Tashkiliy vaqt (2 min.)

O'qituvchi tinglovchilar bilan salomlashadi, dars mavzusi va ish rejasini e'lon qiladi.

2. a) Uy vazifalarini ko'rib chiqish (5 min.)

Maqsad - bajarilishini tekshirish. Videokamera yordamida bitta ish ekranda ko'rsatiladi, qolganlari tanlab o'qituvchining tekshiruvi uchun yig'iladi.

b) Mustaqil ishni tahlil qilish (3 min.)

Maqsad - xatolarni tahlil qilish, ularni bartaraf etish usullarini ko'rsatish.

Ekranda, javoblar va echimlar, talabalar o'z ishlariga oldindan tayinlangan. Tahlil tezda rivojlanmoqda.

3. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini takrorlash (5 min.)

Maqsad trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini eslab qolishdir.

Talabalardan trigonometrik tenglamalarni yechishda qanday usullarni bilishlarini so'rang. Asosiy (tez-tez ishlatiladigan) usullar mavjudligini ta'kidlang:

• o'zgaruvchan almashtirish,
• omilizatsiya,
• bir hil tenglamalar,

va qo'llaniladigan usullar mavjud:

• summani mahsulotga va mahsulotni summaga aylantirish formulalari bo'yicha,
• darajani pasaytirish formulalari bo'yicha,
• universal trigonometrik almashtirish
• yordamchi burchakni joriy etish,
• ba'zi trigonometrik funktsiya bo'yicha ko'paytirish.

Shuni ham yodda tutish kerakki, bitta tenglamani turli yo'llar bilan echish mumkin.

4. Trigonometrik tenglamalarni yechish (30 min.)

Maqsad - ushbu mavzu bo'yicha bilim va ko'nikmalarni umumlashtirish va birlashtirish, imtihondan C1 qaroriga tayyorlanish.

Talabalar bilan birgalikda har bir usul uchun tenglamalarni echishni maqsadga muvofiq deb bilaman.

Talaba qarorni talab qiladi, o'qituvchi planshetga yozadi, butun jarayon ekranda namoyish etiladi. Bu sizga ilgari qoplangan materialni tez va samarali ravishda eslab qolish imkonini beradi.

Tenglamalarni yeching:

1) 6cos 2 x + 5sinx o'zgaruvchisining o'zgarishi - 7 \u003d 0

2) 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0 faktoring

3) bir hil tenglamalar sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) summani cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x) mahsulotiga aylantirish

5) mahsulotni 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0 summasiga aylantirish

6) quvvatni pasaytirish sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) universal trigonometrik almashtirish sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Ushbu tenglamani echishda shuni ta'kidlash kerakki, ushbu usuldan foydalanish aniqlanish sohasini torayishiga olib keladi, chunki sinus va kosinus tg (x / 2) bilan almashtiriladi. Shuning uchun, javob yozishdan oldin, π + 2πn, n Z to'plamdagi raqamlar ushbu tenglamaning otlari yoki yo'qligini tekshirish kerak.

8) sin3sinx + cosx - √2 \u003d 0 yordamchi burchakni kiritish

9) ba'zi bir trigonometrik funktsiya yordamida ko'paytirish cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Trigonometrik tenglamalar ildizlarini tanlash (20 min.)

Oliy o'quv yurtlariga kirishda shiddatli raqobat sharoitida imtihonning birinchi qismini hal qilish etarli emasligi sababli, ko'pchilik talabalar ikkinchi qismning vazifalariga (C1, C2, C3) e'tibor berishlari kerak.

Shuning uchun darsning ushbu bosqichining maqsadi ilgari o'rganilgan materialni esga olish, 2011 yilda Yagona davlat imtihonidan C1 muammosini hal qilishga tayyorgarlik ko'rish.

Javob yozishda siz ildizlarni tanlashingiz kerak bo'lgan trigonometrik tenglamalar mavjud. Bu ba'zi bir cheklovlar bilan bog'liq, masalan: kasrning mohiyati nolga teng emas, tekis ildiz ostidagi ifoda manfiy emas, logarifm belgisi ostida ifoda ijobiy va hk.

Bunday tenglamalar kattalashgan murakkablik tenglamalari sifatida ko'rib chiqiladi va imtihon versiyasida ikkinchi qism, ya'ni C1.

Tenglamani yeching:

Agar bo'lsa, kasr nolga teng birlik doirasidan foydalanib, biz ildizlarni tanlaymiz (1-rasmga qarang)

1-rasm.

biz x \u003d π + 2πn, n Z ni olamiz

Javob: π + 2πn, n Z

Ekranda ildizlarning tanlovi aylanada rangli tasvirda ko'rsatilgan.

Kamida omillar nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi va kamon o'z ma'nosini yo'qotmaydi. Keyin

Birlik doirasi yordamida ildizlarni tanlang (2-rasmga qarang).

2-rasm.

5)

Tizimga o'tamiz:

Tizimning birinchi tenglamasida o'zgarish logini 2 (sinx) \u003d y qilamiz, keyin tenglamani olamiz , tizimga qaytib

birlik doirasini ishlatib ildizlarni tanlang (5-rasmga qarang),

5-rasm.

6. Mustaqil ish (15 min.)

Maqsad - bu materialni assimilyatsiya qilish va tekshirish, xatolarni aniqlash, ularni tuzatish usullarini aniqlash.

Ish talabalar tanlovi uchun oldindan tayyorlangan, bosma shaklda tayyorlangan uchta variantda taqdim etiladi.

Tenglamalarni har qanday usul bilan echishingiz mumkin.

"3" varianti

Tenglamalarni yeching:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 \u003d 0

2) sin2x \u003d √3cosx

"4" varianti

Tenglamalarni yeching:

1) cos2x \u003d 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) log 8 (cosx) \u003d 0

"5" varianti

Tenglamalarni yeching:

1) 2sinx - 3cosx \u003d 2

2)

7. Darsning qisqacha mazmuni, uy vazifasi (5 min.)

O'qituvchi darsni umumlashtiradi, trigonometrik tenglamani bir necha usul bilan echish mumkinligiga yana bir bor e'tibor qaratadi. Tez natijaga erishishning eng yaxshi usuli bu har bir talaba tomonidan yaxshi o'rganiladigan usul.

Imtihonga tayyorgarlik ko'rishda tizimli ravishda formulalar va tenglamalarni yechish usullarini takrorlash kerak.

Uy vazifasi (oldindan bosma ravishda tayyorlanadi) tarqatiladi va ba'zi tenglamalarni echish bo'yicha sharhlar beriladi.

Tenglamalarni yeching:

1) cosx + cos5x \u003d cos3x + cos7x

2) 5sin (x / 6) - cos (x / 3) + 3 \u003d 0

3) 4sin 2 x + sin2x \u003d 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x \u003d 0

5) cos3x cos6x \u003d cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx \u003d 1

7) 3sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) log 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - c3cosx) log 7 (-tgx) \u003d 0

11)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "O'rta maktab

№ 18 "

engels, Saratov viloyati.

Matematika o'qituvchisi.

"Trigonometrik iboralar va ularning o'zgarishlari"

Kirish ……………………………………………………………………… .. 3

1-bob Trigonometrik ifodalarni transformatsiyasidan foydalanish uchun vazifalarning tasnifi …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.1. Hisoblash vazifalari trigonometrik ifodalarning qiymatlari ……… .5

1.2. Trigonometrik soddalashtirish vazifalari ... 7

1.3. Raqamli trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish uchun vazifalar ... ..7

1.4 Aralash topshiriqlar ……………………………………………………………………………………………………

2-bob. "Trigonometrik iboralarni o'zgartirish" mavzusining yakuniy takrorlanishini tashkil qilishning uslubiy jihatlari.

2.1 10-sinfda tematik takrorlash ………………………………………………………………… ... 11

Test 1 ……………………………………………………………………………………

Test 2 ……………………………………………………

Test 3 ……………………………………………………………………………………

2.2 11-sinfda yakuniy takrorlash ……………………………… ... 15

1-sinov ………………………………………………………………………………………………………… ..

Test 2 ………………………………………………………………

3-sinov ………………………………………………………………………………………………………………

Xulosa ……………………………………………………………………………………………………………………

Ishlatilgan adabiyotlar ro'yxati ……………………………………… .. 20

Kirish.

Bugungi sharoitda eng muhim savol: "Qanday qilib biz talabalar bilimidagi bo'shliqlarni bartaraf etishimiz va imtihonda xatolarni oldini olishimiz mumkin?" Ushbu muammoni hal qilish uchun o'quvchilardan dastur materiallarini rasmiy assimilyatsiya qilishni emas, balki uni chuqur va ongli ravishda tushunishni, og'zaki hisoblash va o'zgartirishlarning tezligini, shuningdek oddiy muammolarni hal qilish ko'nikmalarini rivojlantirishni "ongda" izlash kerak. Talabalarni matematikani o'rganishda amaliy ko'nikma, ko'nikma va ulardan foydalanish sharti bilan faol mavqega ega bo'lgan taqdirdagina haqiqiy muvaffaqiyatga ishonishingiz mumkinligiga ishontirish kerak. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish uchun har qanday imkoniyatdan foydalanish kerak, shu jumladan 10-11-sinflardagi электив fanlar, o'quvchilar bilan qiyin topshiriqlarni muntazam ravishda tahlil qilish, darslarda va qo'shimcha darslarda hal qilishning eng oqilona usulini tanlash.Ijobiy natijaagar matematik o'qituvchilar yaratadigan bo'lsa, tipik muammolarni echish sohalariga erishish mumkin talabalarni yaxshi bazaviy tayyorgarligi, oldimizda paydo bo'lgan muammolarni hal qilishning yangi usullarini izlash, faol tajriba o'tkazish, zamonaviy usullarni qo'llash pedagogik texnologiyalar, yangi ijtimoiy sharoitlarda talabalarning samarali o'zini o'zi anglashi va o'z taqdirini o'zi belgilashi uchun qulay shart-sharoitlar yaratadigan usullar, metodlar.

Trigonometriya maktab matematikasi kursining ajralmas qismidir. Trigonometriya sohasidagi yaxshi bilim va kuchli ko'nikmalar matematik madaniyatning etarli darajada ekanligidan, matematikani, fizikani va bir qator texnikani muvaffaqiyatli o'rganish uchun zaruriy shart ekanligidan dalolat beradi.fanlar.

Ishning dolzarbligi. Maktab bitiruvchilarining katta qismi yildan-yilga matematikaning ushbu muhim bo'limiga juda past tayyorgarlik ko'rmoqda, buni o'tgan yillar natijalari tasdiqlaydi (2011 yilda tugatish foizi - 48,41%, 2012 yilda - 51,05%), chunki yagona davlat imtihonini topshirish tahlili shuni ko'rsatdiki. talabalar ushbu bo'limda berilgan topshiriqlarni bajarishda ko'p xato qilishlari yoki umuman bunday topshiriqlarni o'z zimmalariga olmasliklari. Birida Davlat imtihonida trigonometriya savollari deyarli uchta turdagi topshiriqlarda uchraydi. Bu B5 vazifasida eng sodda trigonometrik tenglamalarni echish va B7 topshirig'idagi trigonometrik ifodalar bilan ishlash va B14 vazifasidagi trigonometrik funktsiyalarni o'rganish, shuningdek, B12 vazifasi, fizik hodisalarni tasvirlaydigan va trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan formulalarga ega. Va bu B topshiriqlarining faqat bir qismi! Ammo C1 ildizlarini tanlash bilan sevimli trigonometrik tenglamalar va C2 \u200b\u200bva C4 geometrik vazifalari "juda yoqimli emas".

Ishning maqsadi. Tahlil qiling imtihon materiallari B7 vazifalari, trigonometrik ifodalarni o'zgartirishga bag'ishlangan va topshiriqlarni testlarda taqdim etish shakliga ko'ra tasniflagan.

Asar ikki bob, kirish va xulosadan iborat. Kirish ishning dolzarbligini ta'kidlaydi. Birinchi bo'limda testda trigonometrik iboralarni o'zgartirish uchun foydalanish uchun topshiriqlar tasnifi berilgan fOYDALANISH topshiriqlari (2012).

Ikkinchi bo'limda 10, 11-sinflarda "Trigonometrik iboralarni o'zgartirish" mavzusini takrorlashni tashkil qilish ko'rib chiqilgan va ushbu mavzu bo'yicha testlar ishlab chiqilgan.

Adabiyotlar ro'yxatiga 17 manba kiritilgan.

1-bob. Trigonometrik iboralarni o'zgartirishda foydalanish uchun vazifalarni tasniflash.

O'rta (to'liq) ta'lim standartiga va o'quvchilarni tayyorlash darajasiga qo'yiladigan talablarga muvofiq, talablar kodifikatoriga trigonometriya asoslarini bilish vazifalari kiritilgan.

Trigonometriya asoslarini o'rganish quyidagi hollarda eng samarali bo'ladi:

talabalarni ilgari o'rganilgan materialni takrorlashga ijobiy motivatsiyasi ta'minlanadi;

shaxsga yo'naltirilgan yondashuv o'quv jarayonida amalga oshiriladi;

o'quvchilar bilimini kengaytirish, chuqurlashtirish, tizimlashtirishga yordam beradigan vazifalar tizimi qo'llaniladi;

ilg'or o'qitish texnologiyalaridan foydalaniladi.

Imtihonga tayyorgarlik to'g'risida adabiyotlar va Internet manbalarini tahlil qilib, biz mumkin bo'lgan B7 tasniflaridan birini taklif qildik (KIM USE 2012-trigonometriya): hisoblash vazifalari trigonometrik ifodalarning qiymatlari; uchun topshiriqlarraqamli trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish; alifbo trigonometrik ifodalarini konvertatsiya qilish uchun vazifalar; aralash vazifalar.

1.1. Hisoblash vazifalari trigonometrik ifodalarning qiymatlari.

Oddiy trigonometriya muammolarining eng keng tarqalgan turlaridan biri trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini ulardan birini qiymatiga hisoblash hisoblanadi:

a) Asosiy trigonometrik identifikatordan foydalanish va uning oqibatlari.

1-misol ... Agar topsangiz
va
.

Qaror.
,
,

Chunki keyin
.

Javob bering.

2-misol ... Toping
, agar a
va.

Qaror.
,
,
.

Chunki keyin
.

Javob bering. ...

b) Ikki burchakli formuladan foydalanish.

3-misol ... Toping
, agar a
.

Qaror. , .

Javob bering.
.

4-misol ... Ifodaning ma'nosini toping
.

Qaror. ...

Javob bering.
.

1. Toping , agar a
va
... Javob bering. -0.2

2. Toping , agar a
va
... Javob bering. 0,4

3. Toping
, agar a. Javob bering. -12.884. Toping
, agar a
... Javob bering. -0,845. Ifodaning ma'nosini toping:
... Javob bering. 66. Ifodaning ma'nosini toping
. Javob bering. - o'n to'qqizinchi

1.2. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish bo'yicha vazifalar. Majburiy formulalarni talabalar yaxshi o'zlashtirishi kerak, chunki ular geometriya, fizika va boshqa tegishli fanlar darslarida keyinchalik qo'llanilishini topadilar.

5-misol . Ifodalarni soddalashtiring
.

Qaror. ...

Javob bering.
.

O'ziga yordam berish vazifalari:

1. Ifodani soddalashtiring
. Javob bering. 0,62. Toping
, agar a
va ... Javob bering. 10.563. Ifodaning ma'nosini toping
, agar a
. Javob bering. 2

1.3. Raqamli trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish uchun topshiriqlar.

Raqamli trigonometrik ifodalarni o'zgartirish uchun topshiriqlarni bajarish ko'nikmalarini va ko'nikmalarini mashq qilayotganda, trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari jadvali, trigonometrik funktsiyalarning pariteti va davriyligi xususiyatlari haqidagi bilimlarga e'tibor berish kerak.

a) Ba'zi burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning aniq qiymatlaridan foydalanish.

6-misol ... Hisoblang
.

Qaror.
.

Javob bering.
.

b) Parit xususiyatlaridan foydalanish trigonometrik funktsiyalar.

7-misol ... Hisoblang
.

Qaror. .

Javob bering.

ichida) Davriylik xususiyatlaridan foydalanishtrigonometrik funktsiyalar.

8-misol . Ifodaning ma'nosini toping
.

Qaror. ...

Javob bering.
.

O'ziga yordam berish vazifalari:

1. Ifodaning ma'nosini toping
. Javob bering. -40.52. Ifodaning ma'nosini toping
. Javob bering. 17

3. Ifodaning ma'nosini toping
. Javob bering. 6

. Javob bering. -24
Javob bering. -64

1.4 Aralash topshiriqlar.

Sertifikatlashtirishning sinov shakli juda muhim xususiyatlarga ega, shuning uchun bir vaqtning o'zida bir nechta trigonometrik formuladan foydalanish bilan bog'liq bo'lgan vazifalarga e'tibor berish kerak.

9-misol. Toping
, agar a
.

Qaror.
.

Javob bering.
.

10-misol ... Toping
, agar a
va
.

Qaror. .

Chunki keyin
.

Javob bering.
.

11-misol. Toping
, agar a.

Qaror. , ,
,
,
,
,
.

Javob bering.

12-misol. Hisoblang
.

Qaror. .

Javob bering.
.

13-misol. Ifodaning ma'nosini toping
, agar a
.

Qaror. .

Javob bering.
.

O'ziga yordam berish vazifalari:

1. Toping
, agar a
. Javob bering. -1.75
2. Toping
, agar a
. Javob bering. 33. Toping
, agar a. Javob bering. 0,254. Ifodaning ma'nosini toping
, agar a
. Javob bering. 0,35. Ifodaning ma'nosini toping
, agar a
. Javob bering. beshta

2-bob. "Trigonometrik iboralarni o'zgartirish" mavzusini yakuniy takrorlashni tashkil etishning uslubiy jihatlari.

O'quv samaradorligini yanada oshirishga, talabalar o'rtasida chuqur va doimiy bilimlarga erishishga yordam beradigan muhim masalalardan biri bu ilgari o'rganilgan materialni takrorlash masalasidir. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, 10-sinfda tematik takrorlashni tashkil qilish maqsadga muvofiqdir; 11-sinfda - yakuniy takrorlash.

2.1. 10-sinfda tematik takrorlash.

Matematik material ustida ishlash jarayonida har bir tugallangan mavzuni yoki butun bo'limni takrorlash ayniqsa muhim bo'ladi.

Mavzuni takrorlash bilan talabalarning mavzu bo'yicha bilimlari uning o'tishining oxirgi bosqichida yoki tanaffusdan keyin tizimlashtiriladi.

Mavzuni takrorlash uchun maxsus darslar ajratilgan bo'lib, ularda bitta mavzu bo'yicha materiallar jamlangan va umumlashtirilgan.

Darsda takrorlash talabalarning ushbu suhbatga keng jalb qilinishi bilan suhbat orqali amalga oshiriladi. Shundan so'ng, talabalardan ma'lum bir mavzuni takrorlash so'raladi va test ishi o'tkazilishi haqida ogohlantiriladi.

Mavzu bo'yicha test barcha asosiy savollarni o'z ichiga olishi kerak. Ishni tugatgandan so'ng, xarakterli xatolar tahlil qilinadi va ularni yo'q qilish uchun takrorlash tashkil etiladi.

Mavzuni takrorlash darslari uchun biz rivojlanganlarni taklif qilamiz test varaqalari"Trigonometrik iboralarni o'zgartirish" mavzusida.

1-sinov

Sinov raqami 2

Sinov raqami 3

Javoblar jadvali

Sinov

2.2. 11-sinfda yakuniy takrorlash.

Yakuniy takrorlash matematik kursning asosiy masalalarini o'rganishning yakuniy bosqichida amalga oshiriladi va ushbu qism yoki umuman kurs uchun o'quv materialini o'rganish bilan mantiqiy bog'liqlikda amalga oshiriladi.

O'quv materialini yakuniy takrorlash quyidagi maqsadlarga ega:

1. Butun o'quv kursi materialini uning mantiqiy tuzilishini aniqlashtirish va fan va fanlararo aloqalar ichida tizim yaratish uchun faollashtirish.

2. Takrorlash jarayonida kursning asosiy masalalari bo'yicha talabalarning bilimlarini chuqurlashtirish va imkon qadar kengaytirish.

Barcha bitiruvchilar uchun majburiy matematika imtihonini hisobga olgan holda, Yagona davlat imtihonining bosqichma-bosqich joriy etilishi barcha maktab o'quvchilarining o'quv materiallarini bazaviy darajada o'zlashtirishini ta'minlash zarurligini, shuningdek yuqori natijalarga erishishga qiziqqan talabalar uchun imkoniyatni hisobga olgan holda darslarni tayyorlash va o'tkazishda yangicha yondashuvni talab qiladi. universitetga kirish, materialni ilg'or va yuqori darajada o'zlashtirishda jadal rivojlanish.

Yakuniy takrorlash darslarida siz quyidagi vazifalarni ko'rib chiqishingiz mumkin.

1-misol . Ifodaning qiymatini hisoblang.Qaror. \u003d
= =
=
=
=
=0,5. Javob bering. 0,5. 2-misol. Ifodani qabul qilishi mumkin bo'lgan eng katta butun sonni belgilang
.

Qaror. Sifatida
har qanday qiymatni olishi mumkin, segment [-1; 1], keyin
segmentning istalgan qiymatini oladi [–0.4; 0.4], shuning uchun. Ifodaning butun qiymati bitta - 4 raqamidir.

Javob: 4 3-misol . Ifodani soddalashtiring
.

Yechim: Keling, kublar yig'indisini faktorlash uchun formuladan foydalanaylik:. Bizda ... bor

Bizda ... bor:
.

Javob: 1

4-misol. Hisoblang
.

Qaror. ...

Javob: 0,28

Yakuniy takrorlash darslari uchun "Trigonometrik iboralarni o'zgartirish" mavzusida ishlab chiqilgan testlarni taklif qilamiz.

Iltimos, 1dan oshmaydigan eng katta butun sonni kiriting

Xulosa.

Ushbu mavzu bo'yicha tegishli uslubiy adabiyotlarni ko'rib chiqib, maktab matematikasi kursida trigonometrik o'zgarishlar bilan bog'liq vazifalarni hal qilish qobiliyati va ko'nikmalari juda muhim degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Bajarilgan ishlar davomida B7 vazifalarini tasniflash amalga oshirildi. 2012 yil CMM-larda eng ko'p ishlatiladigan trigonometrik formulalar ko'rib chiqiladi. Yechimlari bo'lgan vazifalarga misollar keltirilgan. Imtihonga tayyorgarlik ko'rish jarayonida bilimlarni takrorlash va tizimlashtirishni tashkil qilish uchun farqlanadigan testlar ishlab chiqilgan.

Ko'rib chiqqan holda boshlangan ishni davom ettirish tavsiya etiladi B5 topshirig'idagi eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish, B14 vazifasidagi trigonometrik funktsiyalarni o'rganish, B12 vazifasi, fizik hodisalarni tavsiflovchi va trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan formulalarni o'z ichiga olgan.

Xulosa qilib shuni ta'kidlashni istardimki, imtihonni topshirishning samaradorligi ko'p jihatdan barcha darajadagi o'quvchilar bilan ta'limning barcha bosqichlarida tayyorgarlik jarayoni qanchalik samarali tashkil etilishi bilan belgilanadi. Agar biz talabalarning mustaqilligi, mas'uliyati va keyingi hayoti davomida o'qishni davom ettirishga tayyorligini shakllantirsak, unda biz nafaqat davlat va jamiyatning buyrug'ini bajaramiz, balki o'zimizga bo'lgan hurmatni ham oshiramiz.

O'quv materialini takrorlash o'qituvchidan talab qilinadi ijodiy ish... U takrorlash turlari o'rtasida aniq bog'liqlikni ta'minlashi, chuqur o'ylangan takrorlash tizimini amalga oshirishi kerak. Takrorlashni tashkil etish san'atini o'zlashtirish - o'qituvchining vazifasi. Talabalar bilimining kuchi ko'p jihatdan uning echimiga bog'liq.

Adabiyot.

Vygodskiy Ya.Ya., Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma. -M .: Nauka, 1970 yil.

Algebrada qiyinchiliklarning kuchayishi muammolari va tahlil qilish tamoyillari: O'rta maktabning 10-11 sinflari uchun darslik / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Shvartsburd. - M .: Ta'lim, 1990 yil.

Ifodalarni o'zgartirishda asosiy trigonometrik formulalarni qo'llash (10-sinf) // Pedagogik g'oyalar festivali. 2012-2013 yil.

A.G. Koryanov , Prokofiev A.A. Biz imtihonga yaxshi va yaxshi talabalarni tayyorlaymiz. - M .: Pedagogika universiteti "Birinchi sentyabr", 2012. - 103 b.

Kuznetsova E.N. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirish. Trigonometrik tenglamalarni turli usullar bilan echish (imtihonga tayyorgarlik). 11-sinf. 2012-2013 yil.

Kulanin E. D. 3000 Matematikadan raqobat muammolari. 4-chi., Vah. va qo'shing. - M .: Rolf, 2000 yil.

Mordkovich A.G. O'rta maktabda trigonometriyani o'rganishning uslubiy muammolari // Maktabdagi matematika. 2002. № 6.

Pichurin L.F. Trigonometriya haqida va nafaqat bu haqda: -M. Ta'lim, 1985 yil

Reshetnikov N.N. Maktabdagi trigonometriya: -M. : Pedagogika universiteti "Birinchi sentyabr", 2006 yil, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Matematika. Algebra. Matematik tahlilning boshlanishi Profil darajasi: 10-sinf uchun darslik - M .: BINOM. Bilimlar laboratoriyasi, 2007 yil.

Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun o'quv portali.

Matematikadan imtihonga tayyorgarlik "Oh, bu trigonometriya! http://festival.1september.ru/articles/621971/

"Matematika? Oson !!!" loyihasihttp://www.resolventa.ru/