Trigonometriyada qaysi chorakni qanday aniqlash mumkin. Trigonometrik doira. Misollar bilan batafsil nazariya. Tangens o'qi va kotangens o'qi

Oddiy qilib aytganda, bu maxsus retsept bo'yicha suvda pishirilgan sabzavotlar. Men ikkita dastlabki komponentni (sabzavotli salat va suv) va yakuniy natijani - borschni ko'rib chiqaman. Geometrik nuqtai nazardan, bu bir tomoni salatni, ikkinchisi suvni ifodalovchi to'rtburchak deb qaralishi mumkin. Ushbu ikki tomonning yig'indisi borschtni anglatadi. Bunday "borsch" to'rtburchaklar diagonali va maydoni toza matematik tushunchalar va hech qachon borscht retseptlarida ishlatilmaydi.

Matematik nuqtai nazardan salat va suv qanday qilib borschga aylanadi? Ikki chiziqli segmentlarning yig'indisi qanday qilib trigonometriyaga aylanishi mumkin? Buni tushunish uchun bizga chiziqli burchak funktsiyalari kerak.

Matematik darsliklarida chiziqli burchak funktsiyalari haqida hech narsa topa olmaysiz. Ammo ularsiz matematika bo'lmaydi. Matematika qonunlari, tabiat qonunlari singari, ularning mavjudligini bilishimiz yoki bilmasligimizdan qat'iy nazar ishlaydi.

Lineer burchak funktsiyalari qo'shilish qonunlari. Algebra geometriyaga, geometriya esa trigonometriyaga qanday o'tishini ko'ring.

Lineer burchak funktsiyalari taqsimlanishi mumkinmi? Bu mumkin, chunki matematiklar hali ham ularsiz ishlaydi. Matematiklarning hiyla-nayranglari shundan iboratki, ular har doim bizga faqat o'zlari qanday hal qilishni biladigan masalalar haqida gapirib berishadi va hal qila olmaydigan muammolar haqida hech qachon gapirishmaydi. Qarang. Agar biz qo'shilish natijasini va bitta atamani bilsak, boshqa atamani topish uchun ayirishdan foydalanamiz. Hammasi. Biz boshqa vazifalarni bilmaymiz va ularni hal qila olmaymiz. Agar biz faqat qo'shilish natijasini bilsak va ikkala shartni ham bilmasak nima qilishimiz kerak? Bunday holda, qo'shilish natijasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida ikkita hadga ajralishi kerak. Keyin biz o'zimiz qanday bitta atama bo'lishi mumkinligini tanlaymiz va chiziqli burchak funktsiyalari ikkinchi atama qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatadi, shunda qo'shilish natijasi aynan bizga kerak bo'ladi. Bunday juft atamalarning cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. IN kundalik hayot biz summani buzmasdan juda yaxshi ish qila olamiz; ayirish biz uchun etarli. Lekin bilan ilmiy tadqiqotlar tabiat qonunlari, yig'indining atamalarga ajralishi juda foydali bo'lishi mumkin.

Matematiklar gapirishni yoqtirmaydigan yana bir qo'shilish qonuni (ularning yana bir hiyla-nayranglari) atamalarning bir xil o'lchov birliklariga ega bo'lishini talab qiladi. Salat, suv va borsch uchun bu vazn, hajm, qiymat yoki o'lchov birliklari uchun o'lchov birliklari bo'lishi mumkin.

Rasmda matematikaning ikkita farq darajasi ko'rsatilgan. Birinchi daraja - bu ko'rsatilgan raqamlar sohasidagi farqlar a, b, v... Bu matematiklar qiladi. Ikkinchi daraja - bu kvadrat qavsda ko'rsatilgan va harf bilan ko'rsatilgan o'lchov birliklari sohasidagi farqlar U... Bu fiziklar qiladi. Uchinchi darajani - tasvirlangan ob'ektlar sohasidagi farqlarni tushunishimiz mumkin. Turli xil ob'ektlar bir xil miqdordagi bir xil birliklarga ega bo'lishi mumkin. Bu qanchalik muhim, biz borscht trigonometriya misolida ko'rishimiz mumkin. Agar biz turli xil ob'ektlarning o'lchov birliklarining bir xil belgisiga pastki yozuvlarni qo'shsak, qaysi matematik qiymat ma'lum bir ob'ektni tasvirlashini va vaqt o'tishi bilan yoki bizning harakatlarimiz bilan bog'liq ravishda qanday o'zgarishini aniq aytishimiz mumkin. Xat bilan V Men suvni xat bilan belgilayman S Men salat va xatni tayinlayman B - borsch. Borsch uchun chiziqli burchak funktsiyalari shunga o'xshash bo'ladi.

Agar biz suvning bir qismini va salatning bir qismini olsak, ular birgalikda borschtning bir qismiga aylanadi. Bu erda sizga borschtdan tanaffus qilishni va uzoq bolaligingizni eslashni maslahat beraman. Qanday qilib quyonlar va o'rdaklarni birlashtirishni o'rgatishganini eslang? U erda qancha hayvon borligini topish kerak edi. Keyin bizni nima qilishni o'rgatishdi? Bizga birliklarni raqamlardan ajratib, sonlarni qo'shishni o'rgatishgan. Ha, istalgan bitta raqamni istalgan boshqa raqamga qo'shish mumkin. Bu zamonaviy matematikaning autizmiga olib boradigan to'g'ridan-to'g'ri yo'l - biz nimani tushunmayapmiz, nima uchun aniq emas va bu haqiqat bilan qanday bog'liqligini juda yomon tushunamiz, chunki farqning uchta darajasi tufayli matematika faqat bittasini ishlaydi. Bir o'lchov birligidan boshqasiga qanday o'tishni o'rganish to'g'ri bo'lar edi.

Bunnies, o'rdak va hayvonlarni qismlarga bo'lib hisoblash mumkin. Turli xil ob'ektlar uchun bitta umumiy o'lchov birligi ularni birlashtirishga imkon beradi. Bu muammoning bolalarcha versiyasi. Keling, kattalar uchun shunga o'xshash muammoni ko'rib chiqaylik. Agar quyonlar va pul qo'shsangiz nima bo'ladi? Bu erda ikkita echim bo'lishi mumkin.

Birinchi variant... Biz quyonlarning bozor qiymatini aniqlaymiz va mavjud pul miqdoriga qo'shamiz. Biz boyligimizning umumiy qiymatini pul ko'rinishida oldik.

Ikkinchi variant... Sizda mavjud bo'lgan banknotalar soniga quyonlar sonini qo'shishingiz mumkin. Biz ko'chma mulk sonini dona qilib olamiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil qo'shilish qonuni turli xil natijalarni keltirib chiqaradi. Hammasi aynan nimani bilmoqchi ekanligimizga bog'liq.

Ammo bizning borschtga qaytib boring. Endi biz chiziqli burchak funktsiyalari burchagining turli qiymatlari uchun nima bo'lishini ko'rishimiz mumkin.

Burchak nolga teng. Bizda salat bor, lekin suv yo'q. Biz borscht pishirolmaymiz. Borscht miqdori ham nolga teng. Bu nol borsch nol suvga teng degani emas. Nolinchi borsch nol salat (to'g'ri burchak ostida) bo'lishi mumkin.

Shaxsan men uchun bu haqiqatning asosiy matematik isboti. Nol qo'shilganda raqamni o'zgartirmaydi. Buning sababi shundaki, agar bitta atama bo'lsa va ikkinchi muddat etishmayotgan bo'lsa, qo'shilishning o'zi mumkin emas. Siz bu bilan o'zingiz xohlagan tarzda bog'lashingiz mumkin, lekin esda tuting - nolga teng bo'lgan barcha matematik operatsiyalar matematiklarning o'zi tomonidan ixtiro qilingan, shuning uchun matematiklar tomonidan ixtiro qilingan mantiqiy va ahmoqona tramvay ta'riflaringizni tashlang: "nolga bo'lish imkonsiz", "nolga ko'paytirilgan har qanday son nolga teng" , "nol nuqtadan tashqarida" va boshqa deliryum. Nol raqam emasligini bir marta eslash kifoya, va siz endi nol tabiiy son bo'ladimi yoki yo'qmi degan savolga duch kelmaysiz, chunki bunday savol umuman ma'noni yo'qotadi: raqam bo'lmagan sonni qanday ko'rib chiqish mumkin. Bu ko'rinmas rang qanday rang bo'lishi kerakligini so'rashga o'xshaydi. Raqamga nol qo'shish mavjud bo'lmagan bo'yoq bilan bo'yashga o'xshaydi. Biz quruq cho'tka bilan qo'l silkitib, hammaga "biz bo'yalganmiz" deb aytdik. Ammo men biroz chayqalaman.

Burchak noldan katta, ammo qirq besh darajadan kam. Bizda salat juda ko'p, ammo suv oz. Natijada, biz qalin borscht olamiz.

Burchak qirq besh daraja. Bizda teng miqdordagi suv va salat bor. Bu mukammal borscht (meni oshpazlarni kechir, bu shunchaki matematik).

Burchak qirq besh darajadan kattaroq, ammo to'qson darajadan kam. Bizda suv va ozgina salat bor. Siz suyuq borsch olasiz.

To'g'ri burchak. Bizda suv bor. Salatadan faqat xotiralar qoladi, chunki biz bir vaqtlar salat uchun turgan chiziqdan burchakni o'lchashni davom ettirmoqdamiz. Biz borscht pishirolmaymiz. Borscht miqdori nolga teng. Bunday holda, ushlab turing va suv bor ekan, iching)))

Bu yerda. Shunga o'xshash narsa. Bu erda ko'proq mos keladigan boshqa hikoyalarni aytib berishim mumkin.

Ikki do'stning umumiy biznesdagi ulushi bor edi. Ulardan birini o'ldirgandan so'ng, barchasi boshqasiga o'tdi.

Sayyoramizda matematikaning paydo bo'lishi.

Matematika tilidagi ushbu hikoyalarning barchasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida bayon etilgan. Boshqa vaqtlarda men sizga matematikaning tarkibida ushbu funktsiyalarning haqiqiy o'rnini ko'rsataman. Ayni paytda, keling, borschning trigonometriyasiga qaytaylik va proektsiyalarni ko'rib chiqaylik.

shanba, 26 oktyabr 2019 yil

Haqida qiziqarli videoni tomosha qildim grandi qatori Bir minus bitta ortiqcha bitta minus bitta - Numberphile ... Matematiklar yolg'on gapirishadi. Ular o'zlarining fikrlarida tenglik testini o'tkazmadilar.

Bu mening fikrlarimni takrorlaydi.

Keling, matematiklar tomonidan bizni aldash belgilarini batafsil ko'rib chiqaylik. Fikrlashning boshida matematiklarning aytishicha, ketma-ketlikning yig'indisi undagi elementlar sonining teng yoki yo'qligiga bog'liq. Bu MAQSADLI QARORLI FAKT. Keyin nima bo'ladi?

Keyin matematiklar bittadan ketma-ketlikni chiqarib tashlashadi. Bu nimaga olib keladi? Bu ketma-ketlikdagi elementlar sonining o'zgarishiga olib keladi - juft son toq songa, toq son juft songa o'zgaradi. Axir biz ketma-ketlikka biriga teng bitta element qo'shdik. Barcha tashqi o'xshashliklarga qaramay, konversiyadan oldingi ketma-ketlik konversiyadan keyingi ketma-ketlikka teng emas. Agar cheksiz ketma-ketlik haqida gapiradigan bo'lsak ham, toq sonli elementlarga ega bo'lgan cheksiz ketma-ketlik elementlarning juft soniga ega bo'lgan cheksiz ketma-ketlikka teng emasligini yodda tutishimiz kerak.

Elementlar soni bo'yicha farq qiluvchi ikkita ketma-ketlik o'rtasida tenglikni belgisini qo'yib, matematiklar ketma-ketlikning yig'indisi ketma-ketlikdagi elementlar soniga bog'liq emas, deb ta'kidlaydilar, bu Maqsadli aniqlangan Haqiqatga ziddir. Cheksiz ketma-ketlikning yig'indisi haqida qo'shimcha fikrlar yolg'ondir, chunki u yolg'on tenglikka asoslangan.

Agar siz matematiklarning isbotlash jarayonida qavslarni joylashtirayotganini ko'rsangiz, matematik ifoda elementlarini qayta joylashtiring, biror narsani qo'shing yoki olib tashlang, juda ehtiyot bo'ling, ehtimol ular sizni aldashmoqchi. Karta sehrgarlari singari, matematiklar ham sizning natijangizni soxtalashtirishi uchun sizning e'tiboringizni turli xil ifoda manipulyatsiyalari bilan chalg'itadi. Agar siz aldash sirini bilmasdan karta hiyla-nayrangini takrorlay olmasangiz, unda matematikada hamma narsa ancha sodda: siz hatto hiyla-nayrang haqida hech narsa shubha qilmaysiz, ammo matematik ifoda bilan barcha manipulyatsiyalarni takrorlash boshqalarni natijaning to'g'riligiga ishontirishga imkon beradi, xuddi qachon bo'lgani kabi sizni ishontirgan narsa.

Tomoshabinlarning savoli: Va cheksizlik (S ketma-ketlikdagi elementlar soni kabi) haqida nima deyish mumkin? Paritetga ega bo'lmagan narsaning paritetini qanday o'zgartirish mumkin?

Matematiklar uchun cheksizlik, xuddi ruhoniylar uchun Osmon Shohligi kabi - hech kim u erda bo'lmagan, ammo hamma u erda qanday ishlashini aniq biladi))) Men roziman, o'limdan keyin siz juft yoki g'alati kunlarda yashadingizmi, befarq bo'lasiz, ammo ... faqat bir kun sizning hayotingizning boshida biz butunlay boshqacha odamni olamiz: uning familiyasi, ismi va otasining ismi aynan bir xil, faqat tug'ilgan sanasi butunlay boshqacha - u sizdan bir kun oldin tug'ilgan.

Va endi, mohiyatan))) Faraz qilaylik, paritetga ega bo'lgan cheklangan ketma-ketlik cheksizlikka borishda bu tenglikni yo'qotadi. Shunda cheksiz ketma-ketlikning har qanday cheklangan bo'lagi ham tenglikni yo'qotishi kerak. Biz buni ko'rmayapmiz. Cheksiz ketma-ketlikdagi elementlar soni juft yoki g'alati ekanligini aniq ayta olmaymiz, bu paritetlik yo'qolgan degani emas. Paritet, agar mavjud bo'lsa, o'tkirroq odamning yengida bo'lgani kabi, cheksizlikka izsiz yo'qolmaydi. Ushbu ish uchun juda yaxshi o'xshashlik mavjud.

Soatda o'tirgan kakkudan soat millari qaysi yo'nalishda aylanishini so'raganmisiz? Uning uchun o'q biz "soat sohasi" deb atagan narsaga teskari yo'nalishda aylanadi. Qanday paradoksal bo'lsa ham, aylanish yo'nalishi biz aylanmani qaysi tomondan kuzatayotganimizga bog'liq. Shunday qilib, bizda bitta g'ildirak bor. Aylanish qaysi yo'nalishda amalga oshirilayotganligini ayta olmaymiz, chunki biz uni aylanish tekisligining bir tomonidan, ikkinchisidan ham kuzatishimiz mumkin. Biz faqat rotatsiya borligini tasdiqlashimiz mumkin. Cheksiz ketma-ketlik tengligi bilan to'liq o'xshashlik S.

Endi aylanma tekisligi birinchi yigiruv g'ildiragining aylanish tekisligiga parallel bo'lgan ikkinchi aylanuvchi g'ildirakni qo'shamiz. Biz hali ham ushbu g'ildiraklarning qaysi yo'nalishda aylanishini aniq ayta olmaymiz, lekin ikkala g'ildirakning bir yo'nalishda yoki qarama-qarshi yo'nalishda aylanishini aniq aytishimiz mumkin. Ikki cheksiz ketma-ketlikni taqqoslash S va 1-S, Men matematikaning yordami bilan ushbu ketma-ketliklar har xil paritetga ega ekanligini va ular orasida teng belgini qo'yish xato ekanligini ko'rsatdim. Shaxsan men matematikaga ishonaman, matematiklarga ishonmayman))) Aytgancha, cheksiz ketma-ketliklarning o'zgarishi geometriyasini to'liq tushunish uchun kontseptsiyani kiritish kerak "bir vaqtda"... Buni chizish kerak bo'ladi.

2019 yil 7-avgust, chorshanba

Suhbatni yakunlab, cheksiz sonni hisobga olish kerak. Bu "cheksizlik" tushunchasi matematiklarga quyon ustidagi boa konstriktatori kabi ta'sir ko'rsatishini ko'rsatdi. Cheksizlikning dahshatli dahshati matematiklarni sog'lom fikrdan mahrum qiladi. Mana bir misol:

Asl manba joylashgan. Alfa haqiqiy sonni anglatadi. Yuqoridagi iboralardagi tenglik belgisi cheksizlikka son yoki cheksiz qo'shsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, natija bir xil cheksiz bo'lishini ko'rsatadi. Misol sifatida cheksiz to'plamni olamiz natural sonlar, keyin ko'rib chiqilgan misollarni quyidagicha ifodalash mumkin:

Ularning to'g'riligini vizual isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli usullarni o'ylab topdilar. Shaxsan men ushbu usullarning barchasiga daflar bilan raqs tushayotgan shamanlar sifatida qarayman. Aslida ularning hammasi, ba'zi xonalar band emasligi va yangi mehmonlar kirib kelayotgani, yoki mehmonlarning bir qismi mehmonlarga joy ajratish uchun yo'lakka tashlangani (juda odamiy). Men bunday qarorlarga o'z nuqtai nazarimni fotosini haqida hayoliy hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslangan? Cheksiz ko'p sonli tashrif buyuruvchilarni ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Birinchi xonani mehmonga bo'shatib qo'yganimizdan so'ng, mehmonlardan biri asrning oxirigacha har doim o'z xonasidan keyingi xonasiga qadar yo'lak bo'ylab yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona tarzda e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu allaqachon "qonun ahmoqlar uchun yozilmagan" toifasidan bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.

"Cheksiz mehmonxona" nima? Cheksiz mehmonxona - bu qancha xonada bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh joylarga ega bo'lgan mehmonxona. Agar cheksiz mehmonlar koridoridagi barcha xonalar band bo'lsa, mehmonlar xonalari joylashgan yana bir cheksiz yo'lak mavjud. Bunday yo'laklarning cheksiz ko'pligi bo'ladi. Bundan tashqari, "cheksiz mehmonxona" cheksiz ko'p sonli sayyoralardagi cheksiz ko'p sonli binolarda cheksiz sonli Xudo tomonidan yaratilgan koinotlarda joylashgan. Ammo matematiklar odatdagi kundalik muammolardan uzoqlashishga qodir emaslar: Xudo-Olloh-Budda har doim faqat bitta, mehmonxona bitta, koridor bitta. Mana matematiklar va mehmonxonalarning seriya raqamlarini manipulyatsiya qilishga urinib ko'ring, bizni "narsalarni surish" mumkinligiga ishontiring.

Men o'zimning mantiqiy fikrimni cheksiz tabiiy sonlar misolida namoyish etaman. Avval siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: nechta tabiiy sonlar to'plami bor - bitta yoki ko'pmi? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz o'zimiz raqamlarni ixtiro qildik; tabiatda raqamlar mavjud emas. Ha, tabiat sanashda juda zo'r, ammo buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiat o'ylaganidek, men sizga yana bir marta aytaman. Raqamlarni ixtiro qilganimiz uchun, biz tabiiy sonlarning qancha to'plami borligini o'zimiz hal qilamiz. Haqiqiy olimga mos keladigan ikkita variantni ko'rib chiqaylik.

Birinchi variant. "Bizga beramiz" tokchasida tinchgina yotadigan bitta tabiiy sonlar to'plami. Ushbu to'plamni javondan olamiz. Bu erda, tokchada boshqa tabiiy raqamlar yo'q va ularni olib ketadigan joy yo'q. Biz ushbu to'plamga bittasini qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Va agar chindan ham xohlasangiz? Muammosiz. Biz allaqachon olgan to'plamdan birini olib, javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz javondan bir birlikni olib, qolgan narsamizga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz natural sonlar to'plamini olamiz. Bizning barcha manipulyatsiyalarimizni quyidagicha yozishingiz mumkin:

Harakatlarni algebraik notatsiyada va to'plam nazariyasida ishlatilgan yozuvlarda, to'plam elementlari batafsil ro'yxati bilan yozib qo'ydim. Pastki yozuv bizda bitta va yagona tabiiy sonlar to'plami borligini ko'rsatadi. Ma'lum bo'lishicha, undan bitta ayirma va bir xil birlikni qo'shgandagina natural sonlar to'plami o'zgarishsiz qoladi.

Ikkinchi variant. Bizning tokchamizda juda ko'p sonli tabiiy sonlar to'plami mavjud. Shuni ta'kidlayman - ular deyarli farq qilmasligiga qaramay, TURLI. Biz ushbu to'plamlardan birini olamiz. Keyin biz boshqa tabiiy sonlar to'plamidan birini olamiz va allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita tabiiy sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Mana nimani olamiz:

"Bir" va "ikkitasi" pastki yozuvlari ushbu elementlarning turli xil to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bittasini qo'shsangiz, natija ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Agar bitta cheksiz to'plamga yana bir cheksiz to'plamni qo'shsak, natijada dastlabki ikkita to'plam elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to'plam bo'ladi.

Hisoblash uchun o'lchovlar uchun o'lchagich singari ko'plab tabiiy sonlardan foydalaniladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shganingizni tasavvur qiling. Bu allaqachon asl nusxaga teng bo'lmagan boshqa chiziq bo'ladi.

Siz mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning o'zingizning ishingiz. Agar siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklar avlodlari bosib o'tgan yolg'on fikrlash yo'lidan borasizmi yoki yo'qmi deb o'ylang. Axir matematikani bajarish, avvalo, bizda barqaror fikrlash stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina bizga aqliy qobiliyatlarni qo'shadi (yoki aksincha, bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).

pozg.ru

4-avgust, yakshanba

Men ushbu maqolaga postkript yozar edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:

Biz o'qiymiz: "... boy nazariy asos Bobil matematikasi yaxlit xarakterga ega emas edi va ulardan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga aylantirildi umumiy tizim va dalillar bazasi. "

Qoyil! Biz qanchalik aqlli va boshqalarning kamchiliklarini qanchalik yaxshi ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil nuqtai nazardan qarash biz uchun qiyinmi? Yuqoridagi matnni biroz o'zgartirib, men shaxsan quyidagilarni oldim:

Zamonaviy matematikaning boy nazariy asoslari yaxlit emas va umumiy tizim va dalil bazasidan mahrum bo'lgan turli bo'limlar to'plamiga qisqartirildi.

Men so'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - uning tili va matematikaning ko'plab boshqa sohalari konventsiyalaridan farq qiladigan tili va konventsiyalari bor. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'nolarga ega bo'lishi mumkin. Men zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga butun bir qator nashrlarni bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.

2019 yil 3-avgust, shanba

Qanday qilib to'plamni pastki to'plamlarga bo'lish mumkin? Buning uchun tanlangan to'plamning ba'zi elementlari uchun mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritish kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Bizda ko'p bo'lsin Ato'rt kishidan iborat. Ushbu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan bo'lib, ushbu to'plam elementlarini xat bilan belgilaymiz a, raqamli indeks bu to'plamdagi har bir kishining tartib raqamini ko'rsatib beradi. Keling, yangi "jinsiy aloqa" o'lchov birligini kiritamiz va uni harf bilan belgilaymiz b... Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz A jinsi bo'yicha b... E'tibor bering, endi bizning "odamlar" ko'pligimiz "jinsiy xususiyatlarga ega odamlar" ga aylandi. Shundan so'ng, biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarnikiga bo'lishimiz mumkin bm va ayollar bw jinsiy xususiyatlar. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz erkak yoki ayol bo'lishidan qat'i nazar, ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz. Agar odamda bo'lsa, unda biz uni ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz odatdagi maktab matematikasini qo'llaymiz. Qarang, nima bo'ldi.

Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tashkil etilgandan so'ng biz ikkita pastki to'plamni oldik: erkaklar to'plami Bm va ayollarning bir qismi Bw... Matematiklar to'plam nazariyasini amalda qo'llaganlarida ham xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizni tafsilotlarga bag'ishlamaydilar, ammo yakunlangan natijani berishadi - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning pastki qismidan iborat." Tabiiyki, yuqoridagi o'zgarishlarda matematikaning qanchalik to'g'ri qo'llanilishini o'ylashingiz mumkinmi? Sizga ishontirishga jur'at etaman, aslida hammasi to'g'ri bajarilgan, arifmetikaning matematik asoslarini, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa sohalarini bilish kifoya. Bu nima? Bu haqda sizga yana bir bor aytib beraman.

Supersetsga kelsak, siz ushbu ikkita to'plam elementlari uchun mavjud bo'lgan o'lchov birligini tanlab, ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtira olasiz.

Ko'rib turganingizdek, birliklar va umumiy matematikalar to'plamlar nazariyasini o'tmishga aylantiradi. Matematiklar to'plamlar nazariyasi uchun o'z tillarini va yozuvlarini o'ylab topganliklari to'plamlar nazariyasining hammasi yaxshi emasligidan dalolat beradi. Matematiklar bir paytlar shaman kabi harakat qilishgan. Shamanlargina o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni biladilar. Ular bizga bu "bilim" ni o'rgatadilar.

Va nihoyat, men sizga matematiklar qanday manipulyatsiya qilishlarini ko'rsatmoqchiman
Aytaylik, Axill toshbaqadan o'n baravar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Axilles bu masofani bosib o'tishi kerak bo'lgan vaqt davomida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam yurib boradi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon cheksiz davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqani quvib yetmaydi.

Ushbu mulohaza keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Xilbert ... Ularning barchasi Zeno aporiyalarini u yoki bu tarzda ko'rib chiqishgan. Shok shunchalik kuchli ediki, " ... munozaralar hozirgi paytda ham davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslarning mohiyati to'g'risida umumiy fikrga kela olmadi ... matematik tahlil, to'plam nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar masalani o'rganishda ishtirok etdi; ularning hech biri bu savolga umumiy qabul qilingan echimga aylanmagan ..."[Vikipediya, Zeno's Aporia"]. Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim bu aldanishni tushunmaydi.

Matematika nuqtai nazaridan Zeno o'zining aporiyasida kattalikdan-ga o'tishni aniq ko'rsatib berdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga qo'llashni o'z ichiga oladi. Tushunishimcha, o'zgaruvchan o'lchov birliklarini qo'llash uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenoning aporiyasiga tatbiq etilmagan. Bizning odatiy mantig'imizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Fikrlash inertsiyasi bo'yicha biz o'zaro bog'liqlikka doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqa bilan tenglashadigan paytgacha to'liq to'xtaguncha vaqt kengayishiga o'xshaydi. Agar vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqani bosib o'tolmaydi.

Agar biz odatlanib qolgan mantiqni ag'darib tashlasak, hamma narsa o'z joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda ishlaydi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi oldingisiga qaraganda o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engib o'tishga sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, unda "Axilles toshbaqani cheksiz tez quvib yetadi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochishingiz mumkin? Doimiy vaqt birliklarida turing va orqaga qaytmang. Zeno tilida shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam bosib o'tadigan vaqt davomida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam bosib o'tadi. Keyingi vaqt oralig'ida, birinchisiga teng Axilles yana ming qadam bosib o'tadi va toshbaqa yuz qadam bosib o'tadi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Ushbu yondashuv mantiqiy paradokslarsiz haqiqatni etarli darajada tavsiflaydi. Ammo bunday emas to'liq echim Muammolar. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidamliligi haqidagi gapi Zeno aporiya "Axilles va toshbaqa" ga juda o'xshash. Biz hali bu masalani o'rganishimiz, qayta ko'rib chiqishimiz va hal qilishimiz kerak emas. Va echimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Yana bir qiziqarli aporiya Zeno uchib yurgan o'q haqida shunday deydi:

Uchayotgan o'q harakatsiz, chunki har bir daqiqada u dam oladi, va har bir daqiqada dam olgandan beri, u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib chiqildi - har bir lahzada uchar o'q kosmosning turli nuqtalarida turishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Bu erda yana bir narsani ta'kidlash kerak. Yo'lda bo'lgan avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini yoki unga bo'lgan masofani aniqlash mumkin emas. Mashinaning harakatlanish faktini aniqlash uchun vaqtning har xil nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan masofani aniqlab bo'lmaydi. Avtoulovgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ular harakatlanish faktini aniqlay olmaydilar (albatta, hisob-kitoblar uchun qo'shimcha ma'lumotlar hali ham kerak, trigonometriya sizga yordam beradi). Men alohida e'tiborni jalb qilmoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtdagi ikkita nuqta va kosmosdagi ikkita nuqta bir-biridan chalg'itilmasligi kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqotlar uchun har xil imkoniyatlarni beradi.
Men sizga jarayonni misol bilan ko'rsataman. Biz "pimple ichida qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butunligimiz". Shu bilan birga, biz bu narsalarning kamon bilan ekanligini ko'rayapmiz, ammo kamon yo'q. Shundan so'ng biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni shakllantiramiz. Shamanlar o'zlarining nazariyasini haqiqatga bog'lab, o'zlarini qanday oziqlantiradi.

Keling, bir oz iflos fokus qilaylik. "Yomg'ir bilan pimple ichida qattiq" oling va qizil elementlarni tanlab, bu "butun" ranglarni birlashtiring. Bizda juda ko'p "qizil" ranglar bor edi. Endi to'ldirish kerak bo'lgan savol: natijada "kamon bilan" va "qizil" to'plamlar bir xil yoki ikki xil to'plamlarmi? Javobni faqat shamanlar biladi. Aniqrog'i, ular o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'lsin.

Ushbu oddiy misol, haqiqat haqida gap ketganda, to'plam nazariyasi umuman foydasiz ekanligini ko'rsatadi. Buning siri nimada? Biz "kamon bilan zarbaga qizil qattiq" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligi bo'yicha sodir bo'ldi: rang (qizil), kuch (qattiq), pürüzlülük (pimple ichida), bezaklar (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami haqiqiy ob'ektlarni matematik tilida etarli darajada tavsiflashga imkon beradi... Bu shunday ko'rinadi.

Turli xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan "a" harfi turli xil o'lchov birliklarini bildiradi. O'lchov birliklari oldingi bosqichda "butun" ajratilgan qavsda belgilanadi. To'siq shakllanadigan o'lchov birligi qavsdan chiqariladi. Oxirgi satr yakuniy natijani - to'plam elementini ko'rsatadi. Ko'rib turganingizdek, agar biz to'plamni shakllantirish uchun o'lchov birliklaridan foydalansak, unda natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu allaqachon matematika, daflar bilan shamanlarni raqsga tushirish emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga erishishlari mumkin, buni "dalillar bilan" tortishishadi, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenaliga kiritilmagan.

Bitta qismni ajratish yoki bir nechta to'plamni bir supersetga birlashtirish uchun birliklardan foydalanish juda oson. Keling, ushbu jarayonning algebrasini batafsil ko'rib chiqamiz.

Oxirgi darsda biz barcha trigonometriyaning asosiy tushunchalarini muvaffaqiyatli o'zlashtirdik (yoki boshqalar kabi takrorladik). u trigonometrik doira , doira ustidagi burchak , bu burchakning sinusi va kosinusi va shuningdek o'zlashtirildi belgilar trigonometrik funktsiyalar choraklar bo'yicha . To'liq o'zlashtirgan. Barmoqlarda kimdir aytishi mumkin.

Ammo bu hali ham etarli emas. Ushbu sodda tushunchalarning barchasini amalda muvaffaqiyatli qo'llash uchun yana bir foydali ko'nikma kerak. Aynan to'g'ri burchaklar bilan ishlash trigonometriyada. Trigonometriyadagi ushbu mahoratsiz - hech narsa yo'q. Hatto eng ibtidoiy misollarda ham. Nima uchun? Chunki burchak barcha trigonometriyada asosiy rol o'ynaydi! Yo'q, trigonometrik funktsiyalar emas, kosinus bilan sinuslar, kotangentlar bilan teginans emas, ya'ni burchakning o'zi... Burchak yo'q - trigonometrik funktsiyalar yo'q, ha ...

Qanday qilib doira ustidagi burchaklar bilan to'g'ri ishlash kerak? Buning uchun biz ikkita fikrni o'rganishimiz kerak.

1) Qanday doiradagi burchaklar hisoblanadimi?

2) Nimada ular hisoblanadimi (o'lchanadi)?

Birinchi savolga javob bugungi dars mavzusi. Biz birinchi savolni shu erda va hozirda batafsil ko'rib chiqamiz. Men bu erda ikkinchi savolga javob bermayman. Bu juda rivojlangan. Ikkinchi savolning o'zi ham sirpanchiq, ha.) Hali tafsilotlarga to'xtalmayman. Bu keyingi alohida darsning mavzusi.

Qani boshladik?

Aylana ustidagi burchaklar qanday hisoblanadi? Ijobiy va salbiy tomonlar.

Abzats sarlavhasini o'qiganlarning sochlari allaqachon sochlari bilan o'ralgan bo'lishi mumkin. Qanaqasiga?! Salbiy burchaklarmi? Bu hatto mumkinmi?

Salbiy raqamlar biz allaqachon bunga o'rganib qolganmiz. Ularni raqamli o'qda qanday tasvirlashni bilamiz: noldan o'ngga ijobiy, noldan chapga salbiy. Va biz vaqti-vaqti bilan derazadan tashqaridagi termometrga qaraymiz. Ayniqsa, qishda, sovuq havoda.) Va telefonda pul "minus" da (ya'ni.) qarz) ba'zan ketmoq. Hammasi tanish.

Burchaklar haqida nima deyish mumkin? Matematikaning salbiy tomonlarini aylantiradi ham sodir bo'ladi! Hammasi aynan shu burchakni qanday o'lchashga bog'liq ... yo'q, raqamlar qatoriga emas, balki raqamlar doirasiga! Aytmoqchimanki, aylana ustida. Doira - mana bu trigonometriyadagi raqamlar qatorining analogi!

Shunday qilib, aylana ustidagi burchaklar qanday sanaladi? Hech narsa qilinmaydi, avval aynan shu doirani chizishimiz kerak.

Men shunday chiroyli rasm chizaman:

Bu oxirgi dars rasmlariga juda o'xshash. Balta bor, aylana bor, burchak bor. Ammo yangi ma'lumotlar ham mavjud.

Shuningdek, men o'qlarga 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° va 360 ° raqamlarini qo'shdim. Endi bu qiziqroq.) Bu qanday raqamlar? To'g'ri! Bu bizning tushgan sobit tomonimizdan o'lchangan burchaklarning qiymatlari koordinata o'qlarida Biz eslaymizki, burchakning sobit tomoni har doim ijobiy OX yarimaksisiga qattiq bog'langan. Va trigonometriyadagi har qanday burchak bu yarimaksisdan o'lchanadi. Burchaklar uchun ushbu boshlang'ich nuqtani yodda tutish kerak. Va o'qlar - ular to'g'ri burchak ostida kesishadi, to'g'rimi? Shunday qilib, har chorakda 90 ° qo'shamiz.

Va yana ko'p narsalar qo'shildi qizil o'q. Plyus bilan. Qizil rang ko'zni ushlash uchun ataylab qilingan. Va mening xotiramga chuqur muhrlangan. Buning uchun ishonchli yod olish kerak.) Bu o'q nimani anglatadi?

Shunday qilib, agar biz o'z burchagimizni burab qo'ysak ortiqcha bilan o'q bo'ylab (soat sohasi farqli o'laroq, choraklarni raqamlash yo'nalishi bo'yicha), keyin burchak ijobiy hisoblanadi!Masalan, rasmda + 45 ° burchak ko'rsatilgan. Aytgancha, iltimos, 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° va 360 ° ning eksenel burchaklari ham plyusga o'ralganiga e'tibor bering! Qizil o'q bo'ylab.

Endi yana bir rasmga qaraymiz:

Bu erda deyarli barchasi bir xil. Eksa ustidagi burchaklargina raqamlangan teskari. Soat yo'nalishi bo'yicha. Va minus belgisi bor.) Hali ham chizilgan ko'k o'q. Bundan tashqari, minus bilan. Ushbu o'q doiradagi burchaklarni salbiy o'qish yo'nalishi. Agar u bizning burchagimizni kechiktirsak, u bizga buni ko'rsatadi soat yo'nalishi bo'yichakeyin burchak salbiy hisoblanadi.Masalan, men -45 ° burchakni ko'rsatdim.

Aytgancha, iltimos, chorak raqamlash hech qachon o'zgarmaydi! Burchaklarni ortiqcha yoki minusga aylantirishimiz muhim emas. Har doim soat sohasi farqli ravishda.)

Esingizda bo'lsin:

1. Burchaklar kelib chiqishi musbat OX yarimaksisidan. Soat bo'yicha - "minus", soat bo'yicha - "ortiqcha".

2. Burchaklarni hisoblash yo'nalishidan qat'i nazar, choraklarni raqamlash har doim soat sohasi farqli ravishda amalga oshiriladi.

Aytgancha, 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 ° o'qlaridagi burchaklarni imzolash, har safar aylana chizish umuman shart emas. Bu faqat yaratilgan mohiyatni tushunish uchun. Ammo bu raqamlar mavjud bo'lishi kerak. sizning boshingizdahar qanday trigonometriya masalasini echishda. Nima uchun? Ushbu boshlang'ich bilim barcha trigonometriyadagi boshqa ko'plab savollarga javob beradi! Eng muhim savol bizni qiziqtiradigan burchak qaysi chorakda tushadi? Ishoning yoki ishonmang, bu savolga to'g'ri javob boshqa barcha trigonometriya muammolarida sher ulushini hal qiladi. Biz ushbu muhim darsni (burchaklarni choraklar bo'yicha taqsimlash) o'sha darsda ko'rib chiqamiz, ammo birozdan keyin.

Koordinata o'qlarida (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° va 360 °) yotgan burchaklarning qiymatlarini eslab qolish kerak! Avtomatizm darajasiga qadar uni qattiq eslang. Va ikkalasi ham ortiqcha va minus.

Ammo shu paytdan boshlab birinchi kutilmagan hodisalar boshlanadi. Va ular bilan bir qatorda, menga murojaat qiladigan hiyla-nayrang savollar, ha ...) Va agar aylanada salbiy burchak bo'lsa nima bo'ladi ijobiy bilan mos tushadimi? Aniqlanishicha xuddi shu nuqtaaylanada musbat burchak, manfiy ???

Juda to'gri! Bu.) Masalan, + 270 ° ijobiy burchak aylanani oladi xuddi shu pozitsiya -90 ° salbiy burchak sifatida. Yoki, masalan, aylanada + 45 ° musbat burchakka ega bo'lish kerak xuddi shu pozitsiya -315 ° ning salbiy burchagi sifatida.

Biz keyingi rasmga qaraymiz va hamma narsani ko'ramiz:

Xuddi shunday, +210 ° salbiy burchakka boradigan joyga + 150 ° musbat burchak, -130 ° ga teng bo'lgan burchakka + 230 ° ijobiy burchakka boradi. Va boshqalar…

Endi nima qilamiz? Agar siz buni va buni qila olsangiz, burchaklarni qanday aniq hisoblaysiz? Qanday to'g'ri?

Javob: har jihatdan to'g'ri! Matematika o'qish burchaklarining ikki yo'nalishidan ikkalasini ham taqiqlamaydi. Va ma'lum bir yo'nalishni tanlash faqat vazifaga bog'liq. Agar vazifada oddiy belgida burchak belgisi haqida hech narsa aytilmagan bo'lsa (masalan "eng kattasini aniqlang salbiy burchak " va hokazo), keyin biz eng qulay burchaklar bilan ishlaymiz.

Albatta, masalan, salqin mavzularda trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar, burchaklarni hisoblash yo'nalishi javobga katta ta'sir ko'rsatishi mumkin. Va tegishli mavzularda biz ushbu tuzoqlarni ko'rib chiqamiz.

Esingizda bo'lsin:

Doiradagi har qanday nuqta ijobiy yoki manfiy burchak bilan belgilanishi mumkin. Kimdir! Biz qanday xohlaymiz.

Endi bu haqda o'ylab ko'raylik. 45 ° aniq -315 ° ga teng ekanligini bilib oldikmi? Xuddi shu 315 haqida qayerdan bildim° ? O'ylamaysizmi? Ha! To'liq inqilob orqali.) 360 °. Biz 45 ° burchakka egamiz. Tovarni to'ldirish uchun qancha etishmayapti? 45ni olib tashlang° 360 dan° - bu erda biz 315 ni olamiz° ... Biz shamol qilamiz salbiy tomon - va biz -315 ° burchakka ega bo'lamiz. Hali ham aniq emasmi? Keyin yana yuqoridagi rasmga qarang.

Va buni har doim ijobiy burchaklarni salbiy tomonga o'zgartirganda qilish kerak (va aksincha) - doira chizish, belgilash haqida berilgan burchak, biz inqilobni bajarish uchun necha daraja etarli emasligini ko'rib chiqamiz va natijada hosil bo'lgan farqni teskari yo'nalishda shamollaymiz. Va tamom.)

Sizningcha, aylanada bir xil pozitsiyani egallagan burchaklar yana nimani qiziqtiradi? Va bunday burchaklarda aynan bir xil sinus, kosinus, tangens va kotangens! Har doim!

Masalan:

Sin45 ° \u003d gunoh (-315 °)

Cos120 ° \u003d cos (-240 °)

Tg249 ° \u003d tg (-111 °)

Ctg333 ° \u003d ctg (-27 °)

Ammo bu juda muhim! Nima uchun? Ha, barchasi bir xil!) Iboralarni soddalashtirish uchun. Ifodalarni soddalashtirish uchun muvaffaqiyatli echimning asosiy protsedurasi har qanday matematikadan topshiriqlar. Va trigonometriyani ham o'z ichiga oladi.

Shunday qilib, biz doira bo'yicha burchaklarni hisoblashning umumiy qoidasini aniqladik. Xo'sh, agar biz bu erda to'liq burilishlar haqida, choraklar haqida shama qilsak, unda xuddi shu burchaklarni burish va chizish vaqti kelgan bo'lar edi. Biz chizamizmi?)

Boshlaymiz ijobiy burchaklar. Ularni chizish osonroq bo'ladi.

Bir burilish (0 ° dan 360 ° gacha) ichida burchaklarni chizish.

Masalan, 60 ° burchak chizamiz. Hammasi oddiy, hech qanday muammo bo'lmaydi. Biz koordinata o'qlarini, aylanani chizamiz. Siz buni qo'l bilan, hech qanday kompas va o'lchagichsiz qilishingiz mumkin. Chizish sxematik ravishda: bizda siz bilan rasm chizishimiz yo'q. Hech qanday GOSTni kuzatishga hojat yo'q, ular jazolanmaydi.)

Siz (o'zingiz uchun) o'qlar ustidagi burchaklarning qiymatlarini belgilashingiz va o'qni yo'nalishga yo'naltirishingiz mumkin soatga qarshi.Axir biz plyusni keyinga qoldiramizmi?) Siz buni qila olmaysiz, lekin hamma narsani boshingizda saqlashingiz kerak.

Va endi biz burchakning ikkinchi (harakatlanuvchi) tomonini chizamiz. Qaysi chorak? Birinchisida, albatta! 60 daraja uchun 0 ° dan 90 ° gacha. Shunday qilib biz birinchi chorakda chizamiz. Burchakda haqida Statsionar tomonga 60 daraja. Qanday hisoblash kerak haqida Protraktsiz 60 daraja? Oson! 60 ° uchdan ikki qismi to'g'ri burchak! Biz aylananing birinchi qatorini aqliy ravishda uch qismga ajratamiz, o'zimizga uchdan ikki qismini olamiz. Va biz chizamiz ... Biz aslida u erga qancha boramiz (agar siz transportyorni ulab, o'lchasangiz) - 55 daraja yoki 64 - bu muhim emas! Bu hali ham bir joyda bo'lishi muhimdir taxminan 60 °.

Biz rasmni olamiz:

Hammasi shu. Va hech qanday vosita kerak emas edi. Ko'zni rivojlantirish! Bu geometriya muammolarida foydali bo'ladi.) Ushbu chiroyli rasm chindan ham go'zallik haqida o'ylamasdan, shoshilib aylana va burchak chizish kerak bo'lganda ajralmas bo'lishi mumkin. Ammo shu bilan birga yozib qo'ying to'g'ri, xatolarsiz, barcha kerakli ma'lumotlar bilan. Masalan, trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni echishda yordam sifatida.

Endi burchakni chizamiz, masalan 265 °. Qaerda joylashgan bo'lishi mumkinligi haqida o'ylayapsizmi? Xo'sh, birinchi chorakda emas, hatto ikkinchi chorakda ham emas: ular 90 va 180 darajalarda tugaydi. Siz tasavvur qilishingiz mumkinki, 265 ° 180 ° va yana 85 °. Ya'ni salbiy OX yarimaksisiga (bu erda 180 °) qo'shishingiz kerak haqida 85 °. Yoki bundan ham osonroq, taxmin qilish mumkinki, 265 ° salbiy baxtsiz 5 ° ning OY (bu erda 270 °) salbiy yarimaksisidan past bo'ladi. Qisqasi, bu burchak uchinchi chorakda bo'ladi. OY salbiy yarimaksisiga juda yaqin, 270 darajaga, lekin baribir uchinchi!

Biz chizamiz:

Shunga qaramay, bu erda mutlaq aniqlik talab qilinmaydi. Aslida bu burchak, masalan, 263 daraja bo'lib chiqsin. Ammo eng muhim savol (qaysi chorak?) biz noaniq javob berdik. Nima uchun bu savol eng muhim? Chunki trigonometriyadagi burchakka ega bo'lgan har qanday ish (bu burchakni chizishimiz muhimmi yoki yo'qmi) aynan shu savolning javobidan boshlanadi! Har doim. Agar siz bu savolni e'tiborsiz qoldirsangiz yoki unga aqliy javob berishga harakat qilsangiz, unda xatolar deyarli muqarrar, ha ... Sizga kerakmi?

Esingizda bo'lsin:

Burchakka ega bo'lgan har qanday ish (shu doirani aylanaga chizishni o'z ichiga olgan holda) har doim bu burchak tushgan chorakni aniqlashdan boshlanadi.

Endi umid qilamanki, siz burchaklarni aniq tasvirlab berdingiz, masalan, 182 °, 88 °, 280 °. IN to'g'ri choraklar. Uchinchi, birinchi va to'rtinchi, agar shunday bo'lsa ...)

To'rtinchi chorak 360 ° burchak bilan tugaydi. Bu bitta to'liq burilish. Ushbu aylana ustidagi burchak 0 ° (ya'ni kelib chiqishi) bilan bir xil pozitsiyani egallashi aniq qalampir. Ammo burchaklar u erda tugamaydi, ha ...

360 ° dan katta burchaklar bilan nima qilish kerak?

"Ular haqiqatan ham mavjudmi?" - deb so'raysiz. Bor, qanday! Masalan, 444 ° burchak mavjud. Va ba'zan, masalan, 1000 ° burchak. Har xil burchaklar mavjud.) Shunchaki ingl. Bunday ekzotik burchaklar biz bir inqilob davomida odatlanib qolgan burchaklarga qaraganda biroz qiyinroq qabul qilinadi. Ammo siz bunday burchaklarni chizish va hisoblash imkoniyatiga ega bo'lishingiz kerak, ha.

Bunday burchaklarni doiraga to'g'ri chizish uchun siz ham shunday qilishingiz kerak - bilib oling qaysi chorakda qiziqish burchagi tushadi. Bu erda chorakni aniq aniqlash qobiliyati 0 ° dan 360 ° gacha bo'lgan burchaklarga qaraganda ancha muhimdir! Chorakni aniqlash tartibi faqat bir qadam bilan murakkablashadi. Nima, yaqinda ko'rasiz.

Masalan, biz 444 ° burchak qaysi chorakka tushishini aniqlashimiz kerak. Biz burilishni boshlaymiz. Qayerga? Bundan tashqari, albatta! Ular bizga ijobiy burchakka ega bo'lishdi! + 444 °. Biz burishamiz, burishamiz ... Bir burilishni burab qo'ydik - 360 ° ga yetdik.

444 ° gacha qancha vaqt bor?Qolgan quyruqni hisoblaymiz:

444 ° -360 ° \u003d 84 °.

Shunday qilib, 444 ° bir to'liq aylanish (360 °) va yana 84 °. Shubhasiz bu birinchi chorak. Shunday qilib, 444 ° burchak tushadi birinchi chorakda.Jangning yarmi tugadi.

Endi ushbu burchakni tasvirlash qoladi. Qanday? Juda oddiy! Biz qizil (ortiqcha) o'q bo'ylab bitta to'liq inqilob qilamiz va yana 84 ° qo'shamiz.

Mana bunday:

Bu erda men chizilgan rasmni chalkashtirishdan bezovta bo'lmadim - choraklarga imzo chekish, o'qlarga burchaklarni chizish. Bu yaxshiliklarning barchasi mening xayolimda uzoq vaqt bo'lishi kerak edi.)

Ammo men "salyangoz" yoki spiral yordamida 360 ° va 84 ° burchaklardan 444 ° burchak qanday aniq qo'shilganligini ko'rsatdim. Nuqta qizil chiziq bitta burilish. Bunga qo'shimcha ravishda 84 ° vidalanadi (qattiq chiziq). Aytgancha, iltimos, iltimos, ushbu eng to'liq aylanish bekor qilinsa, bu bizning burchakning pozitsiyasiga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi!

Ammo bu muhim! Burchakning holati 444 ° to'liq mos keladi burchak burchagi 84 ° ga teng. Hech qanday mo''jiza yo'q, shunchaki shunday bo'ladi.)

Bitta to'liq inqilobni emas, balki ikki yoki undan ko'pini bekor qilish mumkinmi?

Nima uchun? Agar burchak juda katta bo'lsa, unda bu shunchaki mumkin emas, balki kerak! Burchak o'zgarmaydi! Aniqrog'i, burchakning o'zi, albatta, hajmini o'zgartiradi. Ammo uning doiradagi pozitsiyasi - iloji yo'q!) Shuning uchun ular to'liq inqiloblar, qancha nusxa qo'shmasangiz ham, olib tashlasangiz ham baribir o'sha nuqtaga etib borasiz. Yaxshi, to'g'rimi?

Esingizda bo'lsin:

Agar siz qo'shsangiz (chiqarsangiz) butun to'liq inqiloblar soni, aylanadagi asl burchakning holati o'zgarmaydi!

Masalan:

1000 ° burchak qaysi chorakka to'g'ri keladi?

Muammo yo'q! Biz minglab darajalarda qancha to'liq inqiloblar o'tirganini hisoblaymiz. Bir inqilob 360 °, boshqasi 720 °, uchinchisi 1080 ° ... To'xtang! Ortiqcha! Shunday qilib, 1000 ° burchak ostida o'tiradi ikkitasi to'liq tovar aylanmasi. Biz ularni 1000 ° dan tashlaymiz va qoldiqni hisoblaymiz:

1000 ° - 2 360 ° \u003d 280 °

Demak, burchakning aylanadagi o'rni 1000 ° bir xil280 ° burchak ostida bo'lgani kabi. Qaysi biri bilan ishlash juda yoqimli.) Va bu burchak qaerga boradi? U to'rtinchi chorakka to'g'ri keladi: 270 ° (salbiy yarim eksa OY) va yana o'nta.

Biz chizamiz:

Bu erda men endi nuqta spirali bilan ikkita to'liq burilishni chizmadim: bu og'riqli uzun bo'lib chiqdi. Faqatgina qolgan quyruqni tortdi noldanbekor qilish barchasi qo'shimcha burilishlar. Go'yo ular umuman yo'q kabi.)

Yana bir marta. Do'stona tarzda 444 ° va 84 °, shuningdek 1000 ° va 280 ° burchaklar farq qiladi. Ammo sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangenslar uchun bu burchaklar xuddi shu!

Ko'rib turganingizdek, 360 ° dan katta burchaklar bilan ishlash uchun siz aniqlab olishingiz kerak qancha katta inqilob berilgan katta burchak ostida o'tiradi. Bu shunday burchaklar bilan ishlashda oldindan bajarilishi kerak bo'lgan qo'shimcha qadam. Hech narsa murakkab emas, to'g'rimi?

To'liq tezlikni tashlash, albatta, zavq bag'ishlaydi.) Ammo amalda, albatta, dahshatli burchaklar bilan ishlashda qiyinchiliklar ham yuzaga keladi.

Masalan:

31240 ° burchak qaysi chorakka tushadi?

Shunday qilib, biz 360 daraja ko'p marta qo'shmoqchimizmi? Agar u ayniqsa yoqmasa, mumkin. Ammo biz nafaqat qo'sha olamiz.) Biz ham bo'linishimiz mumkin!

Shunday qilib, bizning katta burchagimizni 360 gradusga bo'laylik!

Ushbu harakat orqali biz faqatgina 31240 darajamizda qancha to'liq inqilob yashiringanligini bilib olamiz. Siz burchakni ajratishingiz mumkin, siz kalkulyatorda (qulog'ingizga pichirlaysiz :)).)

Biz 31240: 360 \u003d 86.777777 ... olamiz.

Raqamning kasrga aylangani qo'rqinchli emas. Biz faqat butun aylanmalar qiziq! Shuning uchun oxirigacha bo'lish shart emas.)

Shunday qilib, bizning shaggy burchagimizda allaqachon 86 to'liq inqilob mavjud. Dahshat…

Darajada bo'ladi86 360 ° \u003d 30960 °

Mana bunday. Berilgan 31240 ° burchakdan og'riqsiz ravishda qancha daraja tashlanishi mumkin. Qoladi:

31240 ° - 30960 ° \u003d 280 °

Hammasi! 31240 ° burchak pozitsiyasi to'liq aniqlandi! 280 ° bilan bir xil joyda. O'sha. to'rtinchi chorak.) Ko'rinib turibdiki, biz ilgari bu burchakni chizganmizmi? 1000 ° burchak qachon chizilgan?) U erda biz ham 280 darajaga o'tdik. Tasodif.)

Demak, ushbu ertakning axloqi quyidagicha:

Agar bizga dahshatli katta burchakka ega bo'lsak, unda:

1. Ushbu burchakda qancha to'liq inqilob o'tirganligini aniqlang. Buning uchun dastlabki burchakni 360 ga bo'ling va kasr qismini tashlang.

2. Qabul qilingan inqiloblar sonida qancha daraja borligini ko'rib chiqamiz. Buning uchun aylanishlar sonini 360 ga ko'paytiring.

3. Ushbu aylanishlarni dastlabki burchakdan chiqarib oling va 0 ° dan 360 ° gacha bo'lgan odatiy burchak bilan ishlang.

Salbiy burchaklar bilan qanday ishlashim kerak?

Muammo yo'q! Xuddi shu tarzda, ijobiy narsalar bilan, faqat bitta farq bilan. Qanday? Ha! Burchaklarni burish kerak orqa tomon, salbiy! Soat yo'nalishi bo'yicha.)

Masalan, -200 ° burchak chizamiz. Avvaliga ijobiy burchaklar uchun hamma narsa odatdagidek - o'qlar, doira. Shuningdek, biz ko'k o'qni minus bilan tasvirlaymiz va o'qlar ustidagi burchaklarni boshqacha tarzda imzolaymiz. Tabiiyki, ularni ham salbiy yo'nalishda hisoblash kerak bo'ladi. Bular 90 ° dan o'tib, teskari yo'nalishda, minus: 0 °, -90 °, -180 °, -270 °, -360 ° da bir xil burchaklar bo'ladi.

Rasm quyidagicha ko'rinadi:

Salbiy burchaklar bilan ishlashda ko'pincha engil chalkashlik hissi paydo bo'ladi. Qanaqasiga?! Ma'lum bo'lishicha, bitta o'q bir vaqtning o'zida, masalan, + 90 ° va -270 °? Nah, bu erda harom narsa bor ...

Ha, hamma narsa toza va shaffof! Axir biz allaqachon bilamizki, aylananing har qanday nuqtasini ham ijobiy, ham manfiy deb atash mumkin! Albatta har qanday. Shu jumladan, ba'zi koordinata o'qlarida. Bizning holatlarimizda, bizga kerak salbiy burchaklarning hisobi. Shunday qilib biz barcha burchaklarni minus bilan kesib tashlaymiz.)

Endi -200 ° burchakni to'g'ri chizish oson. -180 ° va minus yana 20 °. Biz noldan minusgacha shamolni boshlaymiz: to'rtinchi chorakda uchib o'tamiz, uchinchisi ham aylanib o'tib, -180 ° ga yetamiz. Qolgan yigirmani qayerga shamollash kerak? Ha, hamma narsa bor! Soat bo'yicha.) Umumiy burchak -200 ° ga tushadi ikkinchi to'rtinchi.

Endi koordinata o'qlaridagi burchaklarni eslab qolish qanchalik muhimligini tushunasizmi?

Burchak tushgan chorakni aniq aniqlash uchun koordinata o'qlaridagi burchaklarni (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) aniq eslab qolish kerak!

Va agar burchak katta bo'lsa, bir nechta to'liq burilish bilan? Hech narsa yomon! Ushbu juda to'liq burilishlarni qaerga burish qanday farq qiladi - ortiqcha yoki minus? Doira ustidagi nuqta uning o'rnini o'zgartirmaydi!

Masalan:

-2000 ° burchak qaysi chorakka tushadi?

Hammasi bir xil! Dastlab, biz ushbu yovuz burchakda qancha to'liq inqilob o'tirganligini hisoblaymiz. Belgilarni buzmaslik uchun, keling, minusni hozircha yolg'iz qoldiramiz va shunchaki 2000ni 360 ga bo'linamiz. Biz quyruq bilan 5 ga egamiz. Quyruq bizni hali bezovta qilmaydi, biz uni biroz keyinroq, burchakka tortganimizda hisoblaymiz. Biz hisoblaymiz besh darajadagi to'liq inqiloblar:

5 360 ° \u003d 1800 °

Vooot. Siz sog'lig'ingizga zarar etkazmasdan bizning burchakdan xavfsiz ravishda qancha qo'shimcha darajalarni tashlashingiz mumkin.

Qolgan quyruqni hisoblaymiz:

2000 ° - 1800 ° \u003d 200 °

Ammo endi minus haqida eslashimiz mumkin.) 200 ° dumini qayerga buramiz? Albatta, minus! Biz salbiy burchakka ega bo'ldik.)

2000 ° \u003d -1800 ° - 200 °

Shunday qilib, biz -200 ° burchak chizamiz, ammo keraksiz burilishlarsiz. Ular shunchaki chizishdi, lekin shunday bo'lsin, men yana bir marta nasos bilan shug'ullanaman. Qo'l bilan.

Qalampir belgilangan -2000 ° burchakka, shuningdek -200 ° ga tushishi aniq ikkinchi chorak

Shunday qilib, biz o'zimizni aylanada silkitamiz ... kechirasiz ... mo'ylovda:

Agar juda katta manfiy burchak ko'rsatilgan bo'lsa, u holda u bilan ishlashning birinchi qismi (to'liq aylanishlar sonini topish va ularni bekor qilish) musbat burchak bilan ishlash bilan bir xil bo'ladi. Yechimning ushbu bosqichida minus belgisi hech qanday rol o'ynamaydi. To'liq inqiloblarni olib tashlangandan keyin qolgan burchak bilan ishlashda belgi faqat eng oxirida hisobga olinadi.

Ko'rib turganingizdek, aylanada salbiy burchaklarni chizish ijobiy burchaklarni chizishdan qiyinroq emas.

Hammasi bir xil, faqat boshqa yo'nalishda! Soat bilan!

Va endi - qiziqarli qism! Biz ijobiy burchaklarni, salbiy burchaklarni, katta burchaklarni, kichiklarni - to'liq diapazonga qaradik. Shuningdek, aylananing har qanday nuqtasini ijobiy va salbiy burchak deb atash mumkinligini aniqladik, biz to'liq inqiloblarni tashladik ... Fikrlar yo'qmi? Kechiktirilishi kerak ...

Ha! Davraning qaysi nuqtasini tanlang, u mos keladi cheksiz burchaklar! Katta va unchalik emas, ijobiy va salbiy - har xil! Va bu burchaklar orasidagi farq bo'ladi butun to'liq inqiloblar soni. Har doim! Trigonometrik doira shunday ishlaydi, ha ...) Shuning uchun teskari vazifa - ma'lum bo'lgan sinus / kosinus / tangens / kotangens bo'yicha burchakni topish - hal qilindi noaniq... Va juda ham qiyin. To'g'ridan-to'g'ri muammodan farqli o'laroq - berilgan burchak uchun uning trigonometrik funktsiyalarining butun to'plamini toping. Va trigonometriyaning yanada jiddiy mavzularida ( kamarlar , trigonometrik tenglamalar va tengsizlik ) biz doimo ushbu hisoblagichga duch kelamiz. Keling, bunga ko'nikamiz.)

1. -345 ° burchak qaysi chorakda tushadi?

2. 666 ° burchak qaysi chorakka to'g'ri keladi?

3. 5555 ° burchak qaysi chorakka tushadi?

4. -3700 ° burchak qaysi chorakda tushadi?

5. Qanday belgiga egacos999 °?

6. Qanday belgiga egactg999 °?

Va bu ishladimi? Mukammal! Muammo bormi? Keyin siz.

Javoblar:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Bu safar javoblar an'anaga zid ravishda tartibda berildi. Faqat to'rtdan to'rttasi bor, va faqat ikkita belgi bor. Ayniqsa siz qochmaysiz ...)

Keyingi darsda biz radianlar haqida, sirli "pi" raqami haqida gaplashamiz, radianlarni qanday qilib osongina va sodda qilib darajalarga va orqaga aylantirishni bilib olamiz. Va bu oddiy bilim va ko'nikmalar ham biz uchun juda ko'p ahamiyatsiz bo'lmagan trigonometriya muammolarini hal qilish uchun etarli bo'lishiga hayron bo'lamiz!

Umuman olganda, bu masala alohida e'tiborga loyiqdir, ammo bu erda hamma narsa oddiy: daraja burchagida ham sinus, ham kosinus ijobiy (rasmga qarang), keyin biz ortiqcha belgini olamiz.

Endi yuqoridagilar asosida burchaklarning sinusi va kosinusini topishga harakat qiling: va

Siz aldashingiz mumkin: xususan daraja burchagi uchun. Agar to'g'ri burchakli uchburchakning bir burchagi daraja bo'lsa, ikkinchisi gradusdir. Endi tanish bo'lgan formulalar kuchga kiradi:

Keyin beri, keyin va. O'shandan beri. Darajalar bilan bu hali ham osonroq: shuning uchun agar to'g'ri burchakli uchburchakning bir burchagi darajaga teng bo'lsa, u holda ikkinchisi ham darajaga teng bo'ladi, demak, bunday uchburchak teng yonli bo'ladi.

Bu uning oyoqlari tengligini anglatadi. Demak, uning sinusi va kosinusi tengdir.

Endi o'zingizni yangi ta'rif bo'yicha toping (x va y orqali!) Sinuslar va darajalar va darajadagi kosinus. Siz bu erda biron bir uchburchak chizolmaysiz! Ular juda tekis bo'ladi!

Sizda bo'lishi kerak edi:

Tangens va kotangensni o'zingiz quyidagi formulalar orqali topishingiz mumkin:

Iltimos, nolga bo'linmasligini unutmang !!

Endi olingan barcha raqamlar jadvalda umumlashtirilishi mumkin:

Burchaklar sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari I chorak... Qulaylik uchun burchaklar ham darajalarda, ham radianlarda berilgan (lekin endi siz ular orasidagi bog'liqlikni bilasiz!). Jadvaldagi 2 ta chiziqqa e'tibor bering: ya'ni nol va gradusning kangansensida. Bu tasodif emas!

Jumladan:

Endi sinus va kosinus tushunchalarini umuman ixtiyoriy burchakka umumlashtiramiz. Men bu erda ikkita ishni ko'rib chiqaman:

1. Burchak gradusgacha o'zgarib turadi
2. Burchak darajadan kattaroq

Umuman aytganda, men "mutlaqo hamma" burchaklar haqida gapirib, yuragimni biroz burishtirdim. Ular salbiy bo'lishi mumkin! Ammo biz ushbu ishni boshqa maqolada ko'rib chiqamiz. Birinchi ishdan boshlaylik.

Agar burchak 1 chorakda yotsa - demak, hamma narsa aniq, biz allaqachon bu ishni ko'rib chiqdik va hatto jadvallarni chizdik.

Endi bizning burchagimiz darajadan oshib, ortiq bo'lmasin. Bu shuni anglatadiki, u 2, 3 yoki 4 chorakda joylashgan.

Buni qanday qilamiz? Ha, xuddi shunday!

Keling, ko'rib chiqaylik bu ish o'rniga ...

... shunga o'xshash:

Ya'ni, ikkinchi chorakda joylashgan burchakni ko'rib chiqing. U haqida nima deyishimiz mumkin?

Nur va aylananing kesishish nuqtasi bo'lgan nuqta hali ham 2 koordinataga ega (g'ayritabiiy narsa yo'q, to'g'rimi?). Bu koordinatalar va.

Bundan tashqari, birinchi koordinata salbiy, ikkinchisi esa ijobiy! Bu shuni anglatadiki ikkinchi chorakning burchaklarida kosinus salbiy va sinus ijobiy!

Ajoyib, to'g'rimi? Bungacha biz hech qachon salbiy kosinusga duch kelmaganmiz.

Va asosan, trigonometrik funktsiyalarni uchburchak tomonlarining nisbati sifatida ko'rib chiqsak, bu bo'lmaydi. Aytgancha, kosinus qaysi burchak ostida ekanligi haqida o'ylab ko'ring? Va sinus qaysi?

Xuddi shunday, siz boshqa barcha choraklarda burchaklarni ko'rib chiqishingiz mumkin. Shuni eslatib qo'yamanki, burchak soat sohasi farqli ravishda hisoblanadi! (oxirgi rasmda ko'rsatilgandek!).

Albatta, siz boshqa yo'nalishda hisoblashingiz mumkin, ammo bunday burchaklarga yondashish biroz boshqacha bo'ladi.

Yuqoridagi fikrga asoslanib, to'rtinchi chorak uchun sinus, kosinus, tangens (sinus kosinusga bo'linadigan kabi) va kotangens (kosinus sinusga bo'linadigan kabi) belgilarini tartibga solish mumkin.

Ammo yana bir bor takrorlayman, bu rasmni yodlashning foydasi yo'q. Siz bilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa:

Keling, siz bilan bir oz mashq qilaylik. Juda oddiy vazifalar:

Quyidagi qiymatlar qanday belgiga ega ekanligini bilib oling:

Tekshiramizmi?

1. darajalar katta va kichikroq burchak, ya'ni u 3 chorakda yotadi. Har qanday 3-chorak burchagini chizib oling va u qanday o'yin borligini ko'ring. Bu salbiy bo'lib chiqadi. Keyin.
   daraja - 2 chorak burchak. Sinus musbat, kosinus esa manfiydir. Plyusni minusga bo'ling - minus bo'ladi. Vositalar.
   daraja - burchak, kattaroq va kichikroq. Demak, u 4 chorakda joylashgan. To'rtinchi chorakning istalgan burchagida "x" ijobiy bo'ladi, demak
2. Biz xuddi shu tarzda radianlar bilan ishlaymiz: bu ikkinchi chorakning burchagi (beri va. Ikkinchi chorakning sinusi musbat.
   .
   , bu to'rtinchi chorakning burchagi. U erda kosinus ijobiydir.
   - to'rtinchi chorakning yana bir burchagi. U erda kosinus ijobiy va sinus salbiydir. Tangens noldan kam bo'ladi:

Ehtimol, sizga choraklarni radianlarda aniqlash qiyin. Bunday holda siz har doim darajaga o'tishingiz mumkin. Javob, albatta, bir xil bo'ladi.

Endi yana bir masalaga qisqacha to'xtalmoqchiman. Asosiy trigonometrik identifikatorni yana bir bor eslaylik.

Aytganimdek, biz undan sinusni kosinus orqali ifodalashimiz mumkin yoki aksincha:

Belgini tanlashga faqat bizning alfa burchagimiz joylashgan chorak ta'sir qiladi. So'nggi ikkita formulada imtihonda juda ko'p muammolar mavjud, masalan:

Vazifa

Agar topsangiz.

Aslida, bu chorak vazifa! Qanday hal qilinganligini ko'ring:

Qaror

Biz bu erda qiymatni almashtiramiz, keyin. Endi bu narsa kichik: belgi bilan kurashish. Buning uchun bizga nima kerak? Bizning burchak qaysi kvartal ekanligini biling. Muammoning sharti bo'yicha:. Bu qaysi chorak? To'rtinchi. To'rtinchi chorakda kosinusning belgisi qanday? To'rtinchi chorakdagi kosinus ijobiydir. Oldinda plyus belgisini tanlash biz uchun qoladi. , keyin.

Endi men bunday muammolar haqida batafsil to'xtamayman, ularning batafsil tahlilini "" maqolasida topishingiz mumkin. Men sizga u yoki bu trigonometrik funktsiyani chorakka qarab qanday belgi olishining muhimligini ko'rsatmoqchiman.

Darajalardan kattaroq burchaklar

Ushbu maqolada ta'kidlashni istagan oxirgi narsa - bu darajadan kattaroq burchaklar haqida nima deyish mumkin?

Boğulmamak uchun nima va nima bilan yeyishingiz mumkin? Men, masalan, darajadagi burchakni (radian) olaman va undan soat sohasi farqli o'laroq ...

Rasmda men spiral chizganman, lekin aslida bizda spiral yo'qligini tushunasiz: bizda faqat aylana bor.

Xo'sh, agar biz ma'lum bir burchakdan boshlasak va butun doirani (daraja yoki radian) to'liq aylantirsak?

Qayerga boramiz? Va biz o'sha burchakka kelamiz!

Xuddi shu narsa, boshqa har qanday burchak uchun ham amal qiladi:

Ixtiyoriy burchakka ega bo'lib, butun aylana bo'ylab o'tib, xuddi shu burchakka qaytamiz.

Bu bizga nima beradi? Ammo nima: agar bo'lsa, unda

Nihoyat biz qaerdan olamiz:

Har qanday butun uchun. Bu shuni anglatadiki sinus va kosinus - bu davrga ega davriy funktsiyalar.

Shunday qilib, endi o'zboshimchalik bilan burchak belgisini topishda hech qanday muammo yo'q: biz faqat o'z burchagimizga mos keladigan barcha "butun doiralarni" tashlab, qolgan burchakning qaysi chorakda joylashganligini aniqlashimiz kerak.

Masalan, belgini toping:

Biz tekshiramiz:

1. Darajalar darajalarga (darajalarga) mos keladi:
   daraja qoldi. Bu to'rtinchi burchak. U erda sinus salbiy, demak
2. ... daraja. Bu 3 chorak burchak. U erda kosinus salbiy. Keyin
3. ... ... Shunday qilib, birinchi chorakning burchagi. Kosinus u erda ijobiydir. Keyin cos
4. ... ... Shu sababli, bizning burchagimiz ikkinchi chorakda yotadi, bu erda sinus ijobiy bo'ladi.

Tangens va kotangens uchun biz ham shunday qila olamiz. Ammo, aslida, ular bilan bu osonroq: ular ham davriy funktsiyalardir, faqat ularning davri 2 baravar kam:

Shunday qilib, siz trigonometrik doiraning nima ekanligini va uning nima uchun ekanligini tushundingiz.

Ammo bizda hali ko'p savollar mavjud:

1. Salbiy burchaklar nima?
2. Ushbu burchaklarda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini qanday hisoblash mumkin
3. 1-chorakning trigonometrik funktsiyalarining ma'lum qiymatlaridan foydalangan holda boshqa choraklarda funktsiyalar qiymatlarini qanday izlash mumkin (albatta jadvalni tiqish kerakmi?!)
4. Trigonometrik tenglamalar echimini soddalashtirish uchun aylanadan qanday foydalanishim mumkin?

O'RTACHA DARAJASI

Ushbu maqolada biz trigonometrik doirani o'rganishni davom ettiramiz va quyidagi fikrlarni muhokama qilamiz:

1. Salbiy burchaklar nima?
2. Ushbu burchaklarda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini qanday hisoblash mumkin?
3. 1-chorakning trigonometrik funktsiyalarining ma'lum qiymatlaridan foydalangan holda boshqa choraklarda funktsiyalar qiymatlarini qanday izlash mumkin?
4. Tangens o'qi va kotangens o'qi nima?

Bizga qo'shimcha bilimlar kerak bo'lmaydi, faqat birlik doirasi bilan ishlashda asosiy ko'nikmalar bundan mustasno (oldingi maqola). Xo'sh, birinchi savolga o'tamiz: salbiy burchaklar nima?

Salbiy burchaklar

Trigonometriyadagi salbiy burchaklar trigonometrik doirada boshidan pastga, soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanish yo'nalishi bo'yicha yotqizilgan:

Ilgari trigonometrik doirada qanday qilib burchaklarni chizganimizni eslaylik: biz o'qning ijobiy yo'nalishidan bordik soat sohasi bo'yicha:

Keyin, bizning rasmimizda, teng burchak. Barcha burchaklarni bir xil tarzda qurdik.

Biroq, bizni o'qning ijobiy yo'nalishidan chiqishga hech narsa to'sqinlik qilmaydi soat yo'nalishi bo'yicha.

Shuningdek, biz turli xil burchaklarni qabul qilamiz, ammo ular allaqachon salbiy bo'ladi:

Keyingi rasmda ikkita burchak teng mutlaq qiymat, ammo belgisiga qarama-qarshi:

Umuman olganda, qoida quyidagicha tuzilishi mumkin:

• Soatning teskari tomoniga o'ting - biz ijobiy burchaklarni olamiz
• Biz soat yo'nalishi bo'yicha harakat qilamiz - biz salbiy burchaklarni olamiz

Qoida ushbu rasmda sxematik tarzda ko'rsatilgan:

Siz menga juda o'rinli savol berishingiz mumkin edi: ularning sinus, kosinus, teangens va kotangens qiymatlarini o'lchash uchun biz burchakka muhtojmiz.

Xo'sh, bizning burchak ijobiy va salbiy bo'lganda farq bormi? Men sizga javob beraman: qoida tariqasida mavjud.

Biroq, har doim trigonometrik funktsiyani hisoblashni salbiy burchakdan funktsiyani burchakka hisoblashgacha kamaytirishingiz mumkinijobiy.

Quyidagi rasmga qarang:

Men ikkita burchak chizdim, ular mutlaq qiymatga teng, ammo teskari belgiga ega. Har bir burchakka uning o'qlari ustidagi sinusi va kosinusiga e'tibor bering.

Siz va men nimani ko'ramiz? Mana nima:

• Sinuslar burchaklarda va belgi bilan qarama-qarshi tomonda! Keyin agar
• Burchaklardagi kosinuslar bir xil! Keyin agar
• O'shandan beri:
• O'shandan beri:

Shunday qilib, biz har doim har qanday trigonometrik funktsiya ichidagi salbiy belgidan qutulishimiz mumkin: yoki kosinusdagi kabi uni shunchaki yo'q qilish orqali yoki funktsiya oldiga qo'yish, masalan, sinus, tegins va kotangens kabi.

Aytgancha, har qanday qabul qilinadigan funktsiya nomini eslang :?

Ushbu funktsiya toq deb nomlanadi.

Va agar biron bir amal uchun :? Bunday holda, funktsiya juft deb nomlanadi.

Shunday qilib, siz va men shuni ko'rsatdik:

Sinus, tangens va kotangens g'alati funktsiyalar, kosinus esa juft.

Shunday qilib, siz tasavvur qilganingizdek, biz ijobiy burchak yoki manfiy sinusni qidirishimizdan farqi yo'q: minus bilan ishlash juda oddiy. Shunday qilib, bizga salbiy burchak uchun jadvallar alohida kerak emas.

Boshqa tomondan, tan oling, qolgan choraklar uchun o'xshash funktsiyalarni hisoblash imkoniyatiga ega bo'lish uchun birinchi chorakdagi burchaklarning faqat trigonometrik funktsiyalarini bilib, juda qulay bo'lar edi. Buni amalga oshirish mumkinmi? Albatta mumkin! Sizda kamida 2 usul bor: birinchisi - uchburchakni qurish va Pifagor teoremasini qo'llash (siz va biz birinchi chorakning asosiy burchaklari uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini topdik) va ikkinchisi - birinchi chorakda burchaklar uchun funktsiyalar qiymatlarini va ba'zi bir oddiy qoidani yodlab, qolgan barcha choraklar uchun trigonometrik funktsiyalarni hisoblab chiqing. Ikkinchi usul sizni uchburchaklar va Pifagoralar bilan uzoq muddatli shov-shuvlardan xalos qiladi, shuning uchun men buni yanada istiqbolli deb bilaman:

Shunday qilib, ushbu usul (yoki qoida) qisqartirish formulalari deb ataladi.

Cast formulalar

Taxminan aytganda, ushbu formulalar sizga bunday jadvalni yodlamaslikka yordam beradi (aytmoqchi, unda 98 ta raqam mavjud!):

agar siz buni eslasangiz (faqat 20 ta raqam):

Ya'ni, keraksiz 78 raqam bilan o'zingizni bezovta qila olmaysiz! Masalan, biz hisoblashimiz kerak deylik. Kichkina stolda bunday narsa yo'qligi aniq. Biz nima qilamiz? Mana nima:

Birinchidan, biz quyidagi bilimlarga muhtojmiz:

1. Sinus va kosinusning davri (darajalari) bor, ya'ni

   Tangens (kotangens) ning davri bor (daraja)

   Har qanday tamsayı

2. Sinus va tangens toq funktsiyalar, kosinus esa juft:

Biz birinchi gapni allaqachon siz bilan isbotladik va ikkinchisining haqiqiyligi yaqinda aniqlandi.

Haqiqiy translatsiya qoidasi quyidagicha:

1. Agar trigonometrik funktsiya qiymatini manfiy burchakdan hisoblasak, uni formulalar guruhidan (2) foydalanib ijobiy qilamiz. Masalan:
2. Biz uning davrlarini sinus va kosinus uchun tashlaymiz: (daraja bilan) va teginish uchun - (daraja). Masalan:
3. Agar qolgan "burchak" darajadan past bo'lsa, unda muammo hal qilindi: biz uni "kichik jadval" da qidirmoqdamiz.
4. Aks holda, bizning burchagimiz qaysi chorakda joylashganligini qidiramiz: bu 2,3 \u200b\u200byoki 4 chorak bo'ladi. Biz chorakda kerakli funktsiya belgisini ko'rib chiqamiz. Ushbu belgini eslang !!!
5. Biz burchakni quyidagi shakllardan birida namoyish etamiz:

   (agar ikkinchi chorakda)
   (agar ikkinchi chorakda)
   (agar uchinchi chorakda)
   (agar uchinchi chorakda)
   
   (agar to'rtinchi chorakda)

   shuning uchun qolgan burchak noldan katta va darajadan kichik bo'ladi. Masalan:

   Aslida, har bir chorak uchun ikkita muqobil shaklning qaysi birida siz burchakni namoyish qilishingiz muhim emas. Bu yakuniy natijaga ta'sir qilmaydi.

6. Keling, nimani qo'lga kiritganimizni ko'rib chiqaylik: agar siz minus orqali yoki darajadan yozishni tanlagan bo'lsangiz, unda funktsiya belgisi o'zgarmaydi: qolgan burchakning sinusini, kosinusini yoki teginishini olib tashlaysiz va yozasiz. Agar siz yozishni yoki darajani tanlagan bo'lsangiz, unda biz sinusni kosinusga, kosinusni sinusga, tangensni kotangensga, kotangensni teginsga o'zgartiramiz.
7. Olingan ifoda oldiga 4-xatboshidagi belgini qo'ydik.

Keling, yuqoridagi barcha narsani misollar bilan namoyish etamiz:

1. Hisoblang
2. Hisoblang
3. Nay-di-te iborasining ma'nosi:

Keling, tartibda boshlaymiz:

1. Biz algoritmimizga muvofiq harakat qilamiz. Doiralarning butun sonini quyidagilarga ajrating:

   Umuman olganda, butun burchak 5 marta mos keladi, degan xulosaga keldik, ammo qancha qoldi? Chapda. Keyin

   Xo'sh, keraksizlarni tashladik. Endi biz belgi bilan shug'ullanmoqdamiz. 4 chorakda yotadi. To'rtinchi chorakning sinusida minus belgisi bor va men buni javobga qo'yishni unutmasligim kerak. Bundan tashqari, biz qisqartirish qoidalarining 5-bandidagi ikkita formuladan biriga ko'ra vakolat beramiz. Men tanlayman:

   Keling, nima bo'lganini ko'rib chiqaylik: bizda daraja bor, keyin sinusni tashlaymiz va kosinusga o'zgartiramiz. Va biz uning oldiga minus belgisini qo'ydik!

   darajalar - bu birinchi chorakdagi burchak. Biz bilamiz (siz menga kichik stolni o'rganishga va'da bergansiz !!) uning ma'nosi:

   Keyin biz yakuniy javobni olamiz:

   Javob:

2. hamma narsa bir xil, ammo daraja o'rniga - radianlar. Hech narsa yomon emas. Eslash kerak bo'lgan asosiy narsa shu

   Ammo radianlarni gradus bilan almashtirishning hojati yo'q. Bu sizning didingizga bog'liq. Men hech narsani o'zgartirmayman. Men yana butun doiralarni tashlab boshlayman:

   Biz tashlaymiz - bu ikkita butun doiralar. Hisoblash kerak. Ushbu burchak uchinchi chorakda. Uchinchi chorak kosinusi salbiy. Javobga minus belgisini qo'yishni unutmaylik. kabi tasavvur qilish mumkin. Biz yana qoidani eslaymiz: bizda "tamsayı" (yoki) raqam holati bor, keyin funktsiya o'zgarmaydi:

   Keyin.
   Javob:.

3. ... Siz xuddi shu narsani qilishingiz kerak, lekin ikkita funktsiya bilan. Men biroz qisqartiraman: darajalar ikkinchi chorak burchaklari. Ikkinchi chorak kosinusida minus belgisi, sinusda esa ortiqcha belgisi bor. sifatida ifodalanishi mumkin: va qanday qilib, keyin

   Ikkala holat ham "butunning yarmi" dir. Keyin sinus kosinusga, kosinus sinusga aylanadi. Bundan tashqari, kosinus oldida minus belgisi mavjud:

Javob:.

Endi quyidagi misollar bilan o'zingizni mashq qiling:

Va bu erda echimlar:

1. 
   Birinchidan, minusni sinus oldiga chiqarib olib tashlaymiz (chunki sinus g'alati funktsiya !!!) Keyin burchaklarni ko'rib chiqing:

   To'liq doiralarni - ya'ni uchta doirani tashlang ().
   Hisoblash uchun qoladi:.
   Biz ikkinchi burchak bilan ham shunday qilamiz:

   Butun sonli doiralarni o'chirib tashlang - 3 doiralar () keyin:

   Endi o'ylaymiz: qolgan burchak qaysi chorakda yotadi? U hamma narsadan "tushib qoladi". Unda chorak nima? To'rtinchi. To'rtinchi chorak kosinusining belgisi qanday? Ijobiy. Endi tasavvur qilaylik. Biz butun sondan chiqarganimiz uchun kosinus belgisini o'zgartirmaymiz:

   Biz olingan barcha ma'lumotlarni quyidagi formulaga almashtiramiz:

   Javob:.

2. 
   Standart: kosinodan minusni olib tashlang.
   Darajalar kosinusini hisoblash qoladi. Keling, butun doiralarni olib tashlaymiz:. Keyin

   Keyin.
   Javob:.

3. Biz oldingi misolda bo'lgani kabi davom etamiz.

   Tangens davri kosinus yoki sinusdan farqli o'laroq (yoki) ekanligini, bu erda u 2 baravar kattaroq ekanligini eslayotganingiz sababli, biz butun sonni olib tashlaymiz.

   darajalar - ikkinchi chorakdagi burchak. Ikkinchi chorakning tangensi salbiy, keyin oxirida "minus" haqida unutmaylik! sifatida yozilishi mumkin. Tangens kotangensga o'zgaradi. Oxir-oqibat:

   Keyin.
   Javob:.

Xo'sh, juda oz narsa qoldi!

Tangens o'qi va kotangens o'qi

Bu erda to'xtashni istagan so'nggi narsa - bu ikkita qo'shimcha o'q. Biz muhokama qilganimizdek, ikkita o'qimiz bor:

1. Eksa - kosinuslar o'qi
2. Eksa - sinuslar o'qi

Darhaqiqat, bizda koordinata o'qlari tugadi, shunday emasmi? Tangenslar va kotangentslar haqida nima deyish mumkin?

Haqiqatan ham ular uchun grafik izoh yo'qmi?

Aslida, buni siz ushbu rasmda ko'rishingiz mumkin:

Xususan, ushbu rasmlardan quyidagilarni aytishimiz mumkin:

1. Tangens va kotanjens choraklarda bir xil belgilarga ega
2. Ular 1 va 3-choraklarda ijobiydir.
3. Ular 2 va 4-choraklarda salbiy.
4. Tangens burchaklarda aniqlanmagan
5. Kotangens burchaklarda aniqlanmagan

Ushbu rasmlar yana nima uchun kerak? Siz ilg'or darajada o'rganasiz, u erda sizga trigonometrik doiralar yordamida trigonometrik tenglamalar echimlarini qanday soddalashtirishingiz mumkinligini aytaman!

Oldinga daraja

Ushbu maqolada men qanday qilib tasvirlab beraman birlik doirasi (trigonometrik doira) trigonometrik tenglamalarni echishda foydali bo'lishi mumkin.

Bu foydali bo'lishi mumkin bo'lgan ikkita holatni ajratib ko'rsatishim mumkin:

1. Javobda biz "chiroyli" burchakka ega emasmiz, ammo shunga qaramay, biz ildizlarni tanlashimiz kerak
2. Javob juda ko'p ildiz qatorlari

Sizga ma'lum bir ma'lumot kerak emas, faqat mavzuni bilishdan tashqari:

Men "trigonometrik tenglamalar" mavzusini doiraga murojaat qilmasdan yozishga harakat qildim. Ko'pchilik bu yondashuvim uchun meni maqtamaydi.

Ammo men formulani afzal ko'raman, nima qilishim kerak. Biroq, ba'zi hollarda formulalar kam. Ushbu maqolani yozishimga quyidagi misol turtki berdi:

Tenglamani eching:

Xo'sh. Tenglamani o'zi hal qilish oson.

Orqaga almashtirish:

Demak, bizning asl tenglamamiz to'rtta eng oddiy tenglamalarga tengdir! Haqiqatan ham biz 4 ta ildizni yozib olishimiz kerakmi:

Printsipial jihatdan biz shu bilan to'xtashimiz mumkin edi. Ammo qandaydir "murakkablik" deb da'vo qiladigan ushbu maqola o'quvchilariga emas!

Avval ildizlarning birinchi seriyasini ko'rib chiqamiz. Shunday qilib, biz birlik doirasini olamiz, endi ushbu ildizlarni aylanaga qo'yamiz (uchun va uchun alohida):

E'tibor bering: burchaklar orasidagi burchak qancha va? Bu burchak. Endi ketma-ketlik uchun xuddi shunday qilaylik:.

Tenglamaning ildizlari orasidagi burchak yana. Endi ushbu ikkita rasmni birlashtiramiz:

Biz nimani ko'ramiz? Aks holda, bizning ildizlarimiz orasidagi barcha burchaklar tengdir. Bu nimani anglatadi?

Agar biz burchakdan boshlasak va teng burchaklarni olsak (har qanday butun son uchun), unda biz har doim yuqori doiradagi to'rtta nuqtadan biriga etib boramiz! Shunday qilib, 2 qator ildiz:

Birlashtirilishi mumkin:

Afsuski, bir qator ildizlar uchun:

Ushbu dalillar endi adolatli bo'lmaydi. Chizilgan rasmni tuzing va nima uchun bunday ekanligini tushunib oling. Biroq, ular quyidagicha birlashtirilishi mumkin:

Keyin asl tenglama ildizlarga ega:

Bu juda qisqa va aniq javob. Qisqartirish va lakonizm nimani anglatadi? Sizning matematik savodxonligingiz darajasi to'g'risida.

Bu trigonometrik doiradan foydalanish o'z samarasini bergan birinchi misol edi.

Ikkinchi misol - "xunuk ildizlar" ga ega bo'lgan tenglamalar.

Masalan:

1. Tenglamani eching.
2. Bo'shliqqa tegishli bo'lgan ildizlarini toping.

Birinchi qism qiyin emas.

Siz allaqachon mavzu bilan tanish bo'lganingiz uchun, men o'zimning hisob-kitoblarimda qisqacha gapirishga ruxsat beraman.

keyin yoki

Tenglamamizning ildizlarini mana shunday topdik. Hech narsa murakkab emas.

Minus to'rtdan birining teskari kosinusi aniq nima ekanligini bilmasdan, vazifaning ikkinchi qismini hal qilish qiyinroq (bu jadval qiymati emas).

Biroq, biz topilgan ildizlarning qatorini birlik doirasida tasvirlashimiz mumkin:

Biz nimani ko'ramiz? Birinchidan, chizilgan rasm kosmik kosinus chegaralari haqida tasavvurga ega bo'ldi:

Ushbu vizual talqin bizga ildizlarni topishda yordam beradi, segmentga tegishli: .

Birinchidan, raqam o'zi ichiga kiradi, keyin (rasmga qarang).

shuningdek segmentga tegishli.

Shunday qilib, birlik doirasi "chirkin" burchaklar qanday chegaralar ichida joylashganligini aniqlashga yordam beradi.

Sizda yana kamida bitta savol qolishi kerak: tangents va kotangentslar haqida nima deyish mumkin?

Aslida, ularning o'z o'qlari ham bor, garchi ular biroz o'ziga xos shaklga ega bo'lsa:

Aks holda, ular bilan kurashish usuli sinus va kosinus bilan bir xil bo'ladi.

Misol

Tenglama berilgan.

• Berilgan tenglamani eching.
• Ushbu tenglamaning spanga tegishli ildizlarini tanlang.

Qaror:

Biz birlik doirasini chizamiz va unda echimlarimizni belgilaymiz:

Shakldan quyidagilarni tushunish mumkin:

Yoki undan ham ko'proq: beri, keyin

Keyin segmentga tegishli ildizlarni topamiz.

, (kabi)

Bizning tenglamamizning intervalga tegishli boshqa ildizlari yo'qligini o'zingiz tasdiqlash uchun sizga topshiraman.

Xulosa va asosiy formulalar

Asosiy trigonometriya vositasi trigonometrik doira,bu sizga burchaklarni o'lchash, ularning sinuslarini, kosinuslarini va boshqalarni topishga imkon beradi.

Burchaklarni o'lchashning ikkita usuli mavjud.

1. Darajalar orqali
2. Radianlar orqali

Aksincha, radiandan darajagacha:

Burchakning sinusi va kosinusini topish uchun sizga kerak:

1. Markazi burchak tepasiga to'g'ri keladigan birlik aylanasini chizish.
2. Ushbu burchakning aylana bilan kesishish nuqtasini toping.
3. Uning "x" koordinatasi kerakli burchak kosinusi.
4. Uning "o'yin" koordinatasi kerakli burchakning sinusidir.

Cast formulalar

Bu murakkab trigonometrik funktsiya ifodalarini soddalashtirishga yordam beradigan formulalar.

Ushbu formulalar quyidagi jadvalni eslamaslikka yordam beradi:

Xulosa qilish

Siz universal trigonometriya turini qanday qilishni o'rgandingiz.

Siz muammolarni ancha osonroq va tezroq, eng muhimi, xatosiz hal qilishni o'rgandingiz.

Siz hech qanday jadvalni siqib qo'yishingizga hojat yo'qligini angladingiz va umuman, bu erda juda kam narsa bor!

Endi seni eshitmoqchiman!

Ushbu murakkab mavzu bilan shug'ullanishga muvaffaq bo'ldingizmi?

Sizga nima yoqdi? Sizga nima yoqmadi?

Ehtimol siz xato topdingizmi?

Izohlarda yozing!

Va imtihoningizda omad tilaymiz!

Trigonometrik doira - bu sinus, kosinus, tangens va kotangens bilan tenglamalarni yechish uchun geometriyaning asosiy elementlaridan biridir.

Ushbu atamaning ta'rifi qanday, berilgan doirani qanday qurish kerak, trigonometriyada chorakni qanday aniqlash mumkin, qurilgan trigonometrik doiradagi burchaklarni qanday topish mumkin - biz bu haqda va keyinroq gaplashamiz.

Trigonometrik doira

Matematikada raqamlar doirasining trigonometrik shakli koordinata tekisligining boshida markazlashtirilgan yagona radiusga ega bo'lgan doiradir. Odatda, koordinatalar sistemasida kosinus, tangens va kotangens bilan sinus formulalari oralig'i hosil bo'ladi.

N o'lchovli bo'shliqqa ega bo'lgan bunday sharning maqsadi shundaki, uning yordamida trigonometrik funktsiyalar tavsiflanishi mumkin. Bu juda oddiy ko'rinadi: aylana, uning ichida koordinatalar tizimi va trigonometrik funktsiyalar yordamida hosil bo'lgan to'rtburchaklar uchburchaklar mavjud.

To‘g‘ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens nima

To'rtburchak uchburchak burchaklardan biri 90 ° ga teng bo'lgan burchakdir. U barcha trigonometriya qiymatlari bilan oyoq va gipotenuzadan hosil bo'ladi. Oyoqlari uchburchakning 90 ° burchakka tutashgan ikki tomoni, uchinchisi - gipotenuza, u har doim oyoqlardan uzunroq.

Sinus - bu oyoqlarning birining gipotenuzaga nisbati, kosinus - boshqa oyoqning unga nisbati, va tangens - bu ikki oyoqning nisbati. Qarash bo'linishni ramziy ma'noda anglatadi. Tangens - bu o'tkir burchakning kosinus bilan sinusga bo'linishi. Kotangens - tangensga qarama-qarshi tomon.

Oxirgi ikki nisbatning formulalari quyidagicha: tg (a) \u003d sin (a) / cos (a) va ctg (a) \u003d cos (a) / sin (a).

Birlik doirasini qurish

Birlik doirasining konstruktsiyasi koordinata tizimining markazida birlik radiusi bilan uning chizilganigacha kamayadi. Keyin qurish uchun siz burchaklarni sanashingiz kerak va soat sohasi farqli o'laroq, ularga mos keladigan koordinatalarni qo'yib, butun aylana bo'ylab aylaning.

Qurilish aylana chizilganidan va uning markazida OX koordinatalar tizimini joylashtirib nuqta o'rnatgandan so'ng boshlanadi. Koordinata o'qi ustidagi O nuqta sinus, X esa kosinus. Shunga ko'ra, ular abstsissa va ordinatadir. Keyin o'lchovlar qilishingiz kerak ∠. Ular daraja va radian bilan ko'rsatilgan.

Ushbu ko'rsatkichlarni tarjima qilish oson - to'liq aylana ikki pi radianiga teng. Noldan burchak soat sohasi farqli o'laroq + belgisi bilan, va clock soat yo'nalishi bo'yicha 0 dan - belgisi bilan ketadi. Kosinus bilan ijobiy va salbiy sinuslar doiraning har bir aylanishida takrorlanadi.

Trigonometrik doiradagi burchaklar

Trigonometrik doiraning nazariyasini o'zlashtirish uchun $ \\ phi $ ga qanday hisoblanganligini va ular qanday o'lchanganligini tushunishingiz kerak. Ular juda oddiy deb hisoblanadi.

Aylana koordinatalar tizimi tomonidan to'rt qismga bo'linadi. Har bir qism ∠ 90 ° ni tashkil qiladi. Ushbu burchaklarning yarmi 45 daraja. Shunga ko'ra, aylananing ikki qismi 180 ° ga, uchi esa 360 ° ga teng. Ushbu ma'lumotdan qanday foydalanish kerak?

Agar $ p $ ni topish masalasini hal qilish zarur bo'lsa, uchburchak teoremalariga va ular bilan bog'liq bo'lgan asosiy Pifagor qonunlariga murojaat qiling.

Burchaklar radian bilan o'lchanadi:

• 0 dan 90 ° gacha - 0 dan ∏ / 2 gacha bo'lgan burchak qiymatlari;
• 90 dan 180 ° gacha - values \u200b\u200b/ 2 dan ∏ gacha bo'lgan burchak qiymatlari;
• 180 dan 270 ° gacha - ∏ dan 3 * ∏ / 2 gacha;
• oxirgi chorak 270 0 dan 360 0 gacha - 3 * ∏ / 2 dan 2 * from gacha bo'lgan qiymatlar.

Muayyan o'lchovni bilish uchun radianlarni darajaga o'zgartiring yoki aksincha, cheat varag'iga murojaat qilishingiz kerak.

Burchaklarni gradusdan radianga aylantirish

Burchaklar gradus yoki radian bilan o'lchanishi mumkin. Ikkala ma'no o'rtasidagi bog'liqlikni bilish kerak. Ushbu munosabat trigonometriyada maxsus formuladan foydalangan holda ifodalanadi. O'zaro munosabatlarni tushunish tufayli siz burchaklarni tezda boshqarishni va darajadan radiangacha orqaga qaytishni o'rganishingiz mumkin.

Bir radian nima ekanligini aniq bilish uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:

1 xursandman. \u003d 180 / ∏ \u003d 180 / 3.1416 \u003d 57.2956

Oxir oqibat, 1 radian 57 ° ga teng va 1 daraja 0,0175 radianga teng:

1 daraja \u003d (∏ / 180) rad. \u003d 3.1416 / 180 rad. \u003d 0,0175 rad.

Trinonometrik doirada kosinus, sinus, tegans, kotangens

Trigonometrik doirada sinus, teangens va kotangensli kosinus - alfa burchaklarning funktsiyalari 0 dan 360 darajagacha. Har bir funktsiya burchakning qanchalik katta bo'lishiga qarab ijobiy yoki salbiy qiymatga ega. Ular doirada hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan munosabatlarni ramziy ma'noda anglatadi.

1-misol.

A) 40 °, b) 120 °, c) 105 ° ga teng burchakning radian o'lchovini toping

a) 40 ° \u003d 40 π / 180 \u003d 2π / 9

b) 120 ° \u003d 120 π / 180 \u003d 2π / 3

c) 105 ° \u003d 105 π / 180 \u003d 7π / 12

2-misol.

A) π / 6, b) π / 9, c) 2 π / 3 radianlarda ko'rsatilgan burchakning daraja o'lchovini toping.

a) π / 6 \u003d 180 ° / 6 \u003d 30 °

b) π / 9 \u003d 180 ° / 9 \u003d 20 °

c) 2π / 3 \u003d 2 180 ° / 6 \u003d 120 °

Sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'rifi

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi t ning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng (1-rasm):

To'g'ri burchakli uchburchakning t o'tkir burchagi kosinusi qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng (1-rasm):

Ushbu ta'riflar to'rtburchaklar burchakli uchburchakni nazarda tutadi va ushbu bo'limda keltirilgan ta'riflarning alohida holatlari.

Xuddi shu narsani joylashtiramiz to'g'ri uchburchak raqamlar doirasiga (2-rasm).

Biz buni ko'rib turibmiz oyoq b ma'lum bir qiymatga teng y Y o'qida (ordinata o'qi), oyoq a ma'lum bir qiymatga teng x X o'qi bo'yicha (absissa). Va gipotenuza dan doira radiusiga teng (R).

Shunday qilib, bizning formulalarimiz boshqa shaklga ega bo'ladi.

B \u003d bo'lgani uchun y, a \u003d x, c \u003d R, keyin:

y x
gunoh t \u003d -, cos t \u003d -.
R R

Aytgancha, demak, tabiiy ravishda, tangens va kotangens formulalari boshqa shaklga ega bo'ladi.

Tg t \u003d b / a, ctg t \u003d a / b bo'lgani uchun, boshqa tenglamalar ham to'g'ri:

tg t \u003d y/x,

ctg \u003d x/y.

Ammo sinus va kosinusga qayting. Biz radiusi 1 bo'lgan raqamlar doirasi bilan shug'ullanmoqdamiz.

y
gunoh t \u003d - \u003d y,
1

x
cos t \u003d - \u003d x.
1

Shunday qilib, biz trigonometrik formulalarning uchinchi, sodda turiga kelamiz.

Ushbu formulalar nafaqat o'tkir, balki boshqa har qanday burchakka ham qo'llaniladi (ravon yoki rivojlangan).

Cos t, sin t, tg t, ctg t ta'riflari va formulalari.

Tangens va kotangens formulalaridan yana bir formula kelib chiqadi:

Raqamli doira tenglamalari.

Chorak doiradagi sinus, kosinus, tangens va kotangens belgilar:

	1-chorak	2-chorak	3-chorak	4-chorak
cos t	+	–	–	+
gunoh t	+	+	–	–
tg t, ctg t	+	–	+	–

Raqamlar doirasining asosiy nuqtalarining kosinusi va sinusi:

Raqam doirasining asosiy nuqtalari kosinuslari va sinuslari qiymatlarini qanday eslash kerak.

Avvalo, har bir juft sonda kosinus qiymatlari birinchi, sinuslar ikkinchi o'rinda turishini bilishingiz kerak.

1) E'tibor bering: raqamli doiraning barcha to'plamlari uchun biz faqat beshta raqam bilan ishlaymiz (modulda):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Ushbu "kashfiyotni" o'zingiz uchun qiling - va siz raqamlarning ko'pligidan psixologik qo'rquvni olib tashlaysiz: aslida ularning beshtasi bor.

2) 0 va 1 butun sonlaridan boshlaylik. Ular faqat koordinata o'qlarida joylashgan.

Masalan, modulda kosinus bitta, qaerda 0 bo'lsa, yoddan o'rganishning hojati yo'q.

O'qning uchlarida kosinuslar (o'qlar) x), albatta, kosinuslar teng modul 1va sinuslar 0 ga teng.

O'qning uchlarida sinuslar (o'qlar) da) sinuslar 1-modulga tengva kosinuslar 0 ga teng.

Endi belgilar haqida. Nolinchi belgi yo'q. 1-ga kelsak - bu erda siz eng oddiy narsani eslab qolishingiz kerak: 7-sinf kursidan siz o'qda bilasiz x koordinata tekisligining markazidan o'ngga - musbat sonlar, chapdan - salbiy; eksa bo'yicha da ijobiy raqamlar markazdan ko'tariladi, salbiy raqamlar pastga tushadi. Va keyin siz 1 belgi bilan xato qilolmaysiz.

3) Endi kasrli qiymatlarga o'tamiz.

Kasrlarning hamma maxrajlarida - bir xil son 2. Endi maxrajda nima yozishimiz bilan adashmaymiz.

Choraklarning o'rtasida kosinus va sinus mutlaq qiymatda aynan bir xil qiymatga ega: -2 / 2. Qaysi holatda ular ortiqcha yoki minus belgisi bilan - yuqoridagi jadvalga qarang. Ammo sizga bunday stol deyarli kerak emas: siz buni o'sha 7-sinf kursidan bilasiz.

Hammasi o'qga yaqinroq x nuqtalar kosinus va sinus qiymatlarining aynan bir xil kattaligiga ega: (-3 / 2; 1/2).

O'qqa yaqin bo'lganlarning hammasi da ballar ham mutlaq qiymati bo'yicha mutlaqo bir xil - bundan tashqari, ular bir xil raqamlarga ega, faqat ular "almashtirilgan" joylar: (1/2; -3 / 2).

Endi alomatlar haqida - bu erda qiziqarli almashinuv mavjud (garchi, bizning fikrimizcha, siz buni osongina belgilar bilan aniqlab olishingiz kerak).

Agar birinchi chorakda kosinusning ham, sinusning ham qiymati ortiqcha belgisi bilan bo'lsa, u holda diametrli qarama-qarshi (uchinchi) da ular minus belgisi bilan bo'ladi.

Agar ikkinchi chorakda minus belgisi bilan faqat kosinuslar mavjud bo'lsa, unda diametrli qarama-qarshi (to'rtinchi) faqat sinuslar mavjud.

Faqat kosinus va sinus qiymatlarining har bir kombinatsiyasida birinchi raqam kosinus qiymati, ikkinchi raqam sinus qiymat ekanligini eslash kifoya.

Yana bitta naqshga e'tibor bering: aylananing barcha diametrli qarama-qarshi nuqtalarining sinusi va kosinusi kattaligi bo'yicha mutlaqo tengdir. Masalan, qarama-qarshi nuqtalar π / 3 va 4 points / 3 ni oling:

cos π / 3 \u003d 1/2, sin π / 3 \u003d √3 / 2
cos 4π / 3 \u003d -1/2, sin 4π / 3 \u003d -√3 / 2

Ikki qarama-qarshi nuqtaning kosinuslari va sinuslari qiymatlari faqat belgi bilan farq qiladi. Ammo bu erda ham bir naqsh mavjud: diametrli qarama-qarshi nuqtalarning sinuslari va kosinuslari har doim qarama-qarshi belgilarga ega.

Buni bilish juda muhimdir:

Raqam doirasi kosinuslari va sinuslari qiymatlari qat'iy belgilangan tartibda ketma-ket ko'payadi yoki kamayadi: eng kichik qiymatdan eng kattagacha va aksincha ("Trigonometrik funktsiyalarning ko'payishi va kamayishi" bo'limiga qarang - ammo buni faqat raqamlar doirasiga qarab tekshirish oson. yuqorida).

Kamayish tartibida quyidagi qiymatlar o'zgarishi olinadi:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Ular qat'iy teskari tartibda o'sadi.

Ushbu oddiy naqshni tushunib, siz sinus va kosinus qiymatlarini osongina aniqlashni o'rganasiz.