Vektor modullarining nuqta hosilasini qanday hisoblash mumkin. Vektorlarning nuqta ko'paytmasi. Vektor uzunligi. Koordinatalardagi nuqta mahsuloti

Leksiya: Vektor koordinatalari; vektorlarning nuqta hosilasi; vektorlar orasidagi burchak

Vektor koordinatalari

Shunday qilib, avval aytib o'tganimizdek, vektorlar yo'naltirilgan segment bo'lib, uning boshlanishi va oxiri bor. Agar bosh va oxir ba'zi bir nuqtalar bilan ifodalangan bo'lsa, unda ular tekislikda yoki kosmosda o'zlarining koordinatalariga ega.

Agar har bir nuqta o'z koordinatalariga ega bo'lsa, unda butun vektorning koordinatalarini olishimiz mumkin.

Faraz qilaylik, bizda vektorning boshi va oxiri quyidagi belgilar va koordinatalarga ega bo'lgan vektor mavjud: A (A x; Ay) va B (B x; By)

Ushbu vektorning koordinatalarini olish uchun vektorning oxiridagi koordinatalardan boshning tegishli koordinatalarini chiqarish kerak:

Vektorning kosmosdagi koordinatalarini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

Vektorlarning nuqta ko'paytmasi

Nuqta mahsulotini aniqlashning ikkita usuli mavjud:

• Geometrik yo'l. Unga ko'ra nuqta hosilasi ushbu modullarning qiymatlari orasidagi burchak kosinusi bilan ko'paytmasiga teng.

• Algebraik ma'no. Algebra nuqtai nazaridan ikkita vektorning nuqta ko'paytmasi - bu mos keladigan vektorlarning ko'paytmasi yig'indisi natijasida olinadigan ma'lum bir miqdor.

Agar vektorlar kosmosda berilgan bo'lsa, unda siz shunga o'xshash formuladan foydalanishingiz kerak:

Xususiyatlari:

• Agar siz ikkita bir xil vektorlarni skaler bilan ko'paytirsangiz, ularning nuqta mahsuloti salbiy bo'lmaydi:

• Agar ikkita bir xil vektorlarning skalar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, u holda bu vektorlar nolga teng deb hisoblanadi:

• Agar vektor o'z-o'zidan ko'paytirilsa, nuqta ko'paytmasi uning moduli kvadratiga teng bo'ladi:

• Skalyar mahsulot kommunikativ xususiyatga ega, ya'ni skalar hosilasi vektorlarning almashinishidan o'zgarmaydi:

• Nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalar ko'paytmasi faqat vektorlar bir-biriga perpendikulyar bo'lgan taqdirda nolga teng bo'lishi mumkin:

• Vektorlarning skaler ko'paytmasi uchun siljish qonuni vektorlardan birini songa ko'paytirganda amal qiladi:

• Nuqta mahsuloti bilan siz ko'paytirishning tarqatish xususiyatidan ham foydalanishingiz mumkin:

Vektorlar orasidagi burchak

Tekislik masalasida a \u003d (a x; a y) va b \u003d (b x; b y) vektorlarning skaler ko'paytmasini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

a b \u003d a x b x + a y b y

Fazoviy muammolar uchun vektorli nuqta mahsulot formulasi

Fazoviy masalada a \u003d (a x; a y; a z) va b \u003d (b x; b y; b z) vektorlarning skaler hosilasini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

N o'lchovli vektorlarning nuqta hosil qiluvchi formulasi

N o'lchovli bo'shliqda a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) va b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) vektorlarning skalar ko'paytmasini quyidagi formuladan topish mumkin:

a b \u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Vektorlarning nuqta mahsulot xususiyatlari

1. Vektorning skaler ko'paytmasi o'zi har doim noldan katta yoki unga teng:

2. Vektorning skaler ko'paytmasi o'z-o'zidan nolga teng, agar faqat vektor nol vektorga teng bo'lsa:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. Vektorning skaler ko'paytmasi o'z-o'zidan uning moduli kvadratiga teng:

4. Skalyarni ko'paytirish operatsiyasi kommunikativ:

5. Agar ikkita nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, u holda bu vektorlar ortogonaldir:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b \u003d 0<=> a ┴ b

6. (aa) b \u003d a (a b)

7. Skalyarni ko'paytirish amali tarqatish xususiyatiga ega:

(a + b) c \u003d a c + b c

Vektorlarning nuqta hosilasini hisoblash masalalariga misollar

Yassi masalalar uchun vektorlarning nuqta hosilasini hisoblash misollari

A \u003d (1; 2) va b \u003d (4; 8) vektorlarning nuqta hosilasini toping.

Qaror: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

A va b vektorlarining skaler ko'paytmasini toping, agar ularning uzunligi | a | \u003d 3, | b | \u003d 6, va vektorlar orasidagi burchak 60˚ ga teng.

Qaror: a b \u003d | a | · | B | cos a \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

P \u003d a + 3b va q \u003d 5a - 3 b vektorlarning skaler ko'paytmasini toping, agar ularning uzunligi | a | \u003d 3, | b | \u003d 2, va a va b vektorlar orasidagi burchak 60˚ ga teng.

Qaror:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b \u003d

5 | a | 2 + 12 a b - 9 | b | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Fazoviy masalalar uchun vektorlarning nuqta hosilasini hisoblash misoli

A \u003d (1; 2; -5) va b \u003d (4; 8; 1) vektorlarning nuqta hosilasini toping.

Qaror: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

N-o'lchovli vektorlar uchun nuqta hosilasini hisoblash misoli

A \u003d (1; 2; -5; 2) va b \u003d (4; 8; 1; -2) vektorlarning nuqta ko'paytmasini toping.

Qaror: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

13. Vektorlar va vektorlarning vektor ko'paytmasi deyiladi uchinchi vektor quyidagicha belgilanadi:

2) perpendikulyar, perpendikulyar. (1 "")

3) vektorlar butun makonning asosi kabi (ijobiy yoki salbiy) yo'naltirilgan.

Belgilash:.

Vektorli mahsulotning fizik ma'nosi

- O nuqtaga nisbatan kuch momenti; - radius - bu kuchni qo'llash nuqtasining vektori, keyin

bundan tashqari, agar O nuqtasiga o'tkazilsa, u holda uchlik asos vektor sifatida yo'naltirilgan bo'lishi kerak.

Ta'rif 1

Vektorlarning skaler ko'paytmasi bu vektorlarning dyn va ularning orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng sondir.

A → va b → vektorlar ko'paytmasining yozuvi a →, b → ko'rinishga ega. Quyidagi formulaga o'tamiz:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → va b → vektorlarning uzunligini, a →, b → ^ berilgan vektorlar orasidagi burchakni bildiradi. Agar kamida bitta vektor nolga teng bo'lsa, ya'ni 0 ga teng bo'lsa, unda nol bo'ladi, a →, b → \u003d 0

Vektorni o'zi ko'paytirganda, biz uning uzunligining kvadratini olamiz:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

Ta'rif 2

Vektorni o'z-o'zidan skalyar ko'paytmasi skaler kvadrat deyiladi.

Quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

A →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → belgisi npb → a → ning a → on ning sonli proektsiyasi ekanligini ko'rsatadi. b →, npa → a → - bu mos ravishda b → ning → → ga proektsiyasidir.

Ikkala vektor uchun mahsulotning ta'rifini tuzaylik:

A → by b → ikki vektorning skaler ko'paytmasi, a → vektor uzunligining proektsiyasi bo'yicha → → a → yo'nalishi bo'yicha yoki → → a → proektsiyasi bilan b → uzunligining ko'paytmasi deyiladi.

Koordinatalardagi nuqta mahsuloti

Nuqta hosilasini vektor koordinatalari orqali ma'lum tekislikda yoki kosmosda hisoblash mumkin.

Uch o'lchovli kosmosdagi tekislikdagi ikkita vektorning skaler ko'paytmasi berilgan a → va b → vektorlarining koordinatalari yig'indisi deyiladi.

Dekart sistemasida berilgan a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) vektorlarning skaler ko'paytmasini hisoblashda quyidagilar qo'llaniladi.

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

uch o'lchovli bo'shliq uchun quyidagi ibora qo'llaniladi:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

Aslida, bu nuqta mahsulotining uchinchi ta'rifi.

Keling, buni isbotlaylik.

Isbot 1

Dalil uchun a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) vektorlar uchun a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay by foydalaning. Dekart tizimi

Vektorlarni qoldirish kerak

O A → \u003d a → \u003d a x, a y va O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

U holda A B → vektorining uzunligi A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d ga teng bo'ladi (b x - a x, b y - a y).

O A B uchburchakni ko'rib chiqing.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) kosinus teoremasi asosida to'g'ri keladi.

Shartga ko'ra, O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, shuning uchun vektorlar orasidagi burchakni topish formulasi boshqacha yozilgan

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Keyin birinchi ta'rifdan kelib chiqadiki, b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), shuning uchun (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Vektor uzunligini hisoblash formulasini qo'llagan holda quyidagilarga erishamiz:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay by

Tengliklarni isbotlaylik:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- uch o'lchovli fazo vektorlari uchun mos ravishda.

Koordinatali vektorlarning skaler ko'paytmasi, vektorning skaler kvadrati mos ravishda kosmosdagi va tekislikdagi koordinatalari kvadratlarining yig'indisiga teng ekanligini aytadi. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) va (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Nuqta mahsuloti va uning xususiyatlari

→, b → va c → uchun mos keladigan nuqta mahsuloti xususiyatlari mavjud:

1. komutativlik (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. tarqatish qobiliyati (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. birikma xususiyati (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), any har qanday son;
4. skaler kvadrat har doim noldan katta (a →, a →) ≥ 0, bu erda (a →, a →) \u003d 0 a → nolga teng bo'lsa.

1-misol

Xususiyatlar samolyotda nuqta hosilasining ta'rifi va haqiqiy sonlarni qo'shish va ko'paytirish xususiyatlari tufayli tushunarli.

Kommutativlik xususiyatini isbotlang (a →, b →) \u003d (b →, a →). Ta'rifdan bizda (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y va (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y mavjud.

Kommutativlik xususiyati bo'yicha a x b x \u003d b x a x va a y b y \u003d b y a y tengliklar to'g'ri, shuning uchun a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

Bundan kelib chiqadiki (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

Tarqatish har qanday raqam uchun amal qiladi:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

va (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

shuning uchun bizda bor

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Misol va echimlar bilan nuqta mahsuloti

Bunday rejaning har qanday muammosi nuqta mahsulotiga tegishli xususiyatlar va formulalar yordamida hal qilinadi:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y yoki (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Keling, ba'zi bir misollarni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Uzunlik a → 3, uzunlik b → 7. Agar burchak 60 daraja bo'lsa, nuqta hosilasini toping.

Qaror

Shart bo'yicha bizda barcha ma'lumotlar mavjud, shuning uchun biz quyidagi formula bo'yicha hisoblaymiz:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Javob: (a →, b →) \u003d 21 2.

3-misol

Berilgan a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3) vektorlar. Nuqta mahsuloti nima?

Qaror

Ushbu misolda koordinatalar bo'yicha hisoblash formulasi ko'rib chiqiladi, chunki ular muammo bayonotida ko'rsatilgan:

(a →, b →) \u003d ax bx + ay by + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Javob: (a →, b →) \u003d - 9

4-misol

A B → va A C → nuqta hosilasini toping. A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) nuqtalar koordinata tekisligida berilgan.

Qaror

Dastlab, vektorlarning koordinatalari hisoblanadi, chunki nuqtalarning koordinatalari quyidagi shart bilan berilgan:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Koordinatalar yordamida formulaga almashtirish orqali quyidagilar olinadi:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Javob: (A B →, A C →) \u003d 28.

5-misol

A → \u003d 7 m → + 3 n → va b → \u003d 5 m → + 8 n → vektorlari berilgan bo'lsa, ularning hosilasini toping. m → 3 ga, n → esa 2 birlikka teng, ular perpendikulyar.

Qaror

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Distributiv mulkni qo'llagan holda biz quyidagilarni olamiz:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3) n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Biz mahsulot belgisi uchun koeffitsientni chiqaramiz va quyidagilarni olamiz:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Kommutativlik xususiyati bo'yicha biz quyidagilarni o'zgartiramiz:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) ) + 24 (n →, n →)

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Endi nuqta hosilasi uchun formulani shart bilan belgilangan burchak bilan qo'llaylik:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Javob: (a →, b →) \u003d 411

Agar raqamli proektsiya bo'lsa.

6-misol

A → va b → nuqtali mahsulotni toping. A → vektor koordinatalariga ega → \u003d (9, 3, - 3), proektoriyasi b → koordinatalari bilan (- 3, - 1, 1).

Qaror

Gipotezaga ko'ra, a → va b → proyeksiyalar vektorlari qarama-qarshi yo'naltirilgan, chunki a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, shuning uchun b → proyeksiya n p a → b → → uzunlikka to'g'ri keladi va "-" belgisi bilan:

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Formulaga almashtirib, quyidagicha ifodani olamiz:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Javob: (a →, b →) \u003d - 33.

Vektor uzunligini yoki sonli proektsiyani topish zarur bo'lgan ma'lum nuqta mahsuloti bilan bog'liq muammolar.

7-misol

Berilgan skalyar mahsulot uchun λ qanday qiymatni olishi kerak a → \u003d (1, 0, λ + 1) va b → \u003d (λ, 1, λ) -1 ga teng bo'ladi.

Qaror

Formuladan koordinatalar hosilalari yig'indisini topish zarurligi ko'rsatilgan:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Bizda (a →, b →) \u003d - 1 mavjud.

Λ ni topish uchun tenglamani hisoblaymiz:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, shuning uchun λ \u003d - 1.

Javob: ph \u003d - 1.

Nuqta mahsulotining jismoniy ma'nosi

Mexanika nuqta mahsulotini qo'llashni ko'rib chiqadi.

A → doimiy kuch bilan tanani M nuqtadan N ga siljitgan holda ishlayotganingizda, ular orasidagi burchak kosinusi bilan F → va M N → vektorlari uzunliklarining ko'paytmasini topishingiz mumkin, bu ish kuch va siljish vektorlarining ko'paytmasiga teng ekanligini anglatadi:

A \u003d (F →, M N →).

8-misol

5 ntonga teng kuch ta'sirida moddiy nuqtaning 3 metrga harakati o'qga nisbatan 45 daraja burchak ostida yo'naltiriladi. A ni toping.

Qaror

Ish kuch vektori va siljish hosilasi ekan, demak, F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 ° shartga asoslanib, biz A \u003d (F →, S →) \u003d F ga erishamiz. → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Javob: A \u003d 15 2 2.

9-misol

F → \u003d (3, 1, 2) kuchi ostida M (2, - 1, - 3) dan N (5, 3 λ - 2, 4) ga o'tuvchi moddiy nuqta, 13 J ga teng ish bajarildi Harakatning uzunligini hisoblang.

Qaror

V N → vektorning berilgan koordinatalari uchun M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7) mavjud.

F → \u003d (3, 1, 2) va MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) vektorlar bilan ishlashni topish formulasi bo'yicha biz A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ) ni olamiz. - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3.

Gipoteza bo'yicha A \u003d 13 J, 22 + 3 λ \u003d 13 degan ma'noni anglatadi. Demak λ \u003d - 3, shuning uchun M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

M N → siljish uzunligini topish uchun formulani qo'llang va qiymatlarni almashtiring:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Javob: 158.

Agar matnda xatolikni ko'rsangiz, iltimos, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmachalarini bosing

Vektorlar orasidagi burchak

$ \\ Overrightarrow (a) $ va $ \\ overrightarrow (b) $ berilgan ikkita vektorni ko'rib chiqing. $ O \\ overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (OA) $ va $ \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (OB) $ vektorlarini o'zboshimchalik bilan tanlangan $ O $ nuqtadan ajratamiz, u holda $ AOB $ burchagi $ \\ overrightarrow (x) vektorlari orasidagi burchak deb nomlanadi. $ a $ va $ \\ overrightarrow (b) $ (1-rasm).

Rasm 1.

Agar $ \\ overrightarrow (a) $ va $ \\ overrightarrow (b) $ vektorlari kodeksion bo'lsa yoki ulardan biri nol vektor bo'lsa, u holda vektorlar orasidagi burchak $ 0 ^ 0 $ bo'ladi.

Belgilanish: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) $

Vektorlarning nuqta ko'paytmasi

Matematik jihatdan ushbu ta'rifni quyidagicha yozish mumkin:

Nuqta mahsuloti ikki holatda nolga teng bo'lishi mumkin:

Agar vektorlardan biri nol vektor bo'lsa (O'shandan beri uning uzunligi nolga teng).

Agar vektorlar o'zaro perpendikulyar bo'lsa (ya'ni $ cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

Agar ushbu vektorlar orasidagi burchak keskin bo'lsa ($ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)\u003e 0 $) va nuqta hosilasi noldan katta bo'lsa ham) Agar bu vektorlar orasidagi burchak tutashgan bo'lsa, noldan kam (chunki $ (cos \\ chap (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)

Skaler kvadrat tushunchasi skalar mahsuloti tushunchasi bilan bogliq.

Ta'rif 2

$ \\ Overrightarrow (a) $ vektorining skaler kvadrati bu vektorning skaler hosilasi.

Biz skaler kvadrat ekanligini anglaymiz

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a ) \\ o'ng | \\ chap | \\ ustki chiziq (a) \\ o'ng | \u003d (\\ chap | \\ haddan tashqari chiziq (a) \\ o'ng |) ^ 2 \\]

Vektor koordinatalaridan nuqta hosilasini hisoblash

Belgilanishdan kelib chiqadigan nuqta mahsulot qiymatini topishning standart usulidan tashqari, yana bir usul mavjud.

Keling, buni ko'rib chiqaylik.

$ \\ Oververtarrow (a) $ va $ \\ overrightarrow (b) $ vektorlari mos ravishda $ \\ chap (a_1, b_1 \\ right) $ va $ \\ chap (a_2, b_2 \\ right) $ koordinatalariga ega bo'lsin.

Teorema 1

$ \\ Overrightarrow (a) $ va $ \\ overrightarrow (b) $ vektorlarining skalar ko'paytmasi mos koordinatalar hosilalari yig'indisiga teng.

Matematik jihatdan buni quyidagicha yozish mumkin

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

Dalillar.

Teorema isbotlangan.

Ushbu teorema bir nechta oqibatlarga olib keladi:

Xulosa 1: $ \\ Overrightarrow (a) $ va $ \\ overrightarrow (b) $ vektorlari perpendikulyar, agar $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $ bo'lsa.

Xulosa 2: Vektorlar orasidagi burchak kosinusi $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

Vektorlarning nuqta mahsulot xususiyatlari

Har qanday uchta vektor va haqiqiy $ k $ uchun bu to'g'ri:

$ (\\ oververtarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $ $

Ushbu xususiyat skalar kvadratining ta'rifidan kelib chiqadi (2-ta'rif).

Sayohat qonuni: $ \\ oververtarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

Ushbu xususiyat nuqta mahsulotining ta'rifidan kelib chiqadi (1-ta'rif).

Tarqatish qonuni:

$ \\ chap (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) $. \\ end (sanab)

1-teorema bo'yicha bizda:

\\ [\\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ chap (a_1 + a_2 \\ right) a_3 + \\ chap (b_1 + b_2 \\ right) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ haddan tashqari tor (a) \\ haddan tashqari tor (c) + \\ haddan tashqari tor (b) \\ haddan tashqari tor (c) \\]

Kombinatsiyalangan qonun: $ \\ chap (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. \\ end (sanab)

1-teorema bo'yicha bizda:

\\ [\\ chap (k \\ ustki chiziq (a) \\ o'ng) \\ haddan tashqari tor (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ chap (a_1a_2 + b_1b_2 \\ o'ng) \u003d k (\\ haddan tashqari tor (a) \\ haddan tashqari chiziq (b)) \\]

Vektorlarning nuqta hosilasini hisoblash masalasiga misol

1-misol

$ \\ Chap | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ va $ \\ chap | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d $ 2 $ va ularning orasidagi burchak $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

Qaror.

1-ta'rifdan foydalanib, biz olamiz

$ (30) ^ 0: $ uchun

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ chap ((30) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

$ (45) ^ 0: $ uchun

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ chap ((45) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

$ (90) ^ 0: $ uchun

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ chap ((90) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

$ (135) ^ 0: $ uchun

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ chap ((135) ^ 0 \\ o'ng) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ chap (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ Shunga o'xshash maqolalar